Pri študiju stereometrije je ena glavnih tem "Cilinder". Prečna površina velja, če ne glavna, pa pomembna formula pri reševanju geometrijskih problemov. Pomembno pa je, da si zapomnite definicije, ki vam bodo pomagale krmariti po zgledih in pri dokazovanju različnih izrekov.

Koncept valja

Najprej je treba upoštevati več opredelitev. Šele po preučitvi le-teh lahko začnemo razmišljati o formuli za površino stranske površine valja. Na podlagi tega zapisa lahko izračunamo druge izraze.

• Razume se, da valjasta površina pomeni ravnino, ki jo opiše tvorba, ki se giblje in ostane vzporedna z določeno smerjo in drsi po obstoječi krivulji.
• Obstaja tudi druga definicija: valjasto površino tvori niz vzporednih ravnih črt, ki sekajo določeno krivuljo.
• Generator se običajno imenuje višina valja. Ko ga premaknete okoli osi, ki poteka skozi središče osnove, dobite določeno geometrijsko telo.
• Os pomeni ravno črto, ki poteka skozi obe podlagi slike.
• Valj je stereometrično telo, ki ga omejujeta sekajoči se stranski površini in 2 vzporedni ravnini.

Obstajajo sorte te tridimenzionalne figure:

1. Pod krožnimi je mišljen valj, katerega vodilo je krog. Njeni glavni sestavni deli so polmer osnove in tvorba. Slednja je enaka višini figure.
2. Obstaja ravno valja. Ime je dobil zaradi pravokotnosti tvorbe na osnove slike.
3. Tretja vrsta je poševen valj. V učbenikih lahko najdete tudi njegovo drugo ime "krožni valj s poševno podlago." Ta oblika je določena s polmerom podnožja, najmanjšo in največjo višino.
4. Enakostranski valj razumemo kot telo z enako višino in premerom krožne ravnine.

Simboli

Tradicionalno se glavni "sestavni deli" jeklenke običajno imenujejo na naslednji način:

• Osnovni polmer - R (nadomešča tudi enako velikost stereometrične figure).
• Formative - L.
• Višina - H.
• Območje baze je S glavno (z drugimi besedami, najti je treba določen parameter kroga).
• Višine poševnega valja - h 1, h 2 (najmanjša in največja).
• Stranska površina je stran S (če jo razširite, dobite nekakšen pravokotnik).
• Prostornina stereometrične figure je V.
• Skupna površina - S.

Stereometrična oblika "Komponente"

Ko preučujemo valj, ima bočna površina pomembno vlogo. To je posledica dejstva, da je ta formula vključena v več drugih, bolj zapletenih. Zato morate biti dobro podkovani v teoriji.

Glavni sestavni deli slike so:

1. Stranska površina. Kot veste, ga dobimo zaradi gibanja generatorja vzdolž dane krivulje.
2. Skupna površina vključuje obstoječe podlage in stransko ravnino.
3. Odsek valja je praviloma pravokotnik, ki se nahaja vzporedno z osjo slike. V nasprotnem primeru se imenuje letalo. Izkazalo se je, da sta dolžina in širina sestavni del tudi drugih slik. Običajno so dolžine odsekov generatorji. Širina - vzporedni akordi stereometrične figure.
4. Aksialni odsek pomeni lokacijo ravnine skozi središče telesa.
5. In na koncu še končna definicija. Tangentna ravnina je ravnina, ki gre skozi tvornico valja in je pravokotna na osni prerez. V tem primeru mora biti izpolnjen en pogoj. Navedena generatrica mora vstopiti v ravnino aksialnega odseka.

Osnovne formule za delo z valjem

Da bi odgovorili na vprašanje, kako najti površino valja, je treba preučiti glavne "sestavne dele" stereometrične figure in formule za njihovo iskanje.

Te formule se razlikujejo po tem, da so prvi izrazi podani za poševno jeklenko, nato - za ravno.

