Sıradan kesirli sayılar Günlük yaşamda çoğu zaman bir nesneyi bir bütün olarak değil, ayrı parçalar halinde incelemek veya kullanmak gerektiğinden okul çocukları ile ilk kez 5. sınıfta tanışırlar ve hayatları boyunca onlara eşlik ederler. Bu konuyu incelemeye başlayın - paylaşımlar. Hisseler eşit parçadır, bunun veya bu nesnenin bölündüğü. Sonuçta, örneğin bir ürünün uzunluğunu veya fiyatını tam sayı olarak ifade etmek her zaman mümkün değildir; bir ölçünün parçaları veya kesirleri dikkate alınmalıdır. "Bölmek" fiilinden oluşan - parçalara bölmek ve Arapça köklere sahip olan "kesir" kelimesinin kendisi 8. yüzyılda Rus dilinde ortaya çıktı.

Kesirli ifadeler uzun zamandır matematiğin en zor dalı olarak kabul ediliyor. 17. yüzyılda matematikle ilgili ilk ders kitapları ortaya çıktığında bunlara “kırık sayılar” adı veriliyordu ve bu durum insanların anlaması oldukça zordu.

Modern görünüm Parçaları yatay bir çizgiyle ayrılan basit kesirli kalanlar, ilk olarak Fibonacci - Pisa Leonardo tarafından tanıtıldı. Eserleri 1202 yılına tarihlenmektedir. Ancak bu makalenin amacı okuyucuya çarpma işleminin nasıl gerçekleştiğini basit ve net bir şekilde anlatmaktır. karışık kesirlerİle farklı paydalar.

Paydaları Farklı Kesirlerle Çarpma

Başlangıçta belirlemeye değer kesir türleri:

• doğru;
• yanlış;
• karışık.

Daha sonra kesirli sayıların nasıl çarpıldığını hatırlamanız gerekir. aynı paydalar. Bu sürecin kuralını bağımsız olarak formüle etmek kolaydır: çarpmanın sonucu basit kesirler paydaları aynı olan kesirli bir ifadedir; payı payların ürünüdür ve payda bu kesirlerin paydalarının ürünüdür. Yani aslında yeni payda, başlangıçta var olanlardan birinin karesidir.

Çarpma sırasında farklı paydalara sahip basit kesirler iki veya daha fazla faktör için kural değişmez:

A/B * C/D = AC / b*d.

Tek fark, kesir çizgisinin altında ortaya çıkan sayının farklı sayıların çarpımı ve doğal olarak birin karesi olmasıdır. sayısal ifade adını koymak mümkün değil.

Örnekleri kullanarak farklı paydalara sahip kesirlerin çarpımını düşünmeye değer:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Örneklerde kesirli ifadelerin azaltılmasına yönelik yöntemler kullanılmaktadır. Pay sayılarını yalnızca payda sayılarıyla azaltabilirsiniz; kesir çizgisinin üstündeki veya altındaki bitişik faktörler azaltılamaz.

Basit kesirlerin yanı sıra karışık kesirler kavramı da vardır. Karışık sayı bir tam sayı ve bir kesirli kısımdan oluşur, yani bu sayıların toplamıdır:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Çarpma nasıl çalışır?

Dikkate alınması için çeşitli örnekler verilmiştir.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Örnekte bir sayının çarpımı kullanılıyor sıradan kesirli kısım Bu eylemin kuralı şu şekilde yazılabilir:

A* B/C = a*b /C.

Aslında böyle bir çarpım aynı kesirli kalanların toplamıdır ve terim sayısı bunu gösterir. doğal sayı. Özel durum:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Bir sayıyı kesirli bir kalanla çarpmanın başka bir çözümü daha var. Paydayı bu sayıya bölmeniz yeterlidir:

D* e/F = e/f: d.

Bu teknik, paydanın kalansız bir doğal sayıya veya dedikleri gibi bir tam sayıya bölünmesi durumunda kullanışlıdır.

Karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürün ve ürünü daha önce açıklanan şekilde elde edin:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Bu örnek, karışık bir kesri uygunsuz bir kesir olarak temsil etmenin bir yolunu içerir ve aynı zamanda genel bir formül olarak da temsil edilebilir:

A BC = a*b+ c / c, burada yeni kesrin paydası, tüm parçanın payda ile çarpılması ve orijinal kesirli kalanın payı ile eklenmesiyle oluşturulur ve payda aynı kalır.

