Kuvvet, bir sayının kendisiyle çarpılması işlemini basitleştirmek için kullanılır. Örneğin yazmak yerine yazabilirsiniz. 4 5 (\displaystyle 4^(5))(Bu geçişe ilişkin açıklama bu makalenin ilk bölümünde verilmiştir). Dereceler uzun veya karmaşık ifadeler veya denklemler yazmayı kolaylaştırır; kuvvetlerin toplanması ve çıkarılması da kolaydır, bu da basitleştirilmiş bir ifade veya denklemle sonuçlanır (örneğin, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Not:Üstel bir denklemi çözmeniz gerekiyorsa (böyle bir denklemde bilinmeyen üssün içindedir), okuyun.

Adımlar

Derecelerle ilgili basit problemleri çözme

Üssün tabanını, üsse eşit sayıda kendisiyle birkaç kez çarpın. Bir güç problemini elle çözmeniz gerekiyorsa, gücü, gücün tabanının kendisi ile çarpıldığı bir çarpma işlemi olarak yeniden yazın. Örneğin, bir derece verildi 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Bu durumda kuvvet tabanı 3'ün kendisiyle 4 kez çarpılması gerekir: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). İşte diğer örnekler:

İlk önce ilk iki sayıyı çarpın.Örneğin, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Endişelenmeyin; hesaplama süreci ilk bakışta göründüğü kadar karmaşık değildir. Önce ilk iki dördü çarpın ve ardından sonuçla değiştirin. Bunun gibi:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Sonucu (örneğimizde 16) sonraki sayıyla çarpın. Sonraki her sonuç orantılı olarak artacaktır. Örneğimizde 16'yı 4 ile çarpın. Şu şekilde:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Son cevabınızı alana kadar ilk iki sayının sonucunu bir sonraki sayıyla çarpmaya devam edin. Bunu yapmak için ilk iki sayıyı çarpın ve ardından elde edilen sonucu sıradaki bir sonraki sayıyla çarpın. Bu yöntem her derece için geçerlidir. Örneğimizde şunları elde etmelisiniz: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Aşağıdaki problemleri çözün. Bir hesap makinesi kullanarak cevabınızı kontrol edin.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Hesap makinenizde "exp" veya " etiketli anahtarı arayın x n (\displaystyle x^(n))"veya"^". Bu tuşu kullanarak bir sayıyı bir kuvvete yükselteceksiniz. Büyük bir göstergeyle bir dereceyi manuel olarak hesaplamak neredeyse imkansızdır (örneğin, derece) 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ancak hesap makinesi bu görevle kolayca başa çıkabilir. Windows 7'de standart hesap makinesi mühendislik moduna geçirilebilir; Bunu yapmak için “Görünüm” -> “Mühendislik” seçeneğine tıklayın. Normal moda geçmek için “Görüntüle” -> “Normal”e tıklayın.

   • Bir arama motorunu (Google veya Yandex) kullanarak alınan yanıtı kontrol edin. Bilgisayarınızın klavyesindeki "^" tuşunu kullanarak ifadeyi arama motoruna girin; bu, anında doğru cevabı görüntüleyecektir (ve muhtemelen çalışmanız için benzer ifadeler önerecektir).

   Üslerin toplama, çıkarma, çarpması

   1. Dereceleri ancak tabanları aynıysa ekleyebilir ve çıkarabilirsiniz. Aynı taban ve üslere sahip kuvvetleri toplamanız gerekiyorsa toplama işlemini çarpma işlemiyle değiştirebilirsiniz. Örneğin, ifade verildiğinde 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Unutmayın ki derece 4 5 (\displaystyle 4^(5))şeklinde temsil edilebilir 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Böylece, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(burada 1 +1 =2). Yani benzer derecelerin sayısını sayın ve sonra o dereceyle bu sayıyı çarpın. Örneğimizde, 4'ün beşinci kuvvetini artırın ve elde edilen sonucu 2 ile çarpın. Toplama işleminin yerine çarpma işleminin geçebileceğini unutmayın; örneğin, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). İşte diğer örnekler:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Üsleri aynı tabanla çarparken üsleri toplanır (taban değişmez).Örneğin, ifade verildiğinde x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Bu durumda, tabanı değiştirmeden bırakarak göstergeleri eklemeniz yeterlidir. Böylece, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). İşte bu kuralın görsel bir açıklaması:

      Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken üsler çarpılır. Mesela diploma veriliyor. Üslü sayılar çarpıldığına göre, (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Bu kuralın amacı kuvvetlerle çarpmanızdır (x 2) (\displaystyle (x^(2))) kendi başına beş kez. Bunun gibi:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Taban aynı olduğundan üslerin toplamı basit: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Negatif üslü bir kuvvet kesire (ters kuvvet) dönüştürülmelidir. Karşılıklı derecenin ne olduğunu bilmiyorsanız önemli değil. Size negatif üslü bir derece verilirse, ör. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), bu dereceyi kesrin paydasına yazın (payda 1 yazın) ve üssü pozitif yapın. Örneğimizde: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). İşte diğer örnekler:

      Dereceleri aynı tabana göre bölerken üsleri çıkarılır (taban değişmez). Bölme işlemi çarpma işleminin tersidir. Örneğin, ifade verildiğinde 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Paydadaki üssü paydaki üssünden çıkarın (tabanı değiştirmeyin). Böylece, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2))))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Paydanın kuvveti şu şekilde yazılabilir: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Kesirin negatif üssü olan bir sayı (kuvvet, ifade) olduğunu unutmayın.

   4. Aşağıda üslü sayılarla ilgili problemleri çözmeyi öğrenmenize yardımcı olacak bazı ifadeler bulunmaktadır. Verilen ifadeler bu bölümde sunulan materyali kapsamaktadır. Cevabı görmek için eşittir işaretinden sonraki boş alanı seçmeniz yeterlidir.

   Kesirli üslerle ilgili problemleri çözme

   Kesirli üssü olan bir kuvvet (örneğin, ), bir kök işlemine dönüştürülür.Örneğimizde: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Burada kesirli üssün paydasında hangi sayının olduğu önemli değildir. Örneğin, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- “x”in dördüncü köküdür, yani x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Üs uygunsuz bir kesir ise, sorunun çözümünü basitleştirmek için üs iki kuvvete ayrıştırılabilir. Bunda karmaşık bir şey yok - sadece güçleri çarpma kuralını hatırlayın. Mesela diploma veriliyor. Böyle bir kuvveti, gücü kesirli üssün paydasına eşit olan bir köke dönüştürün ve ardından bu kökü, kesirli üssün payına eşit bir kuvvete yükseltin. Bunu yapmak için şunu unutmayın 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Örneğimizde:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Bazı hesap makinelerinde üsleri hesaplamak için bir düğme bulunur (önce tabanı girmeniz, ardından düğmeye basmanız ve ardından üssü girmeniz gerekir). ^ veya x^y olarak gösterilir.
   3. Herhangi bir sayının birinci kuvvetinin kendisine eşit olduğunu unutmayın, örneğin, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Ayrıca herhangi bir sayının bir ile çarpımı veya bölünmesi kendisine eşittir; 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Ve 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. 0 0 kuvvetinin olmadığını bilin (böyle bir kuvvetin çözümü yoktur). Böyle bir dereceyi hesap makinesinde veya bilgisayarda çözmeye çalışırsanız hata alırsınız. Ancak herhangi bir sayının sıfır kuvvetinin 1 olduğunu unutmayın. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Sanal sayılarla çalışan yüksek matematikte: e a ben x = c o s a x + ben s ben n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Nerede ben = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e yaklaşık olarak 2,7'ye eşit bir sabittir; a keyfi bir sabittir. Bu eşitliğin kanıtı herhangi bir yüksek matematik ders kitabında bulunabilir.

   Uyarılar

   • Üs arttıkça değeri de büyük ölçüde artar. Yani cevap size yanlış geliyorsa aslında doğru olabilir. Bunu herhangi bir grafiği çizerek kontrol edebilirsiniz. üstel fonksiyonörneğin 2x.

Negatif kuvvete yükseltmek matematiğin temel unsurlarından biridir ve cebirsel problemlerin çözümünde sıklıkla karşılaşılan bir durumdur. Aşağıda ayrıntılı talimatlar bulunmaktadır.

