Bir x sayısının karekökü bir a sayısıdır ve kendisiyle çarpıldığında x sayısını verir: a * a = a^2 = x, √x = a. Her sayıda olduğu gibi, toplama ve çıkarma aritmetik işlemlerini kareköklerle gerçekleştirebilirsiniz.

Talimatlar

• Öncelikle eklerken karekökler bu kökleri çıkarmayı deneyin. Kök işaretinin altındaki sayılar tam kare ise bu mümkün olacaktır. Örneğin √4 + √9 ifadesi verilsin. İlk 4 sayısı 2 sayısının karesidir. İkinci 9 sayısı da 3 sayısının karesidir. Böylece şu ortaya çıkar: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Kök işaretinin altında tam kare yoksa, sayının çarpanını kök işaretinin altından kaldırmaya çalışın. Örneğin √24 + √54 ifadesi verilsin. Sayıları çarpanlara ayırın: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. 24 sayısının 4 çarpanı var, bu da işaretinin altından çıkarılabilir karekök. 54 sayısının çarpanı 9'dur. Böylece şu ortaya çıkar: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . İÇİNDE bu örnekte Faktörün kök işaretinin altından çıkarılması sonucunda verilen ifadenin basitleştirilmesi mümkün olmuştur.
• İki karekökün toplamı bir kesrin paydası olsun, örneğin A / (√a + √b). Ve göreviniz "paydadaki irrasyonellikten kurtulmak" olsun. Daha sonra aşağıdaki yöntemi kullanabilirsiniz. Kesrin payını ve paydasını √a - √b ifadesiyle çarpın. Böylece paydada kısaltılmış çarpma formülünü elde ederiz: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. Benzer şekilde, eğer payda kökler arasındaki farkı içeriyorsa: √a - √b, o zaman kesrin payı ve paydası √a + √b ifadesiyle çarpılmalıdır. Örneğin, kesir 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 -) olsun √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Paydadaki irrasyonellikten kurtulmanın daha karmaşık bir örneğini düşünün. 12 / (√2 + √3 + √5) kesri verilsin. Kesrin payını ve paydasını √2 + √3 - √5 ifadesiyle çarpmak gerekir:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Son olarak, yalnızca yaklaşık bir değere ihtiyacınız varsa, karekökleri hesaplamak için bir hesap makinesi kullanabilirsiniz. Her sayı için değerleri ayrı ayrı hesaplayın ve bunları gerekli hassasiyette (örneğin iki ondalık basamak) yazın. Daha sonra sıradan sayılarda olduğu gibi gerekli aritmetik işlemleri gerçekleştirin. Örneğin √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 ifadesinin yaklaşık değerini bulmanız gerektiğini varsayalım.

Kareköklerle ilgili konu zorunludur okul müfredatı matematik dersi. İkinci dereceden denklemleri çözerken onlarsız yapamazsınız. Ve daha sonra sadece kökleri çıkarmak değil, aynı zamanda onlarla başka eylemler de yapmak gerekli hale gelir. Bunların arasında oldukça karmaşık olanlar var: üs alma, çarpma ve bölme. Ancak oldukça basit olanlar da var: köklerin çıkarılması ve eklenmesi. Bu arada, sadece ilk bakışta öyle görünüyorlar. Bunları hatasız yapmak, onlarla yeni tanışmaya başlayan biri için her zaman kolay değildir.

Matematiksel kök nedir?

Bu eylem üstelleştirmeye karşı ortaya çıktı. Matematik iki karşıt işlemi önerir. Toplama için çıkarma vardır. Çarpma bölmeye karşıdır. Bir derecenin ters hareketi karşılık gelen kökün çıkarılmasıdır.

Derece iki ise kök kare olacaktır. Okul matematiğinde en yaygın olanıdır. Kare olduğuna dair bir belirti bile yoktur yani yanına 2 rakamı atanmamıştır. Bu operatörün (radikal) matematiksel gösterimi şekilde sunulmuştur.

Tanımı, açıklanan eylemden sorunsuz bir şekilde akar. Bir sayının karekökünü çıkarmak için radikal ifadenin kendisiyle çarpıldığında ne vereceğini bulmanız gerekir. Bu sayı karekök olacaktır. Bunu matematiksel olarak yazarsak şunu elde ederiz: x*x=x 2 =y, yani √y=x.

Onlarla hangi eylemleri gerçekleştirebilirsiniz?

