Poradimo s kvadratne jednadžbe... To su vrlo popularne jednadžbe! U samom opći pogled kvadratna jednadžba izgleda ovako:

Na primjer:

Ovdje i =1; b = 3; c = -4

Ovdje i =2; b = -0,5; c = 2,2

Ovdje i =-3; b = 6; c = -18

Pa, shvatili ste ...

Kako riješiti kvadratne jednadžbe? Ako imate kvadratnu jednadžbu u ovom obliku, tada je sve već jednostavno. Zapamtiti Čarobna riječ diskriminirajući ... Rijetki srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Izraz "odlučivanje putem diskriminatora" ulijeva povjerenje i sigurnost. Jer ne treba čekati prljave trikove diskriminanta! Jednostavan je i bez problema za upotrebu. Dakle, formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

Izraz ispod znaka korijena je isti diskriminirajući... Kao što vidite, za pronalaženje x koristimo samo a, b i c... Oni. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c u ovu formulu i računajte. Zamjena sa svojim znakovima! Na primjer, za prvu jednadžbu i =1; b = 3; c \u003d -4. Pa zapisujemo:

Primjer je gotovo riješen:

To je sve.

Koji su slučajevi mogući kada se koristi ova formula? Postoje samo tri slučaja.

1. Diskriminator je pozitivan. To znači da iz njega možete izvući korijen. Izvađen je dobar korijen, ili loš - drugo pitanje. Važno je što se u načelu izvlači. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.

2. Diskriminant je nula. Tada imate jedno rješenje. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, ali dva identična... Ali ovo igra ulogu u nejednakostima, tamo ćemo detaljnije proučiti problem.

3. Diskriminator je negativan. Od negativan broj korijen nije izvađeno. Pa dobro. To znači da nema rješenja.

Sve je vrlo jednostavno. I što mislite da ne možete pogriješiti? Pa da, kako ...
Najčešće pogreške su zbrka sa značenjskim znakovima. a, b i c... Dapače, ne njihovim znakovima (gdje se zbuniti?), Već zamjenom negativnih vrijednosti u formuli za izračunavanje korijena. Ovdje spašava detaljan zapis formule s određenim brojevima. Ako postoje računski problemi, učini tako!

Pretpostavimo da trebate riješiti ovaj primjer:

Ovdje a \u003d -6; b \u003d -5; c \u003d -1

Recimo da znate da prvi put rijetko dobijete odgovore.

Pa, ne budi lijen. Trebat će 30 sekundi da napišete dodatni redak i broj pogrešaka naglo će se smanjiti... Tako pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:

Čini se nevjerojatno teško tako pažljivo slikati. Ali čini se samo tako. Probaj. Pa, ili odaberite. Što je bolje, brzo ili ispravno? Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena neće biti potrebe sve tako pažljivo slikati. To će uspjeti samo od sebe. Pogotovo ako koristite praktične tehnike, koji su opisani u nastavku. Ovaj zli primjer s hrpom nedostataka može se riješiti lako i bez pogrešaka!

Tako, kako riješiti kvadratne jednadžbe preko diskriminatora, sjetili smo se. Ili naučeni, što također nije loše. Znati pravilno prepoznati a, b i c... Ti znaš kako pažljivo zamijeniti ih u osnovnoj formuli i pažljivo pročitajte rezultat. Shvaćate da je ovdje ključna riječ pažljivo?

Međutim, kvadratne jednadžbe često izgledaju ponešto drugačije. Na primjer, ovako:

to nepotpune kvadratne jednadžbe ... Oni se također mogu riješiti putem diskriminanta. Samo trebate ispravno shvatiti što je ovdje jednako a, b i c.

Jeste li shvatili? U prvom primjeru a \u003d 1; b \u003d -4; i c? Uopće ga nema! Pa da, tako je. U matematici to znači to c \u003d 0 ! To je sve. U formulu zamjenjujemo nulu umjesto c, i uspjet ćemo. Isto je i s drugim primjerom. Samo nula ovdje nemamo iz, i b !

Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se riješiti puno lakše. Bez ikakvog diskriminatora. Razmotrimo prvu nepotpunu jednadžbu. Što možete učiniti tamo s lijeve strane? Možete staviti x iz zagrada! Izvadimo to.

I što iz ovoga? I činjenica da je proizvod jednak nuli ako i samo ako je bilo koji od čimbenika jednak nuli! Ne vjerujete mi? Pa, onda pomislite na dva broja koji nisu nula i koji će, pomnoženi, dati nulu!
Ne radi? To je to ...
Stoga možemo s pouzdanjem napisati: x \u003d 0, ili x \u003d 4

Svi. To će biti korijeni naše jednadžbe. Oboje odgovaraju. Zamjenom bilo kojeg od njih u izvornu jednadžbu dobivamo ispravan identitet 0 \u003d 0. Kao što vidite, rješenje je puno jednostavnije nego kroz diskriminaciju.

Druga se jednadžba također može jednostavno riješiti. Pomaknite 9 na desnu stranu. Dobivamo:

Ostaje izvući korijen iz 9, i to je to. Ispada:

Također dva korijena ... x \u003d +3 i x \u003d -3.

Tako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili zagradom x, ili jednostavan prijenos brojevi udesno, nakon čega slijedi vađenje korijena.
Izuzetno je teško pomiješati ove tehnike. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen iz x-a, što je nekako neshvatljivo, a u drugom slučaju nema što izbaciti iz zagrada ...

Za sada imajte na umu najbolje prakse koje će dramatično smanjiti pogreške. Baš oni koji su zbog nepažnje ... Za koje to onda boli i vrijeđa ...

