Denominator pecahan aritmetik A / B dipanggil nombor B, yang menunjukkan dimensi unit, yang mana pecahan dikumpulkan. Penyebutkan Fraksi Algebra A / B dipanggil ekspresi algebra B. Untuk melakukan tindakan aritmetik dengan pecahan, mereka mesti dibawa ke penyebut biasa yang paling kecil.

Anda perlu

• Untuk bekerja dengan fraksi algebra semasa mencari penyebut biasa yang paling kecil, adalah perlu untuk mengetahui kaedah penguraian polinomial ke dalam pengganda.

Arahan

Pertimbangkan untuk membawa dua pecahan aritmetik N / M dan S / T ke penyebut keseluruhan terkecil, di mana N, M, S, T adalah bilangan bulat. Sudah jelas bahawa kedua-dua pecahan ini boleh disebabkan oleh mana-mana penyebut yang membahagikan pada m dan pada t. Tetapi cuba untuk membawa kepada penyebut umum terkecil. Ia adalah sama dengan jumlah terkecil pelbagai denominator m dan t data pecahan. Nombor berganda terkecil (NOC) adalah yang terkecil, dibahagikan serentak kepada semua nombor yang ditetapkan. Mereka. Dalam kes kami, adalah perlu untuk mencari nombor berbilang yang paling kecil M dan T. Nota seperti NOC (M, T). Seterusnya, pecahan didarab dengan yang sesuai: (n / m) * (NOK (M, T) / M), (S / T) * (NOK (M, T) / T).

Marilah kita mencari penyebut biasa yang paling kecil dari tiga pecahan: 4/5, 7/8, 11/14. Untuk memulakan, kita akan menentukan penyebut 5, 8, 14: 5 \u003d 1 * 5, 8 \u003d 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3, 14 \u003d 2 * 7. Selanjutnya, hitung NOC (5, 8, 14) , Mengalikan semua nombor yang masuk sekurang-kurangnya dalam salah satu ekspansi. Nok (5, 8, 14) \u003d 5 * 2 ^ 3 * 7 \u003d 280. Perhatikan bahawa jika pengganda didapati dalam penguraian beberapa nombor (pengganda 2 dalam pengembangan denominator 8 dan 14), maka kita mengambil pengganda ke tahap yang lebih tinggi (2 ^ 3 dalam kes kita).

Jadi, jumlah yang diterima. Ia sama dengan 280 \u003d 5 * 56 \u003d 8 * 35 \u003d 14 * 20. Di sini kita mendapat nombor yang anda perlukan untuk melipatgandakan pecahan dengan penyebut yang sama untuk membawa mereka ke penyebut biasa yang paling kecil. Kami mendapat 4/5 \u003d 56 * (4/5) \u003d 224/280, 7/8 \u003d 35 * (7/8) \u003d 245/280, 11/14 \u003d 20 * (11/14) \u003d 220/280.

Penjajaran pecahan algebra kepada penyebut umum terkecil dilakukan oleh analogi dengan aritmetik. Untuk kejelasan, pertimbangkan tugas mengenai contohnya. Biarkan dua pecahan (2 * x) / (9 * Y ^ 2 + 6 * Y + 1) dan (x ^ 2 + 1) / (3 * y ^ 2 + 4 * Y + 1). Kami lalai pada faktor kedua-dua penyebut. Perhatikan bahawa penyebut fraksi pertama adalah persegi penuh: 9 * y ^ 2 + 6 * y + 1 \u003d (3 * y + 1) ^ 2. Untuk

Tetapi banyak nombor semula jadi diberi makan pada nombor semula jadi yang lain.

sebagai contoh:

Nombor 12 dibahagikan kepada 1, dengan 2, sebanyak 3, dengan 4, dengan 6, dengan 12;

Nombor 36 dibahagikan kepada 1, dengan 2, sebanyak 3, sebanyak 4, dengan 6, sebanyak 12, dengan 18, sebanyak 36.

Nombor yang ditimbulkan oleh saham yang bertujuan (untuk 12 ia adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) dipanggil pembahagi nombor. Pembahagi nombor semula jadi a. - Ini adalah nombor semula jadi yang membahagikan nombor ini a. tanpa residu. Nombor semulajadi yang mempunyai lebih daripada dua orang divisors dipanggil sebatian .

Sila ambil perhatian bahawa nombor 12 dan 36 mempunyai pembahagi biasa. Ini adalah nombor: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Yang terbesar dari nombor-nombor ini adalah yang terbesar dari nombor-nombor ini - 12. pembahagi umum dua nombor data a. dan b. - Ini adalah nombor yang dibahagikan tanpa keseimbangan kedua-dua nombor data a.dan b..

Sakit biasa Beberapa nombor dipanggil nombor yang dibahagikan kepada setiap nombor ini. sebagai contoh, Bilangan 9, 18 dan 45 mempunyai jumlah sebanyak 180. Tetapi 90 dan 360 juga merupakan gandaan yang sama. Di antara semua yang membawa, selalu ada yang terkecil, dalam kes ini adalah 90. Nombor ini dipanggil yang paling kecilberbilang biasa (NOK).