Özünde kök, payda bir olan kesirli bir kuvvettir. Ve payda herhangi bir şey olabilir. Örneğin karekökte iki tane var. Dolayısıyla kuvvetlerle yapılabilecek tüm işlemler kökler için de geçerli olacaktır.

Ve bu eylemlerin gereksinimleri aynıdır. Çarpma, bölme ve üs alma işlemleri öğrenciler için zorluk yaratmıyorsa, çıkarma gibi köklerin eklenmesi de bazen kafa karışıklığına yol açmaktadır. Ve hepsi bu işlemleri kökün işaretine bakılmaksızın gerçekleştirmek istediğim için. Ve hataların başladığı yer burasıdır.

Toplama ve çıkarma kuralları nelerdir?

Öncelikle iki kategorik "yapılmaması gerekenleri" hatırlamanız gerekir:

• asal sayılarda olduğu gibi köklerde toplama ve çıkarma işlemi yapmak imkansızdır, yani toplamın radikal ifadelerini tek işaret altına yazıp bunlarla matematiksel işlemler yapmak imkansızdır;
• Farklı üslere sahip kökleri (örneğin kare ve kübik) toplayıp çıkaramazsınız.

Birinci yasağın açık bir örneği: √6 + √10 ≠ √16, ancak √(6 + 10) = √16.

İkinci durumda, kökleri basitleştirmekle kendimizi sınırlamak daha iyidir. Ve miktarlarını cevapta bırakın.

Şimdi kurallara geçelim

1. Benzer kökleri bulun ve gruplayın. Yani, radikal altında yalnızca aynı sayılara sahip olanlar değil, kendileri de aynı göstergeye sahip olanlar.
2. İlk eylemde bir grupta birleştirilen köklerin eklenmesini gerçekleştirin. Uygulaması kolaydır çünkü yalnızca radikallerin önünde görünen değerleri eklemeniz gerekir.
3. Radikal ifadenin tam bir kare oluşturduğu terimlerin köklerini çıkarın. Başka bir deyişle radikalin işareti altında hiçbir şey bırakmayın.
4. Radikal ifadeleri basitleştirin. Bunu yapmak için bunları parçalara ayırmanız gerekir. asal faktörler ve herhangi bir sayının karesini verip vermediklerine bakın. Eğer öyleyse bunun doğru olduğu açıktır hakkında konuşuyoruz karekök hakkında. Üs üç veya dört olduğunda asal çarpanlar sayının küpünü veya dördüncü kuvvetini vermelidir.
5. Tüm gücü veren faktörü radikal işaretinin altından çıkarın.
6. Tekrar görünüp görünmediğine bakın benzer terimler. Cevabınız evet ise ikinci adımı tekrar gerçekleştirin.

Görevin kökün tam değerini gerektirmediği bir durumda, bir hesap makinesi kullanılarak hesaplanabilir. Sonsuz ondalık Penceresinde görünecek olan yukarı yuvarlayın. Çoğu zaman bu yüzlerce kez yapılır. Daha sonra ondalık kesirler için tüm işlemleri gerçekleştirin.

Köklerin nasıl ekleneceği ile ilgili tüm bilgiler bu kadar. Aşağıdaki örnekler yukarıdakileri açıklayacaktır.

İlk görev

İfadelerin değerini hesaplayın:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Yukarıdaki algoritmayı takip ederseniz bu örnekte ilk iki eylem için hiçbir şey olmadığını görebilirsiniz. Ancak bazı radikal ifadeleri basitleştirebilirsiniz.

Örneğin, 32'yi 2 ve 16 olmak üzere iki faktöre ayırın; 18, 9 ile 2'nin çarpımına eşit olacaktır; 128, 2 bölü 64'tür. Buna göre ifade şu şekilde yazılacaktır:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Şimdi sayının karesini veren faktörleri radikal işaretinin altından kaldırmanız gerekiyor. Bu 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2'dir. İfade şu şekli alacaktır:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Kaydı biraz basitleştirmemiz gerekiyor. Bunu yapmak için katsayıları kök işaretlerinden önce çarpın:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Bu ifadede tüm terimlerin benzer olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle onları katlamanız yeterlidir. Cevap: 5√2 olacaktır.

b) Önceki örneğe benzer şekilde kök eklemek, onları basitleştirmekle başlar. 75, 147, 48 ve 300 köklü ifadeleri şu çiftlerle temsil edilecektir: 5 ve 25, 3 ve 49, 3 ve 16, 3 ve 100. Her biri kök işaretinin altından çıkarılabilecek bir sayı içerir. :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Sadeleştirmeden sonra cevap: 5√5 - 5√3. Bu formda bırakılabilir, ancak ortak faktör 5'i parantezlerden çıkarmak daha iyidir: 5 (√5 - √3).

c) Ve yine çarpanlara ayırma: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Kök işaretinin altındaki çarpanları çıkardıktan sonra şunu elde ederiz:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Benzer terimleri getirdiğimizde şu sonucu elde ederiz: 7√11.

