Définitions :

extrême appelé le maximum ou valeur minimum fonctionne sur un ensemble donné.

Point extrême C'est le point auquel la valeur maximale ou minimale de la fonction est atteinte.

Pointage maximal est le point auquel valeur maximum les fonctions.

Pointage minimum C'est le point auquel la valeur minimale de la fonction est atteinte.

Explication.

Sur la figure, au voisinage du point x = 3, la fonction atteint sa valeur maximale (c'est-à-dire qu'au voisinage de ce point particulier il n'y a pas de point au-dessus). Au voisinage de x = 8, il a à nouveau une valeur maximale (on précisera encore : c'est dans ce voisinage qu'il n'y a pas de point dessus). À ces points, l'augmentation est remplacée par une diminution. Ce sont les points maximum :

xmax = 3, xmax = 8.

Au voisinage du point x = 5, la valeur minimale de la fonction est atteinte (c'est-à-dire qu'au voisinage de x = 5 il n'y a pas de point en dessous). À ce stade, la diminution est remplacée par une augmentation. C'est le minimum :

Les points maximum et minimum sont points extrêmes de la fonction, et les valeurs de la fonction en ces points sont ses extrêmes.

Points critiques et stationnaires de la fonction :

Condition extrême requise :

Condition extrême suffisante :

Sur un segment, la fonction oui = F(X) peut atteindre la valeur la plus petite ou la plus grande soit aux points critiques, soit aux extrémités du segment.

Algorithme pour l'étude d'une fonction continueoui = F(X) pour la monotonie et les extrema :

Considérez la figure suivante.

Il montre le graphique de la fonction y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2. Considérons un intervalle contenant le point x = 0, par exemple, de -1 à 1. Un tel intervalle est aussi appelé le voisinage du point x = 0. Comme vous pouvez le voir sur le graphique, dans ce voisinage la fonction y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2 prend la plus grande valeur exactement au point x = 0.

Fonctions maximum et minimum

Dans ce cas, le point x = 0 est appelé le point maximum de la fonction. Par analogie avec cela, le point x = 2 est appelé le point minimum de la fonction y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2. Parce qu'il existe un tel voisinage de ce point, dans lequel la valeur à ce point sera le minimum parmi toutes les autres valeurs de ce voisinage.

Point maximum la fonction f (x) est appelée un point x0, à condition qu'il existe un voisinage du point x0 tel que pour tout x différent de x0 de ce voisinage, l'inégalité f (x)< f(x0).

Point le minimum de la fonction f (x) est appelé un point x0, à condition qu'il existe un voisinage du point x0 tel que pour tout x différent de x0 de ce voisinage, l'inégalité f (x)> f (x0) soit vérifiée.

Aux points de maximum et de minimum des fonctions, la valeur de la dérivée de la fonction est égale à zéro. Mais ce n'est pas une condition suffisante pour l'existence au point de maximum ou de minimum de la fonction.

Par exemple, la fonction y = x ^ 3 au point x = 0 a une dérivée égale à zéro. Mais le point x = 0 n'est pas le point minimum ou maximum de la fonction. Comme vous le savez, la fonction y = x ^ 3 augmente sur tout l'axe des nombres.

Ainsi, les points de minimum et de maximum seront toujours parmi la racine de l'équation f'(x) = 0. Mais toutes les racines de cette équation ne seront pas des points de maximum ou de minimum.

Points stationnaires et critiques

Les points auxquels la valeur de la dérivée de la fonction est égale à zéro sont appelés points stationnaires. Des points de maximum ou de minimum peuvent également exister aux points auxquels la dérivée de la fonction n'existe pas du tout. Par exemple, y = | x | au point x = 0 a un minimum, mais la dérivée à ce point n'existe pas. Ce point sera le point critique de la fonction.

Les points critiques d'une fonction sont les points auxquels la dérivée est nulle, ou la dérivée n'existe pas en ce point, c'est-à-dire que la fonction en ce point est indifférenciable. Pour trouver le maximum ou le minimum d'une fonction, une condition suffisante doit être satisfaite.

