Topik "Berbilang nombor" dipelajari dalam gred 5 sekolah Menengah. Matlamatnya adalah untuk meningkatkan kemahiran bertulis dan lisan pengiraan matematik. Dalam pelajaran ini, konsep baru diperkenalkan - "nombor berbilang" dan "pembahagi", teknik mencari pembahagi dan gandaan nombor asli, keupayaan untuk mencari LCM dalam pelbagai cara diusahakan.

Topik ini sangat penting. Pengetahuan mengenainya boleh digunakan semasa menyelesaikan contoh dengan pecahan. Untuk ini anda perlu mencari penyebut biasa dengan mengira gandaan sepunya terkecil (LCM).

Gandaan A ialah integer yang boleh dibahagi dengan A tanpa baki.

Setiap nombor asli mempunyai nombor gandaan yang tidak terhingga. Ia dianggap paling sedikit. Gandaan tidak boleh kurang daripada nombor itu sendiri.

Adalah perlu untuk membuktikan bahawa nombor 125 adalah gandaan nombor 5. Untuk melakukan ini, anda perlu membahagikan nombor pertama dengan yang kedua. Jika 125 boleh dibahagi dengan 5 tanpa baki, maka jawapannya ialah ya.

Kaedah ini terpakai untuk nombor kecil.

Apabila mengira LCM, terdapat kes khas.

1. Jika anda perlu mencari gandaan sepunya untuk 2 nombor (contohnya, 80 dan 20), di mana satu daripadanya (80) boleh dibahagikan tanpa baki dengan yang lain (20), maka nombor ini (80) adalah yang terkecil gandaan dua nombor ini.

LCM (80, 20) = 80.

2. Jika dua tidak mempunyai pembahagi sepunya, maka kita boleh mengatakan bahawa LCM mereka adalah hasil darab kedua-dua nombor ini.

LCM (6, 7) = 42.

Pertimbangkan contoh terakhir. 6 dan 7 berhubung dengan 42 ialah pembahagi. Mereka membahagikan gandaan tanpa baki.

Dalam contoh ini, 6 dan 7 ialah pembahagi pasangan. Hasil darab mereka adalah sama dengan nombor berbilang terbanyak (42).

Nombor dipanggil perdana jika ia boleh dibahagikan dengan sendirinya sahaja atau dengan 1 (3:1=3; 3:3=1). Selebihnya dipanggil komposit.

Dalam contoh lain, anda perlu menentukan sama ada 9 ialah pembahagi berkenaan dengan 42.

42:9=4 (baki 6)

Jawapan: 9 bukan pembahagi 42 kerana jawapan mempunyai baki.

Pembahagi berbeza daripada gandaan kerana pembahagi ialah nombor yang nombor asli dibahagikan, dan gandaan itu sendiri boleh dibahagikan dengan nombor itu.

terbesar pembahagi biasa nombor a dan b, didarab dengan gandaan terkecil mereka, akan memberikan hasil darab nombor itu sendiri a dan b.

Iaitu: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Gandaan sepunya untuk nombor yang lebih kompleks didapati dengan cara berikut.

Sebagai contoh, cari LCM untuk 168, 180, 3024.

Kami menguraikan nombor ini kepada faktor perdana, menulisnya sebagai hasil darab kuasa:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

Tanda kebolehbahagi nombor asli.

Nombor yang boleh dibahagi dengan 2 tanpa baki dipanggilmalah .

Nombor yang tidak boleh dibahagi sama rata dengan 2 dipanggilganjil .

Tanda boleh bahagi dengan 2

Jika rekod nombor asli berakhir dengan digit genap, maka nombor ini boleh dibahagikan dengan 2 tanpa baki, dan jika rekod nombor berakhir dengan digit ganjil, maka nombor ini tidak boleh dibahagikan dengan 2 tanpa baki.

Contohnya, nombor 60 , 30 8 , 8 4 boleh dibahagikan tanpa baki 2, dan nombor 51 , 8 5 , 16 7 tidak boleh dibahagikan dengan 2 tanpa baki.

