|
Bahan metodologi ini hanya untuk rujukan dan berkaitan dengan pelbagai topik. Artikel ini memberikan gambaran keseluruhan graf fungsi asas asas dan menangani isu yang paling penting bagaimana untuk membina carta dengan cepat dan cepat. Mempelajari matematik yang lebih tinggi tanpa pengetahuan mengenai graf fungsi asas asas akan menjadi sukar, jadi sangat penting untuk diingat apa graf parabola, hiperbola, sinus, kosinus, dan lain-lain kelihatan seperti, ingat beberapa nilai fungsi. Juga, kita akan bercakap tentang beberapa sifat fungsi utama. Saya tidak berpura-pura kepada kesempurnaan dan ketelitian saintifik bahan-bahan, penekanan akan diletakkan terutamanya pada amalan - perkara-perkara dengan mana anda perlu menghadapi secara literal di setiap langkah, dalam mana-mana topik matematik yang lebih tinggi. Charts for dummies? Anda boleh mengatakannya.
Dengan permintaan popular pembaca jadual kandungan yang boleh diklik:
Di samping itu, terdapat ringkasan ultra pendek mengenai topik itu.
- menguasai 16 jenis graf, setelah mempelajari ENAM muka surat!
Serius, enam, bahkan diriku terkejut. Kompendium ini mengandungi grafik yang lebih baik dan tersedia untuk yuran nominal, versi demo boleh dilihat. Ia mudah untuk mencetak fail supaya grafik sentiasa ada. Terima kasih kerana menyokong projek ini!
Dan dengan serta-merta kita mulakan:
Bagaimana untuk membina paksi koordinat?
Dalam amalan, kertas ujian hampir selalu dilaksanakan oleh pelajar dalam buku nota berasingan yang diletakkan dalam sangkar. Mengapa semak markup? Lagipun, kerja, pada prinsipnya boleh dilakukan pada helaian A4. Sel diperlukan hanya untuk lukisan reka bentuk yang berkualiti tinggi dan tepat.
Sebarang lukisan graf fungsi bermula dengan paksi koordinat.
Lukisan adalah dua dimensi dan tiga dimensi.
Pertama kita pertimbangkan kes dua dimensi sistem koordinat segi empat tepat cartesian:
1) Kami menarik paksi koordinat. Paksi dipanggil paksi abscissa
dan paksi itu menyelaraskan paksi
. Kami sentiasa berusaha untuk menarik mereka kemas dan tidak bengkok. Anak panah juga tidak sepadan dengan janggut Papa Carlo.
2) Kami menandatangani paksi dalam huruf kapital "X" dan "igrek". Jangan lupa untuk menandatangani paksi.
3) Kami menetapkan skala di sepanjang paksi: lukis sifar dan dua orang. Apabila melaksanakan lukisan, skala yang paling mudah dan kerap dijumpai ialah: 1 unit \u003d 2 sel (lukisan di sebelah kiri) - jika boleh, tetap padanya. Walau bagaimanapun, dari semasa ke semasa ia berlaku bahawa lukisan itu tidak sesuai dengan lembaran buku nota - kemudian kita turun ke bawah: 1 unit \u003d 1 sel (lukisan di sebelah kanan). Ia jarang, tetapi ia berlaku bahawa skala lukisan perlu dikurangkan (atau meningkat) lebih banyak lagi
JANGAN "mencurigakan dari pistol mesin" ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Untuk pesawat koordinat bukan monumen untuk Descartes, dan pelajar bukanlah seekor burung merpati. Kami letakkan sifar dan dua unit paksi. Kadang-kadang bukannya unit, mudah untuk "mengesan" nilai-nilai lain, contohnya "dua" pada paksi abscissa dan "tiga" pada paksi ordinat - dan sistem ini (0, 2, dan 3) juga secara unik menentukan grid koordinat.
Anggaran dimensi lukisan adalah anggaran terbaik SEBELUM lukisan. Jadi, sebagai contoh, jika tugas mengharuskan anda untuk menggambar segitiga dengan simpul ,,, maka jelas bahawa skala 1 unit \u003d 2 sel tidak akan berfungsi. Mengapa? Mari lihat di sini - di sini kita perlu mengukur lima belas sentimeter ke bawah, dan, secara jelas, lukisan itu tidak akan sesuai (atau hampir tidak sesuai) pada lembaran buku nota. Oleh itu, segera pilih skala lebih kecil 1 unit \u003d 1 sel.
Dengan cara ini, kira-kira sentimeter dan sel notebook. Adakah benar bahawa 30 sel tetrad mengandungi 15 sentimeter? Ukur dalam buku nota untuk kepentingan 15 sentimeter dengan seorang penguasa. Di USSR, mungkin ini benar ... Sangat menarik untuk diperhatikan bahawa jika anda mengukur sentimeter yang sama secara mendatar dan menegak, maka hasilnya (dalam sel) akan berbeza! Sebenarnya, notebook moden tidak berkotak, tetapi segi empat tepat. Mungkin ini akan kelihatan tidak masuk akal, tetapi, sebagai contoh, melukis bulatan dengan sepasang kompas dalam keadaan sedemikian sangat menyusahkan. Sejujurnya, pada masa-masa semacam ini anda mula memikirkan tentang ketepatan Rakan Saudara Stalin, yang dihantar ke kem-kem untuk kerja-kerja hack di kilang, belum lagi industri automotif domestik, jatuh pesawat atau loji kuasa meletup.
