Prva razina

Geometrijska progresija. Sveobuhvatan vodič s primjerima (2019)

Slijed brojeva

Pa sjednimo i počnimo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete napisati bilo koji broj, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju jesu). Bez obzira koliko brojeva napisali, uvijek možemo reći koji je od njih prvi, a koji drugi i tako dalje do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer slijeda brojeva:

Slijed brojeva je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Na primjer, za naš slijed:

Dodijeljeni broj specifičan je samo za jedan redni broj. Drugim riječima, u nizu ne postoje tri druga broja. Drugi broj (poput -tog broja) uvijek je jedan.

Broj s brojem naziva se th-tim članom niza.

Cijelu sekvencu obično nazivamo neko slovo (na primjer,), a svaki član ove sekvence isto je slovo s indeksom jednakim broju ovog člana :.

U našem slučaju:

Najčešći tipovi progresije su aritmetički i geometrijski. U ovoj ćemo temi razgovarati o drugoj vrsti - geometrijska progresija.

Zašto nam je potrebna geometrijska progresija i njezina povijest nastanka.

Još u davna vremena talijanski matematičar Leonardo iz Pise (poznatiji kao Fibonacci) bavio se rješavanjem praktičnih potreba trgovine. Redovnik je bio suočen sa zadatkom da pomoću koje najmanje težine može izvagati robu utvrdi? U svojim spisima Fibonacci dokazuje da je takav sustav pondera optimalan: Ovo je jedna od prvih situacija u kojoj su se ljudi morali suočiti s geometrijskom progresijom, za koju ste vjerojatno već čuli i imali barem opći pojam... Nakon što potpuno razumijete temu, razmislite zašto je takav sustav optimalan?

Trenutno, u životnoj praksi, geometrijska progresija očituje se pri ulaganju novca u banku, kada se iznos kamata naplaćuje na iznos akumuliran na računu za prethodno razdoblje. Drugim riječima, ako novac stavite na oročeni depozit u štedionici, tada će se za godinu dana depozit povećati za više od početnog iznosa, tj. novi iznos bit će jednak pologu pomnoženom s. Za još godinu dana taj će se iznos povećati za, t.j. tada dobiveni iznos pomnožit će se s ponovnim i tako dalje. Slična situacija opisana je u problemima izračunavanja tzv zajednički interes - svaki se postotak uzima iz iznosa na računu, uzimajući u obzir prethodne kamate. O tim zadacima razgovarat ćemo malo kasnije.

Mnogo je jednostavnijih slučajeva kada se koristi geometrijska progresija. Na primjer, širenje gripe: jedna osoba zarazila je osobu, a ona je zarazila drugu osobu, a time je drugi val zaraze osoba, a oni su zarazili drugu ... i tako dalje .. .

Inače, financijska piramida, isti MMM, jednostavan je i suh izračun zasnovan na svojstvima geometrijske progresije. Zanimljiv? Shvatimo to.

Geometrijska progresija.

Recimo da imamo numerički slijed:

Odmah ćete odgovoriti da je lako i naziv takvog niza - aritmetička progresija s razlikom njegovih članova. Što kažeš na ovo:

Ako od sljedećeg broja oduzmete prethodni, vidjet ćete da se svaki put kad se dobije nova razlika (itd.), Ali slijed definitivno postoji i lako ga je primijetiti - svaki sljedeći broj puta je veći od prethodnog !

Ova vrsta brojevnog niza naziva se geometrijska progresija a označena je s.

Geometrijska progresija () je numerički slijed čiji prvi član nije nula, a svaki je pojam, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnožen s istim brojem. Taj se broj naziva nazivnikom geometrijske progresije.

Ograničenja da prvi pojam () nije jednak i nije slučajan. Pretpostavimo da su odsutni, a prvi je član i dalje jednak, a q jednako, hmm .. neka, onda se ispostavlja:

Složite se da ovo više nije progresija.

Kao što razumijete, dobit ćemo iste rezultate ako je to bilo koji broj koji nije nula, i. U tim slučajevima jednostavno neće doći do napredovanja, jer će čitav niz brojeva biti ili sve nule, ili jedan broj, i sve ostale nule.

Sada razgovarajmo detaljnije o nazivniku geometrijske progresije, odnosno Fr.

Ponovimo: je broj, koliko se puta mijenja svaki sljedeći pojam geometrijska progresija.

Što mislite što to može biti? Ispravno, pozitivno i negativno, ali ne i nula (o ovome smo razgovarali malo iznad).

Recimo da imamo pozitivno. Neka i u našem slučaju. Koji je drugi mandat i? Na to lako možete odgovoriti:

Sve je točno. Sukladno tome, ako, tada svi sljedeći članovi progresije imaju isti znak - oni pozitivan.

Što ako negativno? Na primjer, a. Koji je drugi mandat i?

Ovo je sasvim druga priča

Pokušajte računati pojam ovog napredovanja. Koliko ste dobili? Imam. Dakle, ako, tada se znakovi članova geometrijske progresije izmjenjuju. Odnosno, ako na svojim članovima vidite progresiju s izmjeničnim znakovima, tada je njezin nazivnik negativan. Ovo znanje može vam pomoći da se testirate pri rješavanju problema na ovu temu.

Sada ćemo malo vježbati: pokušajte utvrditi koji su brojevni nizovi geometrijska progresija, a koji aritmetički:

Razumijete? Usporedimo naše odgovore:

• Geometrijska progresija - 3, 6.
• Aritmetička progresija - 2, 4.
• To nije ni aritmetička ni geometrijska progresija - 1, 5, 7.

Vratimo se našem posljednjem napredovanju i pokušajmo pronaći njegov pojam na isti način kao u aritmetici. Kao što pretpostavljate, postoje dva načina da ga pronađete.

Sekvencijalno množimo svaki pojam sa.

Dakle, th član opisane geometrijske progresije je jednak.

Kao što pretpostavljate, sada ćete sami izvesti formulu koja će vam pomoći da pronađete bilo kojeg člana geometrijske progresije. Ili ste to već sami iznijeli opisujući kako korak po korak pronaći tog člana? Ako je to slučaj, provjerite ispravnost svojih obrazloženja.

Ilustrirajmo to na primjeru pronalaženja tog člana dane progresije:

Drugim riječima:

Pronađite sebi vrijednost člana dane geometrijske progresije.

Dogodilo se? Usporedimo naše odgovore:

Imajte na umu da dobivate točno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo uzastopno množili sa svakim prethodnim članom geometrijske progresije.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - dovest ćemo je u opći oblik i dobiti:

Izvedena formula točna je za sve vrijednosti, i pozitivne i negativne. Provjerite sami izračunavanjem članova geometrijske progresije uz sljedeće uvjete :, a.

Jeste li brojali? Usporedimo dobivene rezultate:

Složite se da bi bilo moguće pronaći člana progresije na isti način kao i člana, međutim, postoji mogućnost pogrešnih izračuna. A ako smo već pronašli taj pojam geometrijske progresije, što bi moglo biti lakše nego koristiti "odsječeni" dio formule.

Beskrajno opadajuća geometrijska progresija.

Nedavno smo razgovarali o činjenici da ih može biti i više i manje od nule, međutim, postoje posebna značenja za koja se naziva geometrijska progresija beskrajno opadajući.

Zašto mislite da je ovo ime?
Prvo, zapišimo neku geometrijsku progresiju koja se sastoji od članova.
Pretpostavimo, a, a zatim:

Vidimo da je svaki sljedeći pojam za jedan faktor manji od prethodnog, ali hoće li postojati bilo koji broj? Odmah ćete odgovoriti - ne. Zato se beskrajno smanjuje - smanjuje, smanjuje i nikad ne postaje nula.

Da bismo jasno razumjeli kako vizualno izgleda, pokušajmo nacrtati grafikon našeg napredovanja. Dakle, za naš slučaj formula ima sljedeći oblik:

Uobičajeno je da gradimo ovisnost o kartama, stoga:

Suština izraza nije se promijenila: u prvom unosu pokazali smo ovisnost vrijednosti člana geometrijske progresije o njegovom rednom broju, a u drugom smo jednostavno uzeli vrijednost pojma geometrijskog napredovanja kao i redni broj nije bio označen kako, već kako. Sve što treba učiniti je izgraditi graf.
Da vidimo što ćete dobiti. Evo grafa koji sam dobio:

Vidjeti? Funkcija se smanjuje, teži nuli, ali je nikada ne prelazi, pa se beskonačno smanjuje. Označimo svoje točke na grafikonu, a istovremeno i koordinate i značenje:

Pokušajte shematski prikazati graf geometrijske progresije na, ako je i njegov prvi član jednak. Analizirajte, koja je razlika s našim prethodnim grafom?

Jeste li se snašli? Evo grafa koji sam dobio:

Sad kad ste u potpunosti razumjeli osnove teme geometrijske progresije: znate što je to, znate kako pronaći njezin pojam i znate što je beskrajno opadajuća geometrijska progresija, prijeđimo na njezino glavno svojstvo.

Svojstvo geometrijske progresije.

Sjećate li se svojstva članova aritmetičke progresije? Da, da, kako pronaći vrijednost određenog broja progresije kada postoje prethodne i sljedeće vrijednosti članova date progresije. Zapamtiti? Ovaj:

Sad se suočavamo s potpuno istim pitanjem za članove geometrijske progresije. Da bismo izveli sličnu formulu, krenimo s crtanjem i razmišljanjem. Vidjet ćete, vrlo je jednostavno, a ako zaboravite, možete to i sami iznijeti.

