Pelajar diberi banyak tugasan matematik. Di antara mereka, selalunya terdapat tugas dengan rumusan berikut: terdapat dua nilai. Bagaimana untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor yang diberikan? Ia adalah perlu untuk dapat melaksanakan tugas-tugas tersebut, kerana kemahiran yang diperoleh digunakan untuk bekerja dengan pecahan apabila penyebut yang berbeza. Dalam artikel itu, kami akan menganalisis cara mencari LCM dan konsep asas.

Sebelum mencari jawapan kepada soalan tentang cara mencari LCM, anda perlu mentakrifkan istilah berbilang. Selalunya, rumusan konsep ini adalah seperti berikut: gandaan beberapa nilai A ialah nombor asli yang akan dibahagi dengan A tanpa baki. Jadi, untuk 4, 8, 12, 16, 20 dan seterusnya, sehingga had yang diperlukan.

Dalam kes ini, bilangan pembahagi untuk nilai tertentu boleh dihadkan, dan terdapat banyak gandaan yang tidak terhingga. Terdapat juga nilai yang sama untuk nilai semula jadi. Ini adalah penunjuk yang dibahagikan oleh mereka tanpa baki. Setelah menangani konsep nilai terkecil untuk penunjuk tertentu, mari kita beralih kepada cara mencarinya.

Mencari NOC

Gandaan terkecil dua atau lebih eksponen ialah nombor asli terkecil yang boleh dibahagi sepenuhnya dengan semua nombor yang diberi.

Terdapat beberapa cara untuk mencari nilai sedemikian. Mari kita pertimbangkan kaedah berikut:

1. Jika nombornya kecil, maka tulis dalam baris semua yang boleh dibahagikan dengannya. Teruskan melakukan ini sehingga anda menemui persamaan di antara mereka. Dalam rekod, mereka dilambangkan dengan huruf K. Contohnya, untuk 4 dan 3, gandaan terkecil ialah 12.
2. Jika ini besar atau anda perlu mencari gandaan untuk 3 atau lebih nilai, maka di sini anda harus menggunakan teknik lain yang melibatkan penguraian nombor menjadi faktor utama. Pertama, letakkan yang terbesar daripada yang ditunjukkan, kemudian semua yang lain. Setiap daripada mereka mempunyai bilangan pengganda sendiri. Sebagai contoh, mari kita uraikan 20 (2*2*5) dan 50 (5*5*2). Untuk yang lebih kecil daripada mereka, gariskan faktor dan tambah kepada yang terbesar. Hasilnya ialah 100, yang akan menjadi gandaan sepunya terkecil daripada nombor di atas.
3. Apabila mencari 3 nombor (16, 24 dan 36) prinsipnya adalah sama seperti dua yang lain. Mari kembangkan setiap satu: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Hanya dua deuces daripada penguraian nombor 16 tidak termasuk dalam pengembangan yang terbesar. Kami menambahnya dan mendapat 144, yang merupakan hasil terkecil untuk nilai berangka yang ditunjukkan sebelum ini.

Sekarang kita tahu apakah teknik umum untuk mencari nilai terkecil untuk dua, tiga atau lebih nilai. Walau bagaimanapun, terdapat juga kaedah persendirian, membantu mencari NOC, jika yang sebelumnya tidak membantu.

Bagaimana untuk mencari GCD dan NOC.

Cara Persendirian Mencari

Seperti mana-mana bahagian matematik, terdapat kes khas mencari LCM yang membantu dalam situasi tertentu:

• jika salah satu nombor boleh dibahagi dengan yang lain tanpa baki, maka gandaan terendah nombor ini adalah sama dengannya (NOC 60 dan 15 bersamaan dengan 15);
• saling nombor perdana tidak mempunyai pembahagi perdana biasa. Nilai terkecilnya adalah sama dengan hasil darab nombor ini. Oleh itu, untuk nombor 7 dan 8, ini akan menjadi 56;
• peraturan yang sama berfungsi untuk kes lain, termasuk yang istimewa, yang boleh dibaca dalam kesusasteraan khusus. Ini juga harus termasuk kes penguraian nombor komposit, yang merupakan subjek artikel berasingan dan juga disertasi Ph.D.

