Pri tome je matematikaljudi kontroliraju prirodu i sebe.

Sovjetski matematičar, akademik A.N. Kolmogorov

Geometrijska progresija.

Uz probleme za aritmetičke progresije, problemi povezani s konceptom geometrijske progresije također su česti na prijemnim ispitima iz matematike. Da biste uspješno riješili takve probleme, morate znati svojstva geometrijske progresije i imati dobre vještine u njihovoj uporabi.

Ovaj je članak posvećen prezentaciji osnovnih svojstava geometrijske progresije. Također pruža primjere rješavanja tipičnih zadataka., posuđena iz zadataka prijemnih ispita iz matematike.

Prvo uočavamo glavna svojstva geometrijske progresije i podsjećamo na najvažnije formule i tvrdnje, vezano za ovaj koncept.

Definicija. Numerički niz naziva se geometrijska progresija ako je svaki njegov broj, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnoženom s istim brojem. Broj se naziva nazivnikom geometrijske progresije.

Za geometrijsku progresijuformule su valjane

, (1)

gdje. Formula (1) naziva se formulom za opći pojam geometrijske progresije, a formula (2) je glavno svojstvo geometrijske progresije: svaki pojam progresije podudara se s geometrijskom sredinom susjednih članova i.

Bilješka, da se upravo zbog tog svojstva razmatrana progresija naziva "geometrijskom".

Gornje formule (1) i (2) generalizirane su kako slijedi:

, (3)

Za izračun iznosa prvi pripadnici geometrijske progresije primjenjuje se formula

Ako označavamo, onda

gdje. Budući da je tada formula (6) generalizacija formule (5).

U slučaju kada i, geometrijska progresija se beskrajno smanjuje. Za izračun iznosasvih pripadnika beskonačno opadajuće geometrijske progresije koristi se formula

. (7)

Na primjer , pomoću formule (7) može se pokazati, što

gdje. Te se jednakosti dobivaju iz formule (7) pod uvjetom da, (prva jednakost) i, (druga jednakost).

Teorema. Ako tada

Dokaz. Ako tada,

Teorem je dokazan.

Prijeđimo na razmatranje primjera rješavanja problema na temu "Geometrijska progresija".

Primjer 1. Dano :, i. Pronaći .

Odluka. Ako primijenimo formulu (5), onda

Odgovor:.

Primjer 2.Neka i. Pronaći .

Odluka. Budući da i, koristit ćemo formule (5), (6) i dobiti sustav jednadžbi

Ako se druga jednadžba sustava (9) podijeli s prvom, tada ili. Stoga slijedi i ... Razmotrimo dva slučaja.

1. Ako, tada iz prve jednadžbe sustava (9) imamo.

2. Ako, onda.

Primjer 3.Neka, i. Pronaći .

Odluka. Iz formule (2) proizlazi da ili. Budući da je tada ili.

Po stanju. Međutim, dakle. Budući da i, onda ovdje imamo sustav jednadžbi

Ako se druga jednadžba sustava podijeli s prvom, tada ili.

Budući da tada jednadžba ima jedan prikladan korijen. U ovom slučaju to proizlazi iz prve jednadžbe sustava.

Uzimajući u obzir formulu (7), dobivamo.

Odgovor:.

Primjer 4.Dano: i. Pronaći .

Odluka. Od tada.

Od tada, bilo

Prema formuli (2) imamo. S tim u vezi iz jednakosti (10) dobivamo ili.

Međutim, prema uvjetu, dakle.

Primjer 5. Poznato je da. Pronaći .

Odluka. Prema teoremu imamo dvije jednakosti

Budući da je tada ili. Od tada.

Odgovor:.

Primjer 6. Dano: i. Pronaći .

Odluka. Uzimajući u obzir formulu (5), dobivamo

Od tada. Od, i, onda.

Primjer 7. Neka i. Pronaći .

Odluka. Prema formuli (1) možemo pisati

Stoga imamo ili. Poznato je da i, prema tome, i.

Odgovor:.