Prvi prijem... Ne budite lijeni dovesti ga u standardni oblik prije rješavanja kvadratne jednadžbe. Što to znači?
Recimo, nakon bilo kakvih transformacija dobili ste sljedeću jednadžbu:

Ne žurite s pisanjem korijenske formule! Gotovo sigurno ćete pomiješati šanse. a, b i c. Pravilno sagradite primjer. Prvo je X na kvadrat, zatim bez kvadrata, pa slobodni član. Kao ovo:

Opet, nemojte žuriti! Minus ispred x na kvadratu može vas doista rastužiti. Lako je to zaboraviti ... Riješite se minusa. Kako? Da, kao što je naučeno u prethodnoj temi! Morate pomnožiti cijelu jednadžbu s -1. Dobivamo:

Ali sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminant i upotpuniti primjer. Uradi sam. Trebali biste imati korijene 2 i -1.

Prijem drugi. Provjerite korijenje! Vietinim teoremom. Ne brinite, sve ću vam objasniti! Provjeravanje zadnja stvar jednadžba. Oni. onaj kojim smo zapisali formulu za korijene. Ako je (kao u ovom primjeru) koeficijent a \u003d 1, provjera korijena je jednostavna. Dovoljno ih je umnožiti. Trebali biste dobiti besplatnog člana, tj. u našem slučaju -2. Obratite pažnju, ne 2, već -2! Besplatni član s mojim znakom ... Ako nije uspjelo, onda je to već negdje zeznuto. Potražite grešku. Ako uspije, trebate saviti korijenje. Posljednja i zadnja provjera. Trebali biste dobiti koeficijent b iz suprotan poznati. U našem slučaju, -1 + 2 \u003d +1. I koeficijent bšto je prije x je -1. Dakle, sve je u redu!
Šteta je što je to tako jednostavno samo za primjere gdje je kvadrat x čist, s koeficijentom a \u003d 1. Ali barem provjerite takve jednadžbe! svi manje pogrešaka bit će.

Treći prijem... Ako vaša jednadžba sadrži frakcijske koeficijente, riješite se razlomka! Pomnoži jednadžbu sa zajednički nazivnikkao što je opisano u prethodnom odjeljku. Pri radu s razlomcima iz nekog razloga dolaze pogreške ...

Usput, obećao sam pojednostaviti zli primjer s hrpom kontra. Nema na čemu! Evo ga.

Da se ne bismo zbunili u minusima, jednadžbu pomnožimo s -1. Dobivamo:

To je sve! Zadovoljstvo je odlučiti!

Dakle, da rezimiramo temu.

Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja, kvadratnu jednadžbu dovodimo u standardni oblik, gradimo je ispravno.

2. Ako je ispred kvadrata negativan koeficijent, eliminiramo ga množenjem cijele jednadžbe s -1.

3. Ako su koeficijenti razlomljeni, razlomke eliminiramo množenjem cijele jednadžbe odgovarajućim faktorom.

4. Ako je x kvadrat čisti, koeficijent na njemu jednak je jedinici, rješenje se može lako provjeriti Vietinim teoremom. Učini to!

Jednadžbe razlomka. ODZ.

Nastavljamo svladavati jednadžbe. Već znamo raditi s linearnim i kvadratnim jednadžbama. Ostaje zadnji pogled - frakcijske jednadžbe... Ili se također zovu puno solidnije - frakcijski racionalne jednadžbe ... Ovo je isto.

Jednadžbe razlomka.

Kao što naziv govori, razlomci su uvijek prisutni u tim jednadžbama. Ali ne samo razlomci, već razlomci koji jesu nepoznat u nazivniku... Najmanje jedan. Na primjer:

Podsjećam da ako nazivnici sadrže samo brojevi, to su linearne jednadžbe.

Kako riješiti frakcijske jednadžbe? Prije svega, riješite se razlomka! Nakon toga jednadžba se najčešće pretvara u linearnu ili kvadratnu. I tada znamo što učiniti ... U nekim se slučajevima to može pretvoriti u identitet, poput 5 \u003d 5 ili u netočan izraz, poput 7 \u003d 2. Ali to se rijetko događa. Spomenut ću ovo u nastavku.

Ali kako se riješiti razlomka!? Jako jednostavno. Primjenjujući sve iste identične transformacije.

Moramo pomnožiti cijelu jednadžbu istim izrazom. Tako da su svi nazivnici smanjeni! Sve će odjednom postati lakše. Dopustite mi da objasnim na primjeru. Pretpostavimo da trebamo riješiti jednadžbu:

Kako se uči u niži razredi? Sve prenosimo u jednom smjeru, dovodimo do zajedničkog nazivnika itd. Zaboravi kao ružan san! To bi trebalo učiniti kada zbrajate ili oduzimate razlomljene izraze. Ili rad s nejednakostima. A u jednadžbama odmah pomnožimo obje strane s izrazom koji će nam pružiti priliku da smanjimo sve nazivnike (tj. U biti zajedničkim nazivnikom). A što je ovaj izraz?

S lijeve strane, množenje sa x + 2 ... A s desne strane treba množenje s 2. Stoga se jednadžba mora pomnožiti sa 2 (x + 2)... Množimo:

To je uobičajeno množenje razlomaka, ali detaljno ću ga napisati:

Imajte na umu da još ne proširujem zagrade (x + 2)! Dakle, u cijelosti ga pišem:

S lijeve strane u potpunosti je smanjena (x + 2), a u desnoj 2. Što je potrebno! Nakon smanjenja, dobivamo linearno jednadžba:

I svi će riješiti ovu jednadžbu! x \u003d 2.

Riješimo još jedan primjer, malo složeniji:

Ako se sjetimo da je 3 \u003d 3/1, i 2x \u003d 2x /1, možete napisati:

I opet se riješimo onoga što zapravo ne volimo - razlomka.

Vidimo da za poništavanje nazivnika s x trebate razlomak pomnožiti sa (x - 2)... Nekoliko nam nisu smetnja. Pa, množimo se. Cjelina lijeva strana i cjelina desna strana:

Opet zagrade (x - 2) Ne otkrivam. Radim sa zagradom u cjelini, kao da je jedan broj! To uvijek treba raditi, inače se ništa neće smanjiti.

S osjećajem dubokog zadovoljstva rezamo (x - 2) i dobivamo jednadžbu bez ikakvih razlomaka, u ravnalu!