Kes khas adalah kurang biasa daripada contoh standard. Tetapi terima kasih kepada mereka, anda boleh belajar bagaimana untuk bekerja dengan pecahan daripada pelbagai tahap kerumitan. Ini terutama berlaku untuk pecahan., di mana terdapat penyebut yang berbeza.

Beberapa contoh

Mari lihat beberapa contoh, yang mana anda boleh memahami prinsip mencari gandaan terkecil:

1. Kami dapati LCM (35; 40). Kami meletakkan dahulu 35 = 5*7, kemudian 40 = 5*8. Kami menambah 8 kepada nombor terkecil dan mendapatkan NOC 280.
2. NOC (45; 54). Kami meletakkan setiap daripada mereka: 45 = 3*3*5 dan 54 = 3*3*6. Kami menambah nombor 6 hingga 45. Kami mendapat NOC bersamaan dengan 270.
3. Nah, contoh terakhir. Terdapat 5 dan 4. Tiada gandaan mudah untuknya, jadi gandaan sepunya terkecil dalam kes ini ialah hasil darabnya, bersamaan dengan 20.

Terima kasih kepada contoh, anda boleh memahami bagaimana NOC terletak, apakah nuansa dan apakah maksud manipulasi tersebut.

Mencari NOC adalah lebih mudah daripada yang mungkin kelihatan pada mulanya. Untuk ini, kedua-dua pengembangan dan pendaraban mudah digunakan. nilai mudah Satu sama lain. Keupayaan untuk bekerja dengan bahagian matematik ini membantu dalam kajian lanjut tentang topik matematik, terutamanya pecahan daripada pelbagai darjah kerumitan.

Jangan lupa untuk menyelesaikan contoh secara berkala pelbagai kaedah, ini membangunkan radas logik dan membolehkan anda mengingati banyak istilah. Ketahui kaedah untuk mencari penunjuk sedemikian dan anda akan dapat bekerja dengan baik dengan bahagian matematik yang lain. Selamat belajar matematik!

Video

Video ini akan membantu anda memahami dan mengingati cara mencari gandaan sepunya terkecil.

Nombor kedua: b=

Pemisah digit Tiada pemisah ruang "´

Keputusan:

terbesar pembahagi biasa GCD( a,b)=6

Gandaan sepunya terkecil LCM( a,b)=468

Nombor asli terbesar yang nombor a dan b boleh dibahagikan tanpa baki dipanggil pembahagi sepunya terbesar(gcd) nombor ini. Ditandakan gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) atau hcf(a,b).

Gandaan sepunya terkecil(LCM) bagi dua integer a dan b ialah nombor asli terkecil yang boleh dibahagi dengan a dan b tanpa baki. Ditandakan LCM(a,b), atau lcm(a,b).

Integer a dan b dipanggil coprime jika mereka tidak mempunyai pembahagi sepunya selain daripada +1 dan −1.

Pembahagi Sepunya Terhebat

Biar dua diberi nombor positif a 1 dan a 2 1). Ia diperlukan untuk mencari pembahagi sepunya bagi nombor-nombor ini, i.e. cari nombor sedemikian λ , yang membahagikan nombor a 1 dan a 2 pada masa yang sama. Mari kita terangkan algoritma.

1) Dalam artikel ini, perkataan nombor akan bermaksud integer.

biarlah a 1 ≥ a 2 dan biarkan

di mana m 1 , a 3 ialah beberapa integer, a 3 <a 2 (baki daripada bahagian a 1 pada a 2 sepatutnya kurang a 2).