Primjer 8. Pronađite nazivnik beskonačno opadajuće geometrijske progresije ako

i.

Odluka. Iz formule (7) proizlazi i ... Iz ovoga i tvrdnje o problemu dobivamo sustav jednadžbi

Ako je prva jednadžba sustava na kvadrat, a zatim podijeliti rezultirajuću jednadžbu s drugom jednadžbom, onda smo dobili

Ili .

Odgovor:.

Primjer 9. Pronađite sve vrijednosti za koje je niz ,, geometrijska progresija.

Odluka. Neka, i. Prema formuli (2), koja definira glavno svojstvo geometrijske progresije, možete napisati ili.

Iz toga dobivamo kvadratnu jednadžbu, čiji su korijeni i.

Provjerimo je li, zatim i; ako, tada i.

U prvom slučaju imamo i, a u drugom - i.

Odgovor:,.

Primjer 10.Riješi jednadžbu

, (11)

gdje i.

Odluka. Lijeva strana jednadžbe (11) zbroj je beskonačno opadajuće geometrijske progresije, u kojoj i, podložno: i.

Iz formule (7) proizlazi, što ... S tim u vezi jednadžba (11) poprima oblik ili ... Prikladan korijen kvadratna jednadžba je

Odgovor:.

Primjer 11.Str slijed pozitivnih brojeva tvori aritmetičku progresiju, i - geometrijska progresija, kakve to veze ima. Pronaći .

Odluka.Jer aritmetički nizzatim (glavno svojstvo aritmetičke progresije). Ukoliko, tada ili. Iz čega slijedi , da geometrijska progresija ima oblik... Prema formuli (2), onda to zapisujemo.

Budući da i, onda ... U ovom slučaju, izraz poprima oblik ili. Prema stanju, dakle iz jednadžbe dobivamo jedinstveno rješenje razmatranog problema, tj. ...

Odgovor:.

Primjer 12.Izračunajte iznos

. (12)

Odluka. Pomnožimo obje strane jednakosti (12) s 5 i dobijemo

Ako od dobivenog izraza oduzmemo (12)zatim

ili .

Za izračunavanje zamjenjujemo vrijednosti u formuli (7) i dobivamo. Od tada.

Odgovor:.

Ovdje dani primjeri rješavanja problema bit će korisni kandidatima u pripremi za prijemne ispite. Za dublje proučavanje metoda rješavanja problema, eksponencijalno povezane, možete se koristiti vodičima s preporučenog popisa za čitanje.

1. Zbirka zadataka iz matematike za prijavitelje na tehničke fakultete / Ed. MI. Skanavi. - M.: Mir i obrazovanje, 2013. - 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školskog programa. - M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 str.

3. Medynski M.M. Kompletan tečaj elementarne matematike iz zadataka i vježbi. Knjiga 2: Brojevni nizovi i progresije. - M.: Edithus, 2015. - 208 str.

Još uvijek imate pitanja?

Da biste dobili pomoć od učitelja - registrirajte se.

web mjesto, s potpunim ili djelomičnim kopiranjem materijala, potrebna je veza do izvora.

Razmotrimo neke serije.

7 28 112 448 1792...

Potpuno je jasno da je vrijednost bilo kojeg od njegovih elemenata točno četiri puta veća od prethodne. To znači da je ova serija napredak.

Geometrijska progresija beskonačan je niz brojeva, čija je glavna značajka da se sljedeći broj dobije iz prethodnog množenjem s određenim brojem. To se izražava sljedećom formulom.

a z +1 \u003d a z q, gdje je z broj odabranog elementa.

Sukladno tome, z ∈ N.

Razdoblje kada se geometrijska progresija proučava u školi je 9. razred. Primjeri će vam pomoći da razumijete koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na temelju ove formule, nazivnik napredovanja može se naći kako slijedi:

Ni q ni b z ne mogu biti jednaki nuli. Također, svaki od elemenata progresije ne bi trebao biti nula.

