Privasi anda adalah penting kepada kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila baca dasar privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti orang tertentu atau untuk menghubunginya.

Anda mungkin diminta memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Berikut adalah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan bagaimana kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Maklumat peribadi apa yang kami kumpulkan:

• Apabila anda meninggalkan permintaan di tapak, kami boleh mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dan lain-lain.

Bagaimana kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan melaporkan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami boleh menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar pemberitahuan penting dan mesej.
• Kami juga boleh menggunakan maklumat peribadi untuk keperluan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai kajian untuk meningkatkan perkhidmatan yang kami sediakan dan memberi cadangan kepada kami mengenai perkhidmatan kami.
• Sekiranya anda mengambil bahagian dalam cabutan hadiah, pertandingan, atau acara promosi serupa, kami boleh menggunakan maklumat yang anda berikan untuk menguruskan program tersebut.

Pendedahan kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - selaras dengan undang-undang, sistem kehakiman, prosiding mahkamah, dan / atau berdasarkan pertanyaan atau pertanyaan awam dari pihak berkuasa negeri di Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga boleh mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan sedemikian adalah perlu atau sesuai untuk tujuan keselamatan, mengekalkan undang-undang dan perintah, atau kes-kes penting sosial yang lain.
• Sekiranya penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami boleh memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga yang sesuai, pemegang serahhak.

Perlindungan Maklumat Peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda dari kehilangan, kecurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pendedahan, pengubahan, dan pemusnahan yang tidak dibenarkan.

Menjaga privasi peringkat syarikat anda

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan peraturan kerahsiaan dan keselamatan kepada pekerja kami, dan memantau secara ketat pelaksanaan langkah-langkah kerahasiaan.

Program matematik ini mendapati persamaan tangen kepada graf fungsi \\ (f (x) \\) pada titik yang ditentukan pengguna \\ (a \\).

Program ini bukan sahaja memaparkan persamaan tangen, tetapi juga memaparkan proses penyelesaian masalah.

Kalkulator dalam talian ini berguna untuk pelajar sekolah menengah dalam persediaan untuk ujian dan peperiksaan, semasa menguji pengetahuan sebelum peperiksaan, ibu bapa untuk mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda menyewa tutor atau membeli buku teks baru? Atau adakah anda hanya mahu melakukan kerja rumah anda dalam matematik atau algebra secepat mungkin? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Oleh itu, anda boleh menjalankan latihan dan / atau latihan anda sendiri adik-adik perempuan anda, sementara tahap pendidikan dalam bidang tugas akan ditingkatkan.

Jika anda perlu mencari derivatif fungsi, maka untuk ini kita mempunyai tugas Cari derivatif.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasuki fungsi, kami mengesyorkan supaya anda membiasakan diri dengannya.

Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
   Mungkin anda telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, matikan dan muat semula halaman tersebut.

Kerana Terdapat banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah ini, permintaan anda telah diberikan giliran.
   Selepas beberapa saat, penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu   sec ...

Jika anda menyedari kesilapan dalam penyelesaiannya, anda boleh menulis tentang ini dalam Borang Maklumbalas.
   Jangan lupa tunjukkan tugas mana  anda membuat keputusan dan apa masukkan dalam bidang.

Permainan kami, teka-teki, emulator:

Sedikit teori.

Pekali sudut talian

Ingatlah bahawa graf fungsi linear \\ (y \u003d kx + b \\) adalah garis. Nombor \\ (k \u003d tg \\ alpha) dipanggil cerun langsung, dan sudut \\ (\\ alpha \\) adalah sudut antara garis ini dan paksi Ox

Jika \\ (k\u003e 0 \\), maka \\ (0 Jika \\ (kThe persamaan tangen kepada graf fungsi

Jika titik M (a; f (a)) tergolong kepada graf fungsi y \u003d f (x) dan jika pada titik ini tangen boleh ditarik yang tidak berserenjang dengan abscissa kepada graf fungsi, maka dari makna geometri derivatif itu maka pekali sudut tangen adalah sama dengan f "(a). Seterusnya, kami akan membangunkan satu algoritma untuk merangka persamaan suatu tangen kepada grafik sebarang fungsi.

Biarkan fungsi y \u003d f (x) dan titik M (a; f (a)) diberikan pada graf fungsi ini; maka diketahui bahawa terdapat f "(a) Kita menyusun persamaan tangen kepada graf fungsi yang diberikan pada titik tertentu Persamaan ini, sebagai persamaan mana-mana garis lurus yang tidak selari dengan paksi ordinasi, mempunyai bentuk y \u003d kx + b, jadi masalahnya adalah untuk mencari nilai-nilai pekali k dan b.