Mari kita berpura-pura itu λ membahagikan a 1 dan a 2, kemudian λ membahagikan m 1 a 2 dan λ membahagikan a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Penegasan 2 artikel "Kebolehbahagiaan nombor. Tanda kebolehbahagiaan"). Ia berikutan bahawa setiap pembahagi biasa a 1 dan a 2 ialah pembahagi biasa a 2 dan a 3 . Begitu juga sebaliknya jika λ pembahagi biasa a 2 dan a 3, kemudian m 1 a 2 dan a 1 =m 1 a 2 +a 3 juga dibahagikan kepada λ . Oleh itu pembahagi biasa a 2 dan a 3 juga merupakan pembahagi biasa a 1 dan a 2. Kerana a 3 <a 2 ≤a 1 , maka kita boleh mengatakan bahawa penyelesaian kepada masalah mencari pembahagi sepunya nombor a 1 dan a 2 dikurangkan kepada masalah yang lebih mudah untuk mencari pembahagi nombor sepunya a 2 dan a 3 .

Jika a 3 ≠0, maka kita boleh bahagi a 2 pada a 3 . Kemudian

,

di mana m 1 dan a 4 ialah beberapa integer, ( a 4 baki bahagian a 2 pada a 3 (a 4 <a 3)). Dengan alasan yang sama, kita sampai pada kesimpulan bahawa pembahagi sepunya nombor a 3 dan a 4 adalah sama dengan pembahagi biasa nombor a 2 dan a 3 , dan juga dengan pembahagi biasa a 1 dan a 2. Kerana a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... nombor yang sentiasa berkurangan, dan kerana terdapat bilangan integer terhingga antara a 2 dan 0, kemudian pada beberapa langkah n, baki bahagian a n pada a n+1 akan sama dengan sifar ( a n+2=0).

.

Setiap pembahagi biasa λ nombor a 1 dan a 2 juga merupakan pembahagi nombor a 2 dan a 3 , a 3 dan a 4 , .... a n dan a n+1 . Sebaliknya juga benar, pembahagi biasa nombor a n dan a n+1 juga pembahagi nombor a n−1 dan a n , .... , a 2 dan a 3 , a 1 dan a 2. Tetapi pembahagi biasa a n dan a n+1 ialah nombor a n+1 , kerana a n dan a n+1 boleh dibahagikan dengan a n+1 (ingat itu a n+2=0). Oleh itu a n+1 juga merupakan pembahagi nombor a 1 dan a 2 .

Perhatikan bahawa nombor a n+1 ialah pembahagi nombor terbesar a n dan a n+1 , sejak pembahagi terbesar a n+1 ialah dirinya sendiri a n+1 . Jika a n + 1 boleh diwakili sebagai hasil darab integer, maka nombor ini juga pembahagi biasa nombor a 1 dan a 2. Nombor a n+1 dipanggil pembahagi sepunya terbesar nombor a 1 dan a 2 .

Nombor a 1 dan a 2 boleh menjadi nombor positif dan negatif. Jika salah satu nombor adalah sama dengan sifar, maka pembahagi sepunya terbesar bagi nombor ini akan sama dengan nilai mutlak nombor lain. Pembahagi sepunya terbesar bagi nombor sifar tidak ditentukan.

Algoritma di atas dipanggil Algoritma Euclid untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi dua integer.

Contoh mencari pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor

Cari pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor 630 dan 434.

• Langkah 1. Bahagikan nombor 630 dengan 434. Bakinya ialah 196.
• Langkah 2. Bahagikan nombor 434 dengan 196. Bakinya ialah 42.
• Langkah 3. Bahagikan nombor 196 dengan 42. Bakinya ialah 28.
• Langkah 4. Bahagikan nombor 42 dengan 28. Bakinya ialah 14.
• Langkah 5. Bahagikan nombor 28 dengan 14. Bakinya ialah 0.

Pada langkah 5, baki pembahagian ialah 0. Oleh itu, pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 630 dan 434 ialah 14. Perhatikan bahawa nombor 2 dan 7 juga merupakan pembahagi bagi nombor 630 dan 434.

Nombor koprima

Definisi 1. Biarkan pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2 sama dengan satu. Kemudian nombor ini dipanggil nombor koprima yang tidak mempunyai pembahagi biasa.

