Biasa nombor pecahan buat pertama kalinya mereka bertemu dengan pelajar sekolah di darjah 5 dan menemani mereka sepanjang hidup mereka, kerana dalam kehidupan seharian sering diperlukan untuk mempertimbangkan atau menggunakan objek tidak sepenuhnya, tetapi dalam bahagian yang berasingan. Permulaan kajian topik ini adalah perkongsian. Saham adalah bahagian yang sama, yang mana subjek ini atau itu dibahagikan. Lagipun, tidak selalu mungkin untuk menyatakan, sebagai contoh, panjang atau harga komoditi sebagai integer, seseorang harus mengambil kira bahagian atau pecahan beberapa ukuran. Dibentuk daripada kata kerja "berpecah" - untuk membahagikan kepada bahagian, dan mempunyai akar Arab, pada abad VIII perkataan "pecahan" itu sendiri timbul dalam bahasa Rusia.

Ungkapan pecahan telah lama dianggap sebagai bidang matematik yang paling sukar. Pada abad ke-17, apabila buku teks pertama mengenai matematik muncul, mereka dipanggil "nombor pecah", yang sangat sukar untuk dipaparkan dalam pemahaman orang.

Rupa moden sisa pecahan mudah, bahagian yang dipisahkan oleh garis mendatar, pertama kali dipromosikan oleh Fibonacci - Leonardo dari Pisa. Karya beliau bertarikh pada 1202. Tetapi tujuan artikel ini adalah untuk menerangkan secara ringkas dan jelas kepada pembaca bagaimana pendaraban berlaku. pecahan bercampur dengan penyebut yang berbeza.

Pendaraban pecahan dengan penyebut yang berbeza

Pada mulanya, ia patut ditentukan jenis pecahan:

• betul;
• salah;
• bercampur-campur.

Seterusnya, anda perlu ingat bagaimana pendaraban nombor pecahan dengan penyebut yang sama... Peraturan proses ini mudah dirumus secara bebas: hasil pendaraban pecahan mudah dengan penyebut yang sama ialah ungkapan pecahan, pengangkanya adalah hasil darab dari pengangka, dan penyebutnya ialah hasil darab penyebut pecahan ini. Iaitu, sebenarnya, penyebut baru ialah kuasa dua salah satu daripada yang sedia ada.

Apabila mendarab pecahan mudah dengan penyebut yang berbeza untuk dua atau lebih faktor, peraturan tidak berubah:

a /b * c /d = a * c / b * d.

Satu-satunya perbezaan ialah nombor yang terhasil di bawah garis pecahan akan menjadi hasil darab nombor yang berbeza dan, secara semula jadi, kuasa dua satu ungkapan berangka mustahil untuk menamakannya.

Perlu dipertimbangkan pendaraban pecahan dengan penyebut yang berbeza dengan contoh:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Contoh menggunakan cara untuk mengurangkan ungkapan pecahan. Anda boleh membatalkan hanya nombor pengangka dengan nombor penyebut; faktor bersebelahan di atas atau di bawah garis pecahan tidak boleh dibatalkan.

Bersama dengan nombor pecahan mudah, terdapat konsep pecahan bercampur. Nombor bercampur terdiri daripada integer dan bahagian pecahan, iaitu, ia adalah hasil tambah nombor ini:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Bagaimanakah pendaraban berfungsi?

Beberapa contoh dicadangkan untuk dipertimbangkan.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Contoh menggunakan pendaraban nombor dengan bahagian pecahan biasa, anda boleh menulis peraturan untuk tindakan ini dengan formula:

a * b /c = a * b /c.

Malah, produk sedemikian ialah jumlah baki pecahan yang sama, dan bilangan sebutan menunjukkan ini nombor asli. Kes khas:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Terdapat satu lagi pilihan untuk menyelesaikan pendaraban nombor dengan baki pecahan. Anda hanya perlu membahagikan penyebut dengan nombor ini:

d * e /f = e /f: d.

Ia berguna untuk menggunakan teknik ini apabila penyebut dibahagikan dengan nombor asli tanpa baki, atau, seperti yang mereka katakan, sepenuhnya.

Tukar nombor bercampur kepada pecahan tak wajar dan dapatkan produk dengan cara yang diterangkan sebelum ini:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Contoh ini melibatkan cara mewakili pecahan bercampur dalam yang salah, ia juga boleh diwakili dalam bentuk formula am:

a bc = a * b + c / c, di mana penyebut pecahan baru dibentuk dengan mendarab bahagian integer dengan penyebut dan menambahkannya kepada pengangka baki pecahan asal, dan penyebutnya tetap sama.

