Peringkat pertama

Persamaan kuadratik. Panduan yang lengkap (2019)

Dari segi " persamaan kuadratik"Kuncinya adalah perkataan" persegi ". Ini bermakna bahawa pembolehubah mesti hadir dalam persamaan (yang sama IX) di dataran, dan tidak ada ICS di peringkat ketiga (dan lebih besar).

Penyelesaian banyak persamaan dikurangkan untuk menyelesaikan persamaan tepat persegi.

Mari belajar bagaimana untuk menentukan bahawa kita mempunyai persamaan persegi, dan bukan yang lain.

Contoh 1.

Setiap ahli persamaan pada penyebut dan dominariti akan menyingkirkan

Kami memindahkan semua B. bahagian kiri. dan tempat ahli dalam urutan menurun iKsa

Sekarang anda boleh mengatakan dengan yakin bahawa persamaan ini adalah persegi!

Contoh 2.

Bahagian kiri domestik dan kanan pada:

Persamaan ini, walaupun pada asalnya di dalamnya, bukan persegi!

Contoh 3.

Menguasai semua:

Menakutkan? Ijazah keempat dan kedua ... Walau bagaimanapun, jika kita menggantikan, maka kita akan melihat bahawa kita mempunyai persamaan persegi yang sederhana:

Contoh 4.

Nampaknya, tetapi mari kita lihat dengan penuh perhatian. Kami memindahkan segala-galanya ke kiri:

Lihat, menurun - dan sekarang ia adalah persamaan linear yang mudah!

Sekarang cuba untuk menentukan mana-mana persamaan berikut adalah persegi, dan yang tidak:

Contoh:

Jawapan:

1. persegi;
2. persegi;
3. bukan persegi;
4. bukan persegi;
5. bukan persegi;
6. persegi;
7. bukan persegi;
8. persegi.

Matematik secara konvensional membahagikan semua persamaan persegi pada jenis:

• Persamaan penuh persegi. - Persamaan di mana koefisien dan, serta ahli percuma tidak sama dengan sifar (seperti dalam contoh). Di samping itu, di antara persamaan penuh persegi memperuntukkan dibentangkan - Ini adalah persamaan di mana pekali (persamaan dari contoh seseorang bukan sahaja lengkap, tetapi juga diberikan!)

• Persamaan persegi tidak lengkap - Persamaan di mana pekali dan ahli percuma adalah sifar:

  Tidak lengkap, kerana mereka tidak mempunyai beberapa jenis item. Tetapi persamaan harus selalu hadir di dataran !!! Jika tidak, ia tidak akan menjadi persegi, tetapi persamaan lain.

Kenapa awak datang dengan pembahagian sedemikian? Nampaknya ada x di dataran, dan okay. Bahagian sedemikian adalah disebabkan oleh kaedah penyelesaian. Pertimbangkan setiap daripada mereka dengan lebih terperinci.

Keputusan persamaan persegi yang tidak lengkap

Untuk memulakan, kami akan berhenti untuk menyelesaikan persamaan persegi yang tidak lengkap - mereka lebih mudah!

Persamaan persegi tidak lengkap adalah jenis:

1. Dalam persamaan ini, pekali adalah sama.
2. Dalam persamaan ini, ahli percuma adalah sama.
3. Dalam persamaan ini, pekali dan ahli percuma adalah sama.

1. Dan. Seperti yang kita tahu bagaimana untuk mengekstrak punca kuasa duaKemudian mari kita nyatakan dari persamaan ini

Ungkapan ini boleh menjadi negatif dan positif. Nombor yang didirikan ke dalam persegi tidak boleh negatif, kerana dengan mendarabkan dua negatif atau dua nombor positif - hasilnya akan menjadi nombor positif, supaya jika, persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

Dan jika anda mendapat dua akar. Formula ini tidak perlu menghafal. Perkara utama yang perlu anda ketahui dan ingat selalu bahawa ia mungkin tidak kurang.

Mari cuba selesaikan beberapa contoh.

Contoh 5:

Memutuskan persamaan

Sekarang ia tetap dikeluarkan dari sebelah kiri dan kanan. Lagipun, adakah anda masih ingat bagaimana untuk mengekstrak akar?

Jawab:

Jangan lupa tentang akar dengan tanda negatif !!!

Contoh 6:

Memutuskan persamaan

Jawab:

Contoh 7:

Memutuskan persamaan

Oh! Persegi nombor itu tidak boleh menjadi negatif, yang bermaksud persamaan

tiada akar!

Untuk persamaan sedemikian di mana tidak ada akar, matematik datang dengan ikon khas - (set kosong). Dan jawapannya boleh ditulis sebagai:

Jawab:

Oleh itu, persamaan persegi ini mempunyai dua akar. Tiada sekatan di sini, kerana kami tidak mengeluarkan akar.
Contoh 8:

Memutuskan persamaan

Saya akan meringkaskan kurungan:

Dengan cara ini,

Persamaan ini mempunyai dua akar.

Jawab:

Jenis yang paling mudah persamaan persegi tidak lengkap (walaupun semuanya mudah, kan?). Jelas sekali, persamaan ini selalu hanya mempunyai satu akar:

Di sini kita akan lakukan tanpa contoh.

Menyelesaikan persamaan persegi penuh

Kami mengingatkan anda bahawa persamaan penuh persegi adalah persamaan persamaan di mana

Penyelesaian persamaan persegi lengkap adalah sedikit lebih rumit (sangat sedikit) daripada yang di atas.

Ingat, mana-mana persamaan persegi boleh diselesaikan dengan bantuan diskriminasi! Bahkan tidak lengkap.