Tanda boleh bahagi dengan 3

Jika jumlah digit sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 3, maka nombor itu juga boleh dibahagikan dengan 3; Jika jumlah digit sesuatu nombor tidak boleh dibahagi dengan 3, maka nombor itu tidak boleh dibahagikan dengan 3.

Sebagai contoh, mari kita ketahui sama ada nombor 2772825 boleh dibahagikan dengan 3. Untuk melakukan ini, kita mengira jumlah digit nombor ini: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - boleh dibahagi dengan 3 . Jadi, nombor 2772825 boleh dibahagi dengan 3.

Tanda boleh bahagi dengan 5

Jika rekod nombor asli berakhir dengan nombor 0 atau 5, maka nombor ini boleh dibahagikan tanpa baki dengan 5. Jika rekod nombor berakhir dengan digit yang berbeza, maka nombor tanpa baki tidak boleh dibahagikan dengan 5.

Contohnya, nombor 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 boleh dibahagikan tanpa baki 5, dan nombor 17 , 37 8 , 9 1 jangan kongsi.

Tanda boleh bahagi dengan 9

Jika jumlah digit sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 9, maka nombor itu juga boleh dibahagikan dengan 9; Jika jumlah digit sesuatu nombor tidak boleh dibahagi dengan 9, maka nombor itu tidak boleh dibahagikan dengan 9.

Sebagai contoh, mari kita ketahui sama ada nombor 5402070 boleh dibahagikan dengan 9. Untuk melakukan ini, kita mengira jumlah digit nombor ini: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - tidak boleh dibahagikan dengan 9. Ini bermakna nombor 5402070 tidak boleh dibahagikan dengan 9.

Tanda boleh bahagi sebanyak 10

Jika rekod nombor asli berakhir dengan digit 0, maka nombor ini boleh dibahagi dengan 10 tanpa baki. Jika rekod nombor asli berakhir dengan digit lain, maka ia tidak boleh dibahagikan dengan 10 tanpa baki.

Sebagai contoh, nombor 40 , 17 0 , 1409 0 boleh dibahagikan tanpa baki 10, dan nombor 17 , 9 3 , 1430 7 - jangan kongsi.

Peraturan untuk mencari pembahagi sepunya terbesar (gcd).

Untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi beberapa nombor asli, anda perlu:

2) daripada faktor yang termasuk dalam pengembangan salah satu nombor ini, potong yang tidak termasuk dalam pengembangan nombor lain;

3) cari hasil darab faktor yang tinggal.

Contoh. Mari cari GCD (48;36). Mari kita gunakan peraturan.

1. Kami menguraikan nombor 48 dan 36 kepada faktor perdana.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Daripada faktor-faktor yang termasuk dalam pengembangan nombor 48, kami memadamkan faktor-faktor yang tidak termasuk dalam pengembangan nombor 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Terdapat faktor 2, 2 dan 3.

3. Darabkan baki faktor dan dapatkan 12. Nombor ini adalah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 48 dan 36.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Peraturan untuk mencari gandaan sepunya terkecil (LCM).

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil beberapa nombor asli, anda perlu:

1) menguraikannya kepada faktor utama;

2) tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pengembangan salah satu nombor;

3) menambah kepada mereka faktor yang hilang daripada pengembangan nombor yang tinggal;

4) cari hasil darab faktor yang terhasil.

Contoh. Mari cari LCM (75;60). Mari kita gunakan peraturan.

1. Kami menguraikan nombor 75 dan 60 kepada faktor perdana.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pengembangan nombor 75: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Tambahkan kepada mereka faktor yang hilang daripada penguraian nombor 60, i.e. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Cari hasil darab faktor yang terhasil

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Mari kita mula mengkaji gandaan sepunya terkecil bagi dua atau lebih nombor. Dalam bahagian tersebut, kami akan memberikan definisi istilah, pertimbangkan teorem yang mewujudkan hubungan antara gandaan sepunya terkecil dan pembahagi sepunya terbesar, dan memberi contoh penyelesaian masalah.

Gandaan sepunya - definisi, contoh

Dalam topik ini, kita hanya akan berminat dalam gandaan sepunya integer selain sifar.