Uzmimo još jednu jednostavnu geometrijsku progresiju u kojoj znamo i. Kako pronaći? Uz aritmetičku progresiju to je lako i jednostavno, ali što je ovdje? Zapravo, i u geometrijskoj nema ništa komplicirano - samo trebate zabilježiti svaku vrijednost koja nam je dana pomoću formule.

Pitate, što bismo sad s tim? Vrlo je jednostavno. Za početak ćemo prikazati ove formule na slici i pokušati napraviti razne manipulacije s njima kako bismo došli do vrijednosti.

Apstrahiramo se od brojeva koje smo dali, usredotočit ćemo se samo na njihovo izražavanje kroz formulu. Moramo pronaći istaknutu vrijednost narančapoznajući svoje susjede. Pokušajmo s njima razne radnje, kao rezultat kojeg možemo dobiti.

Dodatak.
Pokušajmo dodati dva izraza i, dobivamo:

Iz ovog izraza, kao što vidite, ne možemo izraziti ni na koji način, stoga ćemo pokušati s drugom opcijom - oduzimanjem.

Oduzimanje.

Kao što vidite, iz toga također ne možemo izraziti, pa ćemo pokušati pomnožiti te izraze međusobno.

Množenje.

Sada pažljivo pogledajte što imamo, množeći članove geometrijske progresije koja nam je dana u usporedbi s onim što treba pronaći:

Pogodite o čemu pričam? Točno, da bismo pronašli moramo uzeti korijen od brojeva geometrijske progresije pomnoženih međusobno susjednih željenom broju:

Izvoli. Sami ste zaključili svojstvo geometrijske progresije. Pokušajte ovu formulu napisati na jeziku: opći pogled... Dogodilo se?

Zaboravili ste uvjet za? Razmislite zašto je to važno, na primjer, pokušajte to sami izračunati, ako. Što se događa u ovom slučaju? Točno, potpune gluposti jer formula izgleda ovako:

Sukladno tome, ne zaboravite na ovo ograničenje.

Sad izračunajmo čemu je jednako

Točan odgovor - ! Ako prilikom izračunavanja niste zaboravili drugu moguću vrijednost, tada ste sjajan momak i možete odmah prijeći na trening, a ako ste zaboravili, pročitajte ono o čemu se govori u nastavku i obratite pažnju zašto je potrebno zapisati obje korijeni u odgovoru.

Nacrtajmo obje naše geometrijske progresije - jednu sa značenjem, a drugu sa značenjem i provjerimo imaju li obje pravo na postojanje:

Da bi se provjerilo postoji li takva geometrijska progresija ili ne, potrebno je vidjeti je li ista ista između svih njezinih zadanih članova? Izračunajte q za prvi i drugi slučaj.

Pogledajte zašto moramo napisati dva odgovora? Jer predznak traženog izraza ovisi o tome je li pozitivan ili negativan! A kako ne znamo što je, moramo oba odgovora napisati s plusom i minusom.

Sad kad ste savladali glavne točke i izveli formulu za svojstvo geometrijske progresije, pronađite, saznajte i

Usporedite primljene odgovore s točnim:

Što mislite, što ako bismo dobili ne vrijednosti članova geometrijske progresije uz željeni broj, već jednako udaljene od njega. Na primjer, trebamo pronaći, te su dana i. Možemo li u ovom slučaju koristiti formulu koju smo izveli? Pokušajte potvrditi ili opovrgnuti ovu mogućnost na isti način, ispisujući od čega se sastoji svaka vrijednost, kao što ste to činili prilikom početnog izvođenja formule.
Što si učinio?

Sada opet dobro pogledajte.
i odgovarajuće:

Iz ovoga možemo zaključiti da formula djeluje ne samo sa susjednim sa traženim uvjetima geometrijske progresije, ali i sa jednako udaljeni od traženih članova.

Dakle, naša početna formula ima oblik:

Odnosno, ako smo u prvom slučaju to rekli, sada kažemo da to može biti jednako bilo kojem prirodnom broju koji je manji. Glavno je da je isti za oba zadana broja.

Vježbajte na konkretni primjeri, samo budite izuzetno oprezni!

1. ,. Pronaći.
2. ,. Pronaći.
3. ,. Pronaći.

Odlučio sam? Nadam se da ste bili izuzetno oprezni i primijetili mali ulov.

Usporedimo rezultate.

U prva dva slučaja mirno primjenjujemo gornju formulu i dobivamo sljedeće vrijednosti:

U trećem slučaju, nakon pažljivog razmatranja rednih brojeva brojeva koji su nam dani, razumijemo da oni nisu jednako udaljeni od broja koji tražimo: to je prethodni broj, ali uklonjen u položaju, pa to nije moguće primijeniti formulu.

Kako to riješiti? Zapravo nije tako teško kako zvuči! Zapišimo s vama od čega se sastoji svaki broj koji nam je dan i potreban broj.

Dakle, imamo i. Da vidimo što možete učiniti s njima? Predlažem podijeliti sa. Dobivamo:

Naše podatke zamjenjujemo u formuli:

Sljedeći korak koji možemo pronaći - za to moramo poduzeti kubični korijen od dobivenog broja.

A sada opet gledamo što imamo. Imamo ga, ali ga moramo pronaći, a on je zauzvrat jednak:

Pronašli smo sve potrebne podatke za izračun. Zamjenjujemo u formulu:

Naš odgovor: .

Pokušajte sami riješiti još jedan sličan problem:
Dano :,
Pronaći:

Koliko ste dobili? Imam - .

Kao što vidite, zapravo vam treba sjetite se samo jedne formule -. Sve ostalo možete u bilo kojem trenutku sami povući bez ikakvih poteškoća. Da biste to učinili, samo na papir napišite najjednostavniju geometrijsku progresiju i zapišite koji je, prema gornjoj formuli, svaki njegov broj jednak.

Zbroj članova geometrijske progresije.

Sada razmotrimo formule koje nam omogućuju brzi izračun zbroja članova geometrijske progresije u danom intervalu:

Da bismo izveli formulu za zbroj članova konačne geometrijske progresije, množimo sve dijelove više jednadžbe sa. Dobivamo:

Pažljivo pogledajte: što je zajedničko posljednjim dvjema formulama? Tako je, uobičajeni članovi, na primjer, i tako dalje, osim prvog i zadnjeg člana. Pokušajmo oduzeti 1. od 2. jednadžbe. Što si učinio?

Sada izrazite pojam geometrijske progresije kroz formulu i zamijenite rezultirajući izraz u našoj posljednjoj formuli:

Grupiraj izraz. Trebali biste dobiti:

Preostalo je samo izraziti:

Sukladno tome, u ovom slučaju.

Što ako? Koja formula tada djeluje? Zamislite geometrijsku progresiju na. Kakva je ona? Točno niz identičnih brojeva, formula će izgledati ovako:

Mnogo je legendi i u aritmetičkoj i u geometrijskoj progresiji. Jedna od njih je legenda o Sethu, tvorcu šaha.

Mnogi ljudi znaju da je šahovska igra izumljena u Indiji. Kad ju je hinduistički kralj upoznao, bio je oduševljen njenom duhovitošću i raznolikošću mogućih položaja u njoj. Doznavši da ga je izmislio jedan od njegovih podanika, kralj ga je odlučio osobno nagraditi. Pozvao je izumitelja k sebi i naredio mu da ga pita za sve što želi, obećavši da će ispuniti i najvještiju želju.

Seta je tražio vremena za razmišljanje, a kad se sutradan Seta ukazao kralju, iznenadio je kralja neusporedivom skromnošću njegova zahtjeva. Tražio je da izda zrno pšenice za prvi kvadrat šahovnice, za drugo zrno pšenice, za treće, za četvrto itd.

Kralj se razljutio i otjerao Setha, rekavši da je slugin zahtjev nedostojan kraljevske velikodušnosti, ali obećao je da će sluga dobiti svoja zrna za sve ćelije ploče.

A sada pitanje: pomoću formule za zbroj članova geometrijske progresije izračunajte koliko zrna treba dobiti Seta?

Krenimo s rasuđivanjem. Budući da je prema uvjetu Seta tražio zrno pšenice za prvi kvadrat šahovnice, za drugi, treći, četvrti itd., To vidimo u problemu dolazi o geometrijskoj progresiji. Što je u ovom slučaju jednako?
Ispravno.

Ukupne stanice šahovske ploče. Prema tome,. Imamo sve podatke, preostaje ih samo zamijeniti u formuli i izračunati.

Da bismo predstavili barem približno "ljestvice" određenog broja, transformiramo koristeći svojstva stupnja:

Naravno, ako želite, možete uzeti kalkulator i izračunati s kakvim ćete brojem završiti, a ako ne, morat ćete mi vjerovati na riječ: konačna vrijednost izraza bit će.
Tj .:

kvintilion kvadrilion bilijuna milijardi milijardi tisuća.

Fuh) Ako želite zamisliti ogromnost ovog broja, onda procijenite koliko bi velika staja trebala sadržavati cijelu količinu žita.
S visinom staje m i širinom m njegova bi se duljina trebala protezati na km, t.j. dvostruko dalje od Zemlje do Sunca.

Da je kralj bio jak u matematici, mogao bi predložiti da i sam znanstvenik prebroji zrna, jer da bi izbrojao milijun zrna, trebao bi mu barem jedan dan neumornog prebrojavanja, a s obzirom na to da je potrebno izbrojati kvintilione, zrna bi moraju se računati cijeli život.

Sada ćemo riješiti jednostavan problem za zbroj članova geometrijske progresije.
Vasya, učenik razreda 5 A, ima gripu, ali nastavlja ići u školu. Svakog dana Vasya zarazi dvoje ljudi koji zauzvrat zaraze još dvoje ljudi i tako dalje. U razredu ima ljudi. Koliko će dana cijeli razred oboljeti od gripe?