Selebihnya cara akan membantu menjadikannya lebih cepat, tetapi jika anda mempunyai masalah dengan persamaan persegi, untuk memulakan, penyelesaiannya dipanggil dengan bantuan diskriminasi.

1. Penyelesaian persamaan persegi dengan bantuan diskriminasi.

Penyelesaian persamaan persegi dengan cara ini sangat mudah, perkara utama adalah untuk mengingati urutan tindakan dan beberapa formula.

Jika, persamaan telah berakar perhatian istimewa Mengambil langkah. Diskriminasi () menunjukkan kepada kita pada bilangan akar persamaan.

• Jika, maka formula dikurangkan kepada. Oleh itu, persamaan akan mempunyai keseluruhan akar.
• Jika, kita tidak akan dapat mengeluarkan akar dari diskriminasi dalam langkah. Ini menunjukkan bahawa persamaan tidak mempunyai akar.

Mari kita kembali ke persamaan kita dan pertimbangkan beberapa contoh.

Contoh 9:

Memutuskan persamaan

Langkah 1 Kami melangkau.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Jadi persamaan mempunyai dua akar.

Langkah 3.

Jawab:

Contoh 10:

Memutuskan persamaan

Persamaan dibentangkan dalam bentuk standard, jadi Langkah 1 Kami melangkau.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Jadi persamaan mempunyai satu akar.

Jawab:

Contoh 11:

Memutuskan persamaan

Persamaan dibentangkan dalam bentuk standard, jadi Langkah 1 Kami melangkau.

Langkah 2.

Kami mendapati diskriminasi:

Ia tidak akan dapat mengeluarkan akar dari diskriminasi. Akar persamaan tidak wujud.

Sekarang kita tahu bagaimana menulis jawapan sedemikian dengan betul.

Jawab:Tiada akarnya

2. Penyelesaian persamaan persegi menggunakan teorem Vieta.

Jika anda masih ingat, iaitu, sejenis persamaan yang dipanggil dibentangkan (apabila pekali a adalah sama dengan):

Persamaan sedemikian sangat mudah untuk diselesaikan menggunakan teorem Vieta:

Jumlah akar ditentukan Persamaan persegi adalah sama, dan produk akar adalah sama.

Contoh 12:

Memutuskan persamaan

Persamaan ini sesuai untuk menyelesaikan menggunakan teorem Vieta, kerana .

Jumlah akar persamaan adalah sama, iaitu. Kami mendapat persamaan pertama:

Dan kerja itu adalah:

Kami juga akan menentukan sistem:

• dan. Jumlahnya sama;
• dan. Jumlahnya sama;
• dan. Jumlahnya sama.

dan penyelesaian sistem:

Jawab: ; .

Contoh 13:

Memutuskan persamaan

Jawab:

Contoh 14:

Memutuskan persamaan

Persamaan diberikan, dan oleh itu:

Jawab:

Persamaan kuadratik. Tahap purata

Apakah persamaan persegi?

Dalam erti kata lain, persamaan persegi adalah persamaan spesies di mana yang tidak diketahui adalah beberapa nombor, dan.

Nombor itu dipanggil Elder atau pekali pertama persamaan persegi - pekali kedua, tetapi - ahli percuma.

Kenapa? Kerana jika persamaan segera menjadi linear, kerana hilang.

Pada masa yang sama, dan boleh menjadi sifar. Dalam bangku ini, persamaan dipanggil tidak lengkap. Sekiranya semua komponen berada di tempat, iaitu persamaan selesai.

Penyelesaian pelbagai jenis persamaan persegi

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan persegi yang tidak lengkap:

Untuk memulakan, kami akan menganalisis kaedah penyelesaian persamaan persegi yang tidak lengkap - mereka lebih mudah.

Anda boleh memilih jenis persamaan sedemikian:

I., dalam persamaan ini, pekali dan ahli percuma adalah sama.

Ii. Dalam persamaan ini, pekali adalah sama.

Iii. Dalam persamaan ini, ahli percuma adalah sama.

Sekarang pertimbangkan penyelesaian setiap subtipe ini.

Jelas sekali, persamaan ini selalu hanya mempunyai satu akar:

Nombor yang didirikan ke dalam persegi tidak boleh menjadi negatif, kerana dengan mendarabkan dua negatif atau dua nombor positif, hasilnya akan menjadi nombor positif. Oleh itu:

jika, persamaan tidak mempunyai penyelesaian;

jika kita telah belajar dua akar

Formula ini tidak perlu menghafal. Perkara utama yang perlu diingat bahawa ia mungkin tidak kurang.

Contoh:

Penyelesaian:

Jawab:

Jangan lupa tentang akar dengan tanda negatif!

Persegi nombor itu tidak boleh menjadi negatif, yang bermaksud persamaan

tiada akar.

Untuk merakamkan secara ringkas bahawa tugas itu tidak mempunyai penyelesaian, gunakan ikon set kosong.

Jawab:

Jadi, persamaan ini mempunyai dua akar: dan.

Jawab:

Saya akan meringkaskan kilang untuk kurungan:

Produk ini sifar, jika sekurang-kurangnya satu daripada pengganda adalah sifar. Ini bermakna persamaan mempunyai penyelesaian apabila:

Jadi, persamaan persegi ini mempunyai dua akar: dan.

Contoh:

Memutuskan persamaan.

Keputusan:

Sebarkan bahagian kiri persamaan kilang dan cari akar:

Jawab:

Kaedah menyelesaikan persamaan persegi penuh:

1. Diskriminasi.

Menyelesaikan persamaan persegi dengan cara ini mudah, perkara utama adalah untuk mengingati urutan tindakan dan beberapa formula. Ingat, mana-mana persamaan persegi dapat diselesaikan dengan bantuan diskriminasi! Bahkan tidak lengkap.

