Dalam artikel ini, kita mempertimbangkan penyelesaian persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

Tetapi pertama, kita ulangi apa persamaan dipanggil kuadratik. Persamaan bentuk kapak 2 + bx + c \u003d 0, di mana x adalah pembolehubah, dan pekali a, b dan c adalah beberapa nombor, dan ≠ 0, dipanggil persegi. Seperti yang kita lihat pekali di x 2 tidak sama dengan sifar, dan oleh itu pekali di x atau istilah percuma boleh sama dengan sifar, dalam kes ini kita memperoleh persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

Persamaan kuadrat tidak lengkap terdiri daripada tiga jenis:

1) Jika b \u003d 0, c ≠ 0, maka kapak 2 + c \u003d 0;

2) Jika b ≠ 0, c \u003d 0, maka kapak 2 + bx \u003d 0;

3) Jika b \u003d 0, c \u003d 0, maka ax 2 \u003d 0.

• Mari lihat bagaimana mereka diselesaikan persamaan bentuk kap 2 + c \u003d 0.

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, pindahkan istilah percuma ke sebelah kanan persamaan, kita dapati

kapak 2 \u003d -s. Oleh kerana ≠ 0, kita membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan a, maka x 2 \u003d -с / a.

Jika -a / a\u003e 0, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar

x \u003d ± √ (-c / a).

Sekiranya -c / a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Mari cuba mencari contoh bagaimana menyelesaikan persamaan tersebut.

Contoh 1. Selesaikan persamaan 2x 2 - 32 \u003d 0.

Jawab: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Contoh 2. Selesaikan persamaan 2x 2 + 8 \u003d 0.

Jawab: Persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

• Mari lihat bagaimana mereka diselesaikan persamaan bentuk kapak 2 + bx \u003d 0.

Untuk menyelesaikan persamaan kapak 2 + bx \u003d 0, kita faktor itu, iaitu, pendakap x, kita dapat x (ax + b) \u003d 0. Produk adalah sifar jika sekurang-kurangnya salah satu faktor adalah sifar. Kemudian sama ada x \u003d 0 atau kapak + b \u003d 0. Menyelesaikan persamaan kapak + b \u003d 0, kita mendapat kapak \u003d - b, dari mana x \u003d - b / a. Persamaan bentuk kap 2 + bx \u003d 0, selalu mempunyai dua akar x 1 \u003d 0 dan x 2 \u003d - b / a. Lihatlah bagaimana penyelesaian persamaan jenis ini kelihatan pada gambar rajah.

Kami membetulkan pengetahuan kami tentang contoh konkrit.

Contoh 3. Selesaikan persamaan 3x 2 - 12x \u003d 0.

x (3x - 12) \u003d 0

x \u003d 0 atau 3x - 12 \u003d 0

Jawab: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

• Persamaan bentuk kapak ketiga 2 \u003d 0  diselesaikan sangat mudah.

Jika paksi 2 \u003d 0, maka x 2 \u003d 0. Persamaan mempunyai dua akar yang sama x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Untuk kejelasan, pertimbangkan skema.

Apabila menyelesaikan Contoh 4, kami akan mengesahkan bahawa persamaan bentuk ini diselesaikan dengan sangat mudah.

Contoh 4  Selesaikan persamaan 7x2 \u003d 0.

Jawab: x 1, 2 \u003d 0.

Ia tidak semestinya jelas apa persamaan kuadrat yang tidak lengkap yang perlu kita selesaikan. Pertimbangkan contoh berikut.

Contoh 5  Selesaikan persamaan

Majukan kedua-dua belah persamaan dengan penyebut biasa, iaitu 30

Memendekkan

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x2 - 9) \u003d 90.

Kembangkan kurungan

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 90.

Kami berikan sama

Gerakkan 99 dari sebelah kiri persamaan ke kanan, menukar tanda ke sebaliknya

Jawab: tidak ada akar.

Kami mengkaji bagaimana persamaan kuadrat separa diselesaikan. Saya harap sekarang anda tidak akan menghadapi masalah dengan tugas-tugas tersebut. Berhati-hati apabila menentukan jenis persamaan kuadrat yang tidak lengkap, maka anda akan berjaya.

Sekiranya anda mempunyai soalan tentang topik ini, mendaftar untuk pelajaran saya, kami akan menyelesaikan masalah bersama.

laman web, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan kepada sumber diperlukan.

Meneruskan topik "Penyelesaian Persamaan," bahan dalam artikel ini akan memperkenalkan anda kepada persamaan kuadratik.

Kita akan mempertimbangkan semua perkara secara terperinci: intipati dan notasi persamaan kuadratik, kita akan menetapkan terma yang disertakan, kita akan menganalisis skim penyelesaian untuk persamaan yang tidak lengkap dan lengkap, kita akan mengenali formula akar dan diskriminasi, kita akan mewujudkan hubungan antara akar dan koefisien, dan tentu saja kita akan memberikan penyelesaian yang jelas kepada contoh-contoh praktikal.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Persamaan kuadratik, jenisnya

Persamaan kuadratik  Adakah persamaan ditulis sebagai   a x 2 + b x x + c \u003d 0di mana   x  - pembolehubah, a, b dan   c  - beberapa nombor, sementara abukan sifar.

Seringkali, persamaan kuadratik juga dipanggil persamaan ijazah kedua, kerana pada asasnya persamaan kuadratik adalah persamaan algebra dari tahap kedua.

Kami memberikan contoh untuk menggambarkan definisi yang diberikan: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7.5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 \u003d 0, dsb. Persamaan kuadratik.

Definisi 2

Nombor a, b dan   c  Adakah koefisien persamaan kuadratik   a x 2 + b x x + c \u003d 0, manakala pekali   a  menanggung nama pertama, atau kanan, atau pekali pada x 2, b - pekali kedua, atau pekali pada   x, dan   c dipanggil ahli percuma.

Contohnya, dalam persamaan kuadratik   6 x 2 - 2 x 11 \u003d 0  pekali kanan ialah 6, pekali kedua ialah − 2 , dan istilah percuma adalah − 11 . Beri perhatian kepada fakta bahawa apabila pekali   bdan / atau c adalah negatif, maka bentuk notasi ringkas borang digunakan   6 x 2 - 2 x 11 \u003d 0tetapi tidak   6 x 2 + (- 2) x + (- 11) \u003d 0.

Kami juga menjelaskan aspek ini: jika pekali   a  dan / atau   b  adalah sama 1   atau − 1 , maka mereka mungkin tidak mengambil bahagian yang jelas dalam menulis persamaan kuadratik, yang dijelaskan oleh keunikan menulis koefisien angka. Contohnya, dalam persamaan kuadratik   y 2 - y + 7 \u003d 0  pekali kanan adalah 1, dan pekali kedua ialah − 1 .

Persamaan kuadratik yang dikurangkan dan tidak dikurangkan

Menurut nilai pekali pertama, persamaan kuadratik dibahagikan kepada pengurangan dan tidak berkurangan.

Definisi 3

Persamaan kuadratik  Persamaan kuadrat di mana pekali utama ialah 1. Untuk nilai lain pekali tertinggi, persamaan kuadrat tidak dikurangkan.

Kami memberi contoh: persamaan kuadrat x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 dikurangkan, di mana masing-masing pekali tertinggi adalah 1.

  9 x 2 - x - 2 \u003d 0  - persamaan kuadrat tak teraruh, di mana pekali pertama berbeza daripada 1 .

Adalah mungkin untuk mengubah mana-mana persamaan kuadratik yang tidak dicadangkan ke dalam persamaan yang dikurangkan jika kita membahagikan kedua-dua bahagiannya ke pekali pertama (transformasi bersamaan). Persamaan yang berubah akan mempunyai akar yang sama seperti persamaan yang tidak diprediksi atau tidak ada akar sama sekali.

Pertimbangan contoh tertentu akan membolehkan kita dengan jelas menunjukkan perlaksanaan peralihan daripada persamaan kuadratik yang tidak diragui ke atas.