Dakle, prvi član geometrijske progresije je Vasya, odnosno osoba. Taj član geometrijske progresije, to su dvoje ljudi koje je zarazio prvog dana svog dolaska. ukupan iznos pripadnici progresije jednaki su broju učenika 5A. Sukladno tome, govorimo o progresiji u kojoj:

Zamijenimo svoje podatke u formulu za zbroj članova geometrijske progresije:

Cijeli će se razred razboljeti za nekoliko dana. Ne vjerujete li u formule i brojeve? Pokušajte sami prikazati "zarazu" učenika. Dogodilo se? Pogledajte kako to izgleda za mene:

Sami izračunajte koliko bi dana trebalo učenicima da zaraze gripom ako svaka zarazi neku osobu i ako je u razredu bila neka osoba.

Koju ste vrijednost dobili? Pokazalo se da su svi počeli oboljeti nakon jednog dana.

Kao što vidite, takav zadatak i crtanje do njega nalikuje piramidi, u koju svaki sljedeći "dovodi" nove ljude. Međutim, prije ili kasnije dođe trenutak kada potonji ne mogu nikoga privući. U našem slučaju, ako zamislimo da je razred izoliran, osoba iz zatvorit će lanac (). Dakle, ako je neka osoba bila umiješana u financijsku piramidu u kojoj je dan novac ako dovedete dvoje drugih sudionika, tada je ta osoba (ili opći slučaj) ne bi vodili nikoga, dakle, izgubili bi sve što su uložili u ovu financijsku prijevaru.

Sve što je gore rečeno odnosi se na opadajuću ili rastuću geometrijsku progresiju, ali, kao što se sjećate, imamo posebnu vrstu - beskrajno opadajuću geometrijsku progresiju. Kako izračunati zbroj svojih članova? I zašto ova vrsta progresije ima određene značajke? Riješimo to zajedno.

Dakle, za početak, pogledajmo ponovo ovaj lik beskrajno opadajuće geometrijske progresije iz našeg primjera:

Pogledajmo sada formulu za zbroj geometrijske progresije, izvedene malo ranije:
ili

Čemu težimo? Točno, grafikon pokazuje da teži nuli. Odnosno, kada će biti gotovo jednako, odnosno pri izračunavanju izraza dobivamo gotovo. S tim u vezi, vjerujemo da se pri izračunu zbroja beskonačno opadajuće geometrijske progresije ovaj zagrada može zanemariti, jer će biti jednak.

- formula je zbroj članaka beskonačno opadajuće geometrijske progresije.

VAŽNO! Formulu koristimo za zbroj članaka beskonačno opadajuće geometrijske progresije samo ako uvjet izričito kaže da zbroj moramo pronaći beskrajne broj članova.

Ako je naznačen određeni broj n, tada koristimo formulu za zbroj n pojmova, čak i ako ili.

Sada vježbajmo.

1. Nađi zbroj prvih članaka geometrijske progresije sa i.
2. Nađi zbroj članaka beskonačno opadajuće geometrijske progresije sa i.

Nadam se da ste bili izuzetno pažljivi. Usporedimo naše odgovore:

Sada znate sve o geometrijskoj progresiji i vrijeme je da prijeđete s teorije na praksu. Najčešći problemi s geometrijskom progresijom koji se susreću na ispitu su problemi složenih kamata. O njima ćemo razgovarati.

Zadaci za izračunavanje složenih kamata.

Vjerojatno ste čuli za takozvanu formulu složenih kamata. Razumijete li što ona znači? Ako ne, shvatimo to, jer kad ste realizirali sam postupak, odmah ćete shvatiti, i evo geometrijske progresije.

Svi idemo u banku i znamo da postoje različiti uvjeti na depozite: ovo je pojam, dodatna usluga i postotak s dva različiti putevi njegovo je obračunavanje jednostavno i složeno.

IZ jednostavna kamata sve je manje-više jasno: kamate se naplaćuju jednom na kraju oročenja. Odnosno, ako kažemo da smo stavili 100 rubalja za godinu dana, tada će se to pripisati tek na kraju godine. Sukladno tome, do kraja pologa primit ćemo rublje.

Zajednički interes - ovo je opcija u kojoj kapitalizacija kamata, tj. njihov dodatak iznosu depozita i naknadni izračun prihoda ne od početnog, već od akumuliranog iznosa depozita. Pisanje velikih slova ne događa se stalno, već s određenom učestalošću. Ti su periodi obično jednaki i banke najčešće koriste mjesec, tromjesečje ili godinu.

Recimo da stavljamo sve iste ruble po godišnjoj stopi, ali s mjesečnom kapitalizacijom depozita. Što dobivamo?

Razumijete li sve ovdje? Ako ne, shvatimo to u fazama.

Donijeli smo ruble u banku. Do kraja mjeseca na našem bi se računu trebao pojaviti iznos koji se sastoji od naših rubalja plus kamate na njih, to jest:

Slažem se?

Možemo ga staviti izvan zagrade i tada ćemo dobiti:

Slažete se, ova je formula već sličnija onoj koju smo napisali na početku. Ostaje se pozabaviti kamatama

U izjavi o problemu rečeno nam je o godišnjem. Kao što znate, ne množimo sa - pretvaramo kamate u decimale, tj .:

Pravo? Sad pitate, odakle taj broj? Jako jednostavno!
Ponavljam: izjava o problemu govori o GODIŠNJI obračunate kamate MJESEČNO... Kao što znate, banka će nam za godinu dana, mjesečno, naplaćivati \u200b\u200bdio godišnjih kamata:

Shvatio? Pokušajte sada napisati kako će izgledati ovaj dio formule ako kažem da se kamata izračunava svakodnevno.
Jeste li se snašli? Usporedimo rezultate:

Dobro napravljeno! Vratimo se svom zadatku: zapišite koliko će biti uplaćeno na naš račun za drugi mjesec, uzimajući u obzir da se na akumulirani iznos depozita naplaćuju kamate.
Evo što sam dobio:

Ili, drugim riječima:

Mislim da ste već primijetili uzorak i vidjeli geometrijski napredak u svemu ovome. Zapišite čemu će biti jednak njegov član ili, drugim riječima, koliko ćemo novca dobiti na kraju mjeseca.
Izrađeno? Provjeravam!

Kao što vidite, ako novac stavite u banku na godinu dana s jednostavnim kamatama, tada ćete dobiti ruble, a ako s složenim kamatama - ruble. Korist je mala, ali to se događa samo tijekom te godine, ali tijekom duljeg razdoblja kapitalizacija je puno isplativija:

Razmotrimo drugu vrstu problema sa složenim kamatama. Nakon onoga što ste shvatili, za vas će biti osnovno. Dakle, zadatak:

Tvrtka Zvezda započela je s ulaganjem u tu industriju 2000. godine, imajući kapital u dolarima. Svake godine od 2001. ona ostvaruje dobit koja je iz kapitala prethodne godine. Koliki će profit ostvariti tvrtka Zvezda krajem 2003. godine ako dobit nije povučena iz prometa?

Kapital kompanije "Zvezda" 2000. godine
- kapital kompanije "Zvezda" 2001. godine
- kapital kompanije "Zvezda" 2002.
- kapital kompanije "Zvezda" 2003. god.

Ili možemo ukratko napisati:

Za naš slučaj:

2000., 2001., 2002. i 2003. godine.

Odnosno:
rubalja
Imajte na umu da u ovom problemu nemamo podjelu ni sa ni s, jer se postotak daje GODIŠNJE i izračunava GODIŠNJE. Odnosno, kada čitate problem za složene kamate, obratite pažnju na postotak koji se daje i u kojem se razdoblju naplaćuje, a tek onda prijeđite na izračune.
Sada znate sve o geometrijskoj progresiji.

Vježbati.

1. Pronađite eksponencijalni pojam ako je to poznato i
2. Pronađite zbroj prvih članaka geometrijske progresije, ako je to poznato, i
3. MDM Capital počeo je investirati u industriju 2003. godine, imajući kapital u dolarima. Svake godine od 2004. ona ostvaruje dobit, koja je iz kapitala prethodne godine. Tvrtka "MSK novčani tokovi" počela je ulagati u industriju 2005. godine u iznosu od 10.000 USD, počevši ostvarivati \u200b\u200bdobit u 2006. godini. Koliko je dolara kapitala jedne tvrtke više od druge na kraju 2007. godine, ako dobit nije povučena iz optjecaja?

Odgovori:

1. Budući da izjava problema ne kaže da je napredovanje beskonačno i potrebno je pronaći zbroj određenog broja njegovih članova, proračun se provodi prema formuli
2. 
   MDM kapital:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - povećava se za 100%, odnosno 2 puta.
   Odnosno:
   rubalja
   MSK novčani tokovi:

   2005, 2006, 2007.
   - povećava se, odnosno puta.
   Odnosno:
   rubalja
   rubalja

Rezimirajmo.

1) Geometrijska progresija () je numerički slijed čiji prvi član nije nula, a svaki je pojam, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnožen s istim brojem. Taj se broj naziva nazivnikom geometrijske progresije.

2) Jednadžba članova geometrijske progresije -.

3) može poprimiti bilo koje vrijednosti osim i.

• ako, tada svi sljedeći članovi progresije imaju isti znak - oni pozitivan;
• ako, onda svi sljedeći članovi progresije zamjenski znakovi;
• at - napredovanje se naziva beskonačno opadajućim.

4), jer je svojstvo geometrijske progresije (susjedni pojmovi)

ili
, na (jednako udaljeni pojmovi)

Kada to pronađete, nemojte to zaboraviti trebala bi biti dva odgovora.

