Salam, kucing! Kali terakhir, kami mengkaji secara terperinci apa akarnya (jika anda tidak ingat, saya cadangkan membaca). Hasil utama dari pelajaran itu adalah bahawa hanya ada satu definisi akar yang universal yang perlu anda ketahui. Selebihnya adalah omong kosong dan membuang masa.

Hari ini kita melangkah lebih jauh. Kami akan belajar memperbanyak akar, mengkaji beberapa masalah yang berkaitan dengan pendaraban (jika masalah ini tidak dapat diselesaikan, maka mereka boleh membawa maut pada peperiksaan) dan berlatih dengan betul. Oleh itu, dapatkan popcorn, buat diri anda selesa dan kami akan mulakan. :)

Anda belum merasakannya, bukan?

Pelajarannya agak panjang, jadi saya membahagikannya kepada dua bahagian:

1. Pertama, kita akan membahas peraturan untuk pendaraban. Cap nampaknya mengisyaratkan: ini adalah ketika ada dua akar, di antara mereka ada tanda "darab" - dan kami ingin melakukan sesuatu mengenainya.
2. Kemudian kami akan menganalisis keadaan sebaliknya: ada satu akar besar, dan kami kagum untuk membentangkannya sebagai produk dari dua akar yang lebih sederhana. Dengan apa yang menakutkan ini perlu - soalan yang berasingan. Kami hanya akan menganalisis algoritma.

Bagi mereka yang tidak sabar untuk terus ke bahagian kedua - anda dipersilakan. Mari mulakan dengan yang lain mengikut urutan.

Peraturan asas pendaraban

Mari mulakan dengan yang paling mudah - akar kuasa dua klasik. Yang ditetapkan $ \\ sqrt (a) $ dan $ \\ sqrt (b) $. Bagi mereka, semuanya jelas:

Peraturan pendaraban. Untuk mengalikan satu punca kuasa dua dengan akar yang lain, anda hanya perlu melipatgandakan ungkapan radikal mereka, dan tulis hasilnya di bawah radikal biasa:

\\ [\\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (b) \u003d \\ sqrt (a \\ cdot b) \\]

Tidak ada batasan tambahan yang dikenakan pada nombor di sebelah kanan atau kiri: jika faktor-faktor akar ada, maka produk itu juga ada.

Contoh. Mari lihat empat contoh dengan nombor sekaligus:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (25) \\ cdot \\ sqrt (4) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 4) \u003d \\ sqrt (100) \u003d 10; \\\\ & \\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 8; \\\\ & \\ sqrt (54) \\ cdot \\ sqrt (6) \u003d \\ sqrt (54 \\ cdot 6) \u003d \\ sqrt (324) \u003d 18; \\\\ & \\ sqrt (\\ frac (3) (17)) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (17) (27)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (3) (17) \\ cdot \\ frac (17) (27 )) \u003d \\ sqrt (\\ frac (1) (9)) \u003d \\ frac (1) (3). \\\\ \\ end (sejajar) \\]

Seperti yang anda lihat, titik utama peraturan ini adalah untuk mempermudah ungkapan tidak rasional. Dan jika dalam contoh pertama, kita sendiri akan mengekstrak akarnya dari 25 dan 4 tanpa peraturan baru, maka timah bermula lebih jauh: $ \\ sqrt (32) $ dan $ \\ sqrt (2) $ sendiri tidak dihitung, tetapi produk mereka ternyata segiempat tepat, jadi akarnya sama dengan bilangan rasionalnya.

Saya juga ingin mencatat baris terakhir. Di sana, kedua ungkapan radikal adalah pecahan. Terima kasih kepada produk, banyak faktor dibatalkan, dan keseluruhan ungkapan berubah menjadi bilangan yang mencukupi.

Sudah tentu, semuanya tidak akan sentiasa indah. Kadang-kadang akan ada kekacauan lengkap di bawah akar - tidak jelas apa yang harus dilakukan dengannya dan bagaimana mengubah selepas pendaraban. Tidak lama kemudian, apabila anda mula mempelajari persamaan dan ketaksamaan yang tidak rasional, secara amnya akan terdapat pelbagai jenis pemboleh ubah dan fungsi. Dan selalunya, penyusun tugas hanya menjangkakan bahawa anda akan menemui beberapa terma atau faktor pembatalan, setelah itu tugas tersebut akan dipermudahkan.

Di samping itu, sama sekali tidak perlu membiak dengan tepat dua akar. Anda boleh menggandakan tiga sekaligus, empat - tetapi sekurang-kurangnya sepuluh! Ini tidak akan mengubah peraturan. Tengoklah:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (3) \\ cdot \\ sqrt (6) \u003d \\ sqrt (2 \\ cdot 3 \\ cdot 6) \u003d \\ sqrt (36) \u003d 6; \\\\ & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (0.001) \u003d \\ sqrt (5 \\ cdot 2 \\ cdot 0.001) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (10 \\ cdot \\ frac (1) (1000)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (1) (100)) \u003d \\ frac (1) (10). \\\\ \\ end (sejajar) \\]

Dan lagi komen kecil mengikut contoh kedua. Seperti yang anda lihat, dalam faktor ketiga di bawah akar terdapat pecahan perpuluhan - dalam proses pengiraan kita menggantinya dengan yang biasa, selepas itu semuanya mudah dibatalkan. Oleh itu: Saya sangat mengesyorkan menyingkirkan pecahan perpuluhan dalam sebarang ungkapan tidak rasional (iaitu mengandungi sekurang-kurangnya satu tanda radikal). Ini akan menjimatkan banyak masa dan kekecewaan di masa depan.

