AGENCE FÉDÉRALE POUR L'ÉDUCATION

INSTITUT POUR LE DEVELOPPEMENT DE L'EDUCATION

"Méthodes graphiques de résolution d'équations et d'inégalités avec paramètres"

Rempli

professeur de mathématiques

Protocole d'entente école secondaire №62

Lipetsk 2008

INTRODUCTION ................................................. .................................................. .3

X;à) 4

1.1. Transfert parallèle .................................................. .............. ................................ 5

1.2. Tour................................................. .................................................. 9

1.3. Homothétie. Compression en ligne droite .................................................. .. ................. treize

1.4. Deux droites dans un plan ....................................................... .. ....................... 15

2. TECHNIQUES GRAPHIQUES. AVION COORDONNÉ ( X;une) 17

CONCLUSION................................................. .......................................... vingt

LISTE BIBLIOGRAPHIQUE .................................................. .................................. 22

INTRODUCTION

Les problèmes rencontrés par les écoliers lors de la résolution d'équations et d'inéquations non standard sont dus à la fois à la complexité relative de ces problèmes et au fait qu'à l'école, en règle générale, l'attention principale est accordée à la résolution de problèmes standard.

De nombreux étudiants perçoivent le paramètre comme un nombre "normal". En effet, dans certains problèmes, le paramètre peut être considéré comme une valeur constante, mais cette valeur constante prend des valeurs inconnues ! Par conséquent, il est nécessaire de considérer le problème pour toutes les valeurs possibles de cette constante. Dans d'autres problèmes, il peut être commode de déclarer artificiellement l'une des inconnues comme paramètre.

D'autres écoliers traitent le paramètre comme une quantité inconnue et, sans être gênés, peuvent exprimer le paramètre en termes de variable dans leur réponse. X.

Aux examens finaux et d'entrée, il existe principalement deux types de tâches avec des paramètres. Vous les distinguerez immédiatement par le libellé. Premièrement : "Pour chaque valeur du paramètre, trouvez toutes les solutions d'une équation ou d'une inégalité." Deuxièmement: "Recherchez toutes les valeurs du paramètre, pour chacune desquelles certaines conditions sont satisfaites pour une équation ou une inégalité donnée." En conséquence, les réponses à ces deux types de problèmes diffèrent par essence. Dans la réponse au problème du premier type, toutes les valeurs possibles du paramètre sont répertoriées et les solutions de l'équation sont écrites pour chacune de ces valeurs. Dans la réponse au problème du deuxième type, toutes les valeurs de paramètre sont indiquées dans lesquelles les conditions spécifiées dans le problème sont remplies.

La solution d'une équation avec un paramètre pour une valeur fixe donnée du paramètre est une telle valeur de l'inconnue, lorsqu'on la substitue dans l'équation, cette dernière se transforme en une véritable égalité numérique. La solution de l'inégalité avec un paramètre est définie de manière similaire. Résoudre une équation (inégalité) avec un paramètre signifie pour chaque valeur admissible du paramètre trouver l'ensemble de toutes les solutions de cette équation (inégalité).

1. TECHNIQUES GRAPHIQUES. AVION COORDONNÉ ( X;à)

Outre les principales techniques et méthodes d'analyse pour résoudre des problèmes avec des paramètres, il existe des moyens de se référer à des interprétations visuelles et graphiques.

Selon le rôle donné au paramètre dans la tâche (inégal ou égal à la variable), deux principales techniques graphiques peuvent être distinguées en conséquence : la première est la construction d'une image graphique sur le plan de coordonnées (X;y), seconde - sur (X; une).

Sur le plan (x; y) la fonction y=F (X; une) définit une famille de courbes en fonction du paramètre une. Il est clair que chaque famille F possède certaines propriétés. Nous nous intéressons principalement à quelle transformation de plan (translation parallèle, rotation, etc.) peut être utilisée pour passer d'une courbe de famille à une autre. Une section distincte sera consacrée à chacune de ces transformations. Il nous semble qu'une telle classification permet à la personne décisive de trouver plus facilement l'image graphique nécessaire. Notez qu'avec cette approche, la partie conceptuelle de la solution ne dépend pas de la figure (droite, cercle, parabole, etc.) qui sera membre de la famille de courbes.