Definisi 1

Gandaan sepunya bagi integer ialah integer yang merupakan gandaan semua nombor yang diberi. Malah, ia adalah sebarang integer yang boleh dibahagikan dengan mana-mana nombor yang diberikan.

Takrif gandaan sepunya merujuk kepada dua, tiga atau lebih integer.

Contoh 1

Mengikut definisi yang diberikan di atas untuk nombor 12, gandaan sepunya ialah 3 dan 2. Juga nombor 12 akan menjadi gandaan sepunya bagi nombor 2 , 3 dan 4 . Nombor 12 dan -12 ialah gandaan sepunya bagi nombor ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Pada masa yang sama, gandaan sepunya untuk nombor 2 dan 3 ialah nombor 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 dan nombor mana-mana yang lain.

Jika kita mengambil nombor yang boleh dibahagikan dengan nombor pertama pasangan dan tidak boleh dibahagikan dengan kedua, maka nombor tersebut tidak akan menjadi gandaan sepunya. Jadi, untuk nombor 2 dan 3, nombor 16 , − 27 , 5009 , 27001 tidak akan menjadi gandaan sepunya.

0 ialah gandaan sepunya bagi mana-mana set integer bukan sifar.

Jika kita mengimbas kembali harta boleh bahagi berkenaan dengan nombor berlawanan, maka ternyata beberapa integer k akan menjadi gandaan sepunya nombor ini dengan cara yang sama seperti nombor - k . Ini bermakna pembahagi biasa boleh sama ada positif atau negatif.

Adakah mungkin untuk mencari LCM untuk semua nombor?

Gandaan sepunya boleh didapati untuk sebarang integer.

Contoh 2

Kiranya kita diberi k integer a 1 , a 2 , … , a k. Nombor yang kita dapat semasa pendaraban nombor a 1 a 2 … a k mengikut harta boleh bahagi, ia akan dibahagikan dengan setiap faktor yang dimasukkan ke dalam produk asal. Ini bermakna hasil darab nombor a 1 , a 2 , … , a k ialah gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini.

Berapakah bilangan gandaan sepunya yang boleh dimiliki oleh integer ini?

Sekumpulan integer boleh mempunyai sejumlah besar gandaan sepunya. Malah, bilangan mereka tidak terhingga.

Contoh 3

Katakan kita mempunyai beberapa nombor k . Kemudian hasil darab nombor k · z , dengan z ialah integer, akan menjadi gandaan sepunya bagi nombor k dan z . Memandangkan bilangan nombor adalah tak terhingga, maka bilangan gandaan sepunya adalah tak terhingga.

Gandaan Sepunya Terkecil (LCM) - Definisi, Simbol dan Contoh

Ingat konsep nombor terkecil daripada set yang diberikan nombor, yang kita bincangkan dalam bahagian Perbandingan Integer. Dengan mengambil kira konsep ini, mari kita rumuskan takrif gandaan sepunya terkecil, yang mempunyai nilai praktikal terbesar di antara semua gandaan sepunya.

Definisi 2

Gandaan sepunya terkecil bagi integer yang diberikan ialah gandaan sepunya terkecil positif bagi nombor ini.

Gandaan sepunya terkecil wujud untuk sebarang bilangan nombor yang diberikan. Singkatan NOK adalah yang paling biasa digunakan untuk menetapkan konsep dalam kesusasteraan rujukan. Kata ringkas untuk Gandaan Sepunya Terkecil untuk Nombor a 1 , a 2 , … , a k akan kelihatan seperti LCM (a 1 , a 2 , … , a k).

Contoh 4

Gandaan sepunya terkecil bagi 6 dan 7 ialah 42. Itu. LCM(6, 7) = 42. Gandaan sepunya terkecil bagi empat nombor - 2 , 12 , 15 dan 3 akan bersamaan dengan 60 . Pendek kata ialah LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) ​​​​= 60 .

Bukan untuk semua kumpulan nombor yang diberikan, gandaan sepunya terkecil adalah jelas. Selalunya ia perlu dikira.