Soit f (x) une fonction dérivable sur l'intervalle (a; b). Le point x0 appartient à cet intervalle et f'(x0) = 0. Alors :

1. si, en passant par le point stationnaire x0, la fonction f (x) et sa dérivée changent de signe, de "plus" à "moins", alors le point x0 est le point maximum de la fonction.

2. si, en passant par le point stationnaire x0, la fonction f (x) et sa dérivée changent de signe, de "moins" à "plus", alors le point x0 est le point minimum de la fonction.

Points critiques Sont les points auxquels la dérivée de la fonction est nulle ou n'existe pas. Si la dérivée est 0, alors la fonction à ce point prend minimum ou maximum local... Sur le graphique à de tels points, la fonction a une asymptote horizontale, c'est-à-dire que la tangente est parallèle à l'axe Ox.

De tels points sont appelés Stationnaire... Si vous voyez une "bosse" ou un "trou" sur le graphique d'une fonction continue, rappelez-vous que le maximum ou le minimum est atteint à un point critique. Considérons, par exemple, la tâche suivante.

Exemple 1. Trouvez les points critiques de la fonction y = 2x ^ 3-3x ^ 2 + 5.
Solution. L'algorithme pour trouver les points critiques est le suivant :

La fonction a donc deux points critiques.

De plus, s'il est nécessaire de mener une étude de la fonction, nous déterminons alors le signe de la dérivée à gauche et à droite du point critique. Si la dérivée lors du passage par le point critique change de signe de "-" à "+", alors la fonction prend minimum local... Si de "+" à "-" devrait maximum local.

Le deuxième type de points critiques ce sont les zéros du dénominateur des fonctions fractionnaires et irrationnelles

Fonctions avec logarithmes et fonctions trigonométriques qui ne sont pas définies à ces points


Le troisième type de points critiques ont des fonctions et des modules continus par morceaux.
Par exemple, toute fonction de module a un minimum ou un maximum au point d'arrêt.

Par exemple, le module y = | x -5 | au point x = 5 a un minimum (point critique).
La dérivée n'y existe pas et à droite et à gauche prend respectivement les valeurs 1 et -1.

Essayez d'identifier les points critiques des fonctions

1)
2)
3)
4)
5)

Si dans la réponse vous obtenez la valeur
1) x = 4 ;
2) x = -1 ; x = 1 ;
3) x = 9 ;
4) x = Pi * k ;
5) x = 1.
alors tu sais déjà comment trouver les points critiques et être capable de gérer des quiz ou des tests simples.

Le domaine de la fonction, calculer sa dérivée, trouver le domaine de la dérivée de la fonction, trouver points la dérivée s'annule, prouver que les points trouvés appartiennent au domaine de définition de la fonction d'origine.

Exemple 1 Déterminer la critique points fonctions y = (x - 3) ² · (x-2).

Solution Trouver la portée de la fonction dans dans ce cas pas de restrictions : x ∈ (-∞ ; + ∞) ; Calculer la dérivée y ’. D'après les règles de différenciation, le produit de deux est : y '= ((x - 3) ²)' (x - 2) + (x - 3) ² (x - 2) '= 2 (x - 3) (x - 2) + (x - 3) ² · 1. Après il s'avère équation quadratique: y ’= 3 · x² - 16 · x + 21.

Trouver le domaine de la dérivée de la fonction : x ∈ (-∞ ; + ∞) Résoudre l'équation 3 x² - 16 x + 21 = 0 afin de trouver pour laquelle s'annule : 3 x² - 16 x + 21 = 0.

D = 256 - 252 = 4x1 = (16 + 2) / 6 = 3 ; x2 = (16 - 2) / 6 = 7/3 Donc la dérivée s'annule pour x égal à 3 et 7/3.

