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L'équation de la tangente au graphe de la fonction

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Sur le stade actuel développement de l'éducation comme l'une de ses tâches principales est la formation d'une personnalité pensant de manière créative. La capacité de créativité des étudiants ne peut être développée que s'ils sont systématiquement impliqués dans les bases des activités de recherche. La base pour que les étudiants utilisent leurs forces créatives, leurs capacités et leurs talents est formée de connaissances et de compétences à part entière. À cet égard, le problème de la formation d'un système de connaissances et de compétences de base pour chaque sujet du cours de mathématiques à l'école n'est pas sans importance. Dans le même temps, les compétences à part entière devraient être l'objectif didactique non pas des tâches individuelles, mais de leur système soigneusement pensé. Au sens le plus large, un système est compris comme un ensemble d'éléments interdépendants qui ont une intégrité et une structure stable.

Envisagez une méthodologie pour enseigner aux élèves comment établir une équation d'une tangente à un graphique de fonction. Essentiellement, toutes les tâches de recherche de l'équation tangente sont réduites à la nécessité de sélectionner dans l'ensemble (faisceau, famille) de lignes celles qui satisfont à une certaine exigence - elles sont tangentes au graphique d'une certaine fonction. Dans ce cas, l'ensemble des lignes à partir desquelles la sélection est effectuée peut être spécifié de deux manières :

a) un point situé sur le plan xOy (crayon central de droites) ;
b) coefficient angulaire (faisceau de lignes parallèles).

A cet égard, lors de l'étude du sujet "Tangente au graphe d'une fonction" afin d'isoler les éléments du système, nous avons identifié deux types de tâches :

1) tâches sur une tangente donnée par un point par lequel elle passe ;
2) tâches sur une tangente donnée par sa pente.

L'apprentissage de la résolution de problèmes sur une tangente a été réalisé à l'aide de l'algorithme proposé par A.G. Mordkovitch. Sa différence fondamentale avec celles déjà connues est que l'abscisse du point tangent est désignée par la lettre a (au lieu de x0), en relation avec laquelle l'équation tangente prend la forme

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(comparer avec y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Cette technique méthodologique, à notre avis, permet aux étudiants de se rendre compte rapidement et facilement où les coordonnées du point actuel sont écrites dans l'équation générale de la tangente, et où sont les points de contact.

Algorithme pour compiler l'équation de la tangente au graphe de la fonction y = f(x)

1. Désigner par la lettre a l'abscisse du point de contact.
2. Trouver f(a).
3. Trouvez f "(x) et f "(a).
4. Remplacez les nombres trouvés a, f (a), f "(a) dans l'équation générale de la tangente y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Cet algorithme peut être compilé sur la base de la sélection indépendante des opérations par les élèves et de la séquence de leur exécution.

La pratique a montré que la solution cohérente de chacune des tâches clés à l'aide de l'algorithme vous permet de former la capacité d'écrire l'équation de la tangente au graphique de la fonction par étapes, et les étapes de l'algorithme servent de points forts pour les actions . Cette approche correspond à la théorie de la formation progressive des actions mentales développée par P.Ya. Galperin et N.F. Talyzina.

Dans le premier type de tâches, deux tâches clés ont été identifiées :

la tangente passe par un point situé sur la courbe (problème 1) ;
la tangente passe par un point non situé sur la courbe (problème 2).

Tâche 1. Équation de la tangente au graphique de la fonction au point M(3; – 2).

Décision. Le point M(3; – 2) est le point de contact, puisque

1. a = 3 - abscisse du point de contact.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 est l'équation tangente.

Tâche 2. Écrivez les équations de toutes les tangentes au graphique de la fonction y = - x 2 - 4x + 2, passant par le point M(- 3; 6).

Décision. Le point M(– 3; 6) n'est pas un point tangent, puisque f(– 3) 6 (fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - équation tangente.

La tangente passe par le point M(– 3; 6), par conséquent, ses coordonnées satisfont l'équation de la tangente.

6 = – une 2 – 4a + 2 – 2(une + 2)(– 3 – une),
un 2 + 6a + 8 = 0^ un 1 = - 4, un 2 = - 2.

Si a = – 4, alors l'équation tangente est y = 4x + 18.

Si a \u003d - 2, alors l'équation tangente a la forme y \u003d 6.

Dans le second type, les tâches clés seront les suivantes :

la tangente est parallèle à une droite (problème 3) ;
la tangente passe à un certain angle par rapport à la ligne donnée (problème 4).

Tâche 3. Écrivez les équations de toutes les tangentes au graphique de la fonction y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, parallèle à la ligne y \u003d 9x + 1.

Décision.

1. a - abscisse du point de contact.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Mais, d'autre part, f "(a) \u003d 9 (condition de parallélisme). Nous devons donc résoudre l'équation 3a 2 - 6a \u003d 9. Ses racines a \u003d - 1, a \u003d 3 (Fig 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9 ;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 est l'équation tangente ;

1) un = 3 ;
2) f(3) = 3 ;
3) f "(3) = 9 ;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 est l'équation tangente.

Tâche 4. Écrivez l'équation de la tangente au graphique de la fonction y = 0,5x 2 - 3x + 1, en passant sous un angle de 45 ° par rapport à la droite y = 0 (Fig. 4).

Décision. A partir de la condition f "(a) \u003d tg 45 ° on trouve a: a - 3 \u003d 1^a=4.

1. a = 4 - abscisse du point de contact.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - l'équation de la tangente.

Il est facile de montrer que la solution de tout autre problème se réduit à la solution d'un ou plusieurs problèmes clés. Considérons les deux problèmes suivants à titre d'exemple.

1. Écrivez les équations des tangentes à la parabole y = 2x 2 - 5x - 2, si les tangentes se coupent à angle droit et que l'une d'elles touche la parabole au point d'abscisse 3 (Fig. 5).

Décision. L'abscisse du point de contact étant donnée, la première partie de la solution se réduit au problème clé 1.

1. a = 3 - abscisse du point de contact d'un des côtés angle droit.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - l'équation de la première tangente.

Laissez un est l'angle d'inclinaison de la première tangente. Puisque les tangentes sont perpendiculaires, alors est l'angle d'inclinaison de la deuxième tangente. De l'équation y = 7x – 20 de la première tangente nous avons tg a = 7. Trouver

Cela signifie que la pente de la deuxième tangente est .