Bien sûr, pas toujours l'image graphique de la famille y=F (X;une) décrit par une transformation simple. Par conséquent, dans de telles situations, il est utile de se concentrer non pas sur la façon dont les courbes d'une famille sont liées, mais sur les courbes elles-mêmes. En d'autres termes, un autre type de problèmes peut être distingué, dans lequel l'idée d'une solution est principalement basée sur les propriétés d'objets concrets. formes géométriques plutôt que la famille dans son ensemble. Quelles figures (plus précisément, les familles de ces figures) nous intéresseront en premier lieu ? Ce sont des droites et des paraboles. Ce choix est dû à la position particulière (de base) des fonctions quadratiques en mathématiques scolaires.

En parlant de méthodes graphiques, il est impossible de contourner un problème, "né" dans la pratique du concours. Nous avons à l'esprit la question de la rigueur, et donc de la légalité d'une solution basée sur des considérations graphiques. Sans doute, d'un point de vue formel, le résultat, tiré du « tableau », non étayé analytiquement, n'a pas été rigoureusement obtenu. Cependant, qui, quand et où a déterminé le niveau de rigueur auquel un élève du secondaire doit adhérer ? À notre avis, les exigences relatives au niveau de rigueur mathématique d'un étudiant doivent être déterminées par le bon sens. On comprend le degré de subjectivité d'un tel point de vue. De plus, la méthode graphique n'est qu'une des aides visuelles. Et la visibilité peut être trompeuse..gif" width="232" height="28"> a la seule solution.

Solution. Par commodité, on note lg b = un.Écrivons une équation équivalente à celle d'origine : https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

Nous construisons un graphe de fonctions avec domaine et (Fig. 1). Le graphe obtenu est une famille de droites y = un ne doit se croiser qu'en un point. On peut voir sur la figure que cette exigence n'est satisfaite que lorsque un> 2, soit lg b> 2, b> 100.

Réponse. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> déterminer le nombre de solutions à l'équation .

Solution. Traçons la fonction 102" height="37" style="vertical-align:top">

Envisager . Cette ligne est parallèle à l'axe des abscisses.

Réponse..gif" width="41" height="20"> puis 3 solutions ;

si , alors 2 solutions ;

si , 4 solutions.

Passons à une nouvelle série de tâches..gif" width="107" height="27 src=">.

Solution. Construisons une ligne droite à= X+1 (Fig. 3)..gif" width="92" height="57">

ont une solution, qui est équivalente à l'équation ( X+1)2 = x + une avoir une racine..gif" width="44 height=47" height="47"> l'inégalité d'origine n'a pas de solution. Notez que ceux qui connaissent la dérivée peuvent obtenir ce résultat différemment.

Ensuite, en déplaçant la "demi-parabole" vers la gauche, nous fixons le dernier instant où les graphiques à = X+ 1 et ont deux points en commun (position III). Cette disposition est fournie par l'exigence une= 1.

Il est clair que pour le segment [ X 1; X 2], où X 1 et X 2 - les abscisses des points d'intersection des graphiques, seront la solution à l'inégalité d'origine..gif" width="68 height=47" height="47">, puis

Lorsque la "semi-parabole" et la droite se coupent en un seul point (cela correspond au cas un> 1), alors la solution sera le segment [- une; X 2"], où X 2" - la plus grande des racines X 1 et X 2 (position IV).

Exemple 4..gif" largeur="85" hauteur="29 src=">.gif" largeur="75" hauteur="20 src="> . De là, nous obtenons .

Considérez les fonctions et . Parmi elles, une seule définit une famille de courbes. Nous voyons maintenant que le remplacement effectué apporte des avantages incontestables. En parallèle, on note que dans le problème précédent, par un remplacement similaire, il est possible de faire non pas une "demi-parabole", mais un mouvement en ligne droite. Passons à la Fig. 4. Évidemment, si l'abscisse du sommet de la "semi-parabole" est supérieure à un, soit -3 une > 1, , alors l'équation n'a pas de racine..gif" width="89" height="29"> et a une monotonie différente.

