Gelar digunakan untuk memudahkan notasi mendarabkan nombor dengan sendirinya. Sebagai contoh, bukannya menulis, anda boleh menulis   4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5))  (penjelasan mengenai peralihan sedemikian diberikan di bahagian pertama artikel ini). Darjah memudahkan untuk menulis ekspresi atau persamaan panjang atau kompleks; darjah juga mudah untuk menambah dan tolak, yang menyederhanakan ungkapan atau persamaan (mis.   4 2 * 4 3 \u003d 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (2) * 4 ^ (3) \u003d 4 ^ (5))).

Nota:  jika anda perlu menyelesaikan persamaan eksponen (dalam persamaan seperti yang tidak diketahui adalah dalam eksponen), baca.

Langkah-langkah

Menyelesaikan masalah mudah dengan darjah

  Majukan asas ijazah dengan sendirinya dengan bilangan kali yang sama dengan eksponen.  Jika anda perlu menyelesaikan masalah dengan darjah secara manual, tulis semula ijazah dalam bentuk operasi pendaraban, di mana asas ijazahnya didarab dengan sendirinya. Sebagai contoh, ijazah diberikan.   3 4 (\\ displaystyle 3 ^ (4)). Dalam kes ini, asas ijazah 3 mesti didarab dengan sendirinya 4 kali:   3 * 3 * 3 * 3 (\\ displaystyle 3 * 3 * 3 * 3). Berikut adalah contoh lain:

  Pertama, kalikan dua nombor pertama.  Contohnya   4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5)) =   4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\\ displaystyle 4 * 4 * 4 * 4 * 4). Jangan bimbang - proses pengiraan tidak begitu rumit kerana sepertinya pada pandangan pertama. Pertama kalikan dua dua pertama, dan kemudian gantikannya dengan hasilnya. Seperti ini:

•   4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  •   4 * 4 \u003d 16 (\\ displaystyle 4 * 4 \u003d 16)

1.   Majukan hasilnya (dalam contoh kita 16) dengan nombor seterusnya. Setiap keputusan seterusnya akan meningkat secara berkadaran. Dalam contoh kami, kalikan 16 hingga 4. Seperti ini:

   •   4 5 \u003d 16 * 4 * 4 * 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 16 * 4 * 4 * 4)
     •   16 * 4 \u003d 64 (\\ displaystyle 16 * 4 \u003d 64)
   •   4 5 \u003d 64 * 4 * 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 64 * 4 * 4)
     •   64 * 4 \u003d 256 (\\ displaystyle 64 * 4 \u003d 256)
   •   4 5 \u003d 256 * 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 256 * 4)
     •   256 * 4 \u003d 1024 (\\ displaystyle 256 * 4 \u003d 1024)
   • Teruskan melipatgandakan hasil mengalikan dua nombor pertama dengan nombor seterusnya sehingga anda mendapat jawapan akhir. Untuk melakukan ini, kalikan dua nombor pertama, dan kemudian kalikan hasilnya dengan nombor seterusnya dalam urutan. Kaedah ini sah untuk sebarang ijazah. Dalam contoh kami, anda perlu mendapatkan:   4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024) .

2.   Selesaikan tugas-tugas berikut.  Semak jawapan dengan kalkulator.

   •   8 2 (\\ displaystyle 8 ^ (2))
   •   3 4 (\\ displaystyle 3 ^ (4))
   •   10 7 (\\ displaystyle 10 ^ (7))

3.   Pada kalkulator, cari kunci berlabel "exp", atau "   x n (\\ displaystyle x ^ (n))", Atau" ^ ".  Dengan kekunci ini, anda akan meningkatkan jumlahnya kepada kuasa. Ia hampir mustahil untuk mengira ijazah dengan eksponen besar secara manual (contohnya, ijazah   9 15 (\\ displaystyle 9 ^ (15))), tetapi kalkulator dapat dengan mudah menangani tugas ini. Dalam Windows 7, kalkulator standard boleh ditukar kepada mod kejuruteraan; Untuk melakukan ini, klik "Lihat" -\u003e "Kejuruteraan". Untuk bertukar ke mod biasa, klik "Lihat" -\u003e "Normal".

   • Semak respons menggunakan mesin carian (Google atau Yandex). Menggunakan kekunci "^" pada papan kekunci komputer, masukkan ungkapan dalam enjin carian, yang dengan serta-merta memaparkan jawapan yang betul (dan, mungkin, menawarkan ungkapan yang sama untuk kajian).