La solution supplémentaire est réduite à la tâche clé 3.

Soit B(c; f(c)) le point tangent de la seconde droite, alors

1. - abscisse du deuxième point de contact.
2.
3.
4.
est l'équation de la deuxième tangente.

Noter. Le coefficient angulaire de la tangente peut être trouvé plus facilement si les élèves connaissent le rapport des coefficients des droites perpendiculaires k 1 k 2 = - 1.

2. Écrivez les équations de toutes les tangentes communes aux graphiques de fonctions

Décision. La tâche est réduite à trouver les abscisses des points de contact des tangentes communes, c'est-à-dire à résoudre le problème clé 1 sous une forme générale, à compiler un système d'équations puis à le résoudre (Fig. 6).

1. Soit a l'abscisse du point de contact situé sur le graphique de la fonction y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d une 2 + une + 1 + (2a + 1) (x - une) \u003d (2a + 1) x + 1 - une 2.

1. Soit c l'abscisse du point tangent situé sur le graphe de la fonction
2.
3. f "(c) = c.
4.

Les tangentes étant communes, alors

Donc y = x + 1 et y = - 3x - 3 sont des tangentes communes.

L'objectif principal des tâches envisagées est de préparer les étudiants à l'auto-reconnaissance du type de tâche clé lors de la résolution de plus tâches difficiles qui nécessitent certaines compétences de recherche (capacité d'analyser, de comparer, de généraliser, d'émettre une hypothèse, etc.). Ces tâches incluent toute tâche dans laquelle la tâche clé est incluse en tant que composant. Considérons à titre d'exemple le problème (inverse du problème 1) de trouver une fonction à partir de la famille de ses tangentes.

3. Pour quoi b et c sont les lignes y \u003d x et y \u003d - 2x tangentes au graphique de la fonction y \u003d x 2 + bx + c ?

Décision.

Soit t l'abscisse du point de contact de la droite y = x avec la parabole y = x 2 + bx + c ; p est l'abscisse du point de contact de la droite y = - 2x avec la parabole y = x 2 + bx + c. Alors l'équation tangente y = x prendra la forme y = (2t + b)x + c - t 2 , et l'équation tangente y = - 2x prendra la forme y = (2p + b)x + c - p 2 .

Composer et résoudre un système d'équations

Répondre:

Tâches pour une solution indépendante

1. Écrivez les équations des tangentes tracées au graphique de la fonction y = 2x 2 - 4x + 3 aux points d'intersection du graphique avec la ligne y = x + 3.

Réponse : y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9,5.

2. Pour quelles valeurs de a la tangente tracée au graphique de la fonction y \u003d x 2 - ax au point du graphique avec l'abscisse x 0 \u003d 1 passe-t-elle par le point M (2; 3) ?

Réponse : a = 0,5.

3. Pour quelles valeurs de p la ligne y = px - 5 touche-t-elle la courbe y = 3x 2 - 4x - 2 ?

Réponse : p 1 \u003d - 10, p 2 \u003d 2.

4. Trouver tous les points communs du graphe de la fonction y = 3x - x 3 et la tangente tracée à ce graphe passant par le point P(0; 16).

Réponse : A(2 ; - 2), B(- 4 ; 52).

5. Trouvez la distance la plus courte entre la parabole y = x 2 + 6x + 10 et la droite

Répondre:

6. Sur la courbe y \u003d x 2 - x + 1, trouvez le point auquel la tangente au graphique est parallèle à la ligne y - 3x + 1 \u003d 0.

Réponse : M(2 ; 3).

7. Écrivez l'équation de la tangente au graphique de la fonction y = x 2 + 2x - | 4x | qui le touche en deux points. Faites un dessin.

Réponse : y = 2x - 4.

8. Démontrer que la droite y = 2x – 1 ne coupe pas la courbe y = x 4 + 3x 2 + 2x. Trouver la distance entre leurs points les plus proches.

Répondre:

9. Sur la parabole y \u003d x 2, on prend deux points avec les abscisses x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3. Une sécante est tracée à travers ces points. En quel point de la parabole la tangente à celle-ci sera-t-elle parallèle à la sécante dessinée ? Écris les équations de la sécante et de la tangente.

Réponse: y \u003d 4x - 3 - équation sécante; y = 4x – 4 est l'équation tangente.

10. Trouvez l'angle q entre les tangentes au graphique de la fonction y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1, tracée aux points d'abscisse 0 et 1.

Réponse : q = 45°.

11. En quels points la tangente à la fonction graphique forme-t-elle un angle de 135° avec l'axe Ox ?

Réponse : A(0 ; - 1), B(4 ; 3).

12. Au point A(1; 8) de la courbe une tangente est tracée. Trouvez la longueur du segment tangent compris entre les axes de coordonnées.

Répondre:

13. Écrivez l'équation de toutes les tangentes communes aux graphiques des fonctions y \u003d x 2 - x + 1 et y \u003d 2x 2 - x + 0,5.

Réponse : y = - 3x et y = x.

14. Trouvez la distance entre les tangentes au graphique de la fonction parallèle à l'axe des x.

Répondre:

15. Déterminez à quels angles la parabole y \u003d x 2 + 2x - 8 coupe l'axe des x.

Réponse : q 1 \u003d arctan 6, q 2 \u003d arctan (- 6).

16. Sur le graphique de la fonction trouver tous les points dont la tangente à chacun de ce graphique coupe les demi-axes positifs de coordonnées, en coupant des segments égaux.

Réponse : A(-3 ; 11).

17. La droite y = 2x + 7 et la parabole y = x 2 – 1 se coupent aux points M et N. Trouvez le point d'intersection K des droites tangentes à la parabole aux points M et N.

Réponse : K(1 ; - 9).

18. Pour quelles valeurs de b la ligne y \u003d 9x + b est-elle tangente au graphique de la fonction y \u003d x 3 - 3x + 15 ?

Réponse 1; 31.

19. Pour quelles valeurs de k la droite y = kx – 10 n'a-t-elle qu'un seul point commun avec le graphique de la fonction y = 2x 2 + 3x – 2 ? Pour les valeurs trouvées de k, déterminez les coordonnées du point.

