Kvadratni korijen broja x je broj a koji, kada se pomnoži sa sobom, daje broj x: a * a \u003d a ^ 2 \u003d x, √x \u003d a. Kao i kod bilo kojeg broja, i na kvadratnim korijenima možete izvoditi računske operacije zbrajanja i oduzimanja.

Upute

• Prvo, prilikom dodavanja kvadratni korijeni pokušajte izvaditi ove korijene. To će biti moguće ako su brojevi ispod znaka korijena savršeni kvadrati. Na primjer, neka bude dat izraz √4 + √9. Prvi broj 4 kvadrat je broja 2. Drugi broj 9 kvadrat je broja 3. Dakle, ispada da je: √4 + √9 \u003d 2 + 3 \u003d 5.
• Ako ispod znaka korijena nema potpunih kvadrata, pokušajte ukloniti brojčani faktor iz znaka korijena. Na primjer, neka bude naveden izraz √24 + √54. Faktor brojeva: 24 \u003d 2 * 2 * 2 * 3, 54 \u003d 2 * 3 * 3 * 3. Broj 24 ima faktor 4, koji se može izvaditi iz znaka korijen... Broj 54 ima faktor 9. Dakle, ispada da je: √24 + √54 \u003d √ (4 * 6) + √ (9 * 6) \u003d 2 * √6 + 3 * √6 \u003d 5 * √6 . U ovaj primjer kao rezultat uklanjanja faktora iz znaka korijena, pokazalo se da pojednostavljuje zadani izraz.
• Neka je zbroj dvaju kvadratnih korijena nazivnik razlomka, na primjer A / (√a + √b). I neka zadatak prije vas "riješi se iracionalnosti u nazivniku". Tada možete koristiti sljedeću metodu. Pomnožite brojilac i nazivnik razlomka s √a - √b. Dakle, nazivnik je formula za skraćeno množenje: (√a + √b) * (√a - √b) \u003d a - b. Analogno tome, ako je razlika između korijena dana u nazivniku: √a - √b, tada se brojnik i nazivnik razlomka moraju pomnožiti s izrazom √a + √b. Na primjer, neka se razlomak dade 4 / (√3 + √5) \u003d 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) \u003d 4 * (√ 3 - √5) / (-2) \u003d 2 * (√5 - √3).
• Razmotrimo složeniji primjer rješavanja iracionalnosti u nazivniku. Neka je razlomak 12 / (√2 + √3 + √5). Potrebno je pomnožiti brojilac i nazivnik razlomka s izrazom √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Napokon, ako želite samo približnu vrijednost, pomoću kalkulatora možete izračunati vrijednosti kvadratnog korijena. Izračunajte vrijednosti zasebno za svaki broj i zapišite ih s potrebnom preciznošću (na primjer, dvije decimale). A zatim izvršite potrebne aritmetičke operacije kao kod običnih brojeva. Na primjer, pretpostavimo da želite znati približnu vrijednost izraza √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 \u003d 4,89.

Tema o kvadratnim korijenima je obavezna školski program tečaj matematike. Bez njih ne možete kada rješavate kvadratne jednadžbe. A kasnije postaje neophodno ne samo vaditi korijenje, već i izvoditi druge radnje s njima. Među njima su i prilično složeni: potenciranje, množenje i dijeljenje. Ali postoje i sasvim jednostavni: oduzimanje i zbrajanje korijena. Usput, čine se samo na prvi pogled. Izvođenje ih bez grešaka nije uvijek lako nekome tko ih tek započinje upoznavati.

Što je matematički korijen?

Ova je akcija nastala nasuprot potenciranju. Matematika uključuje dvije suprotne operacije. Postoji oduzimanje za zbrajanje. Množenje se protivi dijeljenju. Obrnuti učinak stupnja je izvlačenje odgovarajućeg korijena.

Ako je snaga dvije, tada će korijen biti kvadrat. Najčešći je u školskoj matematici. Nema čak ni naznaku da je kvadrat, odnosno nije mu dodijeljen broj 2. Matematički zapis ovog operatora (radikala) prikazan je na slici.

Iz opisane radnje njegova definicija glatko slijedi. Da biste izvukli kvadratni korijen broja, trebate saznati što će dati radikalni izraz kada se sam pomnoži. Ovaj će broj biti kvadratni korijen. Ako ga napišete matematički, dobit ćete sljedeće: x * x \u003d x 2 \u003d y, pa je √y \u003d x.

Koje radnje možete izvršiti s njima?

U svojoj osnovi, korijen je razlomljena snaga s onim u brojiocu. A nazivnik može biti bilo što. Na primjer, kvadratni korijen ima dva. Stoga će sve radnje koje se mogu izvoditi sa stupnjevima također biti istinite za korijene.

I zahtjevi za ove radnje su isti. Ako množenje, dijeljenje i podizanje u stepen ne nailaze na poteškoće učenicima, dodavanje korijena, poput njihovog oduzimanja, ponekad dovodi do zabune. A sve zato što želite izvršiti ove operacije bez gledanja znaka korijena. I tu počinju pogreške.

Koja su pravila za njihovo zbrajanje i oduzimanje?