Kesirli ifadelerle örnek

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Aşağıdaki sayıları çarpanlara ayırmanız gerekecektir: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Daha önce tartışılanlara benzer şekilde, kök işaretinin altındaki çarpanları kaldırmanız gerekir. ve ifadeyi basitleştirin:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Bu ifade paydadaki irrasyonellikten kurtulmayı gerektirir. Bunu yapmak için ikinci terimi √2/√2 ile çarpmanız gerekir:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Eylemleri tamamlamak için faktörlerin önündeki köklerin tamamını seçmeniz gerekir. Birincisi için 1, ikincisi için 2'dir.

Köklerin eklenmesi ve çıkarılması- Lisede matematik (cebir) dersi alanlar için en yaygın “tökezleyen engellerden” biri. Ancak bunları doğru şekilde toplamayı ve çıkarmayı öğrenmek çok önemlidir, çünkü köklerin toplamı veya farkı ile ilgili örnekler “matematik” disiplinindeki temel Birleşik Devlet Sınavı programında yer almaktadır.

Bu tür örnekleri çözmede ustalaşmak için iki şeye ihtiyacınız var: kuralları anlamak ve aynı zamanda pratik yapmak. Bir veya iki düzine tipik örneği çözen öğrenci, bu beceriyi otomatizme taşıyacak ve ardından Birleşik Devlet Sınavında artık korkacak hiçbir şeyi kalmayacak. Aritmetik işlemlerde uzmanlaşmaya toplama ile başlamanız önerilir çünkü bunları eklemek, çıkarmaktan biraz daha kolaydır.

Bunu açıklamanın en kolay yolu örnek olarak karekök kullanmaktır. Matematikte köklü bir "kare alma" terimi vardır. “Kare alma”, belirli bir sayının kendisiyle bir kez çarpılması anlamına gelir.. Örneğin 2'nin karesini alırsan 4 elde edersin. 7'nin karesini alırsan 49 elde edersin. 9'un karesi 81'dir. Yani 4'ün karekökü 2, 49'un karesi 7 ve 81'in karesi 9 olur.

Kural olarak matematikte bu konunun öğretilmesi kareköklerle başlar. Bunu hemen belirlemek için öğrenci liseÇarpım tablosunu ezbere bilmek gerekir. Bu tabloyu kesin olarak bilmeyenlerin ipuçlarından faydalanması gerekiyor. Genellikle bir sayının kök karesini çıkarma işlemi birçok okul matematik defterinin kapağında tablo şeklinde verilmektedir.

Kökler aşağıdaki türlerdendir:

• kare;
• kübik (veya sözde üçüncü derece);
• dördüncü derece;
• beşinci derece.

Ekleme kuralları

Başarılı bir şekilde çözmek için tipik örnek, tüm kök sayıların olmadığını akılda tutmak gerekir. birbiri ile istiflenebilir. Katlanabilmeleri için, bunların getirilmesi gerekir. tek tip desen. Eğer bu mümkün değilse sorunun çözümü yoktur. Bu tür problemler öğrencilere yönelik bir tür tuzak olarak matematik ders kitaplarında da sıklıkla yer almaktadır.

Köklü ifadelerin birbirinden farklı olduğu durumlarda görevlerde ekleme yapılmasına izin verilmez. Bu, açık bir örnekle açıklanabilir:

• Öğrenci şu görevle karşı karşıyadır: 4 ve 9'un karekökünü ekleyin;
• Kuralı bilmeyen deneyimsiz bir öğrenci genellikle şöyle yazar: “4'ün kökü + 9'un kökü = 13'ün kökü.”
• Bu çözümün yanlış olduğunu kanıtlamak çok kolaydır. Bunu yapmak için 13'ün karekökünü bulmanız ve örneğin doğru çözülüp çözülmediğini kontrol etmeniz gerekir;
• bir mikro hesap makinesi kullanarak bunun yaklaşık 3,6 olduğunu belirleyebilirsiniz. Artık geriye kalan tek şey çözümü kontrol etmektir;
• 4=2'nin kökü ve 9=3'ün kökü;
• "İki" ve "üç" rakamlarının toplamı beşe eşittir. Dolayısıyla bu çözüm algoritmasının hatalı olduğu düşünülebilir.