Sukladno tome, da biste saznali sljedeći broj u nizu, zadnji morate pomnožiti s q.

Da biste postavili ovu progresiju, morate navesti njezin prvi element i nazivnik. Nakon toga moguće je pronaći bilo kojeg od sljedećih članova i njihov zbroj.

Sorte

Ovisno o q i a 1, ova se progresija dijeli u nekoliko vrsta:

• Ako su i 1 i q veći od jedan, tada je takav niz geometrijska progresija koja se povećava sa svakim sljedećim elementom. Primjer takvih predstavljen je u nastavku.

Primjer: a 1 \u003d 3, q \u200b\u200b\u003d 2 - oba su parametra veća od jednog.

Tada se numerički slijed može zapisati ovako:

3 6 12 24 48 ...

• Ako je | q | manje od jednog, odnosno množenje s njim jednako je dijeljenju, tada je progresija sa sličnim uvjetima opadajuća geometrijska progresija. Primjer takvih predstavljen je u nastavku.

Primjer: a 1 \u003d 6, q \u003d 1/3 - a 1 je više od jedan, q je manje.

Tada se numerički slijed može zapisati na sljedeći način:

6 2 2/3 ... - bilo koji element je 3 puta veći od elementa koji slijedi.

• Naizmjenični znak. Ako je q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Primjer: a 1 \u003d -3, q \u003d -2 - oba su parametra manja od nule.

Tada se numerički slijed može zapisati na sljedeći način:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Postoji mnogo formula za prikladnu upotrebu geometrijskih progresija:

• Formula z-tog člana. Omogućuje vam izračunavanje stavke pod određenim brojem bez izračunavanja prethodnih brojeva.

Primjer:q = 3, a 1 \u003d 4. Potrebno je izračunati četvrti element progresije.

Odluka:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Zbroj prvih elemenata čiji je broj z... Izračunava zbroj svih elemenata niza doa z uključivo.

Od (1-q) je u nazivniku, tada (1 - q)≠ 0, stoga q nije jednako 1.

Napomena: ako je q \u003d 1, tada bi progresija bila niz beskonačno ponavljajućih brojeva.

Zbroj geometrijske progresije, primjeri:a 1 = 2, q \u003d -2. Izračunaj S 5.

Odluka:S 5 = 22 - izračun po formuli.

• Iznos ako |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Primjer:a 1 = 2 , q \u003d 0,5. Pronađite iznos.

Odluka:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Neka svojstva:

• Karakteristično svojstvo. Ako je slijedeći uvjet izvodi za bilo kojiz, tada je zadani niz brojeva geometrijska progresija:

a z 2 = a z -1 · a z + 1

• Također, kvadrat bilo kojeg broja geometrijske progresije nalazi se dodavanjem kvadrata bilo koja druga dva broja u danom retku, ako su jednako udaljeni od ovog elementa.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 gdjet - udaljenost između ovih brojeva.

• Elementi razlikuju se u qvrijeme.
• Logaritmi elemenata progresije također čine progresiju, ali već aritmetičku, odnosno svaki je od njih veći za određeni broj od prethodnog.

Primjeri nekih klasičnih problema

Da biste bolje razumjeli što je geometrijska progresija, mogu vam pomoći primjeri s rješenjem za ocjenu 9.

• Uvjeti:a 1 = 3, a 3 \u003d 48. Pronađiq.

Rješenje: svaki sljedeći element veći je od prethodnog uq vrijeme.Neke elemente potrebno je izraziti kroz druge pomoću nazivnika.

Slijedom toga,a 3 = q 2 · a 1

Prilikom zamjeneq= 4

• Uvjeti:a 2 = 6, a 3 \u003d 12. Izračunaj S 6.

Odluka:Da biste to učinili, dovoljno je pronaći q, prvi element i zamijeniti ga u formuli.

a 3 = q· a 2 , Shodno tome,q= 2

a 2 \u003d q A 1,tako a 1 \u003d 3

S 6 \u003d 189

• · a 1 = 10, q \u003d -2. Pronađite četvrti element progresije.