Hubungan antara NOC dan NOD

Gandaan sepunya terkecil dan pembahagi sepunya terbesar adalah berkaitan. Hubungan antara konsep ditubuhkan oleh teorem.

Teorem 1

Gandaan sepunya terkecil bagi dua integer positif a dan b adalah sama dengan hasil darab nombor a dan b dibahagikan dengan pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a dan b , iaitu, LCM (a , b) = a b: gcd (a , b).

Bukti 1

Katakan kita mempunyai beberapa nombor M yang merupakan gandaan nombor a dan b . Jika nombor M boleh dibahagi dengan a, terdapat juga beberapa integer z , di bawahnya persamaan M = a k. Mengikut definisi kebolehbahagi, jika M juga boleh dibahagi dengan b, maka a k dibahagikan dengan b.

Jika kita memperkenalkan tatatanda baharu untuk gcd (a , b) sebagai d, maka kita boleh menggunakan persamaan a = a 1 d dan b = b 1 · d . Dalam kes ini, kedua-dua kesamaan akan menjadi nombor koprima.

Kami telah pun menetapkan di atas itu a k dibahagikan dengan b. Sekarang syarat ini boleh ditulis seperti berikut:
a 1 d k dibahagikan dengan b 1 d, yang bersamaan dengan syarat a 1 k dibahagikan dengan b 1 mengikut sifat boleh bahagi.

Mengikut sifat nombor relatif perdana, jika a 1 dan b 1 adalah nombor perdana bersama, a 1 tidak boleh dibahagikan dengan b 1 walaupun pada hakikatnya a 1 k dibahagikan dengan b 1, kemudian b 1 patut berkongsi k.

Dalam kes ini, adalah wajar untuk menganggap bahawa terdapat nombor t, untuk yang mana k = b 1 t, dan sejak b1=b:d, kemudian k = b: d t.

Sekarang bukannya k dimasukkan ke dalam persamaan M = a k ungkapan bentuk b: d t. Ini membolehkan kita mencapai kesaksamaan M = a b: d t. Pada t=1 kita boleh mendapat gandaan sepunya terkecil positif bagi a dan b , sama rata a b: d, dengan syarat nombor a dan b positif.

Jadi kami telah membuktikan bahawa LCM (a , b) = a b: GCD (a,b).

Mewujudkan sambungan antara LCM dan GCD membolehkan anda mencari gandaan sepunya terkecil melalui pembahagi sepunya terbesar bagi dua atau lebih nombor tertentu.

Definisi 3

Teorem mempunyai dua akibat penting:

• gandaan bagi gandaan sepunya terkecil bagi dua nombor adalah sama dengan gandaan sepunya bagi dua nombor tersebut;
• gandaan sepunya terkecil bagi koprime nombor positif a dan b adalah sama dengan hasil keluarannya.

Tidak sukar untuk membuktikan kedua-dua fakta ini. Sebarang gandaan sepunya bagi nombor M a dan b ditakrifkan oleh kesamaan M = LCM (a, b) t untuk beberapa nilai integer t. Oleh kerana a dan b ialah coprime, maka gcd (a, b) = 1, oleh itu, LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Gandaan sepunya terkecil bagi tiga atau lebih nombor

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi beberapa nombor, anda mesti mencari KPK dua nombor secara berturut-turut.

Teorem 2

Mari kita berpura-pura itu a 1 , a 2 , … , a k ialah beberapa integer positif. Untuk mengira LCM m k nombor ini, kita perlu mengira secara berurutan m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Bukti 2

Konsekuensi pertama teorem pertama yang dibincangkan dalam topik ini akan membantu kita untuk membuktikan ketepatan teorem kedua. Penaakulan dibina mengikut algoritma berikut:

• gandaan sepunya nombor a 1 dan a 2 bertepatan dengan gandaan LCM mereka, sebenarnya, ia bertepatan dengan gandaan nombor itu m2;
• gandaan sepunya nombor a 1, a 2 dan a 3 m2 dan a 3 m 3;
• gandaan sepunya nombor a 1 , a 2 , … , a k bertepatan dengan gandaan sepunya nombor m k - 1 dan a k, oleh itu, bertepatan dengan gandaan nombor m k;
• disebabkan oleh fakta bahawa gandaan positif terkecil nombor m k ialah nombor itu sendiri m k, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu a 1 , a 2 , … , a k ialah m k.