Prvo, morate upamtiti dva kategorična "ne":

• ne možete izvršiti zbrajanje i oduzimanje korijena, kao u prostim brojevima, odnosno nemoguće je zapisati radikalne izraze zbroja pod jedan znak i s njima izvoditi matematičke operacije;
• ne možete sabirati i oduzimati korijene s različitim pokazateljima, na primjer kvadratnim i kubičnim.

Ilustrativni primjer prve zabrane: √6 + √10 ≠ √16, ali √ (6 + 10) \u003d √16.

U drugom slučaju, bolje je ograničiti se na pojednostavljivanje samih korijena. I kao odgovor, ostavite njihov iznos.

Sada na pravila

1. Pronađi i grupiraj slične korijene. Odnosno, oni koji ne samo da imaju jednake brojeve pod radikalom, već i sami imaju jedan pokazatelj.
2. Dodajte korijene, ujedinjene u jednu skupinu prvom akcijom. Jednostavno je provesti, jer trebate samo dodati vrijednosti koje stoje ispred radikala.
3. Izvuci korijene onim terminima u kojima radikalni izraz tvori cijeli kvadrat. Drugim riječima, ne ostavljajte ništa pod radikalnim predznakom.
4. Pojednostavite radikalne izraze. Da biste to učinili, morate ih razgraditi glavni faktori i provjerite daju li kvadrat bilo kojem broju. Jasno je da je to istina ako dolazi o kvadratnom korijenu. Kada je eksponent tri ili četiri, tada bi i glavni faktori trebali dati kocku ili četvrti stepen broja.
5. Uklonite iz znaka radikala faktor koji daje cijeli stupanj.
6. Pogledajte je li se ponovno pojavio slični pojmovi... Ako je to slučaj, ponovite drugi korak.

U situaciji kada zadatak ne zahtijeva točnu vrijednost korijena, može se izračunati pomoću kalkulatora. Beskrajno decimal, koja će biti istaknuta u svom prozoru, okrugla. Najčešće se to radi na stotinke. A zatim izvršite sve operacije za decimalne razlomke.

Ovo su sve informacije o tome kako se vrši dodavanje korijena. Primjeri u nastavku ilustrirat će gore navedeno.

Prvi zadatak

Izračunajte vrijednost izraza:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Ako slijedite gornji algoritam, možete vidjeti da za prve dvije akcije u ovom primjeru nema ništa. Ali možete pojednostaviti neke radikalne izraze.

Na primjer, faktor 32 na dva čimbenika 2 i 16; 18 bit će jednako umnošku 9 i 2; 128 je 2 sa 64. S obzirom na to, izraz će biti napisan ovako:

√2 + 3√ (2 * 16) + ½ √ (2 * 64) - 6 √ (2 * 9).

Sada trebate izvaditi ispod radikalnog znaka one čimbenike koji daju kvadrat broja. Ovo je 16 \u003d 4 2, 9 \u003d 3 2, 64 \u003d 8 2. Izraz će poprimiti oblik:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Moramo malo pojednostaviti snimanje. Da biste to učinili, pomnožite koeficijente ispred znakova korijena:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

U ovom su se izrazu pokazali svi pojmovi slični. Stoga ih treba samo presaviti. Odgovor će biti: 5√2.

b) Slično prethodnom primjeru, dodavanje korijena započinje njihovim pojednostavljivanjem. Radikalni izrazi 75, 147, 48 i 300 bit će predstavljeni sljedećim parovima: 5 i 25, 3 i 49, 3 i 16, 3 i 100. Svaki od njih ima broj koji se može izvaditi ispod znaka korijena :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Nakon pojednostavljenja, odgovor je: 5√5 - 5√3. Može se ostaviti kakav jest, ali bolje je staviti zajednički faktor 5 izvan zagrade: 5 (√5 - √3).

c) I opet faktorizacija: 275 \u003d 11 * 25, 99 \u003d 11 * 9, 396 \u003d 11 * 36. Nakon uklanjanja čimbenika iz korijenskog znaka, imamo:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Nakon donošenja sličnih pojmova dobivamo rezultat: 7√11.

Primjer s razlomljenim izrazima

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Bit će potrebno izbrojiti sljedeće brojeve: 45 \u003d 5 * 9, 20 \u003d 4 * 5, 18 \u003d 2 * 9, 245 \u003d 5 * 49. Slično onima koji su već razmatrani, morate ukloniti čimbenike ispod znak korijena i pojednostaviti izraz:

3/2 √5 - 2√5 - 5/3 √ (½) - 7/6 √5 + 7 √ (½) \u003d (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √ (½) \u003d - 5/3 √5 + 16/3 √ (½).

Ovaj izraz zahtijeva da se riješite iracionalnosti u nazivniku. Da biste to učinili, morate pomnožiti drugi pojam sa √2 / √2:

5/3 √5 + 16/3 √ (½) * √2 / √2 \u003d - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Za cjelovitost radnji trebate odabrati cijeli dio čimbenika ispred korijena. Prvi je jednak 1, drugi - 2.

Zbrajanje i oduzimanje korijena jedan je od najčešćih "kamena spoticanja" onima koji pohađaju tečaj matematike (algebre) u srednjoj školi. Međutim, vrlo je važno naučiti ih pravilno dodavati i oduzimati, jer su primjeri zbroja ili razlike korijena uključeni u program osnovnog Jedinstvenog državnog ispita iz discipline "matematika".