Negatif güce nasıl yükseltilir - teori

Bir sayıyı sıradan bir kuvvete yükselttiğimizde değerini birkaç kez çarparız. Örneğin, 3 3 = 3×3×3 = 27. Negatif kesirlerde bunun tersi doğrudur. Genel form formüle göre şu şekilde görünecektir: a -n = 1/a n. Bu nedenle, bir sayıyı negatif kuvvete yükseltmek için, birini verilen sayıya, ancak pozitif kuvvete bölmeniz gerekir.

Negatif kuvvete nasıl yükseltilir - sıradan sayılara ilişkin örnekler

Yukarıdaki kuralı aklımızda tutarak birkaç örnek çözelim.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Cevap: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Cevap -4 -2 = 1/16.

Peki birinci ve ikinci örneklerdeki cevaplar neden aynı? Gerçek şu ki, inşa ederken negatif sayıçift ​​kuvvete (2, 4, 6, vb.) göre işaret pozitif olur. Derece eşit olsaydı, eksi kalırdı:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Negatif güce nasıl yükseltilir - 0'dan 1'e kadar sayılar

0 ile 1 arasındaki bir sayının pozitif üssüne yükseltildiğinde, kuvveti arttıkça değerin azaldığını hatırlayın. Örneğin, 0,5 2 = 0,25. 0,25

Örnek 3: 0,5 -2'yi hesaplayın
Çözüm: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Cevap: 0,5 -2 = 4

Analiz (eylem sırası):

• Biz tercüme ediyoruz ondalık 0,5 ila kesirli 1/2. Bu şekilde daha kolay.
  1/2'yi negatif güce yükseltin. 1/(2)-2 . 1'i 1/(2) 2'ye bölersek 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 elde ederiz

Örnek 4: 0,5 -3'ü hesaplayın
Çözüm: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Örnek 5: -0,5 -3'ü hesaplayın
Çözüm: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Cevap: -0,5 -3 = -8

4. ve 5. örneklere dayanarak birkaç sonuç çıkarabiliriz:

• 0 ila 1 aralığında negatif bir kuvvete yükseltilmiş pozitif bir sayı için (örnek 4), kuvvetinin çift veya tek olması önemli değildir, ifadenin değeri pozitif olacaktır. Üstelik derece ne kadar büyük olursa, değer de o kadar büyük olur.
• 0 ila 1 aralığında (örnek 5) negatif bir kuvvete yükseltilmiş bir negatif sayı için, kuvvetinin çift veya tek olması önemli değildir, ifadenin değeri negatif olacaktır. Bu durumda derece ne kadar yüksek olursa değer o kadar düşük olur.

Negatif bir kuvvete nasıl yükseltilir - kesirli sayı biçiminde bir kuvvet

Bu tür ifadeler şu şekildedir: a -m/n, burada a bir normal sayıdır, m derecenin payıdır, n ise derecenin paydasıdır.

Bir örneğe bakalım:
Hesapla: 8 -1/3

Çözüm (eylem sırası):

• Bir sayıyı negatif kuvvete yükseltme kuralını hatırlayalım. Şunu elde ederiz: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Paydanın 8 sayısının kesirli kuvveti olduğuna dikkat edin. Kesirli gücü hesaplamanın genel şekli şu şekildedir: a m/n = n √8 m.
• Böylece 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1) olur. Aldık küp kökü sekizden 2'ye eşittir. Buradan 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Cevap: 8 -1/3 = 2

Hepimiz okuldan üs alma kuralını biliyoruz: Üssü N olan herhangi bir sayı, bu sayının kendisi ile N sayıda çarpılmasının sonucuna eşittir. Başka bir deyişle, 7 üssü 3, 7'nin kendisiyle üç kez çarpılması, yani 343'tür. Başka bir kural, herhangi bir miktarın 0'a yükseltilmesinin bir vermesidir ve negatif bir miktarın yükseltilmesi, sıradan bir artırmanın sonucudur. çift ​​ise kuvvet, tek ise eksi işaretiyle aynı sonuç.

Kurallar aynı zamanda bir sayının negatif kuvvetinin nasıl artırılacağı sorusunun da cevabını verir. Bunu yapmak için, gerekli değeri her zamanki gibi göstergenin modülüne göre yükseltmeniz ve ardından birimi sonuca bölmeniz gerekir.

