5.1. Концепция среден размер

Средна стойност -Това е общ показател, характеризиращ типичното ниво на явлението. Той изразява стойността на дадена характеристика за единица от съвкупността.

Средната стойност винаги обобщава количествената вариация на даден признак, т.е. в средните стойности се елиминират индивидуалните различия между единиците в популацията, дължащи се на случайни обстоятелства. За разлика от средното абсолютна стойност, който характеризира нивото на характеристика на отделна единица от популация, не позволява да се сравняват стойностите на характеристика между единици, принадлежащи към различни популации. Така че, ако трябва да сравните нивата на възнаграждение на работниците в две предприятия, тогава не можете да сравните двама служители от различни предприятия на тази основа. Възнаграждението на избраните за сравнение работници може да не е типично за тези предприятия. Ако сравним размера на фонда за заплати в разглежданите предприятия, броят на заетите не се взема предвид и следователно е невъзможно да се определи къде нивото на заплатите е по-високо. В крайна сметка могат да се сравняват само средни показатели, т.е. Колко печели средно един служител във всяко предприятие? Следователно е необходимо да се изчисли средната стойност като обобщаваща характеристика на съвкупността.

Изчисляването на средната стойност е една от често срещаните техники за обобщение; средният показател отрича общото (типично) за всички единици от изследваната съвкупност, като в същото време игнорира различията на отделните единици. Във всяко явление и неговото развитие има комбинация от случайност и необходимост. При изчисляване на средните стойности, поради закона за големите числа, случайността се компенсира и балансира, така че е възможно да се абстрахираме от маловажните характеристики на явлението, от количествените стойности на атрибута във всеки конкретен случай. Способността да се абстрахират от случайността на индивидуалните стойности и колебания е научната стойност на средните като обобщаващи характеристики на агрегатите.

За да бъде средната стойност наистина представителна, тя трябва да бъде изчислена, като се вземат предвид определени принципи.

Нека разгледаме някои основни принципиприлагане на средни стойности.
1. Средната стойност трябва да се определи за популации, състоящи се от качествено хомогенни единици.
2. Средната стойност трябва да се изчисли за популация, състояща се от достатъчно голямо числоединици.
3. Средната стойност трябва да се изчисли за популация, чиито единици са в нормално естествено състояние.
4. Средната стойност трябва да се изчисли, като се вземе предвид икономическото съдържание на изследвания показател.

5.2. Видове средни стойности и методи за изчисляването им

Нека сега разгледаме видовете средни стойности, характеристиките на тяхното изчисляване и областите на приложение. Средните стойности са разделени на два големи класа: средни мощности, средни структурни стойности.

ДА СЕ средна мощностТе включват най-известните и често използвани типове, като средно геометрично, средно аритметично и средно квадратично.

Като структурни среднисе вземат предвид модата и медианата.

Нека се съсредоточим върху средните мощности. Средните мощности, в зависимост от представянето на изходните данни, могат да бъдат прости или претеглени. Обикновено средноИзчислява се въз основа на негрупирани данни и има следния общ вид:

където X i е вариантът (стойността) на осреднената характеристика;

n – числова опция.

Среднопретеглена стойностсе изчислява въз основа на групирани данни и има общ вид

,

където X i е вариантът (стойността) на характеристиката, която се осреднява, или средната стойност на интервала, в който се измерва вариантът;
m – индекс на средна степен;
f i – честота, показваща колко пъти се появява i-e стойностосредняваща характеристика.

Нека дадем като пример изчисляването на средната възраст на учениците в група от 20 души:

Ние изчисляваме средната възраст, като използваме простата средна формула:

Нека групираме изходните данни. Получаваме следващия редразпределения:

В резултат на групирането получаваме нов показател - честота, показващ броя на учениците на възраст X години. Следователно средната възраст на учениците в групата ще бъде изчислена по формулата за среднопретеглена стойност:

Общите формули за изчисляване на средните мощности имат показател (m). В зависимост от стойността, която приема, се разграничават следните видове средни мощности:
средна хармонична стойност, ако m = -1;
средно геометрично, ако m –> 0;
средно аритметично, ако m = 1;
средна квадратична стойност, ако m = 2;
среден кубичен, ако m = 3.

Формулите за средните мощности са дадени в табл. 4.4.

Ако изчислите всички видове средни стойности за едни и същи първоначални данни, тогава техните стойности ще се окажат различни. Тук се прилага правилото за мнозинството от средните стойности: с нарастването на показателя m, съответната средна стойност също се увеличава:

В статистическата практика средните аритметични и хармоничните средни претеглени се използват по-често от другите видове средни претеглени.