Réponse : k 1 = - 5, A(- 2 ; 0) ; k 2 = 11, B(2; 12).

20. Pour quelles valeurs de b la tangente tracée au graphique de la fonction y = bx 3 – 2x 2 – 4 au point d'abscisse x 0 = 2 passe-t-elle par le point M(1 ; 8) ?

Réponse : b = - 3.

21. Une parabole avec un sommet sur l'axe Ox est tangente à une droite passant par les points A(1; 2) et B(2; 4) au point B. Trouvez l'équation de la parabole.

Répondre:

22. À quelle valeur du coefficient k la parabole y \u003d x 2 + kx + 1 touche-t-elle l'axe Ox ?

Réponse : k = q 2.

23. Trouvez les angles entre la ligne y = x + 2 et la courbe y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Trouvez la distance entre les tangentes au graphique des générateurs de fonctions avec la direction positive de l'axe Ox à un angle de 45 °.

Répondre:

30. Trouvez le lieu des sommets de toutes les paraboles de la forme y = x 2 + ax + b touchant la ligne y = 4x - 1.

Réponse : droite y = 4x + 3.

Littérature

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algèbre et débuts de l'analyse : 3 600 problèmes pour les écoliers et les candidats à l'université. - M., Outarde, 1999.
2. Mordkovich A. Le quatrième séminaire pour les jeunes enseignants. Le sujet est "Applications dérivées". - M., "Mathématiques", n° 21/94.
3. Formation de connaissances et de compétences basées sur la théorie de l'assimilation progressive des actions mentales. / Éd. P.Ya. Galperin, N.F. Talyzina. - M., Université d'État de Moscou, 1968.

Au stade actuel de développement de l'éducation, l'une de ses tâches principales est la formation d'une personnalité pensant de manière créative. La capacité de créativité des étudiants ne peut être développée que s'ils sont systématiquement impliqués dans les bases des activités de recherche. La base pour que les étudiants utilisent leurs forces créatives, leurs capacités et leurs talents est formée de connaissances et de compétences à part entière. À cet égard, le problème de la formation d'un système de connaissances et de compétences de base pour chaque sujet cours d'école les mathématiques ont une grande importance. Dans le même temps, les compétences à part entière devraient être l'objectif didactique non pas des tâches individuelles, mais de leur système soigneusement pensé. Au sens le plus large, un système est compris comme un ensemble d'éléments interdépendants qui ont une intégrité et une structure stable.

a) un point situé sur le plan xOy (crayon central de droites) ;
b) coefficient angulaire (faisceau de lignes parallèles).

A cet égard, lors de l'étude du sujet "Tangente au graphe d'une fonction" afin d'isoler les éléments du système, nous avons identifié deux types de tâches :

1) tâches sur une tangente donnée par un point par lequel elle passe ;
2) tâches sur une tangente donnée par sa pente.

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

Algorithme pour compiler l'équation de la tangente au graphe de la fonction y = f(x)

1. Désigner par la lettre a l'abscisse du point de contact.
2. Trouver f(a).
3. Trouvez f "(x) et f "(a).
4. Remplacez les nombres trouvés a, f (a), f "(a) dans l'équation générale de la tangente y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Cet algorithme peut être compilé sur la base de la sélection indépendante des opérations par les élèves et de la séquence de leur exécution.

Dans le premier type de tâches, deux tâches clés ont été identifiées :

la tangente passe par un point situé sur la courbe (problème 1) ;
la tangente passe par un point non situé sur la courbe (problème 2).

Tâche 1. Équation de la tangente au graphique de la fonction au point M(3; – 2).

Décision. Le point M(3; – 2) est le point de contact, puisque

1. a = 3 - abscisse du point de contact.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 est l'équation tangente.

Tâche 2. Écrivez les équations de toutes les tangentes au graphique de la fonction y = - x 2 - 4x + 2, passant par le point M(- 3; 6).

Décision. Le point M(– 3 ; 6) n'est pas un point tangent, puisque f(– 3) 6 (Fig. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - équation tangente.

La tangente passe par le point M(– 3; 6), par conséquent, ses coordonnées satisfont l'équation de la tangente.

6 = – une 2 – 4a + 2 – 2(une + 2)(– 3 – une),
une 2 + 6a + 8 = 0 ^ une 1 = - 4, une 2 = - 2.

Si a = – 4, alors l'équation tangente est y = 4x + 18.

Si a \u003d - 2, alors l'équation tangente a la forme y \u003d 6.

Dans le second type, les tâches clés seront les suivantes :

la tangente est parallèle à une droite (problème 3) ;
la tangente passe à un certain angle par rapport à la ligne donnée (problème 4).

Tâche 3. Écrivez les équations de toutes les tangentes au graphique de la fonction y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, parallèle à la ligne y \u003d 9x + 1.

1. a - abscisse du point de contact.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Mais, d'autre part, f "(a) \u003d 9 (condition de parallélisme). Nous devons donc résoudre l'équation 3a 2 - 6a \u003d 9. Ses racines a \u003d - 1, a \u003d 3 (Fig 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9 ;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 est l'équation tangente ;

1) un = 3 ;
2) f(3) = 3 ;
3) f "(3) = 9 ;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 est l'équation tangente.

Tâche 4. Écrivez l'équation de la tangente au graphique de la fonction y = 0,5x 2 - 3x + 1, en passant sous un angle de 45 ° par rapport à la droite y = 0 (Fig. 4).

Décision. A partir de la condition f "(a) \u003d tg 45° on trouve a : a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. a = 4 - abscisse du point de contact.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - l'équation de la tangente.

Il est facile de montrer que la solution de tout autre problème se réduit à la solution d'un ou plusieurs problèmes clés. Considérons les deux problèmes suivants à titre d'exemple.

1. Écrivez les équations des tangentes à la parabole y = 2x 2 - 5x - 2, si les tangentes se coupent à angle droit et que l'une d'elles touche la parabole au point d'abscisse 3 (Fig. 5).

Décision. L'abscisse du point de contact étant donnée, la première partie de la solution se réduit au problème clé 1.

1. a \u003d 3 - l'abscisse du point de contact de l'un des côtés de l'angle droit.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - l'équation de la première tangente.

