Definisi. Nombor semulajadi yang paling besar yang dibahagikan tanpa residu A dan B, dipanggil pembahagi biasa yang paling besar (nod) Nombor ini.

Cari pembahagi umum nombor 24 dan 35.
Pembahagi 24 akan menjadi nombor 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, dan Divisors 35 akan menjadi nombor 1, 5, 7, 35.
Kami melihat nombor itu 24 dan 35 mempunyai hanya satu pembahagi biasa - Nombor 1. Nombor-nombor tersebut dipanggil saling mudah.

Definisi. Nombor semula jadi dipanggil saling mudahJika pembahagi biasa mereka (nod) adalah sama dengan 1.

Pembahagi umum yang paling besar (nod) Anda boleh mencari, tanpa menulis semua pembahagi nombor ini.

Kami akan mengurai nombor 48 dan 36 pada faktor, kami mendapat:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Daripada pengganda yang ada dalam penguraian nombor pertama, menyebarkan mereka yang tidak termasuk dalam penguraian nombor kedua (iaitu dua dua).
Petani 2 * 2 * 3. Kerja mereka adalah 12. Ini adalah nombor dan merupakan pembahagi umum terbesar nombor 48 dan 36. Juga mencari pembahagi umum terbesar tiga atau lebih nombor.

Untuk mencari divisel biasa yang paling besar

2) Dari pengganda yang memasuki penguraian salah satu daripada nombor ini, padam yang tidak termasuk dalam penguraian nombor lain;
3) Cari pembuatan pengganda yang tinggal.

Sekiranya semua nombor ini dibahagikan kepada salah seorang daripada mereka, maka nombor ini adalah pembahagi umum yang paling besar Nombor data.
Sebagai contoh, pembahagi umum terbesar nombor 15, 45, 75 dan 180 akan menjadi nombor 15, kerana semua nombor lain dibahagikan kepada IT: 45, 75 dan 180.

Jumlah yang paling kecil (NOK)

Definisi. Pelbagai yang paling kecil (NOK) Nombor semula jadi A dan B dipanggil nombor semulajadi terkecil, yang berganda dan a, dan b. Jumlah yang paling kecil (NOC) nombor 75 dan 60 boleh didapati dan tidak menetapkan secara berturut-turut ke nombor-nombor ini. Untuk melakukan ini, menguraikan 75 dan 60 pada pengganda mudah: 75 \u003d 3 * 5 * 5, dan 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Kami menuliskan pengganda yang dimasukkan dalam penguraian nombor pertama nombor ini, dan menambah pengganda yang hilang 2 dan 2 dari penguraian nombor kedua (iaitu, kami menggabungkan pengganda).
Kami mendapat lima pengganda 2 * 2 * 3 * 5 * 5, produk yang 300. Nombor ini adalah jumlah yang paling rendah bilangan 75 dan 60.

Juga mencari pelbagai yang paling kecil untuk tiga atau lebih nombor.

Ke cari jumlah yang paling kecil Beberapa nombor semula jadi, adalah perlu:
1) menguraikannya dengan faktor mudah;
2) Tuliskan faktor-faktor yang memasuki penguraian salah satu daripada nombor;
3) Tambah faktor yang hilang dari ekspansi nombor yang tinggal;
4) Cari produk pengganda yang dihasilkan.

Perhatikan bahawa jika salah satu daripada nombor ini dibahagikan kepada semua nombor lain, maka nombor ini adalah jumlah data yang paling rendah.
Sebagai contoh, angka berbilang yang paling kecil 12, 15, 20 dan 60 akan menjadi nombor 60, kerana ia dibahagikan kepada semua data nombor.