Rješenje: za to je dovoljno izraziti četvrti element kroz prvi i kroz nazivnik.

a 4 \u003d q 3· a 1 \u003d -80

Primjer primjene:

• Klijent banke dao je depozit u iznosu od 10.000 rubalja, pod čijim uvjetima klijent svake godine dodaje 6% glavnice na iznos glavnice. Koliko će račun imati za 4 godine?

Rješenje: Početni iznos je 10 tisuća rubalja. To znači da će godinu dana nakon ulaganja račun imati iznos jednak 10000 + 10000 · 0,06 \u003d 10000 1,06

Sukladno tome, iznos na računu u još jednoj godini izrazit će se na sljedeći način:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 \u003d 1,06 1,06 10000

Odnosno, svake se godine iznos poveća za 1,06 puta. To znači da je za pronalaženje iznosa sredstava na računu u 4 godine dovoljno pronaći četvrti element progresije koji je postavljen prvim elementom jednakim 10 tisuća i nazivnikom jednakim 1,06.

S \u003d 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 \u003d 12625

Primjeri zadataka za izračunavanje zbroja:

Geometrijska progresija koristi se u raznim problemima. Primjer za pronalaženje zbroja može se dati na sljedeći način:

a 1 = 4, q \u003d 2, izračunajS 5.

Rješenje: poznati su svi podaci potrebni za izračun, samo ih trebate zamijeniti u formuli.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 \u003d 18. Izračunaj zbroj prvih šest elemenata.

Odluka:

U geomu. progresije, svaki sljedeći element je q puta veći od prethodnog, odnosno da biste izračunali zbroj, morate znati elementa 1 i nazivnikq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Slično tome, morate pronaćia 1 znajućia 2 iq.

a 1 · q = a 2

a 1 \u003d2

S 6 = 728.

\u003e\u003e Matematika: geometrijska progresija

Radi lakšeg čitanja, ovaj odjeljak slijedi potpuno isti plan kao i mi u prethodnom odjeljku.

1. Osnovni pojmovi.

Definicija. Numerički slijed čiji se svi članovi razlikuju od 0 i čiji se svaki član, počevši od drugog, dobiva iz prethodnog pojmova množenjem s istim brojem, naziva se geometrijska progresija. U ovom slučaju, broj 5 naziva se nazivnikom geometrijske progresije.

Dakle, geometrijska progresija je numerički niz (b n) koji se definira rekurzivno relacijama

Je li moguće, gledajući niz brojeva, utvrditi radi li se o geometrijskoj progresiji? Limenka. Ako ste uvjereni da je omjer bilo kojeg člana niza i prethodnog člana konstantan, tada imate geometrijsku progresiju.
Primjer 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
B 1 \u003d 1, q \u003d 3.

Primjer 2.

Ovo je geometrijska progresija u kojoj
Primjer 3.

Ovo je geometrijska progresija u kojoj
Primjer 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Ovo je geometrijska progresija s b 1 - 8, q \u003d 1.

Imajte na umu da je ovaj slijed također aritmetička progresija (vidi Primjer 3 u § 15).

Primjer 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Ovo je geometrijska progresija u kojoj je b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Očito je da je geometrijska progresija sve veći slijed ako je b 1\u003e 0, q\u003e 1 (vidi primjer 1), a opadajući ako je b 1\u003e 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Da bi se naznačilo da je niz (b n) geometrijska progresija, ponekad je prikladan sljedeći zapis:

Ikona zamjenjuje izraz "geometrijska progresija".
Zabilježimo jedno znatiželjno i istodobno sasvim očito svojstvo geometrijske progresije:
Ako slijed je geometrijska progresija, tada je niz kvadrata, tj. je eksponencijalni napredak.
U drugoj geometrijskoj progresiji, prvi je član jednak a jednak je q 2.
Ako eksponencijalno odbacimo sve pojmove koji slijede b n, dobit ćemo konačnu geometrijsku progresiju
U sljedećim odlomcima ovog odjeljka razmotrit ćemo najvažnija svojstva geometrijske progresije.