Köklerin derecesi aynı fakat farklı ise sayısal ifadeler, parantezlerden çıkarılıp parantez içine konur iki köklü ifadenin toplamı. Dolayısıyla bu miktardan zaten çıkarılmış oluyor.

Toplama algoritması

Doğru karar verebilmek için en basit görev, gerekli:

1. Tam olarak neyin eklenmesi gerektiğini belirleyin.
2. Matematikteki mevcut kuralların rehberliğinde değerleri birbirine eklemenin mümkün olup olmadığını öğrenin.
3. Katlanabilir değillerse katlanabilecek şekilde dönüştürmeniz gerekir.
4. Gerekli tüm dönüşümleri gerçekleştirdikten sonra eklemeyi yapmanız ve bitmiş cevabı yazmanız gerekir. Örneğin karmaşıklığına bağlı olarak kafanızdan veya mikro hesap makinesi kullanarak toplama işlemi yapabilirsiniz.

Benzer kökler nelerdir

Bir toplama örneğini doğru bir şekilde çözmek için önce onu nasıl basitleştirebileceğinizi düşünmelisiniz. Bunu yapmak için benzerliğin ne olduğuna dair temel bilgiye sahip olmanız gerekir.

Benzerleri tanımlama yeteneği, benzer toplama örneklerini hızlı bir şekilde çözmeye yardımcı olarak bunları basitleştirilmiş bir forma getirir. Tipik bir ekleme örneğini basitleştirmek için şunları yapmanız gerekir:

1. Benzer olanları bulun ve bunları bir gruba (veya birkaç gruba) ayırın.
2. Mevcut örneği aynı göstergeye sahip kökler birbirini net bir şekilde takip edecek şekilde yeniden yazın (buna “gruplama” denir).
3. Daha sonra ifadeyi bu sefer benzerleri (aynı göstergeye ve aynı radikal rakama sahip olanlar) da birbirini takip edecek şekilde tekrar yazmalısınız.

Bundan sonra basitleştirilmiş örneğin çözülmesi genellikle kolaydır.

Herhangi bir toplama örneğini doğru bir şekilde çözmek için, toplamanın temel kurallarını açıkça anlamanız, ayrıca kökün ne olduğunu ve ne olabileceğini bilmeniz gerekir.

Bazen bu tür problemler ilk bakışta çok zor görünebilir ancak genellikle benzer olanları gruplandırarak kolayca çözülürler. En önemli şey pratik yapmaktır ve ardından öğrenci "sorunları fındık gibi kırmaya" başlayacaktır. Kökleri eklemek matematiğin en önemli kısımlarından biridir, bu nedenle öğretmenlerin bu konu üzerinde çalışmaya yeterince zaman ayırması gerekir.

Video

Bu video kareköklü denklemleri anlamanıza yardımcı olacaktır.

Gerçek 1.
\(\bullet\) Hadi bazı olmayanları alalım negatif sayı\(a\) (yani, \(a\geqslant 0\) ). O halde (aritmetik) karekök\(a\) sayısına negatif olmayan bir sayı \(b\) denir, karesi alındığında \(a\) sayısını elde ederiz: \[\sqrt a=b\quad \text(aynı ile )\quad a=b^2\] Tanımdan şu sonuç çıkıyor \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Bu kısıtlamalar önemli bir durum karekökün varlığı ve bunların hatırlanması gerekir!
Herhangi bir sayının karesi alındığında negatif olmayan bir sonuç verdiğini hatırlayın. Yani, \(100^2=10000\geqslant 0\) ve \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) neye eşittir? \(5^2=25\) ve \((-5)^2=25\) olduğunu biliyoruz. Tanım gereği negatif olmayan bir sayı bulmamız gerektiğinden, \(-5\) uygun değildir, dolayısıyla \(\sqrt(25)=5\) (çünkü \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) değerini bulmaya \(a\) sayısının karekökünü almaya, \(a\) sayısına ise köklü ifade denir.
\(\bullet\) Tanıma göre, \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), vb. ifadesi. mantıklı değil.