Déterminer si les objets trouvés appartiennent à points le domaine de la fonction d'origine. Puisque x (-∞; + ∞), ces deux points sont critiques.

Exemple 2 Déterminer la critique points fonctions y = x² - 2 / x.

Solution Le domaine de la fonction : x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; + ∞), puisque x est au dénominateur. Calculer la dérivée y ’= 2 · x + 2 / x².

Le domaine de la dérivée de la fonction est le même que celui de l'original : x ∈ (-∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) Résoudre l'équation 2x + 2 / x² = 0 : 2x = -2 / x² → x = -un.

Ainsi, la dérivée s'annule à x = -1. Une condition de criticité nécessaire mais insuffisante est remplie. Puisque x = -1 tombe dans l'intervalle (-∞; 0) ∪ (0; + ∞), alors ce point est critique.

Sources:

• Volume de vente critique, pcs

De nombreuses femmes souffrent du syndrome prémenstruel, qui se manifeste non seulement par des sensations douloureuses, mais également par une augmentation de l'appétit. Par conséquent jours critiques peut considérablement ralentir le processus de perte de poids.

Raisons de l'augmentation de l'appétit pendant les jours critiques

La raison de l'augmentation de l'appétit pendant les jours critiques est un changement dans le fond hormonal général du corps féminin. Quelques jours avant le début des règles, le niveau de l'hormone progestérone augmente, le corps s'adapte au possible et essaie de faire des réserves d'énergie supplémentaires sous forme de graisse corporelle, même si la femme est assise. Ainsi, les changements de poids les jours critiques sont normaux.

Comment manger pendant vos règles

Essayez de ne pas manger de sucreries, de pâtisseries et d'autres aliments riches en calories qui contiennent des aliments « rapides » ces jours-ci. L'excédent sera immédiatement déposé dans la graisse. Beaucoup de femmes pendant cette période veulent vraiment manger une barre de chocolat, dans ce cas, vous pouvez acheter du chocolat noir et vous faire dorloter avec quelques tranches, mais pas plus. Pendant vos règles, vous ne devez pas consommer de boissons alcoolisées, marinades, cornichons, viandes fumées, graines et noix. En général, les cornichons et les viandes fumées doivent être limités dans l'alimentation 6 à 8 jours avant le début des règles, car ces aliments augmentent les réserves d'eau du corps et cette période se caractérise par une augmentation de l'accumulation de liquide. Pour réduire la quantité de sel dans votre alimentation, ajoutez le moins de sel possible aux plats cuisinés.

Il est recommandé de manger des produits laitiers faibles en gras, des aliments végétaux et des céréales. Haricots, pommes de terre bouillies, riz - les produits contenant des glucides "lents" seront utiles. Les fruits de mer, le foie, le poisson, le bœuf, la volaille, les œufs, les légumineuses, les fruits secs aideront à reconstituer les pertes en fer. Le son de blé sera utile. Une réaction naturelle pendant la menstruation est l'œdème. Des herbes diurétiques légères aideront à corriger la condition: basilic, aneth, persil, céleri. Ils peuvent être utilisés comme condiment. Dans la seconde moitié du cycle, il est recommandé de consommer des produits protéinés (viandes et poissons maigres, produits laitiers) et la quantité de glucides dans l'alimentation doit être réduite autant que possible.

Concept économique de volume critique Ventes correspond à la position de l'entreprise sur le marché, dans lequel le produit de la vente des marchandises est minime. Cette situation est appelée seuil de rentabilité, lorsque la demande de produits chute et que le profit couvre à peine le coût. Pour déterminer le volume critique Ventes utiliser plusieurs méthodes.

Instructions

Le cycle de travail ne se limite pas à ses activités - production ou services. Il s'agit d'un travail complexe d'une certaine structure, comprenant le travail du personnel principal, du personnel de direction, du personnel de direction, etc., ainsi que des économistes, dont la tâche est l'analyse financière de l'entreprise.