   Penambahan, penolakan, pendaraban darjah

   1.   Menambah dan menolak darjah hanya mungkin jika mereka mempunyai yayasan yang sama.  Jika anda perlu menambah darjah dengan pangkalan dan eksponen yang sama, maka anda boleh menggantikan operasi tambahan dengan operasi pendaraban. Sebagai contoh, ungkapan itu   4 5 + 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5)). Ingat bahawa ijazah   4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5))  boleh diwakili sebagai   1 * 4 5 (\\ displaystyle 1 * 4 ^ (5)); dengan cara ini   4 5 + 4 5 \u003d 1 * 4 5 + 1 * 4 5 \u003d 2 * 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 2 * 4 ^ (5)) (di mana 1 +1 \u003d 2). Iaitu, hitung bilangan darjah yang sama, dan kemudian darabkan ijazah dan nombor ini. Dalam contoh kami, angkat 4 kepada kuasa kelima, dan kemudian kalikan hasilnya dengan 2. Ingatlah bahawa operasi tambahan boleh digantikan dengan operasi pendaraban, contohnya,   3 + 3 \u003d 2 * 3 (\\ displaystyle 3 + 3 \u003d 2 * 3). Berikut adalah contoh lain:

      •   3 2 + 3 2 \u003d 2 * 3 2 (\\ displaystyle 3 ^ (2) + 3 ^ (2) \u003d 2 * 3 ^ (2))
      •   4 5 + 4 5 + 4 5 \u003d 3 * 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 3 * 4 ^ (5))
      •   4 5 - 4 5 + 2 \u003d 2 (\\ displaystyle 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 \u003d 2)
      •   4 x 2 - 2 x 2 \u003d 2 x 2 (\\ displaystyle 4x ^ (2) -2x ^ (2) \u003d 2x ^ (2))

   2.   Apabila mendarabkan darjah dengan asas yang sama, penunjuk mereka menambah (pangkalan tidak berubah).  Sebagai contoh, ungkapan itu   x 2 * x 5 (\\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5)). Dalam kes ini, anda hanya perlu menambah petunjuk, meninggalkan pangkalan tidak berubah. Dengan cara ini   x 2 * x 5 \u003d x 7 (\\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5) \u003d x ^ (7)). Berikut penjelasan yang jelas mengenai peraturan ini:

        Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, penunjuk akan didarab.  Sebagai contoh, ijazah diberikan. Oleh sebab eksponen berlipat ganda, maka   (x 2) 5 \u003d x 2 * 5 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2 * 5) \u003d x ^ (10)). Titik peraturan ini ialah anda melipatgandakan tahap   (x 2) (\\ displaystyle (x ^ (2)))  kepada dirinya sendiri lima kali. Seperti ini:

      •   (x 2) 5 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5))
      •   (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ 2) * x ^ (2) * x ^ (2))
      • Oleh kerana asasnya adalah sama, eksponen hanya menambah:   (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) \u003d x ^ (10))

   3.   Tahap negatif harus ditukar kepada pecahan (songsang).  Tidak kira jika anda tidak tahu apa gelaran terbalik. Sekiranya anda diberi ijazah dengan penunjuk negatif, sebagai contoh,   3 - 2 (\\ displaystyle 3 ^ (- 2)), tulis ijazah ini dalam penyebut pecahan (masukkan 1 dalam pengangka), dan buatkan penunjuk positif. Dalam contoh kami:   1 3 2 (\\ displaystyle (\\ frac (1) (3 ^ (2)))). Berikut adalah contoh lain:

        Apabila membahagikan darjah dengan pangkalan yang sama, penunjuk mereka dikurangkan (asasnya tidak berubah pada masa yang sama).  Operasi bahagian adalah bertentangan dengan operasi pendaraban. Sebagai contoh, ungkapan itu   4 4 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2)))). Kurangkan eksponen dalam penyebut dari eksponen dalam pengangka (jangan ubah asas). Dengan cara ini   4 4 4 2 \u003d 4 4 - 2 \u003d 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))) \u003d 4 ^ (4-2) \u003d 4 ^ (2)) = 16 .

      • Tahap dalam penyebut boleh ditulis seperti berikut: 1 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (1) (4 ^ (2)))) =   4 - 2 (\\ displaystyle 4 ^ (- 2)). Ingatlah bahawa fraksi adalah nombor (darjah, ungkapan) dengan eksponen negatif.

   4.   Berikut adalah beberapa ungkapan yang akan membantu anda mengetahui cara menyelesaikan masalah dengan darjah.  Ungkapan-ungkapan di atas merangkumi bahan yang dibentangkan dalam bahagian ini. Untuk melihat jawapan, pilih ruang kosong selepas tanda yang sama.

   Menyelesaikan masalah dengan eksponen pecahan

     Tahap dengan eksponen pecahan (contohnya) ditukar kepada operasi pengekstrakan akar.  Dalam contoh kami:   x 1 2 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (2))) =   x (\\ displaystyle (\\ sqrt (x))). Tidak kira berapa angka di dalam penyebut pecahan fraksional. Contohnya   x 1 4 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (4)))  - ini adalah akar dari gelaran keempat dari "x", iaitu   x 4 (\\ displaystyle (\\ sqrt [(4)] (x))) .

