Ako svaki prirodni broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da dano niz brojeva :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, numerički niz je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 nazvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treći i tako dalje. Broj a n nazvao n-ti član sekvence , i prirodni broj n — njegov broj .

Od dva susjedna člana a n i a n +1 nizovi članova a n +1 nazvao naknadni (prema a n ), a a n — prethodni (prema a n +1 ).

Da biste odredili slijed, morate navesti metodu koja vam omogućuje pronalazak člana niza s bilo kojim brojem.

Često se niz daje uz n-ti član formule , odnosno formula koja omogućuje određivanje člana niza po njegovom broju.

Na primjer,

niz pozitivnih neparnih brojeva može se dati formulom

a n= 2n- 1,

i slijed izmjeničnog 1 i -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Redoslijed se može odrediti rekurentna formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jednog ili više) članova.

Na primjer,

ako a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako a a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada je prvih sedam članova numeričkog niza postavljeno na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Nizovi se mogu konačni i beskrajan .

Niz se zove ultimativno ako ima konačan broj članova. Niz se zove beskrajan ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvoznamenkastih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

konačni.

Niz prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajan. ◄

Niz se zove povećavajući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Niz se zove opadajući , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . je uzlazni niz;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . je silazni niz. ◄

Niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja ili, obrnuto, ne povećavaju, naziva se monoton niz .

Konkretno, monotoni nizovi su rastući i opadajući nizovi.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija naziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom kojemu se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

a n +1 = a n + d,

gdje d - neki broj.

Dakle, razlika između sljedećeg i prethodnog člana danog aritmetička progresija uvijek konstantno:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d nazvao razlika aritmetičke progresije.

Za postavljanje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njen prvi član i razliku.

Na primjer,

ako a 1 = 3, d = 4 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d nju n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronaći trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očito

svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećeg člana.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Posljedično,

◄

Imajte na umu da n -ti član aritmetičke progresije može se pronaći ne samo kroz a 1 , ali i svaki prethodni a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

za a 5 može se napisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

onda očito

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovici zbroja članova te aritmetičke progresije koji su jednako udaljeni od njega.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju vrijedi jednakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jer

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n članova aritmetičke progresije jednak je umnošku polovine zbroja ekstremnih članova s ​​brojem članova:

Iz ovoga osobito proizlazi da ako je potrebno zbrajati pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je dana aritmetička progresija, onda količine a 1 , a n, d, n iS n povezuju dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula spojenih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Aritmetička progresija je monoton niz. pri čemu:

• ako d > 0 , tada se povećava;
• ako d < 0 , tada se smanjuje;
• ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.

Geometrijska progresija

geometrijska progresija naziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnoženom s istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

b n +1 = b n · q,

gdje q ≠ 0 - neki broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana ove geometrijske progresije prema prethodnom je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q nazvao nazivnik geometrijske progresije.

Za postavljanje geometrijske progresije dovoljno je odrediti njen prvi član i nazivnik.

Na primjer,

ako b 1 = 1, q = -3 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i nazivnik q nju n -ti član se može pronaći formulom:

b n = b 1 · q n -1 .

Na primjer,

pronaći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

onda očito

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i sljedećeg člana.

Budući da vrijedi i obrnuto, vrijedi sljedeća tvrdnja:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak umnošku druga dva, odnosno jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

dokažimo da niz zadan formulom b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Posljedično,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje traženu tvrdnju. ◄

Imajte na umu da n th član geometrijske progresije može se naći ne samo kroz b 1 , ali i svaki prethodni mandat b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · q n - k.

Na primjer,

za b 5 može se napisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

onda očito

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je umnošku članova te progresije jednako udaljenih od njega.

Osim toga, za bilo koju geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

eksponencijalno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n članovi geometrijske progresije s nazivnikom q ≠ 0 izračunava se formulom:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= n.b. 1

Imajte na umu da ako trebamo zbrojiti pojmove

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

Na primjer,

eksponencijalno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je dana geometrijska progresija, onda količine b 1 , b n, q, n i S n povezuju dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula spojenih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i nazivnik q dogodi se sljedeće svojstva monotonosti :

• progresija se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 i q> 1;

b 1 < 0 i 0 < q< 1;

• Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 i 0 < q< 1;

b 1 < 0 i q> 1.

Ako a q< 0 , tada je geometrijska progresija predznakoizmjenična: njezini neparni članovi imaju isti predznak kao prvi član, a parni članovi imaju suprotan predznak. Jasno je da izmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Proizvod prvog n članovi geometrijske progresije mogu se izračunati po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno padajuća geometrijska progresija

Beskonačno padajuća geometrijska progresija naziva se beskonačna geometrijska progresija čiji je modul nazivnika manji od 1 , to je

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno padajuća geometrijska progresija ne mora biti padajući niz. Ovo odgovara slučaju

1 < q< 0 .

S takvim nazivnikom niz je predznakoizmjeničan. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj kojem je zbroj prvog n uvjetima progresije s neograničenim povećanjem broja n . Taj je broj uvijek konačan i izražava se formulom

Na primjer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Odnos aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetička i geometrijska progresija su usko povezane. Razmotrimo samo dva primjera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , onda

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primjer,

1, 3, 5, . . . — aritmetička progresija s razlikom 2 i

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . je geometrijska progresija s nazivnikom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . je geometrijska progresija s nazivnikom q , onda

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetička progresija s razlikom log aq .

Na primjer,

2, 12, 72, . . . je geometrijska progresija s nazivnikom 6 i

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetička progresija s razlikom lg 6 . ◄

Matematika je štoljudi kontroliraju prirodu i sebe.

Sovjetski matematičar, akademik A.N. Kolmogorov

Geometrijska progresija.

Uz zadatke za aritmetičke progresije, zadaci vezani uz pojam geometrijske progresije također su česti na prijemnim ispitima iz matematike. Da biste uspješno riješili takve probleme, morate poznavati svojstva geometrijske progresije i imati dobre vještine u njihovoj upotrebi.

Ovaj članak posvećen je prikazu glavnih svojstava geometrijske progresije. Također daje primjere rješavanja tipičnih problema, posuđene iz zadataka prijemnih ispita iz matematike.

Preliminarno zabilježimo glavna svojstva geometrijske progresije i prisjetimo se najvažnijih formula i izjava, povezan s ovim pojmom.

Definicija. Numerički niz naziva se geometrijskom progresijom ako je svaki njegov broj, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnoženom s istim brojem. Broj se naziva nazivnik geometrijske progresije.

Za geometrijsku progresijuformule vrijede

, (1)

gdje . Formula (1) naziva se formulom općeg člana geometrijske progresije, a formula (2) je glavno svojstvo geometrijske progresije: svaki član progresije podudara se s geometrijskom sredinom svojih susjednih članova i .

Bilješka, da se upravo zbog tog svojstva dotična progresija naziva "geometrijskom".