Contoh 1

Persamaan diberikan: 6x2 + 18x - 7 \u003d 0 .   Ia perlu mengubah persamaan asal kepada bentuk yang diberikan.

Penyelesaian

Menurut skema di atas, kita membahagikan kedua-dua bahagian persamaan asal oleh pekali utama 6. Kemudian kami dapat:   (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3, dan ini adalah sama seperti:   (6 * x 2): 3 + (18 * x): 3 - 7: 3 \u003d 0  dan seterusnya:   (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 \u003d 0.  Dari sini:   x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0. Jadi, persamaan diperoleh sama dengan yang diberikan.

Jawapannya ialah:   x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0.

Persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap

Kami beralih kepada definisi persamaan kuadratik. Di dalamnya, kami menjelaskannya   a ≠ 0. Keadaan yang sama adalah perlu bagi persamaan   a x 2 + b x x + c \u003d 0  betul betul, kerana bila   a \u003d 0  ia pada dasarnya menukarkan kepada persamaan linear bx + c \u003d 0.

Dalam kes apabila pekali   b  dan   csama dengan sifar (yang mungkin, secara individu dan bersama), persamaan kuadrat dipanggil tidak lengkap.

Definisi 4

Persamaan kuadrat tidak lengkap  Adakah persamaan kuadrat tersebut   a · x 2 + b · x + c \u003d 0,di mana sekurang-kurangnya salah satu daripada koefisien   bdan   c(atau keduanya) adalah sifar.

Persamaan kuadratik penuh  - persamaan kuadratik di mana semua pekali berangka tidak sama dengan sifar.

Marilah kita membincangkan mengapa persamaan kuadratik jenis ini diberi nama sedemikian.

Untuk b \u003d 0, persamaan kuadratik mengambil bentuk   a x 2 + 0 x x c \u003d 0yang sama seperti   a x 2 + c \u003d 0. Pada   c \u003d 0  persamaan kuadratik ditulis sebagai   a x 2 + b x x 0 \u003d 0yang bersamaan   a x 2 + b x \u003d 0. Pada   b \u003d 0  dan   c \u003d 0  persamaan akan mengambil bentuk   a x 2 \u003d 0. Persamaan yang kami peroleh adalah berbeza daripada persamaan kuadratik penuh kerana bahagian kiri mereka tidak mengandungi sama ada istilah dengan pembolehubah x, atau istilah bebas, atau kedua-duanya sekali. Sebenarnya, fakta ini memberi nama kepada jenis persamaan ini - tidak lengkap.

Sebagai contoh, x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 dan - 7 · x 2 - 2 · x + 1, 3 \u003d 0 adalah persamaan kuadratik penuh; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6x \u003d 0 adalah persamaan kuadrat tidak lengkap.

Menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap

Takrifan yang diberikan di atas memungkinkan untuk membezakan jenis persamaan kuadrat yang tidak lengkap seperti berikut:

•   a x 2 \u003d 0, persamaan ini sepadan dengan pekali   b \u003d 0  dan c \u003d 0;
• a · x 2 + c \u003d 0 pada b \u003d 0;
• a x 2 + b x \u003d 0 untuk c \u003d 0.

Marilah kita mempertimbangkan secara berturut-turut penyelesaian setiap jenis persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

Penyelesaian persamaan a · x 2 \u003d 0

Seperti yang dinyatakan di atas, pekali sepadan dengan persamaan ini   b  dan   csama dengan sifar. Persamaan   a x 2 \u003d 0  ia boleh diubah menjadi persamaan yang setara dengannya   x 2 \u003d 0yang kita perolehi dengan membahagikan kedua-dua belah persamaan asal dengan nombor   atidak sama dengan sifar. Fakta yang jelas ialah akar persamaan   x 2 \u003d 0  ia sifar kerana 0 2 = 0 . Persamaan ini tidak mempunyai akar lain, yang dijelaskan oleh sifat gelar: untuk mana-mana nombor   ptidak sama dengan sifar, ketidaksamaannya adalah benar   p 2\u003e 0, dari mana ia mengikutinya dengan   p ≠ 0  kesamaan   p 2 \u003d 0tidak akan tercapai.

Definisi 5

Oleh itu, untuk persamaan kuadratik tidak lengkap a · x 2 \u003d 0 terdapat akar unik   x \u003d 0.

Contoh 2

Sebagai contoh, kita menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap   - 3 x 2 \u003d 0. Persamaannya sama dengannya   x 2 \u003d 0akarnya sahaja   x \u003d 0, maka persamaan asal mempunyai akar tunggal - sifar.

Secara ringkas, keputusan dibuat seperti berikut:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Penyelesaian persamaan a · x 2 + c \u003d 0

Langkah seterusnya ialah menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap, di mana b \u003d 0, c ≠ 0, iaitu persamaan bentuk   a x 2 + c \u003d 0. Kami mengubah persamaan ini dengan memindahkan istilah dari satu bahagian persamaan kepada yang lain, menukar tanda kepada yang bertentangan dan membahagikan kedua-dua bahagian persamaan dengan nombor yang tidak sama dengan sifar:

• boleh dipindah milik   c  ke sebelah kanan, yang memberikan persamaan   a x 2 \u003d - c;
• bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan   a, kita dapat x \u003d - c a.

Transformasi kami bersamaan, masing-masing, persamaan yang dihasilkan juga sama dengan yang asal, dan fakta ini memungkinkan untuk membuat kesimpulan tentang akar persamaan. Dari apa maknanya   a  dan   cnilai ungkapan bergantung kepada c a: ia boleh mempunyai tanda minus (contohnya, jika   a \u003d 1  dan   c \u003d 2, maka - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) atau tanda tambah (sebagai contoh, jika   a \u003d - 2  dan   c \u003d 6, maka - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); ia tidak sifar kerana   c ≠ 0. Marilah kita berpegang pada situasi apabila - c a< 0 и - c a > 0 .

Dalam kes apabila - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа   p  kesamaan p 2 \u003d - c a tidak boleh benar.

Segala-galanya berbeza apabila - c a\u003e 0: ingat akar kuadrat, dan akan menjadi jelas bahawa akar persamaan x 2 \u003d - c a akan menjadi nombor - c a, kerana - c a 2 \u003d - c a. Adalah mudah difahami bahawa nombor - - c a - juga merupakan akar persamaan x 2 \u003d - c a: sesungguhnya, - - a 2 \u003d - c a.

Persamaan tidak akan mempunyai akar lain. Kita dapat menunjukkan ini menggunakan kaedah yang bertentangan. Pertama, marilah kita menamakan akar-akar yang terdapat di atas sebagai   x 1  dan   - x 1. Marilah kita membuat anggapan bahawa persamaan x 2 \u003d - c a juga mempunyai akar   x 2yang berbeza dari akarnya   x 1  dan   - x 1. Kita tahu bahawa, menggantikan dalam persamaan sebaliknya   x  akarnya, kita mengubah persamaan menjadi persamaan numerik yang adil.

Untuk   x 1  dan   - x 1  kita menulis: x 1 2 \u003d - c a, dan untuk   x 2  - x 2 2 \u003d - c a. Berdasarkan sifat persamaan berangka, kita menolak satu persamaan sejati dari istilah lain dengan istilah, yang memberi kita:   x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Gunakan sifat tindakan dengan nombor untuk menulis semula kesamaan terakhir sebagai   (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Adalah diketahui bahawa produk dari dua nombor adalah sifar jika dan sekiranya sekurang-kurangnya salah satu daripada nombor adalah sifar. Daripada yang disebutkan sebelumnya, berikut itu   x 1 - x 2 \u003d 0  dan / atau   x 1 + x 2 \u003d 0perkara yang sama   x 2 \u003d x 1  dan / atau   x 2 \u003d - x 1. Terdapat percanggahan yang jelas, kerana pada mulanya dipersetujui bahawa akar persamaan itu   x 2  berbeza dari   x 1  dan   - x 1. Oleh itu, kita telah membuktikan bahawa persamaan tidak mempunyai akar selain dari x \u003d - c a dan x \u003d - - c a.