   1. Sekiranya eksponen adalah pecahan tidak betul, maka ijazah sedemikian boleh diuraikan kepada dua darjah untuk memudahkan penyelesaian masalah tersebut. Tidak ada yang rumit tentang hal itu - hanya ingat peraturan mendaratkan darjah. Sebagai contoh, ijazah diberikan. Arahkan derajat itu ke akar yang darjahnya akan sama dengan penyebut penunjuk fraksional, dan kemudian angkat akar ini pada tahap yang sama dengan pengangka penunjuk fraksional. Untuk melakukan ini, ingatlah itu   5 3 (\\ displaystyle (\\ frac (5) (3))) =   (1 3) * 5 (\\ displaystyle ((\\ frac (1) (3))) * 5). Dalam contoh kami:

      •   x 5 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (5) (3)))
      •   x 1 3 \u003d x 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (3)) \u003d (\\ sqrt [(3)] (x)))
      •   x 5 3 \u003d x 5 * x 1 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (5) (3)) \u003d x ^ (5) * x ^ (\\ frac (1) (3))) =   (x 3) 5 (\\ displaystyle ((\\ sqrt [(3)] (x))) ^ (5))
   2. Pada beberapa kalkulator terdapat butang untuk mengira darjah (pertama anda perlu memasukkan pangkalan, kemudian tekan butang, dan kemudian masukkan penunjuk). Ia dilambangkan sebagai ^ atau x ^ y.
   3. Ingat bahawa mana-mana nombor dalam ijazah pertama bersamaan dengan dirinya sendiri, sebagai contoh,   4 1 \u003d 4. (\\ displaystyle 4 ^ (1) \u003d 4.)  Tambahan pula, mana-mana nombor yang didarabkan atau dibahagikan oleh satu sama dengan dirinya sendiri, sebagai contoh,   5 * 1 \u003d 5 (\\ displaystyle 5 * 1 \u003d 5)  dan   5/1 \u003d 5 (\\ displaystyle 5/1 \u003d 5).
   4. Tahu bahawa ijazah 0 0 tidak wujud (ijazah tidak mempunyai penyelesaian). Jika anda cuba untuk menyelesaikan ijazah sedemikian pada kalkulator atau di komputer, anda akan mendapat ralat. Tetapi ingat bahawa mana-mana nombor kepada kuasa sifar ialah 1, contohnya,   4 0 \u003d 1. (\\ displaystyle 4 ^ (0) \u003d 1.)
   5. Dalam matematik yang lebih tinggi, yang beroperasi dengan nombor imajiner:   e a i x \u003d c o s a x + i s i n a x (\\ displaystyle e ^ (a) ix \u003d cosax + isinax)di mana   i \u003d (- 1) (\\ displaystyle i \u003d (\\ sqrt (()) - 1)); e adalah tetap kira-kira sama dengan 2.7; a adalah pemalar sewenang-wenangnya. Bukti kesamaan ini boleh didapati dalam mana-mana buku teks matematik yang lebih tinggi.

   Amaran

   • Dengan peningkatan eksponen, nilainya meningkat dengan ketara. Oleh itu, jika jawapannya salah kepada anda, sebenarnya ia mungkin benar. Anda boleh mengesahkannya dengan merancang fungsi eksponen, contohnya, 2 x.

Meningkat ke tahap negatif adalah salah satu unsur asas matematik, yang sering dijumpai dalam menyelesaikan masalah algebra. Lihat di bawah untuk arahan terperinci.

Bagaimana untuk meningkatkan ke tahap negatif - teori

Apabila kita nombor dalam kuasa biasa, kita melipatgandakan nilainya beberapa kali. Contohnya, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Dengan pecahan negatif, sebaliknya adalah benar. Pandangan umum mengikut formula akan mempunyai bentuk berikut: a -n \u003d 1 / a n. Oleh itu, untuk menaikkan nombor ke tahap negatif, anda perlu membahagikan unit dengan nombor tertentu, tetapi dalam tahap yang positif.

Bagaimana untuk meningkatkan ke tahap negatif - contoh-contoh nombor biasa

Mengingat peraturan di atas dalam minda, mari kita selesaikan beberapa contoh.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
  Jawapan: 4 -2 \u003d 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
  Jawapannya ialah -4 -2 \u003d 1/16.

Tetapi mengapa jawapan dalam contoh pertama dan kedua sama? Hakikatnya ialah apabila nombor negatif dinaikkan kepada kuasa yang sama (2, 4, 6, dan lain-lain), tanda menjadi positif. Jika ijazahnya adalah sama, maka tolaknya akan kekal:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Bagaimana untuk meningkatkan ke tahap negatif - nombor dari 0 hingga 1

Ingat bahawa apabila menaikkan nombor dalam julat dari 0 hingga 1 kepada tahap positif, nilai berkurangan dengan peningkatan tahap. Jadi sebagai contoh, 0.5 2 \u003d 0.25. 0.25

Contoh 3: Kira 0.5 -2
  Penyelesaian: 0.5 -2 \u003d 1/1/2 -2 \u003d 1/1/4 \u003d 1 × 4/1 \u003d 4.
  Jawab: 0.5 -2 \u003d 4

Analisis (urutan tindakan):

• Kami menterjemahkan pecahan perpuluhan 0.5 ke dalam pecahan 1/2. Ini lebih mudah.
    Naikkan 1/2 ke tahap negatif. 1 / (2) -2. Bahagikan 1 by 1 / (2) 2, kita dapat 1 / (1/2) 2 \u003d\u003e 1/1/4 \u003d 4

Contoh 4: Kira 0.5 -3
  Penyelesaian: 0.5 -3 \u003d (1/2) -3 \u003d 1 / (1/2) 3 \u003d 1 / (1/8) \u003d 8