Adakah anda melihat akar dari diskriminasi dalam formula akar? Tetapi diskriminasi mungkin negatif. Apa nak buat? Kita perlu memberi perhatian khusus kepada langkah 2. Diskriminasi menunjukkan kita pada bilangan akar persamaan.

• Jika, persamaan mempunyai akar:
• Jika, persamaan mempunyai akar yang sama, dan sebenarnya, satu akar:

  Akar seperti dipanggil dua kali.

• Jika, akar diskriminasi tidak dikeluarkan. Ini menunjukkan bahawa persamaan tidak mempunyai akar.

Kenapa mungkin. nombor Pelbagai akar? Mari kita beralih kepada makna geometri persamaan persegi. Grafik fungsi adalah parabola:

Dalam kes tertentu, yang merupakan persamaan persegi. Dan ini bermakna bahawa akar persamaan persegi adalah titik persimpangan dengan paksi abscissa (paksi). Parabola tidak boleh menyeberangi paksi sama sekali, atau menyeberanginya dalam satu (apabila bahagian atas parabola terletak pada paksi) atau dua mata.

Di samping itu, pekali bertanggungjawab untuk arah cawangan Parabola. Jika, cawangan Parabola diarahkan ke atas, dan jika ia turun.

Contoh:

Penyelesaian:

Jawab:

Jawab:.

Jawab:

Jadi, tidak ada penyelesaian.

Jawab:.

2. Vieta Teorem.

Teorem Vieta sangat mudah digunakan: anda hanya perlu mengambil beberapa nombor seperti itu, produk yang sama dengan ahli persamaan yang bebas, dan jumlahnya adalah pekali kedua yang diambil dengan tanda yang bertentangan.

Adalah penting untuk diingat bahawa teorem Vieta hanya boleh digunakan mengurangkan persamaan persegi ().

Pertimbangkan beberapa contoh:

Contoh Nombor 1:

Memutuskan persamaan.

Keputusan:

Persamaan ini sesuai untuk menyelesaikan menggunakan teorem Vieta, kerana . Koefisien yang tinggal:; .

Jumlah akar persamaan adalah:

Dan kerja itu adalah:

Kami akan memilih pasangan nombor sedemikian, produk yang sama, dan semak sama ada jumlahnya adalah sama:

• dan. Jumlahnya sama;
• dan. Jumlahnya sama;
• dan. Jumlahnya sama.

dan penyelesaian sistem:

Oleh itu, akar persamaan kita.

Jawab:; .

Contoh Nombor 2:

Keputusan:

Kami akan memilih pasangan nombor yang diberikan dalam kerja, dan kemudian periksa sama ada jumlah mereka adalah sama:

dan: dalam jumlah yang mereka berikan.

dan: dalam jumlah yang mereka berikan. Untuk mendapatkan cukup hanya untuk mengubah tanda-tanda akar yang dikatakan: dan, kerana kerja.

Jawab:

Contoh Nombor 3:

Keputusan:

Ahli persamaan bebas adalah negatif, dan oleh itu produk akar - nombor negatif. Ini hanya mungkin jika salah satu daripada akar negatif, dan yang lain adalah positif. Oleh itu, jumlah akar adalah sama perbezaan modul mereka.

Kami akan memilih pasangan nombor yang diberikan dalam kerja, dan perbezaan yang sama dengan:

dan: perbezaan mereka adalah sama - tidak sesuai;

dan: - Tidak sesuai;

dan: - Tidak sesuai;

dan: - Sesuai. Ia tetap hanya untuk mengingati bahawa salah satu akar adalah negatif. Oleh kerana jumlah mereka harus sama, maka negatif harus menjadi modul akar yang lebih kecil :. Semak:

Jawab:

Contoh Nombor 4:

Memutuskan persamaan.

Keputusan:

Persamaan diberikan, dan oleh itu:

Ahli percuma adalah negatif, dan oleh itu produk akar adalah negatif. Dan ini hanya mungkin apabila satu akar persamaan adalah negatif, dan yang lain adalah positif.

Kami akan memilih pasangan nombor sedemikian, produk yang sama, dan kemudian kita menentukan akar yang harus mempunyai tanda negatif:

Jelas sekali, hanya akar yang sesuai untuk keadaan pertama dan:

Jawab:

Contoh Nombor 5:

Memutuskan persamaan.

Keputusan:

Persamaan diberikan, dan oleh itu:

Jumlah akar adalah negatif, yang bermaksud bahawa sekurang-kurangnya salah satu akar adalah negatif. Tetapi kerana kerja mereka positif, ini bermakna kedua-dua akar dengan tanda minus.

Kami akan memilih pasangan nombor sedemikian, produk yang adalah:

Jelas sekali, akar adalah nombor dan.

Jawab:

Setuju, ia sangat mudah - untuk mencipta akar secara lisan, bukannya mempertimbangkan diskriminasi jahat ini. Cuba gunakan teorem Vieta sebanyak mungkin.

Tetapi Theorem Vieta diperlukan untuk memudahkan dan mempercepatkan penemuan akar. Untuk membantu anda menggunakannya, anda mesti membawa tindakan kepada automatisme. Dan untuk ini, fitnah lebih banyak contoh. Tetapi bukan penskalaan: diskriminasi tidak boleh digunakan! Hanya teorem Vieta:

Penyelesaian Tugas untuk Kerja Bebas:

Tugas 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Pada Theorem Vieta:

Seperti biasa, kita memulakan pemilihan kerja:

Tidak sesuai kerana jumlahnya;

: Jumlah - apa yang anda perlukan.

Jawab:; .

Tugas 2.

Dan sekali lagi, teorem Vieta kegemaran kami: dalam jumlahnya harus berubah, dan kerja itu sama.