Bu kurallardan, büyük miktarları içeren gerçek görevlerin gerçekleştirilmesinin, teknik araçlar. Manuel olarak, yirmi ila otuza kadar maksimum sayı aralığını kendinizle ve ardından üç veya dört defadan fazla çarpamazsınız. Bu, birinin sonuca bölünmesinden bahsetmiyor. Bu nedenle, elinde özel bir mühendislik hesap makinesi olmayanlar için, Excel'de bir sayıyı negatif kuvvete nasıl yükselteceğinizi anlatacağız.

Excel'de sorunları çözme

İnşaatla ilgili sorunları çözmek için Excel derecesi iki seçenekten birini kullanmanızı sağlar.

Birincisi standart “kapak” işaretli formülün kullanılmasıdır. Aşağıdaki verileri çalışma sayfası hücrelerine girin:

Aynı şekilde, istenen değeri herhangi bir güce (negatif, kesirli) yükseltebilirsiniz. Hadi yapalım aşağıdaki eylemler ve bir sayının negatif kuvvetinin nasıl artırılacağı sorusunu yanıtlayın. Örnek:

=B2^-C2'yi doğrudan formülde düzeltebilirsiniz.

İkinci seçenek, iki gerekli argümanı (bir sayı ve bir üs) alan hazır "Derece" işlevini kullanmaktır. Kullanmaya başlamak için herhangi bir boş hücreye formülün başlangıcını belirten eşittir işaretini (=) koymanız ve yukarıdaki kelimeleri girmeniz yeterlidir. Geriye kalan tek şey, işleme katılacak iki hücreyi seçmek (veya belirli sayıları manuel olarak belirtmek) ve Enter tuşuna basmaktır. Birkaç basit örneğe bakalım.

Gördüğünüz gibi, Excel'i kullanarak bir sayının negatif kuvvetine ve normal kuvvetine nasıl yükseltileceği konusunda karmaşık bir şey yoktur. Sonuçta, bu sorunu çözmek için hem tanıdık "kapak" sembolünü hem de programın hatırlanması kolay yerleşik işlevini kullanabilirsiniz. Bu kesin bir artı!

Daha karmaşık örneklere geçelim. Bir sayının negatif kesirli kuvvetine nasıl yükseltileceğine ilişkin kuralı hatırlayalım ve bu sorunun Excel'de çok kolay çözüldüğünü göreceğiz.

Kesirli göstergeler

Kısacası kesirli üslü bir sayıyı hesaplama algoritması aşağıdaki gibidir.

1. Bir kesri doğru veya yanlış kesire dönüştürün.
2. Sayımızı, elde edilen dönüştürülmüş kesrin payına yükseltin.
3. Önceki paragrafta elde edilen sayıdan, kökün üssünün ilk aşamada elde edilen kesrin paydası olması koşuluyla kökü hesaplayın.

Küçük sayılarla çalışırken bile bunu kabul edin ve kesirleri düzelt Bu tür hesaplamalar çok zaman alabilir. Excel elektronik tablo işlemcisinin hangi sayının hangi güce yükseltildiğini umursamaması iyi bir şey. Aşağıdaki örneği bir Excel çalışma sayfasında çözmeyi deneyin:

Yukarıdaki kuralları kullanarak hesaplamanın doğru yapıldığını kontrol edebilir ve emin olabilirsiniz.

Makalemizin sonunda formüller ve sonuçlar içeren bir tablo şeklinde bir sayının negatif kuvvetine nasıl yükseltileceğine dair çeşitli örneklerin yanı sıra kesirli sayılar ve kuvvetlerle işlem yapmanın birkaç örneğini sunacağız.

Örnek tablo

Excel çalışma sayfanızda aşağıdaki örneklere göz atın. Her şeyin doğru çalışması için formülü kopyalarken karma referans kullanmanız gerekir. Yükseltilen sayıyı içeren sütunun numarasını ve göstergeyi içeren satırın numarasını sabitleyin. Formülünüz şuna benzemelidir: “=$B4^C$3.”

Pozitif sayıların (tam sayı olmayanlar bile) herhangi bir üs için sorunsuz hesaplanabileceğini lütfen unutmayın. Herhangi bir sayıyı tam sayılara yükseltmede herhangi bir sorun yoktur. Ancak negatif bir sayıyı kesirli bir kuvvete yükseltmek sizin için bir hata olacaktır çünkü makalemizin başında negatif sayıların yükseltilmesiyle ilgili kurala uymak imkansızdır çünkü eşlik yalnızca TAM sayının bir özelliğidir.