Bu süreç aynı zamanda şu şekilde de çalışır: ters taraf. Tam kısmı ve kesirli kalanı ayırmak için payı bölmeniz gerekir. uygunsuz kesir paydasına bir “köşe” ile.

Bilinmeyen Kesirlerin Çarpılması genel kabul görmüş bir şekilde üretilir. Tek kesir çizgisi altında yazarken bu yöntemi kullanarak sayıları azaltmak ve sonucu hesaplamayı kolaylaştırmak için kesirleri gerektiği kadar azaltmanız gerekir.

İnternette karmaşık matematik problemlerini bile çözebilecek pek çok yardımcı var. çeşitli varyasyonlar programlar. Yeterli miktar bu tür hizmetler kesirlerin çarpımlarının sayılmasında yardımcı olurlar. farklı sayılar paydalarda - kesirleri hesaplamak için sözde çevrimiçi hesap makineleri. Sadece çarpmakla kalmayıp, aynı zamanda sıradan kesirler ve karışık sayılarla diğer tüm basit aritmetik işlemleri de gerçekleştirebilirler. Çalışması kolaydır; site sayfasındaki uygun alanları doldurup işareti seçersiniz. matematiksel operasyon ve "hesapla"ya tıklayın. Program otomatik olarak hesaplama yapar.

Kesirlerle aritmetik işlemler konusu ortaokul ve lise öğrencilerinin eğitimi boyunca geçerlidir. Lisede artık en basit türleri dikkate almıyorlar, ancak tamsayı kesirli ifadeler ancak daha önce elde edilen dönüşüm ve hesaplama kurallarının bilgisi orijinal haliyle uygulanır. İyi derecede hakim olunan temel bilgiler, tam bir güven sağlar. başarılı karar en karmaşık görevler.

Sonuç olarak, Lev Nikolaevich Tolstoy'un şu sözlerinden alıntı yapmak mantıklıdır: “İnsan bir kesirdir. Payını - meziyetlerini - arttırmak insanın elinde değildir, ancak herkes paydasını - kendisi hakkındaki görüşünü azaltabilir ve bu azalmayla mükemmelliğine yaklaşabilir.

Artık kesirleri nasıl toplayıp çarpacağımızı öğrendiğimize göre daha fazla şeye bakabiliriz. karmaşık tasarımlar. Örneğin, aynı problem kesirlerde toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerini de içeriyorsa ne olur?

Öncelikle tüm kesirleri bileşik kesirlere çevirmeniz gerekiyor. Daha sonra gerekli eylemleri sıradan sayılarla aynı sırayla gerçekleştiriyoruz. Yani:

1. Önce üs alma işlemi yapılır; üs içeren tüm ifadelerden kurtulun;
2. Sonra - bölme ve çarpma;
3. Son adım toplama ve çıkarmadır.

Elbette ifadede parantez varsa işlem sırası değişir; önce parantez içindeki her şey sayılmalıdır. Ve uygunsuz kesirleri unutmayın: tüm kısmı yalnızca diğer tüm eylemler zaten tamamlandığında vurgulamanız gerekir.

İlk ifadedeki tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürelim ve ardından aşağıdaki adımları gerçekleştirelim:

Şimdi ikinci ifadenin değerini bulalım. Burada kesirler Bütün parça hayır, ama parantezler var, bu yüzden önce toplamayı yapıyoruz, sonra bölmeyi yapıyoruz. 14 = 7 · 2 olduğuna dikkat edin. Daha sonra:

Son olarak üçüncü örneği ele alalım. Burada parantez ve derece var - bunları ayrı ayrı saymak daha iyidir. 9 = 3 3 olduğunu düşünürsek:

Son örneğe dikkat edin. Bir kesri bir kuvvete yükseltmek için, payı ayrı ayrı bu kuvvete ve paydayı ayrı ayrı yükseltmeniz gerekir.

Farklı karar verebilirsiniz. Derecenin tanımını hatırlarsak, sorun kesirlerin olağan çarpımına indirgenecektir:

Çok öykülü kesirler

Şu ana kadar sadece pay ve paydanın eşit olduğu “saf” kesirleri ele aldık. sıradan sayılar. Bu, ilk derste verilen kesirli sayının tanımıyla oldukça tutarlıdır.