Teorem 1. Jika a 1 dan a 2 nombor relatif perdana, dan λ beberapa nombor, kemudian mana-mana pembahagi sepunya nombor λa 1 dan a 2 juga merupakan pembahagi nombor biasa λ Dan a 2 .

Bukti. Pertimbangkan algoritma Euclid untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2 (lihat di atas).

.

Ia mengikuti daripada syarat teorem bahawa pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2 , dan oleh itu a n dan a n+1 ialah 1. I.e. a n+1=1.

Mari kita darabkan semua kesamaan ini dengan λ , Kemudian

.

Biar pembahagi biasa a 1 λ Dan a 2 ialah δ . Kemudian δ masuk sebagai faktor dalam a 1 λ , m 1 a 2 λ dan dalam a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Lihat "Kebolehbahagiaan nombor", Pernyataan 2). Selanjutnya δ masuk sebagai faktor dalam a 2 λ Dan m 2 a 3 λ , dan dengan itu masuk sebagai faktor dalam a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Dengan membuat penaakulan dengan cara ini, kami yakin bahawa δ masuk sebagai faktor dalam a n−1 λ Dan m n−1 a n λ , dan oleh itu dalam a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Kerana a n+1 =1, maka δ masuk sebagai faktor dalam λ . Oleh itu nombor δ ialah pembahagi nombor biasa λ Dan a 2 .

Pertimbangkan kes khas Teorem 1.

Akibat 1. biarlah a Dan c nombor perdana adalah secara relatif b. Kemudian produk mereka ac ialah nombor perdana berkenaan dengan b.

sungguh. Daripada Teorem 1 ac Dan b mempunyai pembahagi sepunya yang sama seperti c Dan b. Tetapi nombor c Dan b coprime, i.e. mempunyai pembahagi sepunya tunggal 1. Kemudian ac Dan b juga mempunyai pembahagi sepunya tunggal 1. Oleh itu ac Dan b saling sederhana.

Akibat 2. biarlah a Dan b nombor koprima dan biarkan b membahagikan ak. Kemudian b membahagikan dan k.

sungguh. Daripada syarat penegasan ak Dan b mempunyai pembahagi biasa b. Berdasarkan Teorem 1, b mestilah pembahagi biasa b Dan k. Oleh itu b membahagikan k.

Corollary 1 boleh digeneralisasikan.

Akibat 3. 1. Biarkan nombor a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m adalah relatif perdana kepada nombor b. Kemudian a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , hasil darab nombor ini adalah perdana berkenaan dengan nombor itu b.

2. Biarkan kita mempunyai dua baris nombor

supaya setiap nombor dalam baris pertama adalah perdana bagi setiap nombor dalam baris kedua. Kemudian produk

Ia dikehendaki mencari nombor sedemikian yang boleh dibahagi dengan setiap nombor ini.

Jika nombor itu boleh dibahagi dengan a 1 , maka ia kelihatan seperti sa 1, di mana s beberapa nombor. Jika q ialah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2, kemudian

di mana s 1 ialah beberapa integer. Kemudian

ialah gandaan sepunya terkecil bagi nombor a 1 dan a 2 .

a 1 dan a 2 coprime, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu a 1 dan a 2:

Cari gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini.

Ia berikutan daripada di atas bahawa mana-mana gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 mestilah gandaan nombor ε Dan a 3 dan sebaliknya. Biarkan gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu ε Dan a 3 ialah ε 1 . Selanjutnya, gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mestilah gandaan nombor ε 1 dan a 4 . Biarkan gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu ε 1 dan a 4 ialah ε 2. Oleh itu, kami mendapati bahawa semua gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m bertepatan dengan gandaan beberapa nombor tertentu ε n , yang dipanggil gandaan sepunya terkecil bagi nombor yang diberikan.