2. Formula n-tog člana geometrijske progresije.

Razmotrimo geometrijsku progresiju nazivnik q. Imamo:

Lako je pogoditi da je za bilo koji broj n jednakost

Ovo je formula za n-ti pojam geometrijske progresije.

Komentar.

Ako ste pročitali važnu primjedbu iz prethodnog stavka i razumjeli je, pokušajte formulu (1) dokazati metodom matematičke indukcije, baš kao što je to učinjeno za formulu za n-ti pojam aritmetičke progresije.

Prepišimo formulu za n-ti pojam geometrijske progresije

i uvedemo zapis: Dobivamo y \u003d mq 2, ili, detaljnije,
Argument x sadržan je u eksponentu, pa se to naziva eksponencijalnom funkcijom. Stoga se geometrijska progresija može promatrati kao eksponencijalna funkcija definirana na skupu N prirodnih brojeva. Na sl. 96a prikazuje graf funkcije Fig. 966 - graf funkcije U oba slučaja imamo izolirane točke (s apscisama x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3 itd.) Koje leže na određenoj krivulji (obje slike pokazuju istu krivulju, samo različito smještene i prikazane u različitim mjerilima). Ova se krivulja naziva eksponencijalnom. Više informacija o eksponencijalnoj funkciji i njezinom grafikonu bit će razmotreno u tečaju algebre 11. razreda.

Vratimo se primjerima 1-5 iz prethodnog odlomka.

1) 1, 3, 9, 27, 81, .... Ovo je geometrijska progresija, u kojoj je b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Sastavimo formulu za n-ti pojam
2) Ovo je geometrijska progresija, u kojoj Sastavimo formulu n-tog člana

Ovo je geometrijska progresija u kojoj Sastavimo formulu za n-ti pojam
4) 8, 8, 8, ..., 8, .... Ovo je geometrijska progresija, u kojoj je b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Sastavimo formulu za n-ti pojam
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... Ovo je geometrijska progresija u kojoj je b 1 \u003d 2, q \u003d -1. Sastavimo formulu za n-ti pojam

Primjer 6.

Data je geometrijska progresija

Rješenje se u svim slučajevima temelji na formuli za n-ti pojam geometrijske progresije

a) Stavljajući n-ti član geometrijske progresije n \u003d 6 u formulu, dobivamo

b) Imamo

Budući da je 512 \u003d 2 9, dobivamo n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Imamo

Primjer 7.

Razlika između sedmog i petog člana geometrijske progresije je 48, zbroj petog i šestog člana progresije također je 48. Pronađite dvanaesti pojam ove progresije.

Prvi korak. Izrada matematičkog modela.

Uvjeti problema ukratko se mogu napisati kako slijedi:

Koristeći formulu za n-ti član geometrijske progresije, dobivamo:
Tada se drugi oblik problema (b 7 - b 5 \u003d 48) može zapisati u obrazac

Treći uvjet zadatka (b 5 + b 6 \u003d 48) možemo zapisati kao

Kao rezultat, dobili smo sustav dviju jednadžbi s dvije varijable b 1 i q:

što je u kombinaciji s gornjim uvjetom 1) matematički model problema.

Druga faza.

Rad s kompiliranim modelom. Izjednačavajući lijevu stranu obje jednadžbe sustava, dobivamo:

(podijelili smo obje strane jednadžbe u nula izraz b 1 q 4).

Iz jednadžbe q 2 - q - 2 \u003d 0 nalazimo q 1 \u003d 2, q 2 \u003d -1. Zamjenom vrijednosti q \u003d 2 u drugu jednadžbu sustava dobivamo
Zamjenjujući vrijednost q \u003d -1 u drugoj jednadžbi sustava, dobivamo b 1 1 0 \u003d 48; ova jednadžba nema rješenja.

Dakle, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - ovaj je par rješenje sastavljenog sustava jednadžbi.