Peki pay veya paydaya daha karmaşık bir nesne koyarsanız ne olur? Örneğin başka bir sayısal kesir mi? Bu tür yapılar, özellikle uzun ifadelerle çalışırken oldukça sık ortaya çıkar. Burada bir çift örnek var:

Çok düzeyli kesirlerle çalışmanın tek bir kuralı vardır: Onlardan hemen kurtulmalısınız. Eğik çizginin standart bölme işlemi anlamına geldiğini hatırlarsanız, "ekstra" katları kaldırmak oldukça basittir. Bu nedenle herhangi bir kesir aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Bu gerçeği kullanarak ve prosedürü takip ederek herhangi bir çok katlı kesiri kolaylıkla sıradan bir kesire indirgeyebiliriz. Örneklere bir göz atın:

Görev. Çok öykülü kesirleri sıradan kesirlere dönüştürün:

Her durumda, bölme çizgisini bölme işaretiyle değiştirerek ana kesri yeniden yazıyoruz. Ayrıca herhangi bir tam sayının paydası 1 olan bir kesir olarak temsil edilebileceğini de unutmayın. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Şunu elde ederiz:

Son örnekte son çarpma işleminden önce kesirler iptal edilmiştir.

Çok düzeyli kesirlerle çalışmanın özellikleri

Çok katlı kesirlerde her zaman hatırlanması gereken bir incelik vardır, aksi takdirde tüm hesaplamalar doğru olsa bile yanlış cevap alabilirsiniz. Bir göz at:

1. Pay 7 sayısını, payda ise 12/5 kesirini içerir;
2. Pay 7/12 kesirini içerir ve payda ayrı bir 5 sayısını içerir.

Yani, bir giriş için tamamen iki tane aldık farklı yorumlar. Sayarsanız cevaplar da farklı olacaktır:

Kaydın her zaman net bir şekilde okunduğundan emin olmak için basit bir kural kullanın: Ana kesrin bölme çizgisi, iç içe geçmiş kesrin çizgisinden daha uzun olmalıdır. Tercihen birkaç kez.

Bu kurala uyarsanız yukarıdaki kesirler şu şekilde yazılmalıdır:

Evet, çirkin olabilir ve çok fazla yer kaplayabilir. Ama doğru sayacaksınız. Son olarak, çok katlı kesirlerin gerçekte ortaya çıktığı birkaç örnek:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

O halde ilk örnekle çalışalım. Tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürelim ve ardından toplama ve bölme işlemlerini gerçekleştirelim:

İkinci örnekte de aynısını yapalım. Tüm kesirleri bileşik kesre çevirelim ve gerekli işlemleri yapalım. Okuyucuyu sıkmamak için bazı bariz hesaplamaları atlayacağım. Sahibiz:

Temel kesirlerin pay ve paydası toplam içerdiğinden, çok katlı kesir yazma kuralına otomatik olarak uyulur. Ayrıca son örnekte bölme işlemini gerçekleştirmek için 46/1'i bilinçli olarak kesir formunda bıraktık.

Ayrıca her iki örnekte de kesir çubuğunun aslında parantezlerin yerini aldığını da belirteceğim: her şeyden önce toplamı bulduk, sonra da bölümü bulduk.

Bazıları ikinci örnekte bileşik kesirlere geçişin açıkça gereksiz olduğunu söyleyecektir. Belki de bu doğrudur. Ancak bunu yaparak kendimizi hatalara karşı sigortalamış oluruz çünkü bir dahaki sefere örnek çok daha karmaşık olabilir. Hangisinin daha önemli olduğunu kendiniz seçin: hız veya güvenilirlik.

Er ya da geç okuldaki tüm çocuklar kesirleri öğrenmeye başlar: toplama, bölme, çarpma ve kesirlerle yapılabilecek tüm olası işlemler. Çocuğa uygun yardımı sağlamak için ebeveynlerin kendileri tam sayıları kesirlere nasıl böleceklerini unutmamalıdır, aksi takdirde ona hiçbir şekilde yardım edemezsiniz, sadece kafasını karıştırırsınız. Bu eylemi hatırlamanız gerekiyorsa ancak kafanızdaki tüm bilgileri tek bir kurala getiremiyorsanız, bu makale size yardımcı olacaktır: bir sayıyı kesire bölmeyi öğrenecek ve net örnekler göreceksiniz.

