Bu yazıda eksikleri çözmeye bakacağız ikinci dereceden denklemler.

Ama önce hangi denklemlere ikinci dereceden denir tekrarlayalım. x'in bir değişken olduğu ve a, b ve c katsayılarının bazı sayılar olduğu ve a ≠ 0 olduğu ax 2 + bx + c = 0 formundaki bir denklem denir. kare. Gördüğümüz gibi, x 2'nin katsayısı sıfıra eşit değildir ve bu nedenle x'in veya serbest terimin katsayıları sıfıra eşit olabilir, bu durumda tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem elde ederiz.

Üç tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklem vardır:

1) Eğer b = 0, c ≠ 0 ise ax 2 + c = 0;

2) Eğer b ≠ 0, c = 0 ise ax 2 + bx = 0;

3) Eğer b = 0, c = 0 ise ax 2 = 0 olur.

• Nasıl çözeceğimizi bulalım ax 2 + c = 0 formundaki denklemler.

Denklemi çözmek için serbest terim c'yi denklemin sağ tarafına taşırız, şunu elde ederiz:

balta 2 = ‒s. a ≠ 0 olduğundan denklemin her iki tarafını da a'ya böleriz, o zaman x 2 = ‒c/a olur.

Eğer -с/а > 0 ise denklemin iki kökü vardır

x = ±√(–c/a) .

Eğer -c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Bu tür denklemlerin nasıl çözüleceğini örneklerle anlamaya çalışalım.

Örnek 1. 2x 2 ‒ 32 = 0 denklemini çözün.

Cevap: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Örnek 2. 2x 2 + 8 = 0 denklemini çözün.

Cevap: Denklemin çözümü yoktur.

• Hadi bunu nasıl çözeceğimizi bulalım ax 2 + bx = 0 formundaki denklemler.

ax 2 + bx = 0 denklemini çözmek için çarpanlara ayıralım yani x'i parantezden çıkaralım, x(ax + b) = 0 elde ederiz. Faktörlerden en az biri eşitse çarpım sıfıra eşittir. sıfıra. O halde ya x = 0 ya da ax + b = 0. ax + b = 0 denklemini çözerek ax = - b elde ederiz, dolayısıyla x = - b/a olur. ax 2 + bx = 0 formundaki bir denklemin her zaman iki kökü x 1 = 0 ve x 2 = ‒ b/a'dır. Bu tür denklemlerin çözümünün şemada nasıl göründüğüne bakın.

Bilgimizi belirli bir örnekle pekiştirelim.

Örnek 3. 3x 2 ‒ 12x = 0 denklemini çözün.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 veya 3x – 12 = 0

Cevap: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Üçüncü tip denklemler ax 2 = 0çok basit bir şekilde çözüldü.

Eğer ax 2 = 0 ise x 2 = 0 olur. Denklemin iki eşit kökü vardır: x 1 = 0, x 2 = 0.

Açıklık sağlamak için şemaya bakalım.

Örnek 4'ü çözerken bu tür denklemlerin çok basit bir şekilde çözülebileceğinden emin olalım.

Örnek 4. 7x 2 = 0 denklemini çözün.

Cevap: x 1, 2 = 0.

Ne tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi çözmemiz gerektiği her zaman hemen belli olmaz. Aşağıdaki örneği düşünün.

Örnek 5. Denklemi çöz

Denklemin her iki tarafını da ortak bir paydayla yani 30 ile çarpalım.

Hadi keselim

5(5x2 + 9) – 6(4x2 – 9) = 90.

Parantezleri açalım

25x2 + 45 – 24x2 + 54 = 90.

Benzerini verelim

99'u denklemin sol tarafından sağa taşıyalım, işaretini ters çevirelim

Cevap: Kök yok.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğüne baktık. Umarım artık bu tür görevlerde herhangi bir zorluk yaşamazsınız. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemin türünü belirlerken dikkatli olun, o zaman başarılı olursunuz.

Bu konuyla ilgili sorularınız varsa derslerime kaydolun, ortaya çıkan sorunları birlikte çözelim.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

“Denklemleri Çözme” konusuna devam ederek bu makaledeki materyal size ikinci dereceden denklemleri tanıtacaktır.

Her şeyi ayrıntılı olarak ele alalım: ikinci dereceden denklemin özü ve kaydı, ilgili terimleri tanımlayın, eksik ve çözüm şemasını analiz edin tam denklemler Kök ve diskriminant formülünü tanıyacağız, kökler ve katsayılar arasında bağlantılar kuracağız ve elbette pratik örneklerle görsel bir çözüm sunacağız.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İkinci dereceden denklem, türleri

İkinci dereceden denklemşu şekilde yazılan bir denklemdir a x 2 + b x + c = 0, Nerede X– değişken, a , b ve C– bazı sayılar, ancak A sıfır değil.

İkinci dereceden denklemlere genellikle ikinci dereceden denklemler de denir, çünkü ikinci dereceden denklem özünde ikinci derecenin cebirsel bir denklemidir.

Açıklamak için bir örnek verelim verilen tanım: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 vb. Bunlar ikinci dereceden denklemlerdir.

Tanım 2

a, b ve sayıları C ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır a x 2 + b x + c = 0, katsayı ise A x 2'de birinci veya kıdemli veya katsayı denir, b - ikinci katsayı veya katsayı X, A Cücretsiz üye denir.

Örneğin ikinci dereceden denklemde 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 baş katsayı 6, ikinci katsayı ise − 2 ve serbest terim eşittir − 11 . Katsayılar yapılırken şuna dikkat edelim. B ve/veya c negatifse, o zaman şunu kullanın: kısa biçim gibi kayıtlar 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, Olumsuz 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Bu hususu da açıklığa kavuşturalım: eğer katsayılar A ve/veya B eşit 1 veya − 1 , o zaman belirtilen sayısal katsayıları yazmanın özellikleriyle açıklanan ikinci dereceden denklemin yazılmasında açık bir rol alamayabilirler. Örneğin ikinci dereceden denklemde y 2 - y + 7 = 0 baş katsayı 1 ve ikinci katsayı − 1 .

İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler

İlk katsayının değerine göre ikinci dereceden denklemler azaltılmış ve azaltılmamış olarak ayrılır.

Tanım 3

Azaltılmış ikinci dereceden denklem baş katsayısının 1 olduğu ikinci dereceden bir denklemdir. Baş katsayının diğer değerleri için ikinci dereceden denklem azaltılmaz.

Örnekler verelim: Her birinin baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden denklemler x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 azaltılır.

9 x 2 - x - 2 = 0- birinci katsayının farklı olduğu indirgenmemiş ikinci dereceden denklem 1 .

İndirgenmemiş herhangi bir ikinci dereceden denklem, her iki tarafı da birinci katsayıya bölerek (eşdeğer dönüşüm) indirgenmiş bir denkleme dönüştürülebilir. Dönüştürülen denklem verilenle aynı köklere sahip olacaktır. indirgenmemiş denklem ya da hiç kökleri yoktur.

Düşünce somut örnek indirgenmemiş ikinci dereceden denklemden indirgenmiş denkleme geçişi açıkça göstermemize izin verecektir.

Örnek 1

Denklem verildiğinde 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Orijinal denklemi indirgenmiş forma dönüştürmek gerekir.