Réponse. Si alors l'équation a une racine; si https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

a des solutions.

Solution. Il est clair que les familles directes https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 " >

Sens k1 on trouve en substituant le couple (0;0) dans la première équation du système. D'ici k1 =-1/4. Sens k 2 on obtient en demandant au système

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> quand k> 0 ont une racine. D'ici k2= 1/4.

Réponse. .

Faisons une remarque. Dans quelques exemples de ce paragraphe, nous aurons à résoudre un problème classique : pour une famille droite, trouver sa pente correspondant au moment de tangence à la courbe. Nous allons vous montrer comment le faire dans vue généraleà l'aide d'un dérivé.

Si (x0; y 0) = centre de rotation, puis les coordonnées (X 1; à 1) points de contact avec la courbe y=f(x) peut être trouvé en résolvant le système

Pente souhaitée k est égal à .

Exemple 6. Pour quelles valeurs du paramètre l'équation a-t-elle une solution unique ?

Solution..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, arc AB.

Tous les rayons passant entre OA et OB coupent l'arc AB en un point, également en un point ils coupent l'arc AB OB et OM (tangente)..gif" width="16" height="48 src=">. Pente tangente est . Facilement trouvé hors du système

Donc, familles directes https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

Réponse. .

Exemple 7..gif" width="160" height="25 src="> a une solution ?

Solution..gif" width="61" height="24 src="> et descend de . Point - est le point maximum.

La fonction est la famille de lignes passant par le point https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> est l'arc AB. Les lignes qui sera entre OA direct et OB, satisfaire la condition du problème..gif" width="17" height="47 src=">.

Réponse..gif" width="15" height="20">aucune solution.

1.3. Homothétie. Compression en ligne droite.

Exemple 8 Combien de solutions le système a-t-il

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> il n'y a pas de système de solution. un> 0 le graphe de la première équation est un carré dont les sommets ( une; 0), (0;-une), (-une;0), (0;une). Ainsi, les membres de la famille sont des carrés homothétiques (le centre de l'homothétie est le point O(0 ; 0)).

Passons à la Fig. 8..gif" width="80" height="25"> chaque côté du carré a deux points communs avec le cercle, ce qui signifie que le système aura huit solutions. Lorsque le cercle sera inscrit dans le carré, c'est à dire il y aura encore quatre solutions Évidemment, pour , le système n'a pas de solutions.

Réponse. Si une< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, alors il y a quatre solutions; si , alors il y a huit solutions.

Exemple 9. Trouvez toutes les valeurs du paramètre , pour chacune desquelles l'équation https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src=">. Considérez la fonction ..jpg" width="195" height="162">

Le nombre de racines correspondra au nombre 8 lorsque le rayon du demi-cercle est supérieur et inférieur à , c'est-à-dire. Notez qu'il y a .

Réponse. ou .

1.4. Deux droites dans un plan

En substance, l'idée de résoudre les problèmes de ce paragraphe repose sur la question de l'étude de la position relative de deux lignes droites : et . Il est facile de montrer la solution de ce problème sous une forme générale. Nous nous tournerons directement vers des exemples caractéristiques spécifiques, qui, à notre avis, ne nuiront pas au côté général de la question.

Exemple 10 Pour lesquels a et b le système

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">

L'inégalité du système définit un demi-plan de bord à= 2x- 1 (Fig. 10). Il est facile de voir que le système résultant admet une solution si la droite ah +par = 5 coupe la frontière du demi-plan ou, étant parallèle à celle-ci, se situe dans le demi-plan à– 2x + 1 < 0.

Commençons par un cas b= 0. Alors, semble-t-il, l'équation Oh+ par = 5 définit une ligne verticale qui coupe évidemment la ligne y= 2X - 1. Cependant, cette affirmation n'est vraie que lorsque ..gif" width="43" height="20 src="> le système a des solutions..gif" width="99" height="48">. Dans ce cas, la condition d'intersection de ligne est atteinte lorsque , soit ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> et , ou et , ou et https ://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

−B avion coordonné xOa tracer la fonction .