Pythagoras (VI Century SM) dan pelajarnya mempelajari persoalan pembahagian nombor. Nombor yang sama dengan jumlah semua pembahagi (tanpa nombor), mereka memanggil nombor yang sempurna. Sebagai contoh, nombor 6 (6 \u003d 1 + 2 + 3), 28 (28 \u003d 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sempurna. Nombor sempurna berikut - 496, 8128, 33,550 336. Pythagorean tahu hanya tiga nombor sempurna yang pertama. Keempat - 8128 - ia dikenali pada abad saya. n. e. Kelima - 33 550 336 - ditemui di abad XV. Menjelang tahun 1983, 27 nombor yang sempurna telah diketahui. Tetapi setakat ini, saintis tidak tahu sama ada terdapat nombor yang sempurna, sama ada terdapat nombor sempurna yang sempurna.
Kepentingan ahli matematik kuno kepada nombor mudah adalah disebabkan oleh fakta bahawa mana-mana nombor adalah mudah atau boleh diwakili sebagai kerja nombor mudah, iaitu, nombor mudah seperti batu bata dari mana bilangan semula jadi yang masih dibina.
Anda mungkin menyedari bahawa nombor mudah dalam barisan nombor semula jadi tidak dapat ditemui di beberapa bahagian siri lebih, dalam yang lain - kurang. Tetapi semakin jauh kita bergerak di sekitar baris berangka, angka yang kurang mudah dijumpai. Persoalannya timbul: Adakah yang terakhir (yang terbesar) nombor mudah? Euclide Ahli Matematik Yunani Kuno (III abad SM) dalam bukunya "Permulaan", bekas selama dua ribu tahun, buku teks utama matematik, membuktikan bahawa nombor mudah tidak begitu banyak, iaitu, bagi setiap nombor mudah ada nombor mudah yang lebih besar .
Untuk mencari nombor mudah, ahli matematik Yunani yang lain pada masa yang sama, Eratosphen datang dengan cara sedemikian. Dia mencatatkan semua nombor dari 1 hingga beberapa nombor, dan kemudian menyerlahkan unit yang bukan nombor yang mudah atau tetap, kemudian menjerit melalui satu nombor yang pergi selepas 2 (nombor, berganda 2, iaitu 4, 6, 8, dll.) . Nombor baki pertama selepas 2 adalah 3. Selanjutnya dibentangkan dalam dua nombor, mencapai selepas 3 (nombor, berganda 3, iaitu 6, 9, 12, dan lain-lain). Pada akhirnya, hanya nombor mudah kekal tidak bercagar.

Ekspresi dan tugas matematik memerlukan banyak pengetahuan tambahan. Nok adalah salah satu yang utama, terutamanya yang sering digunakan dalam topik ini dipelajari di sekolah menengah, sementara tidak begitu kompleks dalam memahami bahan, seseorang yang biasa dengan derajat dan jadual pendaraban tidak akan menjadi sukar untuk menyerlahkan nombor yang diperlukan dan mengesan hasilnya.

Definisi

Pelbagai biasa - nombor yang mampu bertujuan untuk membahagikan kepada dua nombor pada masa yang sama (A dan B). Selalunya, nombor ini diperoleh dengan mendarabkan nombor awal A dan B. Nombor tersebut diwajibkan untuk berkongsi dengan segera pada kedua-dua nombor, tanpa penyimpangan.

Nok diterima pakai untuk ditetapkan nama pendekdikumpulkan dari huruf pertama.

Kaedah untuk mendapatkan nombor

Untuk mencari NOC, selalu ada kaedah untuk membiak nombor, ia lebih sesuai untuk nombor mudah atau dua digit yang mudah. Adalah lazim untuk membahagikan faktor-faktor, semakin besar jumlahnya, semakin banyak pengganda yang akan berlaku.

Contoh Nombor 1.

Untuk contoh yang paling mudah di sekolah, nombor mudah, tidak jelas atau dua digit biasanya diambil. Sebagai contoh, adalah perlu untuk menyelesaikan tugas berikut, untuk mencari jumlah terkecil yang banyak dari nombor 7 dan 3, penyelesaiannya agak mudah, hanya membiak mereka. Akibatnya, terdapat nombor 21, nombor yang lebih kecil tidak semata-mata.

Contoh nombor 2.

Versi kedua tugasnya lebih rumit. Terdapat 300 dan 1260 nombor, penemuan NOC semestinya. Tindakan berikut diandaikan untuk menyelesaikan tugas:

Penguraian nombor pertama dan kedua kepada pengganda yang paling mudah. 300 \u003d 2 2 * 3 * 5 2; 1260 \u003d 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Peringkat pertama selesai.

Peringkat kedua melibatkan kerja dengan data yang telah diterima. Setiap nombor yang diterima adalah diwajibkan untuk mengambil bahagian dalam pengiraan hasil akhir. Untuk setiap faktor dari komposisi nombor awal, yang paling banyak nombor besar Penyertaan. Nok ialah jumlah nomborOleh itu, pengganda dari nombor harus diulang untuk diulang kepada satu, bahkan yang hadir dalam satu kes. Kedua-dua nombor awal mempunyai komposisi nombor 2, 3 dan 5, dalam darjah yang berbeza, 7 hanya dalam satu kes.

Untuk mengira hasil akhir, adalah perlu untuk mengambil setiap nombor yang terbesar dari ijazah yang diwakili mereka ke persamaan. Ia tetap untuk membiak dan mendapatkan jawapan, dengan pengisian yang betul, tugas itu diletakkan dalam dua tindakan tanpa penjelasan:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC \u003d 6300.