Soit a la pente de la première tangente. Puisque les tangentes sont perpendiculaires, alors est l'angle d'inclinaison de la deuxième tangente. De l'équation y = 7x – 20 de la première tangente, nous avons tg a = 7. Trouver

Cela signifie que la pente de la deuxième tangente est .

La solution supplémentaire est réduite à la tâche clé 3.

Soit B(c; f(c)) le point tangent de la seconde droite, alors

1. - abscisse du deuxième point de contact.
2.
3.
4.
est l'équation de la deuxième tangente.

Noter. Le coefficient angulaire de la tangente peut être trouvé plus facilement si les élèves connaissent le rapport des coefficients des droites perpendiculaires k 1 k 2 = - 1.

2. Écrivez les équations de toutes les tangentes communes aux graphiques de fonctions

1. Soit a l'abscisse du point de contact situé sur le graphique de la fonction y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d une 2 + une + 1 + (2a + 1) (x - une) \u003d (2a + 1) x + 1 - une 2.

1. Soit c l'abscisse du point tangent situé sur le graphe de la fonction
2.
3. f "(c) = c.
4.

Les tangentes étant communes, alors

Donc y = x + 1 et y = - 3x - 3 sont des tangentes communes.

L'objectif principal des tâches envisagées est de préparer les élèves à l'auto-reconnaissance du type de tâche clé lors de la résolution de tâches plus complexes nécessitant certaines compétences de recherche (capacité d'analyse, de comparaison, de généralisation, d'hypothèse, etc.). Ces tâches incluent toute tâche dans laquelle la tâche clé est incluse en tant que composant. Considérons à titre d'exemple le problème (inverse du problème 1) de trouver une fonction à partir de la famille de ses tangentes.

3. Pour quoi b et c sont les lignes y \u003d x et y \u003d - 2x tangentes au graphique de la fonction y \u003d x 2 + bx + c ?

Composer et résoudre un système d'équations

Répondre:

L'article donne une explication détaillée des définitions, la signification géométrique de la dérivée avec désignations graphiques. L'équation de la droite tangente sera considérée avec des exemples, on trouvera les équations de la tangente aux courbes du 2ème ordre.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Définition 1

L'angle d'inclinaison de la droite y \u003d k x + b est appelé l'angle α, qui est mesuré de la direction positive de l'axe x à la droite y \u003d k x + b dans la direction positive.

Sur la figure, la direction ox est indiquée par une flèche verte et un arc vert, et l'angle d'inclinaison par un arc rouge. La ligne bleue fait référence à une ligne droite.

Définition 2

La pente de la droite y \u003d k x + b est appelée coefficient numérique k.

La pente est égale à la pente de la droite, autrement dit k = t g α .

La pente de la droite est 0 uniquement lorsque o x est parallèle et la pente est égale à zéro, car la tangente de zéro est 0. Ainsi, la forme de l'équation sera y = b.
Si l'angle d'inclinaison de la droite y = k x + b est aigu, alors les conditions 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается nombre positif, car la valeur de la tangente satisfait la condition t g α > 0, et il y a un accroissement du graphe.
Si α \u003d π 2, alors l'emplacement de la ligne est perpendiculaire à x. L'égalité est spécifiée par l'égalité x = c avec la valeur c étant un nombre réel.
Si l'angle d'inclinaison de la droite y = k x + b est obtus, alors il correspond aux conditions π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Définition 3

Une sécante est une droite qui passe par 2 points de la fonction f (x). En d'autres termes, une sécante est une ligne droite qui passe par deux points quelconques sur le graphique d'une fonction donnée.

La figure montre que A B est une sécante, et f (x) est une courbe noire, α est un arc rouge, indiquant l'angle d'inclinaison de la sécante.

Lorsque la pente d'une droite est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison, il est clair que la tangente d'un triangle rectangle A B C peut être trouvée par rapport à la jambe opposée à celle adjacente.

Définition 4

On obtient la formule pour trouver la sécante de la forme :

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , où les abscisses des points A et B sont les valeurs x A , x B , et f (x A) , f (x B) sont les fonctions valeurs en ces points.

Évidemment, la pente de la sécante est définie à l'aide de l'égalité k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A ou k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B, et l'équation doit être écrite comme y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ou
y = F (x UNE) - F (x B) X UNE - X B X - X B + F (x B) .

La sécante divise visuellement le graphique en 3 parties : à gauche du point A, de A à B, à droite de B. La figure ci-dessous montre qu'il y a trois sécantes qui sont considérées comme identiques, c'est-à-dire qu'elles sont défini à l'aide d'une équation similaire.

Par définition, il est clair que la ligne et sa sécante dans ce cas correspondre.

Une sécante peut intersecter le graphique d'une fonction donnée plusieurs fois. S'il existe une équation de la forme y \u003d 0 pour la sécante, alors le nombre de points d'intersection avec la sinusoïde est infini.

Définition 5

Tangente au graphe de la fonction f (x) au point x 0 ; f (x 0) est appelée une droite passant par un point donné x 0 ; f (x 0) , avec la présence d'un segment qui a de nombreuses valeurs de x proches de x 0 .

Exemple 1

Examinons de plus près l'exemple ci-dessous. On voit alors que la droite donnée par la fonction y = x + 1 est considérée comme tangente à y = 2 x au point de coordonnées (1 ; 2) . Pour plus de clarté, il faut considérer des graphiques avec des valeurs proches de (1 ; 2). La fonction y = 2 x est marquée en noir, la ligne bleue est la tangente, le point rouge est le point d'intersection.

De toute évidence, y \u003d 2 x se confond avec la ligne y \u003d x + 1.

Pour déterminer la tangente, considérons le comportement de la tangente A B lorsque le point B se rapproche à l'infini du point A. Pour plus de clarté, nous présentons une figure.

La sécante A B, indiquée par la ligne bleue, tend vers la position de la tangente elle-même, et l'angle d'inclinaison de la sécante α commencera à tendre vers l'angle d'inclinaison de la tangente elle-même α x.

Définition 6

La tangente au graphique de la fonction y \u003d f (x) au point A est la position limite de la sécante A B en B tendant vers A, c'est-à-dire B → A.

Passons maintenant à l'examen de la signification géométrique de la dérivée d'une fonction en un point.