− Considérez les droites et sélectionnez les intervalles de l'axe Oa sur lesquels ces droites satisfont les conditions suivantes : a) ne coupe pas le graphe de la fonction ="24"> en un point, c) en deux points, d) en trois points, et ainsi de suite.

− Si la tâche consiste à trouver les valeurs de x, alors nous exprimons x en termes de a pour chacun des intervalles trouvés de la valeur de a séparément.

La vue du paramètre en tant que variable égale est reflétée dans les méthodes graphiques..jpg" width="242" height="182">

Réponse. a = 0 ou a = 1.

CONCLUSION

Nous espérons que les problèmes analysés démontrent de manière suffisamment convaincante l'efficacité des méthodes proposées. Cependant, malheureusement, la portée de ces méthodes est limitée par les difficultés que l'on peut rencontrer dans la construction d'une image graphique. Est-ce si mauvais ? Apparemment non. En effet, avec cette approche, la principale valeur didactique des tâches paramétrées en tant que modèle de recherche miniature est largement perdue. Cependant, les considérations ci-dessus s'adressent aux enseignants et, pour les candidats, la formule est tout à fait acceptable: la fin justifie les moyens. Par ailleurs, prenons la liberté de dire que dans un nombre considérable d'universités, les compilateurs de problèmes compétitifs avec paramètres suivent le chemin de l'image à la condition.

Dans ces problèmes, les possibilités de résoudre des problèmes avec un paramètre qui s'ouvrent à nous lors de la représentation de graphiques de fonctions incluses dans les parties gauche et droite d'équations ou d'inégalités ont été discutées. Du fait que le paramètre peut prendre des valeurs arbitraires, un ou les deux graphiques affichés se déplacent d'une certaine manière sur le plan. On peut dire qu'on obtient toute une famille de graphes correspondant à différentes valeurs du paramètre.

Nous insistons fortement sur deux détails.

Premièrement, nous ne parlons pas d'une solution "graphique". Toutes les valeurs, coordonnées, racines sont calculées strictement, analytiquement, en tant que solutions aux équations et systèmes correspondants. Il en va de même pour les cas de toucher ou de croisement de graphiques. Ils ne sont pas déterminés à l'œil nu, mais à l'aide de discriminants, de dérivés et d'autres outils à votre disposition. La photo ne donne qu'une solution.

Deuxièmement, même si vous ne trouvez aucun moyen de résoudre le problème associé aux graphiques affichés, votre compréhension du problème s'élargira considérablement, vous recevrez des informations pour l'auto-test et les chances de succès augmenteront considérablement. Imaginer précisément ce qui se passe dans le problème quand différentes valeurs paramètre, vous pouvez trouver l'algorithme de solution correct.

Nous compléterons donc ces mots par une phrase insistante : si au moindre degré tâche difficile il y a des fonctions dont vous savez tracer des graphes, assurez-vous de le faire, vous ne le regretterez pas.

LES RÉFÉRENCES

1. Cherkasov,: Un guide pour les lycéens et les candidats aux universités [Texte] /,. - M. : AST-PRESS, 2001. - 576 p.

2. Gorshtein, avec paramètres [Texte] : 3e édition, complétée et révisée /,. - M. : Ileksa, Kharkov : Gymnase, 1999. - 336 p.

Laisser f(x,y) et g(x, y)- deux expressions avec des variables X et à et domaine de définition X. Alors les inégalités de la forme f(x, y) > g(x, y) ou f(x, y) < g(x, y) appelé inégalité à deux variables .

Signification des variables x, y de beaucoup X, sous laquelle l'inégalité se transforme en une véritable inégalité numérique, est appelée son décision et noté (x, y). Résoudre l'inégalité est de trouver un ensemble de telles paires.

Si chaque paire de nombres (x, y) de l'ensemble des solutions à l'inégalité, mettre en correspondance un point M(x, y), on obtient l'ensemble des points du plan donné par cette inégalité. Il est appelé graphique de cette inégalité . Un diagramme d'inégalité est généralement une zone sur un plan.