A sada otvaramo zagrade:

Dajemo slične, prenosimo sve na lijevu stranu i dobivamo:

Klasična kvadratna jednadžba. Ali minus pred nama nije dobar. Toga se uvijek možete riješiti množenjem ili dijeljenjem s -1. Ali ako pažljivije pogledate primjer, primijetit ćete da je najbolje ovu jednadžbu podijeliti s -2! U jednom mahu minus će nestati, a izgledi će postati ljepši! Podijeli sa -2. S lijeve strane - pojam s pojmom, a s desne - samo podijelite nulu s -2, nula i dobijte:

Rješavamo kroz diskriminaciju i provjeru po Vieta-inom teoremu. Dobivamo x \u003d 1 i x \u003d 3... Dva korijena.

Kao što vidite, u prvom je slučaju jednadžba nakon transformacije postala linearna, ali ovdje je kvadratna. Dogodi se da se nakon uklanjanja razlomka sve xe smanje. Ostaje otprilike 5 \u003d 5. To znači da x može biti bilo koji... Što god bilo, i dalje će se smanjivati. I dobivate iskrenu istinu, 5 \u003d 5. Ali, nakon što se riješite razlomka, može se pokazati da je potpuno neistinit, poput 2 \u003d 7. Ovo znači to nema rješenja! S bilo kojim x, ispada laž.

Realizirao glavno rješenje frakcijske jednadžbe ? Jednostavno je i logično. Mijenjamo izvorni izraz tako da nestane sve što nam se ne sviđa. Ili se miješa. U ovom su slučaju to razlomci. Isto ćemo učiniti sa svim vrstama složenih primjera s logaritmima, sinusima i drugim strahotama. mi je uvijek riješit ćemo se svega ovoga.

Međutim, moramo promijeniti izvorni izraz u smjeru u kojem trebamo prema pravilima, da ... Ovladavanje koje je priprema za ispit iz matematike. Dakle, mi to svladavamo.

Sada ćemo naučiti kako zaobići jedan od glavne zasjede na ispitu! Ali prvo, hajde da vidimo ulazite li u to ili ne?

Pogledajmo jednostavan primjer:

Stvar je već poznata, množimo oba dijela (x - 2), dobivamo:

Podsjećam, u zagradama (x - 2) radimo kao s jednim cjelovitim izrazom!

Ovdje više nisam napisao 1 u nazivnicima, to je nedostojno ... I nisam imenovao zagrade u nazivnicima, osim za x - 2 nema ništa, ne morate crtati. Smanjenje:

Otvaramo zagrade, pomičemo sve ulijevo, dajemo slične:

Rješavamo, provjeravamo, dobivamo dva korijena. x \u003d 2 i x \u003d 3... Fino.

Pretpostavimo da zadatak kaže zapisati korijen ili njihov zbroj ako postoji više od jednog korijena. Što ćemo napisati?

Ako odlučite da je odgovor 5, vi bili u zasjedi... A zadatak vam se neće računati. Uzalud radio ... Točan odgovor 3.

Što je bilo?! A vi pokušajte napraviti provjeru. Vrijednosti nepoznatog zamijeni u izvornik primjer. A ako u x \u003d 3 sve će s nama divno rasti, dobivamo 9 \u003d 9, pa sa x \u003d 2 podjela s nulom! Što se ne može kategorički. Sredstva x \u003d 2 nije rješenje i u odgovoru se ne uzima u obzir. Ovo je takozvani suvišni ili suvišni korijen. Jednostavno ga ispustimo. Konačni korijen je jedan. x \u003d 3.

Kako to ?! - čujem ogorčene uzvike. Učili su nas da se jednadžba može pomnožiti izrazom! Ovo je identična transformacija!

Da, identično. Uz mali uvjet - izraz kojim množimo (dijelimo) - nula... I x - 2 na x \u003d 2 je jednako nuli! Dakle, sve je pošteno.

A što sada mogu učiniti ?! Ne množite izrazom? Trebate li provjeriti svaki put? Opet nije jasno!

Smiri se! Bez panike!

U ovoj teškoj situaciji spasit će nas tri čarobna slova. Znam o čemu razmišljaš. Ispravno! to ODZ ... Raspon dopuštenih vrijednosti.

Poznato je da se radi o određenoj verziji jednakosti ax 2 + bx + c \u003d o, gdje su a, b i c stvarni koeficijenti za nepoznati x, a gdje će a ≠ o, b i c biti nule - istovremeno ili odvojeno. Na primjer, c \u003d o, in ≠ o ili obrnuto. Gotovo smo se sjetili definicije kvadratne jednadžbe.

Trinom drugog stupnja je nula. Njegov prvi koeficijent a ≠ o, b i c može poprimiti bilo koje vrijednosti. Vrijednost varijable x tada će biti kada je, nakon zamjene, pretvori u pravu numeričku jednakost. Zadržimo se na stvarnim korijenima, iako rješenja jednadžbe mogu biti, a Complete se obično naziva jednadžbom u kojoj niti jedan od koeficijenata nije jednak o, već ≠ o, u ≠ o, s ≠ o.
Riješimo primjer. 2x 2 -9x-5 \u003d oh, nalazimo
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D je pozitivno, pa postoje korijeni, x 1 \u003d (9 + √121): 4 \u003d 5, a drugo x 2 \u003d (9-√121): 4 \u003d -o, 5. Provjera će vam pomoći da budete sigurni da su točni.