Da bi se savladalo rješenje takvih primjera, potrebne su dvije stvari - razumjeti pravila i razviti praksu. Riješivši jedan ili dva desetaka tipičnih primjera, student će ovu vještinu dovesti do automatizma i tada se neće imati čega bojati na ispitu. Preporučuje se svladavanje računskih operacija započeti sabiranjem, jer je njihovo dodavanje malo lakše od oduzimanja.

To ćete najlakše objasniti na primjeru kvadratnog korijena. U matematici postoji ustaljeni izraz "kvadrat". "Na kvadrat" znači jednom pomnožiti određeni broj... Na primjer, ako kvadrat 2, dobijete 4. Ako kvadrat 7, dobivate 49. Kvadrat 9 je 81. Dakle, kvadratni korijen 4 je 2, 49 je 7 i 81 je 9.

Učenje ove teme u matematici u pravilu započinje kvadratnim korijenima. Da bi ga mogao odmah odrediti, srednjoškolac mora napamet znati tablicu množenja. Oni koji nisu sigurni u ovu tablicu moraju se poslužiti savjetima. Obično se postupak izdvajanja korijenskog kvadrata iz broja daje u obliku tablice na naslovnicama mnogih školskih bilježnica iz matematike.

Korijeni su sljedećih vrsta:

• kvadrat;
• kubični (ili tzv. treći stupanj);
• četvrti stupanj;
• peti stupanj.

Pravila zbrajanja

Kako bi se uspješno riješilo tipičan primjer, mora se imati na umu da nisu svi brojevi korijena mogu se slagati međusobno... Da bi se mogle presaviti, moraju se dovesti na uobičajeni obrazac. Ako to nije moguće, onda problem nema rješenje. Takvi se problemi često nalaze i u udžbenicima matematike kao svojevrsna zamka za učenike.

Zbrajanje nije dopušteno u zadacima kada se radikalni izrazi međusobno razlikuju. To se može ilustrirati ilustrativnim primjerom:

• student se suočava sa zadatkom: dodaj kvadratni korijen 4 i 9;
• neiskusni student koji ne poznaje pravilo obično napiše: "korijen od 4 + korijen od 9 \u003d korijen od 13".
• vrlo je jednostavno dokazati da je ovo rješenje pogrešno. Da biste to učinili, trebate pronaći kvadratni korijen iz 13 i provjeriti je li primjer pravilno riješen;
• pomoću mikrokalkulatora možete utvrditi je li približno 3,6. Sada ostaje provjeriti rješenje;
• korijen 4 \u003d 2 i 9 \u003d 3;
• Zbroj brojeva "dva" i "tri" je pet. Stoga se ovaj algoritam rješenja može smatrati netočnim.

Ako su korijeni istog stupnja, ali različiti numerički izrazi, postavlja se izvan zagrada i zbroj dva radikalna izraza... Dakle, već se izvlači iz ove količine.

Algoritam sabiranja

Kako bi donio ispravnu odluku najjednostavniji zadatak, nužno je:

1. Odredite što točno zahtijeva dodavanje.
2. Saznajte je li moguće međusobno dodavati vrijednosti vodeći se pravilima koja postoje u matematici.
3. Ako ih nije moguće saviti, morate ih transformirati tako da se mogu presaviti.
4. Nakon što je izvršio sve potrebne transformacije, potrebno je izvršiti sabiranje i zapisati gotov odgovor. Dodavanje se može izvršiti u glavi ili pomoću mikro kalkulatora, ovisno o složenosti primjera.

Koji su slični korijeni

Da biste pravilno riješili primjer sabiranja, prvo morate razmisliti kako ga možete pojednostaviti. Da biste to učinili, morate imati osnovno znanje o tome što je sličnost.

Sposobnost identificiranja sličnih pomaže u brzom rješavanju sličnih primjera zbrajanja, dovodeći ih u pojednostavljeni oblik. Da biste pojednostavili tipičan primjer dodavanja, trebate:

1. Pronađite slične i odaberite ih u jednoj grupi (ili u nekoliko skupina).
2. Prepišite postojeći primjer na takav način da korijeni koji imaju isti pokazatelj idu jasno jedan za drugim (to se naziva "grupiranje").
3. Dalje, trebali biste ponovo prepisati izraz, ovaj put na takav način da slični (koji imaju isti pokazatelj i isti radikalni broj) također slijede jedni druge.

Nakon toga je pojednostavljeni primjer obično lako riješiti.

Da bismo pravilno riješili bilo koji primjer sabiranja, potrebno je jasno razumjeti osnovna pravila zbrajanja, kao i znati što je korijen i što je on.

Ponekad takvi zadaci na prvi pogled izgledaju vrlo teško, ali obično ih je lako riješiti grupiranjem sličnih. Najvažnija je vježba, a tada će student početi "klikati probleme poput oraha". Dodavanje korijena jedno je od najvažnijih područja matematike, pa bi učitelji trebali potrošiti dovoljno vremena proučavajući ga.

Video

Ovaj videozapis pomoći će vam da razumijete jednadžbe kvadratnih korijena.