Tetapi ini adalah penyimpangan lirik. Sekarang pertimbangkan lebih banyak kes umum - apabila eksponen akar mengandungi nombor sewenang-wenangnya $ n $, bukan hanya dua "klasik".

Kes penunjuk sewenang-wenangnya

Oleh itu, kami mengetahui punca kuasa dua. Dan apa yang perlu dilakukan dengan yang kubik? Atau secara amnya dengan akar darjah arbitrari $ n $? Ya, semuanya sama. Peraturannya tetap sama:

Untuk melipatgandakan dua punca darjah $ n $, cukup untuk melipatgandakan ungkapan radikal mereka, dan kemudian menuliskan hasilnya di bawah satu radikal.

Secara umum, tidak ada yang rumit. Kecuali bahawa jumlah pengiraan dapat lebih banyak. Mari lihat beberapa contoh:

Contoh. Kira produk:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (20) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (125) (4)) \u003d \\ sqrt (20 \\ cdot \\ frac (125) (4)) \u003d \\ sqrt (625) \u003d lima; \\\\ & \\ sqrt (\\ frac (16) (625)) \\ cdot \\ sqrt (0.16) \u003d \\ sqrt (\\ frac (16) (625) \\ cdot \\ frac (16) (100)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (64) (((25) ^ (2)) \\ cdot 25)) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (\\ frac (((4) ^ (3))) (((25) ^ (3 )))) \u003d \\ sqrt (((\\ kiri (\\ frac (4) (25) \\ kanan)) ^ (3))) \u003d \\ frac (4) (25). \\\\ \\ end (sejajar) \\]

Dan sekali lagi, perhatian pada ungkapan kedua. Kami membiak akar padu, hilangkan pecahan perpuluhan dan hasilnya kita masuk ke penyebut produk nombor 625 dan 25. Itu cantik sebilangan besar - secara peribadi, saya tidak akan segera mengira yang sama dengannya.

Oleh itu, kami hanya memilih kubus tepat dalam pengangka dan penyebutnya, dan kemudian menggunakan salah satu sifat utama (atau, jika anda mahu, definisi) dari akar $ n $ -th:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (((a) ^ (2n + 1))) \u003d a; \\\\ & \\ sqrt (((a) ^ (2n))) \u003d \\ kiri | a \\ kanan |. \\\\ \\ end (sejajar) \\]

"Perintis" sedemikian dapat menjimatkan masa anda dalam peperiksaan atau kerja ujianjadi ingatlah:

Jangan terburu-buru untuk memperbanyak nombor dalam ungkapan radikal. Pemeriksaan pertama: bagaimana jika tahap sebenar sebilangan ungkapan "disulitkan" di sana?

Dengan jelasnya ucapan ini, saya harus mengakui bahawa kebanyakan pelajar yang tidak terlatih tidak melihat darjah yang tepat pada jarak dekat. Sebaliknya, mereka melipatgandakan segalanya dengan tepat, dan kemudian bertanya-tanya: mengapa mereka mendapat angka kejam seperti itu? :)

Namun, semua ini kebudak-budakan berbanding dengan apa yang akan kita kaji sekarang.

Pendaraban punca dengan penunjuk yang berbeza

Baiklah, sekarang kita boleh menggandakan akar dengan petunjuk yang sama. Bagaimana jika penunjuknya berbeza? Katakan bagaimana mengalikan $ \\ sqrt (2) $ biasa dengan beberapa omong kosong seperti $ \\ sqrt (23) $? Bolehkah ini dilakukan sama sekali?

Ya, tentu anda boleh. Semuanya dilakukan mengikut formula ini:

Peraturan pendaraban akar. Untuk mengalikan $ \\ sqrt [n] (a) $ dengan $ \\ sqrt [p] (b) $, anda hanya perlu melakukan transformasi berikut:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n))) \\]

Walau bagaimanapun, formula ini hanya berfungsi sekiranya ungkapan radikal tidak negatif... Ini adalah titik yang sangat penting, yang akan kita kembali sedikit kemudian.

Buat masa ini, mari kita lihat beberapa contoh:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (3) \\ cdot \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (((3) ^ (4)) \\ cdot ((2) ^ (3))) \u003d \\ sqrt (81 \\ cdot 8) \u003d \\ sqrt (648); \\\\ & \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (7) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (5)) \\ cdot ((7) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 49) \u003d \\ sqrt (1568); \\\\ & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (4)) \\ cdot ((3) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (625 \\ cdot 9) \u003d \\ sqrt (5625). \\\\ \\ end (sejajar) \\]

Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit. Sekarang mari kita ketahui dari mana kehendak nonegatif, dan apa yang berlaku sekiranya kita melanggarnya. :)

Mengapa ungkapan radikal tidak negatif?