Tetapi kerana ia tidak sepatutnya, tetapi, mengubah tanda-tanda akar: dan (dalam jumlah).

Jawab:; .

Tugas 3.

Hmm ... dan di manakah apa?

Ia adalah perlu untuk memindahkan semua syarat dalam satu bahagian:

Jumlah akar adalah sama, kerja.

Jadi, berhenti! Persamaan tidak diberikan. Tetapi Theorem Vieta hanya terpakai dalam persamaan di atas. Jadi pertama kali anda perlu membawa persamaan. Jika anda tidak berfungsi, buang idea ini dan tentukan dengan cara yang berbeza (contohnya, melalui diskriminasi). Biar saya mengingatkan anda bahawa membawa persamaan persegi - ia bermakna untuk membuat pekali kanan untuk:

Sangat baik. Kemudian jumlah akar adalah sama, dan kerja.

Di sini adalah lebih mudah untuk mengambil mudah: Lagipun, nombor mudah (maaf untuk tautologi).

Jawab:; .

Tugas 4.

Ahli percuma adalah negatif. Apa yang istimewa dalam hal ini? Dan hakikat bahawa akar akan menjadi tanda yang berbeza. Dan sekarang semasa pemilihan, kita tidak memeriksa jumlah akar, tetapi perbezaan antara modul mereka: perbezaan ini sama, dan kerja.

Jadi, akar adalah sama dan, tetapi salah seorang daripada mereka dengan minus. Teorem Vieta memberitahu kita bahawa jumlah akar adalah sama dengan pekali kedua dengan tanda yang bertentangan, iaitu. Jadi minus akan menjadi akar yang lebih kecil: dan, sejak.

Jawab:; .

Tugas 5.

Apa yang perlu dilakukan terlebih dahulu? Betul, bawa persamaan:

Sekali lagi: kami memilih pengganda nombor, dan perbezaan mereka harus sama:

Akar adalah sama dan, tetapi salah seorang daripada mereka dengan minus. Apa? Jumlah mereka harus sama, ini bermakna bahawa minus akan menjadi akar yang lebih besar.

Jawab:; .

Saya akan merumuskan:

1. Vieta Teorem hanya digunakan dalam persamaan persegi yang diberikan.
2. Menggunakan Theorem Vieta anda boleh mencari akar dengan pemilihan, secara lisan.
3. Sekiranya persamaan tidak diberikan atau tidak ada pasangan pengganda yang sesuai dengan ahli percuma, yang bermaksud tidak ada akar keseluruhan, dan perlu menyelesaikan kaedah lain (contohnya, melalui diskriminasi).

3. Kaedah peruntukan dataran penuh

Sekiranya semua syarat yang terdiri daripada yang tidak diketahui, untuk membentangkan dalam bentuk komponen pendaraban disingkat jumlah jumlah atau perbezaan, maka setelah menggantikan pembolehubah, persamaan dalam bentuk persamaan persegi persegi yang tidak lengkap boleh diwakili .

Sebagai contoh:

Contoh 1:

Memutuskan persamaan :.

Keputusan:

Jawab:

Contoh 2:

Memutuskan persamaan :.

Keputusan:

Jawab:

Di dalam am Transformasi akan kelihatan seperti ini:

Ini membayangkan :.

Tiada apa-apa yang mengingatkan? Ini adalah diskriminasi! Itu sahaja, formula yang diskriminasi dan mendapat.

Persamaan kuadratik. Secara ringkas mengenai perkara utama

Persamaan kuadratik.- Ini adalah persamaan spesies, di mana - yang tidak diketahui, - koefisien persamaan persegi, adalah ahli percuma.

Persamaan persegi penuh - Persamaan di mana pekali tidak sama dengan sifar.

Persamaan persegi yang dikurangkan - Persamaan di mana pekali, iaitu :.

Persamaan persegi tidak lengkap - Persamaan di mana pekali dan ahli percuma adalah sifar:

• jika pekali, persamaan adalah:,
• jika ahli percuma, persamaan mempunyai bentuk:,
• jika, persamaan ini mempunyai bentuk :.

1. Algoritma Menyelesaikan persamaan persegi yang tidak lengkap

1.1. Persamaan persegi yang tidak lengkap dari spesies di mana,

1) menyatakan yang tidak diketahui:

2) Memeriksa tanda ungkapan:

• jika, persamaan tidak mempunyai penyelesaian,
• jika, persamaan mempunyai dua akar.

1.2. Persamaan persegi yang tidak lengkap dari spesies di mana,

1) Saya akan meringkaskan kilang untuk kurungan:

2) Produk adalah sifar, jika sekurang-kurangnya satu daripada pengganda adalah sifar. Oleh itu, persamaan mempunyai dua akar:

1.3. Persamaan persegi persegi spesies yang tidak lengkap, di mana:

Persamaan ini selalu hanya mempunyai satu akar :.

2. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan persegi penuh spesies di mana

2.1. Penyelesaian dengan bantuan diskriminasi

1) Kami memberi persamaan kepada bentuk standard:,

2) Kirakan diskriminasi mengikut formula: yang menunjukkan bilangan akar persamaan:

3) Cari akar persamaan:

• jika, persamaan mempunyai akar yang ada dalam formula:
• jika, persamaan mempunyai akar, yang oleh formula:
• jika, persamaan tidak mempunyai akar.

2.2. Penyelesaian menggunakan teorem vieta

Jumlah akar persamaan persegi yang dikurangkan (persamaan bentuk, di mana) adalah sama, dan produk akar adalah sama, iaitu. , tetapi.

2.3. Menyelesaikan kaedah peruntukan persegi penuh

2.5 formula vieta untuk polinomial (persamaan) darjah yang lebih tinggi

Formula yang diperolehi oleh kerudung untuk persamaan persegi adalah benar untuk polinomial darjah tertinggi.