Nok selalu menjadi nombor semulajadi yang harus lebih besar daripada yang terbesar dari nombor yang ditentukan.

Jumlah yang paling kecil (NOC). Sifat.

Komuter:

Persatuan:

Khususnya, jika - nombor yang saling mudah, maka:

Jumlah terkecil dua bilangan bulat m.dan N. adalah pembahagi semua gandaan biasa yang lain m.dan N.. Selain itu, banyak gandaan yang biasa m, n. bertepatan dengan banyak berganda untuk NOCs ( m, n.).

Asymptotics untuk boleh dinyatakan melalui beberapa fungsi teoretikal dan berangka.

Begitenis, Fungsi CHEBYSHEV. . Serta:

Ini berikut dari definisi dan sifat fungsi Landau g (n).

Apa yang berikut dari undang-undang pengagihan nombor perdana.

Mencari pelbagai yang paling kecil (NOC).

Nok ( a, B.) Anda boleh mengira dalam beberapa cara:

1. Jika pembahagi biasa terbesar diketahui, adalah mungkin untuk menggunakan sambungannya dari NOC:

2. Biarkan ia mengetahui penguraian kanonik kedua-dua nombor pada pengganda mudah:

di mana sahaja p 1, ..., p k - Pelbagai nombor mudah, tetapi d 1, ..., D K dan e 1, ..., e k - Bantangan bukan negatif (mereka boleh menjadi sifar jika mudah yang sama hilang dalam penguraian).

Kemudian nok ( a.,b.) Formula dikira:

Dalam erti kata lain, pembukaan NOC mengandungi semua faktor mudah yang masuk sekurang-kurangnya satu daripada ekspansi nombor. a, B.Selain itu, dari kedua-dua penunjuk pengganda ini mengambil yang paling besar.

Contohnya:

Pengiraan jumlah terkecil banyak daripada beberapa nombor boleh dikurangkan kepada beberapa pengiraan NOC berurutan dari dua nombor:

Peraturan. Untuk mencari NOC beberapa nombor, anda perlukan:

- mengurai nombor pada faktor mudah;

- Pindahan ke faktor kerja yang dikehendaki Penguraian terbesar (produk pengganda nombor terbesar dari yang ditentukan), dan kemudian menambah pengganda dari penguraian nombor lain yang tidak dijumpai di nombor pertama atau terdapat beberapa kali ia;

- Produk yang dihasilkan dari pengganda mudah akan menjadi NOC nombor yang ditentukan.

Mana-mana dua atau lebih nombor semula jadi mempunyai NOK mereka. Jika nombor tidak berbilang satu sama lain atau tidak mempunyai pengganda yang sama dalam penguraian, NOK mereka sama dengan produk nombor ini.

Multiplier Mudah Bilangan 28 (2, 2, 7) Melengkapkan Multiplier 3 (Nombor 21), Produk yang dihasilkan (84) akan menjadi nombor terkecilyang dibahagikan kepada 21 dan 28.

Multipliers mudah dari nombor tertinggi 30 telah ditambah dengan pengganda 5th 25, produk yang dihasilkan 150 adalah lebih besar daripada nombor terbesar 30 dan dibahagikan kepada semua nombor set tanpa residu. Ini adalah produk terkecil yang mungkin (150, 250, 300 ...), yang merupakan pelbagai nombor set.

Bilangan 2,3,11,37 adalah mudah, jadi nok mereka sama dengan produk nombor yang ditentukan.

Peraturan. Untuk mengira NOC nombor mudah, anda perlu melipatgandakan semua nombor ini.

Pilihan lain:

Untuk mencari pelbagai yang paling kecil (NOK) dari beberapa nombor yang anda perlukan:

1) hadir setiap nombor sebagai produk faktor mudah, contohnya:

504 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7,

2) Rekod darjah semua faktor mudah:

504 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 \u003d 2 3 · 3 2 · 7 1,

3) Tulis semua pembahagi mudah (pengganda) bagi setiap nombor ini;

4) Pilih tahap terbesar setiap daripada mereka, yang terdapat dalam semua ekspansi nombor-nombor ini;

5) Mengalikan darjah ini.

Contohnya . Cari nombor NOC: 168, 180 dan 3024.

Keputusan . 168 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 7 \u003d 2 3 · 3 1 · 7 1,

180 \u003d 2 · 2 · 3 · 3 · 5 \u003d 2 2 · 3 2 · 5 1,

3024 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 2 4 4 · 3 3.

Kami menulis darjah terbesar semua pembahagi mudah dan menghidupkannya:

Nok \u003d 2 4 · 3 3 · 5 1 · 7 1 \u003d 15120.