Gore navedene formule (1) i (2) sažete su kako slijedi:

, (3)

Za izračunavanje zbroja prvi članovi geometrijske progresijeprimjenjuje se formula

Ako odredimo

gdje . Kako je , formula (6) je generalizacija formule (5).

U slučaju kada i geometrijska progresijabeskonačno opada. Za izračunavanje zbrojasvih članova beskonačno padajuće geometrijske progresije koristi se formula

. (7)

Na primjer , pomoću formule (7) može se pokazati, što

gdje . Te se jednakosti dobivaju iz formule (7) uz uvjet da je , (prva jednakost) i , (druga jednakost).

Teorema. Ako tada

Dokaz. Ako tada ,

Teorem je dokazan.

Prijeđimo na razmatranje primjera rješavanja problema na temu "Geometrijska progresija".

Primjer 1 Zadano: , i . Pronaći .

Riješenje. Ako se primijeni formula (5), tada

Odgovor: .

Primjer 2 Neka i . Pronaći .

Riješenje. Kako je i koristimo formule (5), (6) i dobivamo sustav jednadžbi

Ako se druga jednadžba sustava (9) podijeli s prvom, zatim ili . Iz ovoga slijedi . Razmotrimo dva slučaja.

1. Ako , tada iz prve jednadžbe sustava (9) imamo.

2. Ako je , tada .

Primjer 3 Neka , i . Pronaći .

Riješenje. Iz formule (2) slijedi ili . Od , dakle ili .

Po stanju. Međutim dakle . Jer i, onda ovdje imamo sustav jednadžbi

Ako se druga jednadžba sustava podijeli s prvom, tada je ili .

Budući da jednadžba ima jedan odgovarajući korijen. U ovom slučaju prva jednadžba sustava implicira .

Uzimajući u obzir formulu (7), dobivamo.

Odgovor: .

Primjer 4 Zadano: i . Pronaći .

Riješenje. Od tad .

Jer , onda ili

Prema formuli (2) imamo . S tim u vezi, iz jednakosti (10) dobivamo ili .

Međutim, prema uvjetu , dakle .

Primjer 5 Poznato je da . Pronaći .

Riješenje. Prema teoremu imamo dvije jednakosti

Od , dakle ili . Jer dakle .

Odgovor: .

Primjer 6 Zadano: i . Pronaći .

Riješenje. Uzimajući u obzir formulu (5), dobivamo

Od tad . Od , i , tada .

Primjer 7 Neka i . Pronaći .

Riješenje. Prema formuli (1) možemo pisati

Stoga imamo ili . Poznato je da i , dakle i .

Odgovor: .

Primjer 8 Pronađite nazivnik beskonačne padajuće geometrijske progresije ako

i .

Riješenje. Iz formule (7) slijedi i . Odavde i iz uvjeta zadatka dobivamo sustav jednadžbi

Ako je prva jednadžba sustava kvadrirana, a zatim dobivenu jednadžbu podijelite s drugom jednadžbom, onda dobivamo

Ili .

Odgovor: .

Primjer 9 Pronađite sve vrijednosti za koje je niz , , geometrijska progresija.

Riješenje. Neka , i . Prema formuli (2), koja definira glavno svojstvo geometrijske progresije, možemo napisati ili .

Odavde dobivamo kvadratnu jednadžbu, čiji su korijeni i .

Provjerimo: ako, zatim , i ; ako , onda , i .

U prvom slučaju imamo i , au drugom - i .

Odgovor: , .

Primjer 10riješiti jednadžbu

, (11)

gdje i .

Riješenje. Lijeva strana jednadžbe (11) je zbroj beskonačne opadajuće geometrijske progresije, u kojoj je i , uz uvjet: i .

Iz formule (7) slijedi, što . S tim u vezi, jednadžba (11) ima oblik ili . prikladan korijen kvadratna jednadžba je

Odgovor: .

Primjer 11. P niz pozitivnih brojevatvori aritmetičku progresiju, a - geometrijska progresija, kakve to ima veze s . Pronaći .

Riješenje. Jer aritmetički niz, onda (glavno svojstvo aritmetičke progresije). Jer, zatim ili . Iz čega slijedi , da je geometrijska progresija. Prema formuli (2), onda to pišemo .

Od i , dakle . U tom slučaju izraz poprima oblik ili . Po uvjetu, pa iz jednadžbedobivamo jedina odluka problem koji se razmatra, tj. .

Odgovor: .

Primjer 12. Izračunaj zbroj

. (12)

Riješenje. Obje strane jednakosti (12) pomnožimo s 5 i dobijemo

Ako od dobivenog izraza oduzmemo (12)., onda

ili .

Za izračun zamijenimo vrijednosti u formulu (7) i dobijemo . Od tad .

Odgovor: .

Ovdje navedeni primjeri rješavanja zadataka bit će korisni pristupnicima u pripremi za prijamne ispite. Za dublje proučavanje metoda rješavanja problema, povezana s geometrijskom progresijom, može se koristiti vodiči za učenje s popisa preporučene literature.

1. Zbirka zadataka iz matematike za pristupnike tehničkim sveučilištima / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatna sekcija školski plan i program. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 str.

3. Medynsky M.M. Cijeli tečaj elementarna matematika u zadacima i vježbama. Knjiga 2: Brojevni nizovi i progresije. – M.: Editus, 2015. - 208 str.

Imate li kakvih pitanja?

Za pomoć mentora - prijavite se.

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.

Već unutra Drevni Egipt poznavao ne samo aritmetiku, nego i geometrijsku progresiju. Evo, na primjer, zadatka iz papirusa Rhind: “Sedam lica ima sedam mačaka; svaka mačka pojede sedam miševa, svaki miš pojede sedam klasova, iz svakog klasa može izrasti sedam mjera ječma. Koliki su brojevi u ovom nizu i njihov zbroj?

Riža. 1. Staroegipatski problem geometrijske progresije

Taj se zadatak ponavljao mnogo puta s različitim varijacijama među drugim narodima u drugim vremenima. Na primjer, u napisanom u XIII stoljeću. "Knjiga o abakusu" Leonarda iz Pize (Fibonacci) ima problem u kojem se pojavljuje 7 starica na putu za Rim (očito hodočasnika), od kojih svaka ima 7 mazgi, od kojih svaka ima 7 torbi, od kojih svaka ima 7 kruhova, od kojih svaki ima 7 noževa, od kojih je svaki u 7 korica. Problem pita koliko ima stavki.

Zbroj prvih n članova geometrijske progresije S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Ova se formula može dokazati, na primjer, na sljedeći način: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Dodajmo S n broj b 1 q n i dobijemo:

Stoga S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), i dobivamo potrebnu formulu.

Već na jednoj od glinenih ploča drevnog Babilona, ​​koja datira iz VI stoljeća. PRIJE KRISTA e., sadrži zbroj 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Istina, kao i u nizu drugih slučajeva, ne znamo gdje je ova činjenica bila poznata Babiloncima .