Bir sayı kesre nasıl bölünür

Örneğinizi kaba bir taslak olarak yazın, böylece notlar alabilir ve silebilirsiniz. Tam sayıların hücrelerin arasına, kesişme noktalarına, kesirli sayıların ise her birinin kendi hücresine yazıldığını unutmayın.

• İÇİNDE Bu method kesri ters çevirmeniz yani paydayı paya, payı da paydaya yazmanız gerekir.
• Bölme işareti çarpma olarak değiştirilmelidir.
• Şimdi tek yapmanız gereken daha önce öğrendiğiniz kurallara göre çarpma işlemini gerçekleştirmek: pay bir tamsayı ile çarpılır, ancak paydaya dokunmazsınız.

Elbette böyle bir eylemin sonucunda çok şey alacaksınız. Büyük sayı payda. Bu durumda bir kesir bırakamazsınız - öğretmen bu cevabı kesinlikle kabul etmeyecektir. Payı paydaya bölerek kesri azaltın. Ortaya çıkan tam sayıyı hücrelerin ortasındaki kesrin soluna yazın, geri kalan yeni pay olacaktır. Payda değişmeden kalır.

Bu algoritma bir çocuk için bile oldukça basittir. Beş veya altı kez tamamladıktan sonra çocuk işlemi hatırlayacak ve bunu herhangi bir kesire uygulayabilecektir.

Bir sayı ondalık sayıya nasıl bölünür

Başka kesir türleri de vardır - ondalık sayılar. Onlara bölünme tamamen farklı bir algoritmaya göre gerçekleşir. Böyle bir örnekle karşılaşırsanız talimatları izleyin:

• Başlamak için her iki sayıyı da dönüştürün ondalık sayılar. Bunu yapmak kolaydır: böleniniz zaten bir kesir olarak temsil edilir ve doğal sayıyı virgülle bölerek ondalık kesir elde edersiniz. Yani, eğer temettü 5 ise, 5,0 kesirini elde edersiniz. Bir sayıyı virgül ve bölenden sonra kalan rakam sayısı kadar ayırmanız gerekir.
• Bundan sonra her iki ondalık kesri de doğal sayı haline getirmelisiniz. İlk başta biraz kafa karıştırıcı görünebilir, ancak en hızlı yol Birkaç antrenmandan sonra birkaç saniyenizi alacak olan bölüm. 5.0 kesri 50, 6.23 kesri 623 olacak.
• Bölmeyi yapın. Sayılar büyükse veya bölme kalanla yapılacaksa bunu bir sütunda yapın. Bu şekilde tüm eylemleri açıkça görebilirsiniz. bu örnek. Uzun bölme işlemi sırasında kendiliğinden ortaya çıkacağı için bilerek virgül koymanıza gerek yoktur.

Bu tür bir bölme işlemi başlangıçta çok kafa karıştırıcı görünebilir, çünkü böleni ve böleni kesire, ardından tekrar doğal sayılara dönüştürmeniz gerekir. Ancak kısa bir uygulamadan sonra, sadece birbirine bölmeniz gereken sayıları hemen görmeye başlayacaksınız.

Kesirleri ve tam sayıları onlara göre doğru bir şekilde bölme yeteneğinin hayatta birçok kez işe yarayabileceğini unutmayın, bu nedenle bir çocuğun bu kuralları ve basit ilkeleri mükemmel bir şekilde bilmesi gerekir, böylece daha yüksek sınıflarda tökezleyen bir blok haline gelmezler. çocuk daha karmaşık görevleri çözemez.

Bölme dahil kesirlerle her şeyi yapabilirsiniz. Bu makale bölümü göstermektedir sıradan kesirler. Tanımlar verilecek ve örnekler tartışılacaktır. Kesirleri doğal sayılara bölme ve bunun tersini ayrıntılı olarak ele alalım. Ortak bir kesrin tam sayılı bir sayıya bölünmesi tartışılacaktır.

Kesirleri bölme

Bölme çarpma işleminin tersidir. Bölme işleminde bilinmeyen faktör bulunur. ünlü eser ve verilen anlamın sıradan kesirlerle korunduğu başka bir faktör.