Çözüm

Yukarıdaki şemaya göre, orijinal denklemin her iki tarafını da baş katsayı 6'ya bölüyoruz. Sonra şunu elde ederiz: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3 ve bu şununla aynıdır: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 ve ayrıca: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Buradan: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Böylece verilene eşdeğer bir denklem elde edilir.

Cevap: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Tam ve eksik ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden denklemin tanımına dönelim. İçinde şunu belirttik bir ≠ 0. Denklem için benzer bir koşul gereklidir a x 2 + b x + c = 0 tam olarak kareydi, çünkü bir = 0 esasen şuna dönüşür: doğrusal denklem b x + c = 0.

Katsayıların olduğu durumda B Ve C sıfıra eşitse (ki bu hem bireysel hem de ortaklaşa mümkündür), ikinci dereceden denklem eksik olarak adlandırılır.

Tanım 4

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem- böyle ikinci dereceden bir denklem a x 2 + b x + c = 0, burada katsayılardan en az biri B Ve C(veya her ikisi de) sıfırdır.

Tam ikinci dereceden denklem– tüm sayısal katsayıların sıfıra eşit olmadığı ikinci dereceden bir denklem.

İkinci dereceden denklem türlerine neden tam olarak bu isimlerin verildiğini tartışalım.

b = 0 olduğunda ikinci dereceden denklem şu şekli alır: a x 2 + 0 x + c = 0, aynı olan a x 2 + c = 0. Şu tarihte: c = 0 ikinci dereceden denklem şu şekilde yazılır: a x 2 + b x + 0 = 0, eşdeğer olan a x 2 + b x = 0. Şu tarihte: b = 0 Ve c = 0 denklem şu şekli alacaktır a x 2 = 0. Elde ettiğimiz denklemler ikinci dereceden denklemin tamamından farklıdır çünkü sol tarafları x değişkenli bir terim, bir serbest terim veya her ikisini birden içermez. Aslında bu gerçek, bu tür bir denklemin eksik adını vermiştir.

Örneğin, x 2 + 3 x + 4 = 0 ve − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 tam ikinci dereceden denklemlerdir; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme

Yukarıda verilen tanım, aşağıdaki tamamlanmamış ikinci dereceden denklem türlerini ayırt etmeyi mümkün kılar:

• a x 2 = 0, bu denklem katsayılara karşılık gelir b = 0 ve c = 0;
• a · x 2 + c = 0, b = 0'da;
• c = 0'da a · x 2 + b · x = 0.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin her türünün çözümünü sırayla ele alalım.

Denklemin çözümü a x 2 =0

Yukarıda belirtildiği gibi bu denklem katsayılara karşılık gelir. B Ve C, sıfıra eşit. Denklem a x 2 = 0 eşdeğer bir denkleme dönüştürülebilir x2 = 0 orijinal denklemin her iki tarafını da sayıya bölerek elde ederiz A, sıfıra eşit değil. Açık olan gerçek şu ki, denklemin kökü x2 = 0 bu sıfır çünkü 0 2 = 0 . Bu denklemin derecenin özellikleriyle açıklanabilecek başka kökleri yoktur: herhangi bir sayı için P, sıfıra eşit değil, eşitsizlik doğrudur p 2 > 0, bundan şu sonuç çıkıyor: p ≠ 0 eşitlik p2 = 0 asla ulaşılamayacak.

Tanım 5

Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 = 0 için tek bir kök vardır x = 0.

Örnek 2

Örneğin tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözelim − 3 x 2 = 0. Denklemin eşdeğeridir x2 = 0, onun tek kökü x = 0, bu durumda orijinal denklemin tek bir kökü vardır - sıfır.

Kısaca çözüm şu şekilde yazılır:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

a x 2 + c = 0 denklemini çözme

Sırada b = 0, c ≠ 0 olan tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü var, yani formdaki denklemler a x 2 + c = 0. Bir terimi denklemin bir tarafından diğer tarafına taşıyarak, işaretini diğer tarafa geçirerek ve denklemin her iki tarafını da sıfıra eşit olmayan bir sayıya bölerek bu denklemi dönüştürelim:

• aktarma C denklemi veren sağ tarafa a x 2 = − c;
• Denklemin her iki tarafını da şuna böl: A x = - c a elde ederiz.

Dönüşümlerimiz eşdeğerdir; buna göre ortaya çıkan denklem de orijinaline eşdeğerdir ve bu durum denklemin kökleri hakkında sonuçlar çıkarmayı mümkün kılar. Değerlerin ne olduğundan A Ve C- c a ifadesinin değeri şunlara bağlıdır: eksi işaretine sahip olabilir (örneğin, eğer bir = 1 Ve c = 2, o zaman - c a = - 2 1 = - 2) veya artı işareti (örneğin, eğer a = − 2 Ve c = 6, o zaman - ca = - 6 - 2 = 3); sıfır değil çünkü c ≠ 0. Durumlar üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım - c a< 0 и - c a > 0 .

Bu durumda - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P p 2 = - c a eşitliği doğru olamaz.

- c a > 0 olduğunda her şey farklıdır: karekökü hatırlayın ve x 2 = - c a denkleminin kökünün - c a sayısı olacağı açık hale gelecektir, çünkü - c a 2 = - c a. - - c a sayısının aynı zamanda x 2 = - c a denkleminin de kökü olduğunu anlamak zor değil: gerçekten de - - c a 2 = - c a.

Denklemin başka kökleri olmayacak. Bunu çelişki yöntemini kullanarak gösterebiliriz. Başlangıç ​​olarak yukarıda bulunan kök notasyonlarını şu şekilde tanımlayalım: x 1 Ve - x 1. x 2 = - c a denkleminin de bir kökü olduğunu varsayalım. x 2 köklerden farklı olan x 1 Ve - x 1. Bunu denklemde yerine koyarak biliyoruz X köklerini kullanarak denklemi adil bir sayısal eşitliğe dönüştürüyoruz.

İçin x 1 Ve - x 1şunu yazıyoruz: x 1 2 = - c a ve için x 2- x 2 2 = - c a . Sayısal eşitliklerin özelliklerine dayanarak, bir doğru eşitlik terimini diğerinden terim bazında çıkarırız, bu bize şunu verir: x 1 2 - x 2 2 = 0. Son eşitliği şu şekilde yeniden yazmak için sayılarla yapılan işlemlerin özelliklerini kullanırız: (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. İki sayının çarpımının sıfır olduğu ancak ve ancak sayılardan en az birinin sıfır olduğu bilinmektedir. Yukarıdakilerden şu sonuç çıkıyor x 1 - x 2 = 0 ve/veya x 1 + x 2 = 0, bu aynı x 2 = x 1 ve/veya x 2 = - x 1. Açık bir çelişki ortaya çıktı, çünkü ilk başta denklemin kökünün şu şekilde olduğu kabul edildi: x 2 farklı x 1 Ve - x 1. Böylece denklemin x = - c a ve x = - - c a dışında kökleri olmadığını kanıtlamış olduk.

Yukarıdaki tüm argümanları özetleyelim.

Tanım 6

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 + c = 0 x 2 = - c a denklemine eşdeğerdir, bu:

• - c a'da kökleri olmayacak< 0 ;
• - c a > 0 için x = - c a ve x = - - c a olmak üzere iki kökü olacaktır.

Denklemlerin çözümüne örnekler verelim a x 2 + c = 0.

Örnek 3

İkinci dereceden bir denklem verildiğinde 9 x 2 + 7 = 0. Bir çözüm bulmak gerekiyor.