Contoh 5: Kira -0.5 -3
  Penyelesaian: -0.5 -3 \u003d (-1/2) -3 \u003d 1 / (- 1/2) 3 \u003d 1 / (- 1/8) \u003d -8
  Jawapan: -0.5 -3 \u003d -8

Berdasarkan contoh keempat dan ke-5, kami membuat beberapa kesimpulan:

• Untuk nombor positif dalam julat dari 0 hingga 1 (Contoh 4), dinaikkan kepada tahap negatif, kesamaan atau kelebihan darjah tidak penting, nilai ungkapan akan positif. Dalam kes ini, semakin besar tahap, semakin besar nilai.
• Untuk nombor negatif dalam julat dari 0 hingga 1 (Contoh 5), dinaikkan ke tahap negatif, kesamaan atau kelebihan darjah tidak penting, nilai ungkapan akan negatif. Tambahan pula, semakin tinggi tahap, semakin rendah nilai.

Bagaimana untuk meningkatkan ke tahap negatif - ijazah dalam bentuk nombor pecahan

Ungkapan jenis ini mempunyai bentuk sebagai berikut: a -m / n, dimana bilangannya adalah bilangan biasa, m adalah pengkuasa ijazah, n adalah penyebut gelar.

Pertimbangkan satu contoh:
  Kira: 8 -1/3

Penyelesaian (urutan tindakan):

• Kami masih ingat peraturan menaikkan nombor ke tahap negatif. Kami mendapat: 8 -1/3 \u003d 1 / (8) 1/3.
• Perhatikan dalam penyebut nombor 8 adalah kuasa pecahan. Bentuk umum untuk mengira ijazah pecahan adalah seperti berikut: a / n \u003d n √8 m.
• Oleh itu, 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (3 √8 1). Kami mendapat akar kubus lapan, iaitu 2. Berdasarkan ini, 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (1/2) \u003d 2.
• Jawab: 8 -1/3 \u003d 2

Dari sekolah, kita semua tahu aturan eksponensi: mana-mana nombor dengan indeks N adalah sama dengan hasil mengalikan nombor ini dengan sendirinya Nombor N kali. Dalam erti kata lain, 7 kepada kuasa 3 ialah 7 kali tiga kali, iaitu 343. Peraturan lain adalah bahawa menaikkan nilai apa pun kepada kuasa 0 memberikan satu, dan menaikkan nilai negatif adalah hasil dari peningkatan yang biasa kepada kuasa, dan keputusan yang sama dengan tanda tolak jika ia ganjil.

Kaedah-kaedah juga memberikan jawapan tentang bagaimana untuk meningkatkan bilangan ke tahap negatif. Untuk melakukan ini, anda perlu mendirikan nilai yang dikehendaki dengan cara biasa oleh modul penunjuk, dan kemudian bagilah unit dengan hasilnya.

Dari peraturan ini, jelaslah bahawa pelaksanaan tugas-tugas nyata dengan jumlah yang besar akan memerlukan ketersediaan sarana teknis. Secara manual ia akan bertukar dengan melipatgandakan jumlah maksimum nombor hingga dua puluh tiga puluh, dan kemudian tidak lebih dari tiga atau empat kali. Ini bukanlah fakta yang kemudiannya unit dibahagikan kepada hasilnya. Oleh itu, bagi mereka yang tidak mempunyai kalkulator kejuruteraan khas, kami akan memberitahu anda bagaimana untuk meningkatkan bilangan kepada kuasa negatif dalam Excel.

Penyelesaian Masalah dalam Excel

Untuk menyelesaikan masalah dengan kecemerlangan, Excel membolehkan anda menggunakan salah satu daripada dua pilihan.

Yang pertama ialah penggunaan formula dengan lambang cap standard. Masukkan data berikut ke sel-sel lembaran kerja:

Dengan cara yang sama, anda boleh menaikkan nilai yang dikehendaki kepada sebarang ijazah - negatif, pecahan. Kami melakukan langkah-langkah berikut dan menjawab persoalan bagaimana untuk meningkatkan bilangan ke tahap negatif. Satu contoh:

Anda boleh terus membetulkan \u003d B2 ^ -C2 dalam formula.

Pilihan kedua ialah menggunakan fungsi siap sedia "Ijazah", yang mengambil dua hujah yang diperlukan - nombor dan penunjuk. Untuk mula menggunakannya, cukup untuk meletakkan tanda yang sama (\u003d) dalam mana-mana sel kosong, menunjukkan permulaan formula, dan masukkan kata-kata di atas. Ia kekal untuk memilih dua sel yang akan mengambil bahagian dalam operasi (atau nyatakan nombor tertentu secara manual), dan tekan kekunci Enter. Mari kita lihat beberapa contoh mudah.

Seperti yang anda dapat lihat, tidak ada yang rumit dalam menaikkan nombor kepada kuasa negatif dan kepada yang biasa menggunakan Excel. Memang, untuk menyelesaikan masalah ini, anda boleh menggunakan kedua-dua simbol "topi" biasa dan fungsi program terbina dalam yang mudah dikenang. Ini adalah tambahan yang pasti!

