Простата средна аритметична е средният член, при определянето на който се включва общият обем на дадена характеристика съвкупностданните се разпределят поравно между всички единици, включени в тази популация. По този начин средната годишна продукция на служител е количеството продукция, която би паднала на всеки служител, ако целият обем продукция беше равномерно разпределен между всички служители на организацията. Средната аритметична проста стойност се изчислява по формулата:

Обикновено средно аритметично- Равно на съотношението на сумата от отделните стойности на характеристика към броя на характеристиките в съвкупността

Пример 1. Екип от 6 работници получава 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 хиляди рубли на месец.

Намерете средната заплата Решение: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 хиляди рубли.

Средно аритметично претеглено

Ако обемът на набора от данни е голям и представлява серия на разпределение, тогава се изчислява среднопретеглената аритметична стойност. Ето как се определя среднопретеглената цена на единица продукция: общата себестойност на продукцията (сумата от произведенията на нейното количество по цената на единица продукция) се разделя на общото количество продукция.

Нека си представим това под формата на следната формула:

Претеглено средно аритметично- е равно на съотношението на (сумата от произведенията на стойността на признак към честотата на повторение на този признак) към (сумата на честотите на всички признаци). се появяват неравен брой пъти.

Пример 2. Намерете средната месечна заплата на работниците в цеха

Средната заплата може да се получи чрез разделяне обща сумазаплати за общ бройработници:

Отговор: 3,35 хиляди рубли.

Средно аритметично за интервални серии

Когато изчислявате средната аритметична стойност за серия от интервални вариации, първо определете средната стойност за всеки интервал като полусумата на горната и долната граница, а след това средната стойност на цялата серия. При отворените интервали стойността на долния или горния интервал се определя от размера на прилежащите към тях интервали.

Средните стойности, изчислени от интервални серии, са приблизителни.

Пример 3. Определете средната възраст на вечерните студенти.

Средните стойности, изчислени от интервални серии, са приблизителни. Степента на тяхното сближаване зависи от степента, в която действителното разпределение на съвкупностите в рамките на интервала се доближава до равномерно разпределение.

При изчисляване на средни стойности не само абсолютни, но и относителни стойности (честота) могат да се използват като тегла.

Всеки човек в модерен святКогато планирате да вземете заем или да се запасите със зеленчуци за зимата, периодично срещате такова понятие като „средна стойност“. Нека да разберем: какво е това, какви видове и класове съществуват и защо се използва в статистиката и други дисциплини.

Средна стойност - какво е това?

Подобно наименование (SV) е обобщена характеристика на набор от еднородни явления, определени от всяка една количествена променлива характеристика.

Но хората, които са далеч от подобни неясни определения, разбират това понятие като средно количество нещо. Например, преди да вземете заем, банков служител определено ще попита потенциален клиентпредоставят данни за средния доход за годината, тоест общата сума на парите, спечелени от дадено лице. Изчислява се като се сумират доходите за цялата година и се разделят на броя на месеците. Така банката ще може да прецени дали нейният клиент ще успее да погаси задължението си в срок.

Защо се използва?

По правило средните стойности се използват широко, за да се даде обобщено описание на определени обществени явления от масов характер. Те могат да се използват и за изчисления в по-малък мащаб, както в случая на заем в горния пример.

Най-често обаче средните стойности все още се използват за глобални цели. Пример за един от тях е изчисляването на количеството електроенергия, консумирана от гражданите през един календарен месец. Въз основа на получените данни впоследствие се определят максимални стандарти за категориите от населението, ползващи се с държавни помощи.

Също така, използвайки средни стойности, гаранционният срок на експлоатация на определени домакински уреди, автомобили, сгради и т.н. Въз основа на събраните по този начин данни някога са били разработени съвременни стандарти за труд и почивка.

Всъщност всяко явление от съвременния живот, което има масов характер, по един или друг начин е задължително свързано с разглежданото понятие.

Области на приложение

Това явление се използва широко в почти всички точни науки, особено в тези с експериментален характер.

Намирането на средната стойност е от голямо значение в медицината, инженерството, готвенето, икономиката, политиката и т.н.

Въз основа на данните, получени от такива обобщения, те разработват терапевтични лекарства, образователни програми и установяват минимални жизнени заплатии заплати, създават учебни графици, произвеждат мебели, облекла и обувки, хигиенни продукти и много други.

В математиката този термин се нарича „средна стойност“ и се използва за вземане на решения различни примерии задачи. Най-простите са събиране и изваждане с обикновени дроби. В крайна сметка, както е известно, за решаване подобни примеринеобходимо е да се намалят и двете дроби до общ знаменател.

Също така в царицата на точните науки често се използва терминът „средна стойност“, който е подобен по значение случайна величина" То е по-познато на повечето като „математическо очакване“, по-често разглеждано в теорията на вероятностите. Струва си да се отбележи, че подобно явление се прилага и при извършване на статистически изчисления.

