Između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe, pored korijenskih formula, postoje i drugi korisni odnosi koji se postavljaju vietin teorem... U ovom ćemo članku dati formulaciju i dokaz Vieta-inog teorema za kvadratna jednadžba... Dalje, razmotrimo teorem suprotan Vietinom teoremu. Nakon toga ćemo analizirati rješenja za najtipičnije primjere. Na kraju zapisujemo Vieta formule koje definiraju vezu između stvarnih korijena algebarska jednadžba stupanj n i njegovi koeficijenti.

Navigacija po stranici.

Vieta-in teorem, formulacija, dokaz

Iz formula za korijene kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c \u003d 0 oblika, gdje je D \u003d b 2 −4 a c, proizlazi da je x 1 + x 2 \u003d −b / a, x 1 x 2 \u003d c / a. Ti su rezultati odobreni vietin teorem:

Teorema.

Ako je a x 1 i x 2 su korijeni kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c \u003d 0, tada je zbroj korijena jednak omjeru koeficijenata b i a preuzet iz suprotni znak, a umnožak korijena jednak je omjeru koeficijenata c i a, tj.

Dokaz.

Izvodimo Vieta-in teorem prema slijedećoj shemi: sastavljamo zbroj i umnožak korijena kvadratne jednadžbe koristeći dobro poznate korijenske formule, zatim transformiramo rezultirajuće izraze i pazimo da budu jednaki / a odnosno c / a.

Krenimo od zbroja korijena, sastavi ga. Sada dovodimo razlomke na zajednički nazivnik, imamo. U brojniku dobivenog razlomka tada :. Napokon, nakon 2, stižemo. To dokazuje prvu relaciju Vieta-inog teorema za zbroj korijena kvadratne jednadžbe. Krenimo na drugu.

Sastavljamo umnožak korijena kvadratne jednadžbe :. Prema pravilu množenja razlomaka, posljednji komad može se zapisati kao. Sada množimo zagrade s zagradama u brojniku, ali brže je sažeti ovaj proizvod za formula razlike kvadrata, Dakle. Zatim, prisjećajući se, izvodimo sljedeći prijelaz. A budući da diskriminant kvadratne jednadžbe odgovara formuli D \u003d b 2 −4 · a · c, tada u posljednjem razlomku umjesto D možemo zamijeniti b 2 −4 · a · c, dobivamo. Nakon proširenja zagrada i lijevanja slični pojmovi dolazimo do razlomka, a njegovo smanjenje za 4 · a daje. To dokazuje drugu vezu Vieta-inog teorema za umnožak korijena.

Ako izostavimo objašnjenja, tada dokaz Vieta-ovog teorema poprima lakonski oblik:
,
.

Ostaje samo napomenuti da kada je diskriminant jednak nuli, kvadratna jednadžba ima jedan korijen. Međutim, ako pretpostavimo da jednadžba u ovom slučaju ima dva identična korijena, tada vrijede i jednakosti iz Vieta-inog teorema. Doista, za D \u003d 0 korijen kvadratne jednadžbe jednak je, tada i, a budući da je D \u003d 0, to jest b 2 −4 · a · c \u003d 0, odakle je b 2 \u003d 4 · a · c, onda.

U praksi se Vieta-in teorem najčešće koristi u odnosu na smanjenu kvadratnu jednadžbu (s vodećim koeficijentom jednakim 1) oblika x 2 + p x + q \u003d 0. Ponekad se formulira za kvadratne jednadžbe upravo ovog tipa, što ne ograničava općenitost, jer bilo koja kvadratna jednadžba može se zamijeniti ekvivalentnom jednadžbom dijeljenjem oba dijela dijelom nula broja a. Evo odgovarajuće formulacije Vieta-inog teorema:

Teorema.

Zbroj korijena svedene kvadratne jednadžbe x 2 + px + q \u003d 0 jednak je koeficijentu pri x uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena je slobodni pojam, odnosno x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q.

Suprotno Vieta-inom teoremu

Druga formulacija Vieta-ovog teorema, dana u prethodnom pododjeljku, pokazuje da ako su x 1 i x 2 korijeni svedene kvadratne jednadžbe x 2 + px + q \u003d 0, tada je x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q. S druge strane, iz zapisanih relacija x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q proizlazi da su x 1 i x 2 korijeni kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q \u003d 0. Drugim riječima, suprotna je Vieta-inom teoremu. Oblikujmo ga u obliku teorema i dokažimo.