Primeri z razstavljeno raztopino

Vedeti morate površino bočne površine valja. Glede na diagonalo odseka AC \u003d 8 cm (in je osno). V stiku z generatorjem se izkaže< ACD = 30°

Sklep. Ker so vrednosti diagonale in kota znane, potem v tem primeru:

• CD \u003d AC * cos 30 °.

Komentiraj. Trikotnik ACD, v poseben primer, pravokoten. To pomeni, da je količnik CD in AC \u003d kosinus prisotnega kota. Vrednost trigonometrične funkcije najdete v posebni tabeli.

Podobno lahko najdete vrednost AD:

• AD \u003d AC * sin 30 °

Zdaj je treba izračunati želeni rezultat v skladu z naslednjo formulacijo: površina stranske površine valja je enaka dvakratnemu rezultatu množenja "pi", polmeru slike in njegovi višini. Uporabiti je treba še eno formulo: površina dna valja. Enako je rezultatu množenja "pi" s kvadratom polmera. In na koncu še zadnja formula: celotna površina površino. Enako je vsoti prejšnjih dveh področij.

Navedeni so valji. Njihova prostornina \u003d 128 * n cm³. Kateri valj ima najmanjšo skupno površino?

Sklep. Najprej morate uporabiti formule za iskanje volumna slike in njene višine.

Ker je celotna površina valja v teoriji znana, je treba uporabiti njeno formulo.

Če dobimo formulo kot funkcijo površine valja, bo minimalni "indikator" dosežen na ekstremni točki. Če želite dobiti zadnjo vrednost, morate uporabiti diferenciacijo.

Formule si lahko ogledate v posebni tabeli za iskanje izpeljank. V prihodnosti se najdeni rezultat izenači z ničlo in poišče se rešitev enačbe.

Odgovor: S min bo dosežen pri h \u003d 1/32 cm, R \u003d 64 cm.

Podana je stereometrična slika - valj in prerez. Slednje je izvedeno tako, da je vzporedno z osjo stereometričnega telesa. Val ima naslednje parametre: VK \u003d 17 cm, h \u003d 15 cm, R \u003d 5 cm. Najti je treba razdaljo med odsekom in osjo.

Ker se prerez valja razume kot VSCM, torej pravokotnik, je njegova stran BM \u003d h. Upoštevati je treba IUD. Trikotnik je pravokoten. Na podlagi te trditve lahko ugotovimo pravilno domnevo, da je MK \u003d BC.

VK² \u003d VM² + MK²

MK² \u003d VK² - VM²

MK² \u003d 17² - 15²

Tako lahko sklepamo, da je MK \u003d BC \u003d 8 cm.

Naslednji korak je rez skozi osnovo slike. Upoštevati je treba nastalo ravnino.

AD je premer stereometrične slike. Vzporedno je z razdelkom, omenjenim v izjavi o težavi.

BC - ravna črta, ki se nahaja na ravnini obstoječega pravokotnika.

ABCD je trapez. V določenem primeru se šteje za enakokrakega, saj je okoli njega opisan krog.

Če najdete višino nastalega trapeza, lahko dobite odgovor na začetku problema. In sicer: iskanje razdalje med osjo in narisanim odsekom.

Za to je treba najti vrednosti AD in OC.

Odgovor: odsek se nahaja 3 cm od osi.

Naloge za utrjevanje snovi

Glede na valj. V nadaljnji raztopini se uporabi bočna površina. Znani so tudi drugi parametri. Površina dna je Q, površina aksialnega odseka je M. Najti je treba S. Z drugimi besedami, skupno površino valja.

Glede na valj. Bočno površino je treba najti v enem od korakov pri reševanju problema. Znano je, da je višina \u003d 4 cm, polmer \u003d 2 cm. Najti je treba skupno površino stereometrične figure.

Z valjem je povezanih veliko nalog. Najti morajo polmer in višino telesa ali vrsto njegovega odseka. Poleg tega morate včasih izračunati površino valja in njegovo prostornino.