Le but de cette analyse est de calculer certaines valeurs qui, à un degré ou à un autre, affectent la taille du profit final. Cette différentes sortes volumes de production et de ventes, pleins et moyens, indicateurs de demande, etc. La tâche principale est d'identifier un tel volume de production auquel une relation stable entre les coûts et les bénéfices est établie.

Volume minimal Ventes, dans lequel le revenu couvre entièrement les coûts, mais n'augmente pas équité de l'entreprise est appelé le volume critique Ventes... Il existe trois méthodes de calcul de la méthode de cet indicateur : la méthode des équations, la marge de revenu et la graphique.

Pour déterminer le volume critique Ventes selon la première méthode, faire une équation de la forme : Bn - Zper - Zpos = Pp = 0, où : Bp est le produit de Ventes et ; Zper et Zpos - coûts variables et fixes ; Pp - bénéfice de Ventes et.

Selon une autre méthode, le premier terme, le produit de Ventes, représentent sous la forme du produit du revenu marginal d'une unité de bien par le volume Ventes, il en va de même pour les coûts variables. Coûts fixes s'appliquent à l'ensemble du lot de marchandises, laissez donc ce composant général : MD N - Zper1 N - Zpos = 0.

Exprimez la valeur de N à partir de cette équation, et vous obtenez le volume critique Ventes: N = Zpos / (MD - Zper1), où Zper1 - coûts variables par unité de marchandise.

La méthode graphique suppose la construction. Appliquer sur avion coordonné deux lignes : fonction du produit de Ventes moins les coûts et la fonction de profit. En abscisse, tracez le volume de production et en ordonnée le revenu de la quantité correspondante de biens, exprimé en unités monétaires. Le point d'intersection de ces lignes correspond au volume critique Ventes, la position d'équilibre.

Sources:

• comment identifier le travail critique

La pensée critique est un ensemble de jugements, sur la base desquels certaines conclusions sont formées, et une évaluation des objets de la critique est faite. Il est particulièrement caractéristique des chercheurs et des scientifiques de toutes les branches de la science. La pensée critique prend un niveau plus élevé que la pensée ordinaire.

La valeur de l'expérience pour façonner la pensée critique

Il est difficile d'analyser et de tirer des conclusions sur ce que vous connaissez mal. Par conséquent, pour apprendre à penser de manière critique, il est nécessaire d'étudier les objets dans toutes les connexions et relations possibles avec d'autres phénomènes. Aussi bien que grande importance dans ce cas, a la connaissance de tels objets, la capacité de construire des chaînes logiques de jugements et de tirer des conclusions raisonnables.

Par exemple, pour juger de la valeur ouvrages d'art il n'est possible que de connaître beaucoup d'autres fruits de l'activité littéraire. En même temps, il n'est pas mal d'être un expert de l'histoire du développement humain, de la formation de la littérature et de la critique littéraire. Séparée du contexte historique, une œuvre peut perdre son sens. Pour que l'évaluation d'une œuvre d'art soit suffisamment complète et justifiée, il est également nécessaire d'utiliser vos connaissances littéraires, qui incluent les règles de construction texte artistique dans le cadre des genres individuels, un système de diverses techniques littéraires, une classification et une analyse des styles et tendances littéraires existants, etc. Dans le même temps, il est important d'étudier la logique interne de l'intrigue, la séquence d'actions, l'agencement et l'interaction des personnages de l'œuvre d'art.

Caractéristiques de la pensée critique

Les autres caractéristiques de la pensée critique sont les suivantes :
- la connaissance de l'objet étudié n'est qu'un point de départ pour la poursuite de l'activité cérébrale associée à la construction de chaînes logiques ;
- construit de manière cohérente et basé sur un raisonnement de bon sens conduit à l'identification d'informations vraies et erronées sur l'objet à l'étude ;
- la pensée critique est toujours associée à l'évaluation des informations disponibles sur cet objet et les conclusions correspondantes, l'évaluation, à son tour, est associée aux compétences existantes.