Passons à l'examen de la sécante A B pour la fonction f (x), où A et B de coordonnées x 0, f (x 0) et x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) et ∆ x est noté comme un incrément de l'argument . Maintenant, la fonction prendra la forme ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Pour plus de clarté, prenons une photo comme exemple.

Considérez le résultat triangle rectangle A B C. Nous utilisons la définition de la tangente pour la solution, c'est-à-dire que nous obtenons le rapport ∆ y ∆ x = t g α . Il découle de la définition d'une tangente que lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . D'après la règle de la dérivée en un point, on a que la dérivée f (x) au point x 0 est appelée la limite du rapport de l'incrément de la fonction sur l'incrément de l'argument, où ∆ x → 0, alors noté f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Il s'ensuit que f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, où k x est désigné comme la pente de la tangente.

Autrement dit, nous obtenons que f ' (x) peut exister au point x 0 et, comme la tangente au graphe donné de la fonction au point de contact égal à x 0 , f 0 (x 0) , où la valeur de la pente de la tangente au point est égale à la dérivée au point x 0 . On obtient alors que k x = f "(x 0) .

La signification géométrique de la dérivée d'une fonction en un point est que le concept de l'existence d'une tangente au graphe en un même point est donné.

Pour écrire l'équation d'une droite quelconque dans le plan, il est nécessaire d'avoir une pente avec le point par lequel elle passe. Sa désignation est prise comme x 0 à l'intersection.

L'équation de la tangente au graphique de la fonction y \u003d f (x) au point x 0, f 0 (x 0) prend la forme y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Cela signifie que valeur finale dérivé f "(x 0) vous pouvez déterminer la position de la tangente, c'est-à-dire verticalement sous la condition lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ et lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ ou l'absence du tout lorsque la condition lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

L'emplacement de la tangente dépend de la valeur de sa pente k x \u003d f "(x 0). Lorsqu'elle est parallèle à l'axe o x, on obtient que k k \u003d 0, lorsqu'elle est parallèle à o y - k x \u003d ∞, et la forme de l'équation tangente x \u003d x 0 augmente avec k x > 0 , diminue avec k x< 0 .

Exemple 2

Compilez l'équation de la tangente au graphique de la fonction y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 en un point de coordonnées (1; 3) avec la définition de l'angle de inclination.

Décision

Par hypothèse, nous avons que la fonction est définie pour tous les nombres réels. On obtient que le point de coordonnées spécifié par la condition (1 ; 3) est le point de contact, alors x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Il faut trouver la dérivée au point de valeur -1. On comprend ça

y "= e X + 1 + X 3 3 - 6 - 3 3 X - 17 - 3 3" = = e X + 1 "+ X 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e X + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

La valeur de f ’ (x) au point de contact est la pente de la tangente, qui est égale à la tangente de la pente.

Alors k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Il s'ensuit que α x = a r c t g 3 3 = π 6

Répondre: l'équation tangente prend la forme

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Pour plus de clarté, nous donnons un exemple dans une illustration graphique.

La couleur noire est utilisée pour le tracé de la fonction d'origine, couleur bleue- l'image de la tangente, le point rouge - le point de contact. La figure de droite montre une vue agrandie.

Exemple 3

Connaître l'existence d'une tangente au graphe d'une fonction donnée
y = 3 x - 1 5 + 1 au point de coordonnées (1 ; 1) . Écrivez une équation et déterminez l'angle d'inclinaison.

Décision

Par hypothèse, nous avons que le domaine de la fonction donnée est l'ensemble de tous les nombres réels.

Passons à la recherche de la dérivée

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Si x 0 = 1 , alors f ' (x) n'est pas défini, mais les bornes s'écrivent comme lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ et lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , ce qui signifie existence tangente verticale à point (1 ; 1) .

Répondre: l'équation prendra la forme x \u003d 1, où l'angle d'inclinaison sera égal à π 2.

Représentons-le graphiquement pour plus de clarté.

Exemple 4

Trouvez les points de la fonction graphique y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , où

La tangente n'existe pas ;
La tangente est parallèle à x ;
La tangente est parallèle à la droite y = 8 5 x + 4 .

Décision

Il faut faire attention au domaine de la définition. Par hypothèse, nous avons que la fonction est définie sur l'ensemble de tous les nombres réels. Développez le module et résolvez le système avec des intervalles x ∈ - ∞ ; 2 et [ - 2 ; +∞) . On comprend ça

y = - 1 15 X 3 + 18 X 2 + 105 X + 176 , X ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

La fonction doit être différenciée. Nous avons ça

y " = - 1 15 X 3 + 18 X 2 + 105 X + 176 " , X ∈ - ∞ ; - 2 1 15 X 3 - 6 X 2 + 9 X + 12 " , X ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 X + 35) , X ∈ - ∞ ; - 2 1 5 X 2 - 4 X + 3 , X ∈ [ - 2 ; +∞)

Lorsque x = - 2, alors la dérivée n'existe pas car les limites unilatérales ne sont pas égales à ce point :

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Nous calculons la valeur de la fonction au point x \u003d - 2, où nous obtenons que

y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, c'est-à-dire la tangente au le point (- 2 ; - 2) n'existera pas.
La tangente est parallèle à x lorsque la pente est nulle. Alors k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). Autrement dit, il est nécessaire de trouver les valeurs d'un tel x lorsque la dérivée de la fonction la ramène à zéro. Autrement dit, les valeurs \u200b\u200bof f '(x) et seront des points de contact, où la tangente est parallèle à x .

Lorsque x ∈ - ∞ ; - 2 , alors - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , et pour x ∈ (- 2 ; + ∞) on obtient 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 ré = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 ré = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ X 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Nous calculons les valeurs correspondantes de la fonction

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Donc - 5 ; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3 ; 4 3 sont considérés comme les points souhaités du graphique de la fonction.

Considérer image graphique solutions.

La ligne noire est le graphique de la fonction, les points rouges sont les points de contact.