Bercakap tentang kualiti, atau cadangan ringkas mengenai alat tulis. Hari ini, kebanyakan buku nota dijual, tanpa mengatakan kata-kata buruk, sama sekali homogen. Kerana mereka basah, dan bukan hanya dari gel, tetapi juga dari pen bulb! Simpan di atas kertas. Saya cadangkan menggunakan buku tulis Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 lembaran, sangkar) atau Pyaterochka untuk ujian pendaftaran, walaupun lebih mahal. Adalah dinasihatkan untuk memilih pen gel, walaupun pen gel gelang paling murah adalah jauh lebih baik daripada pen ballpoint yang mencampakkan atau menarik kertas. Satu-satunya peniti ballpoint yang "berdaya saing" dalam ingatan saya adalah Erich Krause. Dia menulis dengan jelas, indah dan mantap - dengan teras penuh, dengan hampir kosong.
Pilihan: Visi sistem koordinat segi empat tepat melalui mata geometri analisis diliputi dalam artikel Galakan vektor (bukan) vektor. Asas vektor, untuk maklumat terperinci mengenai kuarters koordinat boleh didapati dalam perenggan kedua pelajaran Ketaksamaan linear.
Kes tiga dimensi
Hampir segala-galanya adalah sama di sini.
1) Kami menarik paksi koordinat. Standard: pakai paksi
- diarahkan, paksi - diarahkan ke kanan, paksi - dibawah ketat pada sudut 45 darjah.
2) Kami menandatangani paksi.
3) Kami menetapkan skala di sepanjang paksi. Skala paksi - separuh saiz paksi lain. Juga ambil perhatian bahawa dalam lukisan yang betul saya menggunakan "serif" yang tidak standard di sepanjang paksi (kemungkinan ini telah disebutkan di atas). Dari sudut pandangan saya, ia lebih tepat, lebih cepat dan lebih estetika menyenangkan - anda tidak perlu melihat di bawah mikroskop untuk tengah sel dan "mengukir" unit tepat di sebelah asalnya.
Apabila melakukan lukisan tiga dimensi, sekali lagi - memberi keutamaan kepada skala
1 unit \u003d 2 sel (lukisan di sebelah kiri).
Apakah semua peraturan ini? Peraturan ada untuk memecahkan mereka. Apa yang akan saya lakukan sekarang. Faktanya ialah lukisan artikel seterusnya akan dibuat oleh saya dalam Excel, dan paksi koordinat akan kelihatan tidak tepat dari sudut pandangan reka bentuk yang betul. Saya boleh melukis semua graf dengan tangan, tetapi sebenarnya menarik mereka sebagai Excel enggan mengejutkan akan menarik mereka lebih tepat.
Grafik dan sifat asas fungsi asas
Fungsi linear diberikan oleh persamaan. Grafik fungsi linear ialah langsung. Untuk membina garis cukup untuk mengetahui dua mata.
Contoh 1
Bina grafik fungsi. Mencari dua mata. Ia berfaedah untuk memilih sifar sebagai salah satu mata.
Jika, kemudian
Kami mengambil beberapa perkara lain, sebagai contoh, 1.
Jika, kemudian
Apabila menyelesaikan tugasan, koordinat titik biasanya diringkaskan dalam jadual:
Dan nilai-nilai itu sendiri dikira secara lisan atau pada draf kalkulator.
Dua mata dijumpai, laksana lukisan:
Apabila melukis, kami sentiasa menandatangani grafik.
Ia tidak akan diperlukan untuk mengingati kes-kes tertentu fungsi linear:
Perhatikan bagaimana saya menyusun kapsyen, tandatangan tidak boleh disalahpahami apabila mempelajari lukisan. Dalam kes ini, adalah sangat tidak diingini untuk meletakkan tandatangan di dekat titik persilangan talian, atau di bahagian bawah kanan antara graf.
1) Fungsi linear bentuk () dipanggil proporsional langsung. Contohnya ,. Grafik proporsional langsung sentiasa melalui asal. Oleh itu, pembinaan garis dipermudahkan - hanya dapatkan satu titik.
2) Persamaan bentuk menentukan garis lurus selari dengan paksi, khususnya, paksi itu sendiri diberikan oleh persamaan. Grafik fungsi dibina dengan segera, tanpa mencari sebarang mata. Iaitu, rekod harus difahami seperti berikut: "permainan ini sentiasa sama dengan -4, untuk apa-apa nilai x."