Sudah tentu seseorang boleh menjadi seperti guru sekolah dan bijak memetik tutorial:

Keperluan untuk tidak negatif dikaitkan dengan definisi berbeza bagi akar sama dan ganjil ganjil (masing-masing, domain definisi mereka juga berbeza).

Baik, sudah menjadi lebih jelas? Secara peribadi, ketika saya membaca omong kosong ini di kelas 8, saya menyedari sesuatu seperti ini: "Keperluan untuk tidak negatif dikaitkan dengan * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~%" - ringkasnya, saya tidak memahami apa-apa pada masa itu. :)

Jadi sekarang saya akan menerangkan semuanya dengan cara biasa.

Pertama, mari kita ketahui dari mana formula pendaraban yang diberikan di atas. Untuk melakukan ini, izinkan saya mengingatkan anda tentang satu sifat penting dari akar:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (k))) \\]

Dengan kata lain, kita dapat meningkatkan ekspresi radikal dengan selamat darjah semula jadi $ k $ - dalam kes ini, eksponen akar harus didarabkan dengan daya yang sama. Oleh itu, kita dapat mengurangkan akar dengan mudah menjadi petunjuk biasa, dan kemudian membiak. Oleh itu formula pendaraban diambil:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p))) \\ cdot \\ sqrt (((b) ^ (n))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n))) \\]

Tetapi ada satu masalah yang sangat membatasi penerapan semua formula ini. Pertimbangkan nombor ini:

Mengikut formula yang baru saja diberikan, kita boleh menambah ijazah apa pun. Mari cuba tambah $ k \u003d 2 $:

\\ [\\ sqrt (-5) \u003d \\ sqrt (((\\ kiri (-5 \\ kanan)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (2))) \\]

Kami membuang tolak hanya kerana kotak membakar tolak (seperti kuasa genap lain). Dan sekarang mari kita melakukan transformasi terbalik: kita akan "mengurangkan" keduanya dalam eksponen dan darjah. Lagipun, persamaan apa pun boleh dibaca dari kiri ke kanan dan kanan ke kiri:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt [n] (a) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (k))) \\ Rightarrow \\ sqrt (((a) ^ (k))) \u003d \\ sqrt [n ] (a); \\\\ & \\ sqrt (((a) ^ (k))) \u003d \\ sqrt [n] (a) \\ Rightarrow \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (((5) ^ ( 2))) \u003d \\ sqrt (5). \\\\ \\ end (sejajar) \\]

Tetapi kemudian ternyata semacam omong kosong:

\\ [\\ sqrt (-5) \u003d \\ sqrt (5) \\]

Ini tidak boleh berlaku, kerana $ \\ sqrt (-5) \\ lt 0 $ dan $ \\ sqrt (5) \\ gt 0 $. Ini bermaksud bahawa untuk darjah genap dan nombor negatif, formula kita tidak lagi berfungsi. Selepas itu kami mempunyai dua pilihan:

1. Menendang diri anda untuk menyatakan bahawa matematik adalah sains bodoh, di mana "ada beberapa peraturan, tetapi ini tidak tepat";
2. Memperkenalkan sekatan tambahan di mana formula itu akan berfungsi 100%.

Pada pilihan pertama, kita harus selalu menangkap kes "tidak berfungsi" - sukar, panjang dan secara amnya. Oleh itu, ahli matematik lebih memilih pilihan kedua. :)

Tetapi jangan risau! Dalam praktiknya, batasan ini tidak mempengaruhi pengiraan dengan cara apa pun, kerana semua masalah yang dijelaskan hanya berkaitan dengan akar darjah yang ganjil, dan minus dapat dihilangkan.

Oleh itu, kami akan merumuskan peraturan lain yang berlaku secara umum untuk semua tindakan dengan akar:

Sebelum mengalikan punca, pastikan ungkapan radikalnya tidak negatif.

Contohnya. Dalam angka $ \\ sqrt (-5) $, anda boleh mengeluarkan tolak dari bawah tanda akar - maka semuanya akan baik-baik saja:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (-5) \u003d - \\ sqrt (5) \\ lt 0 \\ Rightarrow \\\\ & \\ sqrt (-5) \u003d - \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d - \\ sqrt (25) \u003d - \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d - \\ sqrt (5) \\ lt 0 \\\\ \\ end (sejajar) \\]

Adakah anda merasakan perbezaannya? Sekiranya anda meninggalkan titik tolak di bawah akar, maka ketika ungkapan radikal kuasa dua, ia akan hilang, dan omong kosong bermula. Dan jika anda mula-mula mengeluarkan tolak, maka anda boleh mendirikan / mengeluarkan alun-alun sebelum bertukar menjadi biru - jumlahnya akan tetap negatif. :)

Oleh itu, yang paling betul dan paling banyak cara yang boleh dipercayai pendaraban akar adalah seperti berikut:

1. Keluarkan semua minus dari bawah radikal. Terdapat hanya kelemahan pada akar keanehan ganjil - ia boleh diletakkan di depan akar dan, jika perlu, dipendekkan (contohnya, jika ada dua kelemahan ini).
2. Lakukan pendaraban mengikut peraturan yang dibincangkan di atas dalam pelajaran hari ini. Sekiranya indeks akarnya sama, kita hanya menggandakan ungkapan radikal. Dan jika ia berbeza, kita menggunakan formula jahat \\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n) )) \\].
3. 3. Kami menikmati keputusan dan nilai yang baik. :)

Baik? Mari berlatih?