Kebanyakan tindakan dengan pecahan algebra, seperti penambahan dan pengurangan, memerlukan penyelesaian awal untuk pecahan ini penyebut yang sama. Penyebut sedemikian juga sering dilambangkan oleh frasa " penyebut biasa." Dalam topik ini, kita akan mempertimbangkan definisi konsep "penyebut umum fraksi algebra" dan "penyebut umum terkecil fraksi algebrai (hidung)", pertimbangkan pada titik algoritma mencari penyebut bersama dan menyelesaikan beberapa tugas mengenai topik ini.

Yandex.rtb R-A-339285-1

Denominator umum pecahan algebra

Jika kita bercakap tentang pecahan biasa, penyebut umum adalah sejumlah yang dibahagikan kepada mana-mana penyebut pecahan awal. Untuk pecahan biasa 1 2 dan 5 9 nombor 36 mungkin menjadi penyebut biasa, kerana tanpa residu dibahagikan kepada 2 dan 9.

Penyebut keseluruhan fraksi algebra ditentukan dengan cara yang sama, bukannya nombor yang digunakan polinomial, kerana mereka berada dalam jumlah dan denominer pecahan algebra.

Definisi 1.

Denominator umum fraksi algebra- Ini adalah polinomial, yang dibahagikan kepada seorang penyebut mana-mana pembenci.

Sehubungan dengan keunikan pecahan algebra, kita bercakap tentang di bawah, kita akan lebih sering berurusan dengan penyebut umum yang dibentangkan dalam bentuk kerja, dan bukan dalam bentuk polinomial standard.

Contoh 1.

Polinomial direkodkan dalam bentuk kerja 3 · X 2 · (x + 1)sepadan dengan polinomial jenis standard 3 · x 3 + 3 · x 2. Polynomial ini boleh menjadi penyebut biasa Fraksi Algebra 2 X, - 3 · X · Y x 2 dan Y + 3 X + 1, kerana fakta bahawa ia dibahagikan kepada X., pada x 2. dan pada X + 1.. Maklumat mengenai pembelaan polinomial adalah dalam topik yang berkaitan dengan sumber kami.

Penyebut biasa yang paling kecil (NOS)

Bagi pecahan algebra yang diberikan, bilangan penyebut biasa mungkin satu set tak terhingga.

Contoh 2.

Ambil contoh pecahan 1 2 · X dan X + 1 x 2 + 3. Penyebut biasa mereka adalah 2 · X · (x 2 + 3)Seperti I. - 2 · X · (x 2 + 3)Seperti I. x · (x 2 + 3)Seperti I. 6, 4 · X · (x 2 + 3) · (Y + Y 4)Seperti I. - 31 · X 5 · (x 2 + 3) 3, dan lain-lain.

Apabila menyelesaikan tugas, adalah mungkin untuk memudahkan kerja, menggunakan seorang penyebut umum, yang di antara semua penyebut banyak mempunyai pandangan yang paling mudah. Seperti penyebut itu sering ditunjukkan sebagai penyebut biasa yang paling kecil.

Definisi 2.

Penyebut biasa yang paling kecil dari fraksi algebra - Ini adalah penyebut umum fraksi algebra, yang mempunyai pandangan yang paling mudah.

Dengan cara ini, istilah "penyebut biasa yang paling kecil" tidak diiktiraf secara umum, oleh itu adalah lebih baik untuk dihadkan kepada istilah "penyebut biasa". Dan itulah sebabnya.

Terdahulu, kami menumpukan perhatian anda pada frasa "The Denominator itu sendiri paparan mudah" Makna utama frasa ini adalah seperti berikut: penyebut pandangan yang paling mudah haruslah tanpa residu untuk berkongsi apa-apa penyebut data lain dalam keadaan masalah fraksi algebra. Pada masa yang sama dalam kerja, yang merupakan penyebut biasa pecahan, anda boleh menggunakan pelbagai koefisien angka.

Contoh 3.

Ambil pecahan 1 2 · x dan x + 1 x 2 + 3. Kami sudah mengetahui bahawa lebih mudah bagi kami untuk bekerja dengan penyebut biasa bentuk 2 · X · (x 2 + 3). Juga penyebut biasa untuk kedua-dua pecahan ini boleh x · (x 2 + 3)yang tidak mengandungi pekali berangka. Persoalannya ialah kedua-dua penyebut biasa ini untuk mempertimbangkan pecahan penyebut biasa terkecil. Tidak ada jawapan yang tidak jelas, oleh itu lebih tepat untuk bercakap tentang penyebut umum, dan untuk mengambil pilihan untuk bekerja dengan mana ia akan menjadi paling mudah. Jadi, kita boleh menggunakan penyebut biasa seperti itu sebagai x 2 · (x 2 + 3) · (Y + Y 4) atau - 15 · X 5 · (x 2 + 3) 3yang mempunyai lebih banyak pandangan yang canggih, tetapi untuk menghabiskan tindakan dengan mereka boleh menjadi lebih sukar.