Itulah keseluruhan tugas, jika anda cuba untuk mengira nombor yang dikehendaki dengan membiak, jawapannya pasti tidak betul, sejak 300 * 1260 \u003d 378 000.

Semak:

6300/300 \u003d 21 - kanan;

6300/1260 \u003d 5 - Betul.

Ketepatan hasil yang diperoleh ditentukan dengan memeriksa - pembahagian NOC pada kedua-dua nombor permulaan, jika nombor itu adalah integer dalam kedua-dua kes, jawapannya adalah benar.

Apa yang dimaksudkan dengan NOC dalam matematik

Seperti yang anda ketahui, tidak ada fungsi yang tidak berguna dalam matematik, ini bukan pengecualian. Destinasi yang paling biasa dari nombor ini adalah untuk membawa pecahan kepada penyebut biasa.. Apa yang biasanya belajar dalam kelas 5-6 sekolah tinggi. Selain itu juga merupakan pembahagi umum untuk semua nombor berganda, jika keadaan sedemikian ada dalam tugas. Ungkapan sedemikian boleh mencari banyak bukan sahaja kepada dua nombor, tetapi juga lebih banyak - tiga, lima, dan sebagainya. Lebih banyak bilangan - lebih banyak tindakan dalam tugas, tetapi kerumitan tidak meningkat dari ini.

Sebagai contoh, nombor 250, 600 dan 1500 diberikan, adalah perlu untuk mencari NOK biasa mereka:

1) 250 \u003d 25 * 10 \u003d 5 2 * 5 * 2 \u003d 5 3 * 2 - Dalam contoh ini, penguraian pada pengganda digambarkan secara terperinci, tanpa pengurangan.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Untuk membuat ungkapan, perlu disebutkan semua faktor, dalam kes ini terdapat 2, 5, 3, - untuk semua nombor ini diperlukan untuk menentukan tahap maksimum.

Perhatian: Semua pengganda mesti dibuat untuk menyelesaikan penyederhanaan, jika boleh, meletakkan ke tahap yang tidak jelas.

Semak:

1) 3000/250 \u003d 12 - kanan;

2) 3000/600 \u003d 5 - kanan;

3) 3000/1500 \u003d 2 - Betul.

Kaedah ini tidak memerlukan sebarang helah atau kebolehan tahap genius, semuanya mudah dan difahami.

Cara lain

Dalam matematik, banyak dihubungkan, banyak yang dapat diselesaikan oleh dua atau lebih cara, yang sama berlaku untuk mencari cat biasa yang paling kecil, NOK. Kaedah berikut boleh digunakan dalam kes nombor dua digit yang mudah dan tidak jelas. Jadual disediakan di mana pengganda menegak dibuat, pengganda secara mendatar, dan dalam sel-sel lajur yang berpotongan, produk itu ditunjukkan. Anda boleh mencerminkan jadual dengan cara garis, nombor itu diambil dan hasil mengalikan nombor ini untuk bilangan bulat direkodkan, dari 1 hingga tak terhingga, kadang-kadang terdapat juga 3-5 mata, nombor kedua dan berikutnya adalah tertakluk kepada ProCE Computational yang sama. Segala-galanya berlaku sehingga terdapat pelbagai yang biasa.

Nombor 30, 35, 42 diberikan, adalah perlu untuk mencari NOC, menyambungkan semua nombor:

1) Pelbagai 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, dll.

2) Pelbagai 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, dll.

3) Pelbagai 42: 84, 126, 168, 210, 252, dll.

Adalah ketara bahawa semua nombor agak berbeza, satu-satunya di antara mereka adalah nombor 210, di sini ia akan menjadi NOC. Antara proses yang berkaitan dengan pengiraan ini, terdapat juga pembahagi umum yang terbesar, mengira prinsip-prinsip yang serupa dan sering dijumpai dalam tugas jiran. Perbezaannya adalah kecil, tetapi cukup penting, NOK menyiratkan pengiraan nombor, yang dibahagikan kepada semua nilai sumber data, dan nod melibatkan pengiraan nilai terbesar di mana nombor awal dibahagikan.

Nombor Kedua: B \u003d.

Pelepasan pemisah. Tanpa ruang pemisah "'

Keputusan:

Node Divisor keseluruhan yang paling besar ( a.,b.)=6

Ayam umum yang paling kecil ( a.,b.)=468

Nombor semulajadi yang paling besar yang dibahagikan tanpa sisa nombor A dan B dipanggil pembahagi umum yang paling besar (Nod) nombor ini. Menandakan nod (A, B), (A, B), GCD (A, B) atau HCF (A, B).