Jadi kami telah membuktikan teorem.

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Kalkulator dalam talian membolehkan anda mencari dengan cepat pembahagi sepunya terbesar dan gandaan sepunya terkecil dua atau mana-mana nombor nombor lain.

Kalkulator untuk mencari GCD dan NOC

Cari GCD dan NOC

GCD dan NOC ditemui: 6433

Cara menggunakan kalkulator

• Masukkan nombor dalam medan input
• Sekiranya anda memasukkan aksara yang salah, medan input akan diserlahkan dengan warna merah
• tekan butang "Cari GCD dan NOC"

Bagaimana untuk memasukkan nombor

• Nombor dimasukkan dipisahkan oleh ruang, titik atau koma
• Panjang nombor yang dimasukkan tidak terhad, jadi mencari gcd dan lcm nombor panjang tidak akan sukar

Apakah NOD dan NOK?

Pembahagi Sepunya Terhebat daripada beberapa nombor ialah integer semula jadi terbesar di mana semua nombor asal boleh dibahagikan tanpa baki. Pembahagi sepunya terbesar disingkatkan sebagai GCD.
Gandaan sepunya terkecil nombor berbilang ialah nombor terkecil, yang boleh dibahagi dengan setiap nombor asal tanpa baki. Gandaan sepunya terkecil disingkatkan sebagai NOC.

Bagaimana untuk menyemak sama ada nombor boleh dibahagi dengan nombor lain tanpa baki?

Untuk mengetahui sama ada satu nombor boleh dibahagi dengan yang lain tanpa baki, anda boleh menggunakan beberapa sifat kebolehbahagi nombor. Kemudian, dengan menggabungkan mereka, seseorang boleh menyemak kebolehbahagi oleh sebahagian daripada mereka dan gabungan mereka.

Beberapa tanda pembahagian nombor

1. Tanda kebolehbahagiaan nombor dengan 2
Untuk menentukan sama ada nombor boleh dibahagikan dengan dua (sama ada genap), cukup untuk melihat digit terakhir nombor ini: jika ia sama dengan 0, 2, 4, 6 atau 8, maka nombor itu adalah genap, yang bermaksud ia boleh dibahagikan dengan 2.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 2.
Penyelesaian: lihat digit terakhir: 8 bermakna nombor itu boleh dibahagi dua.

2. Tanda kebolehbahagiaan nombor dengan 3
Suatu nombor boleh dibahagi dengan 3 apabila jumlah digitnya boleh dibahagi dengan 3. Oleh itu, untuk menentukan sama ada nombor boleh dibahagi dengan 3, anda perlu mengira jumlah digit dan menyemak sama ada ia boleh dibahagikan dengan 3. Walaupun jumlah digit ternyata sangat besar, anda boleh mengulangi proses yang sama. sekali lagi.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 3.
Penyelesaian: kita mengira jumlah digit: 3+4+9+3+8 = 27. 27 boleh dibahagi dengan 3, yang bermaksud nombor itu boleh dibahagi dengan tiga.

3. Tanda kebolehbahagi nombor dengan 5
Suatu nombor boleh dibahagi dengan 5 apabila digit terakhirnya ialah sifar atau lima.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 5.
Penyelesaian: lihat digit terakhir: 8 bermakna nombor itu TIDAK boleh dibahagikan dengan lima.

4. Tanda kebolehbahagiaan nombor dengan 9
Tanda ini hampir sama dengan tanda boleh bahagi dengan tiga: nombor boleh dibahagi dengan 9 apabila jumlah digitnya boleh dibahagikan dengan 9.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 9.
Penyelesaian: kita mengira jumlah digit: 3+4+9+3+8 = 27. 27 boleh dibahagi dengan 9, yang bermaksud nombor itu boleh dibahagikan dengan sembilan.