Teorema.

Ako su brojevi x 1 i x 2 takvi da je x 1 + x 2 \u003d −p i x 1 x 2 \u003d q, tada su x 1 i x 2 korijeni svedene kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q \u003d 0.

Dokaz.

Nakon zamjene koeficijenata p i q u jednadžbi x 2 + p x + q \u003d 0, njihovih izraza u terminima x 1 i x 2, pretvara se u ekvivalentnu jednadžbu.

Zamijenimo u dobivenoj jednadžbi umjesto x broj x 1, imamo jednakost x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 \u003d 0, što je za bilo koje x 1 i x 2 prava numerička jednakost 0 \u003d 0, budući da x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 \u003d x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 \u003d 0... Prema tome, x 1 je korijen jednadžbe x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, što znači da je x 1 korijen ekvivalentne jednadžbe x 2 + p x + q \u003d 0.

Ako jednadžba x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 zamijenimo za x broj x 2, tada dobivamo jednakost x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 \u003d 0... Ovo je valjana jednakost, budući da x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 \u003d x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 + x 1 x 2 \u003d 0... Stoga je x 2 također korijen jednadžbe x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, a time i jednadžbe x 2 + p x + q \u003d 0.

Ovo dovršava dokaz teorema. obratni teorem Vieta.

Primjeri uporabe Vieta-ovog teorema

Vrijeme je da razgovaramo o praktičnoj primjeni Vieta-ovog teorema i njegovog obratnog teorema. U ovom ćemo odjeljku analizirati rješenja nekoliko najtipičnijih primjera.

Započinjemo primjenom teorema koji je suprotan Vietinom teoremu. Pogodno je koristiti za provjeru jesu li navedena dva broja korijeni zadane kvadratne jednadžbe. U tom se slučaju izračunava njihov zbroj i razlika, nakon čega se provjerava valjanost omjera. Ako su oba ova odnosa zadovoljena, na temelju teorema obrnutog od Vieta-inog teorema, zaključuje se da su ti brojevi korijeni jednadžbe. Ako barem jedan od odnosa nije zadovoljen, tada ti brojevi nisu korijeni kvadratne jednadžbe. Ovaj se pristup može koristiti pri rješavanju kvadratnih jednadžbi za provjeru pronađenih korijena.

Primjer.

Koji je od parova brojeva 1) x 1 \u003d −5, x 2 \u003d 3 ili 2) ili 3) par korijena kvadratne jednadžbe 4 x 2 −16 x + 9 \u003d 0?

Odluka.

Koeficijenti dane kvadratne jednadžbe 4 x 2 −16 x + 9 \u003d 0 su a \u003d 4, b \u003d −16, c \u003d 9. Prema Vieta-inom teoremu, zbroj korijena kvadratne jednadžbe trebao bi biti jednak −b / a, odnosno 16/4 \u003d 4, a umnožak korijena treba biti jednak c / a, odnosno 9 / 4.

Sada izračunajmo zbroj i umnožak brojeva u svakom od tri dana para i usporedimo ih s upravo dobivenim vrijednostima.

U prvom slučaju imamo x 1 + x 2 \u003d −5 + 3 \u003d −2. Dobivena vrijednost razlikuje se od 4, pa se daljnja provjera ne može provesti, a prema teoremu obrnutom od Vieta-inog teorema, odmah se zaključi da prvi par brojeva nije par korijena zadane kvadratne jednadžbe.

Prijeđimo na drugi slučaj. Evo, odnosno ispunjen je prvi uvjet. Provjeravamo drugi uvjet :, rezultirajuća vrijednost razlikuje se od 9/4. Prema tome, drugi par brojeva nije par korijena kvadratne jednadžbe.

Ostaje posljednji slučaj. Ovdje i. Oba su uvjeta zadovoljena, pa su ti brojevi x 1 i x 2 korijeni zadane kvadratne jednadžbe.