Contoh 1. Permudahkan ungkapan:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (48) \\ cdot \\ sqrt (- \\ frac (4) (3)) \u003d \\ sqrt (48) \\ cdot \\ kiri (- \\ sqrt (\\ frac (4) (3 )) \\ kanan) \u003d - \\ sqrt (48) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (4) (3)) \u003d \\\\ & \u003d - \\ sqrt (48 \\ cdot \\ frac (4) (3)) \u003d - \\ \\ end (sejajar) \\]

Ini adalah pilihan paling mudah: indeks akarnya sama dan ganjil, masalahnya hanya pada tolak faktor kedua. Kami mengeluarkan nafig tolak ini, setelah itu semuanya mudah difikirkan.

Contoh 2. Permudahkan ungkapan:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt (4) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (5))) \\ cdot \\ sqrt (((2) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (((\\ kiri ((2) ^ (5)) \\ kanan)) ^ (3)) \\ cdot ((\\ kiri (((2) ^ (2)) \\ kanan)) ^ (4) )) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (((2) ^ (15)) \\ cdot ((2) ^ (8))) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (23))) \\\\ \\ akhir ( sejajar) \\]

Di sini, banyak yang keliru dengan kenyataan bahawa outputnya adalah nombor yang tidak rasional. Ya, ia berlaku: kita tidak dapat menghilangkan akarnya sepenuhnya, tetapi sekurang-kurangnya kita mempermudah ungkapan dengan ketara.

Contoh 3. Permudahkan ungkapan:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (4))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3)) \\ cdot ((\\ kiri ((( a) ^ (4)) \\ kanan)) ^ (6))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3)) \\ cdot ((a) ^ (24))) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt ( ((a) ^ (27))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3 \\ cdot 9))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3))) \\ akhir (sejajar) \\]

Saya ingin menarik perhatian anda kepada tugas ini. Terdapat dua perkara sekaligus:

1. Akarnya bukan nombor atau darjah tertentu, tetapi pemboleh ubah $ a $. Pada pandangan pertama, ini agak tidak biasa, tetapi pada hakikatnya, ketika menyelesaikan masalah matematik, anda selalunya harus berurusan dengan pemboleh ubah.
2. Pada akhirnya, kami berjaya "memotong" eksponen akar dan tahap ekspresi radikal. Perkara ini sering berlaku. Ini bermakna bahawa mungkin dapat mempermudah pengiraan sekiranya anda tidak menggunakan formula asas.

Contohnya, anda boleh melakukan ini:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (4))) \u003d \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((\\ kiri (((a) ^ { 4)) \\ kanan)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (8))) \\\\ & \u003d \\ sqrt (a \\ cdot ((a) ^ ( 8))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (9))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3 \\ cdot 3))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3))) \\ Sebenarnya, semua transformasi dilakukan hanya dengan radikal kedua. Dan jika anda tidak menerangkan secara terperinci semua langkah pertengahan, maka pada akhirnya jumlah pengiraan akan berkurang dengan ketara.

Sebenarnya, kita telah menemui tugas serupa di atas ketika kita menyelesaikan contoh $ \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) $. Sekarang ia dapat dijelaskan dengan lebih mudah:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (4)) \\ cdot ((3) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (( (\\ kiri (((5) ^ (2)) \\ cdot 3 \\ kanan)) ^ (2))) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (((\\ kiri (75 \\ kanan)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (75). \\ end (sejajar) \\]

Baiklah, kita telah mengetahui pendaraban punca. Sekarang mari kita pertimbangkan operasi terbalik: apa yang harus dilakukan apabila produk berada di bawah akar?

Mengambil punca kuadran nombor bukanlah satu-satunya operasi yang dapat dilakukan dengan fenomena matematik ini. Sama seperti nombor biasa, akar kuadrat ditambahkan dan dikurangkan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Peraturan penambahan dan pengurangan bagi punca kuasa dua

Definisi 1

Contoh 1

{!LANG-b0540cd235d7f43dcf31511ea5cd717e!}

Anda boleh menambah atau mengurangkan ungkapan 2 3 dan 6 3tetapi tidak 5 6 dan 9 4. Sekiranya mungkin untuk menyederhanakan ungkapan dan membawanya ke akar dengan nombor radikal yang sama, maka permudahkan, dan kemudian tambah atau tolak.