Çözüm

Serbest terimi denklemin sağ tarafına taşıyalım, o zaman denklem şu şekli alacaktır: 9 x 2 = − 7.
Ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da şuna bölelim: 9 x 2 = - 7 9'a ulaşırız. Sağ tarafta eksi işaretli bir sayı görüyoruz, bu şu anlama geliyor: Verilen denklemin kökleri yoktur. Daha sonra orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklem 9 x 2 + 7 = 0 kökleri olmayacak.

Cevap: denklem 9 x 2 + 7 = 0 kökleri yoktur.

Örnek 4

Denklemin çözülmesi gerekiyor − x 2 + 36 = 0.

Çözüm

36'yı sağ tarafa taşıyalım: − x 2 = − 36.
Her iki parçayı da ikiye bölelim − 1 , alıyoruz x 2 = 36. Sağ tarafta - pozitif sayı buradan şu sonuca varabiliriz x = 36 veya x = -36 .
Kökü çıkaralım ve nihai sonucu yazalım: tamamlanmamış ikinci dereceden denklem − x 2 + 36 = 0 iki kökü var x=6 veya x = − 6.

Cevap: x=6 veya x = − 6.

Denklemin çözümü a x 2 +b x=0

Üçüncü tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri analiz edelim: c = 0. Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin çözümünü bulmak için a x 2 + b x = 0çarpanlara ayırma yöntemini kullanacağız. Denklemin sol tarafındaki polinomu parantezlerin ortak çarpanını çıkararak çarpanlarına ayıralım. X. Bu adım, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklemin eşdeğerine dönüştürülmesini mümkün kılacaktır. x (a x + b) = 0. Ve bu denklem de bir dizi denkleme eşdeğerdir x = 0 Ve a x + b = 0. Denklem a x + b = 0 doğrusal ve kökü: x = − b bir.

Tanım 7

Böylece, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 + b x = 0 iki kökü olacak x = 0 Ve x = − b bir.

Bir örnekle konuyu pekiştirelim.

Örnek 5

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 denklemine bir çözüm bulmak gerekiyor.

Çözüm

Onu çıkaracağız X parantezlerin dışında x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 denklemini elde ederiz. Bu denklem denklemlere eşdeğerdir x = 0 ve 2 3 x - 2 2 7 = 0. Şimdi ortaya çıkan doğrusal denklemi çözmelisiniz: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Denklemin çözümünü kısaca aşağıdaki gibi yazın:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 veya 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 veya x = 3 3 7

Cevap: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formül

İkinci dereceden denklemlere çözüm bulmak için bir kök formül vardır:

Tanım 8

x = - b ± D 2 · a, burada D = b 2 − 4 a c– İkinci dereceden bir denklemin sözde diskriminantı.

x = - b ± D 2 · a yazmak aslında x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a anlamına gelir.

Bu formülün nasıl elde edildiğini ve nasıl uygulanacağını anlamak faydalı olacaktır.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi

İkinci dereceden bir denklemi çözme göreviyle karşı karşıya kalalım a x 2 + b x + c = 0. Birkaç eşdeğer dönüşüm gerçekleştirelim:

• Denklemin her iki tarafını bir sayıya bölelim A sıfırdan farklı olarak aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde ederiz: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Ortaya çıkan denklemin sol tarafındaki karenin tamamını seçelim:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca bir
  Bundan sonra denklem şu formu alacaktır: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Artık son iki terimi sağ tarafa aktarmak, işareti ters yönde değiştirmek mümkündür, bundan sonra şunu elde ederiz: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Son olarak son eşitliğin sağ tarafında yazan ifadeyi dönüştürüyoruz:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Böylece orijinal denklemin eşdeğeri olan x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 denklemine ulaşırız. a x 2 + b x + c = 0.

Bu tür denklemlerin çözümünü önceki paragraflarda inceledik (tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü). Halihazırda kazanılan deneyim, x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 denkleminin köklerine ilişkin bir sonuç çıkarmayı mümkün kılmaktadır:

• b 2 - 4 a c 4 a 2 ile< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 olduğunda denklem x + b 2 · a 2 = 0 olur, bu durumda x + b 2 · a = 0 olur.

Buradan tek kök x = - b 2 · a açıktır;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 için aşağıdakiler doğru olacaktır: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 veya x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 veya x = - b 2 · a - b 2 - 4 ile aynıdır · a · c 4 · a 2 , yani. Denklemin iki kökü vardır.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 denkleminin köklerinin varlığının veya yokluğunun (ve dolayısıyla orijinal denklemin) b ifadesinin işaretine bağlı olduğu sonucuna varmak mümkündür. Sağ tarafta 2 - 4 · a · c 4 · a 2 yazılı. Ve bu ifadenin işareti payın (payda) işareti ile verilmektedir. 4 a 2 her zaman pozitif olacaktır), yani ifadenin işareti b 2 − 4 a c. Bu ifade b 2 − 4 a c isim verilir - ikinci dereceden denklemin diskriminantı ve D harfi onun tanımı olarak tanımlanır. Burada diskriminantın özünü yazabilirsiniz - değerine ve işaretine göre, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olup olmayacağı ve eğer öyleyse, kök sayısının ne olduğu - bir veya iki - sonucuna varabilirler.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 denklemine dönelim. Diskriminant gösterimini kullanarak yeniden yazalım: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Sonuçlarımızı tekrar formüle edelim:

Tanım 9

• en D< 0 denklemin gerçek kökleri yoktur;
• en D=0 denklemin tek bir kökü var x = - b 2 · a ;
• en D > 0 denklemin iki kökü vardır: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 veya x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Radikallerin özelliklerine göre bu kökler şu şekilde yazılabilir: x = - b 2 · a + D 2 · a veya - b 2 · a - D 2 · a. Ve modülleri genişletip kesirleri azalttığımızda ortak payda, şunu elde ederiz: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Dolayısıyla, akıl yürütmemizin sonucu, ikinci dereceden bir denklemin köklerine ilişkin formülün türetilmesiydi:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D formülle hesaplanır D = b 2 − 4 a c.

Bu formüller, diskriminant sıfırdan büyük olduğunda her iki gerçek kökün belirlenmesini mümkün kılar. Diskriminant sıfır olduğunda, her iki formülün uygulanması aynı kökü verecektir: tek çözüm ikinci dereceden denklem. Diskriminantın negatif olması durumunda ikinci dereceden bir denklemin kökü için formülü kullanmaya çalışırsak, çıkarma ihtiyacıyla karşı karşıya kalacağız. karekök itibaren negatif sayı Bu da bizi gerçek sayıların ötesine taşıyacak. Negatif bir diskriminantla, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olmayacaktır, ancak elde ettiğimiz aynı kök formülleriyle belirlenen bir çift karmaşık eşlenik kök mümkündür.

Kök formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

İkinci dereceden bir denklemi hemen kök formülünü kullanarak çözmek mümkündür, ancak bu genellikle karmaşık köklerin bulunması gerektiğinde yapılır.

Çoğu durumda, bu genellikle karmaşık değil, ikinci dereceden bir denklemin gerçek köklerini aramak anlamına gelir. Bu durumda, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formülleri kullanmadan önce, ilk olarak diskriminantı belirlemek ve bunun negatif olmadığından emin olmak (aksi takdirde denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varırız) ve ardından hesaplamaya devam etmek en uygunudur. köklerin değeri.