Katero telo je valj?

Vem šolski program preučuje se krožni, to je takšen v osnovi, valj. Odlikuje pa se tudi eliptični videz te figure. Iz imena je razvidno, da bo njegova osnova elipsa ali oval.

Jeklenka ima dve osnovi. Med seboj so enaki in so povezani z odseki črt, ki se ujemajo z ustreznimi osnovnimi točkami. Imenujejo se generatrice valja. Vsi generatorji so med seboj vzporedni in enaki. Prav oni tvorijo stransko površino telesa.

IN splošni primer valj je nagnjeno telo. Če generatorji naredijo pravi kot z bazami, potem že govorijo o ravni figuri.

Zanimivo je, da je krožni valj telo revolucije. Dobimo ga z vrtenjem pravokotnika okoli ene od njegovih strani.

Glavni elementi valja

Glavni elementi valja so naslednji.

1. Višina. To je najkrajša razdalja med osnovami valja. Če je ravna, potem višina sovpada z tvorjeno.
2. Polmer. Enako kot tista, ki jo lahko narišemo na dnu.
3. Os. To je ravna črta, ki vsebuje središči obeh baz. Os je vedno vzporedna z vsemi generatorji. V ravnem valju je pravokotna na osnove.
4. Aksialni prerez. Nastane, ko ravnina, ki vsebuje os, seka valj.
5. Tangentna ravnina. Prehaja skozi eno od generatric in je pravokotna na osni odsek, ki je narisan skozi to generatriko.

Kako je valj povezan s prizmo, ki je vanj vpisana ali opisana?

Včasih obstajajo težave, pri katerih je treba izračunati površino jeklenke in so nekateri elementi prizme, povezani z njo, znani. Kako so te številke povezane?

Če je prizma vpisana v valj, so njegove osnove enaki mnogokotniki. Poleg tega so vpisani v ustrezne baze valjev. Prečni robovi prizme sovpadajo z generatricami.

Opisana prizma ima v osnovah pravilne mnogokotnike. Opisani so okoli krogov valja, ki so njegove osnove. Ravnine, ki vsebujejo ploskve prizme, se dotikajo valja vzdolž svojih tvorb.

O površini bočne površine in dna za ravno krožno valjčko

Če odvijete stransko površino, dobite pravokotnik. Njene stranice bodo sovpadale z tvorbo in obsegom osnove. Zato bo bočna površina valja enaka zmnožku teh dveh vrednosti. Če zapišete formulo, dobite naslednje:

S stran \u003d l * n,

kjer je n generator, l je obseg.

Poleg tega se zadnji parameter izračuna po formuli:

l \u003d 2 π * r,

tukaj je r polmer kroga, π število "pi", enako 3,14.

Ker je osnova krog, se njegova površina izračuna z naslednjim izrazom:

S glavno \u003d π * r 2.

Približno na območju celotne površine ravnega krožnega valja

Ker je sestavljen iz dveh osnov in prečne površine, morate dodati te tri vrednosti. To pomeni, da se celotna površina valja izračuna po formuli:

S nadstropje \u003d 2 π * r * n + 2 π * r 2.

Pogosto je zapisano v drugačni obliki:

S nadstropje \u003d 2 π * r (n + r).

O območjih nagnjenega krožnega valja

Kar se tiče temeljev, so vse formule enake, ker so še vedno krogi. Toda stranska površina ne daje več pravokotnika.

Če želite izračunati površino bočne površine nagnjenega valja, boste morali pomnožiti vrednosti tvorjene in obod odseka, ki bo pravokotna na izbrano tvorbo.

Formula je videti takole:

S stran \u003d x * P,

kjer je x dolžina tvorbene valje valja, P je obod prereza.