Evo korak po korak rješenja kvadratne jednadžbe

Preko diskriminanta možete riješiti bilo koju jednadžbu čija je lijeva strana poznati kvadratni trinom za a. U našem primjeru. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (ax 2 + bx + c \u003d o)

Razmotrimo koje su nepotpune jednadžbe drugog stupnja

1. sjekira 2 + u \u003d o. Slobodni član, koeficijent c pri x 0, ovdje je jednak nuli, u ≠ o.
   Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu ove vrste? Pomaknite x iz zagrade. Sjetite se kada je umnožak dvaju čimbenika nula.
   x (ax + b) \u003d o, to može biti kada je x \u003d o ili kada je ax + b \u003d o.
   Rješavajući 2. imamo x \u003d -v / a.
   Kao rezultat, imamo korijene x 1 \u003d 0, prema izračunima x 2 \u003d -b / a.
2. Sada je koeficijent pri x jednak o, a c nije jednak (≠) o.
   x 2 + c \u003d o. Prenoseći s na desnu stranu jednakosti, dobivamo x 2 \u003d -s. Ova jednadžba ima stvarne korijene samo kada je -c pozitivan broj (s ‹o),
   x 1 je tada jednako √ (-c), odnosno x 2 - -√ (-c). Inače, jednadžba uopće nema korijena.
3. Posljednja opcija: b \u003d c \u003d o, odnosno ax 2 \u003d o. Prirodno, tako jednostavna jednadžba ima jedan korijen, x \u003d o.

Posebni slučajevi

Razmotrili smo kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu, a sada ćemo uzeti sve vrste.

• U punoj kvadratnoj jednadžbi, drugi koeficijent pri x je paran broj.
  Neka je k \u003d o, 5b. Imamo formule za izračunavanje diskriminanta i korijena.
  D / 4 \u003d k 2 - ac, korijeni se izračunavaju kao x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a za D ›o.
  x \u003d -k / a kada je D \u003d o.
  U D ‹o nema korijena.
• Dane su kvadratne jednadžbe, kada je koeficijent na x kvadrat 1, uobičajeno je da se napišu x 2 + px + q \u003d o. Sve gore navedene formule odnose se na njih, izračuni su nešto jednostavniji.
  Primjer, x 2 -4x-9 \u003d 0. Izračunaj D: 2 2 +9, D \u003d 13.
  x 1 \u003d 2 + √13, x 2 \u003d 2-√13.
• Uz to, lako je primijeniti na zadane. Kaže da je zbroj korijena jednadžbe -p, drugi koeficijent s minusom (što znači suprotni znak), a umnožak istih korijena bit će jednak q, slobodni pojam. Provjerite koliko bi bilo lako usmeno odrediti korijene ove jednadžbe. Za nesmanjene (za sve koeficijente koji nisu jednaki nuli) ovaj je teorem primjenjiv na sljedeći način: zbroj x 1 + x 2 jednak je -b / a, umnožak x 1 x 2 jednak je c / a.

Zbroj presjeka c i prvog koeficijenta a jednak je koeficijentu b. U ovoj situaciji jednadžba ima barem jedan korijen (lako je to dokazati), prvi je nužno jednak -1, a drugi -c / a, ako postoji. Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu, možete sami provjeriti. Lako graškast. Koeficijenti mogu biti u nekim omjerima među sobom

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
• Zbroj svih koeficijenata je o.
  Korijeni takve jednadžbe su 1 i s / a. Primjer, 2x 2 -15x + 13 \u003d o.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Postoji niz drugih načina za rješavanje različitih jednadžbi drugog stupnja. Evo, na primjer, metode za izdvajanje cjelovitog kvadrata iz zadanog polinoma. Postoji nekoliko grafičkih načina. Kad se često bavite takvim primjerima, naučit ćete ih "kliktati" poput sjemenki, jer sve metode automatski padaju na pamet.

U moderno društvo sposobnost izvođenja radnji s jednadžbama koje sadrže kvadratnu varijablu može biti korisna u mnogim područjima djelovanja i široko se koristi u praksi u znanstvenom i tehničkom razvoju. To dokazuje dizajn morskih i riječnih plovila, zrakoplova i projektila. Uz pomoć takvih proračuna, putanje kretanja najviše različita tijela, uključujući svemirske objekte. Primjeri s rješenjem kvadratnih jednadžbi koriste se ne samo u ekonomskom predviđanju, u projektiranju i gradnji zgrada, već i u najobičnijim svakodnevnim okolnostima. Mogli bi biti potrebni na kampiranju, na sportskim priredbama, u trgovinama tijekom kupnje i u drugim vrlo čestim situacijama.

Razdvojimo izraz na njegove sastavne čimbenike

Određuje se stupanj jednadžbe maksimalna vrijednost stupanj varijable koju ovaj izraz sadrži. Ako je jednaka 2, tada se takva jednadžba naziva kvadrat.

Ako se služimo jezikom formula, tada se ti izrazi, bez obzira kako izgledali, uvijek mogu svesti na oblik kada lijeva strana izraz se sastoji od tri pojma. Među njima: ax 2 (odnosno varijabla na kvadrat sa svojim koeficijentom), bx (nepoznata bez kvadrata sa svojim koeficijentom) i c (slobodna komponenta, odnosno običan broj). Sve je to s desne strane jednako 0. U slučaju kada sličnom polinomu nedostaje jedan od njegovih sastavnih članaka, s izuzetkom ax 2, naziva se nepotpuna kvadratna jednadžba. Prvo treba razmotriti primjere rješenja takvih problema, vrijednost varijabli u kojima je lako pronaći.

Ako izraz izgleda tako da u izrazu s desne strane postoje dva pojma, točnije ax 2 i bx, najlakše je pronaći x postavljanjem varijable izvan zagrada. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x (ax + b). Nadalje, postaje očito da je ili x \u003d 0, ili se problem svodi na pronalaženje varijable iz sljedećeg izraza: ax + b \u003d 0. To diktira jedno od svojstava množenja. Pravilo je da umnožak dvaju čimbenika rezultira 0 samo ako je jedan od njih jednak nuli.

Primjer

x \u003d 0 ili 8x - 3 \u003d 0

Kao rezultat, dobivamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0,375.

Jednadžbama ove vrste može se opisati kretanje tijela pod djelovanjem gravitacije, koja su se počela pomicati od određene točke uzete kao ishodište. Ovdje matematički zapis ima sljedeći oblik: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Zamjenom potrebnih vrijednosti, izjednačavanjem desne strane s 0 i pronalaženjem mogućih nepoznanica, možete saznati vrijeme proteklo od trenutka kada se tijelo digne do trenutka pada, kao i mnoge druge veličine. Ali o tome ćemo kasnije.