3) Persamaan bentuk menentukan garis lurus selari dengan paksi, khususnya, paksi itu sendiri diberikan oleh persamaan. Grafik fungsi juga dibina dengan segera. Rekod harus difahami seperti berikut: "X sentiasa, untuk apa-apa nilai pemain, adalah sama dengan 1".
Ada yang akan bertanya, mengapa ingat Gred 6? Jadi itulah, mungkin begitu, hanya selama bertahun-tahun amalan saya berjumpa dengan sedozen pelajar yang bingung dengan tugas mewujudkan jadual seperti atau.
Membina garis lurus adalah tindakan yang paling biasa apabila lukisan.
Talian lurus diperiksa secara terperinci dalam perjalanan geometri analitik, dan mereka yang ingin dapat merujuk artikel tersebut Persamaan garis pada satah.
Graf fungsi kuadratik, kubik, graf polinomial
Parabola. Grafik fungsi kuadratik  () adalah parabola. Pertimbangkan kes yang terkenal:
Ingat beberapa sifat fungsi tersebut.
Jadi, penyelesaian kepada persamaan kami: - pada titik ini bahawa bahagian atas parabola terletak. Mengapa ini begitu boleh didapati dalam artikel teori mengenai terbitan dan pelajaran mengenai extrema fungsi. Sementara itu, kita mengira nilai yang sepadan dengan "permainan":
Jadi titik di titik itu
Sekarang kita mencari titik lain, sementara kita menggunakan simetri parabola. Perlu diingatkan bahawa fungsi itu  – tidak jugatetapi, bagaimanapun, tiada sesiapa yang membatalkan simetri parabola itu.
Dalam apa cara untuk mencari mata yang tinggal, saya fikir ia akan menjadi jelas dari jadual akhir:
Algoritma pembinaan ini boleh secara kiasan disebut "shuttle" atau prinsip "bolak-balik" dengan Anfisa Chekhova.
Mari kita laksanakan lukisan:
Dari graf yang diperiksa, satu lagi petua yang berguna diingat:
Untuk fungsi kuadratik  () yang berikut adalah benar:
Jika, maka cabang parabola diarahkan.
Jika, maka cabang parabola diarahkan.
Pengetahuan tentang lengkung yang mendalam dapat diperoleh dalam pelajaran Hyperbola dan Parabola.
Parabola kubik ditetapkan oleh fungsi. Inilah lukisan biasa dari sekolah:
Kami menyenaraikan ciri utama fungsi tersebut
Grafik fungsi
Ia mewakili salah satu cawangan parabola. Mari kita laksanakan lukisan:
Ciri-ciri utama fungsi:
Dalam kes ini, paksi adalah asymptote menegak
untuk plot hyperbola di.
Ia akan menjadi kesilapan BESAR jika, apabila membuat lukisan dengan kecuaian, kami membenarkan persimpangan graf dengan asymptote.
Juga had satu sisi memberitahu kami bahawa hyperbole tidak terhad dari atas dan tidak terhad dari bawah.
Kami mengkaji fungsi di infiniti: iaitu, jika kita mula pergi ke paksi ke kiri (atau kanan) ke tak terhingga, maka "permainan" akan menjadi langkah yang langsing hampir tak terhingga pendekatan sifar, dan, dengan itu, cabang-cabang hiperbola itu hampir tak terhingga mendekati paksi.
Jadi paksi itu asymptote mendatar
untuk graf fungsi, jika "X" cenderung menambah atau tolak infiniti.
Fungsi adalah ganjil, dan, oleh itu, hiperbola adalah simetri berkenaan dengan asal usul. Fakta ini jelas dari lukisan, sebagai tambahan, ia mudah disahkan secara analitik:  .
Grafik satu fungsi borang () mewakili dua cabang daripada hiperbola.
Sekiranya, hiperbola itu terletak di kuarters koordinat pertama dan ketiga (lihat gambar di atas).
Sekiranya hyperbole terletak di kuarters koordinat kedua dan keempat.
Ketetapan yang dinyatakan tentang kediaman hiperbola tidak sukar untuk dianalisis dari sudut pandangan grafik graf geometri.
Contoh 3
Bina cawangan hyperbole yang betul
Kami menggunakan kaedah pembinaan pointwise, manakala ia adalah berfaedah untuk memilih nilai-nilai supaya mereka dibahagikan sepenuhnya:
Mari kita laksanakan lukisan:
Ia tidak akan menjadi sukar untuk membina cawangan kiri hyperbola, keagungan fungsinya akan membantu di sini. Secara kasar, dalam jadual pembinaan pointwise, secara mental menambah minus kepada setiap nombor, letakkan mata yang sama dan lukis cawangan kedua.
Maklumat geometri terperinci mengenai garisan yang dipertimbangkan boleh didapati dalam artikel Hyperbola dan Parabola.
Grafik fungsi eksponen
Dalam seksyen ini, saya akan segera mempertimbangkan fungsi eksponen, kerana dalam masalah matematik yang lebih tinggi dalam 95% kes ia adalah eksponen.