Sada možemo zapisati geometrijsku progresiju na koju se odnosi problem: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

Treća faza.

Odgovor na problematično pitanje. Potrebno je izračunati b 12. Imamo

Odgovor: b 12 \u003d 2048.

3. Formula za zbroj članova konačne geometrijske progresije.

Neka je data konačna geometrijska progresija

Neka S n označava zbroj svojih članova, t.j.

Izvedimo formulu za pronalaženje ovog iznosa.

Počnimo s najjednostavnijim slučajem, kada je q \u003d 1. Tada se geometrijska progresija b 1, b 2, b 3, ..., bn sastoji od n brojeva jednakih b 1, to jest, progresija ima oblik b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Zbroj ovih brojeva je nb 1.

Sad neka je q \u003d 1 Da bismo pronašli S n, primijenjujemo umjetnu metodu: izvedimo neke transformacije izraza S n q. Imamo:

Izvodeći transformacije, prvo smo upotrijebili definiciju geometrijske progresije prema kojoj (vidi treći redak obrazloženja); drugo, dodali su i oduzeli zašto se značenje izraza, naravno, nije promijenilo (vidi četvrti red razmišljanja); treće, koristili smo formulu za n-ti pojam geometrijske progresije:

Iz formule (1) nalazimo:

Ovo je formula za zbroj n članaka geometrijske progresije (za slučaj kada je q \u003d 1).

Primjer 8.

Dana je konačna geometrijska progresija

a) zbroj članova napredovanja; b) zbroj kvadrata njegovih članova.

b) Iznad (vidi str. 132) već smo primijetili da ako su svi pojmovi geometrijske progresije na kvadrat, tada dobivamo geometrijsku progresiju s prvim članom b 2 i nazivnikom q 2. Tada će se izračunati zbroj šest članova nove progresije

Primjer 9.

Pronađi 8. član geometrijske progresije sa

Zapravo smo dokazali sljedeći teorem.

Numerički niz je geometrijska progresija onda i samo ako je kvadrat svakog od njegovih članova, osim prvog Teorema (i posljednjeg, u slučaju konačnog niza), jednak umnošku prethodnih i sljedećih članaka ( karakteristično svojstvo geometrijske progresije).

Geometrijska progresija ne manje važan u matematici od aritmetike. Geometrijska progresija je niz brojeva b1, b2, ..., b [n], čiji se svaki sljedeći član dobiva množenjem prethodnog s konstantnim brojem. Taj se broj, koji također karakterizira brzinu rasta ili opadanja napredovanja, naziva nazivnik geometrijske progresije i označavaju

Za cjeloviti zadatak geometrijske progresije, osim nazivnika, morate znati ili odrediti njegov prvi pojam. Za pozitivnu vrijednost nazivnika, progresija je monoton niz, a ako se taj niz brojeva monotono smanjuje i, za, monotono povećava. Slučaj kada je nazivnik jednak jedinici ne razmatra se u praksi, jer imamo niz identičnih brojeva, a njihovo zbrajanje nije od praktičnog interesa.

Opći pojam geometrijske progresije izračunato po formuli

Zbroj prvih n članaka geometrijske progresije određena formulom

Razmotrite rješenja klasičnih problema o geometrijskoj progresiji. Krenimo od najjednostavnijih za razumijevanje.

Primjer 1. Prvi član geometrijske progresije je 27, a nazivnik mu je 1/3. Pronađite prvih šest članaka geometrijske progresije.

Rješenje: Zapišimo uvjet problema u obrazac

Za izračune koristimo formulu za n-ti pojam geometrijske progresije

Na njegovoj osnovi nalazimo nepoznate članove progresije

Kao što vidite, izračunavanje članova geometrijske progresije nije teško. Sama progresija izgledat će ovako

Primjer 2. Dana su prva tri člana geometrijske progresije: 6; -12; 24. Pronađite nazivnik i njegov sedmi pojam.