Kami meringkaskan semua hujah di atas.

Definisi 6

Persamaan kuadrat tidak lengkap   a x 2 + c \u003d 0 bersamaan dengan persamaan x 2 \u003d - c a, yang mana:

• tidak akan mempunyai akar di - c a< 0 ;
• akan mempunyai dua akar x \u003d - c a dan x \u003d - - c a untuk - c a\u003e 0.

Kami memberi contoh penyelesaian persamaan   a x 2 + c \u003d 0.

Contoh 3

Persamaan kuadratik diberikan   9 x 2 + 7 \u003d 0.Ia perlu mencari penyelesaian untuknya.

Penyelesaian

Kami memindahkan istilah percuma ke sebelah kanan persamaan, maka persamaan mengambil bentuk   9 x 2 \u003d - 7.
  Bahagikan kedua-dua belah persamaan yang dihasilkan oleh 9 , kami tiba di x 2 \u003d - 7 9. Di sebelah kanan kita melihat nombor dengan tanda minus, yang bermaksud: persamaan yang diberikan tidak mempunyai akar. Kemudian persamaan kuadratik tidak lengkap   9 x 2 + 7 \u003d 0  tidak akan mempunyai akar.

Jawapannya ialah:  persamaan   9 x 2 + 7 \u003d 0tidak mempunyai akar.

Contoh 4

Ia adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan   - x 2 + 36 \u003d 0.

Penyelesaian

Gerakkan 36 ke sebelah kanan:   - x 2 \u003d - 36.
  Bahagikan kedua belah pihak − 1 kita dapat   x 2 \u003d 36. Di sebelah kanan adalah nombor positif, dari sini kita dapat menyimpulkan itu   x \u003d 36 atau   x \u003d - 36.
  Kami mengekstrak akar dan menulis hasil akhir: persamaan kuadrat tidak lengkap   - x 2 + 36 \u003d 0  mempunyai dua akar   x \u003d 6  atau   x \u003d - 6.

Jawapannya ialah:   x \u003d 6  atau   x \u003d - 6.

Penyelesaian persamaan a · x 2 + b · x \u003d 0

Kami menganalisis jenis ketiga persamaan kuadrat tidak lengkap apabila   c \u003d 0. Untuk mencari penyelesaian kepada persamaan kuadrat yang tidak lengkap   a x 2 + b x \u003d 0, kami menggunakan kaedah pemfaktoran. Faktor yang polinomial di sebelah kiri persamaan dengan memfaktorkan faktor yang sama   x. Langkah ini akan memungkinkan untuk mengubah persamaan kuadratik yang tidak lengkap asal menjadi setara   x · (a · x + b) \u003d 0. Dan persamaan ini, pada gilirannya, bersamaan dengan satu set persamaan   x \u003d 0  dan   a x + b \u003d 0. Persamaan   a x + b \u003d 0  linear, dan akarnya:   x \u003d - b a.

Definisi 7

Jadi persamaan kuadratik yang tidak lengkap   a x 2 + b x \u003d 0  akan mempunyai dua akar   x \u003d 0  dan   x \u003d - b a.

Betulkan bahan sebagai contoh.

Contoh 5

Ia perlu mencari penyelesaian kepada persamaan 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0.

Penyelesaian

Ambil keluar   x  keluar dari kurungan dan dapatkan persamaan x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Persamaan ini bersamaan dengan persamaan   x \u003d 0  dan 2 3x - 2 2 7 \u003d 0. Sekarang perlu menyelesaikan persamaan linear yang diperoleh: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Kami secara ringkas menulis penyelesaian persamaan seperti berikut:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 atau 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 atau x \u003d 3 3 7

Jawapannya ialah:  x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Diskriminasi, rumusan akar persamaan kuadratik

Untuk mencari penyelesaian kepada persamaan kuadrat, terdapat formula akar:

Definisi 8

x \u003d - b ± D 2 · a, di mana   D \u003d b 2 - 4  - yang disebut diskriminasi persamaan kuadratik.

Notasi x \u003d - b ± D 2 · asasnya bermakna x 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a.

Ia berguna untuk memahami bagaimana formula ini diperoleh dan bagaimana cara memohon.

Derivasi formula untuk akar persamaan kuadratik

Marilah kita menghadapi cabaran menyelesaikan persamaan kuadratik   a x 2 + b x x + c \u003d 0. Kami menjalankan beberapa transformasi bersamaan:

• bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan nombor tersebut aBukan, kami memperoleh persamaan kuadrat yang dikurangkan: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• pilih persegi penuh di sebelah kiri persamaan yang dihasilkan:
     x 2 + ba · x + ca \u003d x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca
     Selepas persamaan ini mengambil bentuk: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
• kini dimungkinkan untuk memindahkan dua istilah terakhir ke sebelah kanan dengan mengubah tanda ke sebaliknya, selepas itu kita dapat: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
• akhirnya, kita mengubah ungkapan yang ditulis di sebelah kanan kesamaan terakhir:
     b 2 · a 2 - c a \u003d b 2 4 · a 2 - c a \u003d b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2.

Oleh itu, kita pergi ke persamaan x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, bersamaan dengan persamaan asal   a x 2 + b x x + c \u003d 0.

Kami menganalisis penyelesaian persamaan sedemikian dalam perenggan yang terdahulu (penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap). Pengalaman yang telah diperoleh membolehkan membuat kesimpulan mengenai akar persamaan x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• di b 2 - 4 · a · c 4 · a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• apabila b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 \u003d 0, persamaan mempunyai bentuk x + b 2 · a 2 \u003d 0, maka x + b 2 · a \u003d 0.

Satu-satunya akar x \u003d - b 2 · a adalah jelas dari ini;

• untuk b 2 - 4 · a · c 4 · a 2\u003e 0 berikut adalah benar: x + b 2 · a \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 atau x \u003d b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, yang sama dengan x + - b 2 · a \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 atau x \u003d - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, i.e. persamaan mempunyai dua akar.

Bolehkah menyimpulkan bahawa kehadiran atau ketiadaan akar persamaan x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (dan oleh itu persamaan asal) bergantung kepada tanda ungkapan b2 - 4 · a · c 4 · A 2 direkodkan di sebelah kanan. Dan tanda ungkapan ini diberikan oleh tanda pengangka, (penyebut   4 · a 2  akan sentiasa positif), iaitu tanda ungkapan   b 2 - 4 · a · c. Untuk ungkapan ini   b 2 - 4 · a · c  nama diberikan - diskriminasi persamaan kuadratik dan huruf D ditakrifkan sebagai penetapannya. Di sini anda boleh menulis intisari diskriminasi - dengan nilainya dan menandatangani mereka menyimpulkan sama ada persamaan kuadratik akan mempunyai akar sebenar, dan jika ya, berapa bilangan akar - satu atau dua.

Kami kembali ke persamaan x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2. Kami menulis semula menggunakan notasi diskriminasi: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Kami sekali lagi merumuskan kesimpulan:

Definisi 9

• pada   D< 0   persamaan itu tidak mempunyai akar sebenar;
• pada   D \u003d 0  persamaan mempunyai akar tunggal x \u003d - b 2 · a;
• pada   D\u003e 0  persamaan mempunyai dua akar: x \u003d - b 2 · a + D 4 · a 2 atau x \u003d - b 2 · a - D 4 · a 2. Berdasarkan sifat-sifat radikal, akar-akar ini boleh ditulis dalam bentuk: x \u003d - b 2 · a + D 2 · a atau - b 2 · a - D 2 · a. Dan, apabila kita membuka modul dan mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa, kita dapat: x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a.

Oleh itu, hasil dari penalaran kami ialah derivasi formula untuk akar persamaan kuadratik:

x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a, diskriminasi   D  dikira oleh formula   D \u003d b 2 - 4.