Lorsque les droites sont parallèles, les pentes sont égales. Ensuite, il faut rechercher les points du graphique de la fonction, où la pente sera égale à la valeur 8 5 . Pour ce faire, vous devez résoudre une équation de la forme y "(x) = 8 5. Ensuite, si x ∈ - ∞; - 2, on obtient que - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, et si x ∈ ( - 2 ; + ∞) , alors 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

La première équation n'a pas de racine car le discriminant moins que zéro. Écrivons ça

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Une autre équation a deux racines réelles, alors

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 ré = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ X 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Passons à la recherche des valeurs de la fonction. On comprend ça

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Points avec des valeurs - 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 sont les points où les tangentes sont parallèles à la droite y = 8 5 x + 4 .

Répondre: ligne noire - graphique de la fonction, ligne rouge - graphique y \u003d 8 5 x + 4, ligne bleue - tangentes aux points - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 .

L'existence d'un nombre infini de tangentes pour des fonctions données est possible.

Exemple 5

Écrivez les équations de toutes les tangentes disponibles de la fonction y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , qui sont perpendiculaires à la ligne y = - 2 x + 1 2 .

Décision

Pour établir l'équation tangente, il est nécessaire de trouver le coefficient et les coordonnées du point de contact, en fonction de la condition de perpendicularité des lignes. La définition ressemble à ceci : le produit des pentes perpendiculaires aux droites est égal à - 1, c'est-à-dire qu'il s'écrit k x · k ⊥ = - 1. A partir de la condition que la pente soit perpendiculaire à la droite et égale k ⊥ = - 2, alors k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Maintenant, nous devons trouver les coordonnées des points de contact. Vous devez trouver x, après quoi sa valeur pour une fonction donnée. Notez que d'après la signification géométrique de la dérivée au point
x 0 on obtient que k x \u003d y "(x 0) . A partir de cette égalité, on trouve les valeurs x pour les points de contact.

On comprend ça

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 péché 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 péché 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ péché 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

C'est équation trigonométrique sera utilisé pour calculer les ordonnées des points de contact.

3 2 x 0 - π 4 = une r c sin - 1 9 + 2 πk ou 3 2 x 0 - π 4 = π - une r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - une r c sin 1 9 + 2 πk ou 3 2 x 0 - π 4 = π + une r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - une r c sin 1 9 + 2 πk ou x 0 = 2 3 5 π 4 + une r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z est l'ensemble des nombres entiers.

Trouvé x points de contact. Vous devez maintenant passer à la recherche des valeurs y :

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ou y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ou y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 ou y 0 = - 4 5 + 1 3

De là, nous obtenons que 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + ar c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 sont des points de contact.

Répondre: les équations nécessaires s'écriront

y = 1 2 X - 2 3 π 4 - une r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 X - 2 3 5 π 4 + une r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Pour une représentation visuelle, considérez la fonction et la tangente sur la ligne de coordonnées.

La figure montre que l'emplacement de la fonction est sur l'intervalle [ - 10 ; 10 ] , où la ligne noire est le graphique de la fonction, les lignes bleues sont des tangentes perpendiculaires à la ligne donnée de la forme y = - 2 x + 1 2 . Les points rouges sont des points de contact.

Les équations canoniques des courbes du 2ème ordre ne sont pas des fonctions à valeur unique. Les équations tangentes pour eux sont compilées selon des schémas bien connus.

Tangente au cercle

Pour définir un cercle centré sur un point x centre ; y centre et rayon R, la formule x - x centre 2 + y - y centre 2 = R 2 est utilisée.

Cette égalité peut s'écrire comme la réunion de deux fonctions :

y = R 2 - X - X c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

La première fonction est en haut et la seconde en bas, comme indiqué sur la figure.

Etablir une équation d'un cercle en un point x 0 ; y 0 , qui est situé dans le demi-cercle supérieur ou inférieur, vous devriez trouver l'équation du graphique de fonction de la forme y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r ou y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r au point spécifié.

Quand aux points x c e n t e r ; y centre + R et x centre ; y c e n t e r - R les tangentes peuvent être données par les équations y = y c e n t e r + R et y = y c e n t e r - R , et aux points x c e n t e r + R ; y centre et
xc e n t e r - R ; y c e n t e r sera parallèle autour de y, alors nous aurons des équations de la forme x = x c e n t e r + R et x = x c e n t e r - R .

Tangente à l'ellipse

Lorsque l'ellipse est centrée à x centre ; y c e n t e r avec les demi-axes a et b , alors il peut être donné en utilisant l'équation x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Une ellipse et un cercle peuvent être désignés en combinant deux fonctions, à savoir la demi-ellipse supérieure et inférieure. Alors on obtient ça

y = b une une 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a une 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Si les tangentes sont situées aux sommets de l'ellipse, alors elles sont parallèles autour de x ou autour de y. Pour plus de clarté, considérez la figure ci-dessous.

Exemple 6

Écrivez l'équation de la tangente à l'ellipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 aux points avec des valeurs x égales à x = 2 .

Décision

Il faut trouver des points de contact qui correspondent à la valeur x = 2. Nous faisons une substitution dans l'équation existante de l'ellipse et obtenons que

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Puis 2 ; 5 3 2 + 5 et 2 ; - 5 3 2 + 5 sont les points tangents qui appartiennent à la demi-ellipse supérieure et inférieure.

Passons à la recherche et à la résolution de l'équation d'une ellipse par rapport à y. On comprend ça

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Il est évident que la demi-ellipse supérieure est spécifiée à l'aide d'une fonction de la forme y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , et celle du bas y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

On applique l'algorithme standard pour formuler l'équation de la tangente au graphe d'une fonction en un point. On écrit que l'équation de la première tangente au point 2 ; 5 3 2 + 5 ressemblera à

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

On obtient que l'équation de la deuxième tangente avec la valeur au point
2 ; - 5 3 2 + 5 devient

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Graphiquement, les tangentes sont notées comme suit :

Tangente à l'hyperbole

Lorsque l'hyperbole a un centre au point xc e n t e r ; y centre et sommets x centre + α ; y centre et x centre - α ; y centre , l'inégalité x - x centre 2 α 2 - y - y centre 2 b 2 = 1 est donnée si avec les sommets x centre ; y centre + b et x centre ; y c e n t e r - b est alors donné par l'inégalité x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Une hyperbole peut être représentée par deux fonctions combinées de la forme

y = b une (x - x c e n t e r) 2 - une 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - une 2 + y c e n t e r ou y = b a (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r ) 2 + a 2 + y centre

Dans le premier cas, on a que les tangentes sont parallèles à y, et dans le second, elles sont parallèles à x.