Segala-galanya jelas dengan pekali sudut k: diketahui bahawa k \u003d f "(a) Untuk mengira nilai b, kita menggunakan fakta bahawa garis yang dikehendaki melewati titik M (a; f (a)) Ini bermakna jika kita menggantikan koordinat titik M ke persamaan garis, kita mendapat persamaan yang betul: \\ (f (a) \u003d ka + b \\), i.e. \\ (b \u003d f (a) - ka \\).

Ia kekal untuk menggantikan nilai-nilai pekali koefisien k dan b dalam persamaan garis:

Kami telah menerima persamaan tangen kepada graf fungsi  \\ (y \u003d f (x) \\) pada titik \\ (x \u003d a \\).

Algoritma untuk mencari persamaan tangen kepada graf fungsi \\ (y \u003d f (x) \\)
1. Menetapkan abscissa titik tangency oleh huruf \\ (a \\)
  2. Kira \\ (f (a) \\)
  3. Cari \\ (f "(x) \\) dan hitung \\ (f" (a) \\)
  4. Gantikan nombor yang dijumpai \\ (a, f (a), f "(a) \\) ke dalam formula \\ (y \u003d f (a) + f" (a) (x-a)

Privasi anda adalah penting kepada kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila baca dasar privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti orang tertentu atau untuk menghubunginya.

Anda mungkin diminta memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Berikut adalah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan bagaimana kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Maklumat peribadi apa yang kami kumpulkan:

• Apabila anda meninggalkan permintaan di tapak, kami boleh mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dan lain-lain.

Bagaimana kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan melaporkan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami boleh menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar pemberitahuan penting dan mesej.
• Kami juga boleh menggunakan maklumat peribadi untuk keperluan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai kajian untuk meningkatkan perkhidmatan yang kami sediakan dan memberi cadangan kepada kami mengenai perkhidmatan kami.
• Sekiranya anda mengambil bahagian dalam cabutan hadiah, pertandingan, atau acara promosi serupa, kami boleh menggunakan maklumat yang anda berikan untuk menguruskan program tersebut.

Pendedahan kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - selaras dengan undang-undang, sistem kehakiman, prosiding mahkamah, dan / atau berdasarkan pertanyaan atau pertanyaan awam dari pihak berkuasa negeri di Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga boleh mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan sedemikian adalah perlu atau sesuai untuk tujuan keselamatan, mengekalkan undang-undang dan perintah, atau kes-kes penting sosial yang lain.
• Sekiranya penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami boleh memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga yang sesuai, pemegang serahhak.

Perlindungan Maklumat Peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda dari kehilangan, kecurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pendedahan, pengubahan, dan pemusnahan yang tidak dibenarkan.

Menjaga privasi peringkat syarikat anda

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan peraturan kerahsiaan dan keselamatan kepada pekerja kami, dan memantau secara ketat pelaksanaan langkah-langkah kerahasiaan.

Artikel ini memberikan penjelasan terperinci tentang definisi, makna geometri derivatif dengan notasi grafik. Persamaan garis tangen dengan contoh akan dipertimbangkan, persamaan-persamaan tangen ke lengkung urutan ke-2 akan dijumpai.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisi 1

Sudut kecenderungan garis lurus y \u003d k x + b ialah sudut α, yang diukur dari arah positif paksi x ke garis lurus y \u003d k x + b dalam arah positif.

Dalam gambar, arah x ditunjukkan oleh anak panah hijau dan dalam bentuk arka hijau, dan sudut kecenderungan ditunjukkan oleh arka merah. Baris biru merujuk kepada garis.

Definisi 2

Pekali sudut garis y \u003d k x + b dipanggil pekali berangka k.

Pekali sudut bersamaan dengan cerun garis, dengan kata lain, k \u003d t g α.

• Cerun garis lurus adalah 0 hanya dengan paralelisme tentang x dan cerun sama dengan sifar, kerana tangen sifar adalah 0. Oleh itu, bentuk persamaan akan menjadi y \u003d b.
• Sekiranya cerun garis lurus y \u003d k x + b adalah tajam, maka syarat 0 berpuas hati< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >  0, dan terdapat peningkatan dalam graf.
• Sekiranya α \u003d π 2, maka kedudukan garisan adalah berserenjang dengan x. Kesaksamaan diberikan oleh kesamaan x \u003d c dengan nilai c sebagai nombor sebenar.
• Sekiranya cerun garis lurus y \u003d k x + b adalah bodoh, maka keadaan π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

The secant adalah garis yang melewati 2 titik fungsi f (x). Dalam erti kata lain, secant adalah garis lurus yang ditarik melalui mana-mana dua titik graf fungsi tertentu.

Angka itu menunjukkan bahawa AB adalah seger, dan f (x) adalah lengkung hitam, α adalah arka merah, yang bermaksud sudut kecenderungan segmen itu.