Mencari penyebut umum Fraksi Algebra: Algoritma Tindakan

Katakan kita mempunyai beberapa fraksi algebra yang mana kita perlu mencari penyebut biasa. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita boleh menggunakan algoritma tindakan berikut. Pertama, kita perlu menguraikan kadar pecahan awal untuk faktor. Kemudian kami membuat produk di mana kami secara konsisten menghidupkan:

• semua pengganda dari penyebut fraksi pertama bersama dengan darjah;
• semua pengganda yang hadir dalam penyebut fraksi kedua, tetapi tidak dalam kerja yang direkodkan atau ijazah mereka tidak mencukupi;
• semua faktor yang hilang dari penyebut fraksi ketiga, dan sebagainya.

Produk yang dihasilkan akan menjadi penyebut biasa Fraksi Algebra.

Sebagai faktor kerja, kita boleh mengambil semua penyebut fraksi, data dalam keadaan tugas. Walau bagaimanapun, pengganda, yang kita sampai pada akhirnya, akan, dalam makna, akan jauh dari NOS dan penggunaannya akan menjadi tidak rasional.

Contoh 4.

Tentukan pecahan penyebut keseluruhan 1 x 2 · y, 5 x + 1 dan y - 3 x 5 · y.

Keputusan

Dalam kes ini, kita tidak perlu meletakkan tanda-tanda pecahan awal pada pengganda. Oleh itu, mari kita mula memohon algoritma dari penyediaan kerja.

Dari penyebut fraksi pertama mengambil pengganda x 2 · y, dari denominator pengganda pecahan kedua X + 1.. Kami mendapat sekeping x 2 · y · (x + 1).

Fraksi ketiga renjer boleh memberi kita pengganda x 5 · y, Bagaimanapun, dalam yang telah disusun sebelum ini, sudah ada pengganda x 2. dan y.. Akaun itu, tambah lagi x 5 - 2 \u003d x 3. Kami mendapat sekeping x 2 · y · (x + 1) · x 3yang boleh dibawa ke fikiran x 5 · Y · (x + 1). Ini akan menjadi pecahan algebra hidung kami.

Jawab: x 5 · Y · (x + 1).

Sekarang pertimbangkan contoh tugas apabila terdapat faktor angka integer dalam penyebut fraksi algebra. Dalam kes sedemikian, kami juga bertindak atas algoritma, pra-meletakkan keseluruhan faktor berangka menjadi faktor mudah.

Contoh 5.

Cari penyebut keseluruhan 1 12 · X dan 1 90 · X 2.

Keputusan

Mengisytiharkan nombor dalam penyebut fraksi pada pengganda mudah, kita memperoleh 1 2 2 · 3 · x dan 1 2 · 3 2 · 5 · x 2. Sekarang kita boleh pergi ke penyusunan penyebut biasa. Untuk ini, dari penyebut pecahan pertama, ambil kerja 2 2 · 3 · X dan tambah pengganda untuknya 3, 5 dan X. Dari denominator, pecahan kedua. Menerima 2 2 · 3 · X · 3 · 5 · X \u003d 180 · x 2. Ini adalah penyebut keseluruhan kami.

Jawab: 180 · x 2.

Jika anda berhati-hati melihat hasil dua contoh yang disassembled, maka anda dapat melihat bahawa penyebut biasa mengandungi semua faktor yang terdapat dalam ekspansi penyebut, dan jika pengganda boleh didapati dalam beberapa penyebut, ia diambil dengan yang terbesar dari Petunjuk ijazah yang sedia ada. Dan jika terdapat koefisien integer dalam denominizers, maka dalam penyebut keseluruhan terdapat faktor berangka yang sama dengan yang paling kecil yang terbukti dalam koefisien angka ini.

Contoh 6.

Dalam DenoMinarian Kedua-dua Fraksi Algebraic 1 12 · X dan 1 90 · X 2 Terdapat pengganda X.. Dalam kes kedua, pengganda X didirikan ke dalam persegi. Untuk menyusun penyebut biasa, pengganda ini, kita perlu mengambil tahap yang paling besar, iaitu. x 2.. Tiada pengganda lain dengan pembolehubah. Kadar angka keseluruhan pecahan sumber 12 dan 90 dan yang paling kecil mereka biasa 180 . Ternyata penyebut biasa yang dikehendaki mempunyai bentuk 180 · x 2.

Sekarang kita boleh menulis algoritma lain untuk mencari faktor umum fraksi algebra. Untuk melakukan ini, kami:

• buka kunci penyebut semua pecahan pada pengganda;
• kami menyusun produk semua faktor surat (jika terdapat pengganda dalam beberapa penguraian, kami mengambil pilihan dengan penunjuk terbesar ijazah);
• tambah koefisien penguraian numerik NOC ke produk yang diperolehi.

Algoritma di atas adalah bersamaan, jadi anda boleh menggunakan dalam menyelesaikan tugas yang boleh anda gunakan mana-mana daripada mereka. Adalah penting untuk memberi perhatian kepada butirannya.