Bagaimana untuk mencari GCD dan LCM bagi dua nombor

Bagaimana untuk mencari GCD bagi dua nombor

Paling dengan cara yang mudah mengira pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor ialah mencari semua pembahagi yang mungkin bagi nombor tersebut dan memilih yang terbesar daripadanya.

Pertimbangkan kaedah ini menggunakan contoh mencari GCD(28, 36):

1. Kami memfaktorkan kedua-dua nombor: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Kami mencari faktor sepunya, iaitu faktor yang kedua-dua nombor mempunyai: 1, 2 dan 2.
3. Kami mengira hasil darab faktor ini: 1 2 2 \u003d 4 - ini adalah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 28 dan 36.

Bagaimana untuk mencari LCM bagi dua nombor

Terdapat dua cara yang paling biasa untuk mencari gandaan terkecil daripada dua nombor. Cara pertama ialah anda boleh menulis gandaan pertama dua nombor, dan kemudian memilih antara mereka nombor sedemikian yang akan menjadi biasa kepada kedua-dua nombor dan pada masa yang sama yang terkecil. Dan yang kedua ialah mencari GCD bagi nombor-nombor ini. Mari kita pertimbangkan sahaja.

Untuk mengira LCM, anda perlu mengira hasil darab nombor asal dan kemudian membahagikannya dengan GCD yang ditemui sebelum ini. Mari kita cari LCM untuk nombor 28 dan 36 yang sama:

1. Cari hasil darab nombor 28 dan 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) sudah diketahui sebagai 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Mencari GCD dan LCM untuk Berbilang Nombor

Pembahagi sepunya terbesar boleh didapati untuk beberapa nombor, dan bukan hanya untuk dua. Untuk ini, nombor yang ditemui untuk pembahagi sepunya terbesar diuraikan kepada faktor perdana, maka hasil darab faktor sepunya ditemui faktor utama nombor-nombor ini. Selain itu, untuk mencari GCD beberapa nombor, anda boleh menggunakan perhubungan berikut: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Hubungan yang serupa juga digunakan untuk gandaan sepunya terkecil nombor: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Contoh: cari GCD dan LCM untuk nombor 12, 32 dan 36.

1. Mula-mula, mari kita memfaktorkan nombor: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Mari cari faktor sepunya: 1, 2 dan 2 .
3. Produk mereka akan memberikan gcd: 1 2 2 = 4
4. Sekarang mari kita cari LCM: untuk ini kita mula-mula mencari LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Untuk mencari LCM bagi ketiga-tiga nombor, anda perlu mencari GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Mari kita teruskan perbincangan tentang gandaan sepunya terkecil yang kita mulakan dalam bahagian LCM - Gandaan Sepunya Terkecil, Definisi, Contoh. Dalam topik ini, kita akan melihat cara untuk mencari LCM untuk tiga nombor atau lebih, kita akan menganalisis persoalan bagaimana untuk mencari LCM nombor negatif.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pengiraan gandaan sepunya terkecil (LCM) melalui gcd

Kami telah pun mewujudkan hubungan antara gandaan sepunya terkecil dan pembahagi sepunya terbesar. Sekarang mari kita pelajari cara mentakrifkan LCM melalui GCD. Mula-mula, mari kita fikirkan cara melakukan ini untuk nombor positif.

Definisi 1

Anda boleh mencari gandaan sepunya terkecil melalui pembahagi sepunya terbesar menggunakan formula LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Contoh 1

Ia adalah perlu untuk mencari KPK bagi nombor 126 dan 70.

Penyelesaian

Mari kita ambil a = 126 , b = 70 . Gantikan nilai dalam formula untuk mengira gandaan sepunya terkecil melalui pembahagi sepunya terbesar LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Cari GCD bagi nombor 70 dan 126. Untuk ini kita memerlukan algoritma Euclid: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , maka gcd (126 , 70) = 14 .

Mari kita hitung LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Jawapan: LCM (126, 70) = 630.

Contoh 2

Cari nok bagi nombor 68 dan 34.

Penyelesaian

GCD masuk kes ini Mencarinya adalah mudah, kerana 68 boleh dibahagi dengan 34. Kira gandaan sepunya terkecil menggunakan formula: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Jawapan: LCM(68, 34) = 68.