Aktiviti Berakar: Asasnya

6 50 - 2 8 + 5 12

Algoritma tindakan:

1. Permudahkan ungkapan radikal... Untuk melakukan ini, anda perlu menguraikan ungkapan radikal menjadi 2 faktor, salah satunya adalah nombor persegi (nombor dari mana akar kuasa dua diekstrak, misalnya, 25 atau 9).
2. Kemudian anda perlu mengekstrak punca nombor kuasa dua dan tuliskan nilai yang dihasilkan sebelum tanda akar. Harap maklum bahawa faktor kedua dimasukkan di bawah tanda akar.
3. Selepas proses penyederhanaan, perlu menekankan akar dengan ungkapan radikal yang sama - hanya yang dapat ditambahkan dan dikurangkan.
4. Untuk akar dengan ungkapan radikal yang sama, perlu menambahkan atau mengurangkan faktor yang mendahului tanda akar. Ungkapan radikal tetap tidak berubah. Anda tidak boleh menambah atau mengurangkan nombor radikal!

Petua 1

Sekiranya anda mempunyai contoh dengan sebilangan besar ungkapan radikal yang sama, maka gariskan ungkapan tersebut dengan garis tunggal, dua dan tiga untuk memudahkan proses pengiraan.

Contoh 3

Mari cuba selesaikan contoh ini:

6 50 \u003d 6 (25 × 2) \u003d (6 × 5) 2 \u003d 30 2. Pertama, anda perlu menguraikan 50 menjadi 2 faktor 25 dan 2, kemudian mengekstrak akar 25, iaitu 5, dan mengeluarkan 5 dari bawah akar. Selepas itu, anda perlu mengalikan 5 dengan 6 (faktor pada punca) dan mendapat 30 2.

2 8 \u003d 2 (4 × 2) \u003d (2 × 2) 2 \u003d 4 2. Pertama, anda perlu memfaktorkan 8 menjadi 2 faktor: 4 dan 2. Kemudian keluarkan akar dari 4, yang merupakan 2, dan keluarkan 2 dari bawah akar. Selepas itu, anda perlu mengalikan 2 dengan 2 (faktor pada punca) dan mendapat 4 2.

5 12 \u003d 5 (4 × 3) \u003d (5 × 2) 3 \u003d 10 3. Pertama, anda perlu memfaktorkan 12 menjadi 2 faktor: 4 dan 3. Kemudian cabut akar dari 4, yang merupakan 2, dan keluarkan dari bawah akar. Selepas itu, anda perlu mengalikan 2 dengan 5 (faktor pada punca) dan mendapat 10 3.

Hasil penyederhanaan: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Hasilnya, kami melihat berapa banyak ungkapan radikal yang serupa yang terkandung dalam contoh ini... Sekarang mari kita berlatih dengan contoh lain.

Contoh 4

• Kami mempermudahkan (45). Faktor 45: (45) \u003d (9 × 5);
• Kami mengeluarkan 3 dari bawah akar (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Tambahkan faktor pada punca: 3 5 + 4 5 \u003d 7 5.

Contoh 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Permudahkan 6 40. Faktor 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10);
• Kami mengeluarkan 2 dari bawah akar (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Kami menggandakan faktor di hadapan akar: 12 10;
• Kami menulis ungkapan dalam bentuk ringkas: 12 10 - 3 10 + 5;
• Oleh kerana dua anggota pertama mempunyai nombor radikal yang sama, kita boleh mengurangkannya: (12 - 3) 10 \u003d 9 10 + 5.

Contoh 6

Seperti yang kita lihat, tidak mustahil untuk menyederhanakan nombor radikal, jadi kita mencari anggota dengan nombor radikal yang sama dalam contoh, melakukan operasi matematik (tambah, tolak, dll.) Dan tulis hasilnya:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Petua:

• Sebelum menambah atau mengurangkan, sangat mustahak untuk menyederhanakan (jika mungkin) ungkapan radikal.
• Menambah dan mengurangkan akar dengan ungkapan radikal yang berbeza dilarang sama sekali.
• Bilangan bulat atau akar tidak boleh ditambah atau dikurangkan: 3 + (2 x) 1/2.
• Semasa melakukan tindakan dengan pecahan, anda perlu mencari nombor yang dapat dibahagi oleh setiap penyebut, kemudian mengurangkan pecahan menjadi penyebut biasa, kemudian tambah pembilang dan biarkan penyebutnya tidak berubah.

Sekiranya anda melihat kesalahan dalam teks, pilih dan tekan Ctrl + Enter

Privasi anda penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah mengembangkan Dasar Privasi yang menerangkan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila baca dasar privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang dapat digunakan untuk mengenal pasti orang tertentu atau menghubunginya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa anda menghubungi kami.

Berikut adalah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan maklumat tersebut.

Maklumat peribadi apa yang kami kumpulkan:

• Apabila anda meninggalkan permintaan di laman web ini, kami mungkin mengumpulkan pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda e-mel dan lain-lain.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan melaporkan tawaran unik, promosi dan acara lain dan acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar pemberitahuan dan mesej penting.
• Kami juga dapat menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti melakukan audit, analisis data dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami sediakan dan memberi anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Sekiranya anda mengambil bahagian dalam cabutan hadiah, pertandingan atau acara promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk menguruskan program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Sekiranya perlu - sesuai dengan undang-undang, perintah mahkamah, di percubaan, dan / atau atas dasar permintaan awam atau permintaan dari agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga boleh mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut adalah perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang, atau sebab-sebab penting sosial yang lain.
• Sekiranya penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga yang sesuai - pengganti undang-undang.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pendedahan, perubahan dan pemusnahan yang tidak dibenarkan.

Hormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan bahawa maklumat peribadi anda selamat, kami membawa peraturan kerahsiaan dan keselamatan kepada pekerja kami, dan secara ketat memantau pelaksanaan langkah-langkah kerahsiaan.

Kaedah termudah untuk mengurangkan punca dari nombor adalah dengan kalkulator. Tetapi, jika anda tidak mempunyai kalkulator, anda perlu mengetahui algoritma untuk mengira punca kuasa dua. Faktanya ialah terdapat nombor kuasa dua di bawah akarnya. Sebagai contoh, 4 kuasa dua adalah 16. Maksudnya, punca kuasa dua 16 akan sama dengan empat. Juga, 5 kuasa dua adalah 25. Oleh itu, akar 25 akan menjadi 5. Dan seterusnya.

Sekiranya bilangannya kecil, maka dengan mudah dapat dikurangkan secara lisan, misalnya, akar 25 akan menjadi 5, dan akar 144 adalah 12. Anda juga boleh mengira pada kalkulator, ada ikon root khas, anda perlu memandu dalam nombor dan klik pada ikon.

Jadual akar kuasa dua juga akan membantu:

Terdapat juga cara yang lebih kompleks, tetapi sangat berkesan:

Akar nombor apa pun dapat dikurangkan menggunakan kalkulator, terutama kerana mereka ada di setiap telefon hari ini.

Anda boleh membuat anggaran secara kasar bagaimana nombor ini dapat berubah dengan mengalikan satu nombor dengan sendirinya.



Mengira punca kuasa dua nombor tidak sukar, terutamanya jika anda mempunyai jadual khas. Jadual yang terkenal dari pelajaran aljabar. Operasi ini disebut mengambil punca kuasa dua bagi nombor aquot ;, dengan kata lain, menyelesaikan persamaan. Hampir semua kalkulator dalam telefon pintar mempunyai fungsi menentukan punca kuasa dua.



Hasil pengekstrakan akar kuadrat dari nombor yang diketahui akan menjadi nombor lain, yang, apabila dinaikkan ke kekuatan kedua (persegi), akan memberikan nombor yang sama dengan yang kita tahu. Pertimbangkan salah satu keterangan pengiraan, yang nampaknya pendek dan jelas:







Berikut adalah video yang berkaitan:

Terdapat beberapa cara untuk mengira punca kuasa dua nombor.

Cara yang paling popular adalah menggunakan jadual akar khas (lihat di bawah).

Juga pada setiap kalkulator terdapat fungsi yang membolehkan anda mengetahui akarnya.

Atau menggunakan formula khas.



Terdapat beberapa cara untuk mengekstrak punca kuasa dua nombor. Salah satunya adalah yang terpantas, menggunakan kalkulator.

Tetapi jika tidak ada kalkulator, maka anda boleh melakukannya secara manual.

Hasilnya akan tepat.

Prinsipnya hampir sama dengan pembahagian panjang:



















Mari cuba, tanpa kalkulator, untuk mencari punca kuasa dua nombor, misalnya, 190969.







Oleh itu, semuanya sangat mudah. Dalam pengiraan, perkara utama adalah mematuhi tertentu peraturan mudah dan berfikir secara logik.

Ini memerlukan jadual kuasa dua



Sebagai contoh, punca 100 \u003d 10, daripada 20 \u003d 400 dari 43 \u003d 1849

Sekarang hampir semua kalkulator, termasuk yang ada di telefon pintar, dapat mengira punca kuasa dua nombor. TETAPI jika anda tidak mempunyai kalkulator, anda boleh mencari punca nombor dengan beberapa cara mudah:

Penguraian menjadi faktor utama



Faktor bilangan radikalnya nombor kuasa dua... Bergantung pada nombor akar, anda akan mendapat jawapan anggaran atau tepat. Nombor kuasa dua adalah nombor dari mana akar kuasa dua dapat diekstrak. Faktor nombor yang, apabila didarabkan, berikan nombor asal. Sebagai contoh, faktor 8 adalah 2 dan 4, kerana 2 x 4 \u003d 8, 25, 36, 49 adalah nombor persegi, kerana 25 \u003d 5, 36 \u003d 6, 49 \u003d 7. Faktor kuasa dua adalah faktor yang merupakan nombor persegi ... Pertama, cuba buatkan nombor punca.

Contohnya, kirakan punca kuasa dua 400 (secara manual). Pertama, cuba kuadrat 400. 400 adalah gandaan dari 100, iaitu, dibahagi dengan 25 adalah nombor persegi. Sekiranya anda membahagi 400 dengan 25, anda akan mendapat 16, yang juga merupakan nombor persegi. Oleh itu, 400 boleh difaktorkan menjadi faktor kuasa dua 25 dan 16, iaitu 25 x 16 \u003d 400.

Tuliskan sebagai: 400 \u003d (25 x 16).



