Всяка отделна стойност се определя изцяло от нейната функция на разпределение. Също така, за решаване на практически проблеми е достатъчно да знаете няколко числени характеристики, благодарение на които става възможно да се представят основните характеристики случайна променливав кратка форма.

Тези количества включват предимно математическо очакванеИ дисперсия .

Очакване— средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Означава се като.

Най-много по прост начинматематическо очакване на случайна променлива X(w), намерете как интегралнаЛебегвъв връзка с вероятностната мярка Р оригинален вероятностно пространство

Можете също да намерите математическото очакване на стойност като Интеграл на Лебегот Xчрез разпределение на вероятностите R Xколичества X:

където е множеството от всички възможни стойности X.

Математическо очакване на функции от случайна величина Xнамерени чрез разпространение R X. например, Ако X- случайна променлива със стойности в и f(x)- недвусмислено на Борелфункция X , това:

Ако F(x)- разпределителна функция X, тогава математическото очакване е представимо интегралнаLebeggue - Stieltjes (или Риман - Stieltjes):

в този случай интегрируемост XПо отношение на ( * ) съответства на крайността на интеграла

В конкретни случаи, ако Xима дискретно разпределение с вероятни стойности x k, k=1, 2, . , и вероятности, тогава

Ако Xима абсолютно непрекъснато разпределение с плътност на вероятността p(x), Това

в този случай съществуването на математическо очакване е еквивалентно на абсолютната конвергенция на съответния ред или интеграл.

Свойства на математическото очакване на случайна величина.

• Математическото очакване на постоянна стойност е равно на тази стойност:

В- постоянен;

• M=C.M[X]

• Математическото очакване на сумата от произволно взетите стойности е равно на сумата от техните математически очаквания:

• Математическото очакване на произведението на независими произволно взети променливи = произведението на техните математически очаквания:

M=M[X]+M[Y]

Ако XИ Yнезависима.

ако серията се събира:

Алгоритъм за изчисляване на математическото очакване.

Свойства на дискретни случайни променливи: всичките им стойности могат да бъдат преномерирани естествени числа; присвоете на всяка стойност ненулева вероятност.

1. Умножете двойките една по една: x iна p i.

2. Добавете продукта на всяка двойка x i p i.

например, За п = 4 :

Функция на разпределение на дискретна случайна променливастъпаловидно, тя нараства рязко в онези точки, чиито вероятности имат положителен знак.

Пример:Намерете математическото очакване по формулата.

дисперсиянепрекъсната случайна променлива X, чиито възможни стойности принадлежат на цялата ос Ox, се определя от равенството:

Цел на услугата. Онлайн калкулаторпредназначени за решаване на проблеми, при които или плътност на разпространение f(x) или функция на разпределение F(x) (вижте примера). Обикновено в такива задачи трябва да намерите математическо очакване, средно стандартно отклонение, начертайте функциите f(x) и F(x).

Инструкции. Изберете типа на изходните данни: плътност на разпределение f(x) или функция на разпределение F(x).

Плътността на разпределение f(x) е дадена:

Функцията на разпределение F(x) е дадена:

Непрекъсната случайна променлива се определя от плътност на вероятността
(Закон за разпределение на Релей - използва се в радиотехниката). Намерете M(x) , D(x) .

Извиква се случайната променлива X непрекъснато , ако неговата функция на разпределение F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива се използва за изчисляване на вероятността случайна променлива да попадне в даден интервал:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Освен това за непрекъсната случайна променлива няма значение дали нейните граници са включени в този интервал или не:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плътност на разпространение непрекъсната случайна променлива се нарича функция
f(x)=F’(x) , производна на функцията на разпределение.

Свойства на плътността на разпределение