Apabila pekali sudut garis lurus sama dengan tangent sudut kecenderungan, jelas bahawa tangen segi tiga tepat ABC boleh didapati dengan nisbah kaki bertentangan dengan yang bersebelahan.

Definisi 4

Kami mendapat formula untuk mencari jenis yang secant:

k \u003d tg α \u003d BCAC \u003d f (x B) - fx A x B - x A, di mana abscissas titik A dan B adalah nilai x A, x B, dan f (x A), f (x B) berfungsi pada perkara ini.

Jelas, cerun seketika ditentukan menggunakan persamaan k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A atau k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B, mesti ditulis sebagai y \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) atau
   y \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

Segmen membahagikan graf secara visual ke dalam 3 bahagian: ke kiri titik A, dari A ke B, ke kanan B. Angka di bawah menunjukkan bahawa terdapat tiga sekelas yang dianggap bersamaan, iaitu, ditetapkan menggunakan persamaan yang sama.

Secara definisi, jelas bahawa garis dan sekepingnya dalam kes ini bertepatan.

The secant dapat menyeberang graf fungsi yang diberi beberapa kali. Sekiranya terdapat persamaan bentuk y \u003d 0 untuk segmen, maka bilangan titik persilangan dengan sinusoid adalah tak terhingga.

Definisi 5

Tangent kepada graf fungsi f (x) pada x 0; f (x 0) ialah garis yang melalui titik tertentu x 0; f (x 0), dengan segmen yang mempunyai banyak x nilai yang dekat dengan x 0.

Contoh 1

Pertimbangkan secara terperinci contoh di bawah. Maka jelas bahawa garis yang ditentukan oleh fungsi y \u003d x + 1 dianggap sebagai tangen kepada y \u003d 2 x pada titik dengan koordinat (1; 2). Untuk kejelasan, adalah perlu untuk mempertimbangkan graf dengan nilai-nilai yang dekat dengan (1; 2). Fungsi y \u003d 2 x ditunjukkan dalam hitam, garis biru adalah tangen, titik merah adalah titik persilangan.

Jelas sekali, y \u003d 2 x menggabungkan dengan garis y \u003d x + 1.

Untuk menentukan tangen, seseorang harus mempertimbangkan tingkah laku A tangent dengan pendekatan tak terhingga dari titik B hingga titik A. Untuk kejelasan, kami membentangkan angka itu.

AB secant yang ditunjukkan oleh garis biru, cenderung kepada kedudukan tangen itu sendiri, dan sudut kecenderungan α yang mula-mula mula cenderung kepada sudut kecenderungan tangen α x.

Definisi 6

Tangen kepada graf fungsi y \u003d f (x) pada titik A ialah kedudukan had sekunder A B pada B yang cenderung kepada A, iaitu, B → A.

Sekarang kita beralih kepada pertimbangan makna geometri fungsi derivatif pada satu titik.

Marilah kita lulus kepada pertimbangan seketika AB dalam fungsi f (x), di mana A dan B dengan koordinat x 0, f (x 0) dan x 0 + Δ x, f (x 0 + Δ x), dan Δ x dilambangkan sebagai kenaikan hujah . Sekarang fungsi akan mengambil bentuk Δ y \u003d Δ f (x) \u003d f (x 0 + Δ x) - f (Δ x). Untuk kejelasan, kami memberikan contoh contoh.

Pertimbangkan segitiga kanan yang diperolehi A B C. Kami menggunakan definisi tangen untuk penyelesaian, iaitu, kita memperoleh hubungan Δ y Δ x \u003d t g α. Ini adalah dari takrif tangent yang lim Δ x → 0 Δ y Δ x \u003d t g α x. Dengan peraturan derivatif pada titik, kita mempunyai bahawa derivatif f (x) pada titik x 0 disebut had hubungan kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah, di mana Δ x → 0, kemudian menyatakan sebagai f (x 0) \u003d lim Δ x → 0 Δ y Δ x .

Ia mengikuti f "(x 0) \u003d lim Δ x → 0 Δ y Δ x \u003d t g α x \u003d k x, di mana k x dilambangkan oleh tangen sebagai pekali sudut.

Iaitu, kita memperoleh bahawa f '(x) boleh wujud pada titik x 0, lebih-lebih lagi, serta tangen kepada graf yang diberi fungsi pada titik hubungan sama dengan x 0, f 0 (x 0), di mana nilai pekali sudut tangen di titik itu sama dengan derivatif pada titik x 0. Kemudian kita dapat bahawa k x \u003d f "(x 0).

Maksud geometri fungsi derivatif pada satu titik ialah konsep kewujudan tangen pada graf pada titik yang sama diberikan.

Untuk menulis persamaan mana-mana garisan pada satah, adalah perlu mempunyai pekali sudut dengan titik yang mana ia melewati. Penunjukannya diambil sebagai x 0 di persimpangan.