Brzi rast geometrijske progresije u nizu kultura, posebno u Indiji, opetovano se koristi kao jasan simbol neizmjernosti svemira. U poznatoj legendi o pojavi šaha, vladar daje izumitelju šaha mogućnost da sam odabere nagradu, a traži onoliki broj zrna pšenice koliko će se dobiti ako se jedno stavi na prvu ćeliju šaha. šahovskoj ploči, dva na drugoj, četiri na trećoj, osam na četvrtoj itd., svaki put kad se broj udvostruči. Gospodar je tako mislio pričamo, najviše oko nekoliko vrećica, ali krivo je izračunao. Lako je vidjeti da je za sva 64 polja šahovske ploče izumitelj trebao dobiti (2 64 - 1) zrna, što je izraženo 20-znamenkastim brojem; čak i kad bi se zasijala cijela površina Zemlje, trebalo bi najmanje 8 godina da se prikupi potreban broj zrna. Ova se legenda ponekad tumači kao referenca na gotovo neograničene mogućnosti skrivene u igri šaha.

Činjenicu da je ovaj broj stvarno 20-znamenkasti lako je vidjeti:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (točniji izračun daje 1,84 10 19). Ali pitam se možete li saznati kojom znamenkom ovaj broj završava?

Geometrijska progresija je rastuća ako je nazivnik apsolutne vrijednosti veći od 1, odnosno pada ako je manji od jedan. U potonjem slučaju, broj q n može postati proizvoljno malen za dovoljno velik n. Dok rastući eksponencijal raste neočekivano brzo, opadajući eksponencijal se smanjuje jednako brzo.

Što je n veći, to se broj q n slabije razlikuje od nule i što je zbroj n članova geometrijske progresije S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) bliži broju S \u003d b 1 / (1 - q) . (Tako je obrazložio, na primjer, F. Viet). Broj S naziva se zbrojem beskonačno padajuće geometrijske progresije. Međutim, stoljećima matematičarima nije bilo dovoljno jasno pitanje koje je značenje zbrajanja SVIH geometrijskih progresija, sa svojim beskonačnim brojem članova.

Opadajuća geometrijska progresija može se vidjeti, primjerice, u Zenonovim aporijama "Grizanje" i "Ahilej i kornjača". U prvom slučaju jasno je pokazano da je cijela cesta (pretpostavimo duljinu 1) zbroj beskonačnog broja segmenata 1/2, 1/4, 1/8 itd. To je, naravno, slučaj od gledište ideja o konačnom zbroju beskonačna geometrijska progresija. Pa ipak - kako to može biti?

U aporiji o Ahileju situacija je malo kompliciranija, jer ovdje nazivnik progresije nije jednak 1/2, već nekom drugom broju. Neka, na primjer, Ahilej trči brzinom v, kornjača se kreće brzinom u, a početna udaljenost između njih je l. Ahilej će pretrčati tu udaljenost za vrijeme l/v, kornjača će prijeći udaljenost lu/v za to vrijeme. Kada Ahilej prođe kroz ovaj segment, udaljenost između njega i kornjače postat će jednaka l (u / v) 2, itd. Ispada da sustizanje kornjače znači pronalaženje zbroja beskonačno padajuće geometrijske progresije s prvim član l i nazivnik u / v. Ovaj zbroj - segment koji će Ahilej na kraju pretrčati do točke susreta s kornjačom - jednak je l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Ali, opet, kako protumačiti ovaj rezultat i zašto on uopće ima smisla, dugo vremena nije bilo baš jasno.

Zbroj geometrijske progresije koristio je Arhimed pri određivanju površine segmenta parabole. Neka je zadani isječak parabole omeđen tetivom AB i neka je tangenta u točki D parabole paralelna s AB. Neka je C polovište AB, E polovište AC, F polovište CB. Nacrtaj pravce paralelne s DC kroz točke A, E, F, B; neka tangenta povučena u točki D , te se linije sijeku u točkama K , L , M , N . Nacrtajmo i segmente AD i DB. Neka pravac EL siječe pravac AD u točki G, a parabolu u točki H; pravac FM siječe pravac DB u točki Q, a parabolu u točki R. Prema općoj teoriji stožastih presjeka, DC je promjer parabole (to jest, segment paralelan s njezinom osi); ona i tangenta u točki D mogu poslužiti kao koordinatne osi x i y, u kojoj je jednadžba parabole napisana kao y 2 \u003d 2px (x je udaljenost od D do bilo koje točke zadanog promjera, y je duljina segment paralelan zadanoj tangenti od ove točke promjera do neke točke na samoj paraboli).

Na temelju jednadžbe parabole, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , a budući da je DK = 2DL , tada je KA = 4LH . Kako je KA = 2LG, LH = HG. Površina segmenta ADB parabole jednaka je površini trokuta ΔADB i površinama segmenata AHD i DRB zajedno. S druge strane, površina segmenta AHD jednako je površini trokuta AHD i preostalih segmenata AH i HD, sa svakim od kojih se može izvesti ista operacija - podijeliti u trokut (Δ) i dva preostala segmenta (), itd.:

Površina trokuta ΔAHD jednaka je polovici površine trokuta ΔALD (imaju zajedničku bazu AD, a visine se razlikuju 2 puta), što je pak jednako polovici površine ​trokuta ΔAKD, a time i polovice površine trokuta ΔACD. Dakle, površina trokuta ΔAHD jednaka je četvrtini površine trokuta ΔACD. Isto tako, površina trokuta ΔDRB jednaka je četvrtini površine trokuta ΔDFB. Dakle, površine trokuta ∆AHD i ∆DRB, uzeti zajedno, jednake su četvrtini površine trokuta ∆ADB. Ponavljanje ove operacije primijenjene na segmente AH, HD, DR i RB također će odabrati trokute iz njih, čija će površina, uzeta zajedno, biti 4 puta manja od površine trokuta ΔAHD i ΔDRB, uzetih zajedno, dakle 16 puta manje od površine trokuta ΔADB . I tako dalje:

Tako je Arhimed dokazao da je "svaki segment zatvoren između ravne crte i parabole četiri trećine trokuta koji ima istu osnovicu i jednaku visinu s njom."

Geometrijska progresija je, uz aritmetiku, važan niz brojeva koji se proučava u školski tečaj algebre u 9. razredu. U ovom ćemo članku razmotriti nazivnik geometrijske progresije i kako njegova vrijednost utječe na svojstva.

Definicija geometrijske progresije

Za početak dajemo definiciju ovog niza brojeva. Geometrijska progresija je niz racionalni brojevi, koji se formira uzastopnim množenjem njegovog prvog elementa s konstantnim brojem koji se naziva nazivnik.

Na primjer, brojevi u nizu 3, 6, 12, 24, ... su geometrijska progresija, jer ako pomnožimo 3 (prvi element) sa 2, dobit ćemo 6. Ako pomnožimo 6 sa 2, dobit ćemo 12, i tako dalje.