Činjenica 1.
\\ (\\ bullet \\) Uzmimo neke ne negativan broj \\ (a \\) (tj. \\ (a \\ geqslant 0 \\)). Tada (aritmetika) korijen od broja \\ (a \\) naziva se takav nenegativni broj \\ (b \\), kad kvadriramo dobijemo broj \\ (a \\): \\ [\\ sqrt a \u003d b \\ quad \\ text (isto kao i) \\ quad a \u003d b ^ 2 \\] Iz definicije proizlazi da \\ (a \\ geqslant 0, b \\ geqslant 0 \\). Ova ograničenja su važan uvjet postojanje kvadratnog korijena i njih treba zapamtiti!
Sjetimo se da bilo koji broj na kvadrat daje negativan rezultat. Odnosno, \\ (100 ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 \\) i \\ ((- 100) ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 \\).
\\ (\\ bullet \\) Što je \\ (\\ sqrt (25) \\)? Znamo da su \\ (5 ^ 2 \u003d 25 \\) i \\ ((- 5) ^ 2 \u003d 25 \\). Budući da prema definiciji moramo pronaći negativan broj, tada \\ (- 5 \\) ne odgovara, dakle, \\ (\\ sqrt (25) \u003d 5 \\) (budući da je \\ (25 \u003d 5 ^ 2 \\)) .
Pronalaženje vrijednosti \\ (\\ sqrt a \\) naziva se uzimanjem kvadratnog korijena broja \\ (a \\), a broj \\ (a \\) radikalnim izrazom.
\\ (\\ bullet \\) Na temelju definicije, izraza \\ (\\ sqrt (-25) \\), \\ (\\ sqrt (-4) \\) itd. nema smisla.

Činjenica 2.
Za brze izračune bit će korisno naučiti tablicu kvadrata prirodni brojevi od \\ (1 \\) do \\ (20 \\): \\ [\\ početak (niz) (| ll |) \\ hline 1 ^ 2 \u003d 1 & \\ quad11 ^ 2 \u003d 121 \\\\ 2 ^ 2 \u003d 4 & \\ quad12 ^ 2 \u003d 144 \\\\ 3 ^ 2 \u003d 9 & \\ quad13 ^ 2 \u003d 169 \\\\ 4 ^ 2 \u003d 16 & \\ quad14 ^ 2 \u003d 196 \\\\ 5 ^ 2 \u003d 25 & \\ quad15 ^ 2 \u003d 225 \\\\ 6 ^ 2 \u003d 36 & \\ quad16 ^ 2 \u003d 256 \\\\ 7 ^ 2 \u003d 49 & \\ quad17 ^ 2 \u003d 289 \\\\ 8 ^ 2 \u003d 64 & \\ quad18 ^ 2 \u003d 324 \\\\ 9 ^ 2 \u003d 81 & \\ quad19 ^ 2 \u003d 361 \\\\ 10 ^ 2 \u003d 100 & \\ quad20 ^ 2 \u003d 400 \\\\ \\ hline \\ end (niz) \\]

Činjenica 3.
Što se može učiniti s četvrtastim korijenima?
\\ (\\ metak \\) Zbroj ili razlika kvadratnih korijena NIJE JEDNAKA kvadratnom korijenu zbroja ili razlike, tj. \\ [\\ sqrt a \\ pm \\ sqrt b \\ ne \\ sqrt (a \\ pm b) \\] Dakle, ako trebate izračunati, na primjer, \\ (\\ sqrt (25) + \\ sqrt (49) \\), tada biste u početku trebali pronaći vrijednosti \\ (\\ sqrt (25) \\) i \\ (\\ sqrt (49) \\), a zatim ih presavijte. Slijedom toga, \\ [\\ sqrt (25) + \\ sqrt (49) \u003d 5 + 7 \u003d 12 \\] Ako se vrijednosti \\ (\\ sqrt a \\) ili \\ (\\ sqrt b \\) ne mogu pronaći prilikom dodavanja \\ (\\ sqrt a + \\ sqrt b \\), tada se takav izraz dalje ne transformira i ostaje isti. Na primjer, u zbroju \\ (\\ sqrt 2+ \\ sqrt (49) \\) možemo pronaći \\ (\\ sqrt (49) \\) - to je \\ (7 \\), ali \\ (\\ sqrt 2 \\) ne može biti pretvorena na bilo koji način, pa \\ (\\ sqrt 2+ \\ sqrt (49) \u003d \\ sqrt 2 + 7 \\)... Nažalost, ovaj se izraz ne može dalje pojednostaviti. \\ (\\ bullet \\) Proizvod / količnik kvadratnih korijena jednak je kvadratnom korijenu proizvoda / količnika, tj. \\ [\\ sqrt a \\ cdot \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (ab) \\ quad \\ text (i) \\ quad \\ sqrt a: \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (a: b) \\] (pod uvjetom da obje strane jednakosti imaju smisla)
Primjer: \\ (\\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt 2 \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 8 \\); \\ (\\ sqrt (768): \\ sqrt3 \u003d \\ sqrt (768: 3) \u003d \\ sqrt (256) \u003d 16 \\); \\ (\\ sqrt ((- 25) \\ cdot (-64)) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 64) \u003d \\ sqrt (25) \\ cdot \\ sqrt (64) \u003d 5 \\ cdot 8 \u003d 40 \\)... \\ (\\ bullet \\) Koristeći ta svojstva, prikladno je pronaći kvadratne korijene velikih brojeva tako da ih razbrojimo.
Pogledajmo primjer. Pronađite \\ (\\ sqrt (44100) \\). Budući da je \\ (44100: 100 \u003d 441 \\), onda \\ (44100 \u003d 100 \\ cdot 441 \\). Prema djeljivosti, broj \\ (441 \\) dijeli se s \\ (9 \\) (budući da je zbroj njegovih znamenki 9 i djeljiv sa 9), dakle, \\ (441: 9 \u003d 49 \\), to jest \\ ( 441 \u003d 9 \\ cdot 49 \\).
Tako smo dobili: \\ [\\ sqrt (44100) \u003d \\ sqrt (9 \\ cdot 49 \\ cdot 100) \u003d \\ sqrt9 \\ cdot \\ sqrt (49) \\ cdot \\ sqrt (100) \u003d 3 \\ cdot 7 \\ cdot 10 \u003d 210 \\] Uzmimo još jedan primjer: \\ [\\ sqrt (\\ dfrac (32 \\ cdot 294) (27)) \u003d \\ sqrt (\\ dfrac (16 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 49 \\ cdot 2) (9 \\ cdot 3)) \u003d \\ sqrt (\\ dfrac (16 \\ cdot4 \\ cdot49) (9)) \u003d \\ dfrac (\\ sqrt (16) \\ cdot \\ sqrt4 \\ cdot \\ sqrt (49)) (\\ sqrt9) \u003d \\ dfrac (4 \\ cdot 2 \\ cdot 7) 3 \u003d \\ dfrac (56) 3 \\]
\\ (\\ bullet \\) Pokažimo kako se na primjeru izraza \\ (5 \\ sqrt2 \\) (skraćenica za izraz \\ (5 \\ cdot \\ sqrt2 \\)) unosi brojevi pod znak kvadratnog korijena). Budući da je \\ (5 \u003d \\ sqrt (25) \\), onda \ Također imajte na umu da, na primjer,
1) \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \u003d 4 \\ sqrt2 \\),
2) \\ (5 \\ sqrt3- \\ sqrt3 \u003d 4 \\ sqrt3 \\)
3) \\ (\\ sqrt a + \\ sqrt a \u003d 2 \\ sqrt a \\).