Yukarıdaki mantık, ikinci dereceden bir denklemi çözmek için bir algoritma formüle etmeyi mümkün kılar.

Tanım 10

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için a x 2 + b x + c = 0, gerekli:

• formüle göre D = b 2 − 4 a c ayırt edici değeri bulun;
• D'de< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 için, x = - b 2 · a formülünü kullanarak denklemin tek kökünü bulun;
• D > 0 için, x = - b ± D 2 · a formülünü kullanarak ikinci dereceden denklemin iki gerçek kökünü belirleyin.

Diskriminant sıfır olduğunda x = - b ± D 2 · a formülünü kullanabileceğinizi, bunun x = - b 2 · a formülüyle aynı sonucu vereceğini unutmayın.

Örneklere bakalım.

İkinci dereceden denklemleri çözme örnekleri

Örneklere çözüm verelim farklı anlamlar ayrımcı.

Örnek 6

Denklemin köklerini bulmamız gerekiyor x 2 + 2 x - 6 = 0.

Çözüm

İkinci dereceden denklemin sayısal katsayılarını yazalım: a = 1, b = 2 ve c = - 6. Daha sonra algoritmaya göre ilerliyoruz, yani. A, b katsayılarını değiştireceğimiz diskriminantı hesaplamaya başlayalım. Ve C diskriminant formülüne göre: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Böylece D > 0 elde ederiz, bu da orijinal denklemin iki gerçek kökü olacağı anlamına gelir.
Bunları bulmak için x = - b ± D 2 · a kök formülünü kullanırız ve karşılık gelen değerleri değiştirerek şunu elde ederiz: x = - 2 ± 28 2 · 1. Ortaya çıkan ifadeyi kök işaretinden çarpanı çıkarıp sonra kesri azaltarak basitleştirelim:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 veya x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 veya x = - 1 - 7

Cevap: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Örnek 7

İkinci dereceden bir denklemi çözmeniz gerekiyor − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Çözüm

Diskriminantı tanımlayalım: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Diskriminantın bu değeriyle, orijinal denklemin x = - b 2 · a formülüyle belirlenen tek bir kökü olacaktır.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Cevap: x = 3,5.

Örnek 8

Denklemin çözülmesi gerekiyor 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Çözüm

Bu denklemin sayısal katsayıları: a = 5, b = 6 ve c = 2 olacaktır. Diskriminantı bulmak için bu değerleri kullanırız: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Hesaplanan diskriminant negatif olduğundan orijinal ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur.

Görevin karmaşık kökleri belirtmek olması durumunda, karmaşık sayılarla eylemler gerçekleştirerek kök formülünü uygularız:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 veya x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i veya x = - 3 5 - 1 5 · i.

Cevap: gerçek kökler yoktur; karmaşık kökler aşağıdaki gibidir: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

İÇİNDE okul müfredatı Karmaşık köklerin aranması için standart bir gereklilik yoktur, bu nedenle çözüm sırasında diskriminantın negatif olduğu belirlenirse, gerçek köklerin olmadığı cevabı hemen yazılır.

Çift ikinci katsayılar için kök formül

Kök formül x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c), daha kompakt başka bir formül elde etmeyi mümkün kılar ve ikinci dereceden denklemlere x için çift katsayılı çözümler bulmayı mümkün kılar ( veya 2 · n formunda bir katsayı ile, örneğin, 2 3 veya 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Bu formülün nasıl elde edildiğini gösterelim.

İkinci dereceden a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 denklemine bir çözüm bulma göreviyle karşı karşıya kalalım. Algoritmaya göre ilerliyoruz: diskriminantı D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) belirliyoruz ve ardından kök formülü kullanıyoruz:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · ca .

N 2 − a · c ifadesinin D 1 (bazen D " ile gösterilir) olarak gösterilmesine izin verin. Daha sonra, ikinci katsayı 2 · n ile ele alınan ikinci dereceden denklemin kökleri için formül şu şekli alacaktır:

x = - n ± D 1 a, burada D 1 = n 2 − a · c.

D = 4 · D 1 veya D 1 = D 4 olduğunu görmek kolaydır. Başka bir deyişle D 1 diskriminantın dörtte biridir. Açıkçası, D 1'in işareti D'nin işaretiyle aynıdır; bu, D 1'in işaretinin aynı zamanda ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığının veya yokluğunun bir göstergesi olarak da görev yapabileceği anlamına gelir.

Tanım 11

Bu nedenle, ikinci katsayısı 2 n olan ikinci dereceden bir denklemin çözümünü bulmak için şunlar gereklidir:

• D 1 = n 2 − a · c'yi bulun;
• D 1'de< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0 olduğunda, x = - n a formülünü kullanarak denklemin tek kökünü belirleyin;
• D 1 > 0 için x = - n ± D 1 a formülünü kullanarak iki gerçek kökü belirleyin.

Örnek 9

5 x 2 − 6 x − 32 = 0 ikinci dereceden denklemini çözmek gerekir.

Çözüm

Verilen denklemin ikinci katsayısını 2 · (− 3) olarak gösterebiliriz. Daha sonra verilen ikinci dereceden denklemi 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0 olarak yeniden yazıyoruz; burada a = 5, n = − 3 ve c = − 32.

Diskriminantın dördüncü kısmını hesaplayalım: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Ortaya çıkan değer pozitiftir, yani denklemin iki gerçek kökü vardır. Bunları karşılık gelen kök formülünü kullanarak belirleyelim:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 veya x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 veya x = - 2

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için alışılagelmiş formülü kullanarak hesaplamalar yapmak mümkün olabilir, ancak bu durumda çözüm daha külfetli olacaktır.

Cevap: x = 3 1 5 veya x = - 2 .

İkinci dereceden denklemlerin formunun basitleştirilmesi

Bazen orijinal denklemin biçimini optimize etmek mümkündür, bu da köklerin hesaplanması sürecini basitleştirir.

Örneğin, ikinci dereceden denklem 12 x 2 − 4 x − 7 = 0'ın çözümü, 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0'a göre açıkça daha uygundur.

Daha sıklıkla, ikinci dereceden bir denklemin biçiminin basitleştirilmesi, her iki tarafının da belirli bir sayıyla çarpılması veya bölünmesiyle gerçekleştirilir. Örneğin yukarıda, her iki tarafın da 100'e bölünmesiyle elde edilen 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 denkleminin basitleştirilmiş bir temsilini gösterdik.

İkinci dereceden denklemin katsayıları karşılıklı olmadığında böyle bir dönüşüm mümkündür. asal sayılar. Daha sonra genellikle denklemin her iki tarafını da en büyüğüne böleriz. ortak bölen mutlak değerler katsayıları.

Örnek olarak ikinci dereceden denklem olan 12 x 2 − 42 x + 48 = 0'ı kullanıyoruz. Katsayılarının mutlak değerlerinin GCD'sini belirleyelim: OBEB (12, 42, 48) = OBEB(12, 42), 48) = OBEB (6, 48) = 6. Orijinal ikinci dereceden denklemin her iki tarafını da 6'ya bölelim ve eşdeğer ikinci dereceden denklem 2 x 2 − 7 x + 8 = 0'ı elde edelim.