Terdapat kes apabila pengganda biasa dalam penyebut fraksi boleh tidak kelihatan untuk koefisien berangka. Adalah dinasihatkan untuk pertama kali mengambil pekali berangka dengan ijazah senior pembolehubah untuk kurungan dalam setiap pengganda yang terdapat di dalam penyebut.

Contoh 7.

Apa penyebut biasa mempunyai pecahan 3 5 - X dan 5 - X · Y 2 2 · X - 10.

Keputusan

Dalam kes pertama, kurungan mesti dibuat tolak satu. Kami mendapat 3 - X - 5. Kami melipatgandakan pengangka dan penyebut untuk - 1 untuk menghilangkan minus di dalam penyebut: - 3 x - 5.

Dalam kes kedua, pendakap mengambil dua. Ini membolehkan kami mendapatkan pecahan 5 - X · Y 2 2 · X - 5.

Jelas sekali, penyebut umum Fraksi Algebraic ini - 3 X - 5 dan 5 - X · Y 2 2 · X - 5 adalah 2 · (X - 5).

Jawab: 2 · (X - 5).

Data dalam keadaan masalah troba mungkin mempunyai pekali fraksional. Dalam kes ini, adalah perlu untuk terlebih dahulu menyingkirkan pekali fraksional dengan mendarabkan pengangka dan penyebut untuk nombor tertentu.

Contoh 8.

Memudahkan fraksi algebra 1 2 · X + 1 1 14 · X 2 + 1 7 dan - 2 2 3 · X 2 + 1 3, selepas itu mereka mendefinisikan penyebut biasa mereka.

Keputusan

Menghapuskan pekali fraksional, mendarabkan pengangka dan penyebut dalam kes pertama dengan 14, dalam kes kedua hingga 3. Kita mendapatkan:

1 2 · X + 1 1 14 · 1 2 · X + 1 14 · 1 14 · X 2 + 1 7 \u003d 7 · X + 1 x 2 + 2 dan - 2 2 3 · X 2 + 1 1 3 \u003d 3 · 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 \u003d - 6 2 · x 2 + 4 \u003d - 6 2 · x 2 + 2.

Selepas transformasi dilakukan, ia menjadi jelas bahawa denominator umum adalah 2 · (x 2 + 2).

Jawab: 2 · (x 2 + 2).

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila pilih dan tekan Ctrl + ENTER

Nombor berganda adalah nombor yang dibahagikan kepada nombor yang diberikan tanpa residu. Kumpulan nombor yang paling kecil (NOC) adalah nombor terkecil yang dibahagikan tanpa residu untuk setiap bilangan kumpulan. Untuk mencari pelbagai yang paling kecil, anda perlu mencari pengganda mudah nombor-nombor ini. NOC juga boleh dikira menggunakan beberapa kaedah lain yang boleh digunakan untuk kumpulan dua atau lebih nombor.

Langkah-langkah

Beberapa nombor berganda

Lihat data nombor itu. Kaedah yang diterangkan di sini adalah lebih baik untuk memohon apabila dua nombor diberikan, masing-masing adalah kurang dari 10. Jika jumlah besar diberikan, gunakan kaedah lain.

• Sebagai contoh, cari nombor berbilang yang paling kecil 5 dan 8. Ini adalah nombor yang kecil, jadi kaedah ini boleh digunakan.

1. Nombor berganda adalah nombor yang dibahagikan kepada nombor yang diberikan tanpa residu. Nombor berbilang boleh dilihat dalam jadual pendaraban ..

   • Sebagai contoh, nombor yang berbilang 5 adalah: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Tulis beberapa nombor yang berbilang nombor pertama. Lakukan di bawah berbilang nombor nombor pertama untuk membandingkan dua baris nombor.

   • Sebagai contoh, nombor yang berganda 8 adalah: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, dan 64.

3. Cari nombor terkecil yang terdapat dalam kedua-dua baris nombor berganda. Anda mungkin perlu menulis baris lama untuk mencari nombor untuk mencari jumlah nombor. Nombor terkecil yang terdapat dalam kedua-dua baris pelbagai nombor adalah yang paling kecil.

   • Sebagai contoh, nombor terkecil yang terdapat dalam baris pelbagai nombor 5 dan 8 adalah nombor 40. Oleh itu, 40 adalah jumlah terkecil banyak nombor 5 dan 8.

   Penguraian faktor mudah

   1. Lihat data nombor itu. Kaedah yang diterangkan di sini adalah lebih baik untuk memohon apabila dua nombor diberikan, masing-masing adalah lebih daripada 10. Jika nombor yang lebih kecil diberikan, gunakan kaedah lain.

      • Sebagai contoh, cari nombor berganda umum terkecil 20 dan 84. Setiap nombor adalah lebih besar daripada 10, jadi kaedah ini boleh digunakan.

   2. Sebarkan nombor pertama kepada faktor mudah. Iaitu, anda perlu mencari nombor mudah seperti itu, apabila mendarab yang nombor ini akan berubah. Mencari pengganda mudah, tuliskannya dalam bentuk kesamarataan.