Gerçek 2.
Hızlı hesaplamalar için kareler tablosunu öğrenmek yararlı olacaktır. doğal sayılar\(1\)'den \(20\)'ye : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Gerçek 3.
Kareköklerle hangi işlemleri yapabilirsiniz?
\(\madde işareti\) Kareköklerin toplamı veya farkı, toplamın veya farkın kareköküne EŞİT DEĞİLDİR, yani \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Bu nedenle, örneğin \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) hesaplamanız gerekiyorsa, başlangıçta \(\sqrt(25)\) ve \(\ sqrt(49)\ ) ve ardından katlayın. Buradan, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] \(\sqrt a\) veya \(\sqrt b\) değerleri \(\sqrt a+\sqrt b\ eklenirken bulunamıyorsa), o zaman böyle bir ifade daha fazla dönüştürülmez ve olduğu gibi kalır. Örneğin, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) toplamında \(\sqrt(49)\)'ın \(7\) olduğunu bulabiliriz, ancak \(\sqrt 2\) dönüştürülemez her neyse, bu yüzden \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Maalesef bu ifade daha fazla basitleştirilemez\(\bullet\) Kareköklerin çarpımı/bölümü, çarpımın/bölümün kareköküne eşittir, yani \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (eşitliğin her iki tarafının da anlamlı olması şartıyla)
Örnek: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\).
\(\bullet\) Bu özellikleri kullanarak, büyük sayıları çarpanlarına ayırarak kareköklerini bulmak uygundur.
Bir örneğe bakalım. \(\sqrt(44100)\)'ı bulalım. \(44100:100=441\) olduğundan, \(44100=100\cdot 441\) . Bölünebilme kriterine göre \(441\) sayısı \(9\)'a bölünebilir (rakamlarının toplamı 9 olduğundan ve 9'a bölünebildiğinden), dolayısıyla \(441:9=49\), yani, \(441=9\ cdot 49\) . Böylece şunu elde ettik:\[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Başka bir örneğe bakalım:
\[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\] \ \(\bullet\) \(5\sqrt2\) ifadesi örneğini kullanarak karekök işaretinin altına sayıların nasıl girileceğini gösterelim (\(5\cdot \sqrt2\) ifadesinin kısa gösterimi). \(5=\sqrt(25)\) olduğundan, o zaman
Şunu da unutmayın, örneğin,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)

3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Bu neden böyle? Örnek 1)'i kullanarak açıklayalım. Zaten anladığınız gibi, \(\sqrt2\) sayısını bir şekilde dönüştüremiyoruz. \(\sqrt2\) öğesinin bir \(a\) sayısı olduğunu düşünelim. Buna göre, \(\sqrt2+3\sqrt2\) ifadesi \(a+3a\)'dan (bir sayı \(a\) artı aynı sayıdan üç tane daha \(a\)) başka bir şey değildir. Ve bunun \(a\) gibi dört sayıya eşit olduğunu biliyoruz, yani \(4\sqrt2\) .
Gerçek 4.
\(\bullet\) Bir sayının değerini bulurken kökün (radikal) \(\sqrt()\\) işaretinden kurtulamadığınızda sıklıkla “kökü çıkaramazsınız” derler . Örneğin \(16\) sayısının kökünü alabilirsiniz çünkü \(16=4^2\) , dolayısıyla \(\sqrt(16)=4\) . Ancak \(3\) sayısının kökünü çıkarmak, yani \(\sqrt3\'ü bulmak imkansızdır çünkü karesi \(3\) verecek bir sayı yoktur. Bu tür sayılar (veya bu sayıları içeren ifadeler) irrasyoneldir. Örneğin sayılar\(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)
vesaire. mantıksızdır.
\(\bullet\) Herhangi bir sayının ya rasyonel ya da irrasyonel olacağını lütfen unutmayın. Ve tüm rasyonel ve tüm irrasyonel sayılar birlikte, adı verilen bir küme oluşturur. bir dizi gerçek sayı. Bu küme \(\mathbb(R)\) harfiyle gösterilir.
Bu, şu anda bildiğimiz tüm sayılara gerçek sayılar denildiği anlamına gelir.

