1
/
5
Значението на нормалното разпределение в много области на науката (например математическа статистика и статистическа физика) следва от централната гранична теорема на теорията на вероятностите. Ако резултатът от едно наблюдение е сумата от много произволни слабо взаимозависими величини, всяка от които има малък принос спрямо общата сума, тогава с нарастването на броя на членовете разпределението на центрирания и нормализиран резултат има тенденция да бъде нормално. Този закон на теорията на вероятностите води до широкото разпространение на нормалното разпределение, което е една от причините за името му.
Имоти
Моменти
Ако случайни променливи X 1 (\displaystyle X_(1))И X 2 (\displaystyle X_(2))са независими и имат нормално разпределение с математически очаквания μ 1 (\displaystyle \mu _(1))И μ 2 (\displaystyle \mu _(2))и вариации σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2))И σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2))съответно тогава X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2))също има нормално разпределение с математическо очакване μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2))и дисперсия σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).)От това следва, че една нормална случайна променлива може да бъде представена като сума от произволен брой независими нормални случайни променливи.
Максимална ентропия
Нормалното разпределение има максимална диференциална ентропия сред всички непрекъснати разпределения, чиято дисперсия не надвишава дадена стойност.
Моделиране на нормални псевдослучайни променливи
Най-простите методи за приблизително моделиране се основават на централната гранична теорема. А именно, ако добавите няколко независими еднакво разпределени количества с крайна дисперсия, тогава сумата ще бъде разпределена приблизителноГлоба. Например, ако добавите 100 независими като стандарт равномерно разпределени случайни променливи, тогава разпределението на сумата ще бъде приблизително нормално.
За програмно генериране на нормално разпределени псевдослучайни променливи е за предпочитане да се използва трансформацията на Box-Muller. Тя ви позволява да генерирате една нормално разпределена стойност въз основа на една равномерно разпределена стойност.
Нормално разпространение в природата и приложения
Нормалното разпределение често се среща в природата. Например следните случайни променливи са добре моделирани от нормалното разпределение:
- отклонение при стрелба.
- грешки при измерване (обаче грешките на някои измервателни уреди нямат нормално разпределение).
- някои характеристики на живите организми в популацията.
Това разпределение е толкова широко разпространено, защото е безкрайно делимо непрекъснато разпределение с крайна дисперсия. Следователно някои други се доближават до него в границата, например бином и Поасон. Това разпределение моделира много недетерминирани физически процеси.
Връзка с други дистрибуции
- Нормалното разпределение е разпределение тип XI на Пиърсън.
- Съотношението на двойка независими стандартни нормално разпределени случайни променливи има разпределение на Коши. Тоест, ако случайната променлива X (\displaystyle X)представлява отношението X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(Където Y (\displaystyle Y)И Z (\displaystyle Z)- независими стандартни нормални случайни променливи), тогава ще има разпределение на Коши.
- Ако z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- съвместно независими стандартни нормални случайни променливи, т.е z i ∼ N (0, 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), след това случайната променлива x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2))има разпределение хи-квадрат с k степени на свобода.
- Ако случайната променлива X (\displaystyle X)подлежи на логнормално разпределение, тогава неговият естествен логаритъм има нормално разпределение. Тоест, ако X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Че Y = ln (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). И обратното, ако Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Че X = exp (Y) ∼ L o g N (μ, σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \точно)).
- Съотношението на квадратите на две стандартни нормални случайни променливи има
Нормалният закон за разпределение (често наричан закон на Гаус) играе изключително важна роля в теорията на вероятностите и заема специално място сред другите закони за разпределение. Това е най-често срещаният разпределителен закон в практиката. Основната характеристика, която отличава нормалния закон от другите закони, е, че той е ограничаващ закон, към който други закони на разпределение се приближават при много общи типични условия.
Може да се докаже, че сумата от достатъчно голям брой независими (или слабо зависими) случайни променливи, подчинени на каквито и да било закони за разпределение (при някои много свободни ограничения), приблизително се подчинява на нормалния закон и това е вярно по-точно, по-голям е броят на случайните променливи, които се сумират. Повечето от случайните променливи, срещани в практиката, като например грешки при измерване, грешки при снимане и т.н., могат да бъдат представени като сума от много голям брой относително малки членове - елементарни грешки, всяка от които е причинена от отделна причина, независима от другите. Без значение на какви закони на разпределение са подчинени отделните елементарни грешки, характеристиките на тези разпределения в сумата на голям брой членове се изравняват и сумата се оказва подчинена на закон, близък до нормалния. Основното ограничение, наложено на сумираните грешки е, че всички те играят еднакво малка роля в общата сума. Ако това условие не е изпълнено и например една от случайните грешки се окаже рязко доминираща в влиянието си върху сумата над всички останали, тогава законът за разпределение на тази преобладаваща грешка ще наложи влиянието си върху сумата и ще определи нейната основните характеристики на закона за разпределение.