Il s'ensuit que pour trouver l'équation d'une tangente à une hyperbole, il faut savoir à quelle fonction appartient le point tangent. Pour le déterminer, il est nécessaire de faire une substitution dans les équations et de vérifier leur identité.

Exemple 7

Ecrire l'équation de la tangente à l'hyperbole x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 au point 7 ; - 3 3 - 3 .

Décision

Il faut transformer l'enregistrement de la solution de recherche de l'hyperbole à l'aide de 2 fonctions. On comprend ça

X - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = X - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 X - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ou y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Il est nécessaire de savoir à quelle fonction appartient le point donné de coordonnées 7 ; - 3 3 - 3 .

Évidemment, pour vérifier la première fonction, il faut y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , alors le point n'appartient pas au graphe, puisque l'égalité n'est pas satisfaite.

Pour la deuxième fonction, nous avons que y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , ce qui signifie que le point appartient au graphe donné. De là, vous devriez trouver le coefficient de pente.

On comprend ça

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Répondre: l'équation tangente peut être représentée comme

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Il est visualisé comme suit :

Tangente à la parabole

Pour composer l'équation de la tangente à la parabole y \u003d a x 2 + b x + c au point x 0, y (x 0) , vous devez utiliser l'algorithme standard, puis l'équation prendra la forme y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Une telle tangente au sommet est parallèle à x.

La parabole x = a y 2 + b y + c doit être définie comme l'union de deux fonctions. Par conséquent, nous devons résoudre l'équation pour y. On comprend ça

X = une y 2 + b y + c ⇔ une y 2 + b y + c - x = 0 ré = b 2 - 4 une (c - x) y = - b + b 2 - 4 une (c - x) 2 une y = - b - b 2 - 4 une (c - x) 2 une

Représentons-le graphiquement comme suit :

Pour savoir si un point x 0 , y (x 0) appartient à une fonction, suivez doucement l'algorithme standard. Une telle tangente sera parallèle à y par rapport à la parabole.

Exemple 8

Ecrire l'équation de la tangente au graphe x - 2 y 2 - 5 y + 3 quand on a une pente tangente de 150°.

Décision

Nous commençons la solution en représentant la parabole sous la forme de deux fonctions. On comprend ça

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 × - 4

La valeur de la pente est égale à la valeur de la dérivée au point x 0 de cette fonction et est égale à la tangente de la pente.

On a:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

De là, nous déterminons la valeur de x pour les points de contact.

La première fonction s'écrira

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Évidemment, il n'y a pas de racines réelles, puisque nous avons obtenu une valeur négative. Nous concluons qu'il n'y a pas de tangente avec un angle de 150° pour une telle fonction.

La deuxième fonction s'écrira

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Nous avons que les points de contact - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Répondre: l'équation tangente prend la forme

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Représentons-le graphiquement comme ceci :

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez le mettre en surbrillance et appuyer sur Ctrl+Entrée

La tangente est une droite , qui touche le graphe de la fonction en un point et dont tous les points sont à la plus petite distance du graphe de la fonction. Par conséquent, la tangente passe tangente au graphe de la fonction à un certain angle et plusieurs tangentes ne peuvent pas passer par le point tangent à des angles différents. Les équations tangentes et les équations de la normale au graphe de la fonction sont compilées à l'aide de la dérivée.

L'équation de la tangente est dérivée de l'équation de la droite .

Nous dérivons l'équation de la tangente, puis l'équation de la normale au graphe de la fonction.

y = kx + b .

En lui k- coefficient angulaire.

De là, nous obtenons l'entrée suivante :

y - y 0 = k(X - X 0 ) .

Valeur dérivée F "(X 0 ) les fonctions y = F(X) à ce point X0 égale à la pente k=tg φ tangente au graphe d'une fonction passant par un point M0 (X 0 , y 0 ) , où y0 = F(X 0 ) . C'est quoi signification géométrique de la dérivée .

Ainsi, nous pouvons remplacer k sur le F "(X 0 ) et obtenez ce qui suit l'équation de la tangente au graphe de la fonction :

y - y 0 = F "(X 0 )(X - X 0 ) .

Dans les tâches de compilation de l'équation d'une tangente au graphique d'une fonction (et nous y passerons bientôt), il est nécessaire d'amener l'équation obtenue à partir de la formule ci-dessus à équation générale d'une droite. Pour ce faire, vous devez transférer toutes les lettres et tous les chiffres vers côté gaucheéquation et laissez zéro sur le côté droit.

Parlons maintenant de l'équation normale. Normal est une droite passant par le point tangent au graphe de la fonction perpendiculaire à la tangente. Équation normale :

(X - X 0 ) + F "(X 0 )(y - y 0 ) = 0

Pour réchauffer le premier exemple, on vous demande de le résoudre vous-même, puis de regarder la solution. Il y a tout lieu d'espérer que cette tâche ne sera pas une "douche froide" pour nos lecteurs.

Exemple 0. Composer l'équation de la tangente et l'équation de la normale au graphe de la fonction en un point M (1, 1) .

Exemple 1 Composer l'équation de la tangente et l'équation de la normale au graphe de la fonction si l'abscisse du point de contact est .

Trouvons la dérivée de la fonction :

Nous avons maintenant tout ce qu'il faut substituer à l'entrée donnée dans la référence théorique pour obtenir l'équation tangente. On a

Dans cet exemple, nous avons eu de la chance: la pente s'est avérée égale à zéro, alors ramenez séparément l'équation à vue générale n'en avait pas besoin. On peut maintenant écrire l'équation normale :

Dans la figure ci-dessous : graphe de la fonction couleur bordeaux, tangente Couleur verte, la normale est orange.

L'exemple suivant n'est pas non plus compliqué: la fonction, comme dans le précédent, est également un polynôme, mais le coefficient de pente ne sera pas égal à zéro, donc une étape supplémentaire sera ajoutée - amenant l'équation à une forme générale.