Bir kuvvete yükseltilmiş bir sayı Kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıya seslenirler.

Negatif değerli bir sayının kuvveti (BİR) aynı sayının pozitif üslü kuvvetinin belirlenmesine benzer şekilde belirlenebilir (BİR) . Ancak aynı zamanda ek tanımlamayı da gerektirir. Formül şu şekilde tanımlanır:

BİR = (1/a n)

Sayıların negatif kuvvetlerinin özellikleri, pozitif üslü kuvvetlere benzer. Sunulan denklem A m/a n= bir m-n kadar adil olabilir

« Hiçbir yerde, matematikte olduğu gibi, sonucun netliği ve doğruluğu, bir kişinin sorunun etrafından konuşarak bir cevaptan kaçmasına izin vermez.».

AD Alexandrov

en N Daha M , Ve birlikte M Daha N . Bir örneğe bakalım: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Öncelikle derecenin tanımı görevi gören sayıyı belirlemeniz gerekir. b=a(-n) . Bu örnekte -N bir üs B - istenilen sayısal değer, A - doğal bir biçimde derecenin temeli Sayısal değer. Daha sonra üs görevi gören negatif bir sayının mutlak değerini, yani modülü belirleyin. Belirli bir göreli sayının gücünü hesaplayın mutlak sayı, bir gösterge olarak. Derecenin değeri, birin elde edilen sayıya bölünmesiyle bulunur.

Pirinç. 1

Negatif kesirli üssü olan bir sayının kuvvetini düşünün. a sayısının herhangi bir pozitif sayı olduğunu düşünelim. N Ve M - tamsayılar. Tanıma göre A , iktidara yükseltilen - birin pozitif kuvveti olan aynı sayıya bölünmesine eşittir (Şekil 1). Bir sayının kuvveti kesir olduğunda, bu gibi durumlarda yalnızca pozitif üslü sayılar kullanılır.

Hatırlamaya değer sıfırın hiçbir zaman bir sayının üssü olamayacağı (sıfıra bölme kuralı).

Sayı olarak böyle bir kavramın yaygınlaşması, ölçüm hesaplamaları gibi manipülasyonların yanı sıra matematiğin bir bilim olarak gelişmesine de yol açtı. Negatif değerlerin tanıtılması cebirin gelişmesinden kaynaklanıyordu; genel çözümlerözel anlamlarından ve başlangıçtaki sayısal verilerden bağımsız olarak aritmetik problemler. Hindistan'da 6. ve 11. yüzyıllarda problemlerin çözümünde negatif sayılar sistematik olarak kullanılıyordu ve bugünkü gibi yorumlanıyordu. Negatif sayıların geometrik yorumunu segmentlerin yönleri olarak veren R. Descartes sayesinde Avrupa biliminde negatif sayılar yaygın olarak kullanılmaya başlandı. İki katlı bir formül olarak gösterilecek bir kuvvete yükseltilmiş bir sayının belirtilmesini öneren Descartes'tı. BİR .

çarpma işlemiyle bulunabilir. Örneğin: 5+5+5+5+5+5=5x6. Böyle bir ifadeye, eşit terimlerin toplamının bir çarpıma katlanması denir. Tam tersi, bu eşitliği sağdan sola okursak eşit terimlerin toplamını genişlettiğimizi görürüz. Benzer şekilde, 5x5x5x5x5x5=5 6 gibi birkaç eşit faktörün çarpımını daraltabilirsiniz.

Yani 6 tane aynı çarpanı 5x5x5x5x5x5 ile çarpmak yerine 5 6 yazıp “beşin altıncı kuvveti” diyorlar.

5 6 ifadesi bir sayının kuvvetidir; burada:

5 - derece esası;

6 - üs.

Eşit faktörlerin çarpımının bir kuvvete indirgendiği eylemlere denir bir güce yükseltiyor.

Tabanı “a” ve üssü “n” olan bir derece genel olarak şu şekilde yazılır:

A sayısını n üssüne çıkarmak, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımını bulmak anlamına gelir.