Formula ini memungkinkan untuk menentukan kedua-dua akar sebenar dengan diskriminasi yang lebih besar daripada sifar. Apabila diskriminasi adalah sifar, penggunaan kedua-dua formula akan memberi akar yang sama sebagai satu-satunya penyelesaian kepada persamaan kuadratik. Dalam kes apabila diskriminasi adalah negatif, cuba menggunakan formula akar persamaan kuadratik, kita berhadapan dengan keperluan untuk mengekstrak akar kuantiti nombor negatif, yang akan membawa kita melangkaui skop nombor nyata. Sekiranya diskriminasi adalah negatif, persamaan kuadratik tidak akan mempunyai akar sebenar, tetapi sepasang akar konjugat kompleks mungkin, ditentukan oleh formula akar yang sama yang telah kami perolehi.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan formula akar

Ia adalah mungkin untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan segera menggunakan formula akar, tetapi pada asasnya, jika perlu, mencari akar kompleks.

Dalam kebanyakan kes, pencarian tidak kompleks tetapi akar sebenar persamaan kuadrat biasanya tersirat. Maka optimum, sebelum menggunakan formula akar persamaan kuadratik, terlebih dahulu menentukan diskriminasi dan pastikan ia tidak negatif (sebaliknya, kami menyimpulkan bahawa persamaan itu tidak mempunyai akar sebenar), dan kemudian teruskan untuk mengira nilai-nilai akar.

Alasan di atas memungkinkan untuk merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Definisi 10

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik   a x 2 + b x x + c \u003d 0perlu:

• mengikut formula   D \u003d b 2 - 4  mencari nilai diskriminasi;
• di D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• untuk D \u003d 0, tentukan akar unik persamaan dengan formula x \u003d - b 2 · a;
• untuk D\u003e 0, tentukan dua akar sebenar persamaan kuadratik dengan formula x \u003d - b ± D 2 · a.

Perhatikan bahawa apabila diskriminasi adalah sifar, anda boleh menggunakan formula x \u003d - b ± D 2 · a, ia akan memberi hasil yang sama seperti formula x \u003d - b 2 · a.

Mari lihat beberapa contoh.

Contoh penyelesaian persamaan kuadratik

Kami memberikan penyelesaian contoh untuk pelbagai nilai diskriminasi.

Contoh 6

Ia perlu mencari akar persamaan   x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Penyelesaian

Kami menulis pekali berangka persamaan kuadratik: a \u003d 1, b \u003d 2 dan   c \u003d - 6. Seterusnya, kita bertindak mengikut algoritma, iaitu. kita teruskan untuk mengira diskriminasi, yang mana kita menggantikan pekali a, b dan   c  dalam formula diskriminasi:   D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 2 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Jadi, kita mendapat D\u003e 0, yang bermaksud persamaan asal akan mempunyai dua akar sebenar.
  Untuk mencari mereka, kami menggunakan formula akar x \u003d - b ± D 2 · a dan, menggantikan nilai yang sepadan, kami memperoleh: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Mudahkan ekspresi yang dihasilkan dengan mengambil faktor dengan tanda akar dan kemudian mengurangkan pecahan:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 atau x \u003d - 2 - 2 · 7 2

x \u003d - 1 + 7 atau x \u003d - 1 - 7

Jawapannya ialah:  x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

Contoh 7

Ia adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan kuadratik   - 4x 2 + 28x - 49 \u003d 0.

Penyelesaian

Tentukan diskriminasi:   D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. Dengan nilai diskriminasi ini, persamaan awal hanya mempunyai satu akar, ditentukan oleh formula x \u003d - b 2 · a.

x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3, 5

Jawapannya ialah:   x \u003d 3, 5.

Contoh 8

Ia adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan   5y 2 + 6y + 2 \u003d 0

Penyelesaian

Koefisien angka persamaan ini ialah: a \u003d 5, b \u003d 6 dan c \u003d 2. Kami menggunakan nilai ini untuk mencari diskriminasi: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Diskriminasi yang dikira adalah negatif, jadi persamaan kuadrat asal tidak mempunyai akar sebenar.

Dalam kes apabila tugasnya menunjukkan akar kompleks, kami menggunakan formula akar dengan melakukan tindakan dengan nombor kompleks:

x \u003d - 6 ± - 4 2 · 5,

x \u003d - 6 + 2 · i 10 atau x \u003d - 6 - 2 · i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · i atau x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

Jawapannya ialah:  tiada akar yang sah; akar rumit adalah seperti berikut: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Di dalam kurikulum sekolah, tidak ada keperluan standard untuk mencari akar rumit, oleh itu, jika semasa penyelesaian diskriminasi ditakrifkan sebagai negatif, respon itu segera direkodkan bahawa tidak ada akar sebenar.

Formula akar untuk pekali kedua

Formula akar x \u003d - b ± D 2 a (D \u003d b 2 - 4 n, misalnya, 2 · 3 atau 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Marilah kita menunjukkan bagaimana formula ini diperolehi.

Marilah kita mempunyai tugas mencari penyelesaian kepada persamaan kuadrat a · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Kami bertindak mengikut algoritma: menentukan diskriminasi D \u003d (2 · n) 2 - 4 · a · c \u003d 4 · n 2 - 4 · a · c \u003d 4 · (n 2 - a · c), dan kemudian gunakan formula akar:

x \u003d - 2 · n ± D 2 · a, x \u003d - 2 · n ± 4 · n 2 - a · c 2 · a, x \u003d - 2 · n ± 2 n 2 - a · c 2 · a, x \u003d - n ± n 2 - a

Biarkan ungkapan n 2 - a · c ditetapkan sebagai D 1 (kadang kala ia dilambangkan oleh D "). Kemudian formula akar persamaan kuadrat yang sedang dipertimbangkan dengan pekali kedua 2 · n mengambil bentuk:

x \u003d - n ± D 1 a, di mana D 1 \u003d n 2 - a · c.

Adalah mudah untuk melihat bahawa D \u003d 4 · D 1, atau D 1 \u003d D 4. Dalam erti kata lain, D1 adalah seperempat daripada diskriminasi. Jelas sekali, tanda D 1 sama dengan tanda D, yang bermaksud bahawa tanda D1 juga boleh berfungsi sebagai penunjuk kehadiran atau ketiadaan akar persamaan kuadratik.

Definisi 11

Oleh itu, untuk mencari penyelesaian kepada persamaan kuadratik dengan pekali kedua 2 · n, adalah perlu:

• cari D 1 \u003d n 2 - a · c;
• di D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• jika D 1 \u003d 0, tentukan akar unik persamaan dengan formula x \u003d - n a;
• untuk D 1\u003e 0, tentukan dua akar sebenar dengan formula x \u003d - n ± D 1 a.

Contoh 9

Ia adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan kuadratik 5 · x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0.

Penyelesaian

Koefisien kedua persamaan yang diberikan boleh diwakili sebagai 2 · (- 3). Kemudian kita menulis semula persamaan kuadratik yang diberikan sebagai 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 \u003d 0, dimana a \u003d 5, n \u003d - 3 dan c \u003d - 32.

Kami mengira bahagian keempat diskriminasi: D 1 \u003d n 2 - a · c \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Nilai yang dihasilkan adalah positif, yang bermaksud persamaan mempunyai dua akar sebenar. Kami mentakrifkan mereka menurut formula akar yang sesuai:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 atau x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 atau x \u003d - 2

Adalah mungkin untuk membuat pengiraan menggunakan rumusan biasa akar persamaan kuadratik, tetapi dalam hal ini penyelesaiannya akan lebih rumit.

Jawapannya ialah:  x \u003d 3 1 5 atau x \u003d - 2.

Penyederhanaan bentuk persamaan kuadratik

Kadang-kadang ada kemungkinan untuk mengoptimumkan bentuk persamaan asal, yang akan memudahkan proses pengiraan akar.

Sebagai contoh, persamaan kuadratik 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 jelas lebih mudah untuk menyelesaikan daripada 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0.

Selalunya, penyederhanaan bentuk persamaan kuadratik dilakukan oleh tindakan mendarab atau membahagikan kedua-dua bahagiannya dengan nombor tertentu. Contohnya, di atas, kami memperlihatkan notasi ringkas dari persamaan 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0, diperoleh dengan membahagikan kedua-dua bahagiannya dengan 100.