Таблица 5.1

Видове силови средства

Вид власт средно аритметично	Индекс степен (m)	Формула за изчисление
		просто	Претеглени
Хармоничен	-1
Геометричен	0
Аритметика	1
Квадратичен	2
Кубичен	3

Средната хармонична има повече сложен дизайнотколкото средната аритметична. Средната хармонична стойност се използва за изчисления, когато не единиците на съвкупността - носителите на характеристиката - се използват като тегла, а произведението на тези единици по стойностите на характеристиката (т.е. m = Xf). Към средната хармонична проста трябва да се прибягва в случаите на определяне например на средната цена на труд, време, материали за единица продукция, за една част за две (три, четири и т.н.) предприятия, работници, ангажирани в производството от същото вид продукт, същата част, продукт.

Основното изискване към формулата за изчисляване на средната стойност е, че всички етапи на изчислението имат реална смислена обосновка; получената средна стойност трябва да замени индивидуални ценностихарактеристика за всеки обект, без да се нарушава връзката между индивидуални и обобщени показатели. С други думи, средната стойност трябва да бъде изчислена така, че когато всяка отделна стойност на осреднения индикатор се замени с нейната средна стойност, някакъв краен обобщен показател остава непроменен, свързана темаили по друг начин с осредненото . Това общо се нарича определянетъй като естеството на връзката му с индивидуалните стойности определя специфичната формула за изчисляване на средната стойност. Нека демонстрираме това правило, използвайки примера на средното геометрично.

Формула за средна геометрична

използва се най-често при изчисляване на средната стойност въз основа на индивидуалната относителна динамика.

Средната геометрична се използва, ако е дадена последователност от верижна относителна динамика, показваща например увеличение на производството спрямо нивото от предходната година: i 1, i 2, i 3,..., i n. Очевидно е, че обемът на производството в миналата годинасе определя от първоначалното му ниво (q 0) и последващо нарастване през годините:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

Вземайки q n като определящ показател и заменяйки отделните стойности на динамичните показатели със средни, достигаме до връзката

Оттук

5.3. Структурни средни

За изследване се използва специален вид средни - структурни средни вътрешна структурасерия от разпределение на стойностите на атрибута, както и за оценка на средната стойност (тип мощност), ако нейното изчисление не може да се извърши според наличните статистически данни (например, ако в разглеждания пример няма данни както за обема, така и за на продукцията и размера на разходите за групи предприятия) .

Индикаторите най-често се използват като структурни средни мода –най-често повтарящата се стойност на атрибута – и медиани –стойността на характеристика, която разделя подредената последователност от нейните стойности на две равни части. В резултат на това за половината от единиците в съвкупността стойността на признака не надвишава медианното ниво, а за другата половина е не по-малко от него.

Ако изследваната характеристика има дискретни стойности, тогава няма особени затруднения при изчисляването на модата и медианата. Ако данните за стойностите на атрибута X са представени под формата на подредени интервали на неговата промяна (серия от интервали), изчисляването на режима и медианата става малко по-сложно. Тъй като средната стойност разделя цялата генерална съвкупност на две равни части, тя завършва в един от интервалите на характеристиката X. Използвайки интерполация, стойността на медианата се намира в този среден интервал:

,

където X Me е долната граница на средния интервал;
h Me – неговата стойност;
(Сума m)/2 – половината от общ бройнаблюдения или половината от обема на показателя, който се използва като тежест във формулите за изчисляване на средната стойност (в абсолютно или относително изражение);
S Me-1 – сборът от наблюдения (или обемът на тегловния атрибут), натрупан преди началото на медианния интервал;
m Me – броят на наблюденията или обемът на тегловната характеристика в медианния интервал (също в абсолютно или относително изражение).

В нашия пример могат да се получат дори три средни стойности - въз основа на характеристиките на броя на предприятията, обема на производството и обща сумапроизводствени разходи:

По този начин в половината от предприятията разходите за единица продукция надвишават 125,19 хил. Рубли, половината от общия обем продукти се произвеждат с цена на продукт над 124,79 хил. Рубли. и 50% от общите разходи се формират, когато цената на един продукт е над 125,07 хиляди рубли. Имайте предвид също, че има известна тенденция към увеличаване на разходите, тъй като Me 2 = 124,79 хиляди рубли, а средното ниво е 123,15 хиляди рубли.