Odgovor:

Teorem, suprotan Vieta-inom teoremu, u praksi se može koristiti za odabir korijena kvadratne jednadžbe. Obično se odabiru čitavi korijeni reduciranih kvadratnih jednadžbi s cijelim koeficijentima, jer je u drugim slučajevima to prilično teško učiniti. U ovom slučaju koriste činjenicu da ako je zbroj dva broja jednak drugom koeficijentu kvadratne jednadžbe, uzetom sa znakom minus, a umnožak tih brojeva jednak slobodnom članu, tada su ti brojevi korijeni ove kvadratne jednadžbe. Pogledajmo ovo na primjeru.

Uzmimo kvadratnu jednadžbu x 2 −5 x + 6 \u003d 0. Da bi brojevi x 1 i x 2 bili korijeni ove jednadžbe, moraju vrijediti dvije jednakosti x 1 + x 2 \u003d 5 i x 1 x 2 \u003d 6. Ostaje pronaći takve brojeve. U ovom je slučaju to vrlo jednostavno učiniti: takvi su brojevi 2 i 3, budući da je 2 + 3 \u003d 5 i 2 · 3 \u003d 6. Dakle, 2 i 3 su korijeni ove kvadratne jednadžbe.

Teorem suprotan Vietinom teoremu posebno je prikladan za pronalaženje drugog korijena reducirane kvadratne jednadžbe kad je jedan od korijena već poznat ili očit. U ovom se slučaju drugi korijen nalazi iz bilo kojeg odnosa.

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednadžbu 512 x 2 −509 x - 3 \u003d 0. Ovdje je lako vidjeti da je jedan korijen jednadžbe, jer je zbroj koeficijenata ove kvadratne jednadžbe jednak nuli. Dakle, x 1 \u003d 1. Drugi korijen x 2 može se naći, na primjer, iz relacije x 1 x 2 \u003d c / a. Imamo 1 x 2 \u003d −3 / 512, odakle je x 2 \u003d −3 / 512. Tako smo odredili oba korijena kvadratne jednadžbe: 1 i −3/512.

Jasno je da je odabir korijena poželjan samo u najjednostavnijim slučajevima. U drugim slučajevima, da biste pronašli korijene, možete primijeniti formule za korijene kvadratne jednadžbe putem diskriminante.

Još praktična upotreba teorem, suprotan Vietinom teoremu, sastoji se u sastavljanju kvadratnih jednadžbi za zadane korijene x 1 i x 2. Da biste to učinili, dovoljno je izračunati zbroj korijena koji daje koeficijent pri x s suprotnim predznakom svedene kvadratne jednadžbe i umnožak korijena koji daje slobodni pojam.

Primjer.

Napiši kvadratnu jednadžbu s brojevima −11 i 23 kao korijenima.

Odluka.

Postavljamo x 1 \u003d −11 i x 2 \u003d 23. Procijenite zbroj i umnožak ovih brojeva: x 1 + x 2 \u003d 12 i x 1 x 2 \u003d −253. Stoga su ti brojevi korijeni svedene kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom -12 i presjekom -253. Odnosno, x 2 −12 · x - 253 \u003d 0 je željena jednadžba.

Odgovor:

x 2 −12 x - 253 \u003d 0.

Vieta se teorem vrlo često koristi za rješavanje problema povezanih sa znakovima korijena kvadratnih jednadžbi. Kako je Vietin teorem povezan sa znakovima korijena svedene kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q \u003d 0? Evo dvije relevantne izjave:

• Ako je slobodni pojam q - pozitivan broj a ako kvadratna jednadžba ima stvarne korijene, tada su obje pozitivne ili su negativne.
• Ako je slobodni pojam q negativan broj i ako kvadratna jednadžba ima stvarne korijene, tada su njihovi znakovi različiti, drugim riječima, jedan je korijen pozitivan, a drugi negativan.

Te izjave proizlaze iz formule x 1 x 2 \u003d q, kao i pravila množenja pozitivnih, negativni brojevi i brojevi s različitim predznacima. Razmotrimo primjere njihove primjene.

Primjer.

R pozitivno je. Koristeći diskriminacijsku formulu pronalazimo D \u003d (r + 2) 2 −4 1 (r - 1) \u003d r 2 + 4 r + 4−4 r + 4 \u003d r 2 +8, vrijednost izraza r 2 + 8 je pozitivan za bilo koji stvarni r, dakle D\u003e 0 za bilo koji stvarni r. Stoga izvorna kvadratna jednadžba ima dva korijena za bilo koje stvarne vrijednosti parametra r.