İkinci dereceden bir denklemin her iki tarafını çarparak genellikle kesirli katsayılardan kurtulursunuz. Bu durumda katsayılarının paydalarının en küçük ortak katıyla çarpılırlar. Örneğin, ikinci dereceden denklem 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0'un her bir kısmı LCM (6, 3, 1) = 6 ile çarpılırsa, daha fazla olarak yazılacaktır. basit biçimde x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Son olarak, ikinci dereceden bir denklemin ilk katsayısındaki eksiden neredeyse her zaman, denklemin her bir teriminin işaretini değiştirerek kurtulduğumuzu not ediyoruz; bu, her iki tarafı da -1 ile çarparak (veya bölerek) elde edilir. Örneğin, ikinci dereceden denklem − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0'dan, onun basitleştirilmiş versiyonu olan 2 x 2 + 3 x − 7 = 0'a gidebilirsiniz.

Kökler ve katsayılar arasındaki ilişki

İkinci dereceden denklemlerin kökleri için zaten bildiğimiz formül, x = - b ± D 2 · a, denklemin köklerini sayısal katsayıları aracılığıyla ifade eder. Bu formüle dayanarak kökler ve katsayılar arasındaki diğer bağımlılıkları belirleme olanağına sahibiz.

En ünlü ve uygulanabilir formüller Vieta teoremidir:

x 1 + x 2 = - b a ve x 2 = c a.

Özellikle verilen ikinci dereceden denklem için köklerin toplamı ikinci katsayıdır. karşıt işaret ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir. Örneğin, 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 ikinci dereceden denklemin formuna bakarak, köklerinin toplamının 7 3 ve köklerin çarpımının 22 3 olduğunu hemen belirlemek mümkündür.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir dizi başka bağlantı da bulabilirsiniz. Örneğin ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karelerinin toplamı katsayılar cinsinden ifade edilebilir:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

İkinci dereceden denklemler genellikle fizik ve matematikteki çeşitli problemleri çözerken ortaya çıkar. Bu yazımızda bu eşitliklerin evrensel bir şekilde “ayrımcı yoluyla” nasıl çözülebileceğine bakacağız. Makalede edinilen bilgilerin kullanımına ilişkin örnekler de verilmektedir.

Hangi denklemlerden bahsedeceğiz?

Aşağıdaki şekilde x'in bilinmeyen bir değişken olduğu ve Latince a, b, c sembollerinin bilinen bazı sayıları temsil ettiği bir formül gösterilmektedir.

Bu sembollerin her birine katsayı denir. Gördüğünüz gibi "a" sayısı x kare değişkeninin önünde görünüyor. Bu, temsil edilen ifadenin maksimum kuvvetidir, bu nedenle buna ikinci dereceden denklem denir. Diğer adı sıklıkla kullanılır: ikinci dereceden denklem. a değerinin kendisi bir kare katsayıdır (değişkenin karesi ile birlikte), b doğrusal bir katsayıdır (birinci kuvvete yükseltilen değişkenin yanındadır) ve son olarak c sayısı serbest terimdir.

Yukarıdaki şekilde gösterilen denklem türünün genel bir klasik ikinci dereceden ifade olduğuna dikkat edin. Buna ek olarak b ve c katsayılarının sıfır olabileceği başka ikinci dereceden denklemler de vardır.

Görev, söz konusu eşitliği çözmek için belirlendiğinde, bu, x değişkeninin onu tatmin edecek değerlerinin bulunması gerektiği anlamına gelir. Burada hatırlamanız gereken ilk şey şudur: X'in maksimum derecesi 2 olduğuna göre bu tür ifadelerin 2'den fazla çözümü olamaz. Bu, bir denklemi çözerken onu karşılayan 2 x değeri bulunursa, o zaman x'in yerine geçen 3. sayının olmadığından emin olabileceğiniz anlamına gelir, eşitlik de doğru olacaktır. Matematikte bir denklemin çözümlerine kökleri denir.

İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri

Bu tür denklemleri çözmek, onlar hakkında bazı teorilerin bilinmesini gerektirir. İÇİNDE okul kursu cebirler 4'ü dikkate alır çeşitli yöntemlerçözümler. Bunları listeleyelim:

• çarpanlara ayırma kullanarak;
• tam kare formülünü kullanarak;
• karşılık gelen ikinci dereceden fonksiyonun grafiğini uygulayarak;
• diskriminant denklemini kullanarak.

İlk yöntemin avantajı basitliğidir ancak tüm denklemler için kullanılamaz. İkinci yöntem evrenseldir, ancak biraz hantaldır. Üçüncü yöntem açıklığıyla öne çıkıyor, ancak her zaman uygun ve uygulanabilir değil. Ve son olarak, diskriminant denklemini kullanmak, herhangi bir ikinci dereceden denklemin köklerini bulmanın evrensel ve oldukça basit bir yoludur. Bu nedenle bu yazıda sadece onu ele alacağız.

Denklemin köklerini elde etmek için formül

Hadi dönelim genel görünüm ikinci dereceden denklem. Bunu yazalım: a*x²+ b*x + c =0. “Ayrımcı yoluyla” çözme yöntemini kullanmadan önce eşitliği her zaman yazılı şekline getirmelisiniz. Yani üç terimden oluşmalıdır (ya da b veya c 0 ise daha az).

Örneğin, eğer bir ifade varsa: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², o zaman önce tüm terimlerini eşitliğin bir tarafına taşımalı ve x değişkenini içeren terimleri aynı güçler.

İÇİNDE bu durumda bu işlem şu ifadeye yol açacaktır: -6*x²-4*x+8=0, bu da 6*x²+4*x-8=0 denklemine eşdeğerdir (burada denklemin sol ve sağ taraflarını çarptık) -1 ile eşitlik).

Yukarıdaki örnekte a = 6, b=4, c=-8. Söz konusu eşitliğin tüm terimlerinin her zaman birlikte toplandığına dikkat edin; dolayısıyla "-" işareti görünürse, bu, karşılık gelen katsayının, bu durumda c sayısı gibi, negatif olduğu anlamına gelir.

Bu noktayı inceledikten sonra şimdi ikinci dereceden bir denklemin köklerini elde etmeyi mümkün kılan formülün kendisine geçelim. Aşağıdaki fotoğrafta gösterilene benziyor.

Bu ifadeden de anlaşılacağı üzere iki kök almanızı sağlar (“±” işaretine dikkat edin). Bunu yapmak için b, c ve a katsayılarını yerine koymak yeterlidir.

Ayrımcı kavramı

Önceki paragrafta herhangi bir ikinci dereceden denklemi hızlı bir şekilde çözmenize olanak tanıyan bir formül verildi. Burada radikal ifadeye diskriminant denir, yani D = b²-4*a*c.

Formülün bu kısmı neden vurgulanıyor ve hatta özel isim? Gerçek şu ki, diskriminant denklemin üç katsayısını da tek bir ifadede birleştiriyor. İkinci gerçek, kökler hakkında aşağıdaki listede ifade edilebilecek bilgileri tamamen taşıdığı anlamına gelir:

1. D>0: Eşitliğin her ikisi de reel sayı olan 2 farklı çözümü vardır.
2. D=0: Denklemin tek kökü vardır ve bu bir reel sayıdır.

Ayırt edici belirleme görevi

Diskriminantın nasıl bulunacağına dair basit bir örnek verelim. Şu eşitlik verilsin: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Bunu standart forma getirelim, şunu elde ederiz: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, buradan eşitliğe geliyoruz : -2*x² +2*x-11 = 0. Burada a=-2, b=2, c=-11.