При изчисляване на модалната стойност на характеристика въз основа на данните от интервална серия е необходимо да се обърне внимание на факта, че интервалите са идентични, тъй като индикаторът за повторяемост на стойностите на характеристиката X зависи от това интервална серия с равни интервали, величината на модата се определя като

където X Mo е долната стойност на модалния интервал;
m Mo – брой наблюдения или обем на тегловната характеристика в модалния интервал (в абсолютно или относително изражение);
m Mo -1 – същото за интервала, предхождащ модалния;
m Mo+1 – същото за интервала, следващ модалния;
h – стойността на интервала на изменение на характеристиката в групи.

За нашия пример можем да изчислим три модални значениявъз основа на броя на предприятията, обема на производството и размера на разходите. И в трите случая модалният интервал е един и същ, тъй като за същия интервал броят на предприятията, обемът на производството и общият размер на производствените разходи са най-големи:

Така най-често има предприятия с ниво на разходите от 126,75 хиляди рубли, най-често се произвеждат продукти с ниво на разходи от 126,69 хиляди рубли, а най-често производствените разходи се обясняват с ниво на разходите от 123,73 хиляди рубли.

5.4. Вариационни индикатори

Специфичните условия, в които се намира всеки от изследваните обекти, както и техните особености собствено развитие(социални, икономически и др.) се изразяват чрез съответните числени нива на статистически показатели. По този начин, вариация,тези. несъответствие между нивата на един и същ показател различни обекти, има обективен характер и помага да се разбере същността на изучаваното явление.

Има няколко метода, използвани за измерване на вариациите в статистиката.

Най-простият е да се изчисли индикаторът диапазон на вариация H като разликата между максималните (X max) и минималните (X min) наблюдавани стойности на характеристиката:

H=X max - X min.

Диапазонът на вариация обаче показва само екстремните стойности на признака. Тук не се взема предвид повторяемостта на междинните стойности.

По-строгите характеристики са индикатори за променливост спрямо средното ниво на атрибута. Най-простият индикатор от този тип е средно линейно отклонение L като средно аритметична стойностабсолютни отклонения на характеристика от нейното средно ниво:

Ако отделните стойности на X са повторими, използвайте формулата средноаритметичнопретеглено:

(Не забравяйте, че алгебрична сумаотклоненията от средното ниво са нула.)

Установено е средното линейно отклонение широко приложениена практика. С негова помощ се анализират например съставът на работниците, ритъмът на производство, равномерността на доставките на материали и се разработват системи за материални стимули. Но, за съжаление, този индикатор усложнява вероятностните изчисления и усложнява използването на методите на математическата статистика. Следователно в статистиката научно изследванеиндикаторът, който най-често се използва за измерване на вариацията, е вариации.

Дисперсията на характеристиката (s 2) се определя въз основа на квадратичната средна мощност:

.

Индикаторът s равен на се нарича стандартно отклонение.

В общата теория на статистиката индикаторът на дисперсията е оценка на едноименния индикатор на теорията на вероятностите и (като сума от квадратни отклонения) оценка на дисперсията в математическата статистика, което прави възможно използването на разпоредбите на тези теоретични дисциплини за анализ на социално-икономическите процеси.

Ако вариацията се оценява от малък брой наблюдения, взети от неограничена популация, тогава средната стойност на характеристиката се определя с известна грешка. Изчислената стойност на дисперсията се оказва изместена към намаление. За да се получи безпристрастна оценка, дисперсията на извадката, получена с помощта на дадените по-рано формули, трябва да се умножи по стойността n / (n - 1). В резултат на това с малък брой наблюдения (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Обикновено вече при n > (15÷20) несъответствието между пристрастните и непредубедените оценки става незначително. По същата причина отклонението обикновено не се взема предвид във формулата за добавяне на отклонения.

Ако се вземат няколко проби от генералната съвкупност и всеки път се определя средната стойност на дадена характеристика, тогава възниква проблемът с оценката на променливостта на средните стойности. Приблизителна дисперсия средна стойноствъзможно е въз основа само на едно примерно наблюдение, използвайки формулата

,

където n е размерът на извадката; s 2 – дисперсия на характеристиката, изчислена от извадковите данни.

величина е наречен средна извадкова грешкаи е характеристика на отклонението на извадковата средна стойност на атрибут X от истинската му средна стойност. Индикаторът за средна грешка се използва за оценка на надеждността на резултатите от извадковото наблюдение.