Dalam kes tertentu apabila nombor a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m coprime, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu a 1 , a 2 seperti yang ditunjukkan di atas mempunyai bentuk (3). Selanjutnya, sejak a 3 perdana berkenaan dengan nombor a 1 , a 2, kemudian a 3 ialah nombor relatif perdana a 1 · a 2 (Korol 1). Jadi gandaan sepunya terkecil bagi nombor tersebut a 1 ,a 2 ,a 3 ialah nombor a 1 · a 2 · a 3 . Berhujah dengan cara yang sama, kita sampai pada dakwaan berikut.

Kenyataan 1. Gandaan sepunya terkecil bagi nombor koprima a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m adalah sama dengan produk mereka a 1 · a 2 · a 3 ··· a m .

Kenyataan 2. Sebarang nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor koprima a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m juga boleh dibahagikan dengan hasil keluarannya a 1 · a 2 · a 3 ··· a m .

Cara mencari LCM (bilangan sepunya paling kurang)

Gandaan sepunya terkecil bagi dua integer ialah yang terkecil daripada semua integer yang boleh dibahagi sama rata dan tanpa baki oleh kedua-dua nombor yang diberikan.

Kaedah 1. Anda boleh mencari LCM, seterusnya, untuk setiap nombor yang diberikan, menulis dalam tertib menaik semua nombor yang diperoleh dengan mendarabnya dengan 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

Contoh untuk nombor 6 dan 9.
Kami mendarabkan nombor 6, secara berurutan, dengan 1, 2, 3, 4, 5.
Kami mendapat: 6, 12, 18 , 24, 30
Kami mendarabkan nombor 9, secara berurutan, dengan 1, 2, 3, 4, 5.
Kami mendapat: 9, 18 , 27, 36, 45
Seperti yang anda lihat, LCM untuk nombor 6 dan 9 ialah 18.

Kaedah ini mudah apabila kedua-dua nombor adalah kecil dan mudah untuk mendarabnya dengan urutan integer. Walau bagaimanapun, terdapat kes apabila anda perlu mencari LCM untuk nombor dua digit atau tiga digit, dan juga apabila terdapat tiga atau lebih nombor awal.

Kaedah 2. Anda boleh mencari LCM dengan menguraikan nombor asal kepada faktor perdana.
Selepas penguraian, adalah perlu untuk memotong nombor yang sama daripada siri faktor perdana yang terhasil. Baki nombor nombor pertama akan menjadi faktor untuk yang kedua, dan baki nombor nombor kedua akan menjadi faktor untuk yang pertama.

Contoh untuk nombor 75 dan 60.
Gandaan sepunya terkecil bagi nombor 75 dan 60 boleh didapati tanpa menulis gandaan nombor ini berturut-turut. Untuk melakukan ini, kami menguraikan 75 dan 60 kepada faktor utama:
75 = 3 * 5 * 5, dan
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Seperti yang anda lihat, faktor 3 dan 5 berlaku dalam kedua-dua baris. Secara mental kita "memotong" mereka.
Mari kita tuliskan baki faktor yang termasuk dalam pengembangan setiap nombor ini. Apabila mengurai nombor 75, kami meninggalkan nombor 5, dan apabila mengurai nombor 60, kami meninggalkan 2 * 2
Jadi, untuk menentukan LCM untuk nombor 75 dan 60, kita perlu mendarabkan nombor yang tinggal dari pengembangan 75 (ini adalah 5) dengan 60, dan nombor yang tinggal dari pengembangan nombor 60 (ini ialah 2 * 2). ) darab dengan 75. Iaitu, untuk memudahkan pemahaman , kita katakan bahawa kita darab "silang".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Beginilah cara kami menemui LCM untuk nombor 60 dan 75. Ini ialah nombor 300.

Contoh. Tentukan KPK untuk nombor 12, 16, 24
Dalam kes ini, tindakan kita akan menjadi lebih rumit. Tetapi, pertama, seperti biasa, kita menguraikan semua nombor menjadi faktor perdana
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Untuk menentukan LCM dengan betul, kami memilih nombor terkecil daripada semua nombor (ini ialah nombor 12) dan meneliti faktornya secara berturut-turut, memotongnya jika sekurang-kurangnya satu daripada baris nombor lain mempunyai faktor yang sama yang belum dipalang. keluar.