Gerçek 5.
\(\bullet\) Gerçek sayı \(a\)'nın modülü negatif olmayan bir sayıdır \(|a|\) , mesafeye eşit Gerçek çizgide \(a\) noktasından \(0\) noktasına. Örneğin, \(|3|\) ve \(|-3|\) 3'e eşittir, çünkü \(3\) ve \(-3\) ile \(0\) arasındaki mesafeler aynı ve eşit \(3 \) .
\(\bullet\) Eğer \(a\) negatif olmayan bir sayıysa, o zaman \(|a|=a\) .
Örnek: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) .
\(\bullet\) Eğer \(a\) negatif bir sayıysa, o zaman \(|a|=-a\) . Örnek: \(|-5|=-(-5)=5\) ;.
\(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\)
Negatif sayılar için modülün eksiyi “yer” olduğunu, pozitif sayıların ve \(0\) sayısının modül tarafından değişmeden kaldığını söylüyorlar. ANCAK Bu kural yalnızca sayılar için geçerlidir. Modül işaretinizin altında bilinmeyen bir \(x\) (veya başka bir bilinmeyen), örneğin \(|x|\) varsa ve bunun pozitif mi, sıfır mı yoksa negatif mi olduğunu bilmediğimiz bir şey varsa, o zaman kurtulun yapamadığımız modül. Bu durumda bu ifade aynı kalır: \(|x|\) .\(\bullet\) Aşağıdaki formüller geçerlidir: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]
\[(\large((\sqrt(a))^2=a))), \text( sağlanan ) a\geqslant 0\]Çoğu zaman şu hata yapılır: \(\sqrt(a^2)\) ve \((\sqrt a)^2\)'nin tek ve aynı olduğunu söylerler. Bu yalnızca \(a\) pozitif bir sayı veya sıfır ise doğrudur. Ancak eğer \(a\) negatif bir sayı ise bu yanlıştır. Bu örneği dikkate almanız yeterli. \(a\) yerine \(-1\) sayısını alalım. O halde \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ancak \((\sqrt (-1))^2\) ifadesi hiç mevcut değil (sonuçta, Negatif sayıları koyan kök işaretini kullanmak imkansızdır!). Bu nedenle, \(\sqrt(a^2)\)'nin \((\sqrt a)^2\)'ye eşit olmadığı gerçeğine dikkatinizi çekeriz!Örnek: 1)<0\) ;

\(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\) , Çünkü \(-\sqrt2
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) olduğundan, \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(\(2n\) ifadesi çift sayıyı belirtir)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (modül sağlanmazsa sayının kökünün \(-25\)'e eşit olduğunu unutmayın. ) ); ancak kökün tanımı gereği bunun olamayacağını hatırlıyoruz: bir kökü çıkarırken her zaman pozitif bir sayı veya sıfır almalıyız)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (çünkü herhangi bir sayının çift üssü negatif değildir)

Gerçek 6.
İki karekök nasıl karşılaştırılır?
\(\bullet\) Karekökler için bu doğrudur: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(a\(\bullet\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) olduğundan, \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
1) \(\sqrt(50)\) ve \(6\sqrt2\)'yi karşılaştırın. Öncelikle ikinci ifadeyi şuna dönüştürelim: \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Böylece, \(50) beri<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) hangi tam sayılar arasında yer alır?
\(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) ve \(49) olduğundan<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \(\sqrt 2-1\) ile \(0.5\)'ı karşılaştıralım. Diyelim ki \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((her iki tarafa da bir tane ekleyin))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((her iki tarafın karesi alınır))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Yanlış bir eşitsizlik elde ettiğimizi görüyoruz. Dolayısıyla varsayımımız yanlıştı ve \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Eşitsizliğin her iki tarafına belirli bir sayının eklenmesinin işaretini etkilemediğini unutmayın. Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayıyla çarpmak/bölmek de işaretini etkilemez, ancak negatif bir sayıyla çarpmak/bölmek eşitsizliğin işaretini tersine çevirir!
Bir denklemin/eşitsizliğin her iki tarafının karesini YALNIZCA her iki tarafın da negatif olmaması durumunda alabilirsiniz. Örneğin, önceki örnekteki eşitsizlikte, \(-3) eşitsizliğinde her iki tarafın karesini alabilirsiniz.<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Unutulmamalıdır ki \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Bu sayıların yaklaşık anlamlarını bilmek, sayıları karşılaştırırken size yardımcı olacaktır!
\(\bullet\) Kareler tablosunda yer almayan büyük bir sayıdan kökü çıkarmak için (çıkarılabilirse), önce bunun hangi “yüzler” arasında, sonra – hangi “ arasında olduğunu belirlemelisiniz. onlarca” yazın ve ardından bu sayının son rakamını belirleyin. Bunun nasıl çalıştığını bir örnekle gösterelim.
Şimdi sayımızın hangi “onlar” arasında (yani \(120\) ile \(130\) arasında yer aldığını belirleyelim. Ayrıca kareler tablosundan şunu biliyoruz: \(11^2=121\) , \(12^2=144\) vb., sonra \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Böylece \(28224\) öğesinin \(160^2\) ile \(170^2\) arasında olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla \(\sqrt(28224)\) sayısı \(160\) ile \(170\) arasındadır.
Son rakamı belirlemeye çalışalım. Hangi tek basamaklı sayıların karesi alındığında sonunda \(4\) geldiğini hatırlayalım. Bunlar \(2^2\) ve \(8^2\)'dir. Bu nedenle \(\sqrt(28224)\) ya 2 ya da 8 ile bitecektir. Bunu kontrol edelim. \(162^2\) ve \(168^2\)'yi bulalım:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Bu nedenle, \(\sqrt(28224)=168\) . İşte!