Mari kita beralih kepada contoh yang lebih rumit. Marilah kita mengingati peraturan tentang cara menaikkan angka kepada kuasa negatif dari pecahan pecahan, dan lihat bahawa tugas ini sangat mudah diselesaikan dalam Excel.

Petunjuk pecahan

Pendek kata, algoritma untuk mengira nombor dengan eksponen pecahan adalah seperti berikut.

1. Tukar fraksional ke pecahan kanan atau salah.
2. Naikkan nombor kami kepada pengangka pecahan yang dihasilkan.
3. Daripada jumlah yang diperoleh dalam perenggan yang terdahulu, hitungkan akar, dengan syarat bahawa penyebut pecahan yang diperoleh pada peringkat pertama akan menjadi pendorong kepada akar.

Setuju bahawa walaupun dengan bilangan kecil dan pecahan yang tepat, pengiraan tersebut boleh mengambil banyak masa. Adalah baik bahawa pemproses meja Excel tidak peduli apa nombor dan sejauh mana kenaikan. Cuba selesaikan contoh berikut pada lembaran kerja Excel:

Menggunakan peraturan di atas, anda boleh menyemak dan memastikan bahawa pengiraan adalah betul.

Pada akhir artikel kami, kami membentangkan dalam bentuk jadual dengan formula dan menghasilkan beberapa contoh bagaimana untuk meningkatkan bilangan ke tahap negatif, serta beberapa contoh dengan nombor fraksional dan darjah operasi.

Jadual contoh

Semak contoh berikut pada lembaran kerja buku kerja Excel. Untuk segala-galanya untuk berfungsi dengan betul, anda perlu menggunakan pautan bercampur apabila menyalin formula. Betulkan bilangan lajur yang mengandungi nombor yang dibangkitkan dan bilangan baris yang mengandungi metrik. Formula anda harus kelihatan seperti ini: "\u003d $ B4 ^ C $ 3".

Sila ambil perhatian bahawa nombor positif (walaupun bukan integer) boleh dikira tanpa sebarang masalah pada sebarang petunjuk. Tidak ada masalah dengan pembinaan mana-mana nombor dalam jumlah keseluruhan. Tetapi menaikkan nombor negatif kepada kuasa pecahan akan menjadi salah bagi anda, kerana tidak mungkin untuk memenuhi peraturan yang ditunjukkan pada awal artikel kami tentang meningkatkan angka negatif, karena paritas adalah ciri dari seluruh angka WHOLE.

Nombor yang dibangkitkan kepada kuasa  mereka memanggil nombor yang beberapa kali didarab dengan sendirinya.

Gelaran nombor dengan nilai negatif (a - n)    boleh ditentukan dengan rupa bagaimana tahap bilangan yang sama dengan eksponen positif ditentukan (a)   . Walau bagaimanapun, ia juga memerlukan definisi tambahan. Formula ditakrifkan sebagai:

a - n    \u003d (1 / a n)

Ciri-ciri nilai negatif kuasa nombor adalah serupa dengan kuasa eksponen positif. Persamaan yang dihantar a   m / a n \u003d a m-n    mungkin adil sebagai

« Di mana-mana, seperti dalam matematik, kejelasan dan ketepatan kesimpulan tidak membenarkan seseorang untuk menjauhkan diri dari jawapan dengan bercakap di sekitar soalan».

A. D. Alexandrov

pada n    lebih lagi m   , dan m    lebih lagi n   . Pertimbangkan satu contoh: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Pertama anda perlu menentukan nombor yang bertindak sebagai definisi ijazah. b \u003d a (-n)   . Dalam contoh ini -n    adalah penunjuk darjah b    - nilai berangka yang dikehendaki, a    - asas ijazah dalam bentuk nilai berangka semula jadi. Kemudian tentukan modul, iaitu nilai mutlak nombor negatif, yang bertindak sebagai eksponen. Hitung derajat bilangan nombor mutlak yang relatif sebagai penunjuk. Ijazah ditemui dengan membahagikan unit dengan nombor yang terhasil.

Rajah. 1

Pertimbangkan kuasa nombor pecahan negatif. Bayangkan bahawa nombor adalah nombor, nombor yang positif n    dan m   - nombor semula jadi. Dengan definisi a   dibangkitkan kepada kuasa -    sama dengan unit dibahagikan dengan nombor yang sama dengan ijazah positif (Rajah 1). Apabila kuasa nombor adalah pecahan, dalam kes tersebut hanya nombor dengan eksponen positif digunakan.

Perlu diingatibahawa sifar tidak boleh menjadi penunjuk kekuatan satu nombor (peraturan pembahagian oleh sifar).