“a” derecesinin tabanı 1 ise herhangi bir n doğal sayısının derece değeri 1 olacaktır. Örneğin 1 5 =1, 1 256 =1

Eğer “a” sayısını yükseltirseniz Birinci derece, o zaman a sayısının kendisini elde ederiz: bir 1 = bir

Herhangi bir sayıyı yükseltirseniz sıfır derece, o zaman hesaplamalar sonucunda bir tane elde ederiz. 0 = 1

Bir sayının ikinci ve üçüncü kuvvetleri özel kabul edilir. Onlar için isimler buldular: ikinci dereceye denir sayının karesini almak, üçüncü - küp bu numara.

Herhangi bir sayı bir kuvvete yükseltilebilir - pozitif, negatif veya sıfır. Bu durumda aşağıdaki kurallar geçerli değildir:

Pozitif bir sayının kuvveti bulunurken sonuç pozitif bir sayıdır.

Sıfırın doğal gücünü hesapladığımızda sıfır elde ederiz.

xm · xn = x m + n

örneğin: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

İle Güçleri aynı temellere göre bölmek Tabanı değiştirmiyoruz, ancak üsleri çıkarıyoruz:

xm / xn = x m - n , Nerede, m > n,

örneğin: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Hesaplarken bir gücü bir güce yükseltmek Tabanı değiştirmiyoruz, üsleri birbiriyle çarpıyoruz.

(m'de ) N = y m N

örneğin: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

örneğin:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Buna göre hesaplamalar yapılırken bir kesri bir kuvvete yükseltmek kesrin payını ve paydasını belirli bir güce yükseltiriz

(x/y)n = x n / y n

örneğin: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Derece içeren ifadelerle çalışırken hesaplama sırası.

Parantezsiz ancak üs içeren ifadelerin hesaplamalarını yaparken öncelikle üs alma, sonra çarpma ve bölme, ardından da toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirirler.

Parantez içeren bir ifadeyi hesaplamanız gerekiyorsa, önce parantez içindeki hesaplamaları yukarıda belirtilen sırayla, ardından geri kalan işlemleri soldan sağa aynı sırayla yapın.

Pratik hesaplamalarda çok yaygın olarak, hesaplamaları basitleştirmek için hazır güç tabloları kullanılır.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Negatif üslü üs. Tanım ve problem çözme örnekleri"

Ek materyaller
Değerli kullanıcılarımız yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

8. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
Ders kitabı için el kitabı Muravin G.K.    Alimov Sh.A.'nın ders kitabı kılavuzu.

Negatif üslü derecenin belirlenmesi

Herhangi bir sayının sıfır kuvvetinin bire eşit olduğunu çok iyi biliyoruz. $a^0=1$, $a≠0$.
Şu soru ortaya çıkıyor: Bir sayıyı negatif kuvvete yükseltirseniz ne olur? Örneğin $2^(-2)$ sayısı neye eşit olacak?
Bu soruyu soran ilk matematikçiler, tekerleği yeniden icat etmenin bir anlamı olmadığına, derecelerin tüm özelliklerinin aynı kalmasının iyi olduğuna karar verdiler. Yani aynı tabana sahip kuvvetler çarpıldığında üsler toplanır.
Şu durumu ele alalım: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Bu sayıların çarpımının bir vermesi gerektiğini bulduk. Çarpımdaki birim, karşılıklı sayıların çarpılmasıyla elde edilir, yani $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Böyle bir akıl yürütme aşağıdaki tanıma yol açtı.
Tanım. Eğer $n$ – doğal sayı ve $a≠0$ ise eşitlik geçerlidir: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Sıklıkla kullanılan önemli bir kimlik şudur: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Özellikle, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Çözüm örnekleri

Çözüm.
Her terimi ayrı ayrı ele alalım.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek için kalır: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Cevap: $6\frac(1)(4)$.

Örnek 2.
Belirli bir sayıyı kuvvet olarak temsil etme asal sayı$\frac(1)(729)$.

Çözüm.
Açıkçası, $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Ancak 729, sonu 9 ile biten bir asal sayı değildir. Bu sayının üçün kuvveti olduğu varsayılabilir. 729'u tutarlı bir şekilde 3'e bölün.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Altı işlem gerçekleştirildi ve bu şu anlama geliyor: $729=3^6$.
Görevimiz için:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Cevap: $3^(-6)$.