Теоремите, установяващи нормалния закон като граница за сумата от независими равномерно малки произволни членове, ще бъдат обсъдени по-подробно в Глава 13.
Нормалният закон на разпределение се характеризира с плътност на вероятността от формата:
Нормалната крива на разпределение има симетричен хълмист вид (фиг. 6.1.1). Максималната ордината на кривата, равна на , съответства на точката ; Докато се отдалечавате от точката, плътността на разпределението намалява и при , кривата асимптотично се доближава до абсцисата.
Нека разберем значението на числените параметри и включени в израза на нормалния закон (6.1.1); Нека докажем, че стойността не е нищо повече от математическо очакване, а стойността е стандартното отклонение на стойността. За да направите това, ние изчисляваме основните числени характеристики на количеството - математическо очакване и дисперсия.
Използване на промяна на променлива
Лесно се проверява, че първият от двата интервала във формула (6.1.2) е равен на нула; вторият е известният интеграл на Ойлер-Поасон:
. (6.1.3)
следователно
тези. параметърът представлява математическото очакване на стойността. Този параметър, особено при проблеми със снимане, често се нарича център на дисперсия (съкратено като c.r.).
Нека изчислим дисперсията на количеството:
.
Отново прилагане на промяната на променливата
Интегрирайки по части, получаваме:
Първият член във къдрави скоби е равен на нула (тъй като при намалява по-бързо, отколкото която и да е степен нараства), вторият член съгласно формула (6.1.3) е равен на , откъдето
Следователно параметърът във формула (6.1.1) не е нищо повече от стандартното отклонение на стойността.
Нека разберем значението на параметрите и нормалното разпределение. От формулата (6.1.1) веднага става ясно, че центърът на симетрия на разпределението е центърът на дисперсията. Това става ясно от факта, че когато знакът на разликата е обърнат, изразът (6.1.1) не се променя. Ако промените центъра на дисперсията, кривата на разпределението ще се измести по абсцисната ос, без да променя формата си (фиг. 6.1.2). Центърът на дисперсията характеризира положението на разпределението по абсцисната ос.
Размерът на центъра на разсейване е същият като размерът на случайната променлива.
Параметърът характеризира не позицията, а самата форма на кривата на разпределение. Това е характеристиката на дисперсията. Най-голямата ордината на кривата на разпределение е обратно пропорционална на; докато увеличавате, максималната ордината намалява. Тъй като площта на кривата на разпределение трябва винаги да остава равна на единица, когато се увеличава, кривата на разпределение става по-плоска, простирайки се по оста x; напротив, с намаляване кривата на разпределение се простира нагоре, като едновременно се компресира отстрани и става по-игловидна. На фиг. 6.1.3 показва три нормални криви (I, II, III) при ; от тях крива I съответства на най-голямата, а крива III на най-малката стойност. Промяната на параметъра е еквивалентна на промяна на мащаба на кривата на разпределение - увеличаване на мащаба по едната ос и същото намаляване по другата.
Примери за случайни променливи, разпределени по нормален закон, са височината на човек и масата на уловената риба от същия вид. Нормалното разпределение означава следното
: има стойности на човешкия ръст, масата на рибата от същия вид, които интуитивно се възприемат като „нормални“ (и всъщност осреднени), и в достатъчно голяма извадка те се срещат много по-често от тези, които се различават нагоре или надолу.
Нормалното вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива (понякога разпределение на Гаус) може да се нарече камбанообразно поради факта, че функцията на плътността на това разпределение, симетрична спрямо средната стойност, е много подобна на разреза на камбана (червена крива на фигурата по-горе).