Proses ini berfungsi dalam sebelah belakang... Untuk memilih bahagian integer dan baki pecahan, anda perlu membahagikan pengangka pecahan yang salah pada "sudut" penyebutnya.

Pendaraban pecahan tak wajar dihasilkan secara konvensional. Apabila rekod berada di bawah garis pecahan tunggal, jika perlu, adalah perlu untuk mengurangkan pecahan untuk mengurangkan nombor dengan kaedah ini dan lebih mudah untuk mengira hasilnya.

Terdapat banyak pembantu di Internet untuk menyelesaikan masalah matematik yang rumit sekalipun variasi yang berbeza program. Jumlah yang mencukupi perkhidmatan tersebut menawarkan bantuan mereka dalam mengira pendaraban pecahan dengan nombor yang berbeza dalam penyebut - apa yang dipanggil kalkulator dalam talian untuk mengira pecahan. Mereka bukan sahaja mampu untuk mendarab, tetapi juga untuk melaksanakan semua operasi aritmetik mudah lain dengan pecahan biasa dan nombor bercampur. Tidak sukar untuk bekerja dengannya, medan yang sepadan diisi pada halaman tapak, tanda itu dipilih tindakan matematik dan "kira" ditekan. Program mengira secara automatik.

Topik operasi aritmetik dengan nombor pecahan adalah relevan sepanjang pendidikan murid sekolah menengah dan kanan. Di sekolah menengah, mereka tidak lagi dianggap sebagai jenis yang paling mudah, tetapi ungkapan pecahan integer, tetapi pengetahuan tentang peraturan untuk transformasi dan pengiraan, yang diperoleh lebih awal, digunakan dalam bentuk asalnya. Pengetahuan asas yang dikuasai dengan baik memberikan keyakinan sepenuhnya keputusan yang baik paling tugas yang sukar.

Kesimpulannya, masuk akal untuk memetik kata-kata Lev Nikolaevich Tolstoy, yang menulis: "Manusia adalah pecahan. Tidak ada kuasa manusia untuk meningkatkan pengangkanya - martabatnya, tetapi setiap orang boleh mengurangkan penyebutnya - pendapatnya tentang dirinya sendiri, dan dengan penurunan ini dia dapat mendekati kesempurnaannya."

Memandangkan kita telah mempelajari cara menambah dan mendarab pecahan individu, kita boleh mempertimbangkan lebih banyak lagi struktur kompleks... Sebagai contoh, bagaimana jika masalah yang sama mengandungi penambahan, penolakan dan pendaraban pecahan?

Pertama sekali, anda perlu menterjemah semua pecahan kepada pecahan yang salah. Kemudian kami melakukan tindakan yang diperlukan secara berurutan - dalam susunan yang sama seperti nombor biasa. Iaitu:

1. Pengeksponenan dilakukan terlebih dahulu - buang semua ungkapan yang mengandungi penunjuk;
2. Kemudian - pembahagian dan pendaraban;
3. Langkah terakhir ialah penambahan dan penolakan.

Sudah tentu, jika terdapat kurungan dalam ungkapan, susunan tindakan berubah - segala-galanya di dalam kurungan mesti dikira terlebih dahulu. Dan ingat tentang pecahan yang salah: anda perlu memilih keseluruhan bahagian hanya apabila semua tindakan lain telah selesai.

Mari menterjemah semua pecahan daripada ungkapan pertama kepada yang salah, dan kemudian lakukan tindakan berikut:

Sekarang mari kita cari nilai ungkapan kedua. Di sini pecahan dengan keseluruhan bahagian tidak, tetapi terdapat kurungan, jadi kami melakukan penambahan dahulu, dan kemudian pembahagian. Perhatikan bahawa 14 = 7 2. Kemudian:

Akhir sekali, pertimbangkan contoh ketiga. Terdapat tanda kurung dan ijazah di sini - lebih baik mengiranya secara berasingan. Dengan mengambil kira bahawa 9 = 3 3, kita mempunyai:

Lihat contoh terakhir. Untuk menaikkan pecahan kepada kuasa, anda mesti menaikkan secara berasingan pengangka kepada kuasa ini, dan secara berasingan - penyebut.

Anda boleh membuat keputusan dengan cara yang berbeza. Jika kita ingat takrif darjah, masalah akan dikurangkan kepada pendaraban biasa pecahan:

Pecahan berbilang tingkat

Sehingga kini, kami hanya mempertimbangkan pecahan "tulen", apabila pengangka dan penyebutnya nombor biasa... Ini agak konsisten dengan takrifan pecahan berangka yang diberikan dalam pelajaran pertama.