Članovi niza koji se razmatra obično se označavaju simbolom ai, gdje je i cijeli broj koji označava broj elementa u nizu.

Gornja definicija progresije može se jezikom matematike napisati na sljedeći način: an = bn-1 * a1, gdje je b nazivnik. Lako je provjeriti ovu formulu: ako je n = 1, tada je b1-1 = 1, te dobivamo a1 = a1. Ako je n = 2, tada je an = b * a1, i opet dolazimo do definicije niza brojeva koji se razmatra. Slično razmišljanje može se nastaviti za velike vrijednosti n.

Nazivnik geometrijske progresije

Broj b u potpunosti određuje kakav će karakter imati cijeli niz brojeva. Nazivnik b može biti pozitivan, negativan ili veći ili manji od jedan. Sve gore navedene opcije dovode do različitih sekvenci:

• b > 1. Postoji sve veći niz racionalnih brojeva. Na primjer, 1, 2, 4, 8, ... Ako je element a1 negativan, tada će se cijeli niz povećavati samo modulo, ali smanjivati ​​uzimajući u obzir predznak brojeva.
• b = 1. Često se takav slučaj ne naziva progresijom, budući da postoji običan niz identičnih racionalnih brojeva. Na primjer, -4, -4, -4.

Formula za zbroj

Prije nastavka pregleda specifične zadatke koristeći nazivnik vrste progresije koja se razmatra, treba dati važnu formulu za zbroj njenih prvih n elemenata. Formula je: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Ovaj izraz možete dobiti sami ako uzmete u obzir rekurzivni niz članova progresije. Također imajte na umu da je u gornjoj formuli dovoljno znati samo prvi element i nazivnik da biste pronašli zbroj proizvoljan brojčlanova.

Beskonačno padajući niz

Gore je bilo objašnjenje što je to. Sada, znajući formulu za Sn, primijenimo je na ovaj niz brojeva. Budući da svaki broj čiji modul ne prelazi 1 teži nuli kada se podigne na velike potencije, to jest, b∞ => 0 ako je -1

Kako će razlika (1 - b) uvijek biti pozitivna, bez obzira na vrijednost nazivnika, predznak zbroja beskonačno opadajuće geometrijske progresije S∞ jednoznačno je određen predznakom njenog prvog elementa a1.

Sada ćemo razmotriti nekoliko problema, gdje ćemo pokazati kako primijeniti stečeno znanje na određene brojeve.

Zadatak broj 1. Izračunavanje nepoznatih elemenata progresije i zbroja

Zadana je geometrijska progresija, nazivnik progresije je 2, a njen prvi element je 3. Koliki će biti njen 7. i 10. član, a koliki je zbroj njenih sedam početnih elemenata?

Uvjet problema je prilično jednostavan i uključuje izravnu upotrebu gornjih formula. Dakle, za izračun elementa s brojem n koristimo izraz an = bn-1 * a1. Za 7. element imamo: a7 = b6 * a1, zamjenom poznatih podataka dobivamo: a7 = 26 * 3 = 192. Isto radimo i za 10. član: a10 = 29 * 3 = 1536.

Koristimo dobro poznatu formulu za zbroj i tu vrijednost određujemo za prvih 7 elemenata niza. Imamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Zadatak broj 2. Određivanje zbroja proizvoljnih elemenata progresije

Neka -2 bude nazivnik eksponencijalne progresije bn-1 * 4, gdje je n cijeli broj. Potrebno je odrediti zbroj od 5. do uključivo 10. elementa ovog niza.

Postavljeni problem ne može se izravno riješiti pomoću poznatih formula. Možete to riješiti s 2 razne metode. Radi cjelovitosti, predstavljamo oboje.

Metoda 1. Ideja je jednostavna: morate izračunati dva odgovarajuća zbroja prvih članova, a zatim od jednog oduzeti drugi. Izračunajte manji zbroj: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sada izračunavamo veliki zbroj: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Imajte na umu da su u posljednjem izrazu zbrojena samo 4 člana, budući da je 5. već uključen u zbroj koji treba izračunati prema uvjetu problema. Na kraju, uzimamo razliku: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metoda 2. Prije zamjene brojeva i brojanja, možete dobiti formulu za zbroj između članova m i n predmetnog niza. Ponašamo se na potpuno isti način kao u metodi 1, samo što prvo radimo sa simboličkim prikazom zbroja. Imamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Možete zamijeniti poznate brojeve u dobiveni izraz i izračunati konačni rezultat: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Zadatak broj 3. Što je nazivnik?

Neka je a1 = 2, nađi nazivnik geometrijske progresije, uz uvjet da je njegov beskonačni zbroj 3, a poznato je da je to opadajući niz brojeva.

Prema uvjetu zadatka nije teško pogoditi kojom formulom ga treba riješiti. Naravno, za zbroj beskonačno opadajuće progresije. Imamo: S∞ = a1 / (1 - b). Odakle izražavamo nazivnik: b = 1 - a1 / S∞. Ostaje zamijeniti poznate vrijednosti ​​i dobiti traženi broj: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 ili -0,333 (3). Ovaj rezultat možemo kvalitativno provjeriti ako se sjetimo da za ovu vrstu niza, modul b ne smije prelaziti 1. Kao što vidite, |-1 / 3|

Zadatak broj 4. Vraćanje niza brojeva

Neka su dana 2 elementa niza brojeva, npr. 5. je jednak 30, a 10. je jednak 60. Potrebno je obnoviti cijeli niz iz tih podataka, znajući da on zadovoljava svojstva geometrijske progresije.

Da biste riješili zadatak, morate prvo napisati odgovarajući izraz za svaki poznati član. Imamo: a5 = b4 * a1 i a10 = b9 * a1. Sada dijelimo drugi izraz s prvim, dobivamo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odavde određujemo nazivnik uzimajući korijen petog stupnja omjera članova poznatog iz uvjeta problema, b = 1,148698. Zamijenimo dobiveni broj u jedan od izraza za poznati element, dobivamo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Dakle, našli smo koliki je nazivnik progresije bn, a geometrijske progresije bn-1 * 17,2304966 = an, gdje je b = 1,148698.

Gdje se koriste geometrijske progresije?

Kad ne bi bilo primjene ovog numeričkog niza u praksi, njegovo bi se proučavanje svelo na čisto teorijski interes. Ali postoji takva aplikacija.

U nastavku su navedena 3 najpoznatija primjera:

• Zenonov paradoks, u kojem okretni Ahil ne može sustići sporu kornjaču, rješava se konceptom beskonačno padajućeg niza brojeva.
• Ako se zrna pšenice stave na svaku ćeliju šahovske ploče tako da se 1 zrno stavi u 1. ćeliju, 2 - u 2., 3 - u 3. i tako dalje, tada će biti potrebno 18446744073709551615 zrna da se popune sve ćelije šahovske ploče. Ploča!
• U igrici "Tower of Hanoi", da bi se presložili diskovi s jedne šipke na drugu, potrebno je izvršiti 2n - 1 operaciju, odnosno njihov broj eksponencijalno raste od broja diskova n koji se koriste.