Saya mengingatkan anda bahawa ini adalah nombor yang tidak rasional: ia akan diperlukan apabila membina jadual, yang, sebenarnya, saya akan membina tanpa upacara. Tiga mata mungkin cukup:
Marilah kita meninggalkan graf fungsi sahaja, kira-kira kemudian.
Ciri-ciri utama fungsi:
Grafik fungsi pada dasarnya sama, dan lain-lain.
Saya harus mengatakan bahawa kes kedua adalah kurang biasa dalam amalan, tetapi ia berlaku, jadi saya fikir perlu memasukkannya dalam artikel ini.
Graf fungsi logaritma
Pertimbangkan satu fungsi dengan logaritma semulajadi.
Mari buat lukisan titik:
Jika anda terlupa apa logaritma, sila rujuk buku sekolah.
Ciri-ciri utama fungsi:
Skop: 
Julat Nilai :.
Fungsi ini tidak terhad dari atas:  , walaupun perlahan-lahan, tetapi cawangan logaritma naik ke tak terhingga.
Kami mengkaji kelakuan fungsi berhampiran sifar di sebelah kanan:  . Jadi paksi itu asymptote menegak
untuk fungsi graf dengan "x" cenderung kepada sifar di sebelah kanan.
Pastikan anda mengetahui dan ingat nilai biasa logaritma: .
Grafik logaritma pada dasarnya sama pada asas: ,, (logarithm perpuluhan berdasarkan asas 10), dan lain-lain. Lebih-lebih lagi, semakin besar pangkalannya, jadilah jadual yang lebih lembut.
Kami tidak akan mempertimbangkan perkara ini, saya tidak ingat sesuatu ketika kali terakhir saya membina jadual dengan alasan sedemikian. Dan logaritma seolah-olah menjadi tetamu yang sangat jarang berlaku dalam masalah matematik yang lebih tinggi.
Sebagai kesimpulan, saya akan mengatakan satu fakta lagi: Fungsi eksponen dan fungsi logaritmaAdakah dua fungsi songsang. Jika anda melihat dengan teliti pada grafik logaritma, anda dapat melihat bahawa ini adalah eksponen yang sama, ia hanya terletak sedikit berbeza.
Graf fungsi trigonometri
Apakah siksaan trigonometri di sekolah bermula? Betul. Dengan sinus
Kami merancang fungsi ini
Garis ini dipanggil gelombang sinus.
Saya mengingatkan anda bahawa "pi" adalah nombor tidak rasional :, dan dalam trigonometri daripadanya meresap di mata.
Ciri-ciri utama fungsi:
Fungsi ini adalah berkala dengan tempoh. Apa maksudnya? Mari lihat segmen itu. Ke sebelah kiri dan ke kanannya, sekeping graf yang sama berulang-ulang tanpa henti.
Skop:, iaitu, untuk sebarang nilai "X" terdapat nilai sinus.
Julat Nilai :. Fungsi adalah terhad:, iaitu, semua "permainan" duduk dengan tegas dalam segmen tersebut.
Ini tidak berlaku: atau, lebih tepatnya, ia berlaku, tetapi persamaan yang ditunjukkan tidak mempunyai penyelesaian. |
Parabola. Grafik fungsi kuadratik () adalah parabola. Pertimbangkan kes kanonikal:
Ingat beberapa sifat fungsi tersebut.
Ruang lingkup adalah sebarang bilangan sebenar (sebarang nilai x). Apa maksudnya? Apa pun titik pada paksi yang kita pilih - bagi setiap "X" terdapat titik parabola. Matematik, ia ditulis seperti ini :. Skop fungsi mana-mana yang dinyatakan secara standard oleh atau. Surat itu menandakan banyak nombor nyata atau, lebih mudah, "mana-mana X" (apabila kerja dijalankan dalam buku nota, mereka menulis bukan surat keriting, tetapi huruf tebal R).
Julat nilai adalah set semua nilai yang boleh dimainkan oleh pemboleh ubah tersebut. Dalam kes ini: - satu set semua nilai positif, termasuk sifar. Julat nilai dinyatakan secara standard oleh atau.
Fungsi adalah walaupun. Jika fungsi itu adalah sama, maka grafnya adalah simetri mengenai paksi. Ini adalah harta yang sangat berguna, yang sangat memudahkan pembinaan graf, yang akan kita lihat tidak lama lagi. Secara analitikal, pariti fungsi dinyatakan oleh suatu keadaan. Bagaimana untuk menyemak sebarang fungsi untuk pariti? Ia perlu menggantikan persamaan. Dalam kes parabola, pemeriksaan kelihatan seperti ini: ini bermakna fungsi itu adalah sama.
Fungsi tidak terhad dari atas. Secara analitik, harta ditulis seperti ini :. Dengan cara ini, ini adalah contoh makna geometri had fungsi: jika kita pergi ke paksi (kiri atau kanan) ke infiniti, maka cawangan parabola ("bermain" nilai) akan naik tanpa had "ditambah infiniti".
