Bölüm ve kesrin payı ve paydası ortak bölen , birinden farklı olarak adlandırılır bir fraksiyonu azaltmak.

Ortak bir kesri azaltmak için payını ve paydasını aynı doğal sayıya bölmeniz gerekir.

Bu sayı, verilen kesrin pay ve paydasının en büyük ortak bölenidir.

Aşağıdakiler mümkündür karar kayıt formları Ortak kesirlerin azaltılmasına ilişkin örnekler.

Öğrenci herhangi bir kayıt biçimini seçme hakkına sahiptir.

Örnekler. Kesirleri basitleştirin.

Kesri 3'e düşürün (payını 3'e bölün;

paydayı 3'e bölün).

Kesri 7'ye kadar azaltın.

Belirtilen eylemleri kesrin payında ve paydasında gerçekleştiriyoruz.

Ortaya çıkan fraksiyon 5 oranında azaltılır.

Bu kesri azaltalım 4) Açık 5.7³- pay ve paydanın ortak faktörlerinden oluşan, en küçük üslü kuvvete alınan pay ve paydanın en büyük ortak böleni (GCD).

Bu kesrin payını ve paydasını parçalara ayıralım. asal faktörler.

Şunu elde ederiz: 756=2²·3³·7 Ve 1176=2³·3·7².

Kesrin pay ve paydasının GCD'sini (en büyük ortak bölen) belirleyin 5) .

Bu, en düşük üslerle alınan ortak faktörlerin çarpımıdır.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Bu kesrin payını ve paydasını gcd'lerine, yani. 2²·3·7 indirgenemez bir kesir elde ederiz 9/14 .

Ya da güç kavramını kullanmadan pay ve paydanın ayrıştırılmasını asal çarpanların çarpımı şeklinde yazmak ve daha sonra pay ve paydadaki aynı faktörlerin üzerini çizerek kesri azaltmak mümkündü. Hiçbir özdeş faktör kalmadığında, kalan faktörleri payda ayrı ayrı, paydada ayrı ayrı çarparız ve elde edilen kesri yazarız. 9/14 .

Ve nihayet bu oranı azaltmak mümkün oldu 5) kademeli olarak, kesirin hem payına hem de paydasına sayıları bölme işaretleri uygulayarak. Şöyle düşünelim: sayılar 756 Ve 1176 sonu çift sayıyla bitiyor, yani her ikisi de bölünebilir 2 . Kesri azaltıyoruz 2 . Yeni kesrin payı ve paydası sayılardır 378 Ve 588 ayrıca bölünmüş 2 . Kesri azaltıyoruz 2 . sayısının olduğunu fark ediyoruz. 294 - eşit ve 189 tektir ve 2'ye indirgemek artık mümkün değildir. Sayıların bölünebilirliğini kontrol edelim 189 Ve 294 Açık 3 .

(1+8+9)=18 3'e bölünür ve (2+9+4)=15 3'e bölünür, dolayısıyla sayıların kendisi 189 Ve 294 bölünmüştür 3 . Kesri azaltıyoruz 3 . Sonraki, 63 3'e bölünebilir ve 98 - HAYIR. Şimdi diğer asal faktörlere bakalım. Her iki sayı da bölünebilir 7 . Kesri azaltıyoruz 7 ve indirgenemez kesri elde ederiz 9/14 .

Bu yazıda bakacağız cebirsel kesirlerle temel işlemler:

• kesirlerin azaltılması
• kesirleri çarpma
• kesirleri bölme

Şununla başlayalım: indirimler cebirsel kesirler .

Görünüşe göre algoritma bariz.

İle cebirsel kesirleri azaltın, gerek

1. Kesrin payını ve paydasını çarpanlarına ayırın.

2. Eşit faktörleri azaltın.

Ancak okul çocukları sıklıkla faktörleri değil terimleri “azaltmak” hatasına düşerler. Örneğin kesirleri "azaltarak" sonuç elde eden amatörler var ki bu elbette doğru değil.

Örneklere bakalım:

1. Bir kesri azaltın:

1. Toplamın karesi formülünü kullanarak payı, kareler farkı formülünü kullanarak paydayı çarpanlarına ayıralım.

2. Pay ve paydayı şuna bölün:

2. Bir kesri azaltın:

1. Payı çarpanlarına ayıralım. Pay dört terim içerdiğinden gruplandırmayı kullanırız.

2. Paydayı çarpanlarına ayıralım. Gruplandırmayı da kullanabiliriz.

3. Elde ettiğimiz kesri yazalım ve aynı çarpanları azaltalım:

Cebirsel kesirlerin çarpılması.

Cebirsel kesirleri çarparken payı payla, paydayı da paydayla çarparız.

Önemli! Bir kesrin payını ve paydasını çarpmak için acele etmeye gerek yoktur. Paydaki kesirlerin paylarının çarpımını, paydadaki paydaların çarpımını yazdıktan sonra her faktörü çarpanlarına ayırıp kesri azaltmamız gerekiyor.

Örneklere bakalım:

3. İfadeyi basitleştirin:

1. Kesirlerin çarpımını yazalım: payda payların çarpımı, paydada da paydaların çarpımı:

2. Her bir parantezi çarpanlarına ayıralım:

Şimdi aynı faktörleri azaltmamız gerekiyor. ve ifadelerinin yalnızca işaret bakımından farklı olduğunu unutmayın: ve ilk ifadeyi ikinciye bölmenin sonucunda -1 elde ederiz.

Bu yüzden,

Cebirsel kesirleri aşağıdaki kurala göre bölüyoruz:

yani Bir kesire bölmek için "tersine çevrilmiş" olanla çarpmanız gerekir.

Kesirleri bölmenin çarpma işlemine dönüştüğünü görüyoruz ve Çarpma sonuçta kesirlerin azaltılmasına gelir.

Bir örneğe bakalım:

4. İfadeyi basitleştirin:

Okuldaki çocuklar 6. sınıfta kesirleri azaltma kurallarını öğreniyorlar. Bu yazımızda öncelikle bu eylemin ne anlama geldiğini anlatacağız, ardından indirgenebilir bir kesirin indirgenemez kesire nasıl dönüştürüleceğini