Показатели за относителна дисперсия.За да се характеризира мярката за променливост на изследваната характеристика, показателите за променливост се изчисляват в относителни стойности. Те позволяват да се сравни естеството на дисперсията в различни разпределения (различни единици на наблюдение на една и съща характеристика в две популации, с различни значениясредни стойности при сравняване на различни популации). Изчисляването на показателите на относителната мярка на дисперсия се извършва като съотношение на показателя на абсолютната дисперсия към средноаритметичното, умножено по 100%.

1. Коефициент на трептенеотразява относителната флуктуация на екстремните стойности на характеристиката около средната

.

2. Относителното линейно изключване характеризира съотношението на средната стойност на знака на абсолютните отклонения от средната стойност

.

3. Коефициент на вариация:

е най-честата мярка за променливост, използвана за оценка на типичността на средните стойности.

В статистиката популациите с коефициент на вариация над 30–35% се считат за хетерогенни.

Този метод за оценка на вариациите също има значителен недостатък. Наистина, нека, например, първоначалната популация от работници със среден опит от 15 години, със стандартно отклонение от s = 10 години, „остарява“ с още 15 години. Сега = 30 години и средно стандартно отклонениевсе още се равнява на 10. Предишната хетерогенна популация (10/15 × 100 = 66,7%), като по този начин се оказва доста хомогенен във времето (10/30 × 100 = 33,3%).

Боярски А.Я. Теоретични изследвания по статистика: сб. Научен Трудов. – М.: Статистика, 1974. стр. 19–57.

Най-важното свойство на средната стойност е, че тя отразява това, което е общо за всички единици от изследваната съвкупност. Стойностите на атрибутите на отделните единици от популацията варират под влияние на много фактори, сред които могат да бъдат както основни, така и случайни. Същността на средната стойност се състои в това, че тя взаимно компенсира отклоненията в стойностите на дадена характеристика, причинени от действието на случайни фактори, и акумулира (отчита) промените, причинени от действието на основните фактори . Това позволява на средната стойност да отразява типичното ниво на чертата и да се абстрахира от нея индивидуални характеристики, присъщи на отделните единици.

За да бъде средната стойност наистина представителна, тя трябва да бъде изчислена, като се вземат предвид определени принципи.

Основни принципи на използване на средни стойности.

1. Средната стойност трябва да се определи за популации, състоящи се от качествено хомогенни единици.

2. Средната стойност трябва да се изчисли за съвкупност, състояща се от достатъчно голям брой единици.

3. Средната стойност трябва да се изчисли за населението при стационарни условия (когато факторите на влияние не се променят или не се променят значително).

4. Средната стойност трябва да се изчисли, като се вземе предвид икономическото съдържание на изследвания показател.

Изчисляването на повечето специфични статистически показатели се основава на използването на:

· среден агрегат;

· средна мощност (хармонична, геометрична, аритметична, квадратична, кубична);

· средно хронологичен (виж раздела).

Всички средни стойности, с изключение на агрегирана средна стойност, могат да бъдат изчислени по два начина - като претеглени или непретеглени.

Среден агрегат. Използваната формула е:

Където w i= x i* f i;

x i- i-ти вариантхарактеристиката се осреднява;

f i, - тегло аз- та опция.

Средна мощност. IN общ изгледформула за изчисление:

къде е степента к– тип средна мощност.

Стойностите на средните стойности, изчислени въз основа на средни мощности за едни и същи първоначални данни, не са еднакви. С нарастването на показателя k, съответната средна стойност също се увеличава:

Средно хронологичен. За моментен времеви ред с равни интервали между датите се изчислява по формулата:

,

Където х 1И хнстойността на индикатора на началната и крайната дата.

Формули за изчисляване на средните мощности

Пример. Според таблицата. 2.1 изисква да се изчисли средната работна заплата за трите предприятия като цяло.

Таблица 2.1

Заплати на предприятия от АД

Специфични формула за изчислениезависи от данните в таблицата. 7 са оригиналните. Съответно са възможни следните опции: данни от колони 1 (брой служители) и 2 (месечна ведомост); или - 1 (брой ППП) и 3 (средна работна заплата); или 2 (месечна ведомост) и 3 (средна заплата).

Ако са налични само данни от колони 1 и 2. Резултатите от тези колони съдържат необходимите стойности за изчисляване на желаната средна стойност. Използва се средната агрегатна формула:

Ако са налични само данни от колони 1 и 3, тогава знаменателят на първоначалното отношение е известен, но числителят му не е известен. Но фонд работна заплата може да се получи, като се умножи средната работна заплата по числеността на преподавателския състав. Следователно общата средна стойност може да се изчисли по формулата средно аритметично претеглено:

Трябва да се има предвид, че теглото ( f i) в някои случаи може да бъде продукт на две или дори три стойности.