Kesakitan yang paling kecil (NOC) dari dua bilangan bulat A dan B adalah nombor semulajadi terkecil, yang dibahagikan kepada A dan B tanpa residu. Nota (A, B), atau LCM (A, B).

Integer A dan B dipanggil saling mudahJika mereka tidak mempunyai pembahagi biasa kecuali +1 dan -1.

Divisel biasa yang paling besar

Biarkan dua diberikan nombor positif a. 1 I. a. 2 1). Ia dikehendaki untuk mencari pembahagi umum nombor-nombor ini, iaitu. Cari nombor sedemikian λ yang membahagikan nombor itu a. 1 I. a. 2 pada masa yang sama. Mari huraikan algoritma.

1) Dalam artikel ini, nombor di bawah perkataan itu akan memahami integer.

Biarkan a. 1 ≥ a. 2, dan biarkan

di mana sahaja m. 1 , a. 3 Beberapa Integer. a. 3 <a. 2 (Imbangan Bahagian a. 1 Pada a. 2 sepatutnya kurang a. 2).

Mari kita berpura-pura itu λ Delit. a. 1 I. a. 2, Kemudian λ Delit. m. 1 a. 2 I. λ Delit. a. 1 −m. 1 a. 2 =a. 3 (Kelulusan 2 artikel "Pembahagian Nombor. Tanda Pembahagian"). Oleh itu, ia mengikuti bahawa setiap pembahagi biasa a. 1 I. a. 2 adalah pembahagi biasa a. 2 I. a. 3. Betul dan terbalik jika λ Pembahagi umum a. 2 I. a. 3, T. m. 1 a. 2 I. a. 1 =m. 1 a. 2 +a. 3 juga dibahagikan kepada λ . Akibatnya, pembahagi biasa a. 2 I. a. 3 Terdapat juga pembahagi biasa a. 1 I. a. 2. - a. 3 <a. 2 ≤a. 1, maka kita boleh mengatakan bahawa penyelesaian untuk tugas mencari pembahagi umum nombor a. 1 I. a. 2 dikurangkan kepada tugas yang lebih mudah untuk mencari pembahagi umum nombor a. 2 I. a. 3 .

Sekiranya a. 3 ≠ 0, maka anda boleh berpecah a. 2 Pada a. 3. Kemudian

,

di mana sahaja m. 1 I. a. 4 Beberapa Integer ( a. 4 Baki Bahagian a. 2 Pada a. 3 (a. 4 <a. 3)). Penafsiran yang sama Kami sampai pada kesimpulan bahawa pembahagi umum nombor a. 3 I. a. 4 bertepatan dengan pembahagi umum nombor a. 2 I. a. 3, dan juga dengan pembahagi biasa a. 1 I. a. 2. - a. 1 , a. 2 , a. 3 , a. 4, ... nombor, sentiasa berkurang, dan kerana terdapat bilangan integer yang terhingga antara a. 2 dan 0, kemudian pada langkah apa n., baki bahagian a. N Pada a. n + 1 akan menjadi sifar ( a. n + 2 \u003d 0).

.

Setiap divisel biasa. λ nombor a. 1 I. a. 2 juga nombor pembahagi a. 2 I. a. 3 , a. 3 I. a. 4 , .... a. N I. a. n + 1. Adil dan terbalik, pembahagi umum nombor a. N I. a. N + 1 juga pembahagi nombor a. N-1 dan a. n, ...., a. 2 I. a. 3 , a. 1 I. a. 2. Tetapi pembahagi umum nombor a. N I. a. n + 1 adalah nombor a. n + 1, kerana a. N I. a. n + 1 tanpa residu dibahagikan kepada a. n + 1 (ingat itu a. n + 2 \u003d 0). Dengan itu a. N + 1 adalah pembahagi nombor a. 1 I. a. 2 .

Ambil perhatian bahawa nombor itu a. N + 1 adalah yang terbesar dari pembahagi nombor. a. N I. a. n + 1, kerana pembahagi terbesar a. n + 1 adalah diri sendiri a. n + 1. Sekiranya a. N + 1 boleh diwakili sebagai produk bilangan bulat, maka angka-angka ini juga merupakan nombor pembahagi biasa a. 1 I. a. 2. Nombor a. n + 1 dipanggil Pembahagi umum yang paling besar nombor a. 1 I. a. 2 .