Penyebaran konsep seperti nombor telah menjadi manipulasi seperti pengiraan perhitungan, serta perkembangan matematik, seperti sains. Input nilai-nilai negatif adalah disebabkan oleh perkembangan algebra, yang memberikan penyelesaian umum kepada masalah aritmetik, tanpa mengira maksud tertentu dan data berangka awal. Di India, kembali pada abad VI-XI, nilai negatif nombor telah digunakan secara sistematik semasa menyelesaikan masalah dan ditafsirkan dengan cara yang sama seperti hari ini. Dalam sains Eropah, nombor negatif mula digunakan secara meluas terima kasih kepada R. Descartes, yang memberi tafsiran geometri nombor negatif sebagai arah segmen. Itulah Descartes yang mencadangkan penunjukan bilangan yang dibangkitkan kepada kuasa untuk dipamerkan sebagai formula dua tingkat a n .

boleh didapati dengan menggunakan pendaraban. Sebagai contoh: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 5x6. Ungkapan ini dikatakan bahawa jumlah istilah yang sama telah berubah menjadi suatu karya. Dan sebaliknya, jika kita baca kesamaan ini dari kanan ke kiri, kita dapati bahawa kita telah memperluas jumlah istilah yang sama. Begitu juga, anda boleh meminimumkan produk beberapa faktor yang sama 5x5x5x5x5x5 \u003d 5 6.

Iaitu, bukannya mendarabkan enam faktor yang serupa 5x5x5x5x5x5 mereka menulis 5 6 dan katakan "lima ke kuasa keenam."

Ungkapan 5 6 adalah kuasa nombor, di mana:

5 - asas darjah;

6 - eksponen.

Tindakan yang mana produk yang sama adalah diminimumkan kepada kuasa dipanggil eksponensi.

Secara umum, ijazah dengan asas "a" dan eksponen "n" ditulis sebagai

Untuk menaikkan nombor a kepada kuasa n bermakna mencari produk n faktor, masing-masing bersamaan dengan a

Jika asas ijazah "a" ialah 1, maka nilai ijazah untuk mana-mana integer positif n ialah 1. Sebagai contoh, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Sekiranya anda menaikkan nombor "a" untuk menaikkan ijazah pertama, maka kita dapat nombor a: a 1 \u003d a

Jika anda menaikkan sebarang nombor dalam ijazah sifar, maka akibat dari perhitungan kita mendapatkannya. a 0 \u003d 1

Khas menganggap tahap kedua dan ketiga nombor itu. Mereka datang dengan nama: ijazah kedua dipanggil nombor kuasa duaketiga - kubus  daripada nombor ini.

Mana-mana nombor boleh dinaikkan kepada kuasa - positif, negatif atau sifar. Pada masa yang sama, peraturan berikut tidak digunakan:

Apabila mencari derajat nombor positif, nombor positif diperolehi.

Apabila mengira sifar dalam gelaran semulajadi, kita mendapat sifar.

x m X n \u003d x m + n

contohnya: 7 1.7.7 - 0.9 \u003d 7 1.7 + (- 0.9) \u003d 7 1.7 - 0.9 \u003d 7 0.8

Untuk darjah berpecah dengan alasan yang sama  asas tidak berubah, dan kita tolak eksponen:

x m / x n \u003d x m - n di mana m\u003e n,

contohnya: 13 3.8 / 13 -0.2 \u003d 13 (3.8 -0.2) \u003d 13 3.6

Dalam pengiraan eksponensi  kita tidak mengubah asas, tetapi kita melipatgandakan eksponen satu sama lain.

(pada m ) n \u003d y m   n

contohnya: (2 3) 2 \u003d 2 3 · 2 \u003d 2 6

(x y) n \u003d x n · pada m ,

contohnya: (2 · 3) 3 \u003d 2 n · 3 m,

Apabila melakukan pengiraan pada eksponensikami menaikkan pengangka dan penyebut pecahan kepada ijazah ini

(x / y) n \u003d x n / n

contohnya: (2/5) 3 \u003d (2/5) · (2/5) · (2/5) \u003d 2 3/5 3.

Urutan pengiraan apabila bekerja dengan ungkapan yang mengandungi gelaran.

Apabila melakukan pengiraan ekspresi tanpa kurungan, tetapi mengandungi derajat, mula-mula mereka naik ke derajat, kemudian operasi pendaraban dan pembahagian, dan hanya kemudian operasi tambahan dan penolakan.

Sekiranya anda perlu mengira ungkapan yang mengandungi kurungan, maka terlebih dahulu, dalam urutan di atas, lakukan pengiraan dalam kurungan, dan kemudian tindakan yang tinggal dalam susunan yang sama dari kiri ke kanan.

Dalam pengiraan praktikal, jadual ijazah yang siap digunakan sangat banyak digunakan dalam perhitungan praktikal.

Pelajaran dan persembahan mengenai topik: "Ijazah dengan penunjuk negatif Definisi dan contoh penyelesaian masalah"

Bahan tambahan
  Pengguna yang dihormati, jangan lupa untuk meninggalkan komen, maklum balas, cadangan anda. Semua bahan diperiksa oleh perisian antivirus.

Manual latihan dan simulator di kedai online "Integral" untuk gred 8
Buku panduan untuk buku teks Muravina G.K. Buku panduan untuk buku teks Alimova Sh.A.