Освен това средната стойност се използва и в статистическата практика. аритметично непретеглено:

където n е обемът на населението.

Тази средна стойност се използва, когато теглата ( f i) отсъстват (всеки вариант на характеристиката се среща само веднъж) или са равни помежду си.

Ако има само данни от колони 2 и 3., т.е. числителят на първоначалното отношение е известен, но знаменателят му не е известен. Броят на служителите във всяко предприятие може да се получи чрез разделяне на ведомостта за заплати на средната заплата. След това по формулата се изчислява средната работна заплата за трите предприятия като цяло претеглена хармонична средна:

Ако теглата са равни ( f i) изчисляването на средната стойност може да се направи от хармонично средно непретеглено:

В нашия пример използвахме различни формисредно, но получих същия отговор. Това се дължи на факта, че за конкретни данни всеки път се прилага едно и също първоначално съотношение на средната стойност.

Средните показатели могат да бъдат изчислени с помощта на дискретни и интервални вариационни серии. В този случай изчислението се извършва с помощта на среднопретеглената аритметична стойност. За дискретна серия тази формула се използва по същия начин, както в горния пример. В интервалната серия се определят средните точки на интервалите за изчисление.

Пример. Според таблицата. 2.2 определяме размера на средния паричен доход на глава от населението на месец в условен регион.

Таблица 2.2

Първоначални данни (серия от варианти)

За да намерите средната стойност в Excel (без значение дали е числова, текстова, процентна или друга стойност), има много функции. И всеки от тях има свои собствени характеристики и предимства. Наистина, в тази задача могат да бъдат поставени определени условия.

Например, средните стойности на поредица от числа в Excel се изчисляват с помощта на статистически функции. Можете също така ръчно да въведете своя собствена формула. Нека разгледаме различни варианти.

Как да намерим средната аритметична стойност на числата?

За да намерите средното аритметично, трябва да съберете всички числа в набора и да разделите сумата на количеството. Например, оценките на ученик по информатика: 3, 4, 3, 5, 5. Какво включва четвъртината: 4. Намерихме средното аритметично по формулата: =(3+4+3+5+5) /5.

Как бързо да направите това с помощта на функциите на Excel? Да вземем за пример сериала произволни числав редица:

Или: направете активната клетка и просто въведете формулата ръчно: =СРЕДНО(A1:A8).

Сега нека видим какво още може да направи функцията AVERAGE.

Нека намерим средноаритметичното на първите две и последните три числа. Формула: =СРЕДНО(A1:B1,F1:H1). Резултат:

Състояние средно

Условието за намиране на средноаритметичното може да бъде числен критерий или текстов критерий. Ще използваме функцията: =AVERAGEIF().

Намерете средноаритметичното на числа, които са по-големи или равни на 10.

Функция: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Третият аргумент - "Диапазон на осредняване" - е пропуснат. Първо, не е задължително. Второ, диапазонът, анализиран от програмата, съдържа САМО числови стойности. Клетките, посочени в първия аргумент, ще бъдат търсени според условието, посочено във втория аргумент.

внимание!

В клетката може да се посочи критерият за търсене. И направете връзка към него във формулата.

Нека намерим средната стойност на числата, като използваме текстовия критерий. Например средните продажби на продукта „маси“.

Функцията ще изглежда така: =AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Обхват – колона с имена на продукти. Критерият за търсене е връзка към клетка с думата „таблици“ (можете да вмъкнете думата „таблици“ вместо връзка A7). Диапазон на осредняване – тези клетки, от които ще бъдат взети данни за изчисляване на средната стойност.

В резултат на изчисляване на функцията получаваме следната стойност:

внимание!

За текстов критерий (условие) трябва да се посочи диапазонът на осредняване.

Как да изчислим среднопретеглената цена в Excel?

Използвайки формулата SUMPRODUCT, намираме общия приход след продажбата на цялото количество стоки. А функцията SUM сумира количеството стоки. Като разделим общия приход от продажбата на стоки на общия брой единици стоки, намерихме среднопретеглената цена. Този индикатор отчита "тежестта" на всяка цена. Делът му в общата маса на ценностите.

Стандартно отклонение: формула в Excel

Има стандартни отклонения за генералната съвкупност и за извадката. В първия случай това е коренът на общата дисперсия. Във втория, от извадката дисперсия.