      • Sebagai contoh, 2 × 10 \u003d 20 (\\ DisplayStyle (\\ MathBF (2)) \\ kali 10 \u003d 20) dan 2 × 5 \u003d 10 (\\ DisplayStyle (\\ MathBf (2)) \\ kali (\\ mathbf (5)) \u003d 10). Dengan cara ini, faktor mudah Nombor 20 adalah nombor 2, 2 dan 5. merekodkannya sebagai ungkapan :.

   3. Sebarkan nombor kedua pada faktor mudah. Lakukan dengan cara yang sama seperti anda meletakkan nombor pertama kepada pengganda, iaitu, mencari nombor mudah seperti itu, dengan melipatgandakan nombor ini.

      • Sebagai contoh, 2 × 42 \u003d 84 (\\ DisplayStyle (\\ MathBF (2)) \\ kali 42 \u003d 84), 7 × 6 \u003d 42 (\\ DisplayStyle (\\ MathBf (7)) \\ Times 6 \u003d 42) dan 3 × 2 \u003d 6 (\\ DisplayStyle (\\ MathBF (3)) \\ kali (\\ mathbf (2)) \u003d 6). Oleh itu, pengganda mudah dari nombor 84 adalah nombor 2, 7, 3 dan 2. merekodkannya sebagai ungkapan :.

   4. Tuliskan pengganda yang biasa untuk kedua-dua nombor. Tuliskan pengganda sedemikian dalam bentuk operasi pendaraban. Sebagai setiap rekod pengganda, lompat dalam kedua-dua ungkapan (ungkapan yang menggambarkan penguraian nombor kepada pengganda mudah).

      • Sebagai contoh, biasa bagi kedua-dua nombor adalah pengganda 2, jadi tulis 2 × (\\ DisplayStyle 2 \\ kali) Dan menyeberang 2 dalam kedua-dua ungkapan.
      • Biasa untuk kedua-dua nombor adalah pengganda lain 2, jadi tulis 2 × 2 (\\ DisplayStyle 2 \\ times 2) Dan menyeberangi kedua 2 dalam kedua-dua ungkapan.

   5. Tambah baki pengganda ke operasi pendaraban. Ini adalah pengganda yang tidak diseberang dalam kedua-dua ungkapan, iaitu, kesalahan yang tidak biasa dengan kedua-dua nombor.

      • Sebagai contoh, dalam ungkapan 20 \u003d 2 × 2 × 5 (\\ DisplayStyle 20 \u003d 2 \\ times 2 \\ times 5) Dihancurkan kedua-dua Two (2), kerana mereka adalah faktor yang sama. Oleh itu, multiplier 5 tidak akan menyeberang, oleh itu, pendaraban direkodkan seperti berikut: 2 × 2 × 5 (\\ DisplayStyle 2 \\ times 2 \\ times 5)
      • Dalam ungkapan 84 \u003d 2 × 7 × 3 × 2 (\\ DisplayStyle 84 \u003d 2 \\ times 7 \\ times 3 \\ times 2) Juga menyeberang kedua-dua kembar (2). Multipliers 7 dan 3 tidak diseberang, jadi operasi pendaraban direkodkan: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\\ DisplayStyle 2 \\ times 2 \\ times 5 \\ times 7 \\ times 3).

   6. Kirakan pelbagai yang paling kecil. Untuk melakukan ini, kalikan nombor dalam operasi pendaraban yang direkodkan.

      • Sebagai contoh, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 \u003d 420 (\\ DisplayStyle 2 \\ times 2 \\ times 5 \\ times 7 \\ times 3 \u003d 420). Oleh itu, 20 dan 84 keseluruhan yang paling kecil adalah 420.

   Mencari pembahagi biasa.

   1. Lukis grid untuk bermain di Noliki Cross. Mesh sedemikian adalah dua baris lurus selari, yang bersilang (pada sudut yang betul) dengan dua yang lain selari. Oleh itu, terdapat tiga baris dan tiga lajur (grid sangat mirip dengan ikon #). Tulis nombor pertama dalam baris pertama dan lajur kedua. Tulis nombor kedua dalam baris pertama dan lajur ketiga.

      • Sebagai contoh, cari nombor berganda keseluruhan yang paling kecil 18 dan 30. Nombor 18 Tulis dalam baris pertama dan lajur kedua, dan tulis nombor 30 dalam baris pertama dan lajur ketiga.

   2. Cari pembahagi yang biasa untuk kedua-dua nombor. Tuliskannya di baris pertama dan lajur pertama. Adalah lebih baik untuk mencari pembahagi mudah, tetapi ini bukan prasyarat.

      • Sebagai contoh, 18 dan 30 adalah nombor, oleh itu pembahagi biasa mereka akan menjadi nombor 2. Oleh itu, tulis 2 dalam baris pertama dan lajur pertama.

   3. Bahagikan setiap nombor pada pembahagi pertama. Masing-masing direkodkan di bawah nombor yang sesuai. Swasta adalah hasil daripada membahagikan dua nombor.