Nombor a. 1 I. a. 2 boleh menjadi nombor positif dan negatif. Jika salah satu daripada nombor itu sifar, maka pembahagi umum terbesar nombor-nombor ini akan sama dengan nilai mutlak nombor lain. Pembahagi yang paling besar dari nombor sifar tidak ditakrifkan.

Algoritma yang terdahulu dipanggil algoritma Euclida.untuk mencari pembahagi umum terbesar dua bilangan bulat.

Satu contoh mencari pembahagi terbesar terbesar dua nombor

Cari pembahagi keseluruhan yang paling besar dari dua nombor 630 dan 434.

• Langkah 1. Kami membahagikan nombor 630 pada 434. Residu 196.
• Langkah 2. Kami membahagikan nombor 434 untuk tahun 196. Residu 42.
• Langkah 3. Kami membahagikan nombor 196 dengan 42. Residu 28.
• Langkah 4. Kami membahagikan nombor 42 hingga 28. Selebihnya 14.
• Langkah 5. Kami membahagikan nombor 28 hingga 14. Residu 0.

Dalam langkah 5, residu dari bahagian adalah 0. Akibatnya, pembahagi umum terbesar nombor 630 dan 434 adalah 14. Perhatikan bahawa nombor 2 dan 7 juga adalah penyimpang nombor 630 dan 434.

Nombor yang saling mudah

Definisi 1. Biarkan pembahagi umum yang paling besar nombor a. 1 I. a. 2 adalah sama dengan satu. Maka nombor-nombor ini dipanggil nombor yang saling mudahtidak mempunyai pembahagi biasa.

Teorem 1. Sekiranya a. 1 I. a. 2 nombor yang saling mudah, dan λ beberapa nombor, maka mana-mana pembahagi biasa nombor λa. 1 I. a. 2 juga merupakan pembahagi umum nombor λ dan a. 2 .

Bukti. Pertimbangkan algoritma Euclide untuk mencari pembahagi umum terbesar nombor. a. 1 I. a. 2 (lihat di atas).

.

Dari keadaan teorem, ia mengikuti bahawa pembahagi umum yang paling besar dari nombor a. 1 I. a. 2, dan oleh itu a. N I. a. N + 1 adalah 1. Mereka. a. n + 1 \u003d 1.

Melipatgandakan semua kesaksamaan ini λ , Kemudian

.

Biarkan pembahagi umum a. 1 λ dan a. 2 adalah δ . Kemudian δ termasuk pengganda B. a. 1 λ , m. 1 a. 2 λ dan B. a. 1 λ -m. 1 a. 2 λ =a. 3 λ (Lihat "Dividen Nombor", kelulusan 2). Lagi δ termasuk pengganda B. a. 2 λ dan m. 2 a. 3 λ dan, oleh itu, adalah pengganda dalam a. 2 λ -m. 2 a. 3 λ =a. 4 λ .

Berhujah supaya kita yakin bahawa δ termasuk pengganda B. a. N-1. λ dan m. N-1. a. N. λ , dan oleh itu a. N-1. λ −m. N-1. a. N. λ =a. N + 1. λ . - a. n + 1 \u003d 1, kemudian δ termasuk pengganda B. λ . Akibatnya bilangannya δ adalah pembahagi umum nombor λ dan a. 2 .

Pertimbangkan kes-kes persendirian Teorem 1.

Corollary. 1. Biarkan a. dan c. Nombor mudah kira-kira b.. Kemudian kerja mereka ac. adalah nombor mudah kira-kira b..

Benar. Dari teorem 1. ac. dan b. mempunyai pembahagi yang sama seperti c. dan b.. Tetapi nombor c. dan b. Saling ringkas, iaitu. mempunyai satu-satunya pembahagi biasa 1. Kemudian ac. dan b. juga mempunyai satu-satunya pembahagi biasa 1. Akibatnya ac. dan b. Saling ringkas.

Corollary. 2. Biarkan a. dan b. Nombor yang saling mudah dan biarkan b. Delit. aK.. Kemudian b. Delit I. k..

Benar. Dari keadaan kelulusan aK. dan b. mempunyai pembahagi biasa b.. Oleh teorem 1, b. Mestilah pembahagi biasa b. dan k.. Dengan itu b. Delit. k..

Corollary 1 boleh umum.

Corollary. 3. 1. Biarkan nombor a. 1 , a. 2 , a. 3 , ..., a. m mudah berbanding dengan nombor b.. Kemudian a. 1 a. 2 , a. 1 a. 2 · a. 3 , ..., a. 1 a. 2 a. 3 ··· a. m, produk nombor ini adalah relatif mudah kepada nombor b..