Eksponensi negatif

Kami juga tahu bahawa mana-mana nombor ke tahap sifar adalah sama dengan satu. $ a ^ 0 \u003d 1 $, $ a ≠ 0 $.
  Persoalannya timbul, apa yang akan berlaku jika nombor itu dibangkitkan kepada kuasa negatif? Contohnya, berapa angka $ 2 ^ (- 2) $ sama dengan?
  Ahli matematik pertama yang bertanya soalan ini memutuskan bahawa ia tidak layak untuk mencipta semula roda, dan adalah baik bahawa semua sifat darjah kekal sama. Iaitu, apabila darjah didarabkan dengan asas yang sama, eksponen menambah.
  Mari lihat pada kes berikut: $ 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) \u003d 2 ^ (3-3) \u003d 2 ^ 0 \u003d 1 $.
  Kami mendapat bahawa produk nombor tersebut harus memberi perpaduan. Unit dalam produk diperoleh dengan mendarabkan nombor timbal balik, iaitu, $ 2 ^ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) $.

Penalaran sedemikian membawa definisi berikut.
  Definisi Jika $ n $ adalah integer positif dan $ a ≠ 0, maka persamaan memegang: $ a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) $.

Identiti penting yang sering digunakan ialah: $ (\\ frac (a) (b)) ^ (- n) \u003d (\\ frac (b) (a)) ^ n $.
  Khususnya, $ (\\ frac (1) (a)) ^ (- n) \u003d a ^ n $.

Contoh Penyelesaian

Penyelesaian.
Kami menganggap setiap istilah secara individu.
  1. $ 2 ^ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) \u003d \\ frac (1) (2 * 2 * 2) \u003d \\ frac (1) (8) $.
  2. $ (\\ frac (2) (5)) ^ (- 2) \u003d (\\ frac (5) (2)) ^ 2 \u003d \\ frac (5 ^ 2) (4) $.
  3. $ 8 ^ (- 1) \u003d \\ frac (1) (8) $.
  Ia tetap untuk melakukan operasi penambahan dan penolakan: $ \\ frac (1) (8) + \\ frac (25) (4) - \\ frac (1) (8) \u003d \\ frac (25) (4) $.
  Jawab: $ 6 \\ frac (1) (4) $.

Contoh 2
Wakili nombor yang diberi sebagai kuasa perdana $ \\ frac (1) (729) $.

Penyelesaian.
Jelas sekali, $ \\ frac (1) (729) \u003d 729 ^ (- 1) $.
  Tetapi 729 bukan angka prima yang berakhir pada 9. Ia boleh diandaikan bahawa nombor ini adalah kuasa tiga. Kemudian dibahagikan 729 oleh 3.
  1) $ \\ frac (729) (3) \u003d $ 243;
  2) $ \\ frac (243) (3) \u003d 81 $;
  3) $ \\ frac (81) (3) \u003d $ 27;
  4) $ \\ frac (27) (3) \u003d 9 $;
  5) $ \\ frac (9) (3) \u003d 3 $;
  6) $ \\ frac (3) (3) \u003d 1 $.
  Enam operasi telah selesai, yang bermaksud: $ 729 \u003d 3 ^ 6 $.
  Untuk tugas kami:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
  Jawab: $ 3 ^ (- 6) $.

Contoh 3. Bayangkan ungkapan sebagai kuasa: $ \\ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) $.
  Penyelesaian. Tindakan pertama selalu dilakukan di dalam kurungan, maka pendaraban $ \\ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (a ^ 6 * a ^ (- 10)) (a ^ 5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (a ^ ((- 4) (-4 - (- 5)) \u003d a ^ (- 4 + 5) \u003d a $.
  Jawab: $ a $.

Contoh 4. Buktikan identiti:
  $ (\\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * \\ frac (y ^ 2 (x ^ (x) ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): \\ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1 ) +1) \u003d \\ frac (xy) (x + y) $.

Penyelesaian.
  Di sebelah kiri, kami mempertimbangkan setiap faktor dalam kurungan secara berasingan.
  ($ 1) ^ 2) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (x (x)) ^ 2) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (x ^ 2) (y ^ 2) -2 \\ frac (x) (y) +1)) (x (1 + 2 \\ frac (y) (x) + \\ frac (y ^ 2) y ^ 2) (x ^ 2y + \\ frac (y ^ 2) (x)) \u003d \\ frac (x ^ 2-2xy + y ^ ) \u003d \\ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) $.
  (X) ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (1) (x ^ 2) + \\ frac (1) (y ^ 2))) (x (\\ frac (x) (y) + \\ frac (y) (x) (\\ frac (y ^ 2) (x ^ 2) +1) (\\ frac (x ^ 2) (y) + y) \u003d \\ frac (\\ frac (y ^ 2 + x ^ ) (\\ frac (x ^ 2 + y ^ 2) (y))) \u003d \\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) * \\ frac (y) (x ^ 2 + y ^ ) \u003d \\ frac (y) (x ^ 2) $.
  3. $ \\ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) * \\ frac (y) (x ^ 2) \u003d \\ frac (y (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) \u003d \\ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $.
  4. Kami lulus pada pecahan yang kita kongsi.
  $ \\ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) \u003d \\ frac (1 \\ frac (y) (x) \\ frac (xy) (y)) \u003d \\ frac (xy) (x) * \\ frac (y) (x + y) \u003d \\ frac y (xy)) (x (x + y)) $.
  5. Lakukan pembahagian.
(x (x + y) ^ 2): \\ frac (y (xy)) (x (x + y)) \u003d \\ frac (y (xy) ^ 2) x (x + y) ^ 2) * \\ frac (x (x + y)) (y (xy)) \u003d \\ frac (xy) (x + y) $.
  Kami mendapat identiti yang betul, seperti yang diperlukan.