Rješenje: Izračunavamo nazivnik geomitrijske progresije na temelju njegove definicije

Dobili smo izmjeničnu geometrijsku progresiju čiji je nazivnik -2. Sedmi pojam izračunava se formulom

Ovo je riješilo problem.

Primjer 3. Geometrijsku progresiju daju dva njegova člana ... Pronađite deseti pojam u progresiji.

Odluka:

Napišimo zadane vrijednosti kroz formule

Prema pravilima, bilo bi potrebno pronaći nazivnik, a zatim potražiti željenu vrijednost, ali za deseti pojam imamo

Ista formula može se dobiti na temelju jednostavnih manipulacija ulaznim podacima. Kao rezultat dobivamo šesti pojam serije s drugim

Ako se dobivena vrijednost pomnoži sa šestim članom, dobivamo deseti

Dakle, za takve zadatke, koristeći brze jednostavne transformacije, možete pronaći pravo rješenje.

Primjer 4. Geometrijska progresija dana je ponavljajućim formulama

Pronađite nazivnik geometrijske progresije i zbroj prvih šest članaka.

Odluka:

Zapišimo zadane podatke u obliku sustava jednadžbi

Izrazi nazivnik dijeljenjem druge jednadžbe s prvom

Pronađite prvi pojam napredovanja iz prve jednadžbe

Izračunajmo sljedećih pet članaka kako bismo pronašli zbroj geometrijske progresije

Upute

10, 30, 90, 270...

Potrebno je pronaći nazivnik geometrijske progresije.
Odluka:

Opcija 1. Uzmimo proizvoljni pojam napredovanja (na primjer 90) i podijelimo ga s prethodnim (30): 90/30 \u003d 3.

Ako znate zbroj nekoliko članova geometrijske progresije ili zbroj svih članova opadajuće geometrijske progresije, tada za pronalaženje nazivnika progresije upotrijebite odgovarajuće formule:
Sn \u003d b1 * (1-q ^ n) / (1-q), gdje je Sn zbroj prvih n člana u geometrijskoj progresiji i
S \u003d b1 / (1-q), gdje je S zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije (zbroj svih članova progresije s nazivnikom manjim od jedan).
Primjer.

Prvi član opadajuće geometrijske progresije jednak je jedinici, a zbroj svih njegovih članova jednak je dvama.

Potrebno je odrediti nazivnik ove progresije.
Odluka:

Uključite podatke iz problema u formulu. Ispada:
2 \u003d 1 / (1-q), odakle - q \u003d 1/2.

Napredak je niz brojeva. U geometrijskoj progresiji svaki sljedeći član dobiva se množenjem prethodnog s nekim brojem q, nazvanim nazivnikom progresije.

Upute

Ako su poznata dva susjedna člana geometrijskog b (n + 1) i b (n), da bi se dobio nazivnik, broj s većim mora se podijeliti s onim koji mu prethodi: q \u003d b (n + 1) / b (n). To proizlazi iz definicije progresije i njenog nazivnika. Važan uvjet je nejednakost prvog člana i nazivnik napredovanja na nulu, inače se smatra nedefiniranim.

Dakle, između članova progresije uspostavljaju se sljedeći odnosi: b2 \u003d b1 q, b3 \u003d b2 q,…, b (n) \u003d b (n-1) q. Formulom b (n) \u003d b1 q ^ (n-1) može se izračunati bilo koji pojam geometrijske progresije u kojem su poznati nazivnik q i pojam b1. Također, svaka progresija u modulu jednaka je prosjeku susjednih članova: | b (n) | \u003d √, stoga je progresija dobila svoju.

Analog geometrijske progresije je najjednostavnija eksponencijalna funkcija y \u003d a ^ x, gdje je x u eksponentu, a a je neki broj. U ovom slučaju, nazivnik napredovanja podudara se s prvim članom i jednak je broju a. Vrijednost funkcije y može se shvatiti kao n-ti pojam napredovanja ako se argument x uzme kao prirodni broj n (brojač).

Još jedno važno svojstvo geometrijske progresije, koje je dalo geometrijsku progresiju