2. Biarkan mereka mempunyai dua baris nombor

seperti setiap bilangan baris pertama adalah mudah untuk setiap bilangan baris kedua. Kemudian kerja itu

Ia dikehendaki untuk mencari nombor-nombor yang dibahagikan kepada setiap nombor ini.

Sekiranya nombor itu dibahagikan kepada a. 1, maka ia mempunyai bentuk sa 1, di mana sahaja s. Sebarang nombor. Sekiranya t. terdapat pembahagi umum yang terbesar nombor a. 1 I. a. 2, T.

di mana sahaja s. 1 - Beberapa integer. Kemudian

adalah nombor berbilang yang paling kecil a. 1 I. a. 2 .

a. 1 I. a. 2 saling ringkas, maka jumlah kecil yang paling kecil a. 1 I. a. 2:

Ia adalah perlu untuk mencari pelbagai general terkecil nombor-nombor ini.

Dari yang terdahulu, ia mengikuti bahawa mana-mana nombor berganda a. 1 , a. 2 , a. 3 harus berbilang nombor ε dan a. 3, dan belakang. Biarkan nombor berganda yang paling kecil ε dan a. 3 adalah ε satu. Seterusnya, berbilang nombor a. 1 , a. 2 , a. 3 , a. 4 harus berbilang nombor ε 1 I. a. empat. Biarkan nombor berganda yang paling kecil ε 1 I. a. 4 adalah ε 2. Oleh itu, mereka mendapati bahawa semua nombor berganda a. 1 , a. 2 , a. 3 ,...,a. M bertepatan dengan pelbagai nombor tertentu ε n, yang dipanggil nombor data berbilang yang paling kecil.

Dalam kes tertentu apabila nombor a. 1 , a. 2 , a. 3 ,...,a. m saldly mudah, maka jumlah kecil yang paling kecil a. 1 , a. 2 Seperti yang ditunjukkan di atas mempunyai bentuk (3). Seterusnya, sejak. a. 3 Mudah ke arah nombor a. 1 , a. 2, Kemudian a. 3 nombor mudah a. satu · a. 2 (Corollary 1). Bermaksud nombor berganda umum terkecil a. 1 ,a. 2 ,a. 3 adalah nombor a. satu · a. 2 · a. 3. Bermanfaat dengan cara yang sama, kita datang ke pernyataan berikut.

Kenyataan 1. Jumlah terkecil jumlah nombor yang saling ringkas a. 1 , a. 2 , a. 3 ,...,a. M adalah sama dengan kerja mereka a. satu · a. 2 · a. 3 ··· a. m.

Kenyataan 2. Mana-mana nombor yang dibahagikan kepada setiap nombor yang saling ringkas a. 1 , a. 2 , a. 3 ,...,a. m juga dibahagikan kepada kerja mereka a. satu · a. 2 · a. 3 ··· a. m.

Bagaimana untuk mencari NOC (jumlah yang paling kecil

Jumlah terkecil untuk dua bilangan bulat adalah yang terkecil dari semua bilangan bulat, yang dibahagikan dan tanpa keseimbangan pada kedua-dua nombor yang dinyatakan.

Kaedah 1.. Adalah mungkin untuk mencari NOK, seterusnya, untuk setiap nombor yang dinyatakan, menulis dalam urutan meningkatkan semua nombor yang diperoleh dengan mendarabkan mereka dengan 1, 2, 3, 4, dan sebagainya.

Contohnya Untuk nombor 6 dan 9.
Majukan nombor 6, secara berurutan, 1, 2, 3, 4, 5.
Kami mendapat: 6, 12, 18 , 24, 30
Kami melipatgandakan nombor 9, secara berurutan, 1, 2, 3, 4, 5.
Kami mendapat: 9, 18 , 27, 36, 45
Seperti yang dapat dilihat, NOC untuk nombor 6 dan 9 akan sama dengan 18.

Kaedah ini mudah apabila kedua-dua nombor kecil dan mudah didarab dengan urutan integer. Walau bagaimanapun, terdapat kes-kes apabila perlu mencari NOC untuk nombor dua angka atau tiga digit, serta apabila nombor awal adalah tiga atau lebih.

Kaedah 2.. Adalah mungkin untuk mencari NOC, menyebarkan nombor awal kepada faktor mudah.
Selepas penguraian, adalah perlu untuk memadamkan nombor yang sama dari siri yang dihasilkan faktor mudah. Bilangan baki nombor pertama akan menjadi pengganda untuk yang kedua, dan baki bilangan yang kedua - pengganda untuk yang pertama.