Persamaan tangen pada graf fungsi y \u003d f (x) pada titik x 0, f 0 (x 0) mengambil bentuk y \u003d f "(x 0) · x - x 0 + f (x 0).

Ini bermakna bahawa nilai terhingga dari derivatif f "(x 0) dapat menentukan posisi tangen, iaitu, secara menegak, diberikan lim x → x 0 + 0 f" (x) \u003d ∞ dan lim x → x 0 - 0 f "(x ) \u003d ∞ atau tidak sama sekali di bawah keadaan lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x).

Lokasi tangen bergantung kepada nilai pekali sudut kx \u003d f "(x 0) Apabila selari dengan paksi x, kita dapat kk \u003d 0, apabila selari dengan k o - kx \u003d ∞, dan bentuk persamaan tangen x \u003d x 0 bertambah kx\u003e 0, berkurangan pada kx< 0 .

Contoh 2

Gambarkan persamaan tangen kepada graf fungsi y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 pada titik dengan koordinat (1; 3) dengan penentuan sudut kecenderungan.

Penyelesaian

Dengan hipotesis, kita mempunyai fungsi yang ditentukan untuk semua nombor sebenar. Kita dapat bahawa titik dengan koordinat yang diberikan oleh keadaan (1; 3) adalah titik tangen, maka x 0 \u003d - 1, f (x 0) \u003d - 3.

Adalah perlu untuk mencari derivatif pada satu titik dengan nilai - 1. Kami mendapatnya

y "\u003d ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" \u003d \u003d ex + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" \u003d ex + + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) \u003d y" (- 1) \u003d e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 \u003d 3 3

Nilai f '(x) pada titik tangency adalah cerun tangen, yang sama dengan cerun.

Kemudian k x \u003d t g α x \u003d y "(x 0) \u003d 3 3

Ia mengikuti bahawa α x \u003d a r c t g 3 3 \u003d π 6

Jawapannya ialah:persamaan tangen mengambil bentuk

y \u003d f "(x 0) · x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Untuk kejelasan, kami memberikan contoh dalam ilustrasi grafik.

Warna hitam digunakan untuk graf fungsi asal, warna biru adalah imej tangen, titik merah adalah titik sentuhan. Angka di sebelah kanan menunjukkan pandangan yang diperbesar.

Contoh 3

Ketahui jika terdapat tangen pada graf fungsi yang diberikan
   y \u003d 3 · x - 1 5 + 1 pada titik dengan koordinat (1; 1). Buat persamaan dan tentukan sudut kecenderungan.

Penyelesaian

Dengan hipotesis, kita mempunyai bahawa domain takrif fungsi tertentu dianggap sebagai satu set semua nombor nyata.

Kami berpaling untuk mencari derivatif

y "\u003d 3 · x - 1 5 + 1" \u003d 3 · 1 5 · (x - 1) 1 5 - 1 \u003d 3 5 · 1 (x - 1) 4 5

Jika x 0 \u003d 1, maka f '(x) tidak ditakrifkan tetapi batasnya ditulis sebagai lim x → 1 + 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 \u003d 3 5 · 1 (+ 0) 4 5 \u003d 1 + 0 \u003d + ∞ dan lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 \u003d 3 5 · 1 (- 0) 4 5 \u003d 3 5 · 1 + 0 \u003d + ∞, tangen menegak di (1; 1).

Jawapannya ialah:  persamaan akan mengambil bentuk x \u003d 1, di mana sudut kecenderungan akan π 2.

Untuk kejelasan, menggambarkan secara grafik.

Contoh 4

Cari titik graf fungsi y \u003d 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, di mana

1. Tangen tidak wujud;
2. Tangent adalah sejajar dengan x;
3. Tangent adalah sejajar dengan garis y \u003d 8 5 x + 4.

Penyelesaian

Ia perlu memberi perhatian kepada skop ini. Dengan hipotesis, kita mempunyai fungsi yang ditakrifkan pada set semua nombor sebenar. Kami membuka modul dan menyelesaikan sistem dengan selang x ∈ - ∞; 2 dan [- 2; + ∞). Kami mendapatnya

y \u003d - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [- 2; + ∞)

Ia perlu membezakan fungsi tersebut. Kami ada

y "\u003d - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [- 2; + ∞) ⇔ y" \u003d - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [- 2; + ∞)

Apabila x \u003d - 2, maka derivatif tidak wujud, kerana had sehala tidak sama pada ketika ini:

(x) \u003d lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 \u003d - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 \u003d - 3 x x → - 2 + 0 y "(x) \u003d lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 \u003d 3

Kita mengira nilai fungsi pada titik x \u003d - 2, di mana kita dapati itu

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, iaitu tangen di titik (- 2; - 2) tidak akan wujud.
2. Tangent adalah selari tentang x apabila cerun adalah sifar. Kemudian kx \u003d tan α x \u003d f "(x 0) Maksudnya untuk mencari nilai-nilai x seperti apabila terbitan fungsi menghidupkannya menjadi sifar.Ternyata, nilai-nilai f '(x) adalah titik-titik tangen, .