Вероятността да срещнете определени стойности в извадка е равна на площта на фигурата под кривата, а в случай на нормално разпределение виждаме, че под горната част на „камбаната“, която съответства на стойности с тенденция към средното, площта и следователно вероятността е по-голяма, отколкото под ръбовете. По този начин получаваме същото нещо, което вече беше казано: вероятността да срещнете човек с „нормален“ ръст и да хванете риба с „нормално“ тегло е по-висока, отколкото за стойности, които се различават нагоре или надолу. В много практически случаи грешките на измерване се разпределят по закон, близък до нормалния.
Нека погледнем отново фигурата в началото на урока, която показва функцията на плътност на нормално разпределение. Графиката на тази функция е получена чрез изчисляване на определена извадка от данни в софтуерния пакет STATISTICA. На него колоните на хистограмата представляват интервали от извадкови стойности, чието разпределение е близко до (или, както обикновено се казва в статистиката, не се различава съществено от) действителната графика на функцията за плътност на нормалното разпределение, която е червена крива . Графиката показва, че тази крива наистина има формата на камбана.
Нормалното разпределение е ценно по много начини, защото като знаете само очакваната стойност на непрекъсната случайна променлива и нейното стандартно отклонение, можете да изчислите всяка вероятност, свързана с тази променлива.
Нормалното разпределение има и предимството, че е едно от най-лесните за използване. статистически тестове, използвани за проверка на статистически хипотези – t тест на Стюдънт- може да се използва само ако примерните данни се подчиняват на нормалния закон за разпределение.
Нормална функция на плътност на разпределение на непрекъсната случайна променливаможе да се намери с помощта на формулата:
,
Където х- стойност на променящото се количество, - средна стойност, - стандартно отклонение, д=2,71828... - основата на естествения логаритъм, =3,1416...
Свойства на функцията за плътност на нормалното разпределение
Промените в средната стойност преместват нормалната крива на функцията на плътността към оста вол. Ако се увеличи, кривата се премества надясно, ако намалява - наляво.
Ако стандартното отклонение се промени, височината на върха на кривата се променя. Когато стандартното отклонение нараства, върхът на кривата е по-висок, а когато намалява, е по-нисък.
Вероятност случайна променлива с нормално разпределение да попада в даден интервал
Още в този параграф ще започнем да решаваме практически проблеми, чийто смисъл е посочен в заглавието. Нека да разгледаме какви възможности предлага теорията за решаване на проблеми. Изходната концепция за изчисляване на вероятността случайна променлива с нормално разпределение да попадне в даден интервал е кумулативната функция на нормалното разпределение.
Кумулативна функция на нормалното разпределение:
.
Въпреки това е проблематично да се получат таблици за всяка възможна комбинация от средно и стандартно отклонение. Следователно, един от простите начини за изчисляване на вероятността нормално разпределена случайна променлива да попадне в даден интервал е да се използват вероятностни таблици за стандартизираното нормално разпределение.
Нормалното разпределение се нарича стандартизирано или нормализирано., чиято средна стойност е , а стандартното отклонение е .
Стандартизирана функция за плътност на нормалното разпределение:
.
Кумулативна функция на стандартизираното нормално разпределение:
.
Фигурата по-долу показва интегралната функция на стандартизираното нормално разпределение, чиято графика е получена чрез изчисляване на определена извадка от данни в софтуерния пакет STATISTICA. Самата графика е червена крива, а примерните стойности се доближават до нея.
За да увеличите снимката, можете да щракнете върху нея с левия бутон на мишката.
Стандартизирането на случайна променлива означава преминаване от оригиналните единици, използвани в задачата, към стандартизирани единици. Стандартизацията се извършва по формулата
На практика всички възможни стойности на случайна променлива често са неизвестни, така че стойностите на средното и стандартното отклонение не могат да бъдат определени точно. Те се заменят със средноаритметичната стойност на наблюденията и стандартното отклонение с. величина zизразява отклоненията на стойностите на случайна променлива от средната аритметична стойност при измерване на стандартните отклонения.
Отворен интервал
Таблицата на вероятностите за стандартизираното нормално разпределение, която може да се намери в почти всяка книга по статистика, съдържа вероятностите случайна променлива със стандартно нормално разпределение Зще приеме стойност, по-малка от определено число z. Тоест ще попадне в отворения интервал от минус безкрайност до z. Например, вероятността количеството Зпо-малко от 1,5, равно на 0,93319.
Пример 1.Компанията произвежда части, чийто експлоатационен живот е нормално разпределен със средна стойност от 1000 часа и стандартно отклонение от 200 часа.
За произволно избрана част изчислете вероятността животът й да бъде най-малко 900 часа.