Contohnyauntuk nombor 75 dan 60.
Nombor berganda keseluruhan yang paling kecil 75 dan 60 boleh didapati dan tidak menetapkan secara berturut-turut ke nombor-nombor ini. Untuk melakukan ini, layari 75 dan 60 ke pengganda mudah:
75 = 3 * 5 * 5, dan
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Seperti yang dapat dilihat, pengganda 3 dan 5 ditemui di kedua-dua baris. Mental, mereka "menghancurkan".
Minum pengganda yang tinggal dalam penguraian setiap nombor ini. Dengan penguraian nombor 75, kami meninggalkan nombor 5, dan dengan penguraian nombor 60 - 2 * 2 kekal
Ini bermakna untuk menentukan NOC untuk nombor 75 dan 60, kita memerlukan bilangan yang tinggal dari penguraian 75 (ini adalah 5) Berbanyak dengan 60, dan angka-angka yang tinggal dari penguraian nombor 60 (ini adalah 2 * 2) Multiply oleh 75 Iaitu, untuk memudahkan pemahaman, kita mengatakan bahawa kita membiak "sarang".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Oleh itu, kami mendapati NOC untuk nombor 60 dan 75. Ini adalah nombor 300.

Contohnya. Tentukan NOC untuk Nombor 12, 16, 24
Dalam kes ini, tindakan kita akan menjadi agak rumit. Tetapi pertama, seperti biasa, kita akan menentukan semua nombor untuk faktor mudah.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Untuk menentukan dengan betul NOC, pilih yang terkecil dari semua nombor (ini adalah nombor 12) dan secara konsisten lulus mengikut faktornya, menyeberang mereka, jika sekurang-kurangnya satu daripada nombor lain yang dipenuhi sama, belum ditekankan pengganda.

Langkah 1 . Kami melihat bahawa 2 * 2 ditemui dalam semua baris nombor. Crouch mereka.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Langkah 2. Dalam pengganda biasa nombor 12, hanya terdapat nombor 3. tetapi ia terdapat dalam pengganda mudah dari nombor 24. Terokai nombor 3 kedua-dua baris, dan tiada tindakan yang diharapkan untuk nombor 16.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Seperti yang kita lihat, dengan penguraian nombor 12, kita "menyeberang" semua nombor. Jadi penemuan NOC selesai. Ia tetap hanya untuk mengira nilainya.
Untuk nombor 12, kami mengambil pengganda yang tinggal di nombor 16 (yang terdekat)
12 * 2 * 2 = 48
Ia adalah nok

Seperti yang anda lihat, dalam kes ini, penemuan NOC agak rumit, tetapi apabila perlu untuk menemuinya untuk tiga atau lebih nombor, kaedah ini membolehkan anda membuatnya lebih cepat. Walau bagaimanapun, kedua-dua cara untuk mencari NOC adalah betul.

Tetapi banyak nombor semula jadi diberi makan pada nombor semula jadi yang lain.

sebagai contoh:

Nombor 12 dibahagikan kepada 1, dengan 2, sebanyak 3, dengan 4, dengan 6, dengan 12;

Nombor 36 dibahagikan kepada 1, dengan 2, sebanyak 3, sebanyak 4, dengan 6, sebanyak 12, dengan 18, sebanyak 36.

Nombor yang ditimbulkan oleh saham yang bertujuan (untuk 12 ia adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) dipanggil pembahagi nombor. Pembahagi nombor semula jadi a. - Ini adalah nombor semula jadi yang membahagikan nombor ini a. tanpa residu. Nombor semulajadi yang mempunyai lebih daripada dua orang divisors dipanggil sebatian .

Sila ambil perhatian bahawa nombor 12 dan 36 mempunyai pembahagi biasa. Ini adalah nombor: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Yang terbesar dari nombor-nombor ini adalah yang terbesar dari nombor-nombor ini - 12. pembahagi umum dua nombor data a. dan b. - Ini adalah nombor yang dibahagikan tanpa keseimbangan kedua-dua nombor data a.dan b..

Sakit biasa Beberapa nombor dipanggil nombor yang dibahagikan kepada setiap nombor ini. sebagai contoh, Bilangan 9, 18 dan 45 mempunyai jumlah sebanyak 180. Tetapi 90 dan 360 juga merupakan gandaan yang sama. Di antara semua yang membawa, selalu ada yang terkecil, dalam kes ini adalah 90. Nombor ini dipanggil yang paling kecilberbilang biasa (NOK).