Matematikte Birleşik Devlet Sınavını yeterince çözebilmek için öncelikle sizi çok sayıda teorem, formül, algoritma vb. ile tanıştıran teorik materyali incelemeniz gerekir. İlk bakışta bu oldukça basit görünebilir. Ancak matematikte Birleşik Devlet Sınavı teorisinin herhangi bir eğitim seviyesindeki öğrenciler için kolay ve anlaşılır bir şekilde sunulduğu bir kaynak bulmak aslında oldukça zor bir iştir. Okul ders kitapları her zaman el altında tutulamaz. Ve matematikte Birleşik Devlet Sınavı için temel formülleri bulmak internette bile zor olabilir.

Matematikte teoriyi incelemek neden sadece Birleşik Devlet Sınavına girenler için bu kadar önemli?

1. Çünkü ufkunuzu genişletiyor. Matematikte teorik materyali incelemek, etrafındaki dünyanın bilgisiyle ilgili çok çeşitli sorulara yanıt almak isteyen herkes için faydalıdır. Doğada her şey düzenlidir ve açık bir mantığı vardır. Bu tam olarak bilime yansıyan ve onun aracılığıyla dünyayı anlamanın mümkün olduğu şeydir.
2. Çünkü zekayı geliştirir. Matematikte Birleşik Devlet Sınavı için referans materyallerini inceleyerek ve çeşitli problemleri çözerek, kişi mantıklı düşünmeyi ve akıl yürütmeyi, düşünceleri yetkin ve net bir şekilde formüle etmeyi öğrenir. Analiz etme, genelleme ve sonuç çıkarma yeteneğini geliştirir.

Sizi, eğitim materyallerinin sistemleştirilmesi ve sunumuna yönelik yaklaşımımızın tüm avantajlarını kişisel olarak değerlendirmeye davet ediyoruz.

İçerik:

Karekökleri yalnızca aynı radikal ifadeye sahiplerse ekleyebilir ve çıkarabilirsiniz; yani 2√3 ve 4√3'ü ekleyebilir veya çıkarabilirsiniz, ancak 2√3 ve 2√5'i ekleyemezsiniz. Köklü ifadeleri, aynı köklü ifadelere sahip köklere indirgemek için basitleştirebilirsiniz (ve ardından bunları ekleyebilir veya çıkarabilirsiniz).