Akar kuasa dua produk sebilangan sama dengan produk punca kuasa dua setiap istilah, iaitu (a x b) \u003d a x b. Dengan menggunakan peraturan ini, ambil punca kuasa dua bagi setiap faktor kuasa dua dan kalikan hasilnya untuk mencari jawapan anda.

Dalam contoh kami, ekstrak punca 25 dan 16.



Sekiranya nombor akar tidak terbahagi kepada dua faktor kuasa dua (yang berlaku selalunya), anda tidak akan dapat mencari jawapan yang tepat sebagai bilangan bulat. Tetapi anda boleh mempermudah masalahnya dengan memfaktorkan nombor akar menjadi faktor kuasa dua dan faktor biasa (nombor yang tidak dapat diekstrak seluruh punca kuasa dua). Kemudian anda akan mengambil punca kuasa dua bagi faktor kuasa dua dan anda akan mengambil punca faktor biasa.

Sebagai contoh, hitung punca kuasa dua 147. Nombor 147 tidak boleh difaktorkan menjadi dua faktor kuasa dua, tetapi ia boleh difaktorkan kepada faktor berikut: 49 dan 3. Selesaikan masalahnya seperti berikut:



Sekarang anda boleh mengira nilai akar (cari nilai anggaran) dengan membandingkannya dengan nilai akar kuadrat yang paling dekat (di kedua sisi garis nombor) dengan nombor akar. Anda akan mendapat nilai akar sebagai pecahan perpuluhan, yang mesti didarabkan dengan nombor di belakang tanda akar.

Mari kembali kepada contoh kita. Nombor radikal 3. Nombor petak yang terdekat dengannya ialah nombor 1 (1 \u003d 1) dan 4 (4 \u003d 2). Jadi 3 adalah antara 1 dan 2. Oleh kerana 3 mungkin lebih dekat dengan 2 daripada 1, anggaran kami adalah 3 \u003d 1.7. Kami mengalikan nilai ini dengan nombor pada tanda akar: 7 x 1.7 \u003d 11.9. Sekiranya anda melakukan pengiraan pada kalkulator, anda mendapat 12.13, yang hampir dengan jawapan kami.

Kaedah ini juga berfungsi dengan jumlah yang banyak. Sebagai contoh, pertimbangkan 35. Nombor akar adalah 35. Nombor persegi terdekat adalah 25 (25 \u003d 5) dan 36 (36 \u003d 6). Jadi 35 adalah antara 5 dan 6. Oleh kerana 35 jauh lebih dekat dengan 6 daripada 5 (kerana 35 hanya 1 kurang dari 36), maka kita dapat mengatakan bahawa 35 sedikit kurang dari 6. Memeriksa kalkulator memberi kita jawapan 5.92 - kami betul.



Cara lain adalah dengan memasukkan nombor radikal menjadi faktor utama. Faktor utama nombor yang boleh dibahagi hanya oleh 1 dan diri mereka sendiri. Tuliskan faktor utama berturut-turut dan cari pasangan faktor yang sama. Faktor-faktor tersebut boleh diambil di luar tanda akar.

Sebagai contoh, hitung punca kuasa dua 45. Kami menguraikan nombor radikal menjadi faktor utama: 45 \u003d 9 x 5, dan 9 \u003d 3 x 3. Oleh itu, 45 \u003d (3 x 3 x 5). 3 boleh diambil di luar tanda akar: 45 \u003d 35. Sekarang anda boleh menilai 5.

Pertimbangkan contoh lain: 88.

\u003d (2 x 4 x 11)

\u003d (2 x 2 x 2 x 11). Anda mendapat tiga pengganda 2; ambil beberapa daripadanya dan letakkan di luar tanda akar.

2 (2 x 11) \u003d 22 x 11. Sekarang anda boleh menilai 2 dan 11 dan mencari jawapan yang kasar.

Video tutorial ini mungkin juga berguna:

Untuk mengekstrak punca nombor, anda harus menggunakan kalkulator, atau jika tidak ada yang sesuai, saya menasihati anda untuk pergi ke laman web ini dan menyelesaikan masalah dengan kalkulator dalam talianyang akan memberikan nilai yang betul dalam beberapa saat.

Penambahan dan pengurangan akar adalah salah satu "batu sandungan" yang paling biasa bagi mereka yang mengikuti kursus matematik (aljabar) di sekolah menengah. Walau bagaimanapun, sangat penting untuk belajar bagaimana menambahkan dan mengurangkannya dengan betul, kerana contoh untuk jumlah atau perbezaan akar dimasukkan dalam program Ujian Negeri Bersatu asas dalam disiplin "matematik".

Untuk menguasai penyelesaian contoh-contoh tersebut, dua perkara perlu - untuk memahami peraturan, dan juga untuk mengembangkan amalan. Setelah menyelesaikan satu atau dua lusin contoh tipikal, pelajar akan membawa kemahiran ini ke automatisme, dan kemudian dia tidak perlu takut pada peperiksaan. Sebaiknya mulailah menguasai operasi aritmetik dengan tambahan, kerana menambahkannya sedikit lebih mudah daripada mengurangkannya.