Faktoriranje izraza

Gore opisano pravilo omogućuje rješavanje naznačenih zadataka u više slučajeva teški slučajevi... Razmotrimo primjere s rješenjem kvadratnih jednadžbi ovog tipa.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Ovaj kvadratni trinom je dovršen. Prvo, transformirajmo izraz i ubrojimo ga. Postoje ih dvije: (x-8) i (x-25) \u003d 0. Kao rezultat, imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri rješenja kvadratnih jednadžbi u razredu 9 omogućuju ovoj metodi pronalaženje varijable u izrazima ne samo drugog, već čak i trećeg i četvrtog reda.

Na primjer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Kada se desna strana računa na faktore s varijablom, postoje tri, to jest (x + 1), (x-3) i (x + 3).

Kao rezultat, postaje očito da ova jednadžba ima tri korijena: -3; -jedan; 3.

Izdvajanje kvadratnog korijena

Još jedan slučaj nepotpuna jednadžba drugog reda je izraz na jeziku slova predstavljen na takav način da je desna strana izrađena od komponenata ax 2 i c. Ovdje se za dobivanje vrijednosti varijable slobodni pojam prenosi na desnu stranu, a zatim se kvadratni korijen ekstrahira s obje strane jednakosti. Treba napomenuti da u ovom slučaju obično postoje dva korijena jednadžbe. Iznimka su samo jednakosti koje uopće ne sadrže pojam c, gdje je varijabla jednaka nuli, kao i varijante izraza kada je desna strana negativna. U potonjem slučaju uopće nema rješenja, jer se gore navedene radnje ne mogu izvoditi s korijenima. Treba razmotriti primjere rješenja kvadratnih jednadžbi ovog tipa.

U ovom će slučaju korijeni jednadžbe biti brojevi -4 i 4.

Proračun površine zemljišta

Potreba za ovakvim proračunima pojavila se u davnim vremenima, jer je razvoj matematike u mnogim aspektima u ona daleka vremena bio posljedica potrebe da se s najvećom točnošću utvrde površine i obodi zemljišnih čestica.

Trebali bismo razmotriti primjere rješavanja kvadratnih jednadžbi temeljenih na problemima ove vrste.

Dakle, recimo da postoji pravokutni komad zemlje koji je 16 metara duži od njegove širine. Pronađite duljinu, širinu i opseg mjesta ako znate da je njegova površina 612 m 2.

Pristupajući poslu, napravimo najprije potrebnu jednadžbu. Označimo s x širinu odjeljka, tada će njegova duljina biti (x + 16). Iz napisanog proizlazi da je površina određena izrazom x (x + 16), koji je, prema stanju našeg problema, 612. To znači da je x (x + 16) \u003d 612.

Rješenje cjelovitih kvadratnih jednadžbi, a ovaj je izraz upravo to, ne može se napraviti na isti način. Zašto? Iako lijeva strana još uvijek sadrži dva čimbenika, proizvod uopće nije jednak 0, pa se ovdje primjenjuju različite metode.

Diskriminirajući

Prije svega, izvršimo potrebne transformacije izgled ovog izraza izgledat će ovako: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. To znači da smo dobili izraz u obliku koji odgovara prethodno navedenom standardu, gdje je a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Ovo može biti primjer rješavanja kvadratnih jednadžbi putem diskriminante. Ovdje potrebni izračuni proizvedeno prema shemi: D \u003d b 2 - 4ac. Ova pomoćna veličina omogućuje ne samo pronalaženje potrebnih veličina u jednadžbi drugog reda, već i količinu moguće opcije... Ako je D\u003e 0, njih su dva; za D \u003d 0 postoji jedan korijen. Ako je D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju, diskriminator je: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. To sugerira da naš problem ima odgovor. Ako znate, k, rješenje kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti koristeći donju formulu. Omogućuje vam izračunavanje korijena.

To znači da je u predstavljenom slučaju: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Druga opcija u ovoj dilemi ne može biti rješenje, jer se dimenzije zemljišne čestice ne mogu mjeriti u negativnim vrijednostima, pa je x (odnosno širina parcele) 18 m. Odavde izračunavamo duljinu: 18 + 16 \u003d 34, a opseg 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Primjeri i zadaci

Nastavljamo s proučavanjem kvadratnih jednadžbi. Primjeri i detaljno rješenje nekoliko njih bit će navedeni u nastavku.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Sve prebacujemo na lijevu stranu jednakosti, vršimo transformaciju, odnosno dobivamo oblik jednadžbe, koja se obično naziva standardnom, i izjednačavamo je s nulom.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Dodavanjem sličnih definiramo diskriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Dakle, naša će jednadžba imati dva korijena. Izračunajmo ih prema gornjoj formuli, što znači da će prva od njih biti 4/3, a druga 1.

2) Sada ćemo otkriti zagonetke druge vrste.

Otkrijmo ima li ovdje uopće korijena x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Da bismo dobili iscrpan odgovor, dovedimo polinom u odgovarajući poznati oblik i izračunajmo diskriminaciju. U ovom primjeru rješenje kvadratne jednadžbe nije potrebno, jer u tome uopće nije bit problema. U ovom slučaju, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, što znači da doista nema korijena.

Vietin teorem

Pogodno je rješavati kvadratne jednadžbe pomoću gornjih formula i diskriminantno kada se kvadratni korijen izvlači iz vrijednosti potonjih. Ali to nije uvijek slučaj. Međutim, u ovom slučaju postoji mnogo načina za dobivanje vrijednosti varijabli. Primjer: rješavanje kvadratnih jednadžbi Vietinim teoremom. Nazvana je po čovjeku koji je živio u Francuskoj iz 16. stoljeća i ostvario briljantnu karijeru zahvaljujući njegovom matematičkom talentu i vezama na dvoru. Njegov se portret može vidjeti u članku.

Uzorak koji je primijetio slavni Francuz bio je sljedeći. Dokazao je da su korijeni jednadžbe u zbroju numerički jednaki -p \u003d b / a, a njihov umnožak odgovara q \u003d c / a.