Tetapi bagaimana jika objek yang lebih kompleks diletakkan dalam pengangka atau penyebut? Sebagai contoh, pecahan nombor lain? Pembinaan sedemikian kelihatan agak kerap, terutamanya apabila bekerja dengan ekspresi panjang. Berikut adalah beberapa contoh:

Terdapat hanya satu peraturan untuk bekerja dengan pecahan berbilang tingkat: anda mesti segera menyingkirkannya. Mengeluarkan lantai "tambahan" agak mudah, jika anda ingat bahawa bar pecahan bermaksud operasi pembahagian standard. Oleh itu, mana-mana pecahan boleh ditulis semula seperti berikut:

Dengan menggunakan fakta ini dan memerhatikan susunan tindakan, kita boleh mengurangkan mana-mana pecahan berbilang peringkat kepada pecahan biasa dengan mudah. Lihat contoh:

Tugasan. Tukar pecahan berbilang tingkat kepada pecahan biasa:

Dalam setiap kes, kami menulis semula pecahan utama, menggantikan garis pembahagi dengan tanda bahagi. Juga, ingat bahawa mana-mana integer boleh diwakili sebagai pecahan dengan penyebut 1. Iaitu, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Kita mendapatkan:

Dalam contoh terakhir, pecahan telah dibatalkan sebelum pendaraban terakhir.

Spesifik bekerja dengan pecahan pelbagai peringkat

Terdapat satu kehalusan dalam pecahan bertingkat yang mesti sentiasa diingati, jika tidak, anda boleh mendapat jawapan yang salah, walaupun jika semua pengiraan adalah betul. Tengoklah:

1. Pengangka mengandungi nombor tunggal 7, dan penyebutnya mengandungi pecahan 12/5;
2. Pengangka mengandungi pecahan 7/12, dan penyebutnya ialah nombor tunggal 5.

Jadi, untuk satu rekod, kami mendapat dua sepenuhnya tafsiran yang berbeza... Jika anda mengira, jawapannya juga berbeza:

Untuk sentiasa membaca entri dengan jelas, gunakan peraturan mudah: garis pemisah pecahan utama mestilah lebih panjang daripada garisan bersarang. Ia adalah wajar - beberapa kali.

Jika anda mengikuti peraturan ini, maka pecahan di atas hendaklah ditulis seperti berikut:

Ya, ia mungkin hodoh dan mengambil terlalu banyak ruang. Tetapi anda akan mengira dengan betul. Akhir sekali, beberapa contoh di mana pecahan berbilang tingkat benar-benar timbul:

Tugasan. Cari nilai ungkapan:

Jadi, kami bekerja dengan contoh pertama. Mari kita tukar semua pecahan kepada pecahan tak sekata, dan kemudian lakukan operasi tambah dan bahagi:

Mari kita lakukan perkara yang sama dengan contoh kedua. Mari menterjemah semua pecahan kepada pecahan tak sekata dan laksanakan operasi yang diperlukan. Untuk tidak memenatkan pembaca, saya akan meninggalkan beberapa pengiraan yang jelas. Kami ada:

Disebabkan fakta bahawa terdapat jumlah dalam pengangka dan penyebut pecahan utama, peraturan untuk menulis pecahan berbilang tingkat diperhatikan secara automatik. Juga, dalam contoh terakhir, kami sengaja meninggalkan 46/1 dalam bentuk pecahan untuk melakukan pembahagian.

Saya juga ambil perhatian bahawa dalam kedua-dua contoh, bar pecahan sebenarnya menggantikan kurungan: pertama sekali, kami mendapati jumlahnya, dan hanya kemudian - hasil bagi.

Ada yang berpendapat bahawa peralihan kepada pecahan tak wajar dalam contoh kedua adalah jelas berlebihan. Mungkin begitu. Tetapi dengan ini kami menginsuranskan diri kami terhadap kesilapan, kerana contoh lain mungkin menjadi lebih rumit. Pilih sendiri mana yang lebih penting: kelajuan atau kebolehpercayaan.

Lambat laun, semua kanak-kanak di sekolah mula mempelajari pecahan: penambahan, pembahagian, pendaraban dan semua tindakan yang mungkin hanya boleh dilakukan dengan pecahan. Untuk memberikan bantuan yang sewajarnya kepada kanak-kanak itu, ibu bapa sendiri tidak boleh lupa bagaimana integer dibahagikan kepada pecahan, jika tidak, anda tidak akan dapat membantunya dengan apa-apa, tetapi hanya akan mengelirukan dia. Jika anda perlu mengingati tindakan ini, tetapi anda tidak boleh membawa semua maklumat dalam kepala anda ke dalam satu peraturan, maka artikel ini akan membantu anda: anda akan belajar cara membahagikan nombor dengan pecahan dan melihat contoh yang jelas.