Contrairement à la pensée ordinaire, le critique n'est pas soumis à une foi aveugle. La pensée critique permet, à l'aide de tout un système de jugements sur l'objet de la critique, d'en saisir l'essence, de révéler la vraie connaissance à son sujet et de réfuter le faux. Il est basé sur la logique, la profondeur et l'exhaustivité de l'étude, la véracité, l'adéquation et la cohérence des jugements. Dans le même temps, les déclarations évidentes et éprouvées de longue date sont acceptées comme des postulats et ne nécessitent pas de preuves et d'évaluations répétées.

Dans le raisonnement précédent, nous n'avons pas du tout utilisé les méthodes techniques du calcul différentiel.

Il est difficile de ne pas admettre que nos méthodes élémentaires sont plus simples et plus directes que les méthodes d'analyse. En général, lorsqu'il s'agit d'un problème scientifique particulier, il vaut mieux partir de ses caractéristiques individuelles que de s'appuyer uniquement sur méthodes générales bien que, d'autre part, principe général la clarification du sens des procédures spéciales appliquées, bien entendu, devrait toujours jouer un rôle de premier plan. C'est précisément le sens des méthodes de calcul différentiel lorsque l'on considère des problèmes extrêmes. Observé dans science moderne la recherche de la généralité n'est qu'un aspect de la question, car ce qui est vraiment vital en mathématiques est sans aucun doute déterminé par les caractéristiques individuelles des problèmes et des méthodes utilisées.

Dans son développement historique le calcul différentiel a été très influencé par les problèmes individuels associés à la recherche des valeurs les plus grandes et les plus petites des quantités. Le lien entre les problèmes extrêmes et le calcul différentiel peut être compris comme suit. Au chapitre VIII nous étudierons en profondeur la dérivée f"(x) de la fonction f (x) et sa signification géométrique. Là nous verrons que, en bref, la dérivée f"(x) est la pente de la tangente à la courbe y = f (x) au point (x, y). Géométriquement, il est évident qu'aux points maximum ou minimum de la courbe lisse y = f (x) la tangente à la courbe doit être horizontale, c'est-à-dire que la pente doit être nulle. Ainsi, on obtient pour les points extremum la condition f"(x) = 0.

Pour bien comprendre ce que signifie la disparition de la dérivée f"(x), considérons la courbe représentée sur la figure 191. Nous voyons ici cinq points A, B, C, D, ?, dans lesquels la tangente à la courbe est horizontale ; on note les valeurs correspondantes de f (x) en ces points par a, b, c, d, e. Valeur la plus élevée f (x) (à l'intérieur de la zone indiquée sur le dessin) est atteint au point D, le plus petit au point A. Au point B, il y a un maximum - en ce sens qu'en tous les points un quartier au point B, f (x) est inférieur à b, bien qu'aux points proches de D, f (x) soit toujours supérieur à b. Pour cette raison, il est d'usage de dire qu'au point B il y a fonction maximale relative f (x), tandis qu'au point D - maximum absolu. De la même manière, au point C, minimum relatif, et au point A - le minimum absolu. Enfin, quant au point E, il n'y a ni maximum ni minimum, bien que l'égalité f"(x) = Q, Il s'ensuit que l'annulation de la dérivée f "(x) est nécessaire mais pas du tout suffisant condition d'apparition d'un extremum d'une fonction lisse f (x) ; autrement dit, en tout point où existe un extremum (absolu ou relatif), l'égalité f"(x) = 0 mais pas à chaque endroit où f"(x) = 0, il doit y avoir un extremum. Les points auxquels la dérivée f "(x) s'annule, qu'ils aient ou non un extremum, sont appelés Stationnaire. Une analyse plus poussée conduit à des conditions plus ou moins compliquées concernant les dérivées supérieures de la fonction f (x) et caractérisant pleinement les maxima, minima et autres points stationnaires.