Ajmo sada otkriti kada imaju korijeni različiti znakovi... Ako su znakovi korijena različiti, tada je njihov umnožak negativan, a prema Vietinom teoremu umnožak korijena svedene kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom članu. Stoga nas zanimaju one vrijednosti r za koje je slobodni pojam r - 1 negativan. Dakle, da bismo pronašli vrijednosti r koje nas zanimaju, trebamo riješiti linearna nejednakost r - 1<0 , откуда находим r<1 .

Odgovor:

na r<1 .

Vieta formule

Iznad smo razgovarali o Vieta-inom teoremu za kvadratnu jednadžbu i analizirali odnose koji se njime tvrde. Ali postoje formule koje povezuju stvarne korijene i koeficijente ne samo kvadratnih jednadžbi, već i kubnih jednadžbi, četverostrukih jednadžbi, i općenito, algebarske jednadžbe stupanj n. Zovu se vieta formule.

Napišimo Vietine formule za algebarsku jednadžbu stupnja n oblika, u ovom ćemo slučaju pretpostaviti da ima n stvarnih korijena x 1, x 2, ..., x n (među njima mogu biti i podudarni):

Nabavite Vieta-ine formule koje omogućavaju teorem o razlaganju polinoma na linearne faktore, kao i definicija jednakih polinoma kroz jednakost svih njihovih odgovarajućih koeficijenata. Dakle, polinom i njegovo faktoriziranje na linearne čimbenike oblika su jednaki. Proširivanjem zagrada u posljednjem proizvodu i izjednačavanjem odgovarajućih koeficijenata dobivamo Vieta-ine formule.

Konkretno, za n \u003d 2, imamo već poznate Viete-ove formule za kvadratnu jednadžbu.

Za kubičnu jednadžbu Vieta-ine formule su

Ostaje samo napomenuti da su na lijevoj strani Vieta-ovih formula takozvani osnovni simetrični polinomi.

Popis referenci.

• Algebra: studija. za 8 cl. opće obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : bolesno. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Algebra. 8. razred. U 14 sati Dio 1. Udžbenik za studente obrazovnih institucija / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, Izbrisano. - M.: Mnemosina, 2009. - 215 str.: Ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opće obrazovanje. institucije: osnovne i profilne. razine / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; izd. A. B. Žižčenko. - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.- 368 str. : bolesno. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Određivanje zbroja korijena jednadžbe jedan je od potrebnih koraka u rješavanju kvadratnih jednadžbi (jednadžbe oblika ax² + bx + c \u003d 0, gdje su eksponenti a, b i c proizvoljni brojevi, a a? 0) s potpora Vieta-inom teoremu.

Upute

1. Napiši kvadratnu jednadžbu kao ax² + bx + c \u003d 0 Primjer: Početna jednadžba: 12 + x² \u003d 8x Ispravno napisana jednadžba: x² - 8x + 12 \u003d 0

2. Primijenite Vieta-in teorem prema kojem će zbroj korijena jednadžbe biti jednak broju "b", uzetom sa suprotnim predznakom, a njihov će proizvod biti jednak broju "c". Primjer: U razmatranoj jednadžbi b \u003d -8, c \u003d 12, odnosno: x1 + x2 \u003d 8 × 1 ∗ x2 \u003d 12

3. Otkrijte jesu li korijeni jednadžbi točni ili negativni. Ako su i proizvod i zbroj korijena pozitivni brojevi, svi su korijeni točan broj. Ako je umnožak korijena točan, a zbroj korijena negativan broj, tada su oba korijena negativna. Ako je umnožak korijena negativan, tada korijeni jednog korijena imaju znak "+", a drugi znak "-". U ovom slučaju trebate upotrijebiti dodatno pravilo: "Ako je zbroj korijena pozitivan broja, korijen najvećeg modula također je pozitivan, a ako je zbroj korijena negativan broj - korijen najvećeg modula - negativan. “Primjer: U razmatranoj jednadžbi i zbroj i umnožak točni su brojevi : 8 i 12, tako da su oba korijena pozitivni brojevi.