Pogledajmo sada konkretne zadatke.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Radi jednostavnosti transformiramo izraz:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Koristimo Vietin teorem, to će nam dati sljedeće: zbroj korijena je -7, a njihov je proizvod -18. Iz ovoga dobivamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon provjere, uvjerit ćemo se da ove vrijednosti varijabli stvarno odgovaraju u izrazu.

Grafikon parabole i jednadžba

Pojmovi kvadratne funkcije i kvadratne jednadžbe usko su povezani. Primjeri za to već su dani ranije. Sada ćemo pogledati izbliza neke matematičke zagonetke. Bilo koja jednadžba opisanog tipa može se vizualizirati. Takva ovisnost, nacrtana u obliku grafa, naziva se parabola. Njegovi su različiti tipovi prikazani na donjoj slici.

Svaka parabola ima vrh, odnosno točku iz koje izlaze njezine grane. Ako je a\u003e 0, oni idu visoko do beskonačnosti, a kada a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualni prikazi funkcija pomažu u rješavanju svih jednadžbi, uključujući one kvadratne. Ova metoda naziva se grafička. A vrijednost varijable x koordinata je apscise u točkama gdje se linija grafikona siječe s 0x. Koordinate temena mogu se pronaći pomoću upravo dane formule x 0 \u003d -b / 2a. I, zamjenjujući dobivenu vrijednost u izvornu jednadžbu funkcije, možete saznati y 0, odnosno drugu koordinatu vrha parabole koja pripada osi ordinata.

Sjecište grana parabole s osi apscise

Puno je primjera s rješenjem kvadratnih jednadžbi, ali postoje i općeniti obrasci. Razmotrimo ih. Jasno je da je presjek grafa s osi 0x za a\u003e 0 moguć samo ako y 0 poprimi negativne vrijednosti. A za<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inače, D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Korijeni se mogu odrediti i iz grafa parabole. Istina je i obrnuto. Odnosno, ako dobijete vizualnu sliku kvadratna funkcija nije lako, možete izjednačiti desnu stranu izraza s 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu. A znajući točke presjeka s osi 0x, lakše je izgraditi graf.

Iz povijesti

Uz pomoć jednadžbi koje sadrže varijablu na kvadrat, u stara vremena nisu samo radili matematičke proračune i određivali područja geometrijskih likova. Takvi su proračuni drevni bili potrebni za grandiozna otkrića na polju fizike i astronomije, kao i za izradu astroloških prognoza.

Kao što pretpostavljaju moderni znanstvenici, stanovnici Babilona bili su među prvima koji su riješili kvadratne jednadžbe. Dogodilo se to četiri stoljeća prije naše ere. Naravno, njihovi su se izračuni bitno razlikovali od trenutno prihvaćenih i pokazali su se mnogo primitivnijima. Na primjer, mezopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Također im nisu bile poznate druge suptilnosti od onih koje zna bilo koji školarac našeg vremena.

Možda i ranije od babilonskih znanstvenika, mudrac iz Indije Baudhayama prihvatio se rješenja kvadratnih jednadžbi. To se dogodilo oko osam stoljeća prije dolaska Kristove ere. Istina, jednadžbe drugog reda, metode rješavanja koje je dao, bile su najjednostavnije. Osim njega, kineska matematičara također su u stara vremena zanimala slična pitanja. U Europi su se kvadratne jednadžbe počele rješavati tek početkom 13. stoljeća, no kasnije su ih u svojim radovima koristili tako veliki znanstvenici poput Newtona, Descartesa i mnogih drugih.

Kvadratnu jednadžbu je jednostavno riješiti! * Dalje u tekstu "KU".Čini se, prijatelji, što bi u matematici moglo biti lakše od rješavanja takve jednadžbe. Ali nešto mi je reklo da mnogi imaju problema s njim. Odlučio sam vidjeti koliko dojmova mjesečno Yandex. Evo što se dogodilo, pogledajte:

Što to znači? To znači da oko 70.000 ljudi mjesečno traži ove podatke, a što će se dogoditi usred akademske godine - zahtjeva će biti dvostruko više. To ne čudi, jer oni dečki i djevojke koji su davno završili školu i pripremaju se za Jedinstveni državni ispit traže ove podatke, a školarci ih također žele osvježiti u svom sjećanju.

Unatoč činjenici da postoji mnoštvo web mjesta koja vam govore kako riješiti ovu jednadžbu, odlučio sam i ja učiniti svoje i objaviti materijal. Prvo, želim da posjetitelji dođu na moje mjesto radi ovog zahtjeva; drugo, u ostalim člancima, kad dođe govor "KU", dat ću vezu na ovaj članak; treće, reći ću vam malo više o njegovom rješenju nego što se to obično navodi na drugim web mjestima. Započnimo!Sadržaj članka:

Kvadratna jednadžba jednadžba je oblika:

gdje su koeficijenti a,b i s proizvoljnim brojevima, s ≠ 0.

Na školskom tečaju gradivo se daje u sljedećem obliku - jednadžbe su uvjetno podijeljene u tri razreda:

1. Imaju dva korijena.

2. * Imajte samo jedan korijen.

3. Nemaju korijena. Ovdje je vrijedno napomenuti da nemaju valjane korijene.

Kako se izračunavaju korijeni? Samo!

Izračunavamo diskriminaciju. Ispod ove "strašne" riječi krije se sasvim jednostavna formula:

Korijenske formule su kako slijedi:

* Ove formule treba znati napamet.

Možete odmah zapisati i odlučiti:

Primjer:

1. Ako je D\u003e 0, tada jednadžba ima dva korijena.

2. Ako je D \u003d 0, tada jednadžba ima jedan korijen.

3. Ako je D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pogledajmo jednadžbu:

S tim u vezi, kada je diskriminant nula, u školskom tečaju se kaže da se dobiva jedan korijen, ovdje je jednako devet. Sve je točno, jest, ali ...