Решение. Нека въведем първата нотация:
Желаната вероятност.
Стойностите на случайната променлива са в отворен интервал. Но знаем как да изчислим вероятността една случайна променлива да приеме стойност, по-малка от дадена, и според условията на задачата трябва да намерим такава, равна или по-голяма от дадена. Това е другата част от пространството под нормалната крива на плътност (камбана). Следователно, за да намерите желаната вероятност, трябва да извадите от единицата споменатата вероятност случайната променлива да приеме стойност, по-малка от зададените 900:
Сега случайната променлива трябва да бъде стандартизирана.
Продължаваме да въвеждаме нотацията:
z = (х ≤ 900)
;
х= 900 - зададена стойност на случайната променлива;
μ
= 1000 - средна стойност;
σ
= 200 - стандартно отклонение.
Използвайки тези данни, получаваме условията на проблема:
.
Според таблици на стандартизирана случайна променлива (граница на интервал) z= −0,5 съответства на вероятност от 0,30854. Извадете го от единицата и получете това, което се изисква в изложението на проблема:
Така че вероятността частта да има експлоатационен живот от поне 900 часа е 69%.
Тази вероятност може да се получи с помощта на функцията на MS Excel NORM.DIST (интегрална стойност - 1):
П(х≥900) = 1 - П(х≤900) = 1 - NORM.DIST(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.
За изчисленията в MS Excel - в един от следващите параграфи на този урок.
Пример 2.В даден град средният годишен семеен доход е нормално разпределена случайна променлива със средна стойност от 300 000 и стандартно отклонение от 50 000. Известно е, че доходът на 40% от семействата е по-малък от А. Намерете стойността А.
Решение. В този проблем 40% не е нищо повече от вероятността случайната променлива да вземе стойност от отворен интервал, която е по-малка от определена стойност, обозначена с буквата А.
За да намерите стойността А, първо съставяме интегралната функция:
Според условията на проблема
μ
= 300000 - средна стойност;
σ
= 50000 - стандартно отклонение;
х = А- количеството, което трябва да се намери.
Измисляне на равенство
.
От статистическите таблици намираме, че вероятността от 0,40 съответства на стойността на границата на интервала z = −0,25
.
Следователно ние създаваме равенството
и намерете решението му:
А = 287300
.
Отговор: 40% от семействата имат доходи под 287 300.
Затворен интервал
В много задачи се изисква да се намери вероятността нормално разпределена случайна променлива да приеме стойност в интервала от z 1 към z 2. Тоест ще попадне в затворен интервал. За да се решат такива проблеми, е необходимо да се намерят в таблицата вероятностите, съответстващи на границите на интервала, и след това да се намери разликата между тези вероятности. Това изисква изваждане на по-малката стойност от по-голямата. Примери за решения на тези често срещани проблеми са следните и от вас се иска да ги решите сами, след което можете да видите правилните решения и отговори.
Пример 3.Печалбата на предприятието за определен период е случайна величина, подчинена на нормалния закон за разпределение със средна стойност 0,5 млн. и стандартно отклонение 0,354. Определете с точност до два знака след десетичната запетая вероятността печалбата на предприятието да бъде от 0,4 до 0,6 c.u.
Пример 4.Дължината на изработения детайл е случайна величина, разпределена по нормалния закон с параметри μ
=10 и σ
=0,071. Намерете вероятността от дефекти с точност до два знака след десетичната запетая, ако допустимите размери на детайла трябва да бъдат 10±0,05.
Съвет: в този проблем, в допълнение към намирането на вероятността случайна променлива да попадне в затворен интервал (вероятността да получите недефектна част), трябва да извършите още едно действие.
ви позволява да определите вероятността стандартизираната стойност Зне по-малко -zи не повече +z, Където z- произволно избрана стойност на стандартизирана случайна променлива.
Приблизителен метод за проверка на нормалността на разпределение
Приблизителен метод за проверка на нормалността на разпределението на пробните стойности се основава на следното свойство на нормалното разпределение: коефициент на асиметрия β
1
и коефициент на ексцес β
2
са равни на нула.