Pada had fungsi pembelajaran adalah wajar untuk memahami makna geometri had.
Bukan kebetulan bahawa saya melukis ciri-ciri fungsi dalam perincian sedemikian, semua perkara di atas berguna untuk mengetahui dan mengingati apabila merancang fungsi, serta apabila meneroka grafik fungsi.
Contoh 2
Fungsi plot 
.
Dalam contoh ini, kita akan melihat soalan teknikal yang penting: Bagaimana dengan cepat membina parabola? Dalam tugas praktikal, keperluan untuk melukis parabola timbul dengan kerap, khususnya apabila mengira kawasan angka menggunakan integral tertentu. Oleh itu, adalah dinasihatkan untuk belajar bagaimana untuk menarik dengan cepat, dengan kehilangan masa yang minima. Saya mencadangkan algoritma pembinaan berikut.
Pertama kita temui bahagian atas parabola. Untuk melakukan ini, ambil derivatif pertama dan menyamakannya kepada sifar:
Sekiranya derivatif buruk, anda mesti membaca pelajaran. Bagaimana untuk mencari derivatif?
Jadi, penyelesaian kepada persamaan kami: - pada titik ini bahawa bahagian atas parabola terletak. Kami mengira nilai sepadan "permainan":
Jadi titik di titik itu
Sekarang kita mencari titik lain, sementara kita menggunakan simetri parabola. Perlu diingatkan bahawa fungsi itu – tidak jugatetapi, bagaimanapun, tiada sesiapa yang membatalkan simetri parabola itu.
Dalam apa cara untuk mencari mata yang tinggal, saya fikir ia akan menjadi jelas dari jadual akhir:
Algoritma pembinaan ini boleh disebut secara kiasan sebagai "shuttle". Mungkin bukan semua orang memahami intipati pesawat ulang-alik, maka untuk perbandingan saya mengingatkan anda mengenai rancangan TV terkenal "tudy-syudy dengan Anfisa Chekhova".
Mari kita laksanakan lukisan:
Dari graf yang diperiksa, satu lagi petua yang berguna diingat:
Untuk fungsi kuadrat (), berikut adalah benar:
Jika, maka cabang parabola diarahkan ke atas.
Jika, maka cabang parabola diarahkan ke bawah.
Parabola kubik
Parabola kubik ditetapkan oleh fungsi. Inilah lukisan biasa dari sekolah:
Kami menyenaraikan ciri utama fungsi tersebut
Skop - sebarang nombor sebenar :.
Julat nilai adalah sebarang nombor sebenar :.
Fungsi adalah ganjil. Sekiranya fungsi itu ganjil, maka grafnya adalah simetri berkenaan dengan asal. Secara analitik, ganjil fungsi dinyatakan oleh keadaan 
. Kami melakukan pemeriksaan untuk fungsi padu, untuk ini, bukannya "X", ganti "tolak X":
, maka fungsi itu ganjil.
Fungsi tidak terhad. Dalam bahasa had fungsi, ini boleh ditulis seperti berikut:
Ia juga lebih cekap untuk membina parabola padu dengan bantuan algoritma "shuttle" Anfisa Chekhova:
Sesungguhnya, anda dapat melihat apa lagi kelebihan fungsi ini. Jika kami dapati itu 
, maka apabila mengira ia tidak lagi perlu untuk mengira apa-apa, tulis secara automatik itu. Ciri ini sesuai untuk sebarang fungsi ganjil.
Sekarang mari kita bercakap sedikit tentang graf polinomial.
Grafik mana-mana polinomial darjah ketiga 
() pada dasarnya mempunyai bentuk berikut:
Dalam contoh ini, pekali berada pada tahap yang tertinggi, jadi graf tersebut dibalikkan. Pada prinsipnya, graf polinomial dari 5, 7, 9 dan lain-lain darjah ganjil mempunyai bentuk yang sama. Semakin tinggi tahap, lebih banyak perantaraan "zagibulin".
Polinomial dari tahap ke-4, ke-6 dan lain-lain mempunyai graf bentuk berikut:
Pengetahuan ini berguna dalam mengkaji grafik fungsi.
Grafik fungsi
Mari kita laksanakan lukisan:
Ciri-ciri utama fungsi:
Skop:.
Julat Nilai :.
Iaitu, graf fungsi sepenuhnya dalam suku pertama koordinat.
Fungsi tidak terhad dari atas. Atau gunakan had: 
Apabila membina graf paling sederhana dengan akar, kaedah pembinaan sebaliknya juga sesuai, sementara ia adalah berfaedah untuk memilih nilai "X" sedemikian supaya akar diekstrak sepenuhnya:
Parabola. Grafik fungsi kuadratik () adalah parabola. Pertimbangkan kes kanonikal:
Ingat beberapa sifat fungsi tersebut.