Artık diskriminant için yukarıdaki formülü kullanabilirsiniz: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Ortaya çıkan sayı görevin cevabıdır. Örnekte diskriminant olduğundan sıfırdan az O zaman bu ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olmadığını söyleyebiliriz. Çözümü yalnızca karmaşık türdeki sayılar olacaktır.

Bir ayrımcı aracılığıyla eşitsizliğe bir örnek

Biraz farklı türden problemleri çözelim: -3*x²-6*x+c = 0 eşitliği göz önüne alındığında. D>0 olan c değerlerini bulmak gerekir.

Bu durumda 3 katsayıdan sadece 2'si bilindiğinden diskriminantın kesin değerini hesaplamak mümkün değildir ancak pozitif olduğu bilinmektedir. Eşitsizliği oluştururken son gerçeği kullanıyoruz: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Ortaya çıkan eşitsizliğin çözülmesi şu sonuca yol açar: c>-3.

Ortaya çıkan sayıyı kontrol edelim. Bunu yapmak için 2 durum için D'yi hesaplıyoruz: c=-2 ve c=-4. -2 sayısı elde edilen sonucu (-2>-3) karşılıyorsa, karşılık gelen diskriminant şu değere sahip olacaktır: D = 12>0. Buna karşılık -4 sayısı eşitsizliği (-4) sağlamaz. Dolayısıyla -3'ten büyük olan herhangi bir c sayısı koşulu karşılayacaktır.

Bir denklem çözme örneği

Sadece diskriminantı bulmayı değil aynı zamanda denklemi çözmeyi de içeren bir problem sunalım. -2*x²+7-9*x = 0 eşitliğinin köklerini bulmak gerekir.

Bu örnekte diskriminant sonraki değer: D = 81-4*(-2)*7= 137. O zaman denklemin kökleri şu şekilde belirlenecektir: x = (9±√137)/(-4). Bunlar köklerin tam değerleridir; kökü yaklaşık olarak hesaplarsanız şu sayıları elde edersiniz: x = -5,176 ve x = 0,676.

Geometrik problem

Sadece diskriminant hesaplama becerisini değil aynı zamanda soyut düşünme becerilerini ve ikinci dereceden denklemlerin nasıl yazılacağına dair bilgiyi kullanmayı gerektiren bir problemi çözelim.

Bob'un 5 x 4 metrelik bir yorganı vardı. Çocuk kesintisiz bir şerit dikmek istedi. güzel kumaş. Bob'un 10 m² kumaşa sahip olduğunu bilirsek bu şerit ne kadar kalın olur?

Şeridin kalınlığı x m olsun, o zaman kumaşın alanı uzun kenar battaniye (5+2*x)*x olacaktır ve 2 uzun kenar olduğundan elimizde: 2*x*(5+2*x) olur. Kısa tarafta dikilen kumaşın alanı 4*x olacaktır, bu kenarlardan 2 adet olduğu için 8*x değerini elde ederiz. Battaniyenin uzunluğu bu sayı kadar arttığı için uzun kenara 2*x eklendiğini unutmayın. Battaniyeye dikilen kumaşın toplam alanı 10 m²'dir. Dolayısıyla şu eşitliği elde ederiz: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Bu örnek için diskriminant şuna eşittir: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Kökü 22'dir. Formülü kullanarak gerekli kökleri buluruz: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Açıkçası iki kökten sadece 0,5 sayısı problemin koşullarına göre uygundur.

Böylece Bob'un battaniyesine diktiği kumaş şeridinin genişliği 50 cm olacaktır.

İÇİNDE modern toplum kare değişkeni içeren denklemlerle işlem yapabilme yeteneği birçok faaliyet alanında faydalı olabilir ve bilimsel ve teknik gelişmelerde pratikte yaygın olarak kullanılır. Bunun kanıtı deniz ve nehir gemilerinin, uçakların ve roketlerin tasarımında bulunabilir. Bu tür hesaplamaları kullanarak, en büyük hareket yörüngeleri farklı bedenler uzay nesneleri dahil. İkinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler yalnızca ekonomik tahminlerde, binaların tasarımında ve yapımında değil, aynı zamanda en sıradan günlük koşullarda da kullanılmaktadır. Yürüyüş gezilerinde, spor etkinliklerinde, mağazalarda alışveriş yaparken ve diğer çok yaygın durumlarda bunlara ihtiyaç duyulabilir.

İfadeyi bileşen faktörlerine ayıralım

Denklemin derecesi belirlenir maksimum değer Bu ifadenin içerdiği değişkenin derecesi. 2'ye eşitse, böyle bir denklem ikinci dereceden olarak adlandırılır.

Formüllerin diliyle konuşursak, nasıl görünürse görünsün, belirtilen ifadeler her zaman istenildiği zaman forma getirilebilir. sol taraf ifadesi üç terimden oluşur. Bunlar arasında: ax 2 (yani, katsayısı ile karesi olan bir değişken), bx (katsayısıyla karesi olmayan bir bilinmeyen) ve c (serbest bir bileşen, yani sıradan bir sayı). Sağ taraftaki tüm bunlar 0'a eşittir. Böyle bir polinomun, ax 2 hariç kendisini oluşturan terimlerden birinin eksik olması durumunda, buna tamamlanmamış ikinci dereceden denklem denir. Bu tür problemlerin çözümüne yönelik örneklerde öncelikle bulunması kolay olan değişkenlerin değerleri dikkate alınmalıdır.

İfadenin sağ tarafında iki terim var gibi görünüyorsa, daha doğrusu ax 2 ve bx, x'i bulmanın en kolay yolu değişkeni parantezlerin dışına çıkarmaktır. Şimdi denklemimiz şöyle görünecek: x(ax+b). Daha sonra, ya x=0 olduğu ya da problemin şu ifadeden bir değişken bulmakta olduğu açıkça ortaya çıkıyor: ax+b=0. Bu, çarpmanın özelliklerinden biri tarafından belirlenir. Kural, iki faktörün çarpımının yalnızca biri sıfır olduğunda 0 ile sonuçlanacağını belirtir.

Örnek

x=0 veya 8x - 3 = 0

Sonuç olarak denklemin iki kökünü elde ederiz: 0 ve 0,375.

Bu tür denklemler, koordinatların orijini olarak alınan belirli bir noktadan itibaren hareket etmeye başlayan yerçekiminin etkisi altındaki cisimlerin hareketini tanımlayabilir. Burada matematiksel gösterim şu biçimi alır: y = v 0 t + gt 2/2. Gerekli değerleri yerine koyarak, sağ tarafı 0'a eşitleyerek ve olası bilinmeyenleri bularak, cismin yükseldiği andan düştüğü ana kadar geçen süreyi ve daha birçok niceliği bulabilirsiniz. Ama bunu daha sonra konuşacağız.

Bir İfadeyi Faktoringe Alma

Yukarıda açıklanan kural, bu sorunları daha fazla çözmeyi mümkün kılar. zor vakalar. Bu tür ikinci dereceden denklemleri çözme örneklerine bakalım.

X 2 - 33x + 200 = 0

Bu ikinci dereceden üç terimli tamamlandı. Öncelikle ifadeyi dönüştürüp faktörlere ayıralım. Bunlardan iki tane var: (x-8) ve (x-25) = 0. Sonuç olarak elimizde 8 ve 25 olmak üzere iki kök var.