Langkah 1 . Kami melihat bahawa 2 * 2 berlaku dalam semua siri nombor. Kami mencoret mereka.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Langkah 2. Dalam faktor perdana nombor 12, hanya nombor 3 yang kekal. Tetapi ia hadir dalam faktor perdana nombor 24. Kami memotong nombor 3 dari kedua-dua baris, sementara tiada tindakan dijangka untuk nombor 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Seperti yang anda lihat, apabila menguraikan nombor 12, kami "memotong" semua nombor. Jadi penemuan NOC selesai. Ia kekal hanya untuk mengira nilainya.
Untuk nombor 12, kita mengambil baki faktor daripada nombor 16 (yang paling hampir dalam tertib menaik)
12 * 2 * 2 = 48
Ini adalah NOC

Seperti yang anda lihat, dalam kes ini, mencari LCM agak sukar, tetapi apabila anda perlu mencarinya untuk tiga atau lebih nombor, kaedah ini membolehkan anda melakukannya dengan lebih pantas. Walau bagaimanapun, kedua-dua cara mencari LCM adalah betul.

Pertimbangkan tiga cara untuk mencari gandaan sepunya terkecil.

Mencari dengan Pemfaktoran

Cara pertama ialah mencari gandaan sepunya terkecil dengan memfaktorkan nombor yang diberikan kepada faktor perdana.

Katakan kita perlu mencari LCM nombor: 99, 30 dan 28. Untuk melakukan ini, kita menguraikan setiap nombor ini kepada faktor perdana:

Untuk nombor yang diingini boleh dibahagikan dengan 99, 30 dan 28, adalah perlu dan memadai bahawa ia termasuk semua faktor perdana pembahagi ini. Untuk melakukan ini, kita perlu mengambil semua faktor perdana nombor ini kepada kuasa berlaku tertinggi dan mendarabnya bersama-sama:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Jadi LCM (99, 30, 28) = 13,860. Tiada nombor lain yang kurang daripada 13,860 boleh dibahagi sama rata dengan 99, 30 atau 28.

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor yang diberikan, anda perlu memfaktorkannya ke dalam faktor perdana, kemudian ambil setiap faktor perdana dengan eksponen terbesar yang digunakannya, dan darabkan faktor ini bersama-sama.

Oleh kerana nombor koprima tidak mempunyai faktor perdana sepunya, gandaan sepunya terkecilnya adalah sama dengan hasil darab nombor ini. Sebagai contoh, tiga nombor: 20, 49 dan 33 adalah koprime. sebab tu

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

Perkara yang sama perlu dilakukan apabila mencari gandaan sepunya terkecil pelbagai nombor perdana. Contohnya, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Mencari melalui pemilihan

Cara kedua ialah mencari gandaan sepunya terkecil dengan memasangkan.

Contoh 1. Apabila nombor terbesar yang diberi boleh dibahagi sama rata dengan nombor lain yang diberi, maka KPK nombor ini adalah sama dengan yang lebih besar daripadanya. Sebagai contoh, diberi empat nombor: 60, 30, 10 dan 6. Setiap daripada mereka boleh dibahagi dengan 60, oleh itu:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Dalam kes lain, untuk mencari gandaan sepunya terkecil, prosedur berikut digunakan:

1. Tentukan nombor terbesar daripada nombor yang diberi.
2. Seterusnya, kita mencari nombor yang merupakan gandaan nombor terbesar, mendarabkannya dengan nombor asli dalam tertib menaik dan menyemak sama ada baki nombor yang diberikan boleh dibahagikan dengan hasil darab.

Contoh 2. Diberi tiga nombor 24, 3 dan 18. Tentukan yang terbesar - ini ialah nombor 24. Seterusnya, cari gandaan 24, semak sama ada setiap satu daripadanya boleh dibahagi dengan 18 dan 3:

24 1 = 24 boleh dibahagi dengan 3 tetapi tidak boleh dibahagi dengan 18.