4. Dobiveni sustav jednadžbi riješite odabirom korijena. Bilo bi prikladnije započeti odabir s faktorima, a zatim, za provjeru, zamijeniti bilo koji par čimbenika u drugoj jednadžbi i provjeriti odgovara li zbroj tih korijena rješenju. Primjer: x1 ∗ x2 \u003d 12 Prikladni parovi korijena su 12 i 1, 6 i 2, 4 i 3. Provjerite rezultirajuće parove koji podržavaju jednadžbu x1 + x2 \u003d 8. Parovi 12 + 1 ≠ 86 + 2 \u003d 84 + 3 ≠ 8 Sukladno tome, korijeni jednadžbe su brojevi 6 i 8.

Jednadžba je jednakost oblika f (x, y, ...) \u003d g (x, y, ..), gdje su f i g funkcije jedne ili više varijabli. Pronaći korijen jednadžbe znači pronaći skup argumenata za koje vrijedi ova jednakost.

Trebat će vam

• Poznavanje matematičkog pregleda.

Upute

1. Možda imate jednadžbu poput: x + 2 \u003d x / 5. Za početak prenosimo sve komponente ove jednakosti s desne na lijevu stranu, a istovremeno mijenjamo predznak komponente u suprotnu. Nula ostaje na desnoj strani ove jednadžbe, odnosno dobivamo sljedeće: x + 2-x / 5 \u003d 0.

2. Dajmo slične pojmove. Dobivamo sljedeće: 4x / 5 + 2 \u003d 0.

3. Nadalje, iz dobivene svedene jednadžbe pronalazimo nepoznati pojam, u ovom slučaju to je x. Rezultirajuća vrijednost nepoznate varijable bit će rješenje početne jednadžbe. U ovom slučaju dobivamo sljedeće: x \u003d -2,5.

Videi sa sličnim sadržajem

Bilješka!
Kao rezultat odluke mogu nastati nepotrebni korijeni. Oni neće biti rješenje početne jednadžbe, čak i ako ste sve pozitivno riješili. Obavezno provjerite sva primljena rješenja.

Koristan savjet
Uvijek provjerite dobivene vrijednosti neznanca. To se može primitivno zamijeniti rezultirajućom vrijednošću u početnu jednadžbu. Ako je jednakost točna, onda je i rješenje točno.

Vietin teorem uspostavlja izravnu vezu između korijena (x1 i x2) i eksponenata (b i c, d) jednadžbe poput bx2 + cx + d \u003d 0. Uz pomoć ovog teorema dopušteno je, bez određivanja vrijednosti korijena, izračunati njihov zbroj, drsko, u umu. U ovome nema ništa teško, glavno je znati neka pravila.

Trebat će vam

• - kalkulator;
• - papir za bilješke.

Upute

1. Dovedite kvadratnu jednadžbu koja se proučava u standardni oblik, tako da svi eksponenti idu silaznim redoslijedom, odnosno na početku je najviši stupanj x2, a na kraju nulti stupanj x0. Jednadžba će dobiti oblik: b * x2 + c * x1 + d * x0 \u003d b * x2 + c * x + d \u003d 0.

2. Provjerite nenegativnost diskriminanta. Ova je provjera potrebna kako bi se osiguralo da jednadžba ima korijene. D (diskriminantan) ima oblik: D \u003d c2 - 4 * b * d. Ovdje postoji nekoliko mogućnosti. D - diskriminantno - točno, što znači da jednadžba ima dva korijena. D - jednako je nuli, slijedi da postoji korijen, ali je dvojaki, odnosno x1 \u003d x2. D - negativno, za tečaj školske algebre ovo stanje znači da nema korijena, za višu matematiku postoje korijeni, ali su složeni.

3. Nađi zbroj korijena jednadžbe. Koristeći Vieta-in teorem lako je to učiniti: b * x2 + c * x + d \u003d 0. Zbroj korijena jednadžbe izravno je proporcionalan "–c" i obrnuto proporcionalan pokazatelju "b". Naime, x1 + x2 \u003d -c / b. Odredite umnožak korijena formulacijom - umnožak korijena jednadžbe izravno je proporcionalan "d" i obrnuto proporcionalan pokazatelju "b": x1 * x2 \u003d d / b.