Dalam contoh ini, kami menggunakan peraturan untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi integer positif a dan b: jika nombor pertama boleh dibahagi dengan kedua, maka LCM nombor ini akan sama dengan nombor pertama.

Mencari LCM dengan Memfaktorkan Nombor menjadi Faktor Perdana

Sekarang mari kita lihat cara untuk mencari LCM, yang berdasarkan penguraian nombor kepada faktor perdana.

Definisi 2

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil, kita perlu melakukan beberapa langkah mudah:

• kita membentuk hasil darab semua faktor perdana nombor yang kita perlukan untuk mencari LCM;
• kami mengecualikan semua faktor utama daripada produk yang diperolehi;
• produk yang diperoleh selepas menghapuskan faktor perdana sepunya akan sama dengan LCM nombor yang diberikan.

Cara mencari gandaan sepunya terkecil ini adalah berdasarkan kesamaan LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Jika anda melihat formula, ia akan menjadi jelas: hasil darab nombor a dan b adalah sama dengan hasil darab semua faktor yang terlibat dalam pengembangan dua nombor ini. Dalam kes ini, GCD bagi dua nombor adalah sama dengan hasil darab semua faktor perdana yang hadir serentak dalam pemfaktoran kedua-dua nombor ini.

Contoh 3

Kami mempunyai dua nombor 75 dan 210 . Kita boleh memfaktorkan mereka seperti ini: 75 = 3 5 5 dan 210 = 2 3 5 7. Jika anda membuat hasil darab semua faktor bagi dua nombor asal, anda akan mendapat: 2 3 3 5 5 5 7.

Jika kita mengecualikan faktor sepunya kepada kedua-dua nombor 3 dan 5, kita mendapat hasil darab dalam bentuk berikut: 2 3 5 5 7 = 1050. Produk ini akan menjadi LCM kami untuk nombor 75 dan 210.

Contoh 4

Cari LCM nombor 441 dan 700 , menguraikan kedua-dua nombor menjadi faktor perdana.

Penyelesaian

Mari kita cari semua faktor perdana bagi nombor yang diberikan dalam keadaan:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Kami mendapat dua rantai nombor: 441 = 3 3 7 7 dan 700 = 2 2 5 5 7 .

Hasil darab semua faktor yang mengambil bahagian dalam pengembangan nombor ini akan kelihatan seperti: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Mari cari faktor sepunya. Nombor ini ialah 7. Kami mengecualikannya daripada produk umum: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ternyata NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Jawapan: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Mari kita berikan satu lagi rumusan kaedah untuk mencari LCM dengan menguraikan nombor menjadi faktor perdana.

Definisi 3

Sebelum ini, kami mengecualikan daripada jumlah bilangan faktor yang sama kepada kedua-dua nombor. Sekarang kita akan melakukannya secara berbeza:

• Mari kita uraikan kedua-dua nombor kepada faktor perdana:
• tambah kepada hasil darab faktor perdana nombor pertama dengan faktor yang hilang bagi nombor kedua;
• kami mendapat produk, yang akan menjadi LCM yang dikehendaki bagi dua nombor.

Contoh 5

Mari kita kembali ke nombor 75 dan 210 , yang mana kita sudah mencari LCM dalam salah satu contoh sebelumnya. Mari kita pecahkan kepada faktor mudah: 75 = 3 5 5 dan 210 = 2 3 5 7. Kepada hasil darab faktor 3 , 5 dan 5 nombor 75 menambah faktor yang hilang 2 dan 7 nombor 210 . Kita mendapatkan: 2 3 5 5 7 . Ini ialah LCM bagi nombor 75 dan 210.

Contoh 6

Ia adalah perlu untuk mengira LCM bagi nombor 84 dan 648.

Penyelesaian

Mari kita uraikan nombor daripada keadaan kepada faktor perdana: 84 = 2 2 3 7 dan 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Tambahkan pada hasil darab faktor 2 , 2 , 3 dan 7 nombor 84 hilang faktor 2 , 3 , 3 dan
3 nombor 648 . Kami mendapat produk 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Ini ialah gandaan sepunya terkecil bagi 84 dan 648.