Kaedah termudah untuk menjelaskannya adalah dengan contoh punca kuasa dua. Dalam matematik, terdapat istilah "persegi" yang mapan. "To square" bermaksud menggandakan nombor tertentu dengan sendirinya... Contohnya, jika anda mengkuadrat 2, anda akan mendapat 4. Jika anda berada pada petak 7, anda mendapat 49. Petak 9 adalah 81. Jadi, punca kuasa dua 4 adalah 2, dari 49 adalah 7, dan 81 adalah 9.

Sebagai peraturan, mempelajari topik ini dalam matematik bermula dengan punca kuasa dua. Untuk segera menentukannya, seorang pelajar sekolah menengah mesti mengetahui jadual pendaraban dengan hati. Mereka yang tidak pasti jadual ini harus menggunakan petunjuk. Biasanya proses mengekstrak punca kuasa dua dari nombor diberikan dalam bentuk jadual di sampul buku nota matematik sekolah.

Akar adalah dari jenis berikut:

• segi empat sama;
• padu (atau yang disebut darjah ketiga);
• darjah empat;
• darjah lima.

Peraturan penambahan

Agar berjaya diselesaikan contoh khas, harus diingat bahawa tidak semua nombor root boleh disusun antara satu sama lain... Untuk dilipat, mereka mesti dibawa ke corak yang sama. Sekiranya ini tidak dapat dilakukan, maka masalah itu tidak ada jalan penyelesaiannya. Masalah seperti itu juga sering dijumpai dalam buku teks matematik sebagai sejenis perangkap bagi pelajar.

Penambahan tidak dibenarkan dalam tugas apabila ungkapan radikal berbeza antara satu sama lain. Ini dapat digambarkan dengan contoh ilustrasi:

• pelajar berhadapan dengan tugas: tambahkan punca kuasa dua 4 dan 9;
• pelajar yang tidak berpengalaman yang tidak mengetahui peraturan biasanya menulis: "root of 4 + root of 9 \u003d root of 13".
• sangat mudah untuk membuktikan bahawa penyelesaian ini salah. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari punca kuasa dua 13 dan periksa apakah contohnya diselesaikan dengan betul;
• dengan menggunakan mikrokalkulator, anda dapat menentukan bahawa kira-kira 3.6. Sekarang masih perlu memeriksa penyelesaiannya;
• punca 4 \u003d 2, dan 9 \u003d 3;
• Jumlah nombor "dua" dan "tiga" adalah lima. Oleh itu, algoritma penyelesaian ini boleh dianggap tidak betul.

Sekiranya akarnya sama tetapi berbeza ungkapan berangka, ia diletakkan di luar kurungan, dan jumlah dua ungkapan radikal... Oleh itu, ia sudah diambil dari jumlah ini.

Algoritma penambahan

Untuk membuat keputusan yang tepat tugas paling mudah, perlu:

1. Tentukan apa yang sebenarnya memerlukan penambahan.
2. Ketahui apakah mungkin untuk menambah nilai antara satu sama lain, berpandukan peraturan yang ada dalam matematik.
3. Sekiranya ia tidak dapat dilipat, anda perlu mengubahnya supaya dapat dilipat.
4. Setelah melakukan semua transformasi yang diperlukan, perlu melakukan penambahan dan menuliskan jawapan yang telah selesai. Penambahan boleh dilakukan di kepala atau menggunakan kalkulator mikro, bergantung pada kerumitan contohnya.

Apakah akar yang serupa

Untuk menyelesaikan contoh penambahan dengan betul, anda mesti memikirkan bagaimana anda dapat mempermudahnya. Untuk melakukan ini, anda perlu mempunyai pengetahuan asas mengenai persamaan itu.

Keupayaan untuk mengenal pasti yang serupa membantu menyelesaikan contoh penambahan yang serupa dengan cepat, menjadikannya dalam bentuk yang dipermudahkan. Untuk mempermudah contoh penambahan biasa, anda memerlukan:

1. Cari yang serupa dan pilih menjadi satu kumpulan (atau beberapa kumpulan).
2. Tulis semula contoh yang ada sedemikian rupa sehingga akar yang mempunyai penunjuk yang sama berjalan dengan jelas satu demi satu (ini disebut "pengelompokan").
3. Seterusnya, anda harus menulis semula ungkapan itu lagi, kali ini dengan cara yang serupa (yang mempunyai penunjuk yang sama dan nombor radikal yang sama) juga saling mengikuti.

Selepas itu, contoh ringkas biasanya mudah diselesaikan.

Untuk menyelesaikan salah satu contoh penambahan, perlu memahami dengan jelas peraturan asas penambahan, dan juga untuk mengetahui apa itu akar dan apa sebenarnya.

Kadang-kadang tugas seperti ini kelihatan sangat sukar pada pandangan pertama, tetapi biasanya ia mudah diselesaikan dengan mengelompokkan tugas yang serupa. Perkara yang paling penting adalah latihan, dan kemudian pelajar akan mula "mengklik masalah seperti kacang." Penambahan akar adalah salah satu bidang matematik yang paling penting, oleh itu guru harus meluangkan masa yang cukup untuk mempelajarinya.

Video

Video ini akan membantu anda memahami persamaan dengan punca kuasa dua.