Sebuah jajaran paralel adalah quadrangle yang sisi bertentangan selari berpasangan. Sebuah jajaran paralelogram juga mempunyai sifat-sifat seperti sisi bertentangan sama, sudut bertentangan adalah sama, jumlah semua sudut adalah 360 darjah.

Anda perlukan

• Pengetahuan mengenai geometri.

Manual arahan

1.   Bayangkan diberi salah satu sudut rentas rajah dan sama dengan A. Kita dapati nilai-nilai baki 3. Dengan harta dari segi rentasram, sudut bertentangan adalah sama. Jadi sudut yang berbaring sebaliknya adalah sama dengan ini dan nilainya adalah A.

2.   Kita dapati dua baki yang lain. Kerana jumlah semua sudut dalam jajaran paralelogram adalah 360 darjah, dan sudut bertentangan sama dengan satu sama lain, ternyata bahawa sudut kepunyaan satu sisi dengan data adalah (360 - 2A) / 2. Nah, atau kemudian, selepas pembaharuan, kita dapat 180 - A. Oleh itu, dalam satu rentetan rajah, dua sudut sama dengan A, dan dua sudut lain sama dengan 180 - A.

Beri perhatian!
  Nilai satu sudut tidak boleh melebihi 180 darjah. Nilai sudut yang diperoleh dengan mudah disahkan. Untuk melakukan ini, tambahkannya dan, jika jumlahnya 360, semuanya dikira dengan betul.

Nasihat berguna
  Segitiga dan rombus adalah kes khas dari segi rentas, oleh itu, semua sifat dan kaedah pengiraan sudut dikenakan kepada mereka.

Tugasan 1. Salah satu sudut paralelogram ialah 65 °. Cari sudut yang selebihnya dari segi rentas.

∠C \u003d ∠A \u003d 65 ° sebagai sudut bertentangan dengan jajaran paralelogram.

∠A + ∠B \u003d 180 ° sebagai sudut bersebelahan dengan satu sisi rentasogram.

∠В \u003d 180 ° - ∠ \u003d 180 ° - 65 ° \u003d 115 °.

∠D \u003d ∠B \u003d 115 ° sebagai sudut yang bertentangan dengan jajaran tersebut.

Jawapan: ∠ \u003d ∠ \u003d \u003d 65 °; ∠В \u003d ∠D \u003d 115 °.

Tugasan 2  Jumlah kedua-dua sudut parallelogram ialah 220 °. Cari sudut-sudut paralelogram.

Oleh kerana jajarannya mempunyai 2 sudut tajam yang sama dan 2 sudut bodoh yang sama, kita diberi jumlah dua sudut bodoh, iaitu i.e. ∠В + ∠D \u003d 220 °. Kemudian ∠ \u003d ∠ \u003d 220 ° :   2 \u003d 110 °.

+ A + ∠B \u003d 180 ° sebagai sudut yang bersebelahan dengan satu sisi dari segi lajur, oleh itu ∠A \u003d 180 ° - ∠B \u003d 180 ° - 110 ° \u003d 70 °. Kemudian ∠C \u003d ∠A \u003d 70 °.

Jawab: ∠A \u003d ∠ \u003d 70 °; ∠В \u003d ∠D \u003d 110 °.

Tugas 3.  Salah satu penjuru paralelogram adalah 3 kali lebih besar daripada yang lain. Cari sudut-sudut paralelogram.

Katakan ∠A \u003d x. Kemudian ∠В \u003d 3х. Mengetahui bahawa jumlah sudut rentas rantaian bersebelahan dengan satu sisinya bersamaan dengan 180 °, kita membuat persamaan.

x \u003d 180 : 4;

Kami mendapat: ∠ \u003d \u003d 45 °, dan ∠ \u003d 3х \u003d 3 ∙ 45 ° \u003d 135 °.