Transformasi sedemikian adalah mungkin apabila pekali persamaan kuadratik tidak dikecualikan. Kemudian mereka biasanya membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan pembahagi lazim terbesar dari nilai mutlak pekalinya.

Sebagai contoh, kita menggunakan persamaan kuadratik 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Kami menentukan GCD nilai absolut pekalinya: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Kami membahagikan kedua-dua belah persamaan kuadratik asal dengan 6 dan dapatkan persamaan kuadratik setara 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0.

Dengan mendarabkan kedua-dua belah persamaan kuadratik, pekali pecahan biasanya dihilangkan. Dalam kes ini, kalikan dengan jumlah yang paling kecil daripada penyebut pekali pekali. Sebagai contoh, jika setiap bahagian persamaan kuadrat 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 didarabkan dengan NOC (6, 3, 1) \u003d 6, maka ia akan ditulis dalam bentuk yang lebih mudah x 2 + 4 · x - 18 \u003d 0.

Sebagai kesimpulan, kita perhatikan bahawa hampir selalu menyingkirkan minus dengan pekali pertama persamaan kuadratik, mengubah tanda-tanda setiap anggota persamaan, yang dicapai dengan mengalikan (atau membahagikan) kedua-dua bahagian dengan -1. Sebagai contoh, dari persamaan kuadratik - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0, anda boleh pergi ke versi mudahnya 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.

Hubungan antara akar dan koefisien

Formula untuk akar persamaan kuadrat x \u003d - b ± D 2 · yang telah diketahui oleh kami menyatakan akar persamaan dari segi pekali berangka. Berdasarkan formula ini, kita dapat menentukan hubungan lain antara akar dan koefisien.

Yang paling terkenal dan diguna pakai ialah formula teorem Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a dan x 2 \u003d c a.

Khususnya, untuk persamaan kuadratik diberikan, jumlah akar adalah pekali kedua dengan tanda yang bertentangan, dan hasil akar adalah sama dengan istilah bebas. Contohnya, dengan bentuk persamaan kuadrat 3 x 2 - 7 x x 22 \u003d 0, dengan segera mungkin untuk menentukan jumlah akarnya adalah 7 3 dan hasil akar adalah 22 3.

Anda juga boleh mencari beberapa hubungan lain antara akar dan koefisien persamaan kuadratik. Sebagai contoh, jumlah kuadrat akar bagi persamaan kuadratik boleh dinyatakan dari segi pekali:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - ba 2 - 2 · ca \u003d b 2 a 2 - 2 · ca \u003d b 2 - 2 · a · ca 2.

Jika anda melihat ralat di dalam teks, sila pilih dan tekan Ctrl + Enter

Persamaan kuadratik sering muncul semasa penyelesaian pelbagai masalah fizik dan matematik. Dalam artikel ini, kita akan melihat bagaimana menyelesaikan kesamaan ini secara universal "melalui diskriminasi." Contoh menggunakan pengetahuan yang diperoleh juga diberikan dalam artikel.

Apakah persamaan yang akan dibincangkan?

Angka di bawah menunjukkan formula di mana x adalah pembolehubah yang tidak diketahui, dan huruf Latin a, b, c adalah beberapa nombor yang terkenal.

Setiap simbol ini dipanggil pekali. Seperti yang anda dapat lihat, nombor "a" berada di hadapan pemboleh ubah x kuasa dua. Ini adalah tahap maksimum ungkapan yang dibentangkan, oleh itu ia dipanggil persamaan kuadratik. Selalunya gunakan nama lain: persamaan perintah kedua. Nilai satu itu sendiri adalah pekali segi empat (berdiri dengan pembolehubah), b ialah pekali linear (ia bersebelahan dengan pembolehubah yang dibangkitkan kepada kuasa pertama), dan akhirnya, nombor c adalah istilah percuma.

Perhatikan bahawa bentuk persamaan, yang ditunjukkan dalam gambar di atas, adalah ungkapan persegi klasik biasa. Di samping itu, terdapat persamaan pesanan kedua yang lain di mana pekali b, c boleh menjadi sifar.

Apabila tugasnya adalah menyelesaikan kesamaan yang sedang dipertimbangkan, ini bermakna bahawa nilai-nilai pemboleh ubah x harus dijumpai yang akan memuaskannya. Di sini, perkara pertama yang perlu diingat ialah perkara berikut: kerana tahap maksimum x adalah 2, ungkapan jenis ini tidak boleh mempunyai lebih daripada 2 penyelesaian. Ini bermakna jika dalam menyelesaikan persamaan 2 nilai x didapati memuaskannya, maka anda boleh yakin bahawa tidak ada nombor ke-3, menggantikan yang bukannya x, persamaan itu juga benar. Penyelesaian persamaan dalam matematik memanggilnya akar.

Kaedah untuk menyelesaikan persamaan pesanan kedua

Penyelesaian persamaan jenis ini memerlukan pengetahuan mengenai beberapa teori tentangnya. Dalam kursus sekolah di algebra, 4 kaedah penyelesaian yang berbeza dipertimbangkan. Kami menyenaraikan mereka:

• menggunakan pemfaktoran;
• menggunakan formula untuk persegi penuh;
• memohon graf fungsi kuadrat yang sepadan;
• menggunakan persamaan diskriminasi.

Kelebihan kaedah pertama adalah kesederhanaannya, bagaimanapun, ia tidak boleh digunakan untuk semua persamaan. Kaedah kedua adalah universal, tetapi agak rumit. Kaedah ketiga adalah ketara untuk penglihatannya, tetapi ia tidak selalu mudah dan sesuai. Dan akhirnya, menggunakan persamaan diskriminasi adalah cara sejagat dan agak mudah untuk mencari akar mutlak apa-apa persamaan pesanan kedua. Oleh itu, artikel itu hanya akan mempertimbangkannya.

Formula untuk mendapatkan akar persamaan

Kami beralih kepada bentuk umum persamaan kuadratik. Kami menulisnya: a * x² + b * x + c \u003d 0. Sebelum menggunakan kaedah menyelesaikannya "melalui diskriminasi", kesamaan harus selalu dibawa ke bentuk bertulis. Iaitu, ia mestilah terdiri daripada tiga syarat (atau kurang jika b atau c ialah 0).

Sebagai contoh, jika terdapat ungkapan: x²-9 * x + 8 \u003d -5 * x + 7 * x², maka anda mesti memindahkan semua anggotanya ke satu sisi persamaan dan tambah syarat-syarat yang mengandungi pembolehubah x dalam tahap yang sama.

Dalam kes ini, operasi ini akan membawa kepada ungkapan berikut: -6 * x² -4 * x + 8 \u003d 0, bersamaan dengan persamaan 6 * x² + 4 * x-8 \u003d 0 (di sini kita mendarabkan sisi kiri dan kanan persamaan dengan -1) .

Dalam contoh di atas, a \u003d 6, b \u003d 4, c \u003d -8. Perhatikan bahawa semua ahli kesamaan yang dipertimbangkan sentiasa disatukan bersama, jadi jika tanda "-" muncul, maka ini bermakna pekali yang sama adalah negatif, seperti nombor c dalam kes ini.

Setelah diperiksa momen ini, kita kini beralih kepada formula itu sendiri, yang memungkinkan untuk mendapatkan akar persamaan kuadratik. Dia mempunyai pandangan, yang dibentangkan dalam gambar di bawah.

Seperti yang dapat dilihat dari ungkapan ini, ia membolehkan anda mendapat dua akar (anda harus memberi perhatian kepada tanda "±"). Untuk melakukan ini, cukup untuk menggantikan pekali b, c, dan a.

Konsep diskriminasi

Dalam perenggan yang terdahulu, kami memberikan formula yang membolehkan anda dengan cepat menyelesaikan sebarang persamaan pesanan kedua. Di dalamnya, ungkapan radikal dipanggil diskriminasi, iaitu, D \u003d b²-4 * a * c.

Mengapakah sebahagian daripada formula ini terpencil, dan adakah ia mempunyai nama sendiri? Hakikatnya, diskriminasi ini menghubungkan ketiga-tiga pekali persamaan ke dalam ungkapan tunggal. Fakta terakhir bermaksud bahawa ia sepenuhnya membawa maklumat tentang akar, yang boleh dinyatakan oleh senarai berikut:

1. D\u003e 0: kesamaan mempunyai 2 penyelesaian yang berbeza, kedua-duanya adalah nombor nyata.
2. D \u003d 0: persamaan itu hanya mempunyai satu akar, dan ia adalah nombor nyata.

Tugas menentukan diskriminasi

Kami memberi contoh mudah tentang cara mencari diskriminasi. Biarkan persamaan ini diberikan: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² \u003d 3 * x-5 * x² + 7.

Kami membawanya ke bentuk standard, kita dapat: (2 * x² -9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) \u003d 0, dari mana kita mencapai persamaan: -2 * x² + 2 * x-11 \u003d 0 Di sini a \u003d -2, b \u003d 2, c \u003d -11.

Sekarang kita boleh menggunakan formula yang dinamakan untuk diskriminasi: D \u003d 2² - 4 * (- 2) * (- 11) \u003d -84. Nombor yang dihasilkan adalah jawapan kepada tugas tersebut. Oleh kerana diskriminasi dalam contoh kurang daripada sifar, kita boleh mengatakan bahawa persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar sebenar. Hanya nombor jenis kompleks yang akan menjadi penyelesaiannya.

Contoh ketidaksamaan melalui diskriminasi

Kami menyelesaikan masalah jenis yang sedikit berbeza: kesamaan -3 * x²-6 * x + c \u003d 0 diberikan. Perlu mencari nilai-nilai c yang mana D\u003e 0.

Dalam kes ini, hanya 2 daripada 3 pekali diketahui, oleh itu, ia tidak akan berfungsi untuk mengira nilai sebenar diskriminasi, tetapi diketahui bahawa ia adalah positif. Kami menggunakan fakta yang terakhir dalam membuat ketidaksamaan: D \u003d (-6) ² -4 * (- 3) * c\u003e 0 \u003d\u003e 36 + 12 * c\u003e 0. Penyelesaian ketidaksamaan yang mengakibatkan keputusan: c\u003e -3.

Semak nombor yang dihasilkan. Untuk melakukan ini, hitung D untuk 2 kes: c \u003d -2 dan c \u003d -4. Nombor -2 memuaskan keputusan (-2\u003e -3), diskriminasi yang sepadan akan mempunyai nilai: D \u003d 12\u003e 0. Sebaliknya, angka -4 tidak memenuhi ketidaksamaan (-4 Oleh itu, mana-mana nombor c yang lebih besar daripada -3 akan memenuhi syarat tersebut.

Contoh penyelesaian persamaan

Kami membentangkan masalah yang bukan sahaja menemui diskriminasi, tetapi juga dalam menyelesaikan persamaan. Ia perlu mencari akar untuk kesamaan -2 * x² + 7-9 * x \u003d 0.

Dalam contoh ini, diskriminan adalah sama dengan nilai berikut: D \u003d 81-4 * (- 2) * 7 \u003d 137. Kemudian akar persamaan ditakrifkan sebagai berikut: x \u003d (9 ± √137) / (- 4). Ini adalah nilai sebenar akar, jika kita mengira lebih kurang akar, maka kita dapat angka: x \u003d -5.176 dan x \u003d 0.676.

Masalah geometri

Kami akan menyelesaikan masalah yang memerlukan bukan sahaja keupayaan untuk mengira diskriminasi, tetapi juga penerapan kemahiran berfikir abstrak dan pengetahuan bagaimana membuat persamaan kuadratik.

Bob mempunyai selimut 5 x 4 meter. Budak lelaki itu ingin menjahit kepadanya di sekeliling perimeter jalur kain yang indah. Betapa tebal jalur ini jika diketahui bahawa Bob mempunyai kain 10 m².

Biarkan jalur itu mempunyai ketebalan x m, maka kawasan kain di sepanjang sisi panjang selimut akan (5 + 2 * x) * x, dan kerana terdapat 2 sisi panjang, kita mempunyai: 2 * x * (5 + 2 * x). Pada sisi yang singkat, kawasan kain yang dijahit akan menjadi 4 * x, kerana terdapat 2 dari sisi ini, kita dapat nilai 8 * x. Ambil perhatian bahawa nilai 2 * x telah ditambahkan pada sisi panjang kerana panjang selimut meningkat dengan jumlah itu. Keseluruhan kawasan kain yang dijahit ke selimut adalah 10 m². Oleh itu, kita memperoleh kesamaan: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x \u003d 10 \u003d\u003e 4 * x² + 18 * x-10 \u003d 0.

Untuk contoh ini, diskriminasi adalah: D \u003d 18 ² -4 * 4 * (- 10) \u003d 484. Akarnya adalah 22. Menggunakan formula, kita dapati akar yang dikehendaki: x \u003d (-18 ± 22) / (2 * 4) 5; 0.5). Jelasnya, dari dua akar, hanya angka 0.5 yang sesuai dengan keadaan masalahnya.

Oleh itu, jalur kain yang disapu Bob ke selimutnya akan mempunyai lebar 50 cm.

Dalam masyarakat moden, keupayaan untuk melakukan tindakan dengan persamaan yang mengandungi pembolehubah kuasa dua boleh berguna dalam banyak bidang aktiviti dan digunakan secara meluas dalam amalan dalam perkembangan sains dan teknikal. Bukti ini adalah pembinaan laut dan kapal sungai, pesawat dan peluru berpandu. Dengan bantuan pengiraan sedemikian, trajektori pergerakan pelbagai badan, termasuk objek ruang, ditentukan. Contohnya dengan penyelesaian persamaan kuadratik mencari aplikasi bukan sahaja dalam ramalan ekonomi, dalam reka bentuk dan pembinaan bangunan, tetapi juga dalam keadaan sehari-hari yang paling biasa. Mereka boleh diperlukan dalam mendaki, sukan, di kedai-kedai semasa membeli-belah dan dalam situasi yang biasa.

Bahagikan ekspresi menjadi faktor komponen

Tahap persamaan ditentukan oleh tahap maksimum pembolehubah yang mengandungi ungkapan. Sekiranya ia sama dengan 2, persamaan sedemikian dipanggil persegi.

Jika dinyatakan dalam bahasa formula, maka ungkapan-ungkapan ini, tidak kira bagaimana rupa mereka, boleh dibawa ke bentuk apabila sebelah kiri ungkapan terdiri daripada tiga istilah. Antaranya: kapak 2 (iaitu, pemboleh ubah yang bersamaan dengan pekali), bx (tidak diketahui tanpa persegi dengan pekali) dan c (komponen bebas, iaitu nombor biasa). Semua ini di sebelah kanan adalah sama dengan 0. Dalam kes apabila polinomial seperti ini tidak mempunyai satu daripada terma komponennya, kecuali kapak 2, ia dipanggil persamaan kuadrat tidak lengkap. Contohnya dengan penyelesaian masalah tersebut, nilai pembolehubah yang tidak sukar dicari, harus dipertimbangkan terlebih dahulu.

Jika ungkapan kelihatan supaya istilah dalam ungkapan di sebelah kanan adalah dua, lebih tepat kapak 2 dan bx, paling mudah untuk mencari x dengan meletakkan pemboleh ubah daripada kurungan. Sekarang persamaan kita akan kelihatan seperti ini: x (ax + b). Selanjutnya, menjadi jelas bahawa sama ada x \u003d 0, atau tugas dikurangkan untuk mencari pembolehubah daripada ungkapan berikut: ax + b \u003d 0. Yang ditunjukkan adalah ditentukan oleh salah satu sifat pendaraban. Peraturan ini mengatakan bahawa produk dari dua faktor menghasilkan 0 hanya jika salah satu daripada mereka sama dengan sifar.

Contoh

x \u003d 0 atau 8x - 3 \u003d 0

Akibatnya, kita memperoleh dua akar persamaan: 0 dan 0.375.