Biarkan polinomial itu

P (x) \u003d a 0 x n + a 1 x n -1 + ... + a n

Ia mempunyai akar yang berbeza x 1, x 2 ..., x n.

Dalam kes ini, dia mempunyai penguraian faktor-faktor jenis:

a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n \u003d a 0 (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n)

Kami berpecah kedua-dua bahagian kesamaan ini pada 0 ≠ 0 dan akan dibuka di bahagian pertama pendakap. Kami mendapat kesaksamaan:

xn + () xn -1 + ... + () \u003d xn - (x 1 + x 2 + ... + xn) xn -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + xn -1 xn) xn - 2 + ... + (- 1) nx 1 x 2 ... xn

Tetapi dua polinomial identik sama dengan itu dan hanya dalam kes apabila pekali bersamaan dengan darjah yang sama. Dari sini ia mengikuti persamaan yang dilakukan

x 1 + X 2 + ... + X N \u003d -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n \u003d

x 1 x 2 ... x n \u003d (-1) n

Sebagai contoh, untuk polinomial ijazah ketiga

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Kami mempunyai identiti

x 1 + x 2 + x 3 \u003d -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 \u003d

x 1 x 2 x 3 \u003d -

Bagi persamaan persegi, formula ini dipanggil formula Vieta. Bahagian kiri formula ini adalah polinomial simetri dari akar x 1, x 2 ..., x n persamaan ini, dan bahagian yang betul dinyatakan melalui pekali polinomial.

2.6 persamaan dikurangkan ke persegi (Biquadant)

Persamaan ijazah keempat dikurangkan kepada persamaan persegi:

kapak 4 + bx 2 + c \u003d 0,

dipanggil Biquetric, dan, dan ≠ 0.

Cukup dimasukkan ke dalam persamaan ini x 2 \u003d Y, oleh itu,

ay² + oleh + C \u003d 0

cari akar persamaan persegi yang dihasilkan

y 1,2 \u003d.

Untuk mencari akar segera x 1, x 2, x 3, x 4, ganti y ke x dan dapatkan

x² \u003d

x 1,2,3,4 \u003d. .

Jika persamaan ijazah keempat mempunyai x 1, maka akar x 2 \u003d -X 1,

Jika ia mempunyai x 3, maka x 4 \u003d - x 3. Jumlah akar persamaan sedemikian adalah sifar.

2x 4 - 9x² + 4 \u003d 0

Kami menggantikan persamaan dalam formula akar persamaan biquetratric:

x 1,2,3,4 \u003d. ,

mengetahui bahawa x 1 \u003d s 2, dan x 3 \u003d -h 4, maka:

x 3,4 \u003d.

Jawab: X 1.2 \u003d ± 2; x 1.2 \u003d.

2.7 Kajian Persamaan Biquette

Ambil persamaan Biquette

kapak 4 + bx 2 + c \u003d 0,

di mana A, B, C adalah idea-idea, dan A\u003e 0. Suntikan a Bantuan yang tidak diketahui Y \u003d X², kami menyiasat akar persamaan ini, dan hasilnya akan membawa masuk meja (lihat Lampiran No. 1)

2.8 Formula Cardano.

Jika anda menggunakan simbol moden, maka output formula Cardano mungkin mempunyai jenis ini:

x \u003d

Formula ini mentakrifkan akar persamaan umum tahap ijazah:

aX 3 + 3BX 2 + 3CX + D \u003d 0.

Formula ini sangat rumit dan rumit (ia mengandungi beberapa radikal yang kompleks). Ia tidak selalu digunakan, kerana Sangat sukar untuk dipenuhi.

F ¢ (xo) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Senaraikan atau pilih dari 2-3 teks tempat yang paling menarik. Oleh itu, kami mempertimbangkan peruntukan umum untuk penciptaan dan kelakuan kursus elektif, yang akan diambil kira apabila membangunkan kursus elektif di algebra untuk gred 9 "persamaan persegi dan ketidaksamaan dengan parameter". BAB II. Kaedah-kaedah yang menjalankan kursus elektrik "persamaan persegi dan ketidaksamaan dengan parameter" 1.1. General ...

Penyelesaian dari kaedah pengiraan berangka. Untuk menentukan akar persamaan, pengetahuan tentang teori-teori kumpulan Abel, Galois, Lee, dan sebagainya. Dan penggunaan istilah matematik khas adalah penggunaan istilah matematik khas: cincin, bidang, cita-cita, isomorfisme, dll. Untuk menyelesaikan persamaan algebra - pada dasarnya, hanya keupayaan untuk menyelesaikan persamaan persegi dan mengekstrak akar dari nombor bersepadu. Akar boleh ditakrifkan dengan ...

Dengan unit pengukuran kuantiti fizikal dalam sistem MathCAD? 11. Huraikan blok teks, grafik dan matematik secara terperinci. Nombor kuliah 2. Tugas-tugas algebra linear dan penyelesaian persamaan pembezaan dalam persekitaran Mathcad dalam masalah algebra linear praktikal terdapat keperluan untuk melakukan pelbagai operasi dengan matriks. Panel pengendali dengan matriks adalah pada panel matematik. ...

Kata-kata dan bukti teorem Vieta untuk persamaan persegi. Reverse Vieta Teorem. Vieta Teorem untuk persamaan kubik dan persamaan pesanan sewenang-wenangnya.

Persamaan kuadratik.

Vieta Teorem.

Biarkan dan menandakan akar persamaan persegi yang ditentukan
(1) .
Kemudian jumlah akar adalah sama dengan pekali dengan tanda bertentangan. Produk akar adalah ahli percuma:
;
.