Apabila x ∈ - ∞; - 2, maka - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 0, dan untuk x ∈ (- 2; + ∞) kita dapat 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 0 D \u003d 12 2 - 4 · 35 \u003d 144 - 140 \u003d 4 x 1 \u003d - 12 + 4 2 \u003d - 5 ∈ - ∞; - 2 x 2 \u003d - 12 - 4 2 \u003d - 7 ∈ - ∞; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 0 D \u003d 4 2 - 4 · 3 \u003d 4 x 3 \u003d 4 - 4 2 \u003d 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 \u003d 4 + 4 2 \u003d 3 ∈ - 2; + ∞

Kami mengira nilai fungsi yang sepadan

y 1 \u003d y - 5 \u003d 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 \u003d 8 5 y 2 \u003d y (- 7) \u003d 1 15 - + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 \u003d 4 3 y 3 \u003d y (1) \u003d 1 15 1 + 2 3 - 4 5 · 1 2 - 16 5 · 1 - 26 5 + 3 1 + 2 \u003d 8 5 y 4 \u003d y (3) \u003d 1 15 3 + 2 3 - 4 5 · 3 2 - 16 5 · 3 - 26 5 + 3 3 + 2 \u003d 4 3

Oleh itu - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 dianggap sebagai titik yang dicari dalam graf fungsi.

Pertimbangkan representasi grafik penyelesaiannya.

Garis hitam adalah graf fungsi, titik merah adalah titik sentuhan.

1. Apabila garisan adalah selari, maka pekali sudut bersamaan. Kemudian anda perlu mula mencari mata pada graf fungsi, di mana pekali sudut akan sama dengan nilai 8 5. Untuk melakukan ini, selesaikan persamaan bentuk y "(x) \u003d 8 5. Kemudian, jika x ∈ - ∞; - 2, kita dapati - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 8 5 dan jika x ∈ - 2; + ∞), kemudian 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 8 5.

Persamaan pertama tidak mempunyai akar, kerana diskriminasi kurang daripada sifar. Kami menulis itu

1 5 x 2 + 12 x + 35 \u003d 8 5 x 2 + 12 x + 43 \u003d 0 D \u003d 12 2 - 4 · 43 \u003d - 28< 0

Persamaan yang lain mempunyai dua akar sebenar, maka

1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 8 5 x 2 - 4 x - 5 \u003d 0 D \u003d 4 2 - 4 · (- 5) \u003d 36 x 1 \u003d 4 - 36 2 \u003d - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 \u003d 4 + 36 2 \u003d 5 ∈ - 2; + ∞

Mari kita teruskan untuk mencari nilai-nilai fungsi. Kami mendapatnya

(1) \u003d 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 \u003d 4 15 y 2 \u003d y (5) \u003d 1 15 5 + 2 3 - 4 5 · 5 2 - 16 5 · 5 - 26 5 + 3 5 + 2 \u003d 8 3

Mata dengan nilai - 1; 4 15, 5; 8 3 adalah titik di mana tangen selari dengan garis y \u003d 8 5 x + 4.

Jawapannya ialah:garisan hitam adalah graf fungsi, garis merah adalah graf y \u003d 8 5 x + 4, garisan biru adalah tangen pada titik - 1; 4 15, 5; 8 3.

Mungkin ada bilangan tangen tak terhingga untuk fungsi yang diberikan.

Contoh 5

Tulis persamaan semua fungsi tangen yang ada y \u003d 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, yang terletak bersebelahan dengan garis lurus y \u003d - 2 x + 1 2.

Penyelesaian

Untuk menyusun persamaan tangen, perlu mencari koefisien dan koordinat titik tangen, berdasarkan keadaan perpendicularity garis. Takrif adalah seperti berikut: produk pekali sudut yang tegak lurus dengan garis lurus sama dengan - 1, iaitu, ia ditulis sebagai k x · k ⊥ \u003d - 1. Daripada keadaan kita mempunyai pekali sudut berserenjang dengan garis lurus dan sama dengan k ⊥ \u003d - 2, maka k x \u003d - 1 k ⊥ \u003d - 1 - 2 \u003d 1 2.

Sekarang anda perlu mencari koordinat titik tangency. Anda perlu mencari x, selepas itu nilai untuk fungsi yang diberikan. Perhatikan bahawa dari makna geometri derivatif pada titik itu
   x 0 kita dapat bahawa k x \u003d y "(x 0). Dari kesamaan ini kita dapati nilai x untuk titik tangency.

Kami mendapatnya

y "(x 0) \u003d 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" \u003d 3 · - sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 x 0 - π 4 "\u003d \u003d - 3 · sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 \u003d - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ kx \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d - 1 9

Persamaan trigonometri ini akan digunakan untuk mengira ordinat titik tangency.