Ovaj prikaz je pomalo netočan. Zapravo postoje dva korijena. Da, da, nemojte se iznenaditi, ispadaju dva jednaka korijena, a da budemo matematički točni, odgovor bi trebao biti napisan dva korijena:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Ali ovo je tako - mala digresija. U školi možete zapisati i reći da postoji jedan korijen.

Sada sljedeći primjer:

Kao što znamo, korijen negativnog broja ne vadi se, tako da u ovom slučaju nema rješenja.

To je cijeli postupak rješenja.

Kvadratna funkcija.

Evo kako rješenje izgleda geometrijski. To je izuzetno važno razumjeti (u budućnosti ćemo u jednom od članaka detaljno analizirati rješenje kvadratne nejednakosti).

Ovo je funkcija oblika:

gdje su x i y varijable

a, b, c - zadani brojevi, s a ≠ 0

Grafikon je parabola:

Odnosno, ispada da rješavanjem kvadratne jednadžbe s "y" jednakom nuli pronalazimo točke presijecanja parabole s osi x. Mogu biti dvije od ovih točaka (diskriminant je pozitivan), jedna (diskriminanta je nula) i nijedna (diskriminant je negativna). Više o kvadratnoj funkciji možete pogledati članak Inne Feldman.

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer 1: Riješiti 2x 2 +8 x–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d –192

D \u003d b 2 –4ac \u003d 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Odgovor: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d –12

* Bilo je moguće odmah podijeliti lijevu i desnu stranu jednadžbe s 2, odnosno pojednostaviti je. Izračuni će biti lakši.

Primjer 2: Riješiti x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –22 c \u003d 121

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484–484 \u003d 0

Dobili smo da je x 1 \u003d 11 i x 2 \u003d 11

U odgovoru je dopušteno napisati x \u003d 11.

Odgovor: x \u003d 11

Primjer 3: Riješiti x 2 –8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –8 c \u003d 72

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64–288 \u003d –224

Diskriminator je negativan, u stvarnim brojevima nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja

Diskriminator je negativan. Rješenje postoji!

Ovdje ćemo govoriti o rješavanju jednadžbe u slučaju kada se dobije negativni diskriminant. Znate li nešto o složenim brojevima? Ovdje neću ulaziti u detalje zašto i odakle su došli te koja je njihova specifična uloga i potreba u matematici, ovo je tema za veliki zasebni članak.

Pojam kompleksnog broja.

Malo teorije.

Kompleksni broj z je broj oblika

z \u003d a + bi

gdje su a i b stvarni brojevi, i je takozvana imaginarna jedinica.

a + bi Je JEDINI BROJ, a ne zbrajanje.

Zamišljena jedinica jednaka je korijenu minus jedan:

Sada razmotrite jednadžbu:

Dobili smo dva konjugirana korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba.

Razmotrimo posebne slučajeve, to je kada je koeficijent "b" ili "c" jednak nuli (ili su oba jednaka nuli). Lako ih je riješiti bez ikakvih diskriminatora.

Slučaj 1. Koeficijent b \u003d 0.

Jednadžba ima oblik:

Pretvorimo:

Primjer:

4x 2 –16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d –2

Slučaj 2. Koeficijent s \u003d 0.

Jednadžba ima oblik:

Mi transformiramo, faktoriziramo:

* Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od čimbenika jednak nuli.

Primjer:

9x 2 –45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x - 5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 ili x - 5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Slučaj 3. Koeficijenti b \u003d 0 i c \u003d 0.

Ovdje je jasno da će rješenje jednadžbe uvijek biti x \u003d 0.

Korisna svojstva i obrasci koeficijenata.

Postoje svojstva koja vam omogućuju rješavanje jednadžbi s velikim koeficijentima.

ix 2 + bx+ c=0 vrijedi jednakost

a + b + c \u003d 0,zatim

- ako je za koeficijente jednadžbe ix 2 + bx+ c=0 vrijedi jednakost

a + c \u003db, zatim

Ova svojstva pomažu u rješavanju određenu vrstu jednadžbe.

Primjer 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Zbroj šansi je 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, dakle

Primjer 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Postignuta je jednakost a + c \u003db, sredstva

Pravilnosti koeficijenata.

1. Ako je u jednadžbi ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficijent "b" jednak (a 2 +1), a koeficijent "c" numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni jednaki

sjekira 2 + (a 2 +1) ∙ h + a \u003d 0 \u003d\u003e h 1 \u003d –a h 2 \u003d –1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0.

x 1 \u003d –6 x 2 \u003d –1/6.

2. Ako je u jednadžbi ax 2 - bx + c \u003d 0 koeficijent "b" jednak (a 2 +1), a koeficijent "c" numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

sjekira 2 - (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 15x 2 –226x +15 \u003d 0.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. Ako je u jednadžbiax 2 + bx - c \u003d 0 koeficijent "b" je jednako (a 2 - 1), a koeficijent "c" brojčano jednak koeficijentu "a", tada su joj korijeni jednaki

os 2 + (a 2 –1) ∙ h - a \u003d 0 \u003d\u003e h 1 \u003d - a h 2 \u003d 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Ako je u jednadžbi ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficijent "b" jednak (a 2 - 1), a koeficijent c numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

os 2 - (a 2 –1) J h - a \u003d 0 \u003d\u003e h 1 \u003d a h 2 \u003d - 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 10x 2 - 99x –10 \u003d 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietin teorem.

Vietin teorem dobio je ime po slavnom francuskom matematičaru Françoisu Vieti. Koristeći Vieta-in teorem, možemo izraziti zbroj i umnožak korijena proizvoljnog KE u smislu njegovih koeficijenata.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Ukupno broj 14 daje samo 5 i 9. To su korijeni. Uz određenu vještinu, koristeći predstavljeni teorem, usmeno možete riješiti mnoge kvadratne jednadžbe.

Štoviše, Vietin teorem. prikladno u tome što se nakon rješavanja kvadratne jednadžbe na uobičajeni način (putem diskriminanta) mogu provjeriti dobiveni korijeni. Preporučujem da to radite uvijek.