Nota pada pelbagai akar

Sekiranya diskriminasi persamaan (1) adalah sifar, persamaan ini mempunyai satu akar. Tetapi untuk mengelakkan kata-kata yang besar, dipercayai bahawa dalam kes ini, persamaan (1) mempunyai dua berganda, atau sama, akar:
.

Bukti pertama

Cari akar persamaan (1). Untuk melakukan ini, gunakan formula untuk akar persamaan persegi:
;
;
.

Kami mendapati jumlah akar:
.

Untuk mencari kerja, gunakan formula:
.
Kemudian

.

Teorem dibuktikan.

Bukti kedua.

Jika nombor adalah akar persamaan persegi (1), maka
.
Mendedahkan kurungan.

.
Oleh itu, persamaan (1) akan mengambil bentuk:
.
Membandingkan dengan (1) kita dapati:
;
.

Teorem dibuktikan.

Reverse Vieta Teorem.

Biarkan terdapat nombor sewenang-wenangnya. Maka adalah akar persamaan persegi
,
Di mana sahaja
(2) ;
(3) .

Bukti Teorem Vieta Reverse

Pertimbangkan persamaan persegi
(1) .
Kita perlu membuktikan bahawa jika kedua-duanya adalah akar persamaan (1).

Pengganti (2) dan (3) dalam (1):
.
Mengumpul ahli bahagian kiri persamaan:
;
;
(4) .

Gantikan dalam (4):
;
.

Gantikan dalam (4):
;
.
Persamaan dilakukan. Iaitu, bilangannya adalah akar persamaan (1).

Teorem dibuktikan.

Vieta Teorem untuk persamaan persegi lengkap

Sekarang pertimbangkan persamaan persegi lengkap
(5) ,
Di mana, dan terdapat beberapa nombor. Dan.

Kami membahagikan persamaan (5) pada:
.
Iaitu, kami memperoleh persamaan yang sama
,
di mana; .

Kemudian teorem Vieta untuk persamaan persegi lengkap mempunyai bentuk berikut.

Biarkan dan menandakan akar persamaan persegi lengkap
.
Kemudian jumlah dan produk akar ditentukan oleh formula:
;
.

Vieta Teorem untuk Persamaan Cubic

Begitu juga, kita boleh mewujudkan hubungan antara akar persamaan kubik. Pertimbangkan persamaan padu
(6) ,
Di mana ,,, Terdapat beberapa nombor. Dan.
Kami membahagikan persamaan ini:
(7) ,
di mana,
Biarkan, menjadi akar persamaan (7) (dan persamaan (6)). Kemudian

.

Bandingkan dengan persamaan (7) Kami mendapati:
;
;
.

Vieta Teorem untuk persamaan darjah N-th

Dengan cara yang sama, anda boleh mencari sambungan antara akar ,, ..., untuk persamaan darjah N-th
.

Theorem Vieta untuk persamaan darjah N-th mempunyai bentuk berikut:
;
;
;

.

Untuk mendapatkan formula ini, kami menulis persamaan dalam bentuk berikut:
.
Kemudian kami menyamakan koefisien apabila ,, ..., dan bandingkan ahli percuma.

Rujukan:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, buku rujukan mengenai matematik untuk jurutera dan pelajar para atendan, "LAN", 2009.
Cm. Nikolsky, Mk. Potapov et al., Algebra: Tutorial untuk Gred 8 Institusi Pendidikan Am, Moscow, Pencerahan, 2006.

Dalam matematik terdapat teknik khas yang mana banyak persamaan persegi diselesaikan dengan cepat dan tanpa sebarang diskriminasi. Selain itu, dengan latihan yang betul, ramai yang mula menyelesaikan persamaan persegi secara lisan, secara literal "pada pandangan pertama."

Malangnya, dalam bidang matematik sekolah moden, teknologi sedemikian hampir tidak dipelajari. Dan anda perlu tahu! Dan hari ini kita akan melihat salah satu teknik ini - Vieta Teorem. Untuk memulakan, kami memperkenalkan definisi baru.

Persamaan persegi bentuk X 2 + BX + C \u003d 0 dipanggil di atas. Nota: Pekali pada x 2 adalah 1. Tiada sekatan lain ke atas pekali tidak ditapis.

1. x 2 + 7x + 12 \u003d 0 adalah persamaan persegi yang diberikan;
2. x 2 - 5x + 6 \u003d 0 - Juga diberikan;
3. 2x 2 - 6x + 8 \u003d 0 - Tetapi ini bukan Nifiga, kerana pekali di X 2 ialah 2.

Sudah tentu, mana-mana persamaan persegi jenis kapak 2 + bx + c \u003d 0 boleh dibuat diberikan - sudah cukup untuk membahagikan semua koefisien kepada nombor a. Kita boleh melakukannya, kerana ia mengikuti definisi persamaan persegi, yang ≠ 0.

Benar, tidak selalu transformasi ini berguna untuk mencari akar. Hanya di bawah, kami pastikan bahawa ia hanya perlu apabila di dataran akhir persamaan semua pekali akan menjadi integer. Dalam pada itu, pertimbangkan contoh yang paling mudah:

Tugas. Tukar persamaan persegi ke atas:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0;
2. -4x 2 + 32x + 16 \u003d 0;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0.

Kami membahagikan setiap persamaan pada pekali dengan pembolehubah x 2. Kita mendapatkan:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - dibahagikan dengan semua oleh 3;
2. -4x 2 + 32x + 16 \u003d 0 ⇒ x 2 - 8x - 4 \u003d 0 - dibahagikan kepada -4;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - dibahagikan dengan 1.5, semua koefisien menjadi integer;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - dibahagikan dengan 2. Dalam kes ini, pekali fraksional timbul.