Ruang lingkup adalah sebarang bilangan sebenar (sebarang nilai x). Apa maksudnya? Apa pun titik pada paksi yang kita pilih - bagi setiap "X" terdapat titik parabola. Matematik, ia ditulis seperti ini :. Skop fungsi mana-mana yang dinyatakan secara standard oleh atau. Surat itu menandakan banyak nombor nyata atau, lebih mudah, "mana-mana X" (apabila kerja dijalankan dalam buku nota, mereka menulis bukan surat keriting, tetapi huruf tebal R).
Julat nilai adalah set semua nilai yang boleh dimainkan oleh pemboleh ubah tersebut. Dalam kes ini: - satu set semua nilai positif, termasuk sifar. Julat nilai dinyatakan secara standard oleh atau.
Fungsi adalah walaupun. Jika fungsi itu adalah sama, maka grafnya adalah simetri mengenai paksi. Ini adalah harta yang sangat berguna, yang sangat memudahkan pembinaan graf, yang akan kita lihat tidak lama lagi. Secara analitikal, pariti fungsi dinyatakan oleh suatu keadaan. Bagaimana untuk menyemak sebarang fungsi untuk pariti? Ia perlu menggantikan persamaan. Dalam kes parabola, pemeriksaan kelihatan seperti ini: ini bermakna fungsi itu adalah sama.
Fungsi tidak terhad dari atas. Secara analitik, harta ditulis seperti ini :. Dengan cara ini, ini adalah contoh makna geometri had fungsi: jika kita pergi ke paksi (kiri atau kanan) ke infiniti, maka cawangan parabola ("bermain" nilai) akan naik tanpa had "ditambah infiniti".
Pada had fungsi pembelajaran adalah wajar untuk memahami makna geometri had.
Bukan kebetulan bahawa saya melukis ciri-ciri fungsi dalam perincian sedemikian, semua perkara di atas berguna untuk mengetahui dan mengingati apabila merancang fungsi, serta apabila meneroka grafik fungsi.
Contoh 2
Bina grafik fungsi.
Dalam contoh ini, kita akan melihat soalan teknikal yang penting: Bagaimana dengan cepat membina parabola? Dalam tugas praktikal, keperluan untuk membuat parabola timbul sangat kerap, terutamanya apabila mengira kawasan angka menggunakan integral tertentu. Oleh itu, adalah dinasihatkan untuk belajar bagaimana untuk menarik dengan cepat, dengan kehilangan masa yang minima. Saya mencadangkan algoritma pembinaan berikut.
Pertama kita temui bahagian atas parabola. Untuk melakukan ini, ambil derivatif pertama dan menyamakannya kepada sifar:
Sekiranya derivatif buruk, anda mesti membaca pelajaran. Bagaimana untuk mencari derivatif?
Jadi, penyelesaian kepada persamaan kami: - pada titik ini bahawa bahagian atas parabola terletak. Kami mengira nilai sepadan "permainan":
Jadi titik di titik itu
Sekarang kita mencari titik lain, sementara kita menggunakan simetri parabola. Perlu diingatkan bahawa fungsi itu - tidak jugatetapi, bagaimanapun, tiada sesiapa yang membatalkan simetri parabola itu.
Dalam apa cara untuk mencari mata yang tinggal, saya fikir ia akan menjadi jelas dari jadual akhir:
Algoritma pembinaan ini boleh disebut secara kiasan sebagai "shuttle". Mungkin bukan semua orang memahami intipati pesawat ulang-alik, maka untuk perbandingan saya mengingatkan anda mengenai rancangan TV terkenal "tudy-syudy dengan Anfisa Chekhova".
Mari kita laksanakan lukisan:
Dari graf yang diperiksa, satu lagi petua yang berguna diingat:
Untuk fungsi kuadrat (), berikut adalah benar:
Jika, maka cabang parabola diarahkan ke atas.
Jika, maka cabang parabola diarahkan ke bawah.
Parabola kubik
Parabola kubik ditetapkan oleh fungsi. Inilah lukisan biasa dari sekolah:
Kami menyenaraikan ciri utama fungsi tersebut
Skop - sebarang nombor sebenar :.
Julat nilai adalah sebarang nombor sebenar :.
Fungsi adalah ganjil. Sekiranya fungsi itu ganjil, maka grafnya adalah simetri berkenaan dengan asal. Secara analitik, ganjil fungsi dinyatakan oleh keadaan 
. Kami melakukan pemeriksaan untuk fungsi padu, untuk ini, bukannya "X", ganti "tolak X":
, maka fungsi itu ganjil.
Fungsi tidak terhad. Dalam bahasa had fungsi, ini boleh ditulis seperti berikut:
Ia juga lebih cekap untuk membina parabola padu dengan bantuan algoritma "shuttle" Anfisa Chekhova:
Sesungguhnya, anda dapat melihat apa lagi kelebihan fungsi ini. Jika kami dapati itu 
, maka apabila mengira ia tidak lagi perlu untuk mengira apa-apa, tulis secara automatik itu. Ciri ini sesuai untuk sebarang fungsi ganjil.