3 2 x 0 - π 4 \u003d a r c sin - 1 9 + 2 πk atau 3 2 x 0 - π 4 \u003d π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 \u003d - a r c sin 1 9 + 2 πk atau 3 2 x 0 - π 4 \u003d π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 \u003d 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk atau x 0 \u003d 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk, k ∈ Z

Z adalah kumpulan integer.

Menemui x titik sentuh. Sekarang anda perlu pergi ke carian untuk nilai y:

y 0 \u003d 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 \u003d 3 · 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 atau y 0 \u003d 3 · - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 \u003d 3 · 1 - - 1 9 2 - 1 3 atau y 0 \u003d 3 · - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 \u003d 4 5 - 1 3 atau y 0 \u003d - 4 5 + 1 3

Ia mengikuti bahawa 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 adalah titik sentuhan.

Jawapannya ialah:  persamaan yang diperlukan ditulis sebagai

y \u003d 1 2 x - 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y \u003d 1 2 x - 2 3 5 π 4 + arc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Untuk imej visual, pertimbangkan fungsi dan tangen pada garis koordinat.

Angka menunjukkan bahawa lokasi fungsi berlaku antara [- 10; 10], di mana garis hitam adalah graf fungsi, garis biru ialah tangen yang berserenjang dengan baris yang diberikan dari bentuk y \u003d - 2 x + 1 2. Titik merah adalah titik sentuhan.

Persamaan kanonik kurva pesanan kedua bukanlah fungsi yang unik. Persamaan tangen untuk mereka dikumpulkan mengikut skim yang terkenal.

Tangent ke bulatan

Untuk mentakrifkan bulatan berpusat di x c e n t e r; y c e n t r dan dengan jejari R rumus x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 \u003d R 2 digunakan.

Kesamaan ini boleh ditulis sebagai kesatuan dua fungsi:

y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Fungsi pertama terletak di bahagian atas, dan yang kedua di bahagian bawah, seperti ditunjukkan dalam gambar.

Untuk membuat persamaan bulatan di titik x 0; y 0, yang terletak di separuh bulatan atas atau bawah, kita harus mencari persamaan graf fungsi dari bentuk y \u003d R 2 - x - x c e n r e r 2 - x - x c e n e r 2 + y c e n t e r pada titik yang ditunjukkan.

Apabila pada titik x c e n t e r; y c e n t e r + R dan x c e n t e r; y c e n t e r - R, tangen dapat diberikan oleh persamaan y \u003d y c e n t e r + R dan y \u003d y c e n t e r - R, dan pada titik x c e n t e r + R; y c e n t e r dan
   x c e n t e r - R; y c e n t e r akan selari dengan y, maka kita memperoleh persamaan bentuk x \u003d x c e n t e r + R dan x \u003d x c e n t e r - R.

Tangent ke elips

Apabila elips mempunyai pusat di titik x c e n t e r; y c e n t r r dengan setengah sumbu a dan b, maka boleh didefinisikan dengan menggunakan persamaan x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d 1.

Elips dan bulatan boleh dilambangkan dengan menggabungkan dua fungsi, iaitu: separuh elips atas dan bawah. Kemudian kita mendapatnya

y \u003d b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y \u003d - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Sekiranya tangen berada pada titik puncak elips, maka ia selari dengan x atau kira-kira y. Di bawah untuk kejelasan, pertimbangkan angka tersebut.

Contoh 6

Tuliskan persamaan tangen untuk ellipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 \u003d 1 pada titik dengan x sama dengan x \u003d 2.

Penyelesaian

Ia perlu mencari titik hubungan yang sesuai dengan nilai x \u003d 2. Kami menggantikan persamaan ellipse yang ada dan dapatkan

x - 3 2 4 x \u003d 2 + y - 5 2 25 \u003d 1 1 4 + y - 5 2 25 \u003d 1 ⇒ y - 5 2 \u003d 3 4 · 25 ⇒ y \u003d ± 5 3 2 +

Kemudian 2; 5 3 2 + 5 dan 2; - 5 3 2 + 5 adalah titik sentuh yang tergolong dalam bahagian atas dan bawah setengah elips.

