Kesirlerin azaltılmasının ne olduğunu, kesirlerin neden ve nasıl azaltılacağını anlayalım ve kesirleri azaltma kuralını ve kullanım örneklerini verelim.

Yandex.RTB R-A-339285-1

"Kesirleri azaltmak" nedir

Bir kesri azaltmak, payını ve paydasını pozitif ve birden farklı ortak bir faktöre bölmektir.

Bu işlem sonucunda orijinal kesire eşit, yeni pay ve paydaya sahip bir kesir elde edilecektir.

Örneğin 6 24 ortak kesirini alıp azaltalım. Payı ve paydayı 2'ye bölün, sonuçta 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 elde edilir. Bu örnekte orijinal kesri 2 azalttık.

Kesirlerin indirgenemez forma indirgenmesi

Önceki örnekte 6 24 kesirini 2 azaltıp 3 12 kesirini elde ettik. Bu oranın daha da azaltılabileceğini görmek kolaydır. Tipik olarak kesirleri azaltmanın amacı indirgenemez bir kesir elde etmektir. Bir kesir indirgenemez formuna nasıl indirgenir?

Bu, pay ve paydayı en büyük ortak faktöre (GCD) göre azaltarak yapılabilir. O halde, en büyüğün mülkiyeti gereği ortak bölen, pay ve payda karşılıklı asal sayılara sahip olacak ve kesir indirgenemez olacaktır.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Bir kesri indirgenemez bir forma indirgemek

Bir kesri indirgenemez bir forma indirmek için payını ve paydasını gcd'lerine bölmeniz gerekir.

İlk örnekten 6 24 kesrine dönelim ve indirgenemez formuna getirelim. 6 ve 24 sayılarının en büyük ortak böleni 6'dır. Kesri azaltalım:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Büyük sayılarla çalışmamak için kesirlerin azaltılmasının kullanılması uygundur. Genel olarak matematikte söylenmemiş bir kural vardır: Herhangi bir ifadeyi basitleştirebiliyorsanız, bunu yapmanız gerekir. Bir kesri azaltmak çoğu zaman onu indirgenemez bir forma indirgemek anlamına gelir ve onu basitçe pay ve paydanın ortak böleniyle azaltmak anlamına gelmez.

Kesirleri azaltma kuralı

Kesirleri azaltmak için iki adımdan oluşan kuralı hatırlamanız yeterlidir.

Kesirleri azaltma kuralı

Bir kesri azaltmak için ihtiyacınız olan:

1. Pay ve paydanın gcd'sini bulun.
2. Pay ve paydayı gcd'lerine bölün.

Pratik örneklere bakalım.

Örnek 1. Kesri azaltalım.

182 195 kesri göz önüne alındığında. Kısaltalım.

Pay ve paydanın gcd'sini bulalım. Bu amaçla bu durumdaÖklid algoritmasını kullanmak en uygunudur.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 NOD (182, 195) = 13

Pay ve paydayı 13'e bölün. Şunu elde ederiz:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Hazır. Orijinal kesire eşit indirgenemez bir kesir elde ettik.

Kesirleri başka nasıl azaltabilirsiniz? Bazı durumlarda pay ve paydayı asal çarpanlara ayırmak ve ardından kesirin üst ve alt kısımlarından tüm ortak çarpanları çıkarmak uygun olur.

Örnek 2. Kesri azaltın

360 2940 kesri göz önüne alındığında. Kısaltalım.

Bunu yapmak için orijinal kesri şu şekilde hayal edin:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Pay ve paydadaki ortak faktörlerden kurtulalım, sonuçta:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Son olarak kesirleri azaltmanın başka bir yoluna bakalım. Bu sözde sıralı azalmadır. Bu yöntemi kullanarak indirgeme, her birinde fraksiyonun bazı bariz ortak faktörlerle azaltıldığı birkaç aşamada gerçekleştirilir.

Örnek 3. Kesri azaltın

2000 4400 kesrini azaltalım.

Pay ve paydanın ortak 100 çarpanına sahip olduğu hemen anlaşılıyor. Kesri 100'e indiririz ve şunu elde ederiz:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Ortaya çıkan sonucu tekrar 2 oranında azaltıyoruz ve indirgenemez bir kesir elde ediyoruz:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Kesirlerin nasıl azaltılacağını anlamak için önce bir örneğe bakalım.