Na primjer,

5) Zbroj članova geometrijske progresije izračunava se po formuli:
ili

Ako se napredovanje beskonačno smanjuje, tada:
ili

VAŽNO! Formulu koristimo za zbroj članaka beskonačno opadajuće geometrijske progresije samo ako uvjet izričito kaže da je potrebno pronaći zbroj beskonačnog broja članaka.

6) Problemi sa složenim kamatama također se izračunavaju prema formuli -tog termina geometrijske progresije, pod uvjetom da sredstva nisu povučena iz prometa:

GEOMETRIJSKI NAPREDAK. KRATKO O GLAVNOM

Geometrijska progresija () je numerički slijed čiji prvi član nije nula, a svaki je pojam, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnožen s istim brojem. Ovaj se broj zove nazivnik geometrijske progresije.

Geometrijski nazivnik može poprimiti bilo koju vrijednost osim i.

• Ako, onda svi sljedeći članovi progresije imaju isti znak - pozitivni su;
• ako, tada se svi sljedeći članovi progresije izmjenjuju znakovima;
• at - napredovanje se naziva beskonačno opadajućim.

Jednadžba članova geometrijske progresije - .

Zbroj članova geometrijske progresije izračunato po formuli:
ili

Formula za n-ti pojam geometrijske progresije vrlo je jednostavna. I u značenju i u općenitom izgledu. Ali za formulu n-tog pojma postoje razni problemi - od vrlo primitivnih do sasvim ozbiljnih. I u procesu našeg upoznavanja, definitivno ćemo razmotriti oboje. Pa, upoznajmo se?)

Dakle, za početak formulan

Evo je:

b n = b 1 · q n -1

Formula kao formula, ništa nadnaravno. Izgleda još jednostavnije i kompaktnije od slične formule za. Značenje formule je također jednostavno, poput čizme od filca.

Ova formula omogućuje vam pronalazak BILO KOG člana geometrijske progresije PO NJENOM BROJU " n".

Kao što vidite, značenje je potpuna analogija s aritmetičkom progresijom. Znamo broj n - pod tim brojem možemo izračunati i pojam. Što želimo. Bez množenja uzastopno s "q" puno, puno puta. To je cijela poanta.)

Razumijem da bi vam na ovoj razini rada s progresijama sve vrijednosti uključene u formulu već trebale biti jasne, ali smatram svojom dužnošću dešifrirati svaku od njih. Za svaki slučaj.

Pa, idemo:

b 1 – prvi pripadnik geometrijske progresije;

q – ;

n - broj člana;

b n – nth (nth) pripadnik geometrijske progresije.

Ova formula povezuje četiri glavna parametra bilo koje geometrijske progresije - b n, b 1 , q i n... A oko ove četiri ključne brojke vrte se svi problemi u napredovanju.

"Kako se prikazuje?" - Čujem znatiželjno pitanje ... Osnovno! Izgled!

Čemu je jednako drugi član progresije? Nema problema! Izravno pišemo:

b 2 \u003d b 1 q

A treći mandat? Ni problem! Množimo drugi pojam još jednomq.

Kao ovo:

B 3 \u003d b 2 q

Prisjetimo se sada da je drugi član zauzvrat jednak b 1 q i taj izraz zamjenjujemo svojom jednakošću:

B 3 \u003d b 2 q \u003d (b 1 q) q \u003d b 1 q q \u003d b 1 q 2

Dobivamo:

B 3 \u003d b 1 q 2

Pročitajmo sada naš unos na ruskom: treći Izraz je jednak prvom članu puta q u drugi stupanj. Shvaćate li? Ne još? Dobro, još jedan korak.

Koji je četvrti mandat? Sve isto! Pomnožiti prethodni (tj. treći pojam) od q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Ukupno:

B 4 \u003d b 1 q 3

I opet prevodimo na ruski: četvrti Izraz je jednak prvom članu puta q u treći stupanj.

Itd. Pa kako? Jeste li uhvatili obrazac? Da! Za bilo koji pojam s bilo kojim brojem, uvijek će biti broj identičnih čimbenika q (tj. Stupanj nazivnika) jedan manje od broja traženog pojman.

Stoga će naša formula biti bez mogućnosti:

b n \u003db 1 · q n -1

To je sve.)

Pa, riješimo probleme, vjerojatno?)

Rješavanje problema s formulomnth član geometrijske progresije.

Počnimo, kao i obično, izravnom primjenom formule. Evo tipičnog problema:

Eksponencijalno je poznato da b 1 \u003d 512 i q \u003d -1/2. Pronađite deseti pojam u progresiji.

Naravno, ovaj se problem može riješiti bez ikakvih formula. Izravno u značenju geometrijske progresije. Ali moramo se zagrijati s formulom n-tog pojma, zar ne? Pa se zagrijavamo.

Naši podaci za primjenu formule su sljedeći.

Poznat je prvi pojam. 512 je.

b 1 = 512.

Također je poznat nazivnik napredovanja: q = -1/2.

Ostaje samo odgonetnuti koliki je broj člana n. Nema problema! Zanima li nas deseti mandat? Dakle, zamjenjujemo deset umjesto n u općoj formuli.

A mi točno računamo aritmetiku:

Odgovor: -1

Kao što vidite, deseti rok napredovanja pokazao se negativnim. Nije ni čudo: nazivnik napredovanja je -1/2, tj. negativan broj. I to nam govori da se znakovi našeg napredovanja izmjenjuju, da.)

Ovdje je sve jednostavno. I ovdje je sličan zadatak, ali malo složeniji u smislu izračuna.

Eksponencijalno je poznato da:

b 1 = 3

Pronađite trinaesti pojam u progresiji.

Sve je isto, samo što je ovaj put nazivnik napredovanja iracionalno... Korijen dva. Pa, to je u redu. Formula je univerzalna stvar, nosi se s bilo kojim brojevima.

Radimo izravno prema formuli:

Formula je, naravno, djelovala kako bi trebala, ali ... ovdje će se neki smrznuti. Što dalje s korijenom? Kako podići korijen do dvanaeste moći?

Kako, kako ... Morate shvatiti da je bilo koja formula, naravno, dobra stvar, ali znanje iz sve prethodne matematike se ne ukida! Kako graditi? Da, svojstva stupnjeva za pamćenje! Pretvorimo korijen u razlomljeni eksponenti - prema formuli potenciranja.

Kao ovo:

Odgovor: 192

I to je sve.)

Koja je glavna poteškoća u izravnoj primjeni formule n-pojma? Da! Glavna poteškoća je radite s diplomama! Naime - potenciranje negativni brojevi, razlomci, korijeni i slično. Dakle, oni koji imaju problema s tim, hitan zahtjev za ponavljanjem stupnjeva i njihovih svojstava! Inače ćete usporiti u ovoj temi, da ...)

Riješimo sada tipične probleme pretraživanja jedan od elemenata formuleako se daju svi drugi. Za uspješno rješavanje takvih problema recept je ujednačen i užasno jednostavan - pisanje formulenth član općenito!Točno u bilježnici pored stanja. A onda iz stanja shvatimo što nam je dato i što nedostaje. I izražavamo iz formule potrebna vrijednost... Svi!

Na primjer, takav bezazlen zadatak.

Peti član geometrijske progresije s nazivnikom 3 je 567. Pronađite prvi član ove progresije.

Ništa komplicirano. Radimo izravno po čaroliji.

Napisujemo formulu za n-ti pojam!

b n = b 1 · q n -1

Što nam je dato? Prvo je dan nazivnik napredovanja: q = 3.

Uz to smo i dana peti mandat: b 5 = 567 .

Svi? Ne! Također smo dobili broj n! Ovo je petica: n \u003d 5.

Nadam se da već razumijete što se nalazi na snimci b 5 = 567 dva su parametra odjednom skrivena - ovo je sam peti pojam (567) i njegov broj (5). U sličnoj lekciji o tome već sam govorio o ovome, ali ovdje mislim da nije suvišno podsjetiti vas.)

Sada svoje podatke zamjenjujemo u formuli:

567 = b 1 · 3 5-1

Razmatramo aritmetiku, pojednostavljujemo i dobivamo jednostavnu linearna jednadžba:

81 b 1 = 567

Riješimo i dobivamo:

b 1 = 7

Kao što vidite, nema problema s pronalaskom prvog člana. Ali kad se traži nazivnik q i brojevi n može biti iznenađenja. A također morate biti spremni na njih (na iznenađenja), da.)

Na primjer, ovaj problem:

Peti član geometrijske progresije s pozitivnim nazivnikom je 162, a prvi član ove progresije je 2. Pronađite nazivnik progresije.

Ovaj put dobivamo prvi i peti pojam i tražimo da pronađemo nazivnik napredovanja. Pa krenimo.

Napišemo formulunth član!

b n = b 1 · q n -1

Naši početni podaci bit će sljedeći:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Nema dovoljno značenja q... Nema problema! Sad ćemo ga pronaći.) U formulu zamjenjujemo sve što znamo.

Dobivamo:

162 \u003d 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Jednostavna jednadžba četvrtog stupnja. Ali sad - pažljivo! U ovoj fazi rješenja mnogi učenici odmah radosno izvade korijen (četvrti stupanj) i dobiju odgovor q=3 .

Kao ovo:

q 4 \u003d 81

q = 3

Ali zapravo, ovo je nedovršeni odgovor. Točnije, nepotpuno. Zašto? Poanta je u tome što je odgovor q = -3 također odgovara: (-3) 4 će također biti 81!

To je zbog činjenice da jednadžba snage x n = a uvijek ima dva suprotna korijena na čakn . Uz plus i minus:

Oboje odgovaraju.