Adımlar

Bölüm 1 Temelleri Anlamak

1. 1 (kök işaretinin altındaki ifade). Bunu yapmak için, radikal sayıyı iki faktöre ayırın; bunlardan biri kare sayıdır (tam kök alabileceğiniz bir sayı, örneğin 25 veya 9). Bundan sonra kare sayısının kökünü çıkarın ve bulunan değeri kök işaretinin önüne yazın (ikinci faktör kök işaretinin altında kalacaktır). Örneğin, 6√50 - 2√8 + 5√12. Kök işaretinin önündeki sayılar karşılık gelen köklerin çarpanlarıdır ve kök işaretinin altındaki sayılar radikal sayılardır (ifadelerdir). Bu sorunu nasıl çözeceğiniz aşağıda açıklanmıştır:
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Burada 50'yi 25 ve 2'nin çarpanlarına ayırıyorsunuz; daha sonra 25'ten 5'e eşit olan kökü çıkarırsınız ve kökün altından 5'i çıkarırsınız. Daha sonra 5'i 6 ile çarpın (kökteki çarpan) ve 30√2 elde edin.
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Burada 8'i 4 ve 2'nin çarpanlarına ayırıyorsunuz; sonra 4'ten 2'ye eşit olan kökü alırsınız ve kökün altından 2'yi çıkarırsınız. Daha sonra 2'yi 2 ile çarpın (kökteki çarpan) ve 4√2 elde edin.
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Burada 12'yi 4 ve 3'ün çarpanlarına ayırıyorsunuz; sonra 4'ten 2'ye eşit olan kökü alırsınız ve kökün altından 2'yi çıkarırsınız. Daha sonra 2'yi 5 ile çarparsınız (kökteki çarpan) ve 10√3 elde edersiniz.
2. 2 Köklü ifadeleri aynı olan köklerin altını çiziniz.Örneğimizde basitleştirilmiş ifade şuna benzer: 30√2 - 4√2 + 10√3. İçinde birinci ve ikinci terimlerin altını çizmelisiniz ( 30√2 Ve 4√2 ), çünkü aynı kök sayısı 2'ye sahiptirler. Yalnızca bu tür kökleri toplayabilir ve çıkarabilirsiniz.
3. 3 Size, çoğu aynı radikal ifadeye sahip olan çok sayıda terim içeren bir ifade verilirse, ifadeyi çözmeyi kolaylaştırmak için bu tür terimleri belirtmek için tek, çift veya üçlü alt çizgi kullanın.
4. 4 Radikal ifadeleri aynı olan kökler için, kök işaretinin önündeki çarpanları toplayın veya çıkarın ve radikal ifadeyi aynı bırakın (radikal sayıları eklemeyin veya çıkarmayın!). Buradaki fikir, belirli bir radikal ifadeye sahip kaç kökün belirli bir ifadede yer aldığını göstermektir.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

Bölüm 2 Örneklerle pratik yapalım

1. 1 Örnek 1: √(45) + 4√5.
   • √(45)'i sadeleştirin. Çarpan 45: √(45) = √(9 x 5).
   • Kökün altından 3'ü çıkarın (√9 = 3): √(45) = 3√5.
   • Şimdi köklerdeki faktörleri ekleyin: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 Örnek 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • 6√(40)'ı sadeleştirin. Çarpan 40: 6√(40) = 6√(4 x 10).
   • Kökün altından 2'yi çıkarın (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • Kökten önceki çarpanları çarpın ve 12√10 elde edin.
   • Artık ifade 12√10 - 3√(10) + √5 olarak yazılabilir. İlk iki terim aynı radikale sahip olduğundan ikinci terimi birinciden çıkarabilir ve birinciyi değiştirmeden bırakabilirsiniz.
   • Şunu elde edersiniz: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 Örnek 3. 9√5 -2√3 - 4√5. Burada radikal ifadelerin hiçbiri çarpanlara ayrılamadığı için bu ifade sadeleştirilemez. Üçüncü terimi birinciden çıkarabilir (çünkü kökler aynı olduğundan) ve ikinci terimi değiştirmeden bırakabilirsiniz. Şunu elde edersiniz: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 Örnek 4. √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 x 3) = 3.
   • √4 = √(2 x 2) = 2.
   • Artık 5 elde etmek için 3 + 2'yi toplayabilirsiniz.
   • Son cevap: 5 - 3√2.
5. 5 Örnek 5. Kökleri ve kesirleri içeren bir ifadeyi çözün. Yalnızca ortak (aynı) paydaya sahip kesirleri toplayabilir ve hesaplayabilirsiniz. (√2)/4 + (√2)/2 ifadesi verilmiştir.
   • Bu kesirlerin en küçük ortak paydasını bulun. Bu, her paydaya eşit olarak bölünebilen bir sayıdır. Örneğimizde 4 sayısı 4 ve 2'ye bölünebilir.
   • Şimdi ikinci kesri 2/2 ile çarpın (ortak bir paydaya getirmek için; ilk kesir zaten ona indirgenmiştir): (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
   • Kesirlerin paylarını toplayın ve paydayı aynı bırakın: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• Kökleri toplamadan veya çıkarmadan önce, radikal ifadeleri (mümkünse) basitleştirdiğinizden emin olun.

Uyarılar

• Asla farklı radikal ifadelerle kök ekleme veya çıkarma yapmayın.
• Asla bir tam sayıyı ve kökü eklemeyin veya çıkarmayın; 3 + (2x) 1/2 .
  • Not: "x"in ikinci kuvveti ile "x"in karekökü aynı şeydir (yani, x 1/2 = √x).