Bilješka!
Ako primite negativan diskriminant, to ne znači da nema korijena. To znači da su korijeni jednadžbe takozvani složeni korijeni. Vieta je teorem primjenjiv u ovom slučaju, ali njegov će oblik biti malo promijenjen: [-c + (- i) * (- c2 + 4 * b * d) 0,5] / \u003d x1,2

Koristan savjet
Ako se ne suočite s kvadratnom jednadžbom, već s kubnom ili jednadžbom stupnja n: b0 * xn + b1 * xn-1 +… .. + bn \u003d 0, tada izračunajte zbroj ili umnožak korijena jednadžbi, također možete ispravno upotrijebiti Vietin teorem: jedan. –B1 / b0 \u003d x1 + x2 + x3 +…. + Xn, 2. b2 / b0 \u003d x1 * x2 +…. + xn-1 * xn, 3. (-1) n * (bn / b0) \u003d x1 * x2 * x3 *…. * Xn.

Ako se nakon zamjene broja u jednadžbu dobije točna jednakost, takav se broj naziva korijenom. Korijeni mogu biti ispravni, negativni ili ništavni. Među svakim skupom korijena jednadžbe razlikuju se maksimum i minimum.

Upute

1. Pronađite sve korijene jednadžbe, među njima odaberite negativnu, ako postoji. Recimo, s obzirom na kvadratnu jednadžbu 2x? -3x + 1 \u003d 0. Primijenite formulu za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe: x (1,2) \u003d / 2 \u003d / 2 \u003d / 2, zatim x1 \u003d 2, x2 \u003d 1. Lako je primijetiti da među njima nema negativnih.

2. Također je moguće pronaći korijene kvadratne jednadžbe koristeći Vieta-in teorem. Prema ovom teoremu, x1 + x1 \u003d -b, x1? X2 \u003d c, gdje su b i c eksponenti jednadžbe x? + Bx + c \u003d 0. Primjenjujući ovaj teorem, dopušteno je ne izračunati diskriminanti bα -4ac, što u nekim slučajevima može značajno pojednostaviti problem.

3. Ako je u kvadratnoj jednadžbi eksponent na x paran, dopušteno je koristiti ne osnovnu, već skraćenu formulu za pronalaženje korijena. Ako osnovna formula izgleda kao x (1,2) \u003d [- b ±? (B? -4ac)] / 2a, tada se u skraćenom obliku zapisuje na sljedeći način: x (1,2) \u003d [- b / 2 ±? (B? / 4-ac)] / a. Ako u kvadratnoj jednadžbi nema presjeka, prilično je lako pomaknuti x izvan zagrada. A ponekad se lijeva strana presavije u potpuni kvadrat: x? + 2x + 1 \u003d (x + 1)?.

4. Postoje vrste jednadžbi koje daju ne samo jedan broj, već i puno rješenja. Recimo trigonometrijske jednadžbe. Dakle, rezultat jednadžbe 2sin? (2x) + 5sin (2x) -3 \u003d 0 bit će x \u003d? / 4+? K, gdje je k cijeli broj. Odnosno, prilikom zamjene bilo koje cjelobrojne vrijednosti parametra k, argument x udovoljit će zadanoj jednadžbi.

5. U trigonometrijskim problemima možda ćete morati pronaći sve negativne korijene ili najviši negativni korijen. U rješavanju takvih problema koriste se logička zaključivanja ili metoda matematičke indukcije. Uključite neke cjelobrojne vrijednosti za k u x \u003d? / 4+? K i promatrajte kako se argument ponaša. Usput, najveći negativni korijen u prethodnoj jednadžbi bit će x \u003d -3? / 4 pri k \u003d 1.

Videi sa sličnim sadržajem

Bilješka!
U ovom primjeru razmatrana je varijanta kvadratne jednadžbe u kojoj je a \u003d 1. Da biste riješili punu kvadratnu jednadžbu istom metodom, gdje je a & ne 1, morate sastaviti pomoćnu jednadžbu, dovodeći "a" do jedinstva.

Koristan savjet
Koristite ovu metodu rješavanja jednadžbi kako biste brzo pronašli korijene. Također će vam pomoći ako trebate riješiti jednadžbu u glavi bez pribjegavanja bilješkama.

Zbroj korijena zadane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu.

(Sjetimo se da je gornja kvadratna jednadžba jednadžba u kojoj je prvi koeficijent 1).

Obrazloženje:

Neka je kvadratna jednadžba sjekira 2 +bx +c \u003d 0 ima korijene x 1 i x 2. Zatim Vietinim teoremom:

Primjer 1:

Gornja jednadžba x 2 - 7x + 10 \u003d 0 ima korijene 2 i 5.