Sekarang mari kita bercakap sedikit tentang graf polinomial.
Grafik mana-mana polinomial darjah ketiga 
() pada dasarnya mempunyai bentuk berikut:
Dalam contoh ini, pekali berada pada tahap yang tertinggi, jadi graf tersebut dibalikkan. Pada prinsipnya, graf polinomial dari 5, 7, 9 dan lain-lain darjah ganjil mempunyai bentuk yang sama. Semakin tinggi tahap, lebih banyak perantaraan "zagibulin".
Polinomial dari tahap ke-4, ke-6 dan lain-lain mempunyai graf bentuk berikut:
Pengetahuan ini berguna dalam mengkaji grafik fungsi.
Grafik fungsi
Mari kita laksanakan lukisan:
Ciri-ciri utama fungsi:
Skop:.
Julat Nilai :.
Iaitu, graf fungsi sepenuhnya dalam suku pertama koordinat.
Fungsi tidak terhad dari atas. Atau gunakan had: 
Apabila membina graf paling sederhana dengan akar, kaedah pembinaan sebaliknya juga sesuai, sementara ia adalah berfaedah untuk memilih nilai "X" sedemikian supaya akar diekstrak sepenuhnya:
Sebenarnya, saya mahu menguraikan lebih banyak contoh dengan akar, contohnya, tetapi mereka kurang biasa. Saya memberi tumpuan kepada kes-kes yang lebih biasa, dan, sebagai persembahan amalan, sesuatu seperti perlu dibina lebih kerap. Sekiranya diperlukan untuk mengetahui rupa grafik seperti dengan akar lain, maka saya cadangkan anda melihat buku rujukan sekolah atau buku rujukan matematik.
Grafik Hyperbola
Sekali lagi, ingat hiperbola "sekolah" remeh.
Mari kita laksanakan lukisan:
Ciri-ciri utama fungsi:
Skop:.
Julat Nilai :.
Entri ini bermaksud: "sebarang nombor nyata tidak termasuk sifar"
Pada satu ketika, fungsi tersebut mengalami rehat yang tak terhingga. Atau gunakan unilateralhad:,. Mari kita bercakap sedikit mengenai had berat sebelah. Entri itu bermakna bahawa kita hampir tak terhingga menghampiri paksi ke sifar kiri. Bagaimanakah jadual itu berkelakuan? Dia pergi ke tak terbatas minima, hampir tak terhingga menghampiri paksi. Fakta ini ditulis oleh had. Begitu juga, entri itu bermakna kita hampir tak terhingga menghampiri paksi ke sifar di sebelah kanan. Dalam kes ini, cawangan hiperbola naik dengan tambah tak terhingga, hampir tak terhingga menghampiri paksi. Atau ringkasnya :.
jenis
di mana Dalam erti kata lain, fungsi kubik ditakrifkan oleh polinomial darjah ketiga.
Sifat analitik
Permohonan
Parabola padu kadang-kadang digunakan untuk mengira lengkung peralihan dalam pengangkutan, kerana pengiraannya jauh lebih mudah daripada membina sebuah kain.
Lihat juga
Tulis ulasan mengenai artikel "Fungsi Kubik"
Nota
Kesusasteraan
- L. S. Pontryagin, // "Quantum", 1984, No. 3.
- I. N. Bronstein, K. A. Semendyaev, "Buku Panduan Matematik", Penerbitan "Sains", M. 1967, ms. 84
Petikan pada Fungsi Cubic
"Baiklah, untuk apa sahaja ..."
Pada masa ini, Petya, yang tiada siapa yang memberi perhatian kepada, mendekati bapanya dan, semua merah, pecah, kemudian dalam keras, kemudian dengan suara yang nipis, berkata:
"Nah, ayah, saya pasti akan mengatakan - dan mama juga, seperti yang anda mahukan - Saya pasti akan mengatakan bahawa anda akan membiarkan saya masuk ke perkhidmatan ketenteraan kerana saya tidak boleh ... itu sahaja ..."
Countess memandang dengan seram ke langit, memegang tangannya dan marah berpaling kepada suaminya.
- Jadi saya bersetuju! Dia berkata.
Tetapi kiraannya segera pulih dari keseronokannya.
"Baiklah," katanya. - Inilah seorang pahlawan! Tinggalkan omong kosong: anda perlu belajar.
- Ia bukan bodoh, ayah. Obolensky Fedya adalah lebih muda daripada saya dan juga pergi, dan yang paling penting, semua yang sama, saya tidak boleh belajar apa-apa sekarang ... - Petya berhenti, dicemarkan dengan peluh dan berkata sama: - apabila tanah air berada dalam bahaya.
- Penuh, penuh, bodoh ...
"Kenapa awak sendiri kata kami akan mengorbankan segalanya."
"Petya, saya katakan, diam," kiraan itu berteriak, memandang ke arah isterinya, yang, pucat pucat, memandang dengan mata tetap pada anak kecil itu.