Bir kesri azaltmak, pay ve paydayı aynı şeye bölmek anlamına gelir. Hem 360 hem de 420 rakamıyla bittiği için bu kesri 2'ye indirebiliriz. Yeni kesirde hem 180 hem de 210 da 2'ye bölünebildiği için bu kesri 2'ye indirgemiş oluruz. 90 ve 105 sayılarında toplam rakamların rakamları 3'e bölünebildiği için bu sayıların ikisi de 3'e bölünüyor, kesri 3'e düşürüyoruz. Yeni kesirde 30 ve 35'in sonu 0 ve 5'le bitiyor, yani her iki sayı da 5'e bölünüyor, yani azaltıyoruz kesir 5'tir. Ortaya çıkan yedide altılık kesir indirgenemez. Bu son cevaptır.

Aynı cevaba farklı şekillerde de ulaşabiliriz.

360 da 420 de sıfırla bitiyor yani 10'a bölünebiliyorlar. Kesri 10 azaltıyoruz. Yeni kesirde hem pay 36 hem de payda 42 2'ye bölünüyor. Kesri 2'ye düşürüyoruz. bir sonraki kesirde hem pay 18'i hem de payda 21'i 3'e bölüyoruz, bu da kesri 3'e düşürdüğümüz anlamına geliyor. Sonuca geldik - yedide altı.

Ve bir çözüm daha.

Bir dahaki sefere kesirleri azaltma örneklerine bakacağız.

Çevrimiçi hesap makinesi gerçekleştirir kesinti cebirsel kesirler kesirleri azaltma kuralına uygun olarak: orijinal kesri eşit bir kesirle, ancak daha küçük bir pay ve paydayla değiştirmek, yani. Bir kesrin payını ve paydasını ortak en büyük ortak faktörüne (GCD) aynı anda bölmek. Hesap makinesi aynı zamanda azaltma sırasını anlamanıza yardımcı olacak ayrıntılı bir çözüm de görüntüler.

Verilen:

Çözüm:

Kesir azaltma işlemi gerçekleştirme

cebirsel kesir azaltma gerçekleştirme olasılığının kontrol edilmesi

1) Bir kesrin pay ve paydasının en büyük ortak böleninin (GCD) belirlenmesi

cebirsel bir kesrin pay ve paydasının en büyük ortak bölenini (GCD) belirleme

2) Bir kesrin pay ve paydasının azaltılması

cebirsel bir kesrin payını ve paydasını azaltmak

3) Bir kesrin tam kısmını seçmek

cebirsel bir kesirin tamamını ayırma

4) Cebirsel bir kesri ondalık kesire dönüştürme

cebirsel bir kesri dönüştürme ondalık

Projenin web sitesinin geliştirilmesi için yardım

Sayın Site Ziyaretçisi.
Aradığınızı bulamadıysanız, sitede şu anda neyin eksik olduğunu yorumlarda yazdığınızdan emin olun. Bu, hangi yönde ilerlememiz gerektiğini anlamamıza yardımcı olacak ve diğer ziyaretçiler de yakında gerekli materyali alabilecek.
Sitenin sizin için yararlı olduğu ortaya çıktıysa siteyi projeye bağışlayın sadece 2 ₽ ve doğru yönde ilerlediğimizi bileceğiz.

Uğradığınız için teşekkür ederim!

I. Çevrimiçi bir hesap makinesi kullanarak cebirsel bir kesri azaltma prosedürü:

1. Cebirsel bir kesri azaltmak için kesrin pay ve payda değerlerini uygun alanlara girin. Kesir karışıksa, kesrin tamamına karşılık gelen alanı da doldurun. Kesir basitse parça alanının tamamını boş bırakın.
2. Negatif bir kesir belirtmek için kesrin tamamına eksi işareti koyun.
3. Belirtilen cebirsel kesre bağlı olarak aşağıdaki eylem dizisi otomatik olarak gerçekleştirilir:

• bir kesrin pay ve paydasının en büyük ortak bölenini (GCD) belirleme;
• bir kesrin pay ve paydasını gcd ile azaltmak;
• bir kesrin tamamının vurgulanması son kesrin payı paydadan büyükse.
• son cebirsel kesri ondalık kesre dönüştürme en yakın yüzlüğe yuvarlanır.

II. Referans için:

Kesir, bir birimin bir veya daha fazla bölümünden (kesirlerinden) oluşan bir sayıdır. Ortak kesir(basit kesir), bölme işaretini gösteren yatay bir çubukla (kesir çubuğu) ayrılan iki sayı (kesrin payı ve paydası) olarak yazılır. Bir kesrin payı, kesir çizgisinin üzerindeki sayıdır. Pay, bütünden kaç pay alındığını gösterir. Bir kesrin paydası kesir çizgisinin altındaki sayıdır. Payda bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü gösterir. Basit kesir, tam kısmı olmayan kesirdir. Basit bir kesir doğru ya da yanlış olabilir. uygun kesir - payı olan bir kesir paydadan daha az, dolayısıyla uygun bir kesir her zaman birden küçüktür. Uygun kesirlere örnek: 8/7, 11/19, 16/17. Uygunsuz kesir, payın paydadan büyük veya paydaya eşit olduğu bir kesirdir; dolayısıyla uygunsuz kesir her zaman birden büyük veya bire eşittir. Uygunsuz kesirlere örnek: 7/6, 8/7, 13/13. Karışık kesir, bir tam sayı ve bir özel kesir içeren ve bu tam sayı ile bir özel kesrin toplamını ifade eden bir sayıdır. Herhangi bir karışık kesir, uygunsuz bir kesire dönüştürülebilir basit kesir. Örnek karışık kesirler: 1¼, 2½, 4¾.