Коефициент на асиметрия β
1
числено характеризира симетрията на емпиричното разпределение спрямо средната стойност. Ако коефициентът на асиметрия е нула, тогава средната аритметрична стойност, медианата и модата са равни: и кривата на плътността на разпределението е симетрична спрямо средната стойност. Ако коефициентът на асиметрия е по-малък от нула (β
1
< 0
), тогава средноаритметичната стойност е по-малка от медианата, а медианата от своя страна е по-малка от режим () и кривата е изместена надясно (в сравнение с нормалното разпределение). Ако коефициентът на асиметрия е по-голям от нула (β
1
> 0
), тогава средноаритметичната стойност е по-голяма от медианата, а медианата от своя страна е по-голяма от режима () и кривата е изместена наляво (в сравнение с нормалното разпределение).
Коефициент на ексцесия β
2
характеризира концентрацията на емпиричното разпределение около средноаритметичното по посока на оста Ойи степента на пик на кривата на плътността на разпределението. Ако коефициентът на ексцес е по-голям от нула, тогава кривата е по-удължена (в сравнение с нормалното разпределение)по оста Ой(графиката е по-заострена). Ако коефициентът на ексцес е по-малък от нула, тогава кривата е по-плоска (в сравнение с нормалното разпределение)по оста Ой(графиката е по-тъпа).
Коефициентът на асиметрия може да се изчисли с помощта на функцията SKOS на MS Excel. Ако проверявате един масив от данни, тогава трябва да въведете диапазона от данни в едно поле „Число“.
Коефициентът на ексцес може да се изчисли с помощта на функцията KURTESS на MS Excel. При проверка на един масив от данни е достатъчно също да въведете диапазона от данни в едно поле „Число“.
И така, както вече знаем, при нормално разпределение коефициентите на изкривяване и ексцес са равни на нула. Но какво ще стане, ако получим коефициенти на изкривяване от -0,14, 0,22, 0,43 и коефициенти на ексцес от 0,17, -0,31, 0,55? Въпросът е съвсем справедлив, тъй като на практика имаме работа само с приблизителни, примерни стойности на асиметрия и ексцес, които са обект на някакво неизбежно, неконтролирано разсейване. Следователно не може да се изисква тези коефициенти да бъдат строго равни на нула; те трябва да бъдат само достатъчно близки до нула. Но какво означава достатъчно?
Необходимо е да се сравнят получените емпирични стойности с приемливи стойности. За да направите това, трябва да проверите следните неравенства (сравнете стойностите на модулните коефициенти с критичните стойности - границите на зоната за тестване на хипотезата).
За коефициента на асиметрия β
1
.
) играе особено важна роля в теорията на вероятностите и най-често се използва при решаване на практически проблеми. Неговата основна характеристика е, че той е ограничаващ закон, към който други закони на разпределение се доближават при много общи типични условия. Например сумата от достатъчно голям брой независими (или слабо зависими) случайни променливи приблизително се подчинява на нормалния закон и това се изпълнява по-точно, колкото повече случайни променливи се сумират.
Експериментално е доказано, че грешките при измерване, отклоненията в геометричните размери и положението на елементите на строителната конструкция по време на тяхното производство и монтаж, както и променливостта на физико-механичните характеристики на материалите и натоварванията, действащи върху строителните конструкции, са подчинени на нормалния закон.
Почти всички случайни променливи са обект на разпределението на Гаус, чието отклонение от средните стойности се дължи на голям набор от случайни фактори, всеки от които поотделно е незначителен (централна гранична теорема).
Нормална дистрибуцияе разпределението на случайна непрекъсната променлива, за която плътността на вероятността има формата (фиг. 18.1).
Ориз. 18.1. Нормален закон за разпределение при 1< a 2 .
където a и са параметри на разпределение.
Вероятностните характеристики на случайна променлива, разпределени по нормалния закон, са равни на:
Математическо очакване (18.2)
Дисперсия (18.3)
Стандартно отклонение (18,4)
Коефициент на асиметрия А = 0(18.5)
Излишък д= 0. (18.6)
Параметърът σ, включен в разпределението на Гаус, е равен на средното квадратично отношение на случайната променлива. величина Аопределя позицията на разпределителния център (виж фиг. 18.1) и стойността А— ширина на разпределение (фиг. 18.2), т.е. статистически разпределение около средната стойност.
Ориз. 18.2. Нормален закон на разпределение при σ 1< σ 2 < σ 3
Вероятността за попадане в даден интервал (от x 1 до x 2) за нормално разпределение, както във всички случаи, се определя от интеграла на вероятностната плътност (18.1), който не се изразява чрез елементарни функции и се представя от специална функция, наречена функция на Лаплас (интеграл на вероятността).