Seperti yang anda lihat, persamaan persegi yang dibentangkan mungkin mempunyai seluruh koefisien walaupun persamaan awal mengandungi pecahan.

Sekarang kita merumuskan teorem utama yang, sebenarnya, konsep persamaan persegi yang diberikan diperkenalkan:

Vieta Teorem. Pertimbangkan persamaan persegi yang diberikan dari bentuk X 2 + BX + C \u003d 0. Katakan bahawa persamaan ini mempunyai akar yang sah x 1 dan x 2. Dalam kes ini, pernyataan berikut adalah benar:

1. x 1 + x 2 \u003d -b. Dalam erti kata lain, jumlah akar persamaan persegi sekarang adalah sama dengan pekali dengan pembolehubah x, diambil dengan tanda yang bertentangan;
2. x 1 · x 2 \u003d c. Produk akar persamaan persegi adalah sama dengan pekali bebas.

Contoh. Untuk kesederhanaan, kami akan mempertimbangkan hanya persamaan persegi di atas yang tidak memerlukan transformasi tambahan:

1. x 2 - 9x + 20 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d - (-9) \u003d 9; x 1 · x 2 \u003d 20; akar: x 1 \u003d 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d -2; x 1 · x 2 \u003d -15; akar: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d -5; x 1 · x 2 \u003d 4; akar: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Vieta Teorem memberikan kami maklumat tambahan mengenai akar persamaan persegi. Pada pandangan pertama, ini mungkin kelihatan sukar, tetapi walaupun dengan latihan minimum, anda akan belajar untuk "melihat" akar dan secara harfiah meneka mereka dalam beberapa saat.

Tugas. Selesaikan persamaan persegi:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 \u003d 0;
4. -7x 2 + 77x - 210 \u003d 0.

Mari kita cuba menulis koefisien pada teorem Vieta dan "meneka" akarnya:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0 adalah persamaan persegi yang diberikan.
   Oleh teorem, kita ada: x 1 + x 2 \u003d - (- 9) \u003d 9; x 1 · x 2 \u003d 14. Adalah mudah untuk melihat bahawa akar adalah nombor 2 dan 7;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0 - Juga diberikan.
   Oleh teorem Vieta: x 1 + x 2 \u003d - (- 12) \u003d 12; x 1 · x 2 \u003d 27. Oleh itu akar: 3 dan 9;
3. 3x 2 + 33X + 30 \u003d 0 - Persamaan ini tidak diberikan. Tetapi kita akan membetulkannya sekarang, membahagikan kedua-dua belah persamaan kepada pekali a \u003d 3. kita memperoleh: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Kami membuat keputusan mengenai Teorem Veetore: X 1 + X 2 \u003d -11; x 1 · x 2 \u003d 10 ⇒ akar: -10 dan -1;
4. -7x 2 + 77x - 210 \u003d 0 - sekali lagi pekali pada x 2 tidak sama dengan 1, iaitu. Persamaan tidak diberikan. Kami membahagikan segala-galanya kepada nombor A \u003d -7. Kami memperoleh: X 2 - 11X + 30 \u003d 0.
   Oleh teorem vieta: x 1 + x 2 \u003d - (- 11) \u003d 11; x 1 · x 2 \u003d 30; Daripada persamaan ini, mudah untuk meneka akar: 5 dan 6.

Dari alasan di atas, dilihat bagaimana teorema Vieta memudahkan penyelesaian persamaan persegi. Tiada pengiraan kompaun, tiada akar dan pecahan aritmetik. Dan juga diskriminasi (lihat pelajaran "penyelesaian persamaan persegi") yang kita tidak perlukan.

Sudah tentu, dalam semua refleksi, kami meneruskan dari dua anggapan penting, yang, secara umumnya bercakap, tidak selalu dilakukan dalam tugas sebenar:

1. Persamaan persegi diberikan, iaitu. Pekali di X 2 ialah 1;
2. Persamaan mempunyai dua akar yang berbeza. Dari sudut pandangan algebra, dalam hal ini diskriminasi d\u003e 0 - sebenarnya, kita pada mulanya menganggap bahawa ketidaksamaan ini adalah benar.

Walau bagaimanapun, dalam tugas matematik yang tipikal, syarat-syarat ini dilakukan. Jika, akibat daripada pengiraan, ia ternyata persamaan persegi "buruk" (pekali pada x 2 adalah berbeza dari 1), mudah untuk memperbaiki - melihat contoh-contoh pada permulaan pelajaran. Mengenai akar di semua senyap: Apakah tugas ini di mana tidak ada jawapan? Sudah tentu, akarnya akan.

Dengan cara ini, skim umum Penyelesaian persamaan persegi pada teorem Vieta kelihatan seperti ini:

1. Mengurangkan persamaan persegi kepada yang diberikan jika ia belum dilakukan dalam keadaan masalah;
2. Sekiranya pekali dalam persamaan persegi yang ditentukan ternyata fraksional, selesaikan melalui diskriminasi. Anda juga boleh kembali ke persamaan awal untuk bekerja dengan lebih banyak nombor "mudah";
3. Dalam kes koefisien integer, kami menyelesaikan persamaan pada teorem Vieta;
4. Sekiranya dalam masa beberapa saat ia tidak berjaya meneka akar, menjaringkan teorem Vieta dan menyelesaikan melalui diskriminasi.

Tugas. Tentukan persamaan: 5x 2 - 35x + 50 \u003d 0.