Mimogrede, bolje je izbrati odsek, tako da tvori elipso. Potem bodo izračuni njegovega oboda poenostavljeni. Dolžina elipse se izračuna po formuli, ki daje približen odgovor. Toda pogosto je dovolj za naloge šolskega tečaja:

l \u003d π * (a + b),

kjer sta "a" in "b" polovični ose elipse, to je razdalja od središča do najbližjih in najbolj oddaljenih točk.

Območje celotne površine je treba izračunati z naslednjim izrazom:

S nadstropje \u003d 2 π * r 2 + x * R.

Čemu so enaki nekateri odseki ravnega krožnega valja?

Ko odsek prehaja skozi os, se njegova površina določi kot zmnožek tvorjene in premera osnove. To je posledica dejstva, da je videti kot pravokotnik, katerega stranice sovpadajo z določenimi elementi.

Če želite najti površino preseka valja, ki je vzporedna z osno, potrebujete tudi formulo za pravokotnik. V tej situaciji bo ena njegova stran še vedno sovpadala z višino, druga pa je enaka tetivi baze. Slednja sovpada s črto odseka na dnu.

Ko je odsek pravokoten na os, je videti kot krog. Poleg tega je njegovo območje enako kot na dnu slike.

Možno je tudi presečišče pod določenim kotom na os. Nato v odseku dobimo oval ali njegov del.

Primeri nalog

Naloga številka 1. Glede na raven valj, katerega osnovna površina je 12,56 cm 2. Izračunati je treba skupno površino valja, če je njegova višina 3 cm.

Sklep. Za celotno površino krožnega ravnega valja je treba uporabiti formulo. Manjkajo pa mu podatki, in sicer osnovni polmer. Toda območje kroga je znano. Iz njega je enostavno izračunati polmer.

Izkazalo se je, da je enako kvadratnemu korenu količnika, ki ga dobimo z delitvijo površine osnove s pi. Po delitvi 12,56 s 3,14 izide 4. Kvadratni koren od 4 je 2. Zato bo polmer imel natanko to vrednost.

Odgovor: S tla \u003d 50,24 cm 2.

Naloga številka 2. Valj s polmerom 5 cm prestreže ravnina, vzporedna z osjo. Razdalja od odseka do osi je 3 cm. Višina valja je 4 cm. Potrebno je najti območje odseka.

Sklep. Oblika preseka je pravokotna. Ena njegova stran sovpada z višino valja, druga pa je enaka tetivi. Če je prva vrednost znana, je treba poiskati drugo.

Za to je treba narediti dodatno konstrukcijo. Na dnu nariši dva segmenta. Oba se bosta začela v središču kroga. Prva se bo končala na sredini tetive in bo enaka znani razdalji do osi. Drugi je na koncu akorda.

Dobili boste pravokotni trikotnik. V njem sta znani hipotenuza in ena od nog. Hipotenuza se ujema s polmerom. Druga noga je enaka polovici tetive. Neznana noga, pomnožena z 2, bo dala želeno dolžino tetive. Izračunajmo njegovo vrednost.

Če želite najti neznani krak, morate na kvadrat hipotenuzo in znani krak, od prvega odšteti drugega in izvleči kvadratni koren. Kvadrati so enaki 25 in 9. Njihova razlika je 16. Ko izvlečemo kvadratni koren, ostane 4. To je potrebna noga.

Akord bo 4 * 2 \u003d 8 (cm). Zdaj lahko izračunate površino preseka: 8 * 4 \u003d 32 (cm 2).

Odgovor: S prerez je enak 32 cm 2.

Naloga številka 3. Treba je izračunati površino aksialnega odseka valja. Znano je, da je vanj vpisana kocka z robom 10 cm.

Sklep. Osni odsek valja sovpada s pravokotnikom, ki gre skozi štiri oglišča kocke in vsebuje diagonale njenih osnov. Stran kocke je tvorba valja, diagonala osnove pa sovpada s premerom. Zmnožek teh dveh vrednosti bo dal površino, ki jo morate poznati v težavi.

Če želite najti premer, morate uporabiti znanje, da je na dnu kocke kvadrat, njegova diagonala pa tvori enakostranični pravokotni trikotnik. Njena hipotenuza je želena diagonala slike.

Za izračun potrebujete formulo pitagorejskega izreka. Stran kocke morate kvadratiti, pomnožiti z 2 in izvleči kvadratni koren. Deset do druge stopnje je sto. Pomnoženo z 2 - dvesto. Kvadratni koren 200 je 10√2.

Odsek je spet pravokotnik s stranicama 10 in 10√2. Njeno površino lahko enostavno izračunamo tako, da pomnožimo te vrednosti.

Odgovorite. S prerez \u003d 100√2 cm 2.

Površina bočne površine valja je enaka površini pravokotnika, katerega osnova je enaka 2π r, višina pa je enaka višini valja h, tj. 2π rh.

Skupna površina valja bo: 2π r 2 + 2π rh \u003d 2π r(r+ h).

Področje bočne površine valja je vzeto kot območje optičnega branja njegovo stransko površino.

Zato je površina bočne površine ravnega krožnega valja enaka površini ustreznega pravokotnika (slika) in se izračuna po formuli

S b.ts. \u003d 2πRH, (1)

Če površini njegovih dveh baz dodamo površino bočne površine valja, potem dobimo površino celotne površine valja

S polno \u003d 2πRH + 2πR 2 \u003d 2πR (H + R).

Prostornina valja

kjer je Q osnovno območje, H pa višina valja.

Ker je površina dna valja valja Q, obstajajo zaporedja omejenih in vpisanih mnogokotnikov s površinami Q n in Q ' n tako da

\\ (\\ lim_ (n \\ rightarrow \\ infty) \\) Q n \u003d \\ (\\ lim_ (n \\ rightarrow \\ infty) \\) Q ' n \u003d Q.

Sestavimo zaporedje prizm, katerih osnove so zgoraj opisani in vpisani poligoni, stranski robovi pa so vzporedni z tvorbo danega valja in imajo dolžino H. Te prizme so opisane in zapisane za dani valj. Njihove količine se nahajajo po formulah

V n \u003d Q n H in V ' n \u003d Q ' n H.

Posledično

V \u003d \\ (\\ lim_ (n \\ rightarrow \\ infty) \\) Q n H \u003d \\ (\\ lim_ (n \\ rightarrow \\ infty) \\) Q ' n H \u003d QH.

Posledica.
Prostornina ravnega krožnega valja se izračuna po formuli

V \u003d π R 2 H

kjer je R polmer dna in H višina valja.

Ker je osnova krožnega valja cilindra polmera R, potem je Q \u003d π R 2 in torej

Tela revolucije, ki so jih preučevali v šoli, so valj, stožec in krogla.

Če morate pri težavi na izpitu iz matematike izračunati prostornino stožca ali površino krogle - se imejte srečni.

Za valj, stožec in kroglo uporabite formule za prostornino in površino. Vsi so v naši tabeli. Učijo na pamet. Tu se začne znanje stereometrije.

Včasih je dobro narisati pogled od zgoraj. Ali kot v tej težavi od spodaj.

2. Kolikokrat je volumen stožca, opisan glede pravilne štirikotne piramide, večji od volumna stožca, vpisanega v to piramido?

Preprosto - narišite pogled od spodaj. Vidimo, da je polmer večji krog krat večji od manjšega polmera. Višini obeh stožcev sta enaki. Posledično bo prostornina večjega stožca dvakrat večja.

Še eno pomembna točka... Ne pozabite, da je pri nalogah dela B možnosti za izpit pri matematiki je odgovor zapisan kot celo število ali končni decimalno... Zato v delu B ne sme biti nobenega odgovora ali njegovega odgovora. Tudi približne vrednosti števila vam ni treba zamenjati! Vsekakor ga je treba zmanjšati! Za to je pri nekaterih težavah naloga oblikovana na primer takole: "Poiščite površino stranske površine valja, deljeno s".

Kje drugje se uporabljajo formule za prostornino in površino vrtljivih teles? Seveda v problemu C2 (16). O tem vam bomo tudi povedali.

Val (iz grškega jezika izhaja iz besed "valj", "valj") je geometrijsko telo, ki je zunaj omejeno s površino, imenovano valjasto, in dvema ravninama. Te ravnine sekajo površino slike in so med seboj vzporedne.

Valjasta površina je površina, ki jo dobimo z ravno črto v prostoru. Ta gibanja so taka, da se izbrana točka te ravne črte premika po ploski krivulji. Takšna ravna črta se imenuje tvorba, ukrivljena črta pa vodilo.

Cilinder je sestavljen iz para osnov in stranice valjasta površina... Obstaja več vrst jeklenk:

1. Krožni, ravni valj. Za tak valj sta osnova in vodilo pravokotni na tvorilno črto in obstaja

2. Nagnjeni valj. Njegov kot med tvorilno črto in dnom ni pravi.

3. Valj drugačne oblike. Hiperbolični, eliptični, parabolični in drugi.

Območje valja in celotno površino katerega koli valja najdemo tako, da dodamo površine podstavkov te slike in površino stranske površine.

Formula za izračun skupne površine valja za krožni, ravni valj:

Sp \u003d 2p Rh + 2p R2 \u003d 2p R (h + R).

Območje stranske površine je nekoliko težje od površine valja v celoti; izračuna se tako, da se dolžina tvorbene črte pomnoži z obodom odseka, ki ga tvori ravnina, ki je pravokotna do proizvodne črte.

Dani valj za krožni, ravni valj prepoznamo po razgrnitvi tega predmeta.

Ploski vzorec je pravokotnik, ki ima višino h in dolžino P, ki je enaka obodu osnove.

Iz tega sledi, da je prečno območje valja enako površino pometanje in se lahko izračuna po tej formuli:

Če vzamemo krožni, ravni valj, potem zanj:

P \u003d 2p R in Sb \u003d 2p Rh.

Če je valj nagnjen, mora biti površina bočne površine enaka zmnožku dolžine njegove generatrične črte in oboda odseka, ki je pravokoten na to generatrično črto.

Na žalost ni preproste formule za izražanje prečne površine nagnjenega valja glede na njegovo višino in parametre njegove osnove.

Če želite izračunati valj, morate vedeti nekaj dejstev. Če odsek s svojo ravnino seka osnove, je tak odsek vedno pravokotnik. Toda ti pravokotniki bodo različni, odvisno od položaja odseka. Ena stran aksialnega odseka slike, ki je pravokotna na osnove, je enaka višini, druga pa premeru dna valja. In površina takega odseka je enaka zmnožku ene strani pravokotnika na drugo, pravokotno na prvo, ali zmnožku višine te figure na premer njene osnove.

Če je odsek pravokoten na osnove slike, vendar ne gre skozi os vrtenja, bo površina tega odseka enaka zmnožku višine tega valja in določene tetive. Če želite dobiti akord, morate na dnu valja zgraditi krog, narisati polmer in narisati razdaljo, na kateri se nahaja odsek. In od te točke morate narisati pravokotnike na polmer od presečišča s krogom. Presečišča so povezana s središčem. In osnova trikotnika je želena, ki jo iščete, se sliši takole: "Vsota kvadratov dveh krakov je enaka hipotenuzi na kvadrat":

C2 \u003d A2 + B2.

Če se odsek ne dotakne dna valja, sam valj pa je krožen in raven, potem je območje tega odseka določeno kot območje kroga.

Območje kroga je:

S env. \u003d 2п R2.

Če želite najti R, morate njegovo dolžino C razdeliti na 2n:

R \u003d C \\ 2п, kjer je n število pi, matematična konstanta, izračunana za delo s podatki kroga, enaka 3,14.