Kami terus mencari dan menyelesaikan persamaan elips berkenaan dengan y. Kami mendapatnya

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 \u003d 1 y - 5 2 25 \u003d 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 \u003d 25 · 1 - x - 3 2 4 y - 5 \u003d ± 5 · 1 - x - 3 2 4 y \u003d 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Jelas sekali, separuh elips atas ditetapkan menggunakan fungsi bentuk y \u003d 5 + 5 2 4 - x - 3 2, dan yang lebih rendah y \u003d 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Kami menggunakan algoritma standard untuk membentuk persamaan tangen kepada graf fungsi pada satu titik. Kami menulis bahawa persamaan untuk tangen pertama pada titik 2; 5 3 2 + 5 akan mempunyai borang

y "\u003d 5 + 5 2 4 - x - 3 2" \u003d 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 "\u003d \u003d - 5 2 · x - 3 4 - ( x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) \u003d y" (2) \u003d - 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 \u003d 5 2 3 ⇒ y \u003d x 0 + y 0 ⇔ y \u003d 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Kami mendapat bahawa persamaan tangen kedua dengan nilai pada titik itu
   2; - 5 3 2 + 5 mengambil borang

2 "\u003d - 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2" \u003d \u003d 5 2 · x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) \u003d y" (2) \u003d 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 \u003d - 5 2 3 ⇒ y \u003d y " x - x 0 + y 0 ⇔ y \u003d - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Secara grafik, tangen dilambangkan seperti berikut:

Tangga hiperbola

Apabila hiperbola mempunyai pusat di titik x c e n t e r; y c e n t e r dan vertices x c e n t e r + α; y c e n t e r dan x c e n t e r - α; y c e n t e r, ketidaksamaan x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d 1 berlaku, jika dengan simpul x c e n t e r; y c e n t e r + b dan x c e n t e r; y c e n t t e r - b, maka ia ditakrifkan oleh ketidaksamaan x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d - 1.

Hyperbola boleh diwakili sebagai dua fungsi gabungan bentuk

y \u003d ba * (x - xcenter) 2 - a 2 + ycentery \u003d - ba * (x - xcenter) 2 - a 2 + ycenter atau y \u003d ba (x - xcenter) 2 + 2 + ycenter

Dalam kes pertama, kita mempunyai bahawa tangen adalah sejajar dengan σ, dan dalam kedua, selari dengan σ.

Ia mengikuti bahawa untuk mencari persamaan tangen untuk hyperbole, adalah perlu untuk mengetahui fungsi fungsi titik tangen milik. Untuk menentukan ini, adalah perlu untuk menggantikan persamaan dan semak identiti mereka.

Contoh 7

Jadikan persamaan tangen untuk hiperbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 \u003d 1 pada titik 7; - 3 3 - 3.

Penyelesaian

Ia perlu mengubah rekod penyelesaian untuk mencari hiperbola menggunakan 2 fungsi. Kami mendapatnya

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 \u003d 1 ⇒ y + 3 2 9 \u003d x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 \u003d 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 \u003d x - 3 2 - 4 dan l dan y 3 \u003d - 3 2 · x - 3 2 - 4 ⇒ y \u003d 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3 y \u003d - 3 2 · x - 3 2 - 3

Adalah perlu untuk mengenal pasti fungsi mana yang diberikan dengan koordinat 7; - 3 3 - 3.

Jelasnya, untuk memeriksa fungsi pertama, perlu y (7) \u003d 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 \u003d 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, maka titik itu tidak tergolong dalam graf, kerana kesaksian tidak dipegang.

Untuk fungsi kedua, kita mempunyai y (7) \u003d - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 \u003d - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, yang bermaksud titik kepunyaan graf yang diberikan. Dari sini adalah perlu untuk mencari pekali sudut.

Kami mendapatnya

y "\u003d - 3 2 · (x - 3) 2 - 4 - 3" \u003d - 3 2 · x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ kx \u003d y "(x 0) \u003d - 3 2 · x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 \u003d 7 \u003d - 3 2 · 7 - 3 7 - 3 2 - 4 \u003d - 3

Jawapannya ialah:  Persamaan tangen boleh diwakili sebagai

y \u003d - 3 · x - 7 - 3 3 - 3 \u003d - 3 · x + 4 3 - 3

Secara visual digambarkan seperti berikut:

Tangen parabolic

Untuk membentuk persamaan tangen ke parabola y \u003d ax 2 + bx + c pada titik x 0, y (x 0), anda mesti menggunakan algoritma standard, maka persamaan akan mengambil bentuk y \u003d y "(x 0) · x - x 0 + y x 0) seperti tangen di puncak adalah selari dengan o x.

Parabola x \u003d a y 2 + b y + c harus diberikan sebagai kesatuan dua fungsi. Oleh itu, kita perlu menyelesaikan persamaan y. Kami mendapatnya

x \u003d ay 2 + oleh + c ⇔ adalah 2 + oleh + c - x \u003d 0 D \u003d b 2 - 4 a (c - x) y \u003d - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 ay \u003d - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Kami menggambarkan secara mendalam bagaimana:

Untuk mengetahui kepunyaan titik x 0, y (x 0) untuk fungsi tersebut, perlakukan secara perlahan mengikut algoritma standard. Seperti tangen akan selari dengan y berkenaan dengan parabola.

Contoh 8

Tuliskan persamaan tangen pada graf x - 2 y 2 - 5 y + 3 apabila kita mempunyai sudut tangen 150 °.