Zbroj korijena je 7, a proizvod 10.

A u našoj je jednadžbi drugi koeficijent -7, a presjek 10.

Dakle, zbroj korijena jednak je drugom koeficijentu sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu.

Često postoje kvadratne jednadžbe koje se lako mogu izračunati pomoću Vieta-inog teorema - štoviše, uz njegovu pomoć lakše ih je izračunati. To je lako provjeriti u prethodnom i u sljedećem primjeru.

Primjer 2. Riješi kvadratnu jednadžbu x 2 – 2x – 24 = 0.

Odluka.

Primjenjujemo Vietin teorem i zapisujemo dva identiteta:

x jedan · x 2 = –24

x 1 + x 2 = 2

Takve čimbenike odabiremo za –24 tako da je njihov zbroj jednak 2. Nakon promišljanja nalazimo: 6 i –4. Provjerimo:

6 · (- 4) \u003d –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Kao što ste primijetili, u praksi je bit Vieta-ovog teorema u tome da se slobodni pojam u datoj kvadratnoj jednadžbi razgradi na čimbenike tako da je zbroj jednak drugom koeficijentu s suprotnim predznakom. Ti će čimbenici biti korijeni.

To znači da su korijeni naše kvadratne jednadžbe 6 i –4.

Odgovor: x 1 = 6, x 2 = –4.

Primjer 3. Riješi kvadratnu jednadžbu 3x 2 + 2x - 5 \u003d 0.

Ovdje se ne bavimo danom kvadratnom jednadžbom. Ali takve se jednadžbe mogu riješiti i Vietinim teoremom ako su njihovi koeficijenti uravnoteženi - na primjer, ako je zbroj prvog i trećeg koeficijenta jednak drugom s suprotnim predznakom.

Odluka.

Koeficijenti jednadžbe uravnoteženi su: zbroj prvog i trećeg člana jednak je drugom sa suprotnim predznakom:

3 + (–5) = –2.

Prema Vieta-inom teoremu

x 1 + x 2 \u003d –2/3
x 1 x 2 \u003d –5/3.

Moramo pronaći dva broja, čiji je zbroj –2/3, a umnožak –5/3. Ti će brojevi biti korijeni jednadžbe.

Odmah se pogađa prvi broj: ovo je 1. Napokon, za x \u003d 1 jednadžba se pretvara u najjednostavnije zbrajanje-oduzimanje:
3 + 2 - 5 \u003d 0. Kako pronaći drugi korijen?
Predstavimo 1 kao 3/3 tako da svi brojevi imaju isti nazivnik: na ovaj je način lakše. I daljnja akcija odmah se sugerira. Ako je x 1 \u003d 3/3, tada:

3/3 + x 2 \u003d –2/3.

Rješavamo jednostavnu jednadžbu:

x 2 \u003d –2/3 - 3/3.

Odgovor: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d –5/3

Primjer 4: Rješavanje kvadratne jednadžbe 7 x 2 – 6x – 1 = 0.

Odluka:

Odmah se otkriva jedan korijen - upada u oči: x 1 \u003d 1 (jer ispada jednostavna aritmetika: 7 - 6 - 1 \u003d 0).

Koeficijenti jednadžbe uravnoteženi su: zbroj prvog i trećeg jednak je drugom s suprotnim predznakom:
7 + (– 1) = 6.

U skladu s Vietinim teoremom, sastavljamo dva identiteta (iako je u ovom slučaju dovoljan jedan od njih):

x jedan · x 2 = –1/7
x 1 + x 2 = 6/7

Zamijenite vrijednost x 1 u bilo koji od ova dva izraza i pronađite x 2:

x 2 = –1/7: 1 = –1/7

Odgovor: x 1 = 1; x 2 = –1/7

Diskriminant reducirane kvadratne jednadžbe.

Diskriminant svedene kvadratne jednadžbe može se izračunati i po općoj formuli i po pojednostavljenoj formuli:

KadaD \u003d 0 korijena zadane jednadžbe može se izračunati formulom:

Ako je D< 0, то уравнение не имеет корней.

Ako je D \u003d 0, tada jednadžba ima jedan korijen.

Ako je D\u003e 0, tada jednadžba ima dva korijena.