24 2 = 48 - boleh bahagi dengan 3 tetapi tidak boleh bahagi dengan 18.

24 3 \u003d 72 - boleh dibahagikan dengan 3 dan 18.

Jadi LCM(24, 3, 18) = 72.

Pencarian dengan Pencarian Berjujukan LCM

Cara ketiga ialah mencari gandaan sepunya terkecil dengan mencari LCM secara berturut-turut.

LCM bagi dua nombor yang diberikan adalah sama dengan hasil darab nombor ini dibahagikan dengan pembahagi sepunya terbesar mereka.

Contoh 1. Cari KPK bagi dua nombor yang diberi: 12 dan 8. Tentukan pembahagi sepunya terbesar mereka: GCD (12, 8) = 4. Darabkan nombor ini:

Kami membahagikan produk ke dalam GCD mereka:

Jadi LCM(12, 8) = 24.

Untuk mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor, prosedur berikut digunakan:

1. Pertama, LCM bagi mana-mana dua nombor yang diberikan ditemui.
2. Kemudian, LCM bagi gandaan sepunya terkecil ditemui dan nombor ketiga yang diberikan.
3. Kemudian, LCM bagi gandaan sepunya terkecil yang terhasil dan nombor keempat, dan seterusnya.
4. Oleh itu carian LCM diteruskan selagi ada nombor.

Contoh 2. Mari cari KPK bagi tiga nombor yang diberi: 12, 8 dan 9. Kita telah pun menemui KPK bagi nombor 12 dan 8 dalam contoh sebelumnya (ini ialah nombor 24). Ia kekal untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi 24 dan nombor ketiga yang diberikan - 9. Tentukan pembahagi sepunya terbesar mereka: gcd (24, 9) = 3. Darabkan LCM dengan nombor 9:

Kami membahagikan produk ke dalam GCD mereka:

Jadi LCM(12, 8, 9) = 72.

Definisi. Nombor asli terbesar yang nombor a dan b boleh dibahagikan tanpa baki dipanggil pembahagi sepunya terbesar (gcd) nombor-nombor ini.

Mari kita cari pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 24 dan 35.
Pembahagi 24 ialah nombor 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, dan pembahagi 35 ialah nombor 1, 5, 7, 35.
Kami melihat bahawa nombor 24 dan 35 hanya mempunyai satu pembahagi biasa - nombor 1. Nombor sedemikian dipanggil coprime.

Definisi. Nombor asli dipanggil coprime jika pembahagi sepunya terbesar mereka (gcd) ialah 1.

Pembahagi Sepunya Terhebat (GCD) boleh didapati tanpa menulis semua pembahagi nombor yang diberikan.

Memfaktorkan nombor 48 dan 36, kita dapat:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Daripada faktor yang termasuk dalam pengembangan nombor pertama ini, kami memadamkan faktor yang tidak termasuk dalam pengembangan nombor kedua (iaitu, dua deuces).
Faktor 2 * 2 * 3 kekal. Hasil darabnya ialah 12. Nombor ini ialah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 48 dan 36. Pembahagi sepunya terbesar bagi tiga nombor atau lebih juga ditemui.

Untuk mencari pembahagi sepunya terbesar

2) daripada faktor yang termasuk dalam pengembangan salah satu nombor ini, potong yang tidak termasuk dalam pengembangan nombor lain;
3) cari hasil darab faktor yang tinggal.

Jika semua nombor yang diberi boleh dibahagi dengan salah satu daripadanya, maka nombor ini ialah pembahagi sepunya terbesar nombor yang diberi.
Sebagai contoh, pembahagi sepunya terbesar bagi 15, 45, 75, dan 180 ialah 15, kerana ia membahagikan semua nombor lain: 45, 75, dan 180.