Représenter l'ensemble des solutions de l'inégalité f(x, y) > g(x, y), procédez comme suit. Tout d'abord, remplacez le signe d'inégalité par un signe égal et trouvez une ligne qui a l'équation f(x,y) = g(x,y). Cette ligne divise le plan en plusieurs parties. Après cela, il suffit de prendre un point dans chaque partie et de vérifier si l'inégalité tient à ce point f(x, y) > g(x, y). S'il est exécuté à ce point, il sera également exécuté dans toute la partie où se trouve ce point. En combinant ces parties, nous obtenons un ensemble de solutions.

Tâche. y > X.

Solution. Tout d'abord, nous remplaçons le signe d'inégalité par un signe égal et construisons une ligne dans un système de coordonnées rectangulaires d'équation y = X.

Cette ligne divise le plan en deux parties. Après cela, nous prenons un point dans chaque partie et vérifions si l'inégalité tient à ce point y > X.

Tâche. Résoudre graphiquement l'inégalité
X 2 + à 2 25 £.

Donnons deux inégalités F 1(x, y) > g 1(x, y) et F 2(x, y) > g 2(x, y).

Systèmes d'ensembles d'inégalités à deux variables

Système d'inégalités est toi-même conjonction de ces inégalités. Solution système est n'importe quelle valeur (x, y), qui transforme chacune des inégalités en une véritable inégalité numérique. De nombreuses solutions systèmes inégalités est l'intersection des ensembles de solutions d'inégalités qui forment le système donné.

Ensemble d'inégalités est toi-même disjonction de ces inégalités. Définir la décision est n'importe quelle valeur (x, y), qui transforme en une véritable inégalité numérique au moins une des inégalités de l'ensemble. De nombreuses solutions agrégats est la réunion d'ensembles de solutions d'inéquations formant un ensemble.

Tâche. Résoudre graphiquement un système d'inéquations

Solution. y = x et X 2 + à 2 = 25. Nous résolvons chaque inégalité du système.

Le graphique du système sera un ensemble de points dans le plan qui sont l'intersection (double ombrage) des ensembles de solutions des première et deuxième inégalités.

Tâche. Résoudre graphiquement un ensemble d'inégalités

Exercices pour le travail indépendant

1. Résolvez graphiquement les inégalités : a) à> 2X; b) à< 2X + 3;

v) X 2+y 2 > 9 ; G) X 2+y 2 £4.

2. Résolvez graphiquement des systèmes d'inéquations :

un) c)

Yury Kotovchikhin, élève de 10e année

Les élèves commencent à étudier les équations avec des modules déjà à partir de la 6e année, ils étudient la méthode standard de résolution en utilisant le développement de modules sur des intervalles de constance d'expressions sous-modulaires. J'ai choisi ce sujet particulier parce que je pense qu'il nécessite une étude plus approfondie et plus approfondie, les tâches avec le module causent de grandes difficultés aux étudiants. V programme scolaire il existe des tâches contenant un module en tant que tâches de complexité accrue et dans les examens, par conséquent, nous devons être prêts à faire face à une telle tâche.

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Établissement d'enseignement municipal

Moyen école polyvalente №5

Travail de recherche sur le sujet :

« Solution algébrique et graphique d'équations et d'inéquations contenant un module»

J'ai fait le travail :

élève de 10e année

Kotovchikhin Yuri

Superviseur:

Prof de maths

Shanta N.P.

Ouriopinsk

1.Présentation………………………………………………………………….3

2. Concepts et définitions………………………………………….5

3.Preuve des théorèmes……………………………………………..6

4. Méthodes de résolution d'équations contenant un module…………...7

12

4.2. Utiliser l'interprétation géométrique du module pour résoudre des équations……………………………………………………………………..14

4.3 Graphiques des fonctions les plus simples contenant le signe de la valeur absolue.

………………………………………………………………………15

4.4. Solution des équations non standard contenant le module .... 16

5.Conclusion……………………………………………………….17

6. Liste de la littérature utilisée………………………………………………………………………………………………………18

Le but du travail: les élèves commencent à étudier les équations avec des modules déjà à partir de la 6e année, ils étudient la méthode standard de résolution en ouvrant des modules sur des intervalles de signe constant d'expressions sous-modulaires. J'ai choisi ce sujet particulier parce que je pense qu'il nécessite une étude plus approfondie et plus approfondie, les tâches avec le module causent de grandes difficultés aux étudiants. Dans le programme scolaire, il existe des tâches contenant un module en tant que tâches de complexité accrue et dans les examens, par conséquent, nous devons être prêts à faire face à une telle tâche.

1. Introduction:

Le mot "module" vient du mot latin "module", qui signifie "mesure". Il s'agit d'un mot à valeurs multiples (homonyme) qui a de nombreuses significations et qui est utilisé non seulement en mathématiques, mais aussi en architecture, physique, ingénierie, programmation et autres sciences exactes.

En architecture, c'est l'unité de mesure initiale attribuée à un structure architecturale et servant à exprimer les rapports multiples de ses éléments constitutifs.

En ingénierie, c'est un terme utilisé dans divers domaines de la technologie qui n'a pas de sens universel et sert à désigner divers coefficients et quantités, par exemple, le module d'engagement, le module d'élasticité, etc.

Le module de compressibilité (en physique) est le rapport entre la contrainte normale dans un matériau et l'allongement.

2. Concepts et définitions

Le module - la valeur absolue - d'un nombre réel A est noté |A|.

A étudier en profondeur ce sujet, vous devez vous familiariser avec les définitions les plus simples dont j'aurai besoin :

Une équation est une égalité contenant des variables.

Une équation avec un module est une équation contenant une variable sous le signe de la valeur absolue (sous le signe du module).

Résoudre une équation signifie trouver toutes ses racines, ou prouver qu'il n'y a pas de racines.

3.Preuve des théorèmes

Théorème 1. Valeur absolue d'un nombre réel est égal au plus grand des deux nombres a ou -a.

Preuve

1. Si le nombre a est positif, alors -a est négatif, c'est-à-dire -a

Par exemple, le nombre 5 est positif, puis -5 est négatif et -5

Dans ce cas |a| = a, soit |a| correspond au plus grand des deux nombres a et - a.

2. Si a est négatif, alors -a est positif et a

Conséquence. Il découle du théorème que |-a| = |a|.

En effet, les deux et sont égaux au plus grand des nombres -a et a, et sont donc égaux l'un à l'autre.

Théorème 2. La valeur absolue de tout nombre réel a est égale à l'arithmétique racine carrée de 2 .

En effet, si alors, par définition du module d'un nombre, on aura lAl>0 En revanche, pour A>0, alors |a| = √A 2

Si un 2

Ce théorème permet de remplacer |a| sur le

Géométriquement |a| désigne la distance sur la ligne de coordonnées entre le point représentant le nombre a et l'origine.

Si alors sur la ligne de coordonnées il y a deux points a et -a, équidistants de zéro, dont les modules sont égaux.

Si a = 0, alors sur la ligne de coordonnées |a| représenté par le point 0

4. Méthodes de résolution d'équations contenant un module.

Pour résoudre des équations contenant le signe de la valeur absolue, nous nous baserons sur la définition du module du nombre et les propriétés de la valeur absolue du nombre. Nous allons résoudre quelques exemples différentes façons et voir quelle est la manière la plus facile de résoudre les équations contenant le module.

Exemple 1. On résout analytiquement et graphiquement l'équation |x + 2| = 1.

Solution

Solution analytique

1er chemin

Nous raisonnerons sur la définition d'un module. Si l'expression sous le module est non négative, c'est-à-dire x + 2 ≥0 , alors elle "laissera" le signe du module avec le signe plus et l'équation prendra la forme : x + 2 = 1. Si les valeurs de l'expression sous le signe du module sont négatifs , alors, par définition, il sera égal à : ou x + 2=-1

Ainsi, nous obtenons soit x + 2 = 1, soit x + 2 = -1. En résolvant les équations résultantes, nous trouvons: X + 2 \u003d 1 ou X + 2 + -1

X=-1 X=3

Réponse : -3 ; -1.

Nous pouvons maintenant conclure : si le module d'une expression est égal à un nombre réel positif a, alors l'expression sous le module est soit a, soit -a.

Solution graphique

Une façon de résoudre des équations contenant un module est une méthode graphique. L'essence de cette méthode est de construire des graphiques de ces fonctions. Si les graphiques se croisent, les points d'intersection de ces graphiques seront les racines de notre équation. Si les graphiques ne se croisent pas, nous pouvons conclure que l'équation n'a pas de racines. Cette méthode est probablement moins utilisée que d'autres pour résoudre des équations contenant un module, car, d'une part, elle prend beaucoup de temps et n'est pas toujours rationnelle, et, d'autre part, les résultats obtenus lors du tracé de graphiques ne sont pas toujours précis.

Une autre façon de résoudre des équations contenant un module consiste à diviser la droite numérique en intervalles. Dans ce cas, nous devons diviser la droite numérique afin que, par la définition du module, le signe de la valeur absolue à ces intervalles puisse être supprimé. Ensuite, pour chacun des écarts, nous devrons résoudre cette équation et tirer une conclusion sur les racines résultantes (qu'elles satisfassent ou non notre écart). Les racines satisfaisant les lacunes donneront la réponse finale.

2ème voie

Établissons, à quelles valeurs de x, le module est égal à zéro : |X+2|=0 , X=2

On obtient deux intervalles, sur chacun desquels on résout l'équation :

On obtient deux systèmes mixtes :

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

Résolvons chaque système :

X=-3 X=-1

Réponse : -3 ; -1.

Solution graphique

y= |X+2|, y= 1.

Solution graphique

Pour résoudre graphiquement l'équation, il faut tracer les fonctions et

Pour tracer un graphique de fonction, nous allons tracer un graphique de fonction - il s'agit d'une fonction qui coupe l'axe OX et l'axe OY en des points.

Les abscisses des points d'intersection des graphiques de fonction donneront les solutions de l'équation.

Le graphe direct de la fonction y=1 intersecté avec le graphe de la fonction y=|x + 2| aux points de coordonnées (-3 ; 1) et (-1 ; 1), les solutions de l'équation seront donc les abscisses des points :

x=-3, x=-1

Réponse : -3 ; -1

Exemple 2. Résoudre analytiquement et graphiquement l'équation 1 + |x| = 0,5.

Solution:

Solution analytique

Transformons l'équation : 1 + |x| = 0,5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

Il est clair que dans ce cas l'équation n'a pas de solution puisque, par définition, le module est toujours non négatif.

Réponse : Il n'y a pas de solutions.

Solution graphique

Transformons l'équation : : 1 + |x| = 0,5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

Le graphique de la fonction est les rayons - les bissectrices des 1er et 2e angles de coordonnées. Le graphique de la fonction est une droite parallèle à l'axe OX et passant par le point -0,5 sur l'axe OY.

Les graphiques ne se croisent pas, donc l'équation n'a pas de solution.

Réponse : aucune solution.

Exemple 3. Résoudre analytiquement et graphiquement l'équation |-x + 2| = 2x + 1.

Solution:

Solution analytique

1er chemin

Vous devez d'abord définir la plage de valeurs valides pour la variable. Une question naturelle se pose pourquoi, dans les exemples précédents, il n'était pas nécessaire de le faire, mais maintenant cela s'est posé.

Le fait est que dans cet exemple, sur le côté gauche de l'équation, le module d'une expression, et sur le côté droit n'est pas un nombre, mais une expression avec une variable - c'est cette circonstance importante qui distingue cet exemple du les précédents.

Puisque sur le côté gauche il y a un module, et sur le côté droit, une expression contenant une variable, il faut exiger que cette expression soit non négative, c'est-à-dire que la plage de valeurs valides

valeurs des modules

Maintenant, nous pouvons raisonner de la même manière que dans l'exemple 1, lorsque le côté droit de l'égalité contenue nombre positif. On obtient deux systèmes mixtes :

(1) -X+2≥0 et (2) -X+2

X+2=2X+1 ; X-2=2X+1

Résolvons chaque système :

(1) entre dans l'intervalle et est la racine de l'équation.

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3 n'est pas inclus dans l'intervalle et n'est pas la racine de l'équation.

Réponse : ⅓.

4.1. Solution utilisant les dépendances entre les nombres a et b, leurs modules et les carrés de ces nombres.

En plus des méthodes que j'ai données plus haut, il existe une certaine équivalence entre nombres et modules de nombres donnés, ainsi qu'entre carrés et modules de nombres donnés :

|a|=|b| a=b ou a=-b

A2=b2 a=b ou a=-b

De là, à son tour, nous obtenons que

|a|=|b| une 2 =b 2

Exemple 4. Résolvons l'équation |x + 1|=|2x - 5| de deux manières différentes.

1. En considérant la relation (1), on obtient :

X + 1=2x - 5 ou x + 1=-2x + 5

x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

x=6 x=11/3

La racine de la première équation est x=6, la racine de la deuxième équation est x=11/3

Ainsi, les racines de l'équation originale x 1=6, x2=11/3

2. En vertu de la relation (2), on obtient

(x + 1)2=(2x - 5)2, ou x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==> l'équation a 2 racines différentes.

x 1 \u003d (11 - 7) / 3 \u003d 11/3

x 2 \u003d (11 + 7) / 3 \u003d 6

Comme le montre la solution, les racines de cette équation sont aussi les nombres 11/3 et 6

Réponse : x 1 \u003d 6, x 2 \u003d 11/3

Exemple 5. Résoudre l'équation (2x + 3) 2 =(x - 1) 2 .

En tenant compte de la relation (2), on obtient que |2x + 3|=|x - 1|, d'où selon le modèle de l'exemple précédent (et selon la relation (1)) :

2x + 3=x - 1 ou 2x + 3=-x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0,(6)

Ainsi, les racines de l'équation sont x1=-4, et x2=-0,(6)

Réponse : x1 \u003d -4, x 2 \u003d 0, (6)

Exemple 6. Résolvons l'équation |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

En utilisant le rapport, on obtient :

x - 6 \u003d x2 - 5x + 9 ou x - 6 \u003d - (x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 r.c.

==> il n'y a pas de racines.

X 1 \u003d (4- 2) / 2 \u003d 1

X 2 \u003d (4 + 2) / 2 \u003d 3

Vérifier : |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3(ET)

Réponse : x 1 =1 ; x2=3

4.2 Utiliser l'interprétation géométrique du module pour résoudre des équations.

La signification géométrique du module de différence de magnitude est la distance entre eux. Par exemple, la signification géométrique de l'expression |x - a | - longueur des segments axe de coordonnées reliant les points d'abscisse a et x. La traduction d'un problème algébrique dans un langage géométrique permet souvent d'éviter des solutions lourdes.

Exemple7. Résolvons l'équation |x - 1| + |x - 2|=1 en utilisant l'interprétation géométrique du module.

Nous raisonnerons de la manière suivante : à partir de l'interprétation géométrique du module, côté gauche L'équation est la somme des distances d'un point des abscisses x à deux points fixes d'abscisses 1 et 2. Il est alors évident que tous les points d'abscisse du segment ont la propriété requise, mais les points situés en dehors de ce segment ne ne pas. D'où la réponse : l'ensemble des solutions de l'équation est le segment.

Réponse:

Exemple8. Résolvons l'équation |x - 1| - |x - 2|=1 1 en utilisant l'interprétation géométrique du module.

Nous raisonnerons de la même manière que dans l'exemple précédent et nous constaterons que la différence des distances aux points d'abscisse 1 et 2 est égale à un uniquement pour les points situés sur l'axe de coordonnées à droite du nombre 2. Par conséquent, la solution à cette équation ne sera pas le segment entre les points 1 et 2, et un rayon sortant du point 2 et dirigé dans le sens positif de l'axe OX.

Réponse: )