9. sınıfta ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler, bu yöntemin yalnızca ikinci dereceden değil, üçüncü ve dördüncü dereceden ifadelerde de bir değişken bulmasına olanak tanır.

Örneğin: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Sağ tarafı değişkenli çarpanlara ayırdığımızda bunlardan üç tane vardır, yani (x+1), (x-3) ve (x+ 3).

Sonuç olarak bu denklemin üç kökü olduğu ortaya çıkıyor: -3; -1; 3.

Karekök

Başka bir vaka tamamlanmamış denklem ikinci sıra ise harf dilinde sağ tarafı ax 2 ve c bileşenlerinden oluşturulacak şekilde temsil edilen bir ifadedir. Burada değişkenin değerini elde etmek için serbest terim sağ tarafa aktarılır ve ardından eşitliğin her iki tarafından karekök çıkarılır. Bu durumda genellikle denklemin iki kökü olduğuna dikkat edilmelidir. Tek istisna, değişkenin sıfıra eşit olduğu, hiç terim içermeyen eşitlikler ve sağ tarafın negatif olduğu ifadelerin çeşitleri olabilir. İkinci durumda, yukarıdaki eylemler köklerle gerçekleştirilemediğinden hiçbir çözüm yoktur. Bu tür ikinci dereceden denklemlerin çözüm örnekleri dikkate alınmalıdır.

Bu durumda denklemin kökleri -4 ve 4 sayıları olacaktır.

Arazi alanının hesaplanması

Bu tür hesaplamalara duyulan ihtiyaç eski zamanlarda ortaya çıktı, çünkü o uzak zamanlarda matematiğin gelişimi büyük ölçüde arazi parsellerinin alanlarını ve çevrelerini en yüksek doğrulukla belirleme ihtiyacıyla belirlendi.

Bu tür problemlere dayanarak ikinci dereceden denklemleri çözme örneklerini de düşünmeliyiz.

Diyelim ki uzunluğu genişliğinden 16 metre daha fazla olan dikdörtgen bir arsa var. Alanının 612 m 2 olduğunu biliyorsanız sitenin uzunluğunu, genişliğini ve çevresini bulmalısınız.

Başlamak için önce gerekli denklemi oluşturalım. Alanın genişliğini x ile gösterirsek uzunluğu (x+16) olur. Yazılmış olanlardan, alanın, problemimizin koşullarına göre 612 olan x(x+16) ifadesiyle belirlendiği anlaşılmaktadır. Bu, x(x+16) = 612 anlamına gelir.

İkinci dereceden denklemlerin tam çözümü, ki bu ifade tam da budur, aynı şekilde yapılamaz. Neden? Sol tarafta hala iki faktör bulunsa da çarpımları hiç 0'a eşit olmadığından burada farklı yöntemler kullanılıyor.

diskriminant

Öncelikle gerekli dönüşümleri yapalım, ardından dış görünüş Bu ifadenin şekli şöyle görünecektir: x 2 + 16x - 612 = 0. Bu, daha önce belirtilen standarda karşılık gelen formda, a=1, b=16, c=-612 olan bir ifade aldığımız anlamına gelir.

Bu, ikinci dereceden denklemleri bir diskriminant kullanarak çözmenin bir örneği olabilir. Burada gerekli hesaplamalarşemaya göre üretilir: D = b 2 - 4ac. Bu yardımcı miktar sadece ikinci dereceden bir denklemde gerekli miktarları bulmayı mümkün kılmakla kalmaz, aynı zamanda miktarı da belirler. olası seçenekler. D>0 ise iki tane var; D=0 için bir kök vardır. D durumunda<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Kökler ve formülleri hakkında

Bizim durumumuzda diskriminant şuna eşittir: 256 - 4(-612) = 2704. Bu, problemimizin bir cevabı olduğunu gösteriyor. Eğer k'yı biliyorsanız ikinci dereceden denklemlerin çözümüne aşağıdaki formül kullanılarak devam edilmelidir. Kökleri hesaplamanızı sağlar.

Bu, sunulan durumda şu anlama gelir: x 1 =18, x 2 =-34. Bu ikilemde ikinci seçenek çözüm olamaz çünkü arsanın boyutları negatif büyüklüklerle ölçülemez, yani x (yani arsanın genişliği) 18 m olur. Buradan uzunluğu hesaplıyoruz: 18. +16=34 ve çevre 2(34+ 18)=104(m2).

Örnekler ve görevler

İkinci dereceden denklemler çalışmamıza devam ediyoruz. Bunlardan birkaçının örnekleri ve ayrıntılı çözümleri aşağıda verilecektir.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Her şeyi eşitliğin sol tarafına taşıyalım, bir dönüşüm yapalım yani standart denilen denklem türünü elde edip sıfıra eşitleyelim.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Benzerlerini toplayarak diskriminantı belirliyoruz: D = 49 - 48 = 1. Bu, denklemimizin iki kökü olacağı anlamına gelir. Bunları yukarıdaki formüle göre hesaplayalım, yani birincisi 4/3'e, ikincisi ise 1'e eşit olacaktır.

2) Şimdi farklı türden gizemleri çözelim.

Burada herhangi bir kök olup olmadığını bulalım x 2 - 4x + 5 = 1? Kapsamlı bir cevap elde etmek için polinomu karşılık gelen olağan forma indirgeyelim ve diskriminantı hesaplayalım. Yukarıdaki örnekte ikinci dereceden denklemi çözmeye gerek yoktur çünkü sorunun özü bu değildir. Bu durumda D = 16 - 20 = -4, yani gerçekte köklerin olmadığı anlamına gelir.

Vieta'nın teoremi

İkinci dereceden denklemleri yukarıdaki formülleri ve diskriminantı kullanarak, ikincisinin değerinden karekök alındığında çözmek uygundur. Ancak bu her zaman gerçekleşmez. Ancak bu durumda değişkenlerin değerlerini elde etmenin birçok yolu vardır. Örnek: Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme. Adını 16. yüzyıl Fransa'sında yaşayan ve matematik yeteneği ve saraydaki bağlantıları sayesinde parlak bir kariyere sahip olan birinden alıyor. Portresi makalede görülebilir.

Ünlü Fransız'ın fark ettiği desen şu şekildeydi. Denklemin köklerinin sayısal olarak toplamının -p=b/a olduğunu ve çarpımlarının q=c/a'ya karşılık geldiğini kanıtladı.

Şimdi belirli görevlere bakalım.

3x2 + 21x - 54 = 0

Basit olması açısından ifadeyi dönüştürelim:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vieta teoremini kullanalım, bu bize şunu verecektir: Köklerin toplamı -7 ve çarpımı -18'dir. Buradan denklemin köklerinin -9 ve 2 sayıları olduğunu anlıyoruz. Kontrol ettikten sonra bu değişken değerlerinin gerçekten ifadeye uyduğundan emin olacağız.