Zašto je to? Objasnimo na primjeru 1). Kao što ste već shvatili, ne možemo nekako pretvoriti broj \\ (\\ sqrt2 \\). Zamislimo da je \\ (\\ sqrt2 \\) neki broj \\ (a \\). Sukladno tome, izraz \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \\) nije ništa drugo nego \\ (a + 3a \\) (jedan broj \\ (a \\) plus još tri ista \\ (a \\)). I znamo da je jednak četiri takva broja \\ (a \\), to jest \\ (4 \\ sqrt2 \\).

Činjenica 4.
\\ (\\ bullet \\) Često se kaže "ne mogu izvući korijen" kad nije moguće riješiti se znaka \\ (\\ sqrt () \\ \\) korijena (radikala) kada se pronalazi vrijednost nekog broja. Na primjer, možete izvući korijen broja \\ (16 \\) jer \\ (16 \u003d 4 ^ 2 \\), dakle \\ (\\ sqrt (16) \u003d 4 \\). Ali nemoguće je izvući korijen iz broja \\ (3 \\), odnosno pronaći \\ (\\ sqrt3 \\), jer ne postoji takav broj koji će na kvadrat dati \\ (3 \\).
Takvi su brojevi (ili izrazi s takvim brojevima) iracionalni. Na primjer brojevi \\ (\\ sqrt3, \\ 1+ \\ sqrt2, \\ \\ sqrt (15) \\) itd. su iracionalni.
Također su iracionalni brojevi \\ (\\ pi \\) (broj "pi", otprilike jednak \\ (3.14 \\)), \\ (e \\) (taj se broj naziva Eulerovim brojem, otprilike je \\ (2.7 \\)) itd.
\\ (\\ bullet \\) Imajte na umu da će bilo koji broj biti racionalan ili iracionalan. I zajedno, svi racionalni i svi iracionalni brojevi čine skup tzv skup stvarnih (stvarnih) brojeva. Ovaj je skup označen slovom \\ (\\ mathbb (R) \\).
To znači da se svi brojevi koje trenutno poznajemo nazivaju stvarnim brojevima.