Pada akhir pelajaran, kita sekali lagi menulis peraturan tindakan dengan darjah, di sini eksponen adalah integer.
  $ a ^ s * a ^ t \u003d a ^ (s + t) $.
  $ \\ frac (a ^ s) (a ^ t) \u003d a ^ (s-t) $.
  $ (a ^ s) ^ t \u003d a ^ (st) $.
  $ (ab) ^ s \u003d a ^ s * b ^ s $.
  $ (\\ frac (a) (b)) ^ s \u003d \\ frac (a ^ s) (b ^ s) $.

Tugas untuk penyelesaian bebas

Meningkat ke tahap negatif adalah salah satu unsur asas matematik, yang sering dijumpai dalam menyelesaikan masalah algebra. Lihat di bawah untuk arahan terperinci.

  Bagaimana untuk meningkatkan ke tahap negatif - teori

Apabila kita nombor dalam kuasa biasa, kita melipatgandakan nilainya beberapa kali. Contohnya, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Dengan pecahan negatif, sebaliknya adalah benar. Pandangan umum mengikut formula akan mempunyai bentuk berikut: a -n \u003d 1 / a n. Oleh itu, untuk menaikkan nombor ke tahap negatif, anda perlu membahagikan unit dengan nombor tertentu, tetapi dalam tahap yang positif.

  Bagaimana untuk meningkatkan ke tahap negatif - contoh-contoh nombor biasa

Mengingat peraturan di atas dalam minda, mari kita selesaikan beberapa contoh.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
  Jawapan: 4 -2 \u003d 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
  Jawapannya ialah -4 -2 \u003d 1/16.

Tetapi mengapa jawapan dalam contoh pertama dan kedua sama? Hakikatnya ialah apabila nombor negatif dinaikkan kepada kuasa yang sama (2, 4, 6, dan lain-lain), tanda menjadi positif. Jika ijazahnya adalah sama, maka tolaknya akan kekal:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

  Bagaimana untuk meningkatkan ke tahap negatif - nombor dari 0 hingga 1

Ingat bahawa apabila menaikkan nombor dalam julat dari 0 hingga 1 kepada tahap positif, nilai berkurangan dengan peningkatan tahap. Jadi sebagai contoh, 0.5 2 \u003d 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Contoh 3: Kira 0.5 -2
  Penyelesaian: 0.5 -2 \u003d 1/1/2 -2 \u003d 1/1/4 \u003d 1 × 4/1 \u003d 4.
  Jawab: 0.5 -2 \u003d 4

Analisis (urutan tindakan):

• Kami menterjemahkan pecahan perpuluhan 0.5 ke dalam pecahan 1/2. Ini lebih mudah.
    Naikkan 1/2 ke tahap negatif. 1 / (2) -2. Bahagikan 1 by 1 / (2) 2, kita dapat 1 / (1/2) 2 \u003d\u003e 1/1/4 \u003d 4

Contoh 4: Kira 0.5 -3
  Penyelesaian: 0.5 -3 \u003d (1/2) -3 \u003d 1 / (1/2) 3 \u003d 1 / (1/8) \u003d 8

Contoh 5: Kira -0.5 -3
  Penyelesaian: -0.5 -3 \u003d (-1/2) -3 \u003d 1 / (- 1/2) 3 \u003d 1 / (- 1/8) \u003d -8
  Jawapan: -0.5 -3 \u003d -8

Berdasarkan contoh keempat dan ke-5, kami membuat beberapa kesimpulan:

• Untuk nombor positif dalam julat dari 0 hingga 1 (Contoh 4), dinaikkan kepada tahap negatif, kesamaan atau kelebihan darjah tidak penting, nilai ungkapan akan positif. Dalam kes ini, semakin besar tahap, semakin besar nilai.
• Untuk nombor negatif dalam julat dari 0 hingga 1 (Contoh 5), dinaikkan ke tahap negatif, kesamaan atau kelebihan darjah tidak penting, nilai ungkapan akan negatif. Tambahan pula, semakin tinggi tahap, semakin rendah nilai.

  Bagaimana untuk meningkatkan ke tahap negatif - ijazah dalam bentuk nombor pecahan

Ungkapan jenis ini mempunyai bentuk sebagai berikut: a -m / n, dimana bilangannya adalah bilangan biasa, m adalah pengkuasa ijazah, n adalah penyebut gelar.

Pertimbangkan satu contoh:
  Kira: 8 -1/3

Penyelesaian (urutan tindakan):

• Kami masih ingat peraturan menaikkan nombor ke tahap negatif. Kami mendapat: 8 -1/3 \u003d 1 / (8) 1/3.
• Perhatikan dalam penyebut nombor 8 adalah kuasa pecahan. Bentuk umum untuk mengira ijazah pecahan adalah seperti berikut: a / n \u003d n √8 m.
• Oleh itu, 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (3 √8 1). Kami mendapat akar kubus lapan, iaitu 2. Berdasarkan ini, 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (1/2) \u003d 2.
• Jawab: 8 -1/3 \u003d 2