METOD PRIJENOSA

Ovom se metodom koeficijent "a" množi sa slobodnim pojmom, kao da mu se "baca", stoga se naziva pomoću "prijenosa".Ova se metoda koristi kada lako možete pronaći korijene jednadžbe koristeći Vieta-in teorem i, što je najvažnije, kada je diskriminant točan kvadrat.

Ako je a i± b + c≠ 0, tada se koristi tehnika prijenosa, na primjer:

2x 2 – 11x +5 = 0 (1) => x 2 – 11x +10 = 0 (2)

Vietinim teoremom u jednadžbi (2) lako je odrediti da je x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Dobiveni korijeni jednadžbe moramo podijeliti s 2 (budući da su dva "izbačena" iz x 2), dobivamo

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Što je obrazloženje? Pogledajte što se događa.

Diskriminatori jednadžbi (1) i (2) jednaki su:

Ako pogledate korijene jednadžbi, tada se dobivaju samo različiti nazivnici, a rezultat točno ovisi o koeficijentu pri x 2:

Drugi (modificirani) korijeni su 2 puta veći.

Stoga rezultat dijelimo s 2.

* Ako ponovno uvalimo trojku, rezultat dijelimo s 3 itd.

Odgovor: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5

Sq. ur-ye i ispit.

Ukratko ću reći o njegovoj važnosti - MORATE BITI RIJEŠENI brzo i bez oklijevanja, formule korijena i diskriminanta moraju se znati napamet. Mnogi zadaci koji čine USE zadatke svode se na rješavanje kvadratne jednadžbe (uključujući geometrijske).

Što je vrijedno pažnje!

1. Oblik pisanja jednadžbe može biti "implicitno". Na primjer, moguć je sljedeći zapis:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 ili 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 ili 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Morate ga dovesti u standardni oblik (kako se ne biste zbunili prilikom rješavanja).

2. Zapamtite da je x nepoznata veličina i može se označiti bilo kojim drugim slovom - t, q, p, h i drugim.

U ovom ćemo članku razmotriti rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Ali prvo, ponovimo koje se jednadžbe nazivaju kvadratnim. Jednadžba oblika ax 2 + bx + c \u003d 0, gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b i c neki su brojevi, a a ≠ 0, naziva se kvadrat... Kao što vidimo, koeficijent pri x 2 nije nula, pa prema tome koeficijenti pri x ili slobodnom članu mogu biti nula, u ovom slučaju dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu.

Nepotpune kvadratne jednadžbe su tri vrste:

1) Ako je b \u003d 0, c ≠ 0, tada je ax 2 + c \u003d 0;

2) Ako je b ≠ 0, c \u003d 0, tada je ax 2 + bx \u003d 0;

3) Ako je b \u003d 0, c \u003d 0, tada je ax 2 \u003d 0.

• Idemo shvatiti kako oni odlučuju jednadžbe oblika ax 2 + c \u003d 0.

Da bismo riješili jednadžbu, slobodni pojam s prenosimo na desnu stranu jednadžbe, dobivamo

sjekira 2 \u003d ‒c. Budući da je a ≠ 0, tada obje strane jednadžbe dijelimo s a, tada je x 2 \u003d ‒c / a.

Ako je ‒c / a\u003e 0, tada jednadžba ima dva korijena

x \u003d ± √ (–c / a).

Ako je ‒c / a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Pokušajmo to shvatiti na primjerima kako riješiti takve jednadžbe.

Primjer 1... Riješi 2x jednadžbu 2 - 32 \u003d 0.

Odgovor: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Primjer 2... Riješi 2x jednadžbu 2 + 8 \u003d 0.

Odgovor: jednadžba nema rješenja.

• Idemo shvatiti kako oni odlučuju jednadžbe oblika ax 2 + bx \u003d 0.

Da bismo riješili jednadžbu ax 2 + bx \u003d 0, faktoriramo je, odnosno izvadimo x izvan zagrada, dobivamo x (ax + b) \u003d 0. Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od čimbenika jednak je nuli. Tada je ili x \u003d 0, ili ax + b \u003d 0. Rješavajući jednadžbu ax + b \u003d 0, dobivamo ax \u003d - b, odakle je x \u003d - b / a. Jednadžba oblika ax 2 + bx \u003d 0, uvijek ima dva korijena x 1 \u003d 0 i x 2 \u003d - b / a. Pogledajte kako na shemi izgleda rješenje jednadžbi ove vrste.

Utvrdimo svoje znanje na konkretnom primjeru.

Primjer 3... Riješi 3x jednadžbu 2 - 12x \u003d 0.

x (3x - 12) \u003d 0

x \u003d 0 ili 3x - 12 \u003d 0

Odgovor: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

• Jednadžbe treće vrste ax 2 \u003d 0 se rješavaju vrlo jednostavno.

Ako je ax 2 \u003d 0, tada je x 2 \u003d 0. Jednadžba ima dva jednaka korijena x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Radi jasnoće, razmotrite dijagram.

Pri rješavanju primjera 4 budimo sigurni da se jednadžbe ovog tipa mogu riješiti vrlo jednostavno.

Primjer 4. Riješi 7x jednadžbu 2 \u003d 0.

Odgovor: x 1, 2 \u003d 0.

Nije uvijek odmah jasno kakvu nepotpunu kvadratnu jednadžbu moramo riješiti. Razmotrimo sljedeći primjer.

Primjer 5. Riješi jednadžbu

Množimo obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom, odnosno 30

Smanjiti

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Proširimo zagrade

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 90.

Evo sličnih

Pomaknite 99 s lijeve strane jednadžbe udesno, obrnuto predznaku

Odgovor: nema korijena.

Analizirali smo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Nadam se da sada nećete imati poteškoća s takvim zadacima. Budite oprezni pri određivanju vrste nepotpune kvadratne jednadžbe, tada ćete uspjeti.

Ako imate pitanja o ovoj temi, prijavite se na moje lekcije, zajedno ćemo riješiti nastale probleme.

web mjesto, s potpunim ili djelomičnim kopiranjem materijala, potrebna je veza do izvora.