Penyelesaian

Kami memulakan penyelesaian dengan mewakili parabola sebagai dua fungsi. Kami mendapatnya

2 y 2 - 5 y + 3 - x \u003d 0 D \u003d (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) \u003d 49 - 8 xy \u003d 49 - 8 x - 4

Nilai pekali sudut bersamaan dengan nilai derivatif pada titik x 0 fungsi ini dan bersamaan dengan tangent sudut kecenderungan.

Kami mendapat:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Dari sini kita tentukan nilai x untuk titik tangency.

Fungsi pertama akan ditulis sebagai

- "x" \u003d 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) \u003d 1 49 - 8 x 0 \u003d - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 \u003d - 3

Jelas sekali, tidak ada akar sebenar, kerana mereka telah menerima nilai negatif. Kami menyimpulkan bahawa tangen dengan sudut 150 ° tidak wujud untuk fungsi sedemikian.

Fungsi kedua akan ditulis sebagai

- 49 - 8 x - 4 "\u003d - 1 49 - 8 x ⇒ y" (x 0) \u003d - 1 49 - 8 x 0 \u003d - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 \u003d - 3 x 0 \u003d 23 4 ⇒ y (x 0) \u003d 5 - 49 - 8 · 23 4 - 4 \u003d - 5 + 3 4

Kami mempunyai bahawa titik tangency adalah 23 4; - 5 + 3 4.

Jawapannya ialah:  persamaan tangen mengambil bentuk

y \u003d - 1 3x - 23 4 + - 5 + 3 4

Secara grafik kami menggambarkan ini dengan cara ini:

Jika anda melihat ralat di dalam teks, sila pilih dan tekan Ctrl + Enter

Biarkan fungsi f diberikan, yang pada suatu titik x 0 mempunyai derivatif terhingga f (x 0). Kemudian garis yang melewati titik (x 0; f (x 0)), mempunyai cerun f '(x 0), dipanggil tangen.

Tetapi apa yang berlaku jika derivatif di x 0 tidak wujud? Dua pilihan adalah mungkin:

1. Satu tangen untuk graf juga tidak wujud. Contoh klasik ialah fungsi y \u003d | x | pada titik (0; 0).
2. Tangent menjadi menegak. Ini adalah benar, sebagai contoh, untuk fungsi y \u003d arcsin x pada titik (1; π / 2).

Persamaan tangen

Setiap baris bukan menegak diberikan oleh persamaan bentuk y \u003d kx + b, di mana k ialah pekali sudut. Tangent bukan pengecualian, dan untuk menyusun persamaannya pada beberapa titik x 0, cukup untuk mengetahui nilai fungsi dan derivatif pada ketika ini.

Jadi, biarkan fungsi y \u003d f (x) diberikan, yang mempunyai derivatif y \u003d f '(x) pada segmen. Kemudian di mana-mana titik x 0 ∈ (a; b), tangen boleh ditarik ke graf fungsi ini, yang diberikan oleh persamaan:

y \u003d f '(x 0) · (x - x 0) + f (x 0)

Di sini f '(x 0) ialah nilai derivatif pada titik x 0, dan f (x 0) adalah nilai fungsi itu sendiri.

Cabaran. Fungsi y \u003d x 3 diberikan. Jadikan persamaan tangen pada graf fungsi ini pada titik x 0 \u003d 2.

Persamaan tangen adalah y \u003d f '(x 0) · (x - x 0) + f (x 0). Titik x 0 \u003d 2 diberikan kepada kita, tetapi nilai-nilai f (x 0) dan f '(x 0) akan dikira.

Pertama, cari nilai fungsi. Semuanya mudah di sini: f (x 0) \u003d f (2) \u003d 2 3 \u003d 8;
  Sekarang kita dapati derivatif: f '(x) \u003d (x 3)' \u003d 3x 2;
  Gantikan derivatif x 0 \u003d 2: f '(x 0) \u003d f' (2) \u003d 3 · 2 2 \u003d 12;
  Jumlah yang kami dapat: y \u003d 12 · (x - 2) + 8 \u003d 12x - 24 + 8 \u003d 12x - 16.
Inilah persamaan tangen.

Cabaran. Jadikan persamaan tangen pada graf fungsi f (x) \u003d 2sin x + 5 pada titik x 0 \u003d π / 2.

Kali ini kami tidak akan menerangkan secara terperinci setiap tindakan - kami akan menunjukkan langkah-langkah utama sahaja. Kami ada:

f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5)' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f' (π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;

Persamaan Tangent:

y \u003d 0 · (x - π / 2) + 7 ⇒ y \u003d 7

Dalam kes kedua, garis itu ternyata menjadi mendatar, kerana pekali sudutnya k \u003d 0. Tidak ada yang salah dengan itu - kita hanya tersandung pada titik ekstrimum.