Cara membahagi nombor kepada pecahan

Tulis contoh anda pada draf supaya anda boleh mencatat nota dan markup. Ingat bahawa nombor integer ditulis antara sel, betul-betul di persimpangannya, dan nombor pecahan - setiap satu dalam selnya sendiri.

• V dengan cara ini anda perlu menterbalikkan pecahan, iaitu menulis penyebut ke dalam pengangka dan pengangka ke dalam penyebut.
• Tanda bahagi mesti ditukar kepada pendaraban.
• Sekarang anda hanya perlu melakukan pendaraban mengikut peraturan yang telah dipelajari: pengangka didarab dengan integer, dan penyebut tidak disentuh.

Sudah tentu, akibat daripada tindakan sedemikian, anda akan mendapat sangat nombor besar dalam pengangka. Tidak mustahil untuk meninggalkan pecahan dalam keadaan ini - guru tidak akan menerima jawapan ini. Kurangkan pecahan dengan membahagikan pengangka dengan penyebut. Nombor bulat yang akan diperolehi sebagai hasilnya, tuliskan di sebelah kiri pecahan di tengah-tengah sel, dan selebihnya akan menjadi pengangka baharu. Penyebut tetap tidak berubah.

Algoritma ini agak mudah, walaupun untuk kanak-kanak. Selepas menyelesaikannya lima hingga enam kali, kanak-kanak itu akan mengingati susunan tindakan itu dan akan dapat mengaplikasikannya pada mana-mana pecahan.

Cara membahagi nombor dengan perpuluhan

Terdapat jenis pecahan lain - perpuluhan. Pembahagian kepada mereka berlaku mengikut algoritma yang sama sekali berbeza. Jika anda menjumpai contoh sedemikian, ikut arahan:

• Pertama, tukarkan kedua-dua nombor menjadi perpuluhan... Ia adalah mudah untuk melakukan ini: pembahagi anda telah diwakili sebagai pecahan, dan anda memisahkan nombor asli boleh dibahagikan dengan koma, mendapatkan pecahan perpuluhan. Iaitu, jika dividen adalah 5, anda mendapat 5.0. Anda perlu memisahkan nombor dengan seberapa banyak digit kerana kosnya selepas koma dan pembahagi.
• Selepas itu, anda mesti membuat kedua-dua pecahan perpuluhan nombor asli. Pada mulanya, anda mungkin mendapati ia agak mengelirukan, tetapi ini adalah yang paling cara cepat pembahagian, yang akan membawa anda beberapa saat, selepas beberapa latihan. Pecahan 5.0 menjadi nombor 50, pecahan 6.23 menjadi 623.
• Bahagikan. Jika nombor ternyata besar, atau pembahagian akan berlaku dengan baki, lakukannya dalam lajur. Jadi anda akan melihat dengan jelas semua tindakan. contoh ini... Anda tidak perlu meletakkan koma dengan sengaja, kerana ia akan muncul semasa pembahagian panjang.

Pembahagian jenis ini pada mulanya kelihatan terlalu mengelirukan, kerana anda perlu menukar dividen dan pembahagi menjadi pecahan, dan kemudian sekali lagi menjadi nombor asli. Tetapi selepas senaman yang singkat, anda akan mula melihat nombor-nombor yang anda hanya perlu bahagikan antara satu sama lain.

Ingat bahawa keupayaan untuk membahagi pecahan dan nombor bulat dengan betul boleh berguna lebih daripada sekali dalam hidup, oleh itu, kanak-kanak itu perlu mengetahui peraturan dan prinsip mudah ini secara ideal supaya dalam gred yang lebih tua mereka tidak menjadi batu penghalang kerana yang mana kanak-kanak tidak boleh memutuskan tugas yang lebih kompleks.

Semua tindakan boleh dilakukan dengan pecahan, termasuk pembahagian. Artikel ini menunjukkan pembahagian pecahan sepunya... Definisi akan diberikan, contoh akan dipertimbangkan. Mari kita lihat dengan lebih dekat pembahagian pecahan dengan nombor asli dan sebaliknya. Pembahagian pecahan biasa dengan nombor bercampur akan dipertimbangkan.

Pembahagian pecahan biasa

Pembahagian ialah songsangan bagi pendaraban. Apabila membahagi, faktor yang tidak diketahui adalah pada karya terkenal dan satu lagi faktor, di mana makna yang diberikan dikekalkan dengan pecahan biasa.