Gandaan sepunya terkecil (LCM)

Definisi. Gandaan sepunya terkecil (LCM) nombor asli a dan b ialah nombor asli terkecil yang merupakan gandaan bagi kedua-dua a dan b. Gandaan sepunya terkecil (LCM) bagi nombor 75 dan 60 boleh didapati tanpa menulis gandaan nombor ini berturut-turut. Untuk melakukan ini, kami menguraikan 75 dan 60 menjadi faktor mudah: 75 \u003d 3 * 5 * 5, dan 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Kami menulis faktor yang termasuk dalam pengembangan nombor pertama ini, dan menambah kepada mereka faktor yang hilang 2 dan 2 daripada pengembangan nombor kedua (iaitu, kami menggabungkan faktor).
Kami mendapat lima faktor 2 * 2 * 3 * 5 * 5, hasil darabnya ialah 300. Nombor ini ialah gandaan sepunya terkecil bagi nombor 75 dan 60.

Cari juga gandaan sepunya terkecil bagi tiga atau lebih nombor.

Kepada cari gandaan sepunya terkecil beberapa nombor asli, anda perlukan:
1) menguraikannya kepada faktor utama;
2) tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pengembangan salah satu nombor;
3) menambah kepada mereka faktor yang hilang daripada pengembangan nombor yang tinggal;
4) cari hasil darab faktor yang terhasil.

Ambil perhatian bahawa jika salah satu daripada nombor ini boleh dibahagikan dengan semua nombor lain, maka nombor ini ialah gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini.
Sebagai contoh, gandaan sepunya terkecil bagi 12, 15, 20, dan 60 ialah 60, kerana ia boleh dibahagi dengan semua nombor yang diberikan.

Pythagoras (abad VI SM) dan pelajarnya mengkaji isu kebolehbahagi nombor. Nombor yang sama dengan jumlah semua pembahaginya (tanpa nombor itu sendiri), mereka memanggil nombor sempurna. Sebagai contoh, nombor 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) adalah sempurna. Nombor sempurna seterusnya ialah 496, 8128, 33,550,336. Orang Pythagorean hanya mengetahui tiga nombor sempurna yang pertama. Yang keempat - 8128 - dikenali pada abad ke-1. n. e. Yang kelima - 33 550 336 - ditemui pada abad ke-15. Menjelang tahun 1983, 27 nombor sempurna sudah diketahui. Tetapi sehingga kini, saintis tidak tahu sama ada terdapat nombor sempurna ganjil, sama ada terdapat nombor sempurna terbesar.
Minat ahli matematik purba dalam nombor perdana adalah disebabkan oleh fakta bahawa sebarang nombor adalah sama ada perdana atau boleh diwakili sebagai hasil darab nombor perdana, iaitu nombor perdana adalah seperti batu bata dari mana seluruh nombor asli dibina.
Anda mungkin perasan bahawa nombor perdana dalam siri nombor asli berlaku tidak sekata - di beberapa bahagian siri terdapat lebih banyak daripada mereka, di bahagian lain - kurang. Tetapi semakin jauh kita bergerak di sepanjang siri nombor, semakin jarang nombor perdana. Timbul persoalan: adakah nombor perdana terakhir (terbesar) wujud? Ahli matematik Yunani kuno Euclid (abad ke-3 SM), dalam bukunya "Permulaan", yang selama dua ribu tahun menjadi buku teks utama matematik, membuktikan bahawa terdapat banyak nombor perdana yang tidak terhingga, iaitu, di belakang setiap nombor perdana terdapat nombor genap. nombor perdana yang lebih besar.
Untuk mencari nombor perdana, seorang lagi ahli matematik Yunani pada masa yang sama, Eratosthenes, telah menghasilkan kaedah sedemikian. Dia menulis semua nombor dari 1 hingga beberapa nombor, dan kemudian memotong unit, yang bukan nombor perdana mahupun nombor komposit, kemudian memotong satu semua nombor selepas 2 (nombor yang merupakan gandaan 2, iaitu 4, 6, 8, dsb.). Nombor pertama yang tinggal selepas 2 ialah 3. Kemudian, selepas dua, semua nombor selepas 3 dicoret (nombor yang merupakan gandaan 3, iaitu 6, 9, 12, dsb.). akhirnya, hanya nombor perdana sahaja yang tidak dipalang.