Formula za n-ti član geometrijske progresije je vrlo jednostavna stvar. I u smislu i općenito. No postoje razni problemi za formulu n-tog člana - od vrlo primitivnih do vrlo ozbiljnih. I u procesu našeg poznanstva, svakako ćemo razmotriti oboje. Pa, da se nađemo?)

Dakle, zapravo za početak formulan

Evo je:

b n = b 1 · q n -1

Formula kao formula, ništa nadnaravno. Izgleda još jednostavnije i kompaktnije od slične formule za . Značenje formule je također jednostavno, poput filcane čizme.

Ova formula vam omogućuje da pronađete BILO KOJI član geometrijske progresije PO NJEGOVOM BROJU " n".

Kao što vidite, značenje je potpuna analogija s aritmetičkom progresijom. Znamo broj n - možemo izračunati i član pod tim brojem. Što želimo. Ne množenje uzastopno s "q" mnogo, mnogo puta. To je cijela poanta.)

Razumijem da bi vam na ovoj razini rada s progresijama već trebale biti jasne sve količine uključene u formulu, ali smatram svojom dužnošću svaku dešifrirati. Za svaki slučaj.

Pa, idemo:

b 1 – prvičlan geometrijske progresije;

q – ;

n– broj člana;

b n – n-ti (nth)član geometrijske progresije.

Ova formula povezuje četiri glavna parametra bilo koje geometrijske progresije - bn, b 1 , q i n. A oko ove četiri ključne brojke vrte se svi-svi zadaci u tijeku.

"A kako se prikazuje?"- Čujem znatiželjno pitanje ... Elementarno! Izgled!

Što je jednako drugičlan progresije? Nema problema! Pišemo direktno:

b 2 = b 1 q

A treći član? Nije problem! Drugi član množimo opet naq.

Kao ovo:

B 3 \u003d b 2 q

Prisjetimo se sada da je drugi član, pak, jednak b 1 q i zamijenimo ovaj izraz u našu jednakost:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Dobivamo:

B 3 = b 1 q 2

Sada pročitajmo naš unos na ruskom: trećičlan je jednak prvom članu pomnoženom sa q in drugi stupanj. shvaćate li Ne još? U redu, još jedan korak.

Što je četvrti pojam? Sve isto! Pomnožiti prethodni(tj. treći član) na q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Ukupno:

B 4 = b 1 q 3

I opet prevodimo na ruski: Četvrtačlan je jednak prvom članu pomnoženom sa q in treći stupanj.

I tako dalje. Pa kako je? Jeste li uhvatili uzorak? Da! Za bilo koji izraz s bilo kojim brojem, broj jednakih faktora q (tj. snaga nazivnika) uvijek će biti jedan manje od broja željenog članan.

Stoga će naša formula biti, bez opcija:

b n =b 1 · q n -1

To je sve.)

Pa, hajdemo riješiti probleme, hoćemo li?)

Rješavanje zadataka na formulinčlan geometrijske progresije.

Počnimo, kao i obično, s izravnom primjenom formule. Evo tipičnog problema:

Eksponencijalno se zna da b 1 = 512 i q = -1/2. Pronađite deseti član progresije.

Naravno, ovaj se problem može riješiti bez ikakvih formula. Baš kao geometrijska progresija. Ali trebamo se zagrijati s formulom n-tog člana, zar ne? Evo rastajemo se.

Naši podaci za primjenu formule su sljedeći.

Prvi termin je poznat. Ovo je 512.

b 1 = 512.

Poznat je i nazivnik progresije: q = -1/2.

Ostaje samo otkriti čemu je jednak broj člana n. Nema problema! Zanima li nas deseti mandat? Dakle, zamijenili smo deset umjesto n u općoj formuli.

I pažljivo izračunajte aritmetiku:

Odgovor: -1

Kao što vidite, deseti član progresije ispao je s minusom. Nije ni čudo: nazivnik progresije je -1/2, tj. negativan broj. A to nam govori da se znakovi našeg napredovanja izmjenjuju, da.)

Ovdje je sve jednostavno. I ovdje je sličan problem, ali malo kompliciraniji u smislu izračuna.

U geometrijskoj progresiji znamo da:

b 1 = 3

Pronađite trinaesti član progresije.

Sve je isto, samo ovaj put nazivnik progresije - iracionalan. Korijen iz dva. Pa, ništa strašno. Formula je univerzalna stvar, nosi se s bilo kojim brojevima.

Radimo izravno prema formuli:

Formula je, naravno, funkcionirala kako treba, ali ... ovdje će neki ostati. Što dalje učiniti s rootom? Kako podići korijen na dvanaestu potenciju?

Kako-kako ... Morate shvatiti da je svaka formula, naravno, dobra stvar, ali znanje sve prethodne matematike nije poništeno! Kako podići? Da, zapamtite svojstva stupnjeva! Promijenimo korijen u razlomački stupanj i - formulom dizanja potencije na potenciju.

Kao ovo:

Odgovor: 192

I sve stvari.)

Koja je glavna poteškoća u izravnoj primjeni formule n-tog člana? Da! Glavna poteškoća je rad s diplomama! Naime, potenciranje negativni brojevi, razlomci, korijeni i slične strukture. Dakle, oni koji imaju problema s ovim, hitna molba za ponavljanje stupnjeva i njihovih svojstava! Inače ćete usporiti u ovoj temi, da ...)

Sada riješimo tipične probleme pretraživanja jedan od elemenata formule ako su svi ostali dati. Za uspješno rješavanje ovakvih problema, recept je jedan i jednostavan do užasa - napiši formulunčlan u opći pogled! Odmah u bilježnicu pored stanja. I onda iz stanja skužimo što nam je dano, a što nedovoljno. I izražavamo iz formule željenu vrijednost. Sve!

Na primjer, takav bezopasni problem.

Peti član geometrijske progresije s nazivnikom 3 je 567. Pronađite prvi član ove progresije.

Ništa komplicirano. Radimo izravno prema čaroliji.

Zapisujemo formulu n-tog člana!

b n = b 1 · q n -1

Što nam je dano? Prvo je dan nazivnik progresije: q = 3.

Osim toga, dano nam je peti mandat: b 5 = 567 .

Sve? Ne! Zadan nam je i broj n! Ovo je petica: n = 5.

Nadam se da već razumijete što je u zapisniku b 5 = 567 dva su parametra skrivena odjednom - ovo je sam peti član (567) i njegov broj (5). U sličnoj lekciji već sam govorio o tome, ali mislim da nije suvišno podsjetiti ovdje.)

Sada zamijenimo naše podatke u formulu:

567 = b 1 3 5-1

Razmatramo aritmetiku, pojednostavljujemo i dobivamo jednostavnu Linearna jednadžba:

81 b 1 = 567

Rješavamo i dobivamo:

b 1 = 7

Kao što vidite, nema problema s pronalaskom prvog člana. Ali kad se traži nazivnik q i brojevima n može biti iznenađenja. I također morate biti spremni na njih (iznenađenja), da.)

Na primjer, takav problem:

Peti član geometrijske progresije s pozitivnim nazivnikom je 162, a prvi član ove progresije je 2. Odredite nazivnik progresije.

Ovaj put su nam dani prvi i peti član i od nas se traži da nađemo nazivnik progresije. Ovdje počinjemo.

Zapisujemo formulunti član!

b n = b 1 · q n -1

Naši početni podaci bit će sljedeći:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Nema dovoljno vrijednosti q. Nema problema! Pronađimo ga sada.) Sve što znamo zamijenimo u formulu.

Dobivamo:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Jednostavna jednadžba četvrtog stupnja. Ali sad - pažljivo! U ovoj fazi rješenja mnogi učenici odmah radosno vade korijen (četvrtog stupnja) i dobivaju odgovor q=3 .

Kao ovo:

q4 = 81

q = 3

Ali općenito, ovo je nedovršen odgovor. Ili bolje rečeno, nepotpuno. Zašto? Poanta je da odgovor q = -3 također odgovara: (-3) 4 bi također bilo 81!

To je zato što jednadžba snage x n = a uvijek ima dva suprotna korijena na čakn . Plus i minus:

Oboje odgovara.

Na primjer, rješavanje (tj. drugi stupnjevi)

x2 = 9

Iz nekog razloga niste iznenađeni izgledom dva korijeni x=±3? I ovdje je isto. I s bilo kojom drugom čak stupanj (četvrti, šesti, deseti itd.) bit će isti. Detalji - u temi o

Zato prava odluka bit će ovako:

q 4 = 81

q= ±3

U redu, shvatili smo znakove. Što je točno - plus ili minus? Pa, ponovno čitamo uvjet problema u potrazi za dodatne informacije. To, naravno, ne može postojati, ali u ovom problemu takve informacije dostupno. U našem stanju je izravno navedeno da se progresija daje uz pozitivni nazivnik.

Dakle, odgovor je očit:

q = 3

Ovdje je sve jednostavno. Što mislite da bi se dogodilo da je izjava problema ovakva:

Peti član geometrijske progresije je 162, a prvi član ove progresije je 2. Nađite nazivnik progresije.

Koja je razlika? Da! U stanju ništa bez spomena nazivnika. Ni izravno ni neizravno. I tu bi već problem imao dva rješenja!

q = 3 i q = -3

Da da! I s plusom i minusom.) Matematički bi ta činjenica značila da postoje dvije progresije koji odgovaraju zadatku. I za svaki - svoj nazivnik. Za zabavu, vježbajte i zapišite prvih pet članova svakog.)

Sada vježbajmo pronaći broj člana. Ovo je najteže, da. Ali i kreativniji.

S obzirom na geometrijsku progresiju:

3; 6; 12; 24; …

Koji je broj 768 u ovoj progresiji?

Prvi korak je isti: napiši formulunti član!

b n = b 1 · q n -1

I sada, kao i obično, u njega zamjenjujemo podatke koji su nam poznati. Hm... ne pristaje! Gdje je prvi član, gdje je nazivnik, gdje je sve ostalo?!

Gdje, gdje ... Zašto nam trebaju oči? Lepršanje trepavica? Ovaj put progresija nam je dana izravno u obrascu sekvence. Možemo li vidjeti prvi termin? Mi vidimo! Ovo je trojka (b 1 = 3). Što je s nazivnikom? Još ga ne vidimo, ali je vrlo lako prebrojati. Ako, naravno, razumijete.

Ovdje smatramo. Izravno prema značenju geometrijske progresije: uzmemo bilo koji njezin član (osim prvog) i podijelimo s prethodnim.

Bar ovako:

q = 24/12 = 2

Što još znamo? Također znamo neki član ove progresije, jednak 768. Pod nekim brojem n:

b n = 768

Ne znamo njegov broj, ali naš zadatak je upravo pronaći ga.) Dakle, tražimo. Već smo preuzeli sve potrebne podatke za zamjenu u formuli. Neprimjetno.)

Ovdje zamjenjujemo:

768 = 3 2n -1

Pravimo elementarne - oba dijela podijelimo s tri i prepišemo jednadžbu u uobičajenom obliku: nepoznato lijevo, poznato desno.

Dobivamo:

2 n -1 = 256

Evo jedne zanimljive jednadžbe. Moramo pronaći "n". Što je neobično? Da, ne raspravljam. Zapravo, to je najjednostavnije. Zove se tako jer je nepoznato (u ovaj slučaj ovaj broj n) ulazi indikator stupanj.

U fazi upoznavanja s geometrijskom progresijom (ovo je deveti razred), eksponencijalne jednadžbe se ne uče rješavati, da ... Ovo je tema za srednju školu. Ali nema ništa strašno. Čak i ako ne znate kako se takve jednadžbe rješavaju, pokušajmo pronaći našu n vođeni jednostavnom logikom i zdravim razumom.

Počinjemo raspravljati. S lijeve strane imamo dvojku donekle. Još ne znamo koja je to točno diploma, ali to nije strašno. Ali s druge strane, čvrsto znamo da je taj stupanj jednak 256! Pa se sjećamo u kojoj mjeri nam dvojka daje 256. Sjećate se? Da! NA osmi stupnjeva!

256 = 2 8

Ako niste zapamtili ili s prepoznavanjem stupnjeva problema, onda je također u redu: samo redom podižemo dvojku na kvadrat, na kocku, na četvrtu potenciju, na petu i tako dalje. Selekcija je, zapravo, ali na ovoj razini, prava vožnja.

Na ovaj ili onaj način, dobit ćemo:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Dakle, 768 je devetičlan naše progresije. To je to, problem riješen.)

Odgovor: 9

Što? dosadno? Umorni ste od osnovnog? Slažem se. I ja isto. Idemo na sljedeću razinu.)

Složeniji zadaci.

A sada rješavamo zagonetke naglo. Nije baš super-cool, ali na kojem morate malo poraditi da biste došli do odgovora.

Na primjer, ovako.

Nađite drugi član geometrijske progresije ako je njegov četvrti član -24, a sedmi član 192.

Ovo je klasik žanra. Poznata su neka dva različita člana progresije, ali mora se pronaći još jedan član. Štoviše, svi članovi NISU susjedi. Ono što zbunjuje na prvu, da ...

Kao u , razmatramo dvije metode za rješavanje takvih problema. Prvi način je univerzalan. Algebarski. Radi besprijekorno s bilo kojim izvornim podacima. Dakle, tu ćemo početi.)

Svaki pojam slikamo prema formuli nti član!

Sve je potpuno isto kao i kod aritmetičke progresije. Samo ovaj put radimo sa još opća formula. To je sve.) Ali bit je ista: uzimamo i zauzvrat zamijenimo naše početne podatke u formulu n-tog člana. Za svakog člana - svoje.

Za četvrti član pišemo:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Tamo je. Jedna jednadžba je završena.

Za sedmi član pišemo:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Ukupno su dobivene dvije jednadžbe za ista progresija .

Od njih sastavljamo sustav:

Unatoč zastrašujućem izgledu, sustav je prilično jednostavan. Najočitiji način rješavanja je uobičajena zamjena. Izražavamo b 1 iz gornje jednadžbe i zamijenite u donju:

Malo petljanja s donjom jednadžbom (smanjenje eksponenata i dijeljenje s -24) daje:

q 3 = -8

Usput, do iste se jednadžbe može doći i na jednostavniji način! Što? Sada ću vam pokazati još jednu tajnu, ali vrlo lijepu, moćnu i koristan način rješenja za takve sustave. Takvi sustavi, u čijim jednadžbama sjede samo radi. Barem u jednom. nazvao metoda podjele pojmova jedna jednadžba u drugu.

Dakle, imamo sustav:

U obje jednadžbe s lijeve strane - raditi, a desno je samo broj. Ovo je vrlo dobar znak.) Uzmimo i ... podijelimo, recimo, donju jednadžbu s gornjom! Što znači, podijeliti jednu jednadžbu drugom? Jako jednostavno. Uzimamo lijeva strana jedna jednadžba (niža) i dijelimo njoj na lijeva strana druga jednadžba (gornja). Desna strana je slična: desna strana jedna jednadžba dijelimo na desna strana još.

Cijeli proces podjele izgleda ovako:

Sada, reducirajući sve što je reducirano, dobivamo:

q 3 = -8

Što je dobro kod ove metode? Da, jer se u procesu takve podjele sve loše i nezgodno može sigurno reducirati i ostati potpuno bezopasna jednadžba! Zato je toliko važno imati samo množenja u barem jednoj od jednadžbi sustava. Nema množenja - nema se što smanjiti, da ...

Općenito, ova metoda (kao i mnogi drugi netrivijalni načini rješavanja sustava) čak zaslužuje zasebnu lekciju. Svakako ću ga bolje pogledati. Jednog dana…

Međutim, bez obzira na to kako riješite sustav, u svakom slučaju, sada moramo riješiti rezultirajuću jednadžbu:

q 3 = -8

Nema problema: izvadimo korijen (kockasti) i - gotovo!

Imajte na umu da nije potrebno stavljati plus / minus ovdje prilikom izdvajanja. Imamo korijen neparnog (trećeg) stupnja. I odgovor je isti, da.

Dakle, nazivnik progresije je pronađen. Minus dva. izvrsno! Proces je u tijeku.)

Za prvi član (recimo iz gornje jednadžbe) dobivamo:

izvrsno! Znamo prvi član, znamo nazivnik. A sada imamo priliku pronaći bilo kojeg člana progresije. Uključujući i drugu.)

Za drugog člana sve je vrlo jednostavno:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Odgovor: -6

Dakle, riješili smo algebarski način rješavanja problema. teško? Ne puno, slažem se. Dugo i dosadno? Da definitivno. Ali ponekad možete značajno smanjiti količinu posla. Za ovo postoji grafički način. Dobri stari i nama poznati po .)

Nacrtajmo problem!

Da! Točno. Opet prikazujemo našu progresiju na osi brojeva. Ne nužno ravnalom, nije potrebno održavati jednake razmake između članova (koji, usput rečeno, neće biti isti, jer je progresija geometrijska!), već jednostavno shematski nacrtajte naš niz.

Dobio sam ovako:

Sada pogledajte sliku i razmislite. Koliko jednakih faktora "q" dijeli Četvrta i sedmičlanovi? Tako je, tri!

Stoga imamo puno pravo napisati:

-24q 3 = 192

Odavde je sada lako pronaći q:

q 3 = -8

q = -2

To je super, nazivnik nam je već u džepu. A sada ponovno gledamo sliku: koliko takvih nazivnika sjedi između drugi i Četvrtačlanovi? Dva! Stoga, da bismo zabilježili odnos između ovih članova, povisit ćemo nazivnik na kvadrat.

Ovdje pišemo:

b 2 · q 2 = -24 , gdje b 2 = -24/ q 2

Naš pronađeni nazivnik zamijenimo u izraz za b 2 , prebrojimo i dobijemo:

Odgovor: -6

Kao što vidite, sve je puno jednostavnije i brže nego kroz sustav. Štoviše, ovdje prvi termin uopće nismo ni trebali računati! Uopće.)

Evo tako jednostavnog i vizualnog načina svjetla. Ali ima i ozbiljan nedostatak. pogodio? Da! Dobar je samo za vrlo kratke dijelove progresije. Oni gdje udaljenosti između članova koji nas zanimaju nisu jako velike. Ali u svim drugim slučajevima već je teško nacrtati sliku, da ... Onda rješavamo problem analitički, kroz sustav.) A sustavi su univerzalna stvar. Bavite se bilo kojim brojem.

Još jedan epski:

Drugi član geometrijske progresije je 10 veći od prvog, a treći član 30 veći od drugog. Pronađite nazivnik progresije.

Što je super? Nikako! Sve isto. Ponovno prevodimo uvjet problema u čistu algebru.

1) Svaki pojam slikamo prema formuli nti član!

Drugi član: b 2 = b 1 q

Treći član: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Zapisujemo odnos između članova iz uvjeta zadatka.

Čitanje uvjeta: "Drugi član geometrijske progresije je 10 veći od prvog." Stanite, ovo je vrijedno!

Pa pišemo:

b 2 = b 1 +10

A ovu frazu prevodimo u čistu matematiku:

b 3 = b 2 +30

Dobili smo dvije jednadžbe. Kombiniramo ih u sustav:

Sustav izgleda jednostavno. Ali postoji mnogo različitih indeksa za slova. Zamijenimo umjesto drugog i trećeg člana njihov izraz kroz prvi član i nazivnik! Uzalud, ili što, slikali smo ih?

Dobivamo:

Ali takav sustav više nije dar, da ... Kako to riješiti? Nažalost, univerzalna tajna čarolija za rješavanje kompleksa nelinearni U matematici nema i ne može postojati sustava. Fantastično je! Ali prvo što bi vam trebalo pasti na pamet kada pokušavate slomiti tako tvrd orah je da shvatite a ne reducira se jedna od jednadžbi sustava na prekrasan pogled, omogućujući, na primjer, jednostavno izražavanje jedne od varijabli u smislu druge?

Hajde da pogodimo. Prva jednadžba sustava očito je jednostavnija od druge. Mučit ćemo ga.) Zašto ne pokušati iz prve jednadžbe nešto izraziti kroz nešto? Budući da želimo pronaći nazivnik q, onda bi nam bilo najpovoljnije izraziti b 1 kroz q.