"Dan saya beritahu awak." Jadi Pyotr Kirillovich akan mengatakan ...
- Saya memberitahu anda - karut, susu belum kering lagi, tetapi mahu pergi ke perkhidmatan ketenteraan! Baiklah, saya katakan kepada anda, dan Count, dengan mengambilnya kertas, mungkin untuk membaca lagi dalam kajiannya sebelum berehat, keluar dari bilik.
- Pyotr Kirillovich, baik, mari kita pergi merokok ...
Pierre malu dan tidak ragu-ragu. Mata Natasha yang luar biasa dan bersemangat terus-menerus, lebih dari sekadar kasih sayang berpaling ke arahnya, membawanya ke negeri ini.
"Tidak, saya rasa saya pulang ..."
- Bagaimana untuk pulang ke rumah, tetapi anda mahu mempunyai malam bersama kami ... Dan itu jarang berlaku. Dan yang satu ini adalah saya ... - kata Count baik-naturedly, menunjuk kepada Natasha, - hanya dengan anda dia ceria ...
- Ya, saya terlupa ... Saya pasti perlu pulang ke rumah ... Kes ... - Pierre berkata dengan tergesa-gesa.
"Baiklah, selamat tinggal," kata Earl, meninggalkan ruangan itu.
"Kenapa awak pergi?" Mengapa kamu kecewa? Kenapa? - Pierre Natasha bertanya, menatap dengan teliti di matanya.
"Kerana aku mencintaimu! Dia mahu mengatakannya, tetapi dia tidak mengatakan ini, dia merosakkan air mata dan menundukkan matanya.
"Kerana lebih baik bagi saya untuk melawat anda kurang ... Kerana ... tidak, itu hanya perniagaan saya."
- Mengapa? tidak, beritahu saya, - Natasha mula tegas, dan tiba-tiba terdiam. Mereka berdua saling memandang, terkejut dan terkejut. Dia cuba tersenyum, tetapi tidak dapat: senyumannya menyatakan penderitaan, dan dia secara senyap mencium tangannya dan keluar.
Pierre memutuskan sendiri tidak lagi bersama dengan Rostovs. Petya, selepas penolakan yang ditolak dia diterima, masuk ke biliknya dan di sana, menutup diri dari semua orang, menangis dengan sedih. Semua orang melakukan seolah-olah mereka tidak melihat apa-apa ketika dia datang ke teh senyap dan suram, dengan mata air mata.
Keesokan harinya, maharaja tiba. Beberapa orang di halaman Rostovs mengambil cuti untuk pergi melihat raja. Pagi ini, Petya berpakaian untuk masa yang lama, menyikat rambutnya, dan mengatur kerah seperti yang dilakukannya dengan yang besar. Dia mengerutkan dahi di hadapan cermin, membuat isyarat, mengangkat bahu, dan akhirnya, tanpa memberitahu sesiapa, memakai topi dan meninggalkan rumah itu dari teras belakang, cuba untuk tidak diperhatikan. Petya memutuskan untuk pergi langsung ke tempat di mana raja itu, dan terus menerangkan kepada sesetengah pelukis (Petya menganggap bahawa kedaulatan itu sentiasa dikelilingi oleh para pengawas) bahawa dia, Count Rostov, walaupun muda, ingin berkhidmat kepada tanah airnya, bahawa belia tidak boleh menjadi penghalang untuk kesetiaan dan bahawa dia sudah bersedia ... Petya, semasa dia sedang mempersiapkan, menyediakan banyak kata-kata indah yang akan dia katakan kepada si penjaga.
Fungsi y \u003d x ^ 2 dipanggil fungsi kuadratik. Grafik fungsi kuadratik adalah parabola. Pandangan umum parabola ditunjukkan dalam gambar di bawah.
Fungsi kuadratik
Rajah 1. Pandangan umum parabola
Seperti yang dapat dilihat dari graf, ia adalah simetri mengenai paksi Oy. Paksi Oy dipanggil paksi simetri parabola. Ini bermakna jika anda menggambar graf garis selari dengan paksi Ox di atas paksi ini. Kemudian dia akan menyeberangi parabola pada dua mata. Jarak dari titik ini ke paksi Oy akan sama.
Paksi simetri membahagi graf parabola ke dalam dua bahagian. Bahagian ini dipanggil cawangan parabola. Dan titik parabola yang terletak pada paksi simetri dipanggil puncak parabola. Iaitu, paksi simetri melepasi bahagian atas parabola. Koordinat titik ini (0; 0).
Sifat asas fungsi kuadratik
1. Untuk x \u003d 0, y \u003d 0, dan y\u003e 0 untuk x0
2. Fungsi kuadratik mencapai nilai minima di puncaknya. Ymin pada x \u003d 0; Ia juga harus diperhatikan bahawa nilai maksimum fungsi tidak wujud.
3. Fungsi ini berkurangan dalam selang (-∞; 0) dan peningkatan dalam selang)