Parabol grafiği ve denklemi

İkinci dereceden fonksiyon ve ikinci dereceden denklem kavramları yakından ilişkilidir. Bunun örnekleri daha önce verilmişti. Şimdi bazı matematik bilmecelerine biraz daha detaylı bakalım. Tanımlanan türdeki herhangi bir denklem görsel olarak temsil edilebilir. Grafik olarak çizilen böyle bir ilişkiye parabol denir. Çeşitli türleri aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Her parabolün bir tepe noktası, yani dallarının çıktığı bir nokta vardır. Eğer a>0 ise, sonsuza kadar yükselirler ve<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Fonksiyonların görsel temsilleri, ikinci dereceden denklemler de dahil olmak üzere tüm denklemlerin çözülmesine yardımcı olur. Bu yönteme grafik denir. X değişkeninin değeri ise grafik çizgisinin 0x ile kesiştiği noktalardaki apsis koordinatıdır. Tepe noktasının koordinatları az önce verilen x 0 = -b/2a formülü kullanılarak bulunabilir. Ve ortaya çıkan değeri fonksiyonun orijinal denkleminde değiştirerek, y 0'ı, yani ordinat eksenine ait olan parabolün tepe noktasının ikinci koordinatını bulabilirsiniz.

Bir parabolün dallarının apsis ekseni ile kesişimi

İkinci dereceden denklemleri çözmenin birçok örneği vardır, ancak aynı zamanda genel modeller de vardır. Şimdi onlara bakalım. a>0 için grafiğin 0x ekseni ile kesişmesinin ancak 0'ın negatif değer alması durumunda mümkün olacağı açıktır. Ve bir için<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Aksi takdirde D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Parabolün grafiğinden kökleri de belirleyebilirsiniz. Bunun tersi de doğrudur. Yani ikinci dereceden bir fonksiyonun görsel temsilini elde etmek kolay değilse ifadenin sağ tarafını 0'a eşitleyebilir ve ortaya çıkan denklemi çözebilirsiniz. Ve 0x ekseniyle kesişme noktalarını bilerek bir grafik oluşturmak daha kolaydır.

Tarihten

Eskiden kare değişkeni içeren denklemleri kullanarak sadece matematiksel hesaplamalar yapmakla kalmıyor, geometrik şekillerin alanlarını da belirliyorlardı. Kadim insanlar, fizik ve astronomi alanlarındaki büyük keşiflerin yanı sıra astrolojik tahminler yapmak için de bu tür hesaplamalara ihtiyaç duyuyorlardı.

Modern bilim adamlarının önerdiği gibi, Babil sakinleri ikinci dereceden denklemleri ilk çözenler arasındaydı. Bu, çağımızdan dört yüzyıl önce oldu. Elbette onların hesaplamaları şu anda kabul edilenlerden kökten farklıydı ve çok daha ilkel olduğu ortaya çıktı. Örneğin Mezopotamyalı matematikçilerin negatif sayıların varlığından haberleri yoktu. Ayrıca herhangi bir modern okul çocuğunun bildiği diğer inceliklere de aşina değillerdi.

Belki de Babil'deki bilim adamlarından bile daha önce, Hintli bilge Baudhayama ikinci dereceden denklemleri çözmeye başlamıştı. Bu, İsa'nın döneminden yaklaşık sekiz yüzyıl önce gerçekleşti. Doğru, ikinci dereceden denklemler, verdiği çözme yöntemleri en basitleriydi. Onun yanı sıra Çinli matematikçiler de eski günlerde benzer sorularla ilgileniyorlardı. Avrupa'da ikinci dereceden denklemler ancak 13. yüzyılın başında çözülmeye başlandı, ancak daha sonra Newton, Descartes ve diğerleri gibi büyük bilim adamları tarafından çalışmalarında kullanıldılar.

Umarım bu makaleyi inceledikten sonra ikinci dereceden tam bir denklemin köklerini nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz.

Diskriminant kullanılarak yalnızca tam ikinci dereceden denklemler çözülür; tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için, "Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme" makalesinde bulacağınız diğer yöntemler kullanılır.

Hangi ikinci dereceden denklemlere tam denir? Bu ax 2 + b x + c = 0 formundaki denklemler a, b ve c katsayılarının sıfıra eşit olmadığı durumda. Dolayısıyla ikinci dereceden bir denklemi tam olarak çözmek için diskriminant D'yi hesaplamamız gerekir.

D = b 2 – 4ac.

Diskriminantın değerine bağlı olarak cevabı yazacağız.

Diskriminant negatif bir sayı ise (D< 0),то корней нет.

Diskriminant sıfır ise x = (-b)/2a olur. Diskriminant pozitif bir sayı olduğunda (D > 0),

bu durumda x 1 = (-b - √D)/2a ve x 2 = (-b + √D)/2a olur.

Örneğin. Denklemi çöz x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Cevap: 2.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Cevap: Kök yok.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Cevap: – 3.5; 1.

Şimdi Şekil 1'deki diyagramı kullanarak tam ikinci dereceden denklemlerin çözümünü hayal edelim.

Bu formülleri kullanarak herhangi bir tam ikinci dereceden denklemi çözebilirsiniz. Sadece dikkatli olman gerekiyor denklem standart formun bir polinomu olarak yazılmıştır

A x 2 + bx + c, aksi halde hata yapabilirsiniz. Örneğin, x + 3 + 2x 2 = 0 denklemini yazarken yanlışlıkla şuna karar verebilirsiniz:

a = 1, b = 3 ve c = 2. O halde

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ve bu durumda denklemin iki kökü vardır. Ve bu doğru değil. (Yukarıdaki örnek 2'nin çözümüne bakın).

Bu nedenle, eğer denklem standart formda bir polinom olarak yazılmamışsa, öncelikle ikinci dereceden denklemin tamamı standart formda bir polinom olarak yazılmalıdır (en büyük üssü olan monom ilk önce gelmelidir, yani A x 2 , daha azıyla – bx ve sonra ücretsiz bir üye İle.

İkinci dereceden ikinci dereceden denklemi ve çift katsayılı ikinci dereceden denklemi çözerken, diğer formülleri kullanabilirsiniz. Gelin bu formülleri tanıyalım. Tam ikinci dereceden bir denklemde ikinci terimin çift katsayısı varsa (b = 2k), o zaman denklemi Şekil 2'deki şemada gösterilen formülleri kullanarak çözebilirsiniz.

Tam bir ikinci dereceden denklem, eğer katsayı x 2 bire eşittir ve denklem şu şekli alır: x 2 + piksel + q = 0. Çözüm için böyle bir denklem verilebileceği gibi denklemin tüm katsayılarının katsayıya bölünmesiyle de elde edilebilir. A, ayakta x 2 .

Şekil 3, indirgenmiş kareyi çözmek için bir diyagramı göstermektedir
denklemler. Bu makalede tartışılan formüllerin uygulanmasına bir örnek verelim.

Örnek. Denklemi çöz

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Bu denklemi Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formülleri kullanarak çözelim.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))))/6 = –1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3

Bu denklemde x'in katsayısının çift sayı olduğunu fark edebilirsiniz, yani b = 6 veya b = 2k, dolayısıyla k = 3. O halde denklemi, şekil D'deki diyagramda gösterilen formülleri kullanarak çözmeye çalışalım. 1 = 3 2 – 3 (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3. Bu ikinci dereceden denklemdeki tüm katsayıların 3'e bölünebilir olduğunu fark edip bölme işlemini gerçekleştirerek indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz x 2 + 2x – 2 = 0 Bu denklemi indirgenmiş ikinci dereceden denklem formüllerini kullanarak çözün
denklemler şekil 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3.

Gördüğünüz gibi bu denklemi farklı formüller kullanarak çözdüğümüzde aynı cevabı aldık. Bu nedenle, Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formüllere tamamen hakim olduğunuzda, her zaman herhangi bir ikinci dereceden denklemi tam olarak çözebileceksiniz.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.