Средна стойност в статистиката

Изследваното понятие обаче най-често се използва в статистиката. Както знаете, самата тази наука е специализирана в изчисляването и анализа количествени характеристикимасови социални явления. Поради това средната стойност в статистиката се използва като специализиран метод за постигане на нейните основни цели – събиране и анализ на информация.

Същността на този статистически метод е да се заменят отделните уникални стойности на разглежданата характеристика с определена балансирана средна стойност.

Пример за това е известният виц за храна. И така, в определена фабрика във вторник за обяд шефовете й обикновено ядат гювеч с месо, а обикновените работници ядат задушено зеле. Въз основа на тези данни можем да заключим, че средно персоналът на завода вечеря зелеви рула във вторник.

Макар че този примерлеко преувеличено, но илюстрира основния недостатък на метода за намиране на средната стойност - изравняване индивидуални характеристикипредмети или лица.

В средни стойности те се използват не само за анализ на събраната информация, но и за планиране и прогнозиране на по-нататъшни действия.

Използва се и за оценка на постигнатите резултати (например изпълнението на плана за отглеждане и прибиране на пшеницата за пролетно-летния сезон).

Как да изчислим правилно

Въпреки че в зависимост от вида на SV има различни формули за изчисляването му, в общата теория на статистиката по правило се използва само един метод за изчисляване на средната стойност на характеристика. За да направите това, първо трябва да съберете стойностите на всички явления и след това да разделите получената сума на техния брой.

Когато правите такива изчисления, струва си да запомните, че средната стойност винаги има същото измерение (или единици) като отделната единица от съвкупността.

Условия за правилно изчисление

Обсъдената по-горе формула е много проста и универсална, така че е почти невъзможно да се направи грешка с нея. Винаги обаче си струва да се вземат предвид два аспекта, в противен случай получените данни няма да отразяват реалната ситуация.

СВ класове

След като намери отговор на основните въпроси: „Каква е средната стойност?“, „Къде се използва?“ и „Как можете да го изчислите?“, струва си да разберете какви класове и типове SV съществуват.

На първо място, това явление е разделено на 2 класа. Това са структурни и мощностни средни стойности.

Видове мощности SV

Всеки от горните класове от своя страна е разделен на типове. Степен клас има четири.

• Средно аритметичното е най-често срещаният тип SV. Това е средният термин, при определянето на който общият обем на разглежданата характеристика в набор от данни е равномерно разпределен между всички единици на този набор.

  Този тип е разделен на подвидове: проста и претеглена аритметика SV.

• Хармоничната средна стойност е показател, който е обратен на простата средна аритметична стойност, изчислена от реципрочните стойности на разглежданата характеристика.

  Използва се в случаите, когато индивидуалните стойности на атрибута и продукта са известни, но данните за честотата не са.

• Средната геометрична се използва най-често, когато се анализират темповете на растеж на икономическите явления. Това дава възможност да се запази работата непроменена индивидуални ценностидадена стойност, а не сумата.

  Освен това може да бъде проста и балансирана.

• Средната квадратична стойност се използва при изчисляване на отделни показатели, като коефициент на вариация, характеризиращ ритъма на производство на продукта и др.

  Използва се и за изчисляване на средните диаметри на тръби, колела, средни страни на квадрат и подобни фигури.

  Подобно на всички други видове средни стойности, средният квадрат може да бъде прост и претеглен.

Видове структурни величини

В допълнение към средните SV, структурните типове често се използват в статистиката. Те са по-подходящи за изчисляване на относителните характеристики на стойностите на различна характеристика и вътрешна структураразпределителни редове.

Има два такива вида.

Средно аритметично(в математиката и статистиката) набори от числа - сборът от всички числа, разделен на техния брой. Това е една от най-често срещаните мерки за централна тенденция.

Той е предложен (заедно със средното геометрично и средното хармонично) от питагорейците.

Специални случаи на средноаритметичната стойност са средната (генерална съвкупност) и средната извадка (извадка).

Въведение

Нека обозначим набора от данни х = (х 1 , х 2 , …, х н), тогава средната стойност на извадката обикновено се обозначава с хоризонтална лента над променливата (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), произнася се " хс линия").

Гръцката буква μ се използва за означаване на средноаритметичното на цялата съвкупност. За случайна променлива, за която се определя средната стойност, μ е вероятностна среднаили математическото очакване на случайна променлива. Ако наборът хе колекция произволни числас вероятностна средна стойност μ, тогава за всяка проба х азот този набор μ = E( х аз) е математическото очакване на тази извадка.

На практика разликата между μ и x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) е, че μ е типична променлива, защото можете да видите извадка, а не цялата популация. Следователно, ако извадката е представена произволно (от гледна точка на теорията на вероятностите), тогава x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (но не μ) може да се третира като случайна променлива, имаща вероятностно разпределение в извадката ( вероятностното разпределение на средната стойност).

И двете количества се изчисляват по същия начин:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Ако хе случайна променлива, тогава математическото очакване хможе да се разглежда като средноаритметично на стойностите при многократни измервания на количество х. Това е проява на закона за големите числа. Следователно средната стойност на извадката се използва за оценка на неизвестната очаквана стойност.