За изчисляване на този статистически показател се съставя дисперсионна формула. От него се извлича коренът. Но в Excel има готова функция за намиране на стандартното отклонение.

Стандартното отклонение е свързано с мащаба на изходните данни. Това не е достатъчно за образно представяне на вариацията на анализирания диапазон. За да се получи относителното ниво на разсейване на данните, се изчислява коефициентът на вариация:

стандартно отклонение / средно аритметично

Формулата в Excel изглежда така:

STDEV (диапазон от стойности) / AVERAGE (диапазон от стойности).

Коефициентът на вариация се изчислява като процент. Затова задаваме процентния формат в клетката.

Характеристиките на единиците на статистическите агрегати са различни по своето значение, например заплатите на работниците от една и съща професия в предприятието не са еднакви за един и същ период от време, пазарните цени за едни и същи продукти, добивите на култури в областта ферми и др. Следователно, за да се определи стойността на характеристика, която е характерна за цялата съвкупност от изследвани единици, се изчисляват средните стойности.
средна стойност – това е обобщаваща характеристика на набор от индивидуални стойности на някаква количествена характеристика.

Съвкупността, изследвана на количествена основа, се състои от индивидуални стойности; те се влияят от често срещани причини, и индивидуални условия. В средната стойност отклоненията, характерни за отделните стойности, се елиминират. Средната стойност, като функция на набор от индивидуални стойности, представя цялата съвкупност с една стойност и отразява това, което е общо за всички нейни единици.

Средната стойност, изчислена за съвкупности, състоящи се от качествено хомогенни единици, се нарича типично средно. Например, можете да изчислите средната месечна заплата на служител от определена професионална група (миньор, лекар, библиотекар). Разбира се, нивата на месечните заплати на миньорите, поради разликите в тяхната квалификация, трудов стаж, отработено време на месец и много други фактори, се различават помежду си и от нивото на средните заплати. Средното ниво обаче отразява основните фактори, които влияят върху нивото на заплатите, а разликите, които възникват поради индивидуалните характеристики на служителя, се елиминират. Средната заплата отразява типичното ниво на възнаграждение за даден вид работници. Получаването на типична средна стойност трябва да бъде предшествано от анализ на това колко качествено хомогенна е дадената популация. Ако комплектът се състои от тях отделни части, трябва да се раздели на типични групи (средна температура в болницата).

Наричат ​​се средни стойности, използвани като характеристики за хетерогенни популации системни средни стойности. Например средният брутен вътрешен продукт (БВП) на глава от населението, средното потребление различни групистоки на човек и други подобни величини, представящи общата характеристика на държавата като единна икономическа система.

Средната стойност трябва да се изчисли за популации, състоящи се от достатъчно голям брой единици. Спазването на това условие е необходимо, за да влезе в сила законът за големите числа, в резултат на което случайните отклонения на отделните стойности от общата тенденция взаимно се елиминират.

Видове средни стойности и методи за изчисляването им

Изборът на вида средна се определя от икономическото съдържание на определен показател и изходните данни. Всяка средна стойност обаче трябва да бъде изчислена така, че когато замества всеки вариант на осреднената характеристика, крайната, обобщаваща или, както обикновено се нарича, не се променя. определящ индикатор, който е свързан с осреднения показател. Например, когато се заменят действителните скорости на отделни участъци от пътя с тяхната средна скорост, общото изминато разстояние не трябва да се променя превозно средствопо същото време; при замяна на действителните заплати на отделните служители на предприятието със средната заплата, фондът за заплати не трябва да се променя. Следователно във всеки конкретен случай, в зависимост от характера на наличните данни, има само една истинска средна стойност на показателя, която е адекватна на свойствата и същността на изследваното социално-икономическо явление.
Най-често използваните са средно аритметично, средно хармонично, средно геометрично, средно квадратично и средно кубично.
Изброените средни стойности принадлежат към класа успокоенсредни стойности и се комбинират по общата формула:
,
където е средната стойност на изследваната характеристика;
m – индекс на средна степен;
– текуща стойност (вариант) на характеристиката, която се осреднява;
n – брой признаци.
В зависимост от стойността на експонента m се разграничават следните видове средни мощности:
когато m = -1 – хармонична средна;
при m = 0 – средно геометрично;
за m = 1 – средно аритметично;
за m = 2 – средноквадратично;
при m = 3 – среден куб.
Когато използвате едни и същи начални данни, колкото по-голям е показателят m в горната формула, толкова повече стойностсреден размер:
.
Това свойство на степенните средни да се увеличават с увеличаване на експонента на дефиниращата функция се нарича правилото на мнозинството от средните стойности.
Всяка от маркираните средни стойности може да приеме две форми: простоИ претеглени.
Проста средна формаизползва се, когато средната стойност се изчислява от първични (негрупирани) данни. Претеглена форма– при изчисляване на средната стойност въз основа на вторични (групирани) данни.