Persamaan semacam ini boleh menggambarkan gerakan badan di bawah tindakan graviti, yang mula bergerak dari titik tertentu yang diambil sebagai asal. Di sini, notasi matematik mengambil bentuk berikut: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Menggantikan nilai yang diperlukan, menyamakan sebelah kanan 0 dan mencari kemungkinan yang tidak diketahui, anda boleh mengetahui masa yang berlalu dari saat badan naik hingga jatuh, serta banyak kuantiti lain. Tetapi kita akan membincangkannya nanti.

Faktor pembahasan ungkapan

Peraturan yang diterangkan di atas memungkinkan untuk menyelesaikan masalah ini dalam kes yang lebih rumit. Pertimbangkan contoh penyelesaian persamaan kuadrat jenis ini.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Trinomial persegi ini lengkap. Pertama, tukar ungkapan dan faktornya. Terdapat dua daripada mereka: (x-8) dan (x-25) \u003d 0. Sebagai hasilnya, kita mempunyai dua akar 8 dan 25.

Contoh-contoh dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dalam gred ke-9 membolehkan menggunakan kaedah ini untuk mencari pemboleh ubah dalam ekspresi bukan sahaja yang kedua, tetapi juga dari perintah ketiga dan keempat.

Sebagai contoh: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Apabila memfaktorkan sisi kanan pembolehubah, mereka mendapat tiga, iaitu (x + 1), (x-3) dan (x + 3).

Akibatnya, ia menjadi jelas bahawa persamaan ini mempunyai tiga akar: -3; -1; 3.

Pengekstrakan akar persegi

Satu lagi kes persamaan pesanan kedua yang tidak lengkap adalah ungkapan dalam bahasa huruf yang diwakili sedemikian rupa sehingga sebelah kanan dibina dari komponen kapak 2 dan c. Di sini, untuk mendapatkan nilai pembolehubah, istilah percuma dipindahkan ke sebelah kanan, dan selepas itu akar persegi diekstrak dari kedua-dua belah persamaan. Harus diingat bahawa dalam kes ini juga terdapat dua akar persamaan. Pengecualian mungkin hanya kesamaan yang tidak mengandungi istilah c, di mana pembolehubah sama dengan sifar, dan juga variasi ungkapan apabila sebelah kanan ternyata negatif. Dalam kes kedua, penyelesaian tidak wujud sama sekali, kerana tindakan di atas tidak dapat dilakukan dengan akar. Contoh-contoh penyelesaian persamaan kuadrat jenis ini mesti dipertimbangkan.

Dalam kes ini, akar persamaannya adalah nombor -4 dan 4.

Pengiraan tanah

Keperluan pengiraan seperti itu muncul pada zaman purba, kerana perkembangan matematik adalah sebahagian besarnya disebabkan oleh keperluan untuk menentukan kawasan dan perimeter plot tanah dengan ketepatan yang besar.

Contohnya dengan penyelesaian persamaan kuadratik berdasarkan masalah seperti ini harus dipertimbangkan oleh kami.

Oleh itu, katakan terdapat sebidang tanah segi empat tepat yang panjangnya 16 meter lebih daripada lebarnya. Panjang, lebar dan perimeter tapak harus dijumpai jika diketahui bahawa kawasannya adalah 612 m 2.

Setelah turun ke perniagaan, kita mula-mula membuat persamaan yang diperlukan. Menunjukkan oleh x lebar bahagian, maka panjangnya akan (x + 16). Ini adalah dari apa yang telah ditulis bahawa kawasan itu ditentukan oleh ungkapan x (x + 16), yang, mengikut keadaan masalah kita, ialah 612. Ini bermakna bahawa x (x + 16) \u003d 612.

Penyelesaian persamaan kuadrat lengkap, dan ungkapan ini hanya itu, tidak boleh dilakukan dengan cara yang sama. Mengapa? Walaupun sisi kiri masih mengandungi dua faktor, hasilnya sama sekali tidak sama dengan 0, jadi kaedah lain digunakan di sini.

Diskriminan

Pertama sekali, kita akan membuat transformasi yang diperlukan, maka penampilan ungkapan ini akan kelihatan seperti ini: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Ini bermakna kita mendapat ungkapan dalam bentuk yang sepadan dengan standard yang ditunjukkan sebelumnya, di mana a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Ini boleh menjadi contoh menyelesaikan persamaan kuadratik melalui diskriminasi. Di sini, pengiraan yang diperlukan dibuat mengikut skema: D \u003d b 2 - 4ac. Nilai bantu ini bukan sahaja membolehkan anda mencari kuantiti yang dikehendaki dalam persamaan pesanan kedua, ia menentukan bilangan pilihan yang mungkin. Sekiranya D\u003e 0, terdapat dua daripadanya; untuk D \u003d 0 terdapat satu akar. Sekiranya D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Mengenai akar dan formula mereka

Dalam kes kita, diskriminasi adalah: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Ini menunjukkan bahawa jawapan kepada masalah kami wujud. Jika anda tahu k, penyelesaian persamaan kuadratik mesti diteruskan menggunakan formula di bawah. Ia membolehkan anda mengira akarnya.

Ini bermakna dalam kes yang dibentangkan: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Pilihan kedua dalam dilema ini tidak boleh menjadi penyelesaian, kerana saiz tanah tidak dapat diukur dalam nilai negatif, jadi x (iaitu lebar plot) adalah 18 m. Oleh itu, kita mengira panjang: 18 + 16 \u003d 34, dan perimeter 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Contoh dan tugasan

Kami meneruskan kajian persamaan kuadratik. Contoh-contoh dan penyelesaian terperinci beberapa dari mereka akan diberikan di bawah.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Kami memindahkan segalanya ke sebelah kiri kesamaan, membuat transformasi, iaitu, kita mendapatkan bentuk persamaan, yang biasanya dipanggil piawai, dan menyamakannya menjadi sifar.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Meletakkannya bersama-sama, kita menentukan diskriminasi: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Oleh itu, persamaan kita akan mempunyai dua akar. Kami mengira mereka mengikut formula di atas, yang bermaksud bahawa yang pertama adalah 4/3, dan yang kedua 1.

2) Sekarang kita akan mendedahkan teka-teki yang berbeza.

Ketahui jika terdapat sebarang akar x 2 - 4x + 5 \u003d 1 di sini? Untuk mendapatkan jawapan yang lengkap, kami mengurangkan polinomial kepada bentuk yang sepadan dan menghitung diskriminasi. Dalam contoh ini, penyelesaian persamaan kuadrat tidak perlu, kerana intipati masalahnya tidak sama sekali. Dalam kes ini, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, yang bermaksud tidak ada akar.

Teorem Vieta

Persamaan kuadratik mudah diselesaikan melalui formula di atas dan diskriminasi, apabila akar kuadrat diekstrak daripada nilai yang terakhir. Tetapi ini tidak selalu berlaku. Walau bagaimanapun, terdapat banyak cara untuk mendapatkan nilai-nilai pembolehubah dalam kes ini. Contoh: penyelesaian persamaan kuadrat oleh teorem Vieta. Dia dinamakan sempena yang tinggal di abad ke-16 di Perancis dan membuat karir cemerlang dengan bakat matematik dan sambungannya di mahkamah. Potretnya dapat dilihat dalam artikel.

Corak yang diperhatikan oleh orang Perancis terkenal adalah seperti berikut. Dia membuktikan bahawa akar persamaan adalah bersamaan dengan -p \u003d b / a, dan produk mereka sepadan dengan q \u003d c / a.

Sekarang pertimbangkan tugas-tugas tertentu.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Untuk kesederhanaan, kami mengubah ungkapan:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Menggunakan teorem Vieta, ini akan memberi kita perkara berikut: jumlah akar adalah -7, dan produk mereka ialah -18. Dari sini kita dapati bahawa akar persamaan adalah nombor -9 dan 2. Setelah melakukan pemeriksaan, kita akan memastikan bahawa nilai-nilai pembolehubah ini benar-benar sesuai dengan ungkapan.