Oleh itu, sudut-sudut yang bertentangan dengan jajaran paralelogram adalah sama,

∠ \u003d ∠ \u003d \u003d 45 °; ∠В \u003d ∠D \u003d 135 °.

Jawapan: ∠ \u003d ∠ \u003d \u003d 45 °; ∠В \u003d ∠D \u003d 135 °.

Tugas 4.  Buktikan bahawa jika quadrangle mempunyai dua sisi selari dan sama, maka quadrangle ini adalah suatu jajaran paralelogram.

Bukti.

Lukis BD pepenjuru dan pertimbangkan Δ ADB dan Δ CBD.

AD \u003d BC dengan keadaan. Sisi BD adalah perkara biasa. ∠1 \u003d ∠2 sebagai dalaman yang berbaring melintang untuk selari (dengan asumsi) baris AD dan BC dan BD secant. Oleh itu, Δ ADB \u003d Δ CBD pada kedua-dua belah pihak dan sudut di antara mereka (tanda pertama persamaan segitiga). Dalam segitiga sama, sudut sama adalah sama, yang bermaksud bahawa ∠3 \u003d ∠4. Dan sudut-sudut ini terletak secara melintang di garis lurus AB dan CD dan BD yang secant. Ini membayangkan parallelism garis AB dan CD. Oleh itu, dalam ABCD segiempat ini, pihak bertentangan adalah selari pasangan, oleh itu, dengan definisi ABCD - parallelograms, seperti yang diperlukan.

Tugas 5.  Kedua-dua belah parallelogram berkaitan dengan 2 :   5, dan perimeter adalah 3.5 m. Cari bahagian-bahagian dari segi selari.

∙   (AB + AD).

Nyatakan satu bahagian dengan x. maka AB \u003d 2x, AD \u003d 5x meter. Mengetahui bahawa perimeter dari parallelogram adalah 3.5 m, kami menyusun persamaan:

2 ∙   (2x + 5x) \u003d 3.5;

2 ∙   7x \u003d 3.5;

x \u003d 3,5 : 14;

Satu bahagian adalah 0.25 m, maka AB \u003d 2 ∙   0.25 \u003d 0.5 m; AD \u003d 5 ∙   0.25 \u003d 1.25 m.

Pengesahan

Perimeter paralelogram P ABCD \u003d 2 ∙   (AB + AD) \u003d 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙   1.75 \u003d 3.5 (m).

Oleh kerana sisi bertentangan dengan jajarannya sama, maka CD \u003d AB \u003d 0.25 m; BC \u003d AD \u003d 1.25 m.

Jawab: CD \u003d AB \u003d 0.25 m; BC \u003d AD \u003d 1.25 m.

Seperti dalam geometri Euclidean, satu titik dan garis lurus adalah elemen utama teori pesawat, jadi sebuah rentasogram adalah salah satu daripada tokoh-tokoh penting dalam segi empat tepat cembung. Dari sini, seperti benang dari bola, konsep "segiempat tepat", "persegi", "rombus" dan aliran kuantiti geometri lain dalam.

Vkontakte

Definisi Parallelogram

Convex quadrangle, yang terdiri daripada segmen, setiap pasangan yang selari, dikenali dalam geometri sebagai rentasogram.

Paralelogram klasik kelihatan seperti quadrangle ABCD. Sisi dipanggil pangkalan (AB, BC, CD dan AD), tegak lurus yang ditarik dari mana-mana puncak ke sisi bertentangan dengan puncak ini dipanggil ketinggian (BE dan BF), dan garisan AC dan BD dipanggil pepenjuru.

Perhatian!  Sebuah persegi, rombus dan segi empat tepat adalah kes-kes khas dari segi rentas.

Bahagian dan sudut: ciri nisbah

Ciri-ciri utama, secara besar-besaran,   yang telah ditetapkan oleh notasi tersebut, mereka dibuktikan oleh teorem. Ciri-ciri ini adalah seperti berikut:

1. Pihak yang bertentangan adalah sama berpasangan.
2. Sudut-sudut yang terletak bertentangan antara satu sama lain adalah berpasangan.

Bukti: pertimbangkan ΔABC dan ΔADC, yang diperolehi kerana pemisahan ABCD segi empat garisan AC. ∠BCA \u003d ∠CAD dan ∠BAC \u003d ∠ACD, kerana AC adalah biasa bagi mereka (sudut menegak untuk BC || AD dan AB || CD, masing-masing). Dari sini ia adalah berikut: ΔABC \u003d ΔADC (tanda kedua persamaan segitiga).

Segmen AB dan BC dalam pairwise ΔABC sesuai dengan garis CD dan AD dalam ΔADC, yang bermaksud identiti mereka: AB \u003d CD, BC \u003d AD. Oleh itu, ∠B sepadan dengan ∠D dan mereka adalah sama. Oleh kerana ∠A \u003d ∠BAC + ∠CAD, ∠C \u003d ∠BCA + ∠ACD, yang juga berpasangan sama, maka ∠A \u003d ∠C. Harta itu terbukti.

Ciri-ciri pepenjuru angka

Gejala utamadaripada garis-garis paralelogram: titik persilangan membahagikannya kepada separuh.

Bukti: Biarkan T. E menjadi titik simpang diagonal AC dan BD dari angka ABCD. Mereka membentuk dua segi tiga yang sepadan - ΔABE dan ΔCDE.

AB \u003d CD, kerana mereka bertentangan. Menurut garis dan sekunder, ∠ABE \u003d ∠CDE dan ∠BAE \u003d ∠DCE.

Dengan kriteria kedua untuk kesamaan, ΔABE \u003d ΔCDE. Ini bermakna unsur-unsur ΔABE dan ΔCDE: AE \u003d CE, BE \u003d DE dan pada masa yang sama mereka adalah bahagian-bahagian yang berkadar dari AC dan BD. Harta itu terbukti.

Ciri-ciri sudut bersebelahan

Di sisi bersebelahan, jumlah sudut 180 °, kerana mereka terletak pada satu sisi garisan selari dan sebaliknya. Untuk segiempat ABCD:

∠A + ∠B \u003d ∠C + ∠D \u003d ∠A + ∠D \u003d ∠B + ∠C \u003d 180 º

Hartanah Bisector:

1.   , diturunkan ke satu sisi, tegak lurus;
2. puncak bertentangan mempunyai bisectors selari;
3. segitiga yang diperoleh dengan memegang pemisah akan menjadi sama.

Penentuan sifat-sifat ciri dari suatu rentetan rajah oleh teorem

Ciri-ciri angka ini mengikuti dari teorem utamanya, yang menyatakan yang berikut: quadrangle dianggap sebagai jajaran paralelogramsekiranya diagonalnya berpotongan, dan titik ini membahagikannya ke segmen yang sama.

Bukti: Anggapkan bahawa dalam T. E garisan AC dan BD dari quadrangle ABCD bersilang. Oleh kerana ∠AED \u003d ∠BEC, dan AE + CE \u003d AC BE + DE \u003d BD, ΔAED \u003d ΔBEC (dengan tanda pertama kesamaan segitiga). Iaitu, ∠ EAD \u003d ∠ECB. Mereka juga adalah sudut silang dalaman AC yang secant untuk garis lurus AD dan BC. Oleh itu, dengan definisi paralelisme - AD || BC. Harta yang sama dari garisan BC dan CD juga dihasilkan. Teorem terbukti.

Pengiraan kawasan angka tersebut

Kawasan angka ini   didapati oleh beberapa kaedahsalah satu yang paling mudah: mengalikan ketinggian dan asas yang mana ia ditarik.

Bukti: kita menarik perpendiculars BE dan CF dari simpang B dan C. ΔABE dan ΔDCF adalah sama, kerana AB \u003d CD dan BE \u003d CF. ABCD adalah isometrik dengan EBCF segi empat tepat, kerana mereka terdiri daripada angka berkadar: S ABE dan S EBCD, serta S DCF dan S EBCD. Oleh itu, kawasan geometri ini sama dengan segi empat tepat:

S ABCD \u003d S EBCF \u003d BE × BC \u003d BE × AD.

Untuk menentukan rumus kawasan selari umum, menunjukkan ketinggian sebagai hbdan ke tepi b. Oleh itu:

Cara lain untuk mencari kawasan tersebut

Pengiraan kawasan melalui sisi jajaran dan jajarannyayang mereka bentuk adalah kaedah yang kedua diketahui.

,

Spr-ma - kawasan;

a dan b adalah pihaknya

α adalah sudut antara segmen a dan b.

Kaedah ini praktikal berdasarkan pada yang pertama, tetapi sekiranya ia tidak diketahui. sentiasa memotong segitiga tepat yang parameternya adalah identiti trigonometri, iaitu. Mengubah hubungan, kita dapati. Dalam persamaan kaedah pertama, kita menggantikan ketinggian dengan produk ini dan mendapatkan bukti kesahihan formula ini.

Melalui pepenjuru dari segi rentas dan sudut,  yang mereka buat di persimpangan, anda juga boleh mencari kawasan tersebut.

Bukti: AC dan BD bersilang untuk membentuk empat segi tiga: ABE, BEC, CDE dan AED. Jumlah mereka adalah sama dengan kawasan quadrangle ini.

Kawasan setiap Δ ini boleh didapati di belakang ungkapan, di mana a \u003d BE, b \u003d AE, ∠γ \u003d ∠AEB. Sejak itu, maka dalam perhitungan satu nilai sinus digunakan. Itulah. Oleh kerana AE + CE \u003d AC \u003d d 1 dan BE + DE \u003d BD \u003d d 2, formula kawasan akan mengurangkan kepada:

.

Permohonan dalam aljabar vektor

Ciri-ciri bahagian konstituen quadrangle ini telah menemui aplikasi dalam algebra vektor, iaitu: penambahan dua vektor. Peraturan ricihogram menyatakan bahawa jika diberikan vektor  dan  tidak  collinear, maka jumlah mereka akan sama dengan angka pepenjuru angka ini, asas yang sesuai dengan vektor-vektor ini.

Bukti: dari awal yang dipilih secara sewenang-wenang - i.e. - kita membina vektor dan. Seterusnya, kami membina satu rentetan selaras OASV, di mana segmen OA dan OB adalah sisi. Oleh itu, OS terletak pada vektor atau jumlah.

Rumus untuk mengira parameter paralelogram

Identiti diberikan mengikut syarat-syarat berikut:

1. a dan b, α adalah sisi dan sudut antara mereka;
2. d 1 dan d 2, γ adalah pepenjuru pada titik persimpangan mereka;
3. h a dan h b adalah ketinggian yang diturunkan di sisi a dan b;

Parameter	Formula
Mencari pihak
sepanjang diagonal dan kosinus sudut di antara mereka
diagonal dan sebelah
melalui ketinggian dan puncak bertentangan
Mencari panjang pepenjuru
di sepanjang sisi dan saiz puncak di antara mereka

Sebuah jajaran parallelogram adalah quadrangle di mana pihak bertentangan adalah selari pasangan.

Satu rentetan seramik mempunyai semua sifat segi empat, tetapi selain itu ia juga mempunyai ciri tersendiri. Mengetahui mereka, kita dapat dengan mudah mencari kedua-dua belah pihak dan sudut-sudut paralelogram.

Sifat selari

1. Jumlah sudut dalam mana-mana parallelogram, seperti dalam mana-mana segi empat tepat, adalah 360 °.
2. Garis tengah garis lurus dan diagonalnya berpotongan pada satu titik dan bahagikannya separuh. Titik ini dipanggil pusat simetri rentetan rajah.
3. Sebilangan pinggir parallelogram sentiasa sama.
4. Juga, angka ini selalu mempunyai sudut bertentangan.
5. Jumlah sudut yang bersebelahan dengan kedua-dua belah jajarannya ialah 180 °.
6. Jumlah kuadrat diagonal bagi jujukannya sama dengan dua kali jumlah kuadrat dua sisi bersebelahannya. Ini dinyatakan dengan formula:
   • d 1 2 + d 2 2 \u003d 2 (a 2 + b 2), di mana d 1 dan d 2 adalah diagonal, a dan b adalah sisi bersebelahan.
7. Kosina dari sudut bodoh selalu kurang daripada sifar.

Bagaimana untuk mencari sudut-sudut paralelogram yang diberikan, memohon sifat-sifat ini dalam amalan? Dan apa formula lain yang boleh membantu kami dengan ini? Pertimbangkan tugas-tugas tertentu yang memerlukan: cari nilai-nilai sudut rentasogram.

Mencari sudut selari

Kes 1. Ukuran sudut bodoh diketahui, ia perlu mencari sudut akut.

Contoh: Dalam suatu segi empat tepat ABCD, sudut A ialah 120 °. Cari ukuran sudut yang tinggal.

Penyelesaian: Menggunakan harta No. 5, kita dapat mencari ukuran sudut B bersebelahan dengan sudut yang diberikan dalam tugas. Ia akan sama dengan:

• 180 ° -120 ° \u003d 60 °

Dan sekarang, menggunakan harta No. 4, kami menentukan bahawa kedua-dua sudut tersisa C dan D adalah bertentangan dengan sudut-sudut yang telah kami temui. Sudut C adalah bertentangan dengan sudut A, sudut D ialah sudut B. Oleh itu, mereka sama berpasangan dengan mereka.

• Jawab: B \u003d 60 °, C \u003d 120 °, D \u003d 60 °

Kes 2. Panjang sisi dan pepenjuru diketahui.

Dalam kes ini, kita perlu menggunakan teorem kosinus.

Pertama, kita boleh mengira kosina sudut yang kita perlukan dengan menggunakan formula, dan kemudian cari sudut yang sama dengan menggunakan jadual khas.

Untuk sudut akut, formulanya adalah seperti berikut:

• cosa \u003d (A² + V² - d²) / (2 * A * B), di mana
• dan - ini adalah sudut akut yang diingini,
• A dan B adalah bahagian-bahagian dari segi selari,
• d - pepenjuru yang lebih kecil

Untuk sudut bodoh, formula berubah sedikit:

• cosß \u003d (A² + V² - D²) / (2 * A * B), di mana
• ß adalah sudut bodoh
• A dan B adalah sisi
• D - pepenjuru yang besar

Contohnya: anda perlu mencari sudut akrilik dari segi panjang, sisinya ialah 6 cm dan 3 cm, dan pepenjuru yang lebih kecil adalah 5.2 cm

Kami menggantikan nilai dalam formula untuk mencari sudut akut:

• cosa \u003d (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) \u003d (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) \u003d 17.96 / 36 ~ 18/36 ~ 1/2
• cosa \u003d 1/2. Menurut jadual, kita mengetahui bahawa sudut yang dikehendaki adalah 60 °.

Sebuah jajaran paralelogram adalah segi empat di mana pihak bertentangan adalah selari, iaitu terletak pada garis selari (Rajah 1).

  Teorem 1 Pada harta sisi dan sudut rentasogram.  Dalam jajarannya, sisi bertentangan adalah sama, sudut bertentangan adalah sama, dan jumlah sudut yang bersebelahan dengan satu sisi dari segi empat tepat ialah 180 °.

Bukti. Dalam jajaran ini ABCD, kita melukis AC pepenjuru dan mendapatkan dua segitiga ABC dan ADC (Rajah 2).

Segitiga-segitiga ini adalah sama, kerana ∠ 1 \u003d ∠ 4, ∠2 \u003d ∠3 (sudut berbaring melintang untuk garis selari), dan sisi pembicara adalah perkara biasa. Dari kesamaan Δ ABC \u003d Δ ADC berikut AB \u003d CD, BC \u003d AD, ∠ B \u003d ∠ D. Jumlah sudut bersebelahan dengan satu sisi, contohnya sudut A dan D, ialah 180 ° sebagai satu sisi dengan garis selari. Teorem terbukti.

Catatan. Kesamaan sisi-sisi yang bertentangan dari jajaran parallelogram bermakna bahawa segmen selari, dipotong dengan selari, sama.

Corollary 1. Jika dua baris adalah selari, maka semua titik satu baris berada pada jarak yang sama dari baris lain.

Bukti. Malah, biarlah | | b (Rajah 3).

Lukiskan dari mana-mana dua titik B dan C garis b b perpendiculars BA dan CD ke baris a. Sejak AB || CD, maka angka ABCD ialah suatu jajaran paralelogram, dan oleh itu AB \u003d CD.

Jarak antara dua garisan selari ialah jarak dari titik sewenang-wenang dari salah satu garisan ke garisan yang lain.

Menurut apa yang telah dibuktikan, ia adalah sama dengan panjang serenjang yang diambil dari titik satu garis sejajar ke garis lain.

Contoh 1  Perimeter paralelogram ialah 122 cm, salah satu sisinya adalah 25 cm lebih besar daripada yang lain. Cari bahagian-bahagian paralelogram.

Penyelesaian. Oleh Teorem 1, bahagian-bahagian yang bertentangan dengan jajaran paralelogram adalah sama. Kami menunjukkan satu sisi dari segi rentas dengan x, yang lain dengan y. Kemudian dengan keadaan $$ \\ left \\ (\\ begin (matriks) 2x + 2y \u003d 122 \\\\ x - y \u003d 25 \\ end (matriks) \\ right $$. Oleh itu, sisi-sisi paralelogram adalah 18, 43, 18, dan 43 cm.

Contoh 2

Penyelesaian.   Biarkan keadaan masalah sesuai dengan Rajah 4.

Kami menunjukkan AB oleh x, dan BC oleh y. Dengan syarat, perimeter dari parallelogram adalah 10 cm, iaitu, 2 (x + y) \u003d 10, atau x + y \u003d 5. Perimeter segi tiga ABD adalah 8 cm Dan kerana AB + AD \u003d x + y \u003d 5, maka BD \u003d 8 - 5 \u003d 3. Jadi BD \u003d 3 cm.

Contoh 3  Cari sudut-sudut paralelogram, mengetahui bahawa salah satu daripada mereka adalah 50 ° lebih besar daripada yang lain.

Penyelesaian.   Biarkan keadaan masalah sesuai dengan Rajah 5.

Nyatakan ukuran darjah sudut A dengan x. Kemudian ukuran darjah sudut D ialah x + 50 °.

Sudut BAD dan ADC adalah bersilang dalaman dengan garis lurus selari AB dan DC dan AD tetap. Kemudian jumlah sudut yang diberi nama ini akan menjadi 180 °, iaitu
  x + x + 50 ° \u003d 180 °, atau x \u003d 65 °. Oleh itu, ∠ A \u003d ∠ C \u003d 65 °, ∠ B \u003d ∠ D \u003d 115 °.

Contoh 4  Sisi paralelogram adalah 4.5 dm dan 1.2 dm. Sebuah bisektor diambil dari bahagian atas sudut akut. Bahagian apa bahagiannya membahagikan bahagian yang lebih besar dari segi rentas?

Penyelesaian.   Biarkan keadaan masalah sesuai dengan Rajah 6.

AE ialah pemisah dari sudut akustik. Oleh itu, ∠ 1 \u003d ∠ 2.