Činjenica 5.
\\ (\\ bullet \\) Modul realnog broja \\ (a \\) je negativan broj \\ (| a | \\), jednak udaljenosti od točke \\ (a \\) do \\ (0 \\) na stvarnoj liniji. Na primjer, \\ (| 3 | \\) i \\ (| -3 | \\) jednaki su 3, jer su udaljenosti od točaka \\ (3 \\) i \\ (- 3 \\) do \\ (0 \\) jednake a jednaki su \\ (3 \\).
\\ (\\ bullet \\) Ako je \\ (a \\) nenegativan broj, tada je \\ (| a | \u003d a \\).
Primjer: \\ (| 5 | \u003d 5 \\); \\ (\\ qquad | \\ sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\). \\ (\\ bullet \\) Ako je \\ (a \\) negativan broj, tada je \\ (| a | \u003d -a \\).
Primjer: \\ (| -5 | \u003d - (- 5) \u003d 5 \\); \\ (\\ qquad | - \\ sqrt3 | \u003d - (- \\ sqrt3) \u003d \\ sqrt3 \\).
Kažu da modul "jede" minus negativnih brojeva, a modul ostavlja pozitivne brojeve, kao i broj \\ (0 \\), nepromijenjenim.
ALI ovo pravilo vrijedi samo za brojeve. Ako imate nepoznati \\ (x \\) pod znakom modula (ili neki drugi nepoznati), na primjer, \\ (| x | \\), za koji ne znamo, je li pozitivan, nula ili negativan, onda riješiti se modula ne možemo. U ovom slučaju, ovaj izraz ostaje takav: \\ (| x | \\). \\ (\\ bullet \\) Sljedeće formule vrijede: \\ [(\\ large (\\ sqrt (a ^ 2) \u003d | a |)) \\] \\ [(\\ velika ((\\ sqrt (a)) ^ 2 \u003d a)), \\ tekst (pod pretpostavkom) a \\ geqslant 0 \\] Počinje vrlo česta pogreška: kažu da su \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \\) i \\ ((\\ sqrt a) ^ 2 \\) isto. To vrijedi samo ako je \\ (a \\) pozitivan broj ili nula. Ali ako je \\ (a \\) negativan broj, onda to nije istina. Dovoljno je razmotriti takav primjer. Uzmite broj \\ (- 1 \\) umjesto \\ (a \\). Tada \\ (\\ sqrt ((- 1) ^ 2) \u003d \\ sqrt (1) \u003d 1 \\), ali izraz \\ ((\\ sqrt (-1)) ^ 2 \\) uopće ne postoji (uostalom, nemoguće je pod znak korijena staviti negativne brojeve!).
Stoga vam skrećemo pažnju na to da \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \\) nije jednako \\ ((\\ sqrt a) ^ 2 \\)! Primjer: 1) \\ (\\ sqrt (\\ lijevo (- \\ sqrt2 \\ desno) ^ 2) \u003d | - \\ sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\)od \\ (- \\ sqrt2<0\) ;

\\ (\\ fantom (00000) \\) 2) \\ ((\\ sqrt (2)) ^ 2 \u003d 2 \\). \\ (\\ bullet \\) Budući da je \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \u003d | a | \\), onda \\ [\\ sqrt (a ^ (2n)) \u003d | a ^ n | \\] (izraz \\ (2n \\) označava paran broj)
Odnosno, pri vađenju korijena iz broja koji je donekle, taj se stupanj prepolovio.
Primjer:
1) \\ (\\ sqrt (4 ^ 6) \u003d | 4 ^ 3 | \u003d 4 ^ 3 \u003d 64 \\)
2) \\ (\\ sqrt ((- 25) ^ 2) \u003d | -25 | \u003d 25 \\) (imajte na umu da ako modul nije instaliran, ispada da je korijen broja \\ (- 25 \\) ; ali sjećamo se da, prema definiciji korijena, to ne može biti: uvijek imamo pozitivan broj ili nulu pri vađenju korijena)
3) \\ (\\ sqrt (x ^ (16)) \u003d | x ^ 8 | \u003d x ^ 8 \\) (jer je bilo koji broj u parnom stepenu nenegativan)