Jika anda perlu membahagi pecahan biasa a b dengan c d, maka untuk menentukan nombor sedemikian anda perlu mendarab dengan pembahagi c d, ini akan berakhir dengan dividen a b. Dapatkan nombor dan tuliskannya a b d c, dengan d c ialah songsangan bagi nombor c d. Persamaan boleh ditulis menggunakan sifat pendaraban iaitu: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b, di mana ungkapan a b d c ialah hasil bahagi a b dengan c d.

Daripada ini kita memperoleh dan merumuskan peraturan untuk membahagi pecahan biasa:

Definisi 1

Untuk membahagi pecahan biasa a b dengan c d, anda perlu mendarabkan dividen dengan salingan pembahagi.

Mari kita tulis peraturan sebagai ungkapan: a b: c d = a b d c

Peraturan pembahagian dikurangkan kepada pendaraban. Untuk mematuhinya, anda perlu mahir dalam melakukan pendaraban pecahan biasa.

Mari kita beralih kepada mempertimbangkan pembahagian pecahan biasa.

Contoh 1

Bahagikan 9 7 dengan 5 3. Tulis hasilnya sebagai pecahan.

Penyelesaian

Angka 5 3 adalah kebalikan dari 3 5. Peraturan untuk membahagi pecahan sepunya mesti digunakan. Kami menulis ungkapan ini seperti berikut: 9 7: 5 3 = 9 7 3 5 = 9 3 7 5 = 27 35.

Jawapan: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Apabila mengurangkan pecahan, keseluruhan bahagian hendaklah dipilih jika pengangkanya lebih besar daripada penyebutnya.

Contoh 2

Bahagi 8 15: 24 65. Tulis jawapan sebagai pecahan.

Penyelesaian

Untuk menyelesaikannya, anda perlu pergi dari pembahagian kepada pendaraban. Mari tulis dalam borang ini: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Ia adalah perlu untuk membuat pengurangan, dan ini dilakukan seperti berikut: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Pilih keseluruhan bahagian dan dapatkan 13 9 = 1 4 9.

Jawapan: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Pembahagian pecahan luar biasa dengan nombor asli

Kami menggunakan peraturan membahagi pecahan dengan nombor asli: untuk membahagi a b dengan nombor asli n, anda hanya perlu mendarab penyebut dengan n. Dari sini kita mendapat ungkapan: a b: n = a b · n.

Peraturan bahagi adalah akibat daripada peraturan pendaraban. Oleh itu, mewakili nombor asli sebagai pecahan akan memberikan kesamaan jenis ini: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Pertimbangkan pembahagian pecahan dengan nombor ini.

Contoh 3

Bahagikan pecahan 16 45 dengan nombor 12.

Penyelesaian

Mari kita gunakan peraturan membahagi pecahan dengan nombor. Kami mendapat ungkapan bentuk 16 45: 12 = 16 45 12.

Mari kita kurangkan pecahan. Kami mendapat 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 3 5 = 4 135.

Jawapan: 16 45: 12 = 4 135 .

Pembahagian nombor asli dengan pecahan biasa

Peraturan pembahagian adalah serupa O peraturan untuk membahagi nombor asli dengan pecahan biasa: untuk membahagi nombor asli n dengan nombor biasa a b, adalah perlu untuk mendarab nombor n dengan salingan pecahan a b.

Berdasarkan peraturan, kita mempunyai n: a b = n b a, dan terima kasih kepada peraturan mendarab nombor asli dengan pecahan biasa, kita mendapat ungkapan kita dalam bentuk n: a b = n b a. Pembahagian ini perlu dipertimbangkan dengan contoh.

Contoh 4

Bahagikan 25 dengan 15 28.

Penyelesaian

Kita perlu bergerak dari pembahagian kepada pendaraban. Kami menulis dalam bentuk ungkapan 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Kurangkan pecahan untuk mendapatkan keputusan sebagai pecahan 46 2 3.

Jawapan: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Pembahagian pecahan biasa dengan nombor bercampur

Apabila membahagi pecahan biasa dengan nombor bercampur, anda boleh membahagi pecahan biasa dengan mudah. Ia adalah perlu untuk menukar nombor bercampur kepada pecahan tak wajar.

Contoh 5

Bagilah 35 16 dengan 3 1 8.

Penyelesaian

Oleh kerana 3 1 8 ialah nombor bercampur, nyatakan sebagai pecahan tak wajar. Kemudian kita dapat 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Sekarang mari kita bahagikan pecahan. Kami mendapat 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Jawapan: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Pembahagian nombor bercampur dilakukan dengan cara yang sama seperti nombor biasa.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila pilih dan tekan Ctrl + Enter