Na primjer, rješavanje (tj. drugi stupanj)

x 2 \u003d 9

Iz nekog razloga niste iznenađeni izgledom dva korijeni x \u003d ± 3? Ovdje je ista stvar. I s bilo kojim drugim čak stupanj (četvrti, šesti, deseti, itd.) bit će isti. Pojedinosti - u temi o

stoga ispravna odluka bi bilo ovako:

q 4 = 81

q \u003d ± 3

Dobro, skužili smo znakove. Koji je točan - plus ili minus? Pa, opet čitamo stanje problema u potrazi za dodatne informacije. To, naravno, možda ne postoji, ali u ovom zadatku takve informacije dostupno.U našem se stanju u običnom tekstu kaže da se daje progresija pozitivni nazivnik.

Stoga je odgovor očit:

q = 3

Ovdje je sve jednostavno. Što mislite da bi bilo kada bi izjava o problemu bila ovakva:

Peti član geometrijske progresije je 162, a prvi član ove progresije je 2. Pronađi nazivnik progresije.

Koja je razlika? Da! U stanju ništa naziv nazivnika se ne spominje. Ni izravno ni neizravno. I ovdje bi zadatak već imao dva rješenja!

q = 3 i q = -3

Da da! I s plusom i minusom.) Matematički bi ta činjenica značila da postoje dvije progresijekoji odgovaraju stanju problema. I za svakog - svoj nazivnik. Iz zabave vježbajte i zapišite prvih pet članova svakog od njih.)

Sada ćemo vježbati pronalaženje broja člana. To je najteži zadatak, da. Ali i kreativniji.)

Daje se geometrijska progresija:

3; 6; 12; 24; …

Koji je broj 768 u ovom napredovanju?

Prvi korak je i dalje isti: pisanje formulenth član!

b n = b 1 · q n -1

I sada, kao i obično, u njega zamjenjujemo podatke koje znamo. Hm ... nije zamijenjeno! Gdje je prvi pojam, gdje je nazivnik, gdje je sve ostalo?!

Gdje, gdje ... Zašto su nam potrebne oči? Pljeskati trepavicama? Ovaj put napredak nam je dan izravno u obliku slijed. Vidite prvi termin? Mi vidimo! Ovo je trojka (b 1 \u003d 3). Što je s nazivnikom? Još ga ne vidimo, ali vrlo je lako pobrojati. Ako, naravno, razumijete.

Dakle, računamo. Izravno u značenju geometrijske progresije: uzmite bilo koji od njegovih članova (osim prvog) i podijelite s prethodnim.

Barem ovako:

q = 24/12 = 2

Što još znamo? Također znamo određenog člana ove progresije jednakog 768. Pod nekim brojem n:

b n = 768

Ne znamo njegov broj, ali naš je zadatak upravo pronaći ga.) Dakle, tražimo. U formulu smo već preuzeli sve potrebne podatke za zamjenu. Ne znajući za sebe.)

Dakle, zamjenjujemo:

768 \u003d 3 2 n -1

Radimo elementarne - dijelimo oba dijela na tri i prepisujemo jednadžbu u uobičajeni oblik: nepoznato slijeva, poznato - desno.

Dobivamo:

2 n -1 = 256

Evo zanimljive jednadžbe. Morate pronaći "n". Što je neobično? Da, ne svađam se. Zapravo, ovo je najjednostavnije. Tako se naziva zbog činjenice da nepoznati (u u ovom slučaju ovaj broj n) stoji u indikator stupanj.

U fazi upoznavanja geometrijske progresije (ovo je deveti razred), eksponencijalne jednadžbe se ne uče rješavati, da ... Ovo je tema za srednju školu. Ali nema ništa strašno. Čak i ako ne znate kako se takve jednadžbe rješavaju, mi ćemo pokušati pronaći našu nvođeni jednostavnom logikom i zdravim razumom.

Počinjemo rasuđivati. S lijeve strane imamo dvojku donekle... Još ne znamo koja je točno ova diploma, ali to nije zastrašujuće. Ali s druge strane, čvrsto znamo da je taj stupanj jednak 256! Dakle, sjetimo se u kojoj nam mjeri dvoje daje 256. Sjećate se? Da! U osmi stupanj!

256 = 2 8

Ako se niste sjećali ili s prepoznavanjem stupnjeva problema, onda je i to u redu: samo redom podižemo broj dva na kvadrat, na kocku, na četvrti stupanj, peti itd. Izbor je, zapravo, ali na ovoj razini prilično dobar.

Na ovaj ili onaj način dobivamo:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Dakle, 768 je deveti član naše progresije. To je to, problem je riješen.)

Odgovor: 9

Što? Dosadno? Dosta vam je osnovnih stvari? Slažem se. I ja isto. Idemo na sljedeću razinu.)

Teži zadaci.

A sada probleme rješavamo naglo. Nije baš super cool, ali im ostaje još malo posla da dođu do odgovora.

Na primjer, ovo.

Pronađite drugi član geometrijske progresije ako je četvrti član -24, a sedmi 192.

Ovo je klasika žanra. Poznata su dva različita člana progresije, ali još neki član mora biti pronađen. Štoviše, svi članovi NISU susjedni. Što je u početku zbunjujuće, da ...

Kao i ranije, razmotrit ćemo dva načina za rješavanje takvih problema. Prva metoda je univerzalna. Algebarski. Besprijekorno radi s bilo kojim izvornim podacima. Stoga ćemo započeti s njim.)

Svaki pojam zapisujemo prema formuli nth član!

Sve je točno poput aritmetičke progresije. Samo ovaj put radimo s drugo opća formula. To je sve.) Ali suština je ista: uzimamo i jedan po jedan svoje početne podatke zamjenjujemo u formuli n-tog člana. Za svakog člana - svoj.

Za četvrtog člana napišite:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Tamo je. Jedna jednadžba je spremna.

Za sedmog člana pišemo:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Ukupno smo dobili dvije jednadžbe za isti napredak .

Od njih prikupljamo sustav:

Unatoč strašnom izgledu, sustav je prilično jednostavan. Najočitije rješenje je obična zamjena. Izražavamo b 1 iz gornje jednadžbe i zamijeni u donjoj:

Nakon malo petljanja s donjom jednadžbom (smanjenjem potencijala i dijeljenjem s -24), dobivamo:

q 3 = -8

Usput, možete doći do iste jednadžbe na jednostavniji način! Kako? Sad ću vam pokazati još jednu tajnu, ali vrlo lijepu, moćnu i koristan način rješenja sličnih sustava. Takvi sustavi u jednadžbama kojih sjede samo djeluje.Najmanje jedan. Nazvan metoda podjele pojmovajedna jednadžba drugoj.

Dakle, pred nama je sustav:

U obje jednadžbe lijevo - sastava s desne strane je samo broj. Ovo je vrlo dobar znak.) Uzmimo i ... podijelimo, recimo, donju jednadžbu s gornjom! Što znači, podijeliti jednu jednadžbu drugom? Jako jednostavno. Uzimamo lijeva strana jedna jednadžba (donja) i podijeliti nju na lijeva strana druga jednadžba (vrh). Desna strana je slična: desna strana jedna jednadžba podijeliti na desna strana još.

Cijeli postupak podjele izgleda ovako:

Sada, nakon što smo sveli sve što se smanjilo, dobivamo:

q 3 = -8

Zašto je ova metoda dobra? Da, jer se u procesu takve podjele sve loše i nezgodno može sigurno smanjiti i ostaje potpuno bezazlena jednadžba! Zato je tako važno imati samo množenja u barem jednoj od jednadžbi sustava. Nema množenja - nema se što smanjiti, da ...

Općenito, ova metoda (kao i mnogi drugi netrivijalni načini rješavanja sustava) čak zaslužuje zasebnu lekciju. Svakako ću ga detaljnije analizirati. Jednog dana…

Međutim, nije važno kako ćete riješiti sustav, u svakom slučaju, sada moramo riješiti rezultirajuću jednadžbu:

q 3 = -8

Nema problema: izvadite korijen (kubični) i gotovi ste!

Napominjemo da prilikom izvlačenja ovdje ne morate stavljati plus / minus. Imamo neparan (treći) stupanj korijena. I odgovor je također jedan, da.)

Dakle, nazivnik napredovanja je pronađen. Minus dva. Fino! Proces je u tijeku.)

Za prvi pojam (recimo, iz gornje jednadžbe) dobivamo:

Fino! Znamo prvi pojam, znamo nazivnik. I sada imamo priliku pronaći bilo kojeg člana progresije. Uključujući i drugu.)

Za drugi mandat, sve je vrlo jednostavno:

b 2 = b 1 · q \u003d 3 (-2) \u003d -6

Odgovor: -6

Dakle, postavili smo algebarski način rješavanja problema. Teško? Ne baš, slažem se. Dugo i dosadno? Da apsolutno. Ali ponekad možete znatno smanjiti količinu posla. Za ovo postoji grafički način.Dobro nam staro i poznato.)

Crtanje problema!

Da! Točno. Opet crtamo svoj napredak na brojevnoj osi. Nije potrebno slijediti ravnala, nije potrebno održavati jednake intervale između članova (koji, usput rečeno, neće biti isti, budući da je napredovanje geometrijsko!), Već jednostavno shematski nacrtaj naš slijed.

Shvatio sam ovako:

A sada gledamo sliku i razmišljamo. Koliko identičnih čimbenika "q" dijeli četvrti i sedmi članovi? Tako je, tri!

Stoga imamo puno pravo napisati:

-24q 3 = 192

Stoga se q sada lako traži:

q 3 = -8

q = -2

Super, nazivnik je već u našem džepu. A sada opet gledamo sliku: između koliko takvih nazivnika sjedi drugi i četvrti članovi? Dva! Stoga će zabilježiti vezu između ovih pojmova nazivnik na kvadrat.

Pa pišemo:

b 2 · q 2 = -24 odakle b 2 = -24/ q 2

Zamijenimo naš pronađeni nazivnik u izraz za b 2, prebrojimo i dobijemo:

Odgovor: -6

Kao što vidite, sve je puno lakše i brže nego kroz sustav. Štoviše, ovdje nismo ni trebali brojati prvi mandat! Nikako.)

Evo jednostavnog i intuitivnog načina osvjetljenja. Ali on ima i ozbiljan nedostatak. Jeste li pogodili? Da! Djeluje samo za vrlo kratke kriške progresije. Takve, gdje udaljenost između članova koji nas zanimaju nije baš velika. Ali u svim ostalim slučajevima crtanje slike je već teško, da ... Tada problem rješavamo analitički, kroz sustav.) A sustavi su univerzalna stvar. Obrađuju se bilo koji brojevi.

Još jedan epski izazov:

Drugi je član geometrijske progresije za 10 veći od prvog, a treći je za 30 više od drugog. Pronađite nazivnik progresije.

Što je cool? Nikako! Sve isto. Izjavu problema opet prevedemo u čistu algebru.

1) Svaki pojam zapisujemo prema formuli nth član!

Drugi pojam: b 2 \u003d b 1 q

Treći pojam: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Vezu između članova zapisujemo iz izjave o problemu.

Pročitali smo uvjet: "Drugi je pojam geometrijske progresije 10 više od prvog." Stani, ovo je vrijedno!

Pa pišemo:

b 2 = b 1 +10

I ovu frazu prevedemo u čistu matematiku:

b 3 = b 2 +30

Dobili smo dvije jednadžbe. Kombiniramo ih u sustav:

Sustav izgleda jednostavno. Ali postoji puno različitih indeksa za slova. Zamijenimo umjesto drugog i trećeg pojma njihovog izraza kroz prvi pojam i nazivnik! Uzalud, ili što, slikali smo ih?

Dobivamo:

Ali takav sustav više nije dar, da ... Kako to riješiti? Nažalost, univerzalna tajna čarolija za rješavanje složenih nelinearno u matematici ne postoje sustavi i ne mogu biti. Fantastično je! Ali prva stvar koja bi vam trebala pasti na pamet kad pokušavate ispucati tako tvrd orah je shvatiti, ali reducira li se jedna od jednadžbi sustava na prekrasan prizor, dopuštajući, na primjer, lako izražavanje jedne od varijabli kroz drugu?

Pa hajde da procijenimo. Prva jednadžba sustava očito je jednostavnija od druge. Mučit ćemo ga.) Ne bismo li pokušali iz prve jednadžbe nešto izraziti kroz nešto? Budući da želimo pronaći nazivnik q, tada bi nam bilo najpovoljnije izraziti b 1 preko q.

Pokušajmo ovaj postupak izvesti s prvom jednadžbom, primjenjujući dobre stare:

b 1 q \u003d b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) \u003d 10

Svi! Tako smo izrazili nepotrebno koristimo varijablu (b 1) kroz potrebno (q). Da, dobili su ne najjednostavniji izraz. Nešto djelića ... Ali naš je sustav na pristojnoj razini, da.)

Tipično. Znamo što nam je činiti.

Mi pišemo ODZ (potreban!) :

q ≠ 1

Množimo sve s nazivnikom (q-1) i poništavamo sve razlomke:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Podijelimo sve s deset, otvorimo zagrade, prikupimo sve s lijeve strane:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Rješavamo rezultat i dobivamo dva korijena:

q 1 = 1

q 2 = 3

Konačni je odgovor samo jedan: q = 3 .

Odgovor: 3

Kao što vidite, način rješavanja većine problema u formuli za n-ti pojam geometrijske progresije uvijek je isti: pročitajte pažljivo uvjet problema i koristeći formulu za n-ti pojam prevedemo cjelinu korisna informacija u čistu algebru.

Naime:

1) Svaki izraz naveden u zadatku formulom zapisujemo odvojenonth član.

2) Iz uvjeta zadatka vezu između pojmova prevedemo u matematički oblik. Sastavljamo jednadžbu ili sustav jednadžbi.

3) Riješimo rezultirajuću jednadžbu ili sustav jednadžbi, nalazimo nepoznate parametre napredovanja.

4) U slučaju dvosmislenog odgovora, pažljivo čitamo stanje problema u potrazi za dodatnim informacijama (ako postoje). Također provjeravamo primljeni odgovor s uvjetima DLO-a (ako postoje).

A sada nabrojimo glavne probleme koji najčešće dovode do pogrešaka u procesu rješavanja problema na geometrijskoj progresiji.

1. Elementarna aritmetika. Akcije s razlomcima i negativnim brojevima.

2. Ako imate problema s barem jednom od ove tri točke, neizbježno ćete pogriješiti u ovoj temi. Nažalost ... Zato nemojte biti lijeni i ponovite gore spomenuto. I slijedite poveznice - krenite. Ponekad pomogne.)

Izmijenjene i ponavljajuće formule.

Pogledajmo sada nekoliko tipičnih ispitnih problema s manje poznatim prikazom stanja. Da, pogodili ste! to preinačena i ponavljajući formule n-tog pojma. Već smo se susreli s takvim formulama i radili smo u aritmetičkoj progresiji. Ovdje je sve isto. Suština je ista.

Na primjer, takav zadatak iz OGE:

Geometrijska progresija dana je formulom b n \u003d 3 2 n ... Pronađite zbroj prvog i četvrtog člana.

Ovaj put napredovanje nam nije dato na vrlo poznat način. U obliku neke formule. Pa što? Ova formula - također formulanth član! Svi znamo da se formula za n-ti pojam može napisati i u općenitom obliku, slovima i za specifična progresija... IZ specifično prvi pojam i nazivnik.

U našem slučaju, mi zapravo dobivamo zajedničku formulu izraza za geometrijsku progresiju sa sljedećim parametrima:

b 1 = 6

q = 2

Provjerimo?) Napišimo formulu n-tog pojma u općem obliku i zamijenimo je b 1 i q... Dobivamo:

b n = b 1 · q n -1

b n \u003d 6 2 n -1

Pojednostavite upotrebom faktora i svojstava snage da biste dobili:

b n \u003d 6 2 n -1 \u003d 3 2 2 n -1 \u003d 3 2 n -1+1 \u003d 3 2 n

Kao što vidite, sve je pošteno. Ali naš cilj s vama nije pokazati izvođenje određene formule. To je tako, lirska digresija. Čisto za razumijevanje.) Cilj nam je riješiti problem prema formuli koja nam je dana u stanju. Shvaćate li?) Dakle, izravno radimo s modificiranom formulom.

Računamo prvi mandat. Zamjena n=1 u opću formulu:

b 1 = 3 2 1 \u003d 3 2 \u003d 6

Kao ovo. Usput, neću biti lijen, i još jednom ću vam skrenuti pažnju na tipičnog bloopera s izračunom prvog člana. NE treba gledati formulu b n \u003d 3 2 n, odmah požurite napisati da je prvi pojam trojka! Ovo je gruba pogreška, da ...)

Nastavimo. Zamjena n=4 i računamo četvrti pojam:

b 4 = 3 2 4 \u003d 3 16 \u003d 48

I na kraju, izračunavamo potrebni iznos:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Odgovor: 54

Drugi problem.

Geometrijska progresija određena je uvjetima:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Pronađite četvrti pojam u progresiji.

Ovdje se napredak daje rekurzivnom formulom. Pa dobro.) Kako raditi s takvom formulom - također znamo.

Tako djelujemo. Korak po korak.

1) Broji dva uzastopni pripadnik progresije.

Već nam je dodijeljen prvi mandat. Minus sedam. Ali sljedeći, drugi pojam, može se lako izračunati pomoću ponavljajuće formule. Ako razumijete kako to funkcionira, naravno.)

Dakle, računamo drugi mandat prema dobro poznatom prvom:

b 2 = 3 b 1 \u003d 3 (-7) \u003d -21

2) Smatramo nazivnikom napredovanja

Nikakav problem. Ravno, podijeli drugi član na prvi.

Dobivamo:

q = -21/(-7) = 3

3) Napišite formulunth člana u uobičajenom obliku i razmotrite željenog člana.

Dakle, znamo prvi pojam, a nazivnik također. Pa pišemo:

b n \u003d -7 3 n -1

b 4 \u003d -7 3 3 = -7 27 \u003d -189

Odgovor: -189

Kao što vidite, rad s takvim formulama za geometrijsku progresiju u osnovi se ne razlikuje od one za aritmetičku progresiju. Važno je samo razumjeti opću suštinu i značenje ovih formula. Pa, značenje geometrijske progresije također se mora razumjeti, da.) I tada neće biti glupih pogrešaka.

Pa, riješimo to sami?)

Vrlo osnovni zadaci za zagrijavanje:

1. data je geometrijska progresija u kojoj b 1 \u003d 243, i q \u003d -2/3. Pronađite šesti pojam u progresiji.

2. Opći pojam geometrijske progresije dan je formulom b n = 5∙2 n +1 . Pronađite broj zadnjeg troznamenkastog pojma ove progresije.

3. Geometrijska progresija postavljena je uvjetima:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Pronađite peti pojam u progresiji.

Malo složenije:

4. Daje se geometrijska progresija:

b 1 =2048; q =-0,5

Koji je šesti negativni pojam?

Što se čini super teško? Nikako. Logika i razumijevanje značenja geometrijske progresije spasit će. Pa, formula za n-ti pojam, naravno.

5. Treći član geometrijske progresije je -14, a osmi je 112. Pronađi nazivnik progresije.

6. Zbroj prvog i drugog člana geometrijske progresije je 75, a zbroj drugog i trećeg člana 150. Nađite šesti član napredka.

Odgovori (u rasulu): 6; -3888; -jedan; 800; -32; 448.

To je gotovo sve. Ostaje samo naučiti računati zbroj prvih n članaka geometrijske progresije da otkriti beskonačno opadajuća geometrijska progresija i njegov iznos. Inače, vrlo zanimljiva i neobična stvar! Više o tome u sljedećim lekcijama.)

Ako svaki prirodni broj n odgovara stvarnom broju a n onda kažu da se daje numerički slijed :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, brojevni niz je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 pozvao prvi pojam u nizu , broj a 2 — drugi termin , broj a 3 — treći itd. Broj a n pozvao n-ti član sekvence , i prirodni broj n — njegov broj .

Od dva susjedna člana a n i a n +1 član sekvence a n +1 pozvao naknadno (prema a n ) i a n — prethodni (prema a n +1 ).

Da biste odredili slijed, morate navesti metodu koja vam omogućuje da pronađete člana niza s bilo kojim brojem.

Često se slijed daje s formule n-tog pojma , odnosno formula koja vam omogućuje da odredite člana niza prema njegovom broju.

Na primjer,

niz pozitivnih neparnih brojeva može se odrediti formulom

a n= 2n -1,

i redoslijed izmjenjivanja 1 i -1 - po formuli

b n = (-1) n +1 . ◄

Slijed se može odrediti rekurzivna formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jednog ili više) članova.

Na primjer,

ako a a 1 = 1 , i a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako je a a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada se prvih sedam članova numeričkog niza postavlja na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvence mogu biti konačni i beskrajne .

Slijed se naziva krajnji ako ima konačan broj članova. Slijed se naziva beskrajne ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvoznamenkastih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

konačni.

Slijed prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajne. ◄

Slijed se naziva povećavajući , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Slijed se naziva opadajući ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - povećanje redoslijeda;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / n, . . . - padajući niz. ◄

Nazvan je slijed čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja ili, obrnuto, ne povećavaju monotoni slijed .

Monotonske sekvence su posebno uzlazne i silazne sekvence.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija poziva se niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, kojem se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija ako postoji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

a n +1 = a n + d,

gdje d - neki broj.

Dakle, razlika između sljedećeg i prethodnih članova dane aritmetičke progresije uvijek je konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d pozvao razlika aritmetičke progresije.

Da biste postavili aritmetičku progresiju, dovoljno je naznačiti njezin prvi pojam i razliku.

Na primjer,

ako a a 1 = 3, d = 4 , tada se nalazi prvih pet članova niza kako slijedi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim pojmom a 1 i razlika d nju n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronaći trideseti pojam aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očito

svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnih i sljedećih članova.

brojevi a, b i c uzastopni su članovi neke aritmetičke progresije onda i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druge dvije.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Upotrijebimo gornju izjavu. Imamo:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n- 9,

a n + 1 = 2(n +1) - 7 = 2n- 5.

Slijedom toga,

◄

Imajte na umu da n -treti pojam aritmetičke progresije može se naći ne samo kroz a 1 , ali i bilo koji prethodni a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

za a 5 može se napisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n + k - kd,

onda očito

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovici zbroja članova ove aritmetičke progresije podjednako udaljenih od njega.

Uz to, za bilo koju aritmetičku progresiju vrijedi jednakost:

a m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d\u003d 7 + 7 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 \u003d a 5 + a 9, jer

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ a n,

prvi n pripadnici aritmetičke progresije jednak je umnošku poluzbroja ekstremnih članova s \u200b\u200bbrojem članova:

Stoga posebno proizlazi da ako je potrebno zbrojiti pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je dana aritmetička progresija, tada su vrijednosti a 1 , a n, d, n iS n povezane s dvije formule:

Stoga, ako se daju vrijednosti triju ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula, kombinirane u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Aritmetička progresija je monoton niz. Pri čemu:

• ako a d > 0 , tada se povećava;
• ako a d < 0 , tada se smanjuje;
• ako a d = 0 , tada će slijed biti miran.

Geometrijska progresija

Geometrijska progresija poziva se niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnožen s istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija ako je za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

b n +1 = b n · q,

gdje q ≠ 0 - neki broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana dane geometrijske progresije i prethodnog konstantan je broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q pozvao nazivnik geometrijske progresije.

Da bi se postavila geometrijska progresija, dovoljno je naznačiti njezin prvi pojam i nazivnik.

Na primjer,

ako a b 1 = 1, q = -3 , tada se nalazi prvih pet članova niza kako slijedi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i nazivnik q nju n Taj se pojam može naći po formuli:

b n = b 1 · q n -1 .

Na primjer,

naći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

onda očito

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnih i sljedećih članova.

Budući da je i obratna izjava istinita, vrijedi sljedeća tvrdnja:

brojevi a, b i c uzastopni su članovi neke geometrijske progresije onda i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak umnošku druge dvije, to jest jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

dokažimo da slijed dan formulom b n \u003d -3 2 n , je geometrijska progresija. Upotrijebimo gornju izjavu. Imamo:

b n \u003d -3 2 n,

b n -1 \u003d -3 2 n -1 ,

b n +1 \u003d -3 2 n +1 .

Slijedom toga,

b n 2 \u003d (-3 2 n) 2 \u003d (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje traženu izjavu. ◄

Imajte na umu da n -treti pojam geometrijske progresije može se naći ne samo kroz b 1 , ali i bilo koji prethodni mandat b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · q n - k.

Na primjer,

za b 5 može se napisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

onda očito

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je umnošku članova ove progresije podjednako udaljenih od njega.

Uz to, za bilo koju geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

eksponencijalno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n pripadnici geometrijske progresije s nazivnikom q ≠ 0 izračunato po formuli:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= nb 1

Imajte na umu da ako trebate zbrojiti uvjete

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

Na primjer,

eksponencijalno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je dana geometrijska progresija, tada su vrijednosti b 1 , b n, q, n i S n povezane s dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti ostale dvije veličine određuju iz ovih formula, kombinirane u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i nazivnik q sljedeće monotona svojstva :

• napredovanje je uzlazno ako je zadovoljen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 i q> 1;

b 1 < 0 i 0 < q< 1;

• napredovanje se smanjuje ako je zadovoljen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 i 0 < q< 1;

b 1 < 0 i q> 1.

Ako je a q< 0 , tada se geometrijska progresija izmjenjuje: njezini neparni članovi imaju isti znak kao i prvi član, a paranci imaju suprotan znak. Jasno je da izmjenično geometrijsko napredovanje nije monotono.

Djelo prvog n članovi geometrijske progresije mogu se izračunati formulom:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno opadajuća geometrijska progresija

Beskrajno opadajuća geometrijska progresija naziva se beskonačna geometrijska progresija čiji je modul nazivnika manji 1 , tj

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno opadajuća geometrijska progresija možda neće biti opadajući niz. Ovo odgovara slučaju

1 < q< 0 .

S takvim nazivnikom slijed se izmjenjuje. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije je broj kojem pripada zbroj prvog n pripadnici progresije s neograničenim povećanjem broja n ... Taj je broj uvijek konačan i izražava se formulom

Na primjer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Povezanost aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetička i geometrijska progresija usko su povezane. Pogledajmo samo dva primjera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d zatim

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primjer,

1, 3, 5, . . . - aritmetička progresija s razlikom 2 i

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijska progresija s nazivnikom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijska progresija s nazivnikom q zatim

{!LANG-fc00933498e69fd46cc9dd50b54d0e5b!}, {!LANG-6aa5f7910dab399f2a086d6e86dbb679!}, {!LANG-46aa94bfa2de2dfdb71c6e1d1e5bfb0c!}, . . . {!LANG-6e2c6841f21a3d8eac6bf6b5773ee5c0!} {!LANG-047b04c1bf83eb5c652d0fa63c8696eb!}q .

Na primjer,

2, 12, 72, . . . - geometrijska progresija s nazivnikom 6 i

{!LANG-d0cd0612da97ec193e7d175d1107a70d!} 2, {!LANG-d0cd0612da97ec193e7d175d1107a70d!} 12, {!LANG-d0cd0612da97ec193e7d175d1107a70d!} 72, . . . {!LANG-6e2c6841f21a3d8eac6bf6b5773ee5c0!} {!LANG-d0cd0612da97ec193e7d175d1107a70d!} 6 . ◄

{!LANG-cffcda0c311aa552e6806445be6135cc!}

7 28 112 448 1792...

{!LANG-481b8496caa7f30f52f2e2fbf9a8ba63!} {!LANG-6deaac5807689551b2937efa5d27d61b!}{!LANG-7f15752e12fc45e8a2be65169f016088!}

{!LANG-10217d1124e59ebe988c706d00d117d7!} {!LANG-8f73ab6d3d4c8458a9061e4f250864dc!}{!LANG-3722deeb98ab5dfe1a49e3b8cca08c83!}

{!LANG-7075c7bf1f06764356b178d97f6bbfce!}

{!LANG-d716cad1bd8ae8bb6e876b1ae6c0d8d2!}

{!LANG-ed7994597fd6fc8edde883424e7c74d8!}

0.25 0.125 0.0625...

{!LANG-7d9a2adee1d5c4fc1f9306e906599036!}

{!LANG-9a965ecc1960e7f27f6ee3faf322a597!}

{!LANG-412ff8f1e839a1aa9f256920ff73a8c5!}

{!LANG-e3c539bcbc73d3c48f09483928f358f0!}

{!LANG-ddca0e5cbd234d8e4e4fc8042db8d7bb!}

{!LANG-3ca77a38a5343f4f0956a3783db62ea6!}

• {!LANG-37ec1ef5787dc8e5f1cdd12a56d450cf!} {!LANG-6c2ccdd8d87b44aacd6ffb9d4fc02974!}{!LANG-6f7981757ae6c114a2eadcae0af07931!}

{!LANG-3c83f5619056952071e2206e2467e219!}

{!LANG-37671a8c1398df45f347fde6a09d3bfa!}

3 6 12 24 48 ...

• {!LANG-3f5da9af05f6e648233a72af51367f65!}

{!LANG-fc60eaf25d27b34abe0537cd7669cf66!}

{!LANG-bbefaa0b62064817164c7121c332b88e!}

{!LANG-f387ed5b9a488727ed608c3d57c1fdc1!}

• {!LANG-00f3f489fcdf3834689ee880d34a5c97!}<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

{!LANG-4401b56e3f1e1203bad99bfe7b541405!}

{!LANG-1191749c5e92a608b62391fc8a86e779!}

3, 6, -12, 24,...

{!LANG-3ef65574ab25af97475ac15f09d6b1aa!}

{!LANG-99adb7eb4ee2e62f0f7732c25d9afdcc!}

• {!LANG-fd3e1824e0e94bdd675f301a638e9a20!}

{!LANG-5ec6441f19641481330293f2e06510df!}q = 3, a 1 {!LANG-ac1aa5f1388df1a815db5600454abb32!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• {!LANG-845ed5bd59d4d1999fb138a1173320ab!} {!LANG-a8a78d0ff555c931f045b6f448129846!}{!LANG-06a24a92b0a649648c1805326b3cf595!}{!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!}{!LANG-55c58b851d68170e7a73485e787c5427!}

{!LANG-d769d22497b7c8814cc0bc647be7aedd!}q{!LANG-72fcaebe722208ddc3378c9fe4fe5638!}{!LANG-007e15196ac62d7ca62eb5787ad35442!}

{!LANG-3374148f87d09b01047df82ef943343e!}

{!LANG-4e6da125c073587999551a5a42ab0fed!}a 1 = 2, q{!LANG-7f70bc3022541fe179f71417a5399e6d!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}S 5 = {!LANG-cca07a772e962ff5986606060053596a!}

• {!LANG-52063c71fdc792534d02577c9e2a2c3c!}q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

{!LANG-5ec6441f19641481330293f2e06510df!}a 1 = 2 , q{!LANG-784847de9c62e711d21bb767aae45501!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}{!LANG-69afc6cb9026ec6aa57b71bab9570b44!} = 2 · = 4

{!LANG-69afc6cb9026ec6aa57b71bab9570b44!} = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

{!LANG-5f2ca800ba6b537fbe8526ad73030461!}

• {!LANG-da85f5b4ce5791200e97b906eb2002f2!} {!LANG-40b87857942f60921457a45b7afd29da!}{!LANG-a8a78d0ff555c931f045b6f448129846!}{!LANG-cb69335578f79699708cb771fc6da3ad!}

{!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} 2 = {!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} -1 · a{!LANG-bb9440f49d0401a99a70b88da07cf1a4!}

• {!LANG-80f39dabe0054e5a98cd957e45a5512a!}

{!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} 2 = {!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} - {!LANG-3f7461e9ed4496b383661b9f70dd4444!} 2 + {!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} + {!LANG-3f7461e9ed4496b383661b9f70dd4444!} 2 {!LANG-f8fdd81c1d81023043821f2eadef85d9!}{!LANG-b7269fa2508548e4032c455818f1e321!}{!LANG-fadfc30db394bc481121219df53ddc37!}

• {!LANG-282db5f9b913e48b23a41170cf30b20a!}{!LANG-80a3c0e3f9acc87b72a2dd4b43879b0c!}{!LANG-9f1c51d6f486ee7abc5af62fa7781df0!}
• {!LANG-f73e47264ebbf8d3b6a1abb09fa4f725!}

{!LANG-d4073f6aec5bf4a4b44e0d0ba0d798f2!}

{!LANG-3c236457651ad070f5f04ec49cbcea93!}

• {!LANG-7216a0befb11f0385fe45ff39ed3510a!}a 1 = 3, a 3 {!LANG-904aacbc0f11aa84c57b59f850ecb82d!}q.

{!LANG-0e181a8d54db7fddd1dec93390c61120!}q {!LANG-9f1c51d6f486ee7abc5af62fa7781df0!}{!LANG-dd7559069e9cb9662a22245015ef3821!}

{!LANG-8ddecfd2fbc0ea52a1d6a6e4755fbfe5!}a 3 = q 2 · a 1

{!LANG-f3daeded6c755b019b9d257f5a4ae13b!}q= 4

• {!LANG-7216a0befb11f0385fe45ff39ed3510a!}a 2 = 6, a 3 {!LANG-4a67a53e26077be51538073e417213b1!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}{!LANG-cd802df81cca8a4303f289a71fdc67ed!}

a 3 = q· a 2 {!LANG-89d6bf92c93d1a6b8e734ec49c8e9889!}q= 2

{!LANG-174bfe3e597eab51a4aadb15e7d25d59!} {!LANG-ebbdb215f8e259a2a8a7b51253a990ff!}{!LANG-1c718e67101bf3dd553a97e7a6485e7b!} {!LANG-e15ace769f01e47f026598fdffe8aa54!} 3

{!LANG-d383929826c1e408f894bd4d19fca961!} 189

• · a 1 = 10, q{!LANG-9851edfd10464035a03226d7700b25bc!}

{!LANG-a997983a33328729432b41d6b2c15aa2!}

{!LANG-1195b392491382ece2a016bdd93d4c42!}· {!LANG-bc1c164524c1bc9fbca7401ee9a1c779!}

{!LANG-5c181b513fbec3616f5ccb02ba21a569!}

• {!LANG-7c5c40fd534b3fe714135468ca6d7cb4!}

{!LANG-ad82174c317fd128b89e41235fbcb9fc!} · {!LANG-a86f77d975fa821d86eb23e3a5efed0a!}

{!LANG-a0ddc7903b7bbf6275763fb1b19096b7!}

{!LANG-9ce279ebc43301d49364fb674f0c4c52!}

{!LANG-0adf4b7dc6b8346c5ab590e623f1eb09!}

{!LANG-a62bd989390c0db1cfb1389d2e10e649!}

{!LANG-2e75ab906c5866f94f32dab18b43fdb8!}

{!LANG-e10f84030ffdae7f643cbdde2d8e537e!}

a 1 = 4, q{!LANG-7aef3ce2d035bbc9cd5384019475cd99!}{!LANG-d6d0c3c5e55432fb51d45a32290ad64b!}.

{!LANG-150718385f213e9af6c857103b73f143!}

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 {!LANG-64967a03b8eada5f01ed2d24c465a7cd!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}

{!LANG-2d6162c5b1553c24ac0a50b5f64d55da!}a 1 {!LANG-8f65f6374db82d679f37b7b1cd196457!}q.

a 2 · q = a 3

q = 3

{!LANG-c60d9a4242520fb7e8c1ea02c46fb058!}a 1 {!LANG-8d40a83e255151cbcaa26690b097a988!}a 2 iq.

a 1 · q = a 2

{!LANG-e15ace769f01e47f026598fdffe8aa54!}2

S 6 = 728.

Geometrijska progresija{!LANG-6ec8ee9d39900716a2ccdceffca0bc4f!} nazivnik geometrijske progresije{!LANG-ed5afbb7ff9605be955a4724b369f5ab!}

{!LANG-33960729bc8343b834b1ba9c3d81947d!}

{!LANG-5386ed5f29dd780a4da8ea5093e3c3f9!}{!LANG-de308c7727a8a7c49954e7789d1a345c!}

{!LANG-69063e43c7ce08c8dd9cdb07aff49e39!}{!LANG-bcdfe4623ed1c18409d39ccd2b496879!}

{!LANG-92868e09e3d1ecf5a9180b66174b0001!}

{!LANG-3d786a17e5de8108fdaa76e364f0efe9!}

{!LANG-1adb128022f59b9e31429cd398946ed5!}

{!LANG-f9dd748672b85c9fdd8d94cfb7fc7c16!}

{!LANG-e501565401cebaa7bd7f57993210d4c9!}

{!LANG-7a21d336448d8569c6c810e7d7afe310!}

{!LANG-c6f9f89d20d7cb0a6c65cdee865d2076!}

{!LANG-ecd8d18d9bb981e38b4fbbaa665ce826!}

{!LANG-0021df6e18f0ebbf8d14e48cf4f704f2!}

{!LANG-df7ccd9e0450c49bf10bceeda23af3a3!}

{!LANG-15513d8c44546ec0519da7cb63e820bc!} {!LANG-94aa16b946ef2e1f5100728c4a21cce0!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}

{!LANG-59da731b184875282d2f8806904fbff7!}

{!LANG-4bc7aaf4ceaeeceb3345c9156e179623!}

{!LANG-26cea3e28126c547b9f4c612ec10709e!}

{!LANG-530d71ee2ba2888c3cab207a6052f743!}

{!LANG-4e978f4feb6ba01fc66c3e845da15ada!}

{!LANG-3ace4a9b3a36c4e9dcca97aec0698a4d!}

{!LANG-a3d399a4c69bfe37341549706f8ad0f6!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}

{!LANG-95ab0e652f589aa7b751622570a236b5!}

{!LANG-401650e9583f2b89ade25d666dcf1cdf!}

{!LANG-3136369c0ef81a35128a11da08270b90!}

{!LANG-5eba02cb8b1c3fc7b6b4564baf67b20c!}