Jadi, di hadapan kita, persamaan yang tidak diberikan, kerana Pekali A \u003d 5. Kami membahagikan semua dengan 5, kami memperoleh: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Semua koefisien persamaan persegi adalah integer - kami akan cuba menentukan teorem Vieta. Kami ada: x 1 + x 2 \u003d - (- 7) \u003d 7; x 1 · x 2 \u003d 10. Dalam kes ini, akarnya ditebak dengan mudah - ini adalah 2 dan 5. Ia tidak perlu dikira melalui diskriminasi.

Tugas. Tentukan persamaan: -5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0.

Kami melihat: -5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0 - Persamaan ini tidak diberikan, kami membahagikan kedua-dua pihak kepada pekali A \u003d -5. Kami memperoleh: X 2 - 1.6x + 0.48 \u003d 0 - Persamaan dengan pekali fraksional.

Adalah lebih baik untuk kembali ke persamaan awal dan mengira melalui diskriminasi: -5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0 ⇒ D \u003d 8 2 - 4 · (-5) · (-2.4) \u003d 16 ⇒ ... ⇒ x 1 \u003d 1.2; x 2 \u003d 0.4.

Tugas. Selesaikan persamaan: 2x 2 + 10x - 600 \u003d 0.

Untuk memulakan, kami membahagikan segala-galanya kepada pekali a \u003d 2. Ia ternyata persamaan x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Ini adalah persamaan yang dikurangkan, di Vieta Teorem, kita ada: X 1 + X 2 \u003d -5; x 1 · x 2 \u003d -300. Tebak akar persamaan persegi dalam kes ini adalah sukar - secara peribadi, saya serius "digantung" apabila saya menyelesaikan tugas ini.

Kita perlu mencari akar melalui diskriminasi: D \u003d 5 2 - 4 · 1 · (-300) \u003d 1225 \u003d 35 2. Sekiranya anda tidak ingat akar dari diskriminasi, saya hanya perhatikan bahawa 1225: 25 \u003d 49. Oleh itu, 1225 \u003d 25 · 49 \u003d 5 2 · 7 2 \u003d 35 2.

Sekarang bahawa akar yang diskriminasi diketahui, persamaan tidak akan diselesaikan. Kami memperoleh: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Teorem Vieta (lebih tepat, teorem, teorem terbalik Vieta) mengurangkan masa untuk menyelesaikan persamaan persegi. Hanya perlu untuk menggunakannya. Bagaimana untuk belajar menyelesaikan persamaan persegi pada teorem Vieta? Ia mudah, jika kita masak sedikit.

Sekarang kita hanya akan bercakap tentang penyelesaian pada teorem Vieta persamaan persegi sekarang. Persamaan persegi yang dihantar adalah persamaan di mana A, iaitu, pekali di hadapan X² adalah sama dengan satu. Anda juga tidak boleh menyelesaikan persamaan persegi pada teorem Vieta, tetapi sudah ada sekurang-kurangnya salah satu akar bukanlah integer. Lebih sukar untuk meneka.

Teorem, teorem terbalik Vieta, berkata: Jika nombor x1 dan x2 adalah sedemikian rupa

kemudian x1 dan x2 - akar persamaan persegi

Apabila menyelesaikan persamaan persegi di teorem, Vieta hanya mungkin 4 pilihan. Sekiranya anda mengingati perjalanan, mencari keseluruhan akar boleh dipelajari dengan cepat.

I. Jika Q adalah nombor positif,

ini bermakna bahawa akar X1 dan X2 adalah bilangan tanda yang sama (kerana hanya pendaraban nombor dengan tanda yang sama adalah nombor positif).

I.a. Jika -p adalah nombor positif, (masing-masing, p<0), то оба корня x1 и x2 — nombor positif (Kerana bilangan satu tanda dilipat dan menerima nombor positif).

I.B. Jika -p adalah nombor negatif, (masing-masing, p\u003e 0), maka kedua-dua akar adalah nombor negatif (terdapat nombor satu tanda, nombor negatif diperoleh).

Ii. Jika Q adalah nombor negatif,

ini bermakna bahawa akar X1 dan X2 mempunyai tanda-tanda yang berbeza (dengan pendaraban nombor nombor negatif diperoleh hanya dalam kes apabila terdapat tanda-tanda yang berbeza dari pengganda). Dalam kes ini, X1 + X2 tidak lagi jumlahnya, tetapi dengan perbezaan (kerana apabila menambah nombor dengan tanda yang berbeza. Kami akan memotong kurang daripada modul yang lebih kecil). Oleh itu, X1 + X2 menunjukkan berapa banyak akar x1 dan x2 yang berbeza, iaitu, berapa banyak akar yang lebih besar daripada yang lain (oleh modul).

Ii.a. Jika -p adalah nombor positif, (I.E. P.<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.B. Jika -p adalah nombor negatif, (P\u003e 0), akar (modul) yang lebih besar adalah nombor negatif.

Pertimbangkan penyelesaian persamaan persegi pada teorem Vieta mengenai contoh-contoh.

Selesaikan persamaan persegi yang dikurangkan pada Theorem Vieta:

Di sini q \u003d 12\u003e 0, jadi akar x1 dan x2 adalah nombor satu tanda. Jumlah mereka adalah -p \u003d 7\u003e 0, jadi kedua-dua akar adalah nombor positif. Kami memilih bilangan integer yang produknya 12. Ini adalah 1 dan 12, 2 dan 6, 3 dan 4. Jumlahnya adalah 7 dalam pasangan 3 dan 4. Jadi, 3 dan 4 adalah akar persamaan.

Di dalam contoh ini Q \u003d 16\u003e 0, ini bermakna bahawa akar adalah x1 dan x2 - bilangan satu tanda. Jumlah mereka adalah -p \u003d -10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Di sini q \u003d -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, jumlah yang lebih panjang adalah positif. Jadi, akarnya adalah 5 dan -3.

q \u003d -36.<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.