Средноаритметично

Средната аритметична стойност се използва, когато обемът на популацията е сбор от всички индивидуални стойности на различна характеристика. Трябва да се отбележи, че ако типът на средната стойност не е посочен, се приема средното аритметично. Логическата му формула изглежда така:

Средно просто аритметичноизчислено въз основа на негрупирани данни по формулата:
или ,
къде са индивидуалните стойности на характеристиката;
j е поредният номер на единицата за наблюдение, която се характеризира със стойността ;
N – брой единици на наблюдение (обем на съвкупността).
Пример.В лекцията „Обобщение и групиране на статистически данни” бяха разгледани резултатите от наблюдението на трудовия опит на екип от 10 души. Нека изчислим средния трудов стаж на работниците от екипа. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Използвайки простата формула за средно аритметично, можем също да изчислим средни стойности в хронологични серии, ако интервалите от време, за които са представени характерните стойности, са равни.
Пример.Обемът на продадените продукти за първото тримесечие възлиза на 47 den. единици, за втория 54, за третия 65 и за четвъртия 58 ден. единици Средният тримесечен оборот е (47+54+65+58)/4 = 56 den. единици
Ако моментните показатели са дадени в хронологична серия, тогава при изчисляване на средната стойност те се заменят с полусуми от стойностите в началото и края на периода.
Ако има повече от два момента и интервалите между тях са равни, тогава средната стойност се изчислява по формулата за средна хронологична

,
където n е броят на времевите точки
В случай, че данните са групирани по характерни стойности (т.е. построена е дискретна вариационна серия на разпределение) с средно аритметично претегленоизчислен чрез използване на честоти или честоти на наблюдение на специфични стойности на характеристика, чийто брой (k) е значителен по-малко числонаблюдения (N) .
,
,
където k е броят на групите от вариационната серия,
i – номер на група от вариационната серия.
Тъй като , a , получаваме формулите, използвани за практически изчисления:
И
Пример.Нека изчислим средния стаж на работните екипи в групиран ред.
а) използване на честоти:

б) използване на честоти:

В случай, че данните са групирани по интервали , т.е. са представени под формата на интервални разпределителни серии; при изчисляване на средната аритметична стойност на характеристиката се приема средата на интервала въз основа на предположението, че равномерно разпределениеединици от съвкупността на даден интервал. Изчислението се извършва по формулите:
И
където е средата на интервала: ,
където и са долната и горната граница на интервалите (при условие, че горната граница на даден интервал съвпада с долната граница на следващия интервал).

Пример.Нека изчислим средноаритметичната стойност на интервалната вариационна серия, конструирана въз основа на резултатите от изследване на годишните заплати на 30 работници (виж лекцията „Обобщение и групиране на статистически данни“).
Таблица 1 – Разпределение на интервалните вариационни серии.

UAH или UAH
Аритметичните средни стойности, изчислени въз основа на изходни данни и серии от интервални вариации, може да не съвпадат поради неравномерното разпределение на стойностите на атрибутите в рамките на интервалите. В този случай, за по-точно изчисляване на среднопретеглената аритметична стойност, трябва да се използват не средните стойности на интервалите, а простите аритметични средни стойности, изчислени за всяка група ( групови средни стойности). Извиква се средната стойност, изчислена от групови средни с помощта на претеглена формула за изчисление обща авария.
Средната аритметична има редица свойства.
1. Сумата на отклоненията от средния вариант е нула:
.
2. Ако всички стойности на опцията се увеличат или намалят със сумата A, тогава средната стойност се увеличава или намалява със същата сума A:

3. Ако всяка опция се увеличи или намали с B пъти, тогава средната стойност също ще се увеличи или намали със същия брой пъти:
или
4. Сумата от произведенията на опцията по честотите е равна на произведението на средната стойност по сумата от честотите:

5. Ако всички честоти се разделят или умножат по произволно число, тогава средното аритметично няма да се промени:

6) ако във всички интервали честотите са равни една на друга, тогава среднопретеглената аритметична стойност е равна на средната проста аритметична стойност:
,
където k е броят на групите от вариационната серия.

Използването на свойствата на средната стойност ви позволява да опростите нейното изчисление.
Нека приемем, че всички опции (x) първо са намалени с едно и също число A и след това намалени с фактор B. Най-голямо опростяване се постига, когато стойността на средата на интервала с най-висока честота е избрана като A, а стойността на интервала (за серии с еднакви интервали) е избрана като B. Количеството А се нарича произход, така че този метод за изчисляване на средната стойност се нарича начин b ом еталон от условна нулаили начин на моменти.
След такава трансформация получаваме нов вариационен ред на разпределение, чиито варианти са равни на . Тяхното средно аритметично, т.нар момент на първия ред,се изразява с формулата и според второто и третото свойство средноаритметичното е равно на средното от оригиналната версия, намалено първо с A, а след това с B пъти, т.е.
За получаване реално средно(средно за оригиналната серия) трябва да умножите момента от първи ред по B и да добавите A:

Изчисляването на средноаритметичната стойност по метода на моментите е илюстрирано от данните в табл. 2.
Таблица 2 – Разпределение на цеховите работници по трудов стаж

Намиране на първия момент на поръчка . След това, като знаем, че A = 17,5 и B = 5, изчисляваме средния стаж на работниците в цеха:
години

Средно хармонично
Както е показано по-горе, средноаритметичната стойност се използва за изчисляване на средната стойност на дадена характеристика в случаите, когато са известни нейните варианти x и техните честоти f.
Ако статистическата информация не съдържа честоти f за отделните варианти x на съвкупността, а е представена като техен продукт, се прилага формулата претеглена хармонична средна. За да изчислим средната стойност, нека означим където . Замествайки тези изрази във формулата за средноаритметично претеглено, получаваме формулата за хармонично претеглено средно:
,
където е обемът (теглото) на стойностите на атрибута на индикатора в интервала с номер i (i=1,2, …, k).

По този начин хармоничната средна се използва в случаите, когато не самите опции подлежат на сумиране, а техните реципрочни стойности: .
В случаите, когато тежестта на всяка опция е равна на единица, т.е. индивидуалните стойности на обратната характеристика се появяват веднъж, приложени означава хармоничен прост:
,
където са отделни варианти на обратната характеристика, срещащи се еднократно;
N – числова опция.
Ако има хармонични средни стойности за две части от популация, тогава общата средна стойност за цялата популация се изчислява по формулата:

и се нарича претеглено хармонично средно на груповите средни.

Пример.По време на търговията на валутната борса в първия час на работа бяха сключени три сделки. Данните за размера на продажбите на гривна и обменния курс на гривна спрямо щатския долар са дадени в таблица. 3 (колони 2 и 3). Определете средния обменен курс на гривната спрямо щатския долар за първия час на търговия.
Таблица 3 – Данни за хода на търговията на валутната борса

Средният обменен курс на долара се определя от съотношението на количеството гривни, продадени по време на всички транзакции, към количеството долари, придобити в резултат на същите транзакции. Крайната сума на продажбата на гривна е известна от колона 2 на таблицата, а броят на доларите, закупени във всяка транзакция, се определя чрез разделяне на сумата на продажбата на гривна на нейния обменен курс (колона 4). Общо 22 милиона долара бяха закупени по време на три транзакции. Това означава, че средният обменен курс на гривна за един долар е бил
.
Получената стойност е реална, т.к замяната на действителните обменни курсове на гривна в транзакциите няма да промени крайната сума на продажбите на гривна, която служи като определящ индикатор: милиона UAH
Ако за изчислението се използва средноаритметичната стойност, т.е. гривна, след това по обменния курс за закупуване на 22 милиона долара. ще бъдат необходими 110,66 милиона UAH, което не е вярно.

Средна геометрична
Средната геометрична се използва за анализ на динамиката на явленията и позволява да се определи средният коефициент на растеж. При изчисляване на средното геометрично, отделните стойности на дадена характеристика са относителни показатели за динамика, изградени под формата на верижни стойности, като съотношение на всяко ниво към предишното.
Простата средна геометрична стойност се изчислява по формулата:
,
къде е знакът на продукта,
N – брой осреднени стойности.
Пример.Броят на регистрираните престъпления за 4 години се е увеличил 1,57 пъти, в т. ч. за 1-ва – 1,08 пъти, за 2-ра – 1,1 пъти, за 3-та – 1,18 и за 4-та – 1,12 пъти. Тогава средногодишният темп на нарастване на броя на престъпленията е: , т.е. броят на регистрираните престъпления нараства средногодишно с 12%.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96