Činjenica 6.
Kako uspoređujete dva kvadratna korijena?
\\ (\\ bullet \\) Za kvadratne korijene vrijedi: ako \\ (\\ sqrt a<\sqrt b\) , то \(a Primjer:
1) usporedite \\ (\\ sqrt (50) \\) i \\ (6 \\ sqrt2 \\). Prvo, pretvorimo drugi izraz u \\ (\\ sqrt (36) \\ cdot \\ sqrt2 \u003d \\ sqrt (36 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (72) \\)... Dakle, budući da je \\ (50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Između kojih je cijelih brojeva \\ (\\ sqrt (50) \\)?
Budući da su \\ (\\ sqrt (49) \u003d 7 \\), \\ (\\ sqrt (64) \u003d 8 \\) i \\ (49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Usporedite \\ (\\ sqrt 2-1 \\) i \\ (0,5 \\). Pretpostavimo \\ (\\ sqrt2-1\u003e 0,5 \\): \\ [\\ početak (poravnato) & \\ sqrt 2-1\u003e 0,5 \\ \\ veliko | +1 \\ quad \\ text ((dodajte po jedan na obje strane)) \\\\ & \\ sqrt2\u003e 0,5 + 1 \\ \\ velik | \\ ^ 2 \\ quad \\ text ((kvadrat s obje strane)) \\\\ & 2\u003e 1,5 ^ 2 \\\\ & 2\u003e 2,25 \\ kraj (poravnato) \\] Vidimo da smo dobili pogrešnu nejednakost. Stoga je naša pretpostavka bila pogrešna i \\ (\\ sqrt 2-1<0,5\) .
Imajte na umu da dodavanje broja na obje strane nejednakosti ne utječe na njegov predznak. Množenje / dijeljenje obje strane nejednakosti pozitivnim brojem također ne utječe na njegov predznak, a množenje / dijeljenje negativnim brojem preokreće predznak nejednakosti!
Obje strane jednadžbe / nejednakosti možete kvadrirati SAMO KADA obje strane nisu negativne. Na primjer, u nejednakosti iz prethodnog primjera, obje strane mogu biti na kvadrat, u nejednakosti \\ (- 3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \\ (\\ bullet \\) Zapamtite to \\ [\\ početak (poravnato) & \\ sqrt 2 \\ približno 1,4 \\\\ & \\ sqrt 3 \\ približno 1,7 \\ kraj (poravnato) \\] Poznavanje približne vrijednosti ovih brojeva pomoći će vam u usporedbi brojeva! \\ (\\ bullet \\) Da biste izvukli korijen (ako je izvađen) iz nekog velikog broja koji nije u tablici kvadrata, prvo morate utvrditi između kojih je "stotina", a zatim - između kojih "deset ", a zatim odredite zadnju znamenku ovog broja. Pokažimo kako to funkcionira na primjeru.
Uzmi \\ (\\ sqrt (28224) \\). Znamo da \\ (100 ^ 2 \u003d 10 \\, 000 \\), \\ (200 ^ 2 \u003d 40 \\, 000 \\) itd. Imajte na umu da je \\ (28224 \\) između \\ (10 \u200b\u200b\\, 000 \\) i \\ (40 \\, 000 \\). Stoga je \\ (\\ sqrt (28224) \\) između \\ (100 \\) i \\ (200 \\).
Sada odredimo između kojih se desetica nalazi naš broj (to jest, na primjer, između \\ (120 \\) i \\ (130 \\)). Također iz tablice kvadrata znamo da \\ (11 ^ 2 \u003d 121 \\), \\ (12 ^ 2 \u003d 144 \\) itd., Zatim \\ (110 ^ 2 \u003d 12100 \\), \\ (120 ^ 2 \u003d 14400 \\), \\ (130 ^ 2 \u003d 16900 \\), \\ (140 ^ 2 \u003d 19600 \\), \\ (150 ^ 2 \u003d 22500 \\), \\ (160 ^ 2 \u003d 25600 \\), \\ (170 ^ 2 \u003d 28900 \\). Dakle, vidimo da je \\ (28224 \\) između \\ (160 ^ 2 \\) i \\ (170 ^ 2 \\). Stoga je broj \\ (\\ sqrt (28224) \\) između \\ (160 \\) i \\ (170 \\).
Pokušajmo odrediti zadnju znamenku. Sjetimo se koji jednoznamenkasti brojevi na kraju \\ (4 \\) kada su na kvadrat? To su \\ (2 ^ 2 \\) i \\ (8 ^ 2 \\). Stoga će \\ (\\ sqrt (28224) \\) završiti s 2 ili 8. Provjerimo ovo. Pronađi \\ (162 ^ 2 \\) i \\ (168 ^ 2 \\):
\\ (162 ^ 2 \u003d 162 \\ cdot 162 \u003d 26224 \\)
\\ (168 ^ 2 \u003d 168 \\ cdot 168 \u003d 28224 \\).
Prema tome, \\ (\\ sqrt (28224) \u003d 168 \\). Voila!

Da bi se ispit iz matematike adekvatno riješio, prije svega potrebno je proučiti teorijski materijal koji uvodi brojne teoreme, formule, algoritme itd. Na prvi pogled može se činiti da je to prilično jednostavno. Međutim, pronaći izvor u kojem se teorija za ispit iz matematike izlaže lako i razumljivo za studente bilo koje razine obuke zapravo je prilično težak zadatak. Nemoguće je držati školske udžbenike uvijek pri ruci. A pronaći osnovne formule za ispit iz matematike može biti teško čak i na Internetu.

Zašto je toliko važno studirati teoriju iz matematike ne samo za one koji polažu ispit?

1. Jer vam proširuje vidike... Proučavanje teorijskog materijala iz matematike korisno je za sve koji žele dobiti odgovore na širok spektar pitanja vezanih za poznavanje svijeta okoline. Sve je u prirodi uredno i ima jasnu logiku. Upravo se to odražava u znanosti putem koje je moguće razumjeti svijet.
2. Jer razvija inteligenciju... Proučavajući referentne materijale za ispit iz matematike, kao i rješavajući razne probleme, osoba uči logično razmišljati i rasuđivati, kompetentno i jasno formulirati misli. Razvija sposobnost analiziranja, generaliziranja, donošenja zaključaka.

Pozivamo vas da osobno procijenite sve prednosti našeg pristupa sistematizaciji i prezentaciji obrazovnih materijala.

Sadržaj:

Kvadratne korijene možete dodavati i oduzimati samo ako imaju isti radikalni izraz, odnosno možete dodavati ili oduzimati 2√3 i 4√3, ali ne i 2√3 i 2√5. Možete pojednostaviti radikal kako biste ih istim radikalom pretvorili u korijene (a zatim ih dodati ili oduzeti).