      • Sebagai contoh, 18 ÷ 2 \u003d 9 (\\ DisplayStyle 18 \\ Div 2 \u003d 9)Oleh itu, tulis 9 di bawah 18 tahun.
      • 30 ÷ 2 \u003d 15 (\\ DisplayStyle 30 \\ Div 2 \u003d 15)Oleh itu, tulis 15 di bawah 30 tahun.

   4. Cari pembahagi yang biasa untuk kedua-dua peribadi. Jika tidak ada pembahagi sedemikian, langkau dua langkah berikut. Jika tidak, pembahagi akan menulis di baris kedua dan lajur pertama.

      • Sebagai contoh, 9 dan 15 dibahagikan kepada 3, jadi tulis 3 dalam baris kedua dan lajur pertama.

   5. Bahagikan setiap persendirian di pembahagi kedua. Setiap hasil bahagian dicatatkan di bawah swasta yang sesuai.

      • Sebagai contoh, 9 ÷ 3 \u003d 3 (\\ DisplayStyle 9 \\ Div 3 \u003d 3)Oleh itu, tulis 3 di bawah 9 tahun.
      • 15 ÷ 3 \u003d 5 (\\ DisplayStyle 15 \\ Div 3 \u003d 5)Oleh itu, tulis 5 di bawah 15 tahun.

   6. Sekiranya perlu, tambah grid dengan sel tambahan. Ulangi tindakan yang dijelaskan sehingga orang persendirian tidak akan mempunyai pembahagi biasa.

   7. Nombor bulatan dalam lajur pertama dan baris terakhir grid. Kemudian nombor nombor yang dipilih sebagai operasi pendaraban.

      • Sebagai contoh, nombor 2 dan 3 berada dalam lajur pertama, dan nombor 3 dan 5 berada di baris terakhir, jadi operasi pendaraban direkodkan seperti berikut: 2 × 3 × 3 × 5 (\\ DisplayStyle 2 \\ times 3 \\ times 3 \\ times 5).

   8. Cari hasil pendaraban nombor. Oleh itu, anda akan mengira pelbagai data yang paling kecil dari dua nombor nombor.

      • Sebagai contoh, 2 × 3 × 3 × 5 \u003d 90 (\\ DisplayStyle 2 \\ times 3 \\ times 3 \\ times 5 \u003d 90). Oleh itu, jumlah terkecil 20 dan 30 adalah 90.

   Algoritma Euclida.

   1. Ingat istilah yang berkaitan dengan operasi bahagian. Delimi adalah nombor yang dibahagikan. Pembahagi adalah nombor yang mereka bahagikan. Swasta adalah hasil daripada membahagikan dua nombor. Residu adalah nombor yang tinggal apabila membahagikan dua nombor.

      • Sebagai contoh, dalam ungkapan 15 ÷ 6 \u003d 2 (\\ DisplayStyle 15 \\ Div 6 \u003d 2) Ost. 3:
        15 - Ini boleh dibahagikan
        6 adalah pembahagi
        2 adalah peribadi
        3 adalah residu.

Divisel biasa yang paling besar

Definisi 2.

Sekiranya nombor semulajadi dibahagikan kepada nombor semulajadi $ B $, maka $ B $ dipanggil pembahagi nombor $ A $, dan nombor $ A $ dipanggil pelbagai $ B $.

Biarkan $ A $ dan $ B $ -Nutral nombor. Nombor $ C $ dipanggil pembahagi biasa dan untuk $ A $ dan untuk $ B $.

Banyak pembahagi umum $ A $ dan $ B $ tentu saja, kerana tiada seorang pun daripada pembahagi ini boleh lebih daripada $ A $. Ini bermakna terdapat yang terbesar di kalangan pembahagi ini, yang dipanggil pembahagi terbesar terbesar $ A $ dan $ B $ dan menulis rekod untuk penetapannya:

$ Nod \\ (a; b) \\ atau \\ d \\ (a; b) $

Untuk mencari pembahagi terbesar yang terbesar dua, nombor keperluan:

1. Cari produk nombor yang terdapat di Langkah 2. Nombor yang dihasilkan akan menjadi pembahagi biasa terbesar yang dikehendaki.

Contoh 1.

Cari nod $ 121 $ dan $ 132. $

$ 242 \u003d 2 \\ cdot 11 \\ cdot $ 11

$ 132 \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 11 $

Pilih nombor yang dimasukkan dalam penguraian nombor-nombor ini

$ 242 \u003d 2 \\ cdot 11 \\ cdot $ 11

$ 132 \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 11 $

Cari produk nombor yang terdapat di Langkah 2. Nombor telah diterima dan akan menjadi pembahagi umum terbesar yang terkenal.

$ Node \u003d 2 \\ cdot 11 \u003d 22 $

Contoh 2.

Cari nod homorals $ 63 $ dan $ 81 $.