Exemple 2

Décision. Trouvons l'ordonnée du point de contact :

Trouvons la dérivée de la fonction :

Trouvons la valeur de la dérivée au point de contact, c'est-à-dire la pente de la tangente :

Nous substituons toutes les données obtenues dans la "formule vierge" et obtenons l'équation tangente :

Nous apportons l'équation à une forme générale (nous collectons toutes les lettres et tous les chiffres autres que zéro sur le côté gauche et laissons zéro sur le côté droit):

On compose l'équation de la normale :

Exemple 3 Composez l'équation de la tangente et l'équation de la normale au graphique de la fonction si l'abscisse du point de contact est .

Décision. Trouvons l'ordonnée du point de contact :

Trouvons la dérivée de la fonction :

Trouvons la valeur de la dérivée au point de contact, c'est-à-dire la pente de la tangente :

On trouve l'équation de la tangente :

Avant de mettre l'équation sous une forme générale, vous devez la "combiner" un peu : multipliez terme par terme par 4. Nous faisons cela et amenons l'équation sous une forme générale :

On compose l'équation de la normale :

Exemple 4 Composez l'équation de la tangente et l'équation de la normale au graphique de la fonction si l'abscisse du point de contact est .

Décision. Trouvons l'ordonnée du point de contact :

Trouvons la dérivée de la fonction :

Trouvons la valeur de la dérivée au point de contact, c'est-à-dire la pente de la tangente :

On obtient l'équation tangente :

On ramène l'équation à une forme générale :

On compose l'équation de la normale :

Une erreur courante lors de l'écriture d'équations tangentes et normales est de ne pas remarquer que la fonction donnée dans l'exemple est complexe et de calculer sa dérivée comme la dérivée d'une fonction simple. Les exemples suivants sont déjà fonctions complexes(la leçon correspondante s'ouvrira dans une nouvelle fenêtre).

Exemple 5 Composez l'équation de la tangente et l'équation de la normale au graphique de la fonction si l'abscisse du point de contact est .

Décision. Trouvons l'ordonnée du point de contact :

Attention! Cette fonction- complexe, puisque l'argument de la tangente (2 X) est lui-même une fonction. Par conséquent, nous trouvons la dérivée d'une fonction comme la dérivée d'une fonction complexe.

Exemple 1Étant donné une fonction F(X) = 3X 2 + 4X– 5. Écrivons l'équation de la tangente au graphe de la fonction F(X) au point du graphique avec l'abscisse X 0 = 1.

Décision. Fonction dérivée F(X) existe pour tout x R . Trouvons-le :

= (3X 2 + 4X– 5)′ = 6 X + 4.

Puis F(X 0) = F(1) = 2; (X 0) = = 10. L'équation tangente a la forme :

y = (X 0) (X – X 0) + F(X 0),

y = 10(X – 1) + 2,

y = 10X – 8.

Répondre. y = 10X – 8.

Exemple 2Étant donné une fonction F(X) = X 3 – 3X 2 + 2X+ 5. Écrivons l'équation de la tangente au graphique de la fonction F(X), parallèle à la ligne y = 2X – 11.

Décision. Fonction dérivée F(X) existe pour tout x R . Trouvons-le :

= (X 3 – 3X 2 + 2X+ 5)′ = 3 X 2 – 6X + 2.

Puisque la tangente au graphe de la fonction F(X) au point d'abscisse X 0 est parallèle à la droite y = 2X– 11, alors sa pente vaut 2, soit ( X 0) = 2. Trouver cette abscisse à partir de la condition que 3 X– 6X 0 + 2 = 2. Cette égalité n'est valable que pour X 0 = 0 et X 0 = 2. Puisque dans les deux cas F(X 0) = 5, puis la droite y = 2X + b touche le graphique de la fonction soit au point (0; 5) soit au point (2; 5).

Dans le premier cas, l'égalité numérique est vraie 5 = 2×0 + b, où b= 5, et dans le second cas, l'égalité numérique est vraie 5 = 2 × 2 + b, où b = 1.

Il y a donc deux tangentes y = 2X+ 5 et y = 2X+ 1 au graphique de la fonction F(X) parallèle à la ligne y = 2X – 11.

Répondre. y = 2X + 5, y = 2X + 1.

Exemple 3Étant donné une fonction F(X) = X 2 – 6X+ 7. Écrivons l'équation de la tangente au graphique de la fonction F(X) passant par le point UN (2; –5).

Décision. Comme F(2) –5, puis le point UN n'appartient pas au graphe de la fonction F(X). Laisser être X 0 - abscisse du point de contact.

Fonction dérivée F(X) existe pour tout x R . Trouvons-le :

= (X 2 – 6X+ 1)′ = 2 X – 6.

Puis F(X 0) = X– 6X 0 + 7; (X 0) = 2X 0 - 6. L'équation tangente a la forme :

y = (2X 0 – 6)(X – X 0) + X– 6X+ 7,

y = (2X 0 – 6)X– X+ 7.

Depuis le point UN appartient à la tangente, alors l'égalité numérique est vraie

–5 = (2X 0 – 6)×2– X+ 7,

où X 0 = 0 ou X 0 = 4. Cela signifie que par le point UN il est possible de tracer deux tangentes au graphe de la fonction F(X).

Si un X 0 = 0, alors l'équation tangente a la forme y = –6X+ 7. Si X 0 = 4, alors l'équation tangente a la forme y = 2X – 9.

Répondre. y = –6X + 7, y = 2X – 9.

Exemple 4 Fonctions données F(X) = X 2 – 2X+ 2 et g(X) = –X 2 - 3. Écrivons l'équation de la tangente commune aux graphiques de ces fonctions.

Décision. Laisser être X 1 - abscisse du point de contact de la ligne désirée avec le graphique de la fonction F(X), un X 2 - abscisse du point de contact de la même ligne avec le graphique de la fonction g(X).

Fonction dérivée F(X) existe pour tout x R . Trouvons-le :

= (X 2 – 2X+ 2)′ = 2 X – 2.

Puis F(X 1) = X– 2X 1 + 2; (X 1) = 2X 1 - 2. L'équation tangente a la forme :

y = (2X 1 – 2)(X – X 1) + X– 2X 1 + 2,

y = (2X 1 – 2)X – X+ 2. (1)

Trouvons la dérivée de la fonction g(X):

= (–X 2 – 3)′ = –2 X.

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