Jawapan: LCM (84, 648) = 4536.

Mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor

Tidak kira berapa banyak nombor yang kita hadapi, algoritma tindakan kita akan sentiasa sama: kita akan secara konsisten mencari LCM bagi dua nombor. Terdapat teorem untuk kes ini.

Teorem 1

Katakan kita mempunyai integer a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k daripada nombor ini ditemui dalam pengiraan berjujukan m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Sekarang mari kita lihat bagaimana teorem boleh digunakan untuk masalah tertentu.

Contoh 7

Anda perlu mengira gandaan sepunya terkecil daripada empat nombor 140 , 9 , 54 dan 250 .

Penyelesaian

Mari perkenalkan notasi: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Mari kita mulakan dengan mengira m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Mari kita gunakan algoritma Euclidean untuk mengira GCD bagi nombor 140 dan 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Kami mendapat: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Oleh itu, m 2 = 1 260 .

Sekarang mari kita hitung mengikut algoritma yang sama m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Dalam perjalanan pengiraan, kita mendapat m 3 = 3 780.

Tinggal untuk kita mengira m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Kami bertindak mengikut algoritma yang sama. Kami mendapat m 4 \u003d 94 500.

LCM bagi empat nombor daripada keadaan contoh ialah 94500 .

Jawapan: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

Seperti yang anda lihat, pengiraan adalah mudah, tetapi agak susah payah. Untuk menjimatkan masa, anda boleh pergi ke arah lain.

Definisi 4

Kami menawarkan kepada anda algoritma tindakan berikut:

• menguraikan semua nombor kepada faktor perdana;
• kepada hasil darab faktor nombor pertama, tambahkan faktor yang hilang daripada hasil darab nombor kedua;
• tambahkan faktor yang hilang bagi nombor ketiga kepada produk yang diperoleh pada peringkat sebelumnya, dsb.;
• produk yang terhasil akan menjadi gandaan sepunya terkecil semua nombor daripada keadaan.

Contoh 8

Ia adalah perlu untuk mencari KPK bagi lima nombor 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Penyelesaian

Mari kita uraikan semua lima nombor menjadi faktor perdana: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . nombor perdana, iaitu nombor 7 , tidak boleh difaktorkan ke dalam faktor perdana. Nombor sedemikian bertepatan dengan penguraiannya menjadi faktor perdana.

Sekarang mari kita ambil hasil darab faktor perdana 2, 2, 3 dan 7 bagi nombor 84 dan tambahkan kepada mereka faktor yang hilang bagi nombor kedua. Kami telah menguraikan nombor 6 kepada 2 dan 3. Faktor ini sudah ada dalam hasil darab nombor pertama. Oleh itu, kami meninggalkan mereka.

Kami terus menambah pengganda yang hilang. Kita beralih kepada nombor 48, daripada hasil darab faktor perdana yang kita ambil 2 dan 2. Kemudian kita menambah faktor mudah 7 daripada nombor keempat dan faktor 11 dan 13 daripada nombor kelima. Kami dapat: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ini ialah gandaan sepunya terkecil daripada lima nombor asal.

Jawapan: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Mencari Gandaan Sepunya Terkecil bagi Nombor Negatif

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil nombor negatif, nombor ini mesti digantikan dengan nombor dengan tanda bertentangan, dan kemudian jalankan pengiraan mengikut algoritma di atas.

Contoh 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) dan LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Perbuatan tersebut dibenarkan kerana jika diterima itu a dan − a- nombor berlawanan
kemudian set gandaan a bertepatan dengan set gandaan nombor − a.

Contoh 10

Ia adalah perlu untuk mengira LCM nombor negatif − 145 dan − 45 .

Penyelesaian

Jom tukar nombor − 145 dan − 45 kepada nombor berlawanan mereka 145 dan 45 . Sekarang, dengan menggunakan algoritma, kami mengira LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , setelah menentukan GCD menggunakan algoritma Euclid sebelum ini.

Kami mendapat bahawa LCM nombor − 145 dan − 45 sama 1 305 .

Jawapan: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter