8 contoh pemfaktoran polinomial diberikan. Ia termasuk contoh dengan menyelesaikan persamaan kuadratik dan biquadratik, contoh dengan polinomial refleksif, dan contoh dengan mencari punca integer polinomial darjah ketiga dan keempat.

1. Contoh dengan penyelesaian persamaan kuadratik

Contoh 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Penyelesaian

Keluarkan x 2 di luar kurungan:
.
2 + x - 6 = 0:
.
punca persamaan:
, .

.

Jawab

Contoh 1.2

Faktorkan polinomial darjah ketiga:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Penyelesaian

Pindahkan x daripada kurungan:
.
Kami selesaikan persamaan kuadratik x 2 + 6 x + 9 = 0:
Diskriminasinya:.
Oleh kerana diskriminasi adalah sifar, punca persamaan adalah berbilang:;
.

Daripada ini kita mendapat pemfaktoran polinomial:
.

Jawab

Contoh 1.3

Faktorkan polinomial darjah kelima:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Penyelesaian

Keluarkan x 3 di luar kurungan:
.
Menyelesaikan persamaan kuadratik x 2 - 2 x + 10 = 0.
Diskriminasinya:.
Sejak diskriminasi kurang daripada sifar, maka punca-punca persamaan adalah kompleks:;
, .

Pemfaktoran polinomial ialah:
.

Jika kita berminat dalam pemfaktoran dengan pekali nyata, maka:
.

Jawab

Contoh pemfaktoran polinomial menggunakan formula

Contoh dengan polinomial biquadratik

Contoh 2.1

Faktorkan polinomial biquadratik:
x 4 + x 2 - 20.

Penyelesaian

Mari gunakan formula:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

Jawab

Contoh 2.2

Faktorkan polinomial yang berkurang kepada polinomial:
x 8 + x 4 + 1.

Penyelesaian

Mari gunakan formula:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

Jawab

Contoh 2.3 dengan polinomial boleh dikembalikan

Faktorkan polinomial pulangan:
.

Penyelesaian

Polinomial refleksif mempunyai darjah ganjil. Oleh itu, ia mempunyai punca x = - 1 ... Kami membahagi polinomial dengan x - (-1) = x + 1... Akibatnya, kami mendapat:
.
Kami membuat penggantian:
, ;
;


;
.

Jawab

Contoh pemfaktoran polinomial dengan punca integer

Contoh 3.1

Faktorkan polinomial:
.

Penyelesaian

Katakan persamaan

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Jadi, kami mendapati tiga punca:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Oleh kerana polinomial asal ialah darjah ketiga, ia mempunyai paling banyak tiga punca. Oleh kerana kami menjumpai tiga punca, ia adalah mudah. Kemudian
.

Jawab

Contoh 3.2

Faktorkan polinomial:
.

Penyelesaian

Katakan persamaan

mempunyai sekurang-kurangnya satu akar keseluruhan. Kemudian ia adalah pembahagi nombor 2 (istilah tanpa x). Iaitu, keseluruhan akar boleh menjadi salah satu nombor:
-2, -1, 1, 2 .
Kami menggantikan nilai ini secara bergilir:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
Jika kita menganggap bahawa persamaan ini mempunyai punca integer, maka ia adalah pembahagi nombor 2 (istilah tanpa x). Iaitu, keseluruhan akar boleh menjadi salah satu nombor:
1, 2, -1, -2 .
Gantikan x = -1 :
.

Jadi, kami menemui satu lagi punca x 2 = -1 ... Ia mungkin, seperti dalam kes sebelumnya, untuk membahagikan polinomial dengan, tetapi kami akan mengumpulkan ahli:
.

Oleh kerana persamaan x 2 + 2 = 0 tidak mempunyai punca sebenar, maka pemfaktoran polinomial mempunyai bentuk.

Cari jumlah dan hasil darab punca-punca persamaan kuadratik. Dengan menggunakan formula (59.8) untuk punca-punca persamaan terkurang, kita perolehi

(persamaan pertama adalah jelas, yang kedua diperoleh selepas pengiraan mudah, yang pembaca akan lakukan secara bebas; ia adalah mudah untuk menggunakan formula untuk hasil tambah dua nombor dengan perbezaannya).

Perkara berikut dibuktikan.

Teorem Vieta. Jumlah punca persamaan kuadratik terkurang adalah sama dengan pekali kedua dengan tanda bertentangan, dan produk mereka adalah sama dengan istilah percuma.

Dalam kes persamaan kuadratik tidak dikurangkan, ungkapan formula (60.1) hendaklah digantikan dalam formula (60.1) untuk mengambil bentuk

Contoh 1. Buat persamaan kuadratik dengan puncanya:

Penyelesaian, a) Kita dapati persamaan mempunyai bentuk

Contoh 2. Cari hasil tambah kuasa dua punca persamaan tanpa menyelesaikan persamaan itu sendiri.

Penyelesaian. Jumlah dan hasil darab akar diketahui. Kami mewakili jumlah kuasa dua akar dalam bentuk

dan dapat

Mudah untuk mendapatkan formula dari formula Vieta

menyatakan peraturan untuk memfaktorkan trinomial segi empat sama.

Sesungguhnya, kami menulis formula (60.2) dalam borang

Sekarang kita ada

yang dikehendaki diperolehi.

Derivasi formula Vieta di atas sudah biasa kepada pembaca dari kursus algebra sekolah menengah. Satu lagi kesimpulan boleh diberikan, menggunakan teorem Bezout dan memfaktorkan polinomial (item 51, 52).

Biarkan punca persamaan kemudian oleh peraturan Am(52.2) trinomial di sebelah kiri persamaan difaktorkan:

Mengembangkan kurungan di sebelah kanan identiti ini, kami memperoleh

dan membandingkan pekali pada darjah yang sama akan memberikan kita formula Vieta (60.1).

Kelebihan kesimpulan ini ialah ia boleh digunakan pada persamaan darjat yang lebih tinggi untuk mendapatkan ungkapan bagi pekali persamaan dari segi puncanya (tanpa mencari punca sendiri!). Contohnya, jika punca-punca persamaan padu terkurang

Pada dasarnya, mengikut kesaksamaan (52.2), kita dapati

(dalam kes kami, Mengembangkan kurungan di sebelah kanan kesamaan dan mengumpul pekali pada darjah yang berbeza, kami memperoleh

Dunia tenggelam dalam sejumlah besar angka. Sebarang pengiraan dibuat dengan bantuan mereka.

Orang ramai belajar nombor agar tidak terjerumus dalam penipuan di kemudian hari. Anda perlu menghabiskan banyak masa untuk dididik dan mengira bajet anda sendiri.

Matematik adalah sains tepat yang memainkan peranan besar dalam kehidupan. Di sekolah, kanak-kanak belajar nombor, dan kemudian, tindakan pada mereka.

Tindakan pada nombor adalah berbeza sama sekali: pendaraban, pengembangan, penambahan dan lain-lain. Sebagai tambahan kepada formula mudah, tindakan yang lebih kompleks digunakan dalam kajian matematik. Terdapat sejumlah besar formula yang mana mana-mana nilai boleh diiktiraf.

Di sekolah, sebaik sahaja algebra muncul, formula penyederhanaan ditambah kepada kehidupan pelajar. Terdapat persamaan apabila terdapat dua nombor yang tidak diketahui, tetapi cari dengan cara yang mudah tidak akan berfungsi. Tiga sebutan ialah sambungan tiga monomial menggunakan kaedah penolakan dan penambahan yang mudah. Trinomial diselesaikan menggunakan teorem Vieta dan diskriminasi.

Formula untuk pemfaktoran trinomial segi empat sama

Terdapat dua betul dan penyelesaian mudah contoh:

• diskriminasi;
• Teorem Vieta.

Trinomial segi empat sama mempunyai kuasa dua yang tidak diketahui dan juga nombor tanpa kuasa dua. Pilihan pertama menggunakan formula Vieta untuk menyelesaikan masalah. Ini adalah formula mudah jika nombor yang berdiri di hadapan yang tidak diketahui akan nilai minimum.

Untuk persamaan lain di mana nombornya berada di hadapan yang tidak diketahui, persamaan mesti diselesaikan melalui diskriminasi. Ini adalah penyelesaian yang lebih kompleks, tetapi diskriminasi digunakan lebih kerap daripada teorem Vieta.

Pada mulanya, untuk mencari semua pembolehubah persamaan adalah perlu untuk menaikkan contoh kepada 0. Ia akan menjadi mungkin untuk menyemak penyelesaian contoh dan mengetahui sama ada nombor dilaraskan dengan betul.

Diskriminasi

1. Adalah perlu untuk menyamakan persamaan dengan 0.

2. Setiap nombor sebelum x akan dipanggil nombor a, b, c. Oleh kerana tiada nombor di hadapan petak pertama x, ia bersamaan dengan 1.

3. Sekarang penyelesaian kepada persamaan bermula melalui diskriminasi:

4. Sekarang kita telah menemui diskriminasi dan mencari dua x. Perbezaannya ialah dalam satu kes, b akan didahului dengan tambah, dan dalam satu lagi, tolak:

5. Mengikut penyelesaian, dua nombor itu ternyata -2 dan -1. Gantikan di bawah persamaan asal:

6. Dalam contoh ini, terdapat dua pilihan yang betul... Jika kedua-dua penyelesaian sesuai, maka masing-masing adalah benar.

Persamaan yang lebih kompleks juga diselesaikan melalui diskriminasi. Tetapi jika nilai diskriminasi itu sendiri kurang daripada 0, maka contoh itu salah. Diskriminasi sentiasa berada pada akar apabila mencari, dan nilai negatif tidak boleh berada pada akar.

Teorem Vieta

Ia digunakan untuk menyelesaikan masalah ringan di mana x pertama tidak didahului oleh nombor, iaitu, a = 1. Jika pilihan sepadan, maka pengiraan dijalankan menggunakan teorem Vieta.

Untuk menyelesaikan mana-mana tiga penggal adalah perlu untuk menaikkan persamaan kepada 0. Langkah pertama untuk diskriminasi dan teorem Vieta tidak berbeza.

2. Sekarang perbezaan bermula antara kedua-dua kaedah. Teorem Vieta bukan sahaja menggunakan pengiraan "kering", tetapi juga logik dan gerak hati. Setiap nombor mempunyai huruf a, b, c sendiri. Teorem menggunakan jumlah dan hasil darab dua nombor.

Ingat! Apabila ditambah, nombor b sentiasa berdiri dengan tanda bertentangan, dan nombor c kekal tidak berubah!

Menggantikan nilai data dalam contoh , kita mendapatkan:

3. Menggunakan kaedah logik, kita menggantikan nombor yang paling sesuai. Mari kita pertimbangkan semua penyelesaian:

1. Nombornya ialah 1 dan 2. Apabila kita menambahnya, kita mendapat 3, tetapi jika kita mendarabnya, kita tidak akan mendapat 4. Tidak sesuai.
2. Nilainya ialah 2 dan -2. Apabila didarab, ia adalah -4, tetapi apabila ditambah, ia menjadi 0. Tidak sesuai.
3. Nombornya ialah 4 dan -1. Oleh kerana terdapat nilai negatif dalam pendaraban, ini bermakna bahawa salah satu nombor akan dengan tolak. Apabila menambah dan mendarab, ia sesuai. Pilihan yang betul.

4. Ia kekal hanya untuk menyemak, mengembangkan nombor, dan melihat ketepatan pilihan yang dipilih.

5. Terima kasih kepada semakan dalam talian, kami mengetahui bahawa -1 tidak sesuai dengan keadaan contoh, yang bermaksud ia adalah keputusan yang salah.

Apabila menambah nilai negatif dalam contoh, anda mesti meletakkan nombor dalam kurungan.

Dalam matematik akan sentiasa ada tugasan mudah dan kompleks. Sains itu sendiri merangkumi pelbagai masalah, teorem dan formula. Jika anda memahami dan menggunakan pengetahuan dengan betul, maka sebarang kesulitan dengan pengiraan akan menjadi remeh.

Matematik tidak memerlukan hafalan yang berterusan. Anda perlu belajar memahami penyelesaian dan mempelajari beberapa formula. Secara beransur-ansur, mengikut kesimpulan logik, adalah mungkin untuk menyelesaikan masalah yang sama, persamaan. Sains sedemikian mungkin kelihatan sangat sukar pada pandangan pertama, tetapi jika mereka terjun ke dalam dunia nombor dan masalah, maka pandangan akan berubah secara dramatik dalam sisi yang lebih baik.

Kepakaran teknikal sentiasa kekal yang paling dituntut di dunia. Sekarang di dunia teknologi moden, matematik telah menjadi sifat yang sangat diperlukan dalam mana-mana bidang. Seseorang mesti sentiasa ingat tentang sifat berguna matematik.

Penguraian Trinomial Menggunakan Kurungan

Di samping menyelesaikan dengan cara biasa, terdapat satu lagi - penguraian ke dalam kurungan. Gunakan formula Vieta.

1. Samakan persamaan dengan 0.

kapak 2 + bx + c= 0

2. Punca-punca persamaan tetap sama, tetapi bukannya sifar, mereka kini menggunakan formula untuk pengembangan ke dalam kurungan.

kapak 2 + bx + c = a (x - x 1) (x - x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Penyelesaian x = -1, x = 3

Pemfaktoran trinomial segi empat sama merujuk kepada tugasan sekolah yang lambat laun akan dihadapi oleh semua orang. Bagaimana anda melakukannya? Apakah formula pemfaktoran bagi trinomial segi empat sama? Mari kita fikirkan langkah demi langkah menggunakan contoh.

Formula am

Pemfaktoran trinomial kuadratik dijalankan dengan menyelesaikan persamaan kuadratik. Ini adalah masalah mudah yang boleh diselesaikan dengan beberapa kaedah - dengan mencari diskriminasi menggunakan teorem Vieta, terdapat juga cara grafik untuk menyelesaikannya. Dua yang pertama diajar di sekolah menengah.

Formula umum kelihatan seperti ini:lx 2 + kx + n = l (x-x 1) (x-x 2) (1)

Algoritma untuk menyelesaikan tugasan

Untuk memfaktorkan trinomial kuasa dua, anda perlu mengetahui teorem Wit, mempunyai program penyelesaian, dapat mencari penyelesaian secara grafik, atau mencari punca persamaan darjah kedua melalui formula diskriminasi. Jika trinomial segi empat sama diberikan dan ia perlu difaktorkan, algoritma tindakan adalah seperti berikut:

1) Tetapkan ungkapan asal kepada sifar untuk mendapatkan persamaan.

2) Memimpin istilah yang serupa(sekiranya ada keperluan sedemikian).

3) Cari akar dengan mana-mana dengan cara yang diketahui... Kaedah grafik paling baik digunakan jika diketahui terlebih dahulu bahawa punca adalah integer dan nombor kecil. Perlu diingat bahawa bilangan punca adalah sama dengan darjah maksimum persamaan, iaitu persamaan kuadratik mempunyai dua punca.

4) Nilai gantian NS menjadi ungkapan (1).

5) Tulis pemfaktoran bagi trinomial segi empat sama.

Contoh daripada

Amalan ini membolehkan anda akhirnya memahami bagaimana tugas ini dilakukan. Jelaskan pemfaktoran bagi trinomial segi empat sama dengan contoh:

adalah perlu untuk mengembangkan ungkapan:

Mari kita gunakan algoritma kami:

1) x 2 -17x + 32 = 0

2) istilah serupa dikurangkan

3) sukar untuk mencari akar untuk contoh ini menggunakan formula Vieta, oleh itu lebih baik menggunakan ungkapan untuk diskriminasi:

D = 289-128 = 161 = (12.69) 2

4) Gantikan akar yang kami temui dalam formula penguraian utama:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Maka jawapannya adalah seperti ini:

x 2 -17x + 32 = (x-2.155) (x-14.845)

Mari kita semak sama ada penyelesaian yang ditemui oleh diskriminasi sepadan dengan formula Vieta:

14,845 . 2,155=32

Untuk akar ini, teorem Vieta digunakan, ia didapati dengan betul, yang bermaksud bahawa pemfaktoran yang kami perolehi juga betul.

Kami mengembangkan 12x 2 + 7x-6 dengan cara yang sama.

x 1 = -7 + (337) 1/2

x 2 = -7- (337) 1/2

Dalam kes sebelumnya, penyelesaiannya bukan integer, tetapi nombor nyata, yang mudah dicari dengan kalkulator di hadapan anda. Sekarang mari kita lihat contoh yang lebih kompleks, di mana akarnya kompleks: faktor x 2 + 4x + 9. Menurut formula Vieta, akarnya tidak dapat ditemui, dan diskriminasi adalah negatif. Akar akan berada pada satah kompleks.

D = -20

Berdasarkan ini, kita mendapat akar kepentingan kepada kita -4 + 2i * 5 1/2 dan -4-2i * 5 1/2 kerana (-20) 1/2 = 2i * 5 1/2.

Kami memperoleh penguraian yang diperlukan dengan menggantikan akar ke dalam formula am.

Contoh lain: anda perlu memfaktorkan ungkapan 23x 2 -14x + 7.

Kami mempunyai persamaan 23x 2 -14x + 7 =0

D = -448

Oleh itu, puncanya ialah 14 + 21,166i dan 14-21,166i. Jawapannya ialah:

23x 2 -14x + 7 = 23 (x- 14-21,166i )*(NS- 14 + 21.166i ).

Mari kita berikan satu contoh, yang boleh diselesaikan tanpa bantuan diskriminasi.

Katakan anda perlu mengembangkan persamaan kuadratik x 2 -32x + 255. Jelas sekali, ia boleh diselesaikan dengan diskriminasi, tetapi lebih cepat dalam kes ini untuk mengambil akarnya.

x 1 = 15

x 2 = 17

Bermakna x 2 -32x + 255 = (x-15) (x-17).