Ortak bir kesri a b'yi c d'ye bölmek gerekiyorsa, o zaman böyle bir sayıyı belirlemek için c d böleni ile çarpmanız gerekir, bu sonuçta a b temettüsünü verecektir. Bir sayı alalım ve bunu a b · d c olarak yazalım; burada d c, c d sayısının tersidir. Eşitlikler çarpmanın özellikleri kullanılarak yazılabilir, yani: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, burada a b · d c ifadesi a b'nin c d'ye bölünmesinin bölümüdür.

Buradan sıradan kesirleri bölme kuralını elde edip formüle ediyoruz:

Tanım 1

Ortak bir kesri a b'ye c d'ye bölmek için, bölüneni bölenin tersi ile çarpmanız gerekir.

Kuralı bir ifade biçiminde yazalım: a b: c d = a b · d c

Bölme kuralları çarpma işlemine bağlıdır. Buna bağlı kalabilmek için kesirlerle çarpma konusunda iyi bir anlayışa sahip olmanız gerekir.

Sıradan kesirlerin bölünmesini düşünmeye devam edelim.

örnek 1

9 7'yi 5 3'e bölün. Sonucu kesir olarak yazın.

Çözüm

5 3 sayısı, 3 5'in karşılıklı kesridir. Sıradan kesirleri bölmek için kuralı kullanmak gerekir. Bu ifadeyi şu şekilde yazıyoruz: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Cevap: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Kesirleri azaltırken pay paydadan büyükse tüm kısmı ayırın.

Örnek 2

8 15'i böl: 24 65. Cevabı kesirli olarak yazın.

Çözüm

Çözmek için bölme işleminden çarpma işlemine geçmeniz gerekir. Şu şekilde yazalım: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Azaltma yapılması gerekir ve bu şu şekilde yapılır: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Parçanın tamamını seçin ve 13 9 = 1 4 9 elde edin.

Cevap: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Olağanüstü bir kesri doğal bir sayıya bölmek

Bir kesri doğal sayıya bölme kuralını kullanırız: a b'yi doğal sayı n'ye bölmek için paydayı n ile çarpmanız yeterlidir. Buradan şu ifadeyi elde ederiz: a b: n = a b · n.

Bölme kuralı çarpma kuralının bir sonucudur. Bu nedenle, bir doğal sayıyı kesir olarak temsil etmek şu türden bir eşitliği verecektir: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Bir kesrin bu sayıya bölünmesini düşünün.

Örnek 3

16 45 kesrini 12 sayısına bölün.

Çözüm

Bir kesri bir sayıya bölme kuralını uygulayalım. 16 45: 12 = 16 45 · 12 formunda bir ifade elde ederiz.

Kesri azaltalım. 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 elde ederiz.

Cevap: 16 45: 12 = 4 135 .

Doğal bir sayıyı kesre bölme

Bölme kuralı benzer Ö bir doğal sayıyı sıradan bir kesirle bölme kuralı: bir doğal sayı n'yi sıradan bir kesir a b'ye bölmek için, n sayısını a b kesirinin tersi ile çarpmak gerekir.

Kurala göre elimizde n: a b = n · b a bulunur ve bir doğal sayıyı sıradan bir kesirle çarpma kuralı sayesinde ifademizi n: a b = n · b a biçiminde elde ederiz. Bu ayrımı bir örnekle ele almak gerekir.

Örnek 4

25'i 15 28'e bölün.

Çözüm

Bölme işleminden çarpma işlemine geçmemiz gerekiyor. 25:15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 ifadesi şeklinde yazalım. Kesri azaltalım ve sonucu 46 2 3 kesri şeklinde elde edelim.

Cevap: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Bir kesri tam sayılı bir sayıya bölmek

Ortak bir kesri tam sayılı bir sayıya bölerken, ortak kesirleri kolayca bölmeye başlayabilirsiniz. Karışık bir sayıyı yanlış kesire dönüştürmeniz gerekir.

Örnek 5

35 16 kesrini 3 1 8'e bölün.

Çözüm

3 1 8 karışık bir sayı olduğundan, bunu bileşik kesir olarak gösterelim. O zaman 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 elde ederiz. Şimdi kesirleri bölelim. 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10 elde ederiz

Cevap: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Karışık bir sayının bölünmesi normal sayılarla aynı şekilde yapılır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.