Örnek 3. İfadeyi bir kuvvet olarak ifade edin: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Çözüm. İlk eylem her zaman parantez içinde gerçekleştirilir, ardından çarpma $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10)((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5))))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Cevap: $a$.

Örnek 4. Kimliği kanıtlayın:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Çözüm.
Sol tarafta, parantez içindeki her faktörü ayrı ayrı ele alıyoruz.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x)) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^) 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y))))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Böldüğümüz kesre geçelim.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Bölmeyi yapalım.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Kanıtlamamız gereken doğru kimliği elde ettik.

Dersin sonunda üslerle çalışmanın kurallarını bir kez daha yazacağız, burada üs bir tam sayıdır.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

Negatif bir güce yükseltmek, cebirsel problemlerin çözümünde sıklıkla karşılaşılan matematiğin temel unsurlarından biridir. Aşağıda ayrıntılı talimatlar bulunmaktadır.

Negatif güce nasıl yükseltilir - teori

Bir sayıyı sıradan bir kuvvete yükselttiğimizde değerini birkaç kez çarparız. Örneğin, 3 3 = 3×3×3 = 27. Negatif kesirlerde bunun tersi doğrudur. Formülün genel şekli şu şekilde olacaktır: a -n = 1/a n. Bu nedenle, bir sayıyı negatif kuvvete yükseltmek için, birini verilen sayıya, ancak pozitif kuvvete bölmeniz gerekir.

Negatif kuvvete nasıl yükseltilir - sıradan sayılara ilişkin örnekler

Yukarıdaki kuralı aklımızda tutarak birkaç örnek çözelim.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Cevap: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Cevap -4 -2 = 1/16.

Peki birinci ve ikinci örneklerdeki cevaplar neden aynı? Gerçek şu ki, negatif bir sayı çift kuvvete yükseltildiğinde (2, 4, 6 vb.), işaret pozitif olur. Derece eşit olsaydı, eksi kalırdı:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Sayılar 0'dan 1'e negatif kuvvete nasıl yükseltilir

0 ile 1 arasındaki bir sayının pozitif üssüne yükseltildiğinde, kuvveti arttıkça değerin azaldığını hatırlayın. Örneğin, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Örnek 3: 0,5 -2'yi hesaplayın
Çözüm: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Cevap: 0,5 -2 = 4

Analiz (eylem sırası):

• Ondalık kesir 0,5'i kesirli kesir 1/2'ye dönüştürün. Bu şekilde daha kolay.
  1/2'yi negatif güce yükseltin. 1/(2)-2 . 1'i 1/(2) 2'ye bölersek 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 elde ederiz

Örnek 4: 0,5 -3'ü hesaplayın
Çözüm: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Örnek 5: -0,5 -3'ü hesaplayın
Çözüm: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Cevap: -0,5 -3 = -8

4. ve 5. örneklere dayanarak birkaç sonuç çıkarabiliriz:

• 0 ila 1 aralığında negatif bir kuvvete yükseltilmiş pozitif bir sayı için (örnek 4), kuvvetinin çift veya tek olması önemli değildir, ifadenin değeri pozitif olacaktır. Üstelik derece ne kadar büyük olursa, değer de o kadar büyük olur.
• 0 ila 1 aralığında (örnek 5) negatif bir kuvvete yükseltilmiş bir negatif sayı için, kuvvetinin çift veya tek olması önemli değildir, ifadenin değeri negatif olacaktır. Bu durumda derece ne kadar yüksek olursa değer o kadar düşük olur.

Negatif bir kuvvete nasıl yükseltilir - kesirli sayı biçiminde bir kuvvet

Bu tür ifadeler şu şekildedir: a -m/n, burada a bir normal sayıdır, m derecenin payıdır, n ise derecenin paydasıdır.

Bir örneğe bakalım:
Hesapla: 8 -1/3

Çözüm (eylem sırası):

• Bir sayıyı negatif kuvvete yükseltme kuralını hatırlayalım. Şunu elde ederiz: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Paydanın 8 sayısının kesirli kuvveti olduğuna dikkat edin. Kesirli gücü hesaplamanın genel şekli şu şekildedir: a m/n = n √8 m.
• Böylece 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1) olur. 2'ye eşit olan sekizin küpkökünü elde ederiz. Buradan 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2 olur.
• Cevap: 8 -1/3 = 2