В елементарната алгебра е доказано, че средната н+ 1 число над средното нчисла, ако и само ако новото число е по-голямо от старото средно, по-малко, ако и само ако новото число е по-малко от средното, и не се променя, ако и само ако новото число е равно на средното. Колкото повече н, толкова по-малка е разликата между новата и старата средна стойност.

Обърнете внимание, че има няколко други налични „средни стойности“, включително средна степен, средна стойност на Колмогоров, средна хармонична, средна аритметично-геометрична и различни средни претеглени (напр. средно претеглена аритметична, средна геометрична претеглена, средна хармонична).

Примери

• За три числа трябва да ги съберете и разделите на 3:

• За четири числа трябва да ги съберете и разделите на 4:

Или по-просто: 5+5=10, 10:2. Тъй като събирахме 2 числа, което означава, че колко числа събираме, делим на толкова.

Непрекъсната случайна променлива

За непрекъснато разпределена величина f (x) (\displaystyle f(x)), средното аритметично в интервала [ a ; b ] (\displaystyle ) се определя чрез определен интеграл:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Някои проблеми при използването на средната стойност

Липса на здравина

Въпреки че средните аритметични стойности често се използват като средни стойности или централни тенденции, тази концепция не се прилага за стабилна статистика, което означава, че средната аритметична стойност е обект на силно влияние"големи отклонения" Трябва да се отбележи, че за разпределения с голям коефициент на асиметрия, средната аритметична стойност може да не съответства на концепцията за „средна стойност“, а стойностите на средната стойност от стабилни статистики (например медианата) могат по-добре да опишат централната тенденция.

Класически пример е изчисляването на средния доход. Средната аритметична стойност може да се тълкува погрешно като медиана, което може да доведе до извода, че има повече хора с по-високи доходи, отколкото в действителност. „Средният“ доход се тълкува като означаващ, че повечето хора имат доходи около това число. Този „среден“ (в смисъла на средноаритметичния) доход е по-висок от доходите на повечето хора, тъй като високият доход с голямо отклонение от средния прави средноаритметичното силно изкривено (за разлика от това средният доход при медианата „съпротивлява“ на такова изкривяване). Въпреки това, този „среден“ доход не казва нищо за броя на хората близо до средния доход (и не казва нищо за броя на хората близо до модалния доход). Въпреки това, ако приемете с лека ръка понятията „среден“ и „повечето хора“, можете да направите неправилното заключение, че повечето хора имат доходи, по-високи, отколкото са в действителност. Например, отчет за „средния“ нетен доход в Медина, Вашингтон, изчислен като средната аритметична стойност на всички годишни нетни доходи на жителите, изненадващо ще даде голямо числозаради Бил Гейтс. Разгледайте извадката (1, 2, 2, 2, 3, 9). Средната аритметична стойност е 3,17, но пет от шест стойности са под тази средна стойност.

Сложна лихва

Ако числата умножават се, но не гънка, трябва да използвате средното геометрично, а не средното аритметично. Най-често този инцидент се случва при изчисляване на възвръщаемостта на инвестициите във финансите.

Например, ако дадена акция падне с 10% през първата година и се повиши с 30% през втората, тогава е неправилно да се изчисли „средното“ увеличение през тези две години като средно аритметично (−10% + 30%) / 2 = 10%; правилната средна стойност в този случай се дава от комбинирания годишен темп на растеж, който дава годишен темп на растеж от само около 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Причината за това е, че процентите имат нова начална точка всеки път: 30% са 30% от число, по-малко от цената в началото на първата година:ако акциите започнаха от $30 и паднаха с 10%, те струват $27 в началото на втората година. Ако акциите се покачат с 30%, ще струват 35,1 долара в края на втората година. Средната аритметична стойност на този растеж е 10%, но тъй като акциите са се повишили само с $5,1 за 2 години, средният растеж от 8,2% дава краен резултат от $35,1:

[$30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) = $30 (1 + 0,082) (1 + 0,082) = $35,1]. Ако използваме средноаритметичната стойност от 10% по същия начин, няма да получим действителната стойност: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36,3].

Сложна лихва в края на 2 години: 90% * 130% = 117%, т.е. общото увеличение е 17%, а средната годишна сложна лихва е 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\приблизително 108,2\%) , тоест средногодишно увеличение от 8,2%.

Упътвания

Когато се изчислява средноаритметичното на някаква променлива, която се променя циклично (като фаза или ъгъл), трябва да се обърне специално внимание. Например средната стойност от 1° и 359° би била 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Този номер е неправилен по две причини.

• Първо, ъгловите мерки са определени само за диапазона от 0° до 360° (или от 0 до 2π, когато се измерват в радиани). Така че същата двойка числа може да бъде записана като (1° и −1°) или като (1° и 719°). Средните стойности на всяка двойка ще бъдат различни: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ кръг )).
• Второ, в този случай стойност от 0° (еквивалентна на 360°) ще бъде геометрично по-добра средна стойност, тъй като числата се отклоняват по-малко от 0°, отколкото от всяка друга стойност (стойността 0° има най-малката дисперсия). Сравнете:
  • числото 1° се отклонява от 0° само с 1°;
  • числото 1° се отклонява от изчислената средна стойност от 180° със 179°.

Средната стойност за циклична променлива, изчислена с помощта на горната формула, ще бъде изкуствено изместена спрямо реалната средна стойност към средата на числения диапазон. Поради това средната стойност се изчислява по различен начин, а именно числото с най-малка дисперсия ( Централна точка). Освен това вместо изваждане се използва модулното разстояние (т.е. периферното разстояние). Например, модулното разстояние между 1° и 359° е 2°, а не 358° (на окръжността между 359° и 360°==0° - един градус, между 0° и 1° - също 1°, общо - 2 °).

4.3. Средни стойности. Същност и значение на средните стойности

Среден размерв статистиката е общ показател, който характеризира типичното ниво на явление в конкретни условия на място и време, отразяващ стойността на вариращ признак за единица от качествено хомогенна съвкупност. В икономическата практика се използват широк набор от показатели, изчислени като средни стойности.

Например, общ показател за доходите на работниците в акционерно дружество (АД) е средният доход на един работник, определен от коефициента на ф. заплатии социални плащания за разглеждания период (година, тримесечие, месец) към броя на работещите в АД.

Изчисляването на средната стойност е една от често срещаните техники за обобщение; средно аритметичноотразява това, което е общо (типично) за всички единици от изследваната съвкупност, като в същото време игнорира различията на отделните единици. Във всяко явление и неговото развитие има комбинация произшествияИ необходимост.При изчисляване на средните стойности, поради действието на закона за големите числа, случайността се компенсира и балансира, така че е възможно да се абстрахираме от маловажните характеристики на явлението, от количествените стойности на характеристиката във всеки конкретен случай. . Способността да се абстрахирате от случайността на индивидуалните стойности, колебанията се крие в научната стойност на средните стойности като обобщаващхарактеристики на популациите.

Когато възникне необходимост от обобщение, изчисляването на такива характеристики води до замяна на много различни индивидуални стойности на атрибута средно аритметичноиндикатор, който характеризира цялата съвкупност от явления, което позволява да се идентифицират модели, присъщи на масовите социални явления, които са невидими в отделните явления.

Средната стойност отразява характерното, типично, реално ниво на изучаваните явления, характеризира тези нива и техните изменения във времето и пространството.

Средната е обобщена характеристика на закономерностите на процеса в условията, в които протича.

4.4. Видове средни стойности и методи за изчисляването им

Изборът на вида средна стойност се определя от икономическото съдържание на даден показател и изходните данни. Във всеки конкретен случай се използва една от средните стойности: аритметика, гармоничен, геометричен, квадратичен, кубичени т.н. Изброените средни стойности принадлежат към класа успокоенсредно аритметично.

В статистическата практика освен степенните средни се използват структурни средни, които се считат за мода и медиана.

Нека се спрем по-подробно на средните мощности.

Средноаритметично

Най-често срещаният тип средно е средно аритметично аритметика.Използва се в случаите, когато обемът на различна характеристика за цялата популация е сумата от стойностите на характеристиките на нейните отделни единици. Социалните явления се характеризират с адитивност (тоталност) на обемите на вариращ признак, което определя обхвата на приложение на средноаритметичното и обяснява неговото разпространение като общ показател, например: общият фонд работна заплата е сумата от заплатите на; всички работници, брутната реколта е сумата от произведените продукти от цялата посевна площ.

За да изчислите средната аритметична стойност, трябва да разделите сумата от всички стойности на характеристиките на техния брой.

Във формуляра се използва средноаритметичното проста средна и среднопретеглена.Първоначалната, определяща форма е простата средна стойност.

Средно просто аритметичноравна на простата сума на отделните стойности на осреднената характеристика, разделена на общия брой на тези стойности (използва се в случаите, когато има негрупирани индивидуални стойности на характеристиката):

Където
- индивидуални стойности на променливата (варианти); м - броят на единиците в съвкупността.

Освен това границите на сумиране няма да бъдат посочени във формулите. Например, трябва да намерите средната производителност на един работник (механик), ако знаете колко части е произвел всеки от 15 работници, т.е. дадени са редица индивидуални стойности на характеристиката, бр.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Простата средна аритметична стойност се изчислява по формула (4.1), 1 бр.:

Средната стойност на опциите, които се повтарят различен брой пъти или, както се казва, имат различна тежест, се нарича претеглени.Теглата са броят единици в различни групиагрегати (идентични опции се комбинират в група).

Средно аритметично претеглено- средна стойност на групираните стойности, - се изчислява по формулата:

, (4.2)

Където
- тегло (честота на повторение на еднакви знаци);

- сумата от произведенията на големината на характеристиките и техните честоти;

- общият брой единици на съвкупността.

Ние илюстрираме техниката за изчисляване на претеглената средна аритметична стойност, като използваме примера, обсъден по-горе. За целта ще групираме изходните данни и ще ги поставим в таблица. 4.1.

Таблица 4.1

Разпределяне на работници за производство на детайли

Съгласно формула (4.2) среднопретеглената аритметична е равна на, бр.:

В някои случаи теглата може да не бъдат представени абсолютни стойности, но относително (в процент или части от единица). Тогава формулата за среднопретеглената аритметична стойност ще изглежда така:

Където
- особеност, т.е. делът на всяка честота в общата сума на всички

Ако честотите се броят в дроби (коефициенти), тогава
= 1, а формулата за средноаритметично претеглената има формата:

Изчисляване на среднопретеглената аритметична стойност от групови средни извършва се по формулата:

,

Където f-брой единици във всяка група.

Резултатите от изчисляването на средната аритметична от груповите средни са представени в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Разпределение на работниците по среден трудов стаж

В този пример опциите не са индивидуални данни за трудовия стаж на отделните работници, а средната стойност за всеки цех. Везни fса броят на работниците в цеховете. Следователно средният трудов стаж на работниците в предприятието ще бъде години:

.

Изчисляване на средна аритметична стойност в редове на разпределение

Ако стойностите на усреднената характеристика са посочени под формата на интервали („от - до“), т.е. интервална серия от разпределения, тогава при изчисляване на средната аритметична средната точка на тези интервали се приемат като стойности на характеристиките в групите, което води до формирането на дискретна серия. Разгледайте следния пример (Таблица 4.3).

Нека преминем от интервална серия към дискретна серия, като заменим интервалните стойности с техните средни стойности/(обикновена средна

Таблица 4.3

Разпределение на работещите в АД по ниво на месечната заплата

стойностите на отворените интервали (първи и последни) са условно приравнени към интервалите, съседни на тях (втори и предпоследен).

При това изчисляване на средната стойност се допуска известна неточност, тъй като се прави предположение за равномерното разпределение на единиците на характеристиката в групата. Въпреки това, колкото по-тесен е интервалът и колкото повече единици са в него, толкова по-малка е грешката.

След като се намерят средните точки на интервалите, изчисленията се правят по същия начин, както при дискретна серия - опциите се умножават по честотите (теглата) и сумата от продуктите се разделя на сумата от честотите (теглата) , хиляди рубли:

.

И така, средното ниво на заплата за работниците в АД е 729 рубли. на месец.

Изчисляването на средната аритметична стойност често изисква много време и труд. В редица случаи обаче процедурата за изчисляване на средната стойност може да бъде опростена и улеснена, ако използвате нейните свойства. Нека представим (без доказателство) някои основни свойства на средното аритметично.

Имот 1. Ако всички индивидуални стойности на характеристика (т.е. всички опции) намалете или увеличете азпъти, след това средната стойност новата характеристика съответно ще намалее или се увеличи азведнъж.

Имот 2. Ако се редуцират всички варианти на осреднената характеристикашият или увеличават с числото А, тогава съответства средното аритметичновсъщност ще намалее или се увеличи със същото число А.

Имот 3. Ако се намалят теглата на всички осреднени опции или увеличаване на Да се пъти, тогава средното аритметично няма да се промени.

Като средни тегла, вместо абсолютни показатели, можете да използвате специфично теглов общата сума (дялове или проценти). Това опростява изчисленията на средната стойност.

За да се опростят изчисленията на средната стойност, те следват пътя на намаляване на стойностите на опциите и честотите. Най-голямо опростяване се постига, когато, т.к Астойността на една от централните опции, която има най-висока честота, се избира като / - стойността на интервала (за серии с равни интервали). Количеството А се нарича референтна точка, следователно този метод за изчисляване на средната стойност се нарича „метод на броене от условна нула“ или „по пътя на моментите“.

Да приемем, че всички опции хпърво намалява със същото число A, а след това намалява с азведнъж. Получаваме нова вариационна серия от разпределение на нови опции .

Тогава нови опциище се изрази:

,

и тяхната нова средна аритметична стойност , -момент на първа поръчка-формула:

.

Тя е равна на средната стойност на оригиналните опции, първо намалена с а,и след това в азведнъж.

За да се получи реалната средна стойност, е необходим момент от първи ред м 1 , умножете по ази добавете A:

.

Този метод за изчисляване на средната аритметична стойност от вариационна серия се нарича „по пътя на моментите“.Този метод се използва в редове на равни интервали.

Изчисляването на средноаритметичната стойност по метода на моментите е илюстрирано от данните в табл. 4.4.

Таблица 4.4

Разпределение на малките предприятия в региона по стойност на дълготрайните производствени фондове (ДФФ) през 2000г.

Намиране на първия момент на поръчка

.

Тогава, като вземем A = 19 и знаем това аз= 2, изчисли Х,хиляди рубли:

Видове средни стойности и методи за тяхното изчисляване

На етапа на статистическа обработка могат да се поставят различни изследователски задачи, за чието решение е необходимо да се избере подходящата средна стойност. В този случай е необходимо да се ръководи от следното правило: количествата, които представляват числителя и знаменателя на средната стойност, трябва да бъдат логически свързани помежду си.

• средни мощности;
• структурни средни.

Нека въведем следните конвенции:

Количествата, за които се изчислява средната стойност;

Средно, където горната лента показва, че се извършва осредняване на индивидуалните стойности;

Честота (повторяемост на индивидуалните характерни стойности).

Различни средни стойности се извличат от общата формула за средна мощност:

(5.1)

когато k = 1 - средно аритметично; k = -1 - средна хармонична; k = 0 - средно геометрично; k = -2 - средноквадратичен корен.

Средните стойности могат да бъдат прости или претеглени. Претеглени средни стойностиТова са стойности, които отчитат, че някои варианти на стойностите на атрибути могат да имат различни числа и следователно всяка опция трябва да бъде умножена по това число. С други думи, „скалите“ са броят на сборните единици в различни групи, т.е. Всяка опция е „претеглена“ по своята честота. Честотата f се нарича статистическо теглоили средно тегло.

Средноаритметично- най-често срещаният тип средно. Използва се, когато изчислението се извършва върху негрупирани статистически данни, където трябва да получите средния срок. Средно аритметичното е средната стойност на характеристика, при получаването на която общият обем на характеристиката в съвкупността остава непроменен.

Формула за средно аритметично ( просто) има формата

където n е размерът на популацията.

Например, средната заплата на служителите на предприятието се изчислява като средно аритметично:

Определящите показатели тук са заплатата на всеки служител и броят на служителите в предприятието. При изчисляване на средната общата сума на заплатите остава същата, но разпределена поравно между всички служители. Например, трябва да изчислите средната заплата на работниците в малка компания, в която работят 8 души:

При изчисляване на средни стойности отделните стойности на осреднената характеристика могат да се повторят, така че средната стойност се изчислява с помощта на групирани данни. В такъв случай ние говорим заотносно употребата средно аритметично претеглено, който има формата

(5.3)

И така, трябва да изчислим средната цена на акциите на едно акционерно дружество при борсова търговия. Известно е, че сделките са извършени в рамките на 5 дни (5 сделки), броят на продадените акции по курса на продажба е разпределен, както следва:

1 - 800 ак. - 1010 рубли.

2 - 650 ак. - 990 рубли.

3 - 700 ак. - 1015 рубли.

4 - 550 ак. - 900 рубли.

5 - 850 ак. - 1150 рубли.

Първоначалното съотношение за определяне на средната цена на акциите е съотношението на общата сума на сделките (TVA) към броя на продадените акции (KPA).

Средните стойности се използват широко в статистиката. Средните стойности характеризират качествените показатели на търговската дейност: разходи за дистрибуция, печалба, рентабилност и др.

Средно аритметично - Това е една от често срещаните техники за обобщение. Правилното разбиране на същността на средната определя нейното специално значение в пазарната икономика, когато средната чрез индивидуалното и случайното ни позволява да идентифицираме общото и необходимото, да идентифицираме тенденцията на моделите на икономическо развитие.

средна стойност - това са общи показатели, в които се изразяват действията Общи условия, модели на изучаваното явление.

Средните статистически стойности се изчисляват на базата на масови данни от правилно статистически организирано масово наблюдение (непрекъснато и избирателно). Статистическата средна стойност обаче ще бъде обективна и типична, ако се изчислява от масови данни за качествено хомогенна съвкупност (масови явления). Например, ако изчислите средната работна заплата в кооперациите и държавните предприятия и разширите резултата върху цялото население, тогава средната стойност е фиктивна, тъй като се изчислява за разнородно население и такава средна губи всякакъв смисъл.

С помощта на средната стойност се изглаждат разликите в стойността на дадена характеристика, които възникват по една или друга причина в отделните единици на наблюдение.

Например средната производителност на продавача зависи от много причини: квалификация, трудов стаж, възраст, форма на обслужване, здравословно състояние и др.

Средният резултат отразява общото свойство на цялата съвкупност.

Средната стойност е отражение на стойностите на изследваната характеристика, следователно тя се измерва в същото измерение като тази характеристика.

Всяка средна стойност характеризира изследваната популация според всяка една характеристика. За да се получи пълно и изчерпателно разбиране на изследваната популация според редица основни характеристики, като цяло е необходимо да има система от средни стойности, които могат да опишат явлението от различни ъгли.

Има различни средни стойности:

средноаритметично;

средно геометрично;

хармонично средно;

среден квадрат;

средно хронологичен.

Нека да разгледаме някои видове средни стойности, които най-често се използват в статистиката.

Средноаритметично

Простата средна аритметична (непретеглена) е равна на сумата от отделните стойности на атрибута, разделена на броя на тези стойности.

Индивидуалните стойности на характеристика се наричат ​​варианти и се означават с x(); броят на единиците от съвкупността е означен с n, средната стойност на признака е означена с . Следователно средноаритметичното просто е равно на:

Според данните от сериите на дискретното разпределение е ясно, че едни и същи характерни стойности (варианти) се повтарят няколко пъти. Така опция x се среща общо 2 пъти, а опция x 16 пъти и т.н.

Броят на еднаквите стойности на характеристика в серията на разпределение се нарича честота или тегло и се обозначава със символа n.

Нека изчислим средната заплата на един работник в рубли:

Фондът за работна заплата за всяка група работници е равен на произведението от опциите и честотата, а сумата от тези продукти дава общия фонд за заплати на всички работници.

В съответствие с това изчисленията могат да бъдат представени в общ вид:

Получената формула се нарича среднопретеглена аритметична стойност.

В резултат на обработката статистическият материал може да бъде представен не само под формата на дискретни разпределителни серии, но и под формата на интервални вариационни серии със затворени или отворени интервали.

Средната стойност за групирани данни се изчислява с помощта на формулата за претеглена средна аритметична стойност:

В практиката на икономическата статистика понякога е необходимо да се изчисли средната стойност, като се използват групови средни стойности или средни стойности на отделни части от съвкупността (частични средни стойности). В такива случаи като опции (x) се приемат групови или частни средни стойности, въз основа на които общата средна стойност се изчислява като обикновена среднопретеглена аритметична стойност.

Основни свойства на средноаритметичното .

Средната аритметична стойност има редица свойства:

1. Стойността на средноаритметичната стойност няма да се промени от намаляване или увеличаване на честотата на всяка стойност на характеристиката x с n пъти.

Ако всички честоти се разделят или умножат по произволно число, средната стойност няма да се промени.

2. Общият множител на отделните стойности на дадена характеристика може да бъде взет отвъд знака на средната стойност:

3. Средната стойност на сумата (разликата) на две или повече величини е равна на сумата (разликата) на техните средни величини:

4. Ако x = c, където c е постоянна стойност, тогава
.

5. Сумата от отклоненията на стойностите на атрибута X от средното аритметично x е равна на нула:

Средно хармонично.

Заедно със средното аритметично, статистиката използва средното хармонично, обратното на средното аритметично на обратните стойности на атрибута. Подобно на средното аритметично, то може да бъде просто и претеглено.

Характеристиките на вариационните серии, заедно със средните стойности, са режим и медиана.

Мода - това е стойността на характеристика (вариант), която най-често се повтаря в изследваната популация. За серии с дискретно разпределение режимът ще бъде стойността на варианта с най-висока честота.

За серии с интервално разпределение с равни интервали режимът се определя по формулата:

Където
- начална стойност на интервала, съдържащ режима;

- стойността на модалния интервал;

- честота на модалния интервал;

- честота на интервала, предхождащ модалния;

- честота на интервала, следващ модалния.

Медиана - това е опция, разположена в средата на вариационната серия. Ако серията на разпределение е дискретна и има нечетен брой членове, тогава медианата ще бъде опцията, разположена в средата на подредената серия (подредената серия е подреждането на единици съвкупност във възходящ или низходящ ред).

Губи се при изчисляването на средната стойност.

Средно аритметично значениенабор от числа е равен на сумата от числа S, разделена на броя на тези числа. Тоест, оказва се, че средно аритметично значениее равно на: 19/4 = 4,75.

Забележка

Ако трябва да намерите средната геометрична стойност само за две числа, тогава нямате нужда от инженерен калкулатор: вземете втория корен ( Корен квадратен) от всяко число може да се направи с помощта на най-обикновен калкулатор.

Полезен съвет

За разлика от средната аритметична, средната геометрична не се влияе толкова силно от големи отклонения и колебания между отделните стойности в набора от изследвани показатели.

източници:

• Онлайн калкулатор, който изчислява средната геометрична стойност
• средно аритметично геометрична формула

Средно аритметичностойността е една от характеристиките на набор от числа. Представлява число, което не може да бъде извън диапазона, определен от най-голямата и най-малката стойност в този набор от числа. Средно аритметичноаритметичната стойност е най-често използваният тип средна стойност.

Инструкции

Съберете всички числа в набора и ги разделете на броя членове, за да получите средното аритметично. В зависимост от конкретните условия на изчисление, понякога е по-лесно да разделите всяко от числата на броя на стойностите в набора и да сумирате резултата.

Използвайте, например, включени в операционната система Windows, ако не е възможно да изчислите средната аритметична стойност в главата си. Можете да го отворите чрез диалоговия прозорец за стартиране на програмата. За да направите това, натиснете горещите клавиши WIN + R или щракнете върху бутона Старт и изберете командата Изпълнение от главното меню. След това въведете calc в полето за въвеждане и натиснете Enter или щракнете върху бутона OK. Същото може да се направи и чрез главното меню - отворете го, отидете в секцията „Всички програми“ и в секцията „Стандарт“ и изберете реда „Калкулатор“.

Въведете последователно всички числа в набора, като натиснете клавиша Плюс след всяко от тях (с изключение на последното) или щракнете върху съответния бутон в интерфейса на калкулатора. Можете също така да въвеждате числа или от клавиатурата, или като щракнете върху съответните бутони на интерфейса.

Натиснете клавиша с наклонена черта или щракнете върху това в интерфейса на калкулатора, след като въведете последната зададена стойност и въведете броя на числата в последователността. След това натиснете знака за равенство и калкулаторът ще изчисли и ще покаже средното аритметично.

Можете да използвате редактора на електронни таблици на Microsoft Excel за същата цел. В този случай стартирайте редактора и въведете всички стойности на поредицата от числа в съседните клетки. Ако след въвеждане на всяко число натиснете Enter или клавишите със стрелка надолу или надясно, редакторът сам ще премести фокуса на въвеждане в съседната клетка.

Щракнете върху клетката до последното въведено число, ако не искате да видите само средната стойност. Разгънете падащото меню с гръцката сигма (Σ) за командите за редактиране в раздела Начало. Изберете реда " Средно аритметично"и редакторът ще вмъкне необходимата формула за изчисляване на средната стойност аритметична стойноств избраната клетка. Натиснете клавиша Enter и стойността ще бъде изчислена.

Средната аритметична стойност е една от мерките на централната тенденция, широко използвана в математиката и статистическите изчисления. Намирането на средната аритметична стойност за няколко стойности е много проста, но всяка задача има свои собствени нюанси, които просто е необходимо да знаете, за да извършите правилни изчисления.

Какво е средно аритметично

Как да намерим средното аритметично

Характеристики на работа с отрицателни числа

1. Намиране на общото средно аритметично по стандартния метод;
2. Намиране на средно аритметично на отрицателни числа.
3. Изчисляване на средно аритметично на положителни числа.

Отговорите за всяко действие се пишат разделени със запетаи.

Естествени и десетични дроби

При работа с естествени фракциите трябва да се сведат до общ знаменател, който се умножава по броя на числата в масива. Числителят на отговора ще бъде сумата от дадените числители на оригиналните дробни елементи.

• Инженерен калкулатор.

Инструкции

Моля, имайте предвид, че в общ случайсредно аритметично геометрични числасе намира чрез умножаване на тези числа и вземане от тях на корена на степента, която съответства на броя на числата. Например, ако трябва да намерите средното геометрично на пет числа, тогава ще трябва да извлечете корена на степента от продукта.

За да намерите средното геометрично на две числа, използвайте основното правило. Намерете техния продукт, след това извадете корен квадратен от него, тъй като числото е две, което съответства на степента на корена. Например, за да намерите средното геометрично на числата 16 и 4, намерете произведението им 16 4=64. От полученото число извадете корен квадратен √64=8. Ето какво ще стане необходимо количество. Моля, обърнете внимание, че средноаритметичната стойност на тези две числа е по-голяма и равна на 10. Ако не бъде извлечен целият корен, закръглете резултата до желания ред.

За да намерите средното геометрично на повече от две числа, използвайте и основното правило. За да направите това, намерете произведението на всички числа, за които трябва да намерите средната геометрична стойност. От получения продукт извлечете корена на степента, равна на броя на числата. Например, за да намерите средното геометрично на числата 2, 4 и 64, намерете произведението им. 2 4 64=512. Тъй като трябва да намерите резултата от средното геометрично на три числа, вземете третия корен от продукта. Трудно е да направите това устно, затова използвайте инженерен калкулатор. За тази цел има бутон "x^y". Наберете номер 512, натиснете бутона "x^y", след това наберете номер 3 и натиснете бутона "1/x", за да намерите стойността на 1/3, натиснете бутона "=". Получаваме резултата от повишаване на 512 на степен 1/3, което съответства на корен трети. Вземете 512^1/3=8. Това е средното геометрично на числата 2,4 и 64.

С помощта на инженерен калкулатор можете да намерите средната геометрична стойност по друг начин. Намерете бутона за регистрация на клавиатурата. След това вземете логаритъм за всяко от числата, намерете тяхната сума и я разделете на броя на числата. Вземете антилогаритъм от полученото число. Това ще бъде средната геометрична стойност на числата. Например, за да намерите средното геометрично на същите числа 2, 4 и 64, изпълнете набор от операции на калкулатора. Наберете номер 2, след това натиснете бутона log, натиснете бутона "+", наберете номер 4 и натиснете отново log и "+", наберете 64, натиснете log и "=". Резултатът ще бъде число, равно на сбора от десетичните логаритми на числата 2, 4 и 64. Разделете полученото число на 3, тъй като това е броят на числата, за които се търси средното геометрично. От резултата вземете антилогаритъм, като превключите бутона за регистъра и използвате същия ключ за регистрация. Резултатът ще бъде числото 8, това е желаната средна геометрична стойност.