Graf dan persamaan parabola

Konsep fungsi kuadratik dan persamaan kuadratik berkait rapat. Contoh-contoh ini telah diberikan sebelum ini. Sekarang, mari kita lihat beberapa teka-teki matematik dengan lebih terperinci. Mana-mana persamaan jenis yang diterangkan boleh divisualisasikan. Ketergantungan yang sama seperti yang digambarkan dalam graf dipanggil parabola. Pelbagai jenisnya dibentangkan dalam gambar di bawah.

Mana-mana parabola mempunyai puncak, iaitu titik dari mana cabangnya keluar. Jika a\u003e 0, mereka pergi tinggi ke tak terhingga, dan apabila a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Imej visual fungsi membantu menyelesaikan persamaan, termasuk kuadratik. Kaedah ini dipanggil grafik. Dan nilai pembolehubah x ialah koordinat abscissa pada titik di mana garis graf bersilang dengan 0x. Koordinat puncak dapat dijumpai oleh formula yang diberikan hanya x 0 \u003d -b / 2a. Dan, dengan menggantikan nilai yang diperolehi dalam persamaan awal fungsi, anda boleh mencari y 0, iaitu koordinat kedua pada puncak parabola, yang dimiliki oleh paksi ordinat.

Persimpangan cabang parabola dengan abscissa

Terdapat banyak contoh dengan penyelesaian persamaan kuadratik, tetapi terdapat corak umum. Pertimbangkan mereka. Sudah jelas bahawa persimpangan graf dengan paksi 0x untuk\u003e 0 hanya mungkin jika y 0 mengambil nilai negatif. Dan untuk a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jika tidak, D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Menurut jadual parabola, anda juga boleh menentukan akarnya. Berbincang juga benar. Iaitu, jika tidak mudah untuk mendapatkan imej visual fungsi kuadratik, anda boleh menyamakan sisi kanan ungkapan hingga 0 dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan. Dan mengetahui titik persilangan dengan paksi 0x, lebih mudah untuk plot.

Dari sejarah

Menggunakan persamaan yang mengandungi pembolehubah kuasa dua, pada zaman dahulu tidak hanya pengiraan matematik dan menentukan kawasan bentuk geometri. Orang kuno memerlukan perhitungan sedemikian untuk penemuan hebat di bidang fisika dan astronomi, serta untuk membuat ramalan astrologi.

Seperti yang dicadangkan para ulama moden, penghuni Babel adalah antara yang pertama untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Ia berlaku empat abad sebelum kedatangan era kita. Sudah tentu, pengiraan mereka pada dasarnya berbeza daripada yang diterima dan ternyata menjadi lebih primitif. Sebagai contoh, ahli matematik Mesopotamia tidak tahu tentang kewujudan nombor negatif. Mereka juga tidak kenal dengan hal-hal kecil yang lain yang diketahui oleh mana-mana pelajar sekolah zaman kita.

Mungkin lebih awal daripada saintis Babylon, bijak dari India, Baudhayama, terlibat dalam penyelesaian persamaan kuadratik. Ia berlaku kira-kira lapan abad sebelum kedatangan Kristus. Benar, persamaan pesanan kedua, kaedah penyelesaian yang dia sebut, adalah yang paling mudah. Di samping itu, ahli matematik Cina berminat dengan soalan seperti dahulu. Di Eropah, persamaan kuadratik mula diselesaikan hanya pada permulaan abad XIII, tetapi kemudian saintis hebat seperti Newton, Descartes dan banyak lagi yang menggunakannya dalam karya mereka.

Saya berharap, setelah mempelajari artikel ini, anda akan belajar untuk mencari akar persamaan kuadratik penuh.

Dengan bantuan diskriminasi, persamaan kuadratik hanya lengkap diselesaikan, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap, kaedah lain digunakan, yang akan anda dapati dalam artikel "Menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap".

Persamaan kuadrat apa yang dipanggil lengkap? Ia adalah persamaan bentuk kap 2 + b x + c \u003d 0, di mana pekali a, b, dan c tidak sama dengan sifar. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, kita mesti mengira diskriminasi D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Bergantung pada kepentingan diskriminasi, kami akan menulis jawapannya.

Jika diskriminasi adalah nombor negatif (D< 0),то корней нет.

Sekiranya diskriminan sama dengan sifar, maka x \u003d (-b) / 2a. Apabila diskriminasi adalah nombor positif (D\u003e 0),

maka x 1 \u003d (-b - √D) / 2a, dan x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Contohnya.   Selesaikan persamaan x 2  - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Jawapan: 2.

Selesaikan Persamaan 2 x 2   + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 · 2 · 3 \u003d - 23

  Jawab: tidak ada akar.

Selesaikan Persamaan 2 x 2   + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 · 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Jawab: - 3.5; 1.

Jadi, bayangkan penyelesaian persamaan kuadratik yang lengkap oleh litar dalam Rajah 1.

Menggunakan formula ini, anda boleh menyelesaikan sebarang persamaan kuadrat yang lengkap. Anda hanya perlu memantau dengan teliti persamaan itu ditulis sebagai polinomial piawai

tetapi x 2   + bx + c,  jika tidak, anda boleh membuat kesilapan. Sebagai contoh, dalam rekod persamaan x + 3 + 2x2 \u003d 0, ia boleh tersilap memutuskannya

a \u003d 1, b \u003d 3 dan c \u003d 2. Kemudian

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 dan kemudian persamaan mempunyai dua akar. Dan ini tidak benar. (Lihat penyelesaian contoh 2 di atas).

Oleh itu, jika persamaan tidak ditulis oleh polinomial bentuk standard, pertama persamaan kuadratik penuh mesti ditulis oleh polinomial bentuk piawai (di tempat pertama harus monomial dengan eksponen tertinggi, iaitu tetapi x 2 maka dengan kurang – bxdan kemudian ahli percuma dengan

Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik dan persamaan kuadratik dengan koefisien walaupun pada penggal kedua, formula lain boleh digunakan. Mari kita kenal dengan formula ini. Jika dalam persamaan kuadratik penuh dengan istilah kedua pekali adalah sama (b \u003d 2k), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan formula yang diberikan dalam rajah Rajah 2.

Persamaan kuadratik lengkap dipanggil dikurangkan jika pekali x 2   sama dengan perpaduan dan persamaan mengambil bentuk x 2 + px + q \u003d 0. Persamaan sedemikian dapat diberikan untuk penyelesaian, atau diperoleh dengan membagi semua koefisien, persamaan dengan pekali tetapiberdiri di x 2 .

Rajah 3 menunjukkan gambarajah penyelesaian persegi yang dikurangkan
  persamaan. Mari kita pertimbangkan untuk menggunakan formula yang dipertimbangkan dalam artikel ini sebagai contoh.

Contohnya. Selesaikan persamaan

3x 2   + 6x - 6 \u003d 0.

Mari kita selesaikan persamaan ini menggunakan formula dalam Rajah 1.

D \u003d 6 2 - 4 · 3 · (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √3

Jawab: -1 - √3; -1 + √3

Anda dapat melihat bahawa pekali x dalam persamaan ini adalah nombor yang sama, iaitu, \u003d 6 atau b \u003d 2k, dimana k \u003d 3. Kemudian kita akan cuba menyelesaikan persamaan dengan menggunakan formula yang ditunjukkan dalam rajah angka D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Jawab: -1 - √3; -1 + √3. Dengan memperhatikan bahawa semua pekali dalam persamaan kuadratik ini dapat dibahagikan dengan 3 dan melakukan pembahagian, kita memperoleh persamaan kuadrat dikurangi x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Kami menyelesaikan persamaan ini menggunakan formula untuk kuadratik yang dikurangkan
persamaan angka 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 · (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

  Jawab: -1 - √3; -1 + √3.

Seperti yang dapat anda lihat, apabila menyelesaikan persamaan ini menggunakan formula yang berbeza, kami mendapat jawapan yang sama. Oleh itu, setelah menguasai formula yang diberikan dalam rajah Rajah 1, anda boleh menyelesaikan sebarang persamaan kuadrat yang lengkap.

laman web, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan kepada sumber diperlukan.