Koraci

1. dio Razumijevanje osnova

1. 1 (izraz pod znakom korijena). Da biste to učinili, podijelite broj korijena na dva čimbenika, od kojih je jedan kvadratni broj (broj iz kojeg možete izvući cijeli korijen, na primjer 25 ili 9). Nakon toga izvadite korijen iz kvadratnog broja i zapišite pronađenu vrijednost ispred znaka korijena (drugi faktor ostat će ispod znaka korijena). Na primjer, 6√50 - 2√8 + 5√12. Brojevi ispred znaka korijena činitelji su odgovarajućih korijena, a brojevi ispod znaka korijena su radikalni brojevi (izrazi). Evo kako riješiti ovaj problem:
   • 6√50 \u003d 6√ (25 x 2) \u003d (6 x 5) √2 \u003d 30√2. Ovdje računate 50 na faktore 25 i 2; onda iz 25 izvadite korijen jednak 5, a izvadite 5 ispod korijena. Zatim pomnožite 5 sa 6 (faktor u korijenu) i dobit ćete 30√2.
   • 2√8 \u003d 2√ (4 x 2) \u003d (2 x 2) √2 \u003d 4√2. Ovdje računate 8 na faktore 4 i 2; zatim izvadite korijen jednak 2 iz 4 i izvadite 2 ispod korijena. Zatim pomnožite 2 s 2 (faktor u korijenu) i dobit ćete 4√2.
   • 5√12 \u003d 5√ (4 x 3) \u003d (5 x 2) √3 \u003d 10√3. Ovdje računate 12 na faktore 4 i 3; zatim izvadite korijen jednak 2 iz 4 i izvadite 2 ispod korijena. Zatim pomnožite 2 s 5 (faktor u korijenu) i dobit ćete 10√3.
2. 2 Naglasite korijene čiji su radikalni izrazi isti. U našem primjeru pojednostavljeni izraz glasi: 30√2 - 4√2 + 10√3. U njemu morate naglasiti prvi i drugi pojam ( 30√2 i 4√2 ), jer imaju isti korijenski broj 2. Samo takve korijene možete dodati i oduzeti.
3. 3 Ako dobijete izraz s velikim brojem članova, od kojih mnogi imaju iste radikalne izraze, koristite jednostruke, dvostruke, trostruke donje crte da biste označili takve članove kako biste lakše riješili taj izraz.
4. 4 Za korijene čiji su radikalni izrazi isti, dodajte ili oduzmite čimbenike ispred znaka korijena, a radikalni izraz ostavite jednakim (nemojte zbrajati ili oduzimati radikalne brojeve!). Ideja je pokazati koliko je korijena s određenim radikalnim izrazom sadržano u određenom izrazu.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

2. dio Vježbanje s primjerima

1. 1 Primjer 1: √(45) + 4√5.
   • Pojednostavite √ (45). Faktor 45: √ (45) \u003d √ (9 x 5).
   • Izvadite 3 ispod korijena (√9 \u003d 3): √ (45) \u003d 3√5.
   • Sada dodajte čimbenike u korijenima: 3√5 + 4√5 \u003d 7√5
2. 2 Primjer 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • Pojednostavite 6√ (40). Faktor 40: 6√ (40) \u003d 6√ (4 x 10).
   • Izvadite 2 ispod korijena (√4 \u003d 2): 6√ (40) \u003d 6√ (4 x 10) \u003d (6 x 2) √10.
   • Pomnožite čimbenike ispred korijena da biste dobili 12√10.
   • Sada se izraz može zapisati kao 12√10 - 3√ (10) + √5. Budući da prva dva člana imaju isti radikalni broj, možete drugi oduzeti od prvog, a prvi ostaviti nepromijenjenim.
   • Dobivate: (12-3) √10 + √5 \u003d 9√10 + √5.
3. 3 Primjer 3. 9√5 -2√3 - 4√5. Ovdje se ne može faktorizirati nijedan radikalni izraz, pa se taj izraz ne može pojednostaviti. Treći član možete oduzeti prvom (jer imaju iste radikalne brojeve), a drugi član ostaviti nepromijenjenim. Dobivate: (9-4) √5 -2√3 \u003d 5√5 - 2√3.
4. 4 Primjer 4. √9 + √4 - 3√2.
   • √9 \u003d √ (3 x 3) \u003d 3.
   • √4 \u003d √ (2 x 2) \u003d 2.
   • Sada možete samo dodati 3 + 2 da biste dobili 5.
   • Konačni odgovor je 5 - 3√2.
5. 5 Primjer 5. Riješi izraz koji sadrži korijene i razlomke. Možete dodati i izračunati samo one razlomke koji imaju zajednički (isti) nazivnik. Dat je izraz (√2) / 4 + (√2) / 2.
   • Nađi najmanji zajednički nazivnik ovih razlomaka. Ovo je broj koji je ravnomjerno djeljiv sa svakim nazivnikom. U našem su primjeru 4 i 2 djeljivi sa 4.
   • Sada pomnožite drugi razlomak s 2/2 (da biste ga doveli do zajedničkog nazivnika; prvi razlomak već je sveden na njega): (√2) / 2 x 2/2 \u003d (2√2) / 4.
   • Zbroji razlomke i ostavi nazivnik isti: (√2) / 4 + (2√2) / 4 \u003d (3√2) / 4 .

• Pojednostavite (ako je moguće) radikalne izraze prije dodavanja ili oduzimanja korijena.

Upozorenja

• Nikada nemojte zbrajati ili oduzimati korijene različitim radikalima.
• Nikad, na primjer, nemojte dodavati ili oduzimati cijele brojeve i korijene 3 + (2x) 1/2 .
  • Napomena: "x" na jednu sekundu stepena i kvadratni korijen "x" jednaki su (tj. X 1/2 \u003d √x).