Pa pokušajmo napraviti ovaj postupak s prvom jednadžbom, koristeći stare dobre:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Sve! Ovdje smo izrazili nepotreban nam varijabla (b 1) kroz potrebno(q). Da, nije najjednostavniji izraz primljen. Nekakav razlomak ... Ali naš sustav je na pristojnoj razini, da.)

Tipično. Što učiniti - znamo.

Pišemo ODZ (obavezno!) :

q ≠ 1

Sve pomnožimo s nazivnikom (q-1) i smanjimo sve razlomke:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Sve podijelimo s deset, otvorimo zagrade, sakupimo sve lijevo:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Rješavamo dobiveni rezultat i dobivamo dva korijena:

q 1 = 1

q 2 = 3

Postoji samo jedan konačan odgovor: q = 3 .

Odgovor: 3

Kao što vidite, način rješavanja većine problema za formulu n-tog člana geometrijske progresije uvijek je isti: čitamo pažljivo uvjet problema i pomoću formule n-tog člana prevodimo cijeli korisna informacija u čistu algebru.

Naime:

1) Svaki član zadan u zadatku pišemo zasebno prema formulinth član.

2) Iz uvjeta zadatka vezu između članova prevodimo u matematički oblik. Sastavljamo jednadžbu ili sustav jednadžbi.

3) Rješavamo dobivenu jednadžbu ili sustav jednadžbi, pronalazimo nepoznate parametre progresije.

4) U slučaju dvosmislenog odgovora, pažljivo čitamo uvjet problema u potrazi za dodatnim informacijama (ako postoje). Dobiveni odgovor provjeravamo i s uvjetima ODZ-a (ako postoje).

A sada navodimo glavne probleme koji najčešće dovode do pogrešaka u procesu rješavanja problema geometrijske progresije.

1. Elementarna aritmetika. Operacije s razlomcima i negativnim brojevima.

2. Ako je barem jedna od ove tri točke problem, tada ćete neizbježno pogriješiti u ovoj temi. Nažalost... Zato ne budite lijeni i ponovite ono što je gore navedeno. I slijedite poveznice - idite. Ponekad pomaže.)

Modificirane i rekurentne formule.

A sada pogledajmo nekoliko tipičnih ispitnih problema s manje poznatim prikazom stanja. Da, da, pogodili ste! to modificiran i ponavljajući formule n-tog člana. Već smo se susreli s takvim formulama i radili u aritmetičkoj progresiji. Ovdje je sve slično. Suština je ista.

Na primjer, takav problem iz OGE-a:

Geometrijska progresija dana je formulom b n = 3 2 n . Nađi zbroj prvog i četvrtog člana.

Ovoga puta napredovanje nam nije dano baš kao obično. Neka vrsta formule. Pa što? Ova formula je također formulanti član! Svi znamo da se formula n-tog člana može napisati iu općem obliku, kroz slova, i za specifična progresija. IZ specifično prvi član i nazivnik.

U našem slučaju, zapravo, dana nam je opća terminska formula za geometrijsku progresiju sa sljedećim parametrima:

b 1 = 6

q = 2

Provjerimo?) Napišimo formulu n-tog člana u općem obliku i zamijenimo u nju b 1 i q. Dobivamo:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

Pojednostavljamo, koristeći svojstva faktorizacije i snage, i dobivamo:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Kao što vidite, sve je pošteno. Ali naš cilj s vama nije pokazati izvođenje određene formule. Ovo je tako, lirska digresija. Čisto za razumijevanje.) Cilj nam je riješiti problem prema formuli koja nam je dana u uvjetu. Shvaćate li?) Dakle, radimo izravno s modificiranom formulom.

Računamo prvi termin. Zamjena n=1 u opću formulu:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Kao ovo. Usput, nisam previše lijen i još jednom ću vam skrenuti pozornost na tipičnu grešku s izračunom prvog člana. NEMOJTE gledati formulu b n= 3 2n, odmah požurite napisati da je prvi član trojka! To je velika greška, da...)

Nastavljamo. Zamjena n=4 i razmotrite četvrti član:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

I na kraju izračunavamo potrebnu količinu:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Odgovor: 54

Drugi problem.

Geometrijska progresija dana je uvjetima:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Pronađite četvrti član progresije.

Ovdje je progresija dana rekurentnom formulom. Pa dobro.) Kako raditi s ovom formulom - također znamo.

Ovdje glumimo. Korak po korak.

1) brojeći dva uzastopničlan progresije.

Prvi termin nam je već dan. Minus sedam. Ali sljedeći, drugi član, može se lako izračunati pomoću rekurzivne formule. Ako razumijete kako to funkcionira, naravno.)

Ovdje razmatramo drugi izraz prema poznatom prvom:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Uzimamo u obzir nazivnik progresije

Također nema problema. Ravno, podijelite drugi kurac na prvi.

Dobivamo:

q = -21/(-7) = 3

3) Napišite formulunčlana u uobičajenom obliku i razmotrite željeni član.

Dakle, znamo prvi član, nazivnik također. Ovdje pišemo:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Odgovor: -189

Kao što vidite, rad s takvim formulama za geometrijsku progresiju u biti se ne razlikuje od rada za aritmetičku progresiju. Važno je samo razumjeti opću suštinu i značenje ovih formula. Pa, također treba razumjeti značenje geometrijske progresije, da.) I tada neće biti glupih pogrešaka.

Pa, odlučimo sami?)

Sasvim elementarni zadaci, za zagrijavanje:

1. S obzirom na geometrijsku progresiju u kojoj b 1 = 243, i q = -2/3. Pronađite šesti član progresije.

2. Zajednički član geometrijske progresije dan je formulom b n = 5∙2 n +1 . Pronađite broj posljednjeg troznamenkastog člana ove progresije.

3. Geometrijska progresija dana je uvjetima:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Pronađite peti član progresije.

Malo kompliciranije:

4. S obzirom na geometrijsku progresiju:

b 1 =2048; q =-0,5

Koji je njegov šesti negativni član?

Što se čini super teškim? Nikako. Logika i razumijevanje značenja geometrijske progresije će spasiti. Pa, formula n-tog člana, naravno.

5. Treći član geometrijske progresije je -14, a osmi član je 112. Nađite nazivnik progresije.

6. Zbroj prvog i drugog člana geometrijske progresije je 75, a zbroj drugog i trećeg člana je 150. Nađite šesti član progresije.

Odgovori (u neredu): 6; -3888; -jedan; 800; -32; 448.

To je skoro sve. Ostaje samo naučiti brojati zbroj prvih n članova geometrijske progresije da otkriti beskonačno padajuća geometrijska progresija i njegovu količinu. Vrlo zanimljiva i neobična stvar, usput! Više o tome u kasnijim lekcijama.)