Nok selalu menjadi nombor semulajadi yang harus lebih besar daripada yang terbesar dari nombor yang ditentukan.

Jumlah yang paling kecil (NOC). Sifat.

Komuter:

Persatuan:

Khususnya, jika - nombor yang saling mudah, maka:

Jumlah terkecil dua bilangan bulat m.dan N. adalah pembahagi semua gandaan yang sama lain m.dan N.. Selain itu, banyak gandaan yang biasa m, n. bertepatan dengan banyak berganda untuk NOCs ( m, n.).

Asymptotics untuk boleh dinyatakan melalui beberapa fungsi teoretikal dan berangka.

Begitenis, Fungsi CHEBYSHEV. . Serta:

Ini berikut dari definisi dan sifat fungsi Landau g (n).

Apa yang berikut dari undang-undang pengagihan nombor perdana.

Mencari pelbagai yang paling kecil (NOC).

Nok ( a, B.) Anda boleh mengira dalam beberapa cara:

1. Jika pembahagi biasa terbesar diketahui, adalah mungkin untuk menggunakan sambungannya dari NOC:

2. Biarkan ia mengetahui penguraian kanonik kedua-dua nombor pada pengganda mudah:

di mana sahaja p 1, ..., p k - Pelbagai nombor mudah, dan d 1, ..., D K dan e 1, ..., e k - Bantangan bukan negatif (mereka boleh menjadi sifar jika mudah yang sama hilang dalam penguraian).

Kemudian nok ( a.,b.) Formula dikira:

Dalam erti kata lain, pembukaan NOC mengandungi semua faktor mudah yang masuk sekurang-kurangnya satu daripada ekspansi nombor. a, B.Selain itu, dari kedua-dua penunjuk pengganda ini mengambil yang paling besar.

Contohnya:

Pengiraan jumlah terkecil banyak daripada beberapa nombor boleh dikurangkan kepada beberapa pengiraan NOC berurutan dari dua nombor:

Peraturan. Untuk mencari NOC beberapa nombor, anda perlukan:

- mengurai nombor pada faktor mudah;

- Pindahan ke faktor kerja yang dikehendaki Penguraian terbesar (produk pengganda nombor terbesar dari yang ditentukan), dan kemudian menambah pengganda dari penguraian nombor lain yang tidak dijumpai di nombor pertama atau terdapat beberapa kali ia;

- Produk yang dihasilkan dari pengganda mudah akan menjadi NOC nombor yang ditentukan.

Mana-mana dua atau lebih nombor semula jadi mempunyai NOK mereka. Jika nombor tidak berbilang satu sama lain atau tidak mempunyai pengganda yang sama dalam penguraian, NOK mereka sama dengan produk nombor ini.

Multiplier mudah dari nombor 28 (2, 2, 7) ditambah dengan pengganda 3 (nombor 21), produk yang dihasilkan (84) akan menjadi nombor terendah, yang dibahagikan kepada 21 dan 28.

Multipliers mudah dari nombor tertinggi 30 telah ditambah dengan pengganda 5th 25, produk yang dihasilkan 150 adalah lebih besar daripada nombor terbesar 30 dan dibahagikan kepada semua nombor set tanpa residu. Ini adalah produk terkecil yang mungkin (150, 250, 300 ...), yang merupakan pelbagai nombor set.

Bilangan 2,3,11,37 adalah mudah, jadi nok mereka sama dengan produk nombor yang ditentukan.

Peraturan. Untuk mengira NOC nombor mudah, anda perlu melipatgandakan semua nombor ini.

Pilihan lain:

Untuk mencari pelbagai yang paling kecil (NOK) dari beberapa nombor yang anda perlukan:

1) hadir setiap nombor sebagai produk faktor mudah, contohnya:

504 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7,

2) Rekod darjah semua faktor mudah:

504 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 \u003d 2 3 · 3 2 · 7 1,

3) Tulis semua pembahagi mudah (pengganda) bagi setiap nombor ini;

4) Pilih tahap terbesar setiap daripada mereka, yang terdapat dalam semua ekspansi nombor-nombor ini;

5) Mengalikan darjah ini.

Contohnya . Cari nombor NOC: 168, 180 dan 3024.

Keputusan . 168 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 7 \u003d 2 3 · 3 1 · 7 1,

180 \u003d 2 · 2 · 3 · 3 · 5 \u003d 2 2 · 3 2 · 5 1,

3024 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 2 4 4 · 3 3.

Kami menulis darjah terbesar semua pembahagi mudah dan menghidupkannya:

Nok \u003d 2 4 · 3 3 · 5 1 · 7 1 \u003d 15120.