III. Not:

1. Kaynak veri bloğu vurgulandı sarı , ara hesaplamalar bloğu mavi renkle vurgulanır, çözüm bloğu yeşil renkle vurgulanır.
2. Ortak veya karışık kesirleri toplamak, çıkarmak, çarpmak ve bölmek için şunu kullanın: çevrimiçi kesir hesaplayıcı Detaylı bir çözüm ile.

Birçok öğrenci kesirlerle çalışırken aynı hataları yapar. Ve bunların hepsi temel kuralları unuttukları için aritmetik. Bugün bu kuralları tekrarlayacağız. özel görevler derslerimde verdiğim.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlanan herkese önerdiğim görev şu:

Görev. Bir yunus günde 150 gram yiyecek yer. Ama büyüdü ve %20 daha fazla yemeye başladı. Domuz şu anda kaç gram yem yiyor?

Olumsuz doğru çözüm. Bu, denklemle özetlenen bir yüzde problemidir:

Çoğu (çok fazla), bir kesrin pay ve paydasındaki 100 sayısını azaltır:

Bu, öğrencimin bu makaleyi yazdığı gün yaptığı hatadır. Kesilen sayılar kırmızıyla işaretlenmiştir.

Cevabın yanlış olduğunu söylemeye gerek yok. Kendinize hakim olun: domuz 150 gram yedi, ancak 3150 gram yemeye başladı. Artış %20 değil 21 kat yani. %2000 oranında.

Bu tür yanlış anlamaları önlemek için temel kuralı unutmayın:

Yalnızca çarpanlar azaltılabilir. Şartlar azaltılamaz!

Böylece önceki sorunun doğru çözümü şuna benzer:

Pay ve paydada kısaltılmış sayılar kırmızıyla işaretlenmiştir. Gördüğünüz gibi pay çarpım, payda ise sıradan sayı. Bu nedenle indirim tamamen yasaldır.

Oranlarla çalışmak

Bir diğer sorunlu alan — oranlar. Özellikle değişken her iki tarafta olduğunda. Örneğin:

Görev. Denklemi çözün:

Yanlış çözüm - bazı insanlar kelimenin tam anlamıyla her şeyi m kadar kısaltmak için can atıyor:

Azaltılmış değişkenler kırmızıyla gösterilmiştir. 1/4 = 1/5 ifadesi tam bir saçmalık olarak ortaya çıkıyor, bu sayılar hiçbir zaman eşit olmuyor.

Ve şimdi - doğru karar. Aslında sıradan Doğrusal Denklem . Tüm elemanları bir tarafa taşıyarak veya orantı temel özelliğiyle çözülebilir:

Pek çok okuyucu şöyle itiraz edecek: “İlk çözümde hata nerede?” Peki, hadi çözelim. Denklemlerle çalışmanın kuralını hatırlayalım:

Herhangi bir denklem herhangi bir sayıya bölünebilir ve çarpılabilir, sıfır olmayan.

Hileyi kaçırdın mı? Yalnızca sayılara bölebilirsiniz sıfır olmayan. Özellikle m değişkenine yalnızca m != 0 ise bölebilirsiniz. Peki ya m = 0 ise? Değiştirip kontrol edelim:

Doğru sayısal eşitliği aldık, yani. m = 0 denklemin köküdür. Geriye kalan m != 0 için 1/4 = 1/5 şeklinde bir ifade elde ederiz ki bu doğal olarak yanlıştır. Dolayısıyla sıfırdan farklı kökler yoktur.

Sonuç: hepsini bir araya getirmek

Yani çözmek için kesirli rasyonel denklemlerüç kuralı unutmayın:

1. Yalnızca çarpanlar azaltılabilir. Eklemelere izin verilmez. Bu nedenle pay ve paydayı çarpanlara ayırmayı öğrenin;
2. Oranın ana özelliği: aşırı elemanların çarpımı ortadakilerin çarpımına eşittir;
3. Denklemler yalnızca sıfır dışındaki k sayılarıyla çarpılıp bölünebilir. k = 0 durumu ayrıca kontrol edilmelidir.

Bu kuralları unutmayın ve hata yapmayın.