Kami akan mendapati mengikut algoritma yang dibentangkan. Untuk ini:

Menyebarkan nombor pada pengganda mudah

$ 63 \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot $ 7

$ 81 \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \\ cdot $ 3

Pilih nombor yang dimasukkan dalam penguraian nombor-nombor ini

$ 63 \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot $ 7

$ 81 \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \\ cdot $ 3

Kami akan menemui produk nombor yang terdapat di Langkah 2. Nombor yang diterima dan akan menjadi pembahagi biasa terbesar yang dikehendaki.

$ Node \u003d 3 \\ cdot 3 \u003d 9 $

Adalah mungkin untuk mencari nod dua nombor dengan cara yang berbeza, menggunakan banyak pembahagi nombor.

Contoh 3.

Cari nombor nod $ 48 dan $ 60 $.

Keputusan:

Kami mendapati banyak pembahagi nombor $ 48 $: $ \\ kiri \\ ((\\ RM 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48) \\ right \\) $

Sekarang kita dapati banyak pembahagi nombor $ 60 $: $ \\ \\ Left \\ ((\\ RM 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \\ right \\) $

Kami akan mencari persimpangan set ini: $ \\ LEFT \\ ((\\ RM 1,2,3,4,6,12) \\ betul \\) $ - Set ini akan menentukan set pembahagi umum sebanyak $ 48 dan $ 60 $. Unsur terbesar B. ini ditetapkan Akan ada nombor $ 12 $. Jadi pembahagi biasa terbesar $ 48 $ dan $ 60 $ akan menjadi $ 12 $.

Nok.

Definisi 3.

Nombor semulajadi yang biasa $ A $ dan $ B $ dipanggil nombor semula jadi yang berganda dan $ A $ dan $ B $.

Nombor berbilang biasa dipanggil nombor yang dibahagikan kepada sumber tanpa residu. Sebagai contoh, terbentuk $ 25 dan $ 50 $ 50 oleh pelbagai nombor $ 50,100,150,200 $, dan lain-lain

Yang terkecil daripada jumlah yang banyak akan dipanggil yang paling kecil yang berbilang dan dilambangkan oleh NOC $ (A; B) $ atau K $ (A; B). $

Untuk mencari NOC dua nombor, anda perlukan:

1. Nombor penghantaran untuk faktor mudah
2. Untuk menuliskan pengganda di nombor pertama dan menambah pengganda kepada mereka, yang merupakan sebahagian daripada yang kedua dan tidak pergi ke yang pertama

Contoh 4.

Mencari nombor NOC $ 99 $ dan $ 77 $.

Kami akan mendapati mengikut algoritma yang dibentangkan. Untuk ini

Nombor penghantaran untuk faktor mudah

$ 99 \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot $ 11

Untuk menuliskan pengganda pada yang pertama

tambah pengganda kepada mereka, yang merupakan sebahagian daripada yang kedua dan tidak pergi ke yang pertama

Cari produk nombor yang terdapat di langkah 2. Nombor telah diterima dan akan menjadi yang terkini terkecil

$ Nok \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 11 \\ cdot 7 \u003d $ 693

Menggambar senarai pembahagi nombor sering menjadi pekerjaan yang sangat susah. Terdapat satu cara untuk mencari nod yang dipanggil algoritma Euclidea.

Kenyataan di mana algoritma Euclid diasaskan:

Jika $ A $ dan $ B $ - mewakili, dan $ A \\ VDOTS B $, kemudian $ D (A; B) \u003d B $

Jika $ A $ dan $ B $ - mewakili, seperti itu $ b

Menggunakan $ D (A; B) \u003d D (A-B; B) $, seseorang boleh secara konsisten mengurangkan angka yang sedang dipertimbangkan sehingga kita melakukan sepasang nombor yang salah satu daripada mereka dibahagikan kepada yang lain. Kemudian yang lebih kecil daripada nombor-nombor ini akan menjadi pembahagi umum terbesar yang dikehendaki untuk nombor $ A $ dan $ B $.

Properties mengangguk dan Nok

1. Mana-mana nombor berbilang biasa $ A $ dan $ B $ dibahagikan kepada K $ (A; B) $
2. Jika $ A \\ VDOTS B $, kemudian ke $ (A; B) \u003d A $

Jika untuk $ (A; B) \u003d K $ dan $ M $ -natural nombor, kemudian ke $ (am; bm) \u003d km $

Jika $ D $ - pembahagi kertas untuk $ A $ dan $ B $, kemudian ke ($ \\ frac (a) (d); \\ frac (b) (d) $) \u003d $ \\ \\ frac (k) (d ) $.

Jika $ A \\ VDOTs C $ dan $ B \\ VDOTS C $, kemudian $ \\ FRAC (AB) (C) $ - Jumlah Nombor Pelbagai $ A $ dan $ B $

Untuk sebarang nombor semula jadi $ A $ dan $ B $ Kesamaan dilakukan

$ D (a; b) \\ cdot kepada (a; b) \u003d ab $

Mana-mana pembahagi biasa nombor $ A $ dan $ B $ adalah pembahagi nombor $ D (A; B) $