Едно от представянията на вероятностния интеграл:
величина ИНаречен квантил
Вижда се, че Ф(х) е нечетна функция, т.е. Ф(-х) = -Ф(х) .
Стойностите на тази функция се изчисляват и представят под формата на таблици в техническа и образователна литература.
Функцията на разпределение на нормалния закон (фиг. 18.3) може да бъде изразена чрез вероятностния интеграл:
Ориз. 18.2. Нормална функция на разпределение.
Вероятността случайна променлива, разпределена по нормален закон, да попадне в интервала от Х.към x, се определя от израза:
трябва да бъде отбелязано че
Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0,5.
Когато се решават практически задачи, свързани с разпределението, често е необходимо да се вземе предвид вероятността за попадане в интервал, който е симетричен по отношение на математическото очакване, ако дължината на този интервал, т.е. ако самият интервал има граница от до , имаме:
При решаване на практически задачи границите на отклоненията на случайните променливи се изразяват чрез стандарта, стандартното отклонение, умножено по определен коефициент, който определя границите на областта на отклонения на случайната променлива.
Вземайки и използвайки формула (18.10) и таблица Ф(х) (Приложение № 1), получаваме
Тези формули показватче ако една случайна променлива има нормално разпределение, тогава вероятността нейното отклонение от средната стойност с не повече от σ е 68,27%, с не повече от 2σ е 95,45% и с не повече от 3σ - 99,73%.
Тъй като стойността на 0,9973 е близка до единица, се счита за практически невъзможно нормалното разпределение на случайна променлива да се отклони от математическото очакване с повече от 3σ. Това правило, което е валидно само за нормалното разпределение, се нарича правило на трите сигми. Вероятно е нарушението му P = 1 - 0,9973 = 0,0027. Това правило се използва при установяване на границите на допустимите отклонения на допустимите отклонения на геометричните характеристики на продуктите и конструкциите.
Случаен, ако в резултат на експеримент може да приеме реални стойности с определени вероятности. Най-пълната, изчерпателна характеристика на случайна променлива е законът за разпределение. Законът за разпределение е функция (таблица, графика, формула), която ви позволява да определите вероятността случайна променлива X да приеме определена стойност xi или да попадне в определен интервал. Ако една случайна променлива има даден закон на разпределение, тогава се казва, че тя се разпределя според този закон или се подчинява на този закон на разпределение.
Всеки разпределителен законе функция, която напълно описва случайна променлива от вероятностна гледна точка. На практика вероятностното разпределение на случайна променлива X често трябва да се преценява само от резултатите от теста.
Нормална дистрибуция
Нормална дистрибуция, наричано още разпределение на Гаус, е вероятностно разпределение, което играе критична роля в много области на знанието, особено във физиката. Една физическа величина следва нормално разпределение, когато е подложена на влиянието на огромен брой случайни шумове. Ясно е, че тази ситуация е изключително често срещана, така че можем да кажем, че от всички разпределения нормалното разпределение е най-често срещаното в природата - оттук и едно от имената му.
Нормалното разпределение зависи от два параметъра - преместване и мащаб, тоест от математическа гледна точка това не е едно разпределение, а цяло семейство от тях. Стойностите на параметъра съответстват на стойностите на средната (математическо очакване) и разпространението (стандартно отклонение).
Стандартното нормално разпределение е нормално разпределение с математическо очакване 0 и стандартно отклонение 1.
Коефициент на асиметрия
Коефициентът на асиметрия е положителен, ако дясната опашка на разпределението е по-дълга от лявата, и отрицателен в противен случай.
Ако разпределението е симетрично спрямо математическото очакване, тогава неговият коефициент на асиметрия е нула.
Коефициентът на изкривяване на извадката се използва за тестване на разпределението за симетрия, както и за груб предварителен тест за нормалност. Тя ви позволява да отхвърлите, но не ви позволява да приемете хипотезата за нормалност.
Коефициент на ексцесия
Коефициентът на ексцес (пиков коефициент) е мярка за остротата на пика на разпределението на случайна променлива.
„Минус три“ в края на формулата се въвежда така, че коефициентът на ексцес на нормалното разпределение да е равен на нула. То е положително, ако пикът на разпределението около математическото очакване е остър, и отрицателно, ако пикът е плавен.
Моменти на случайна величина
Моментът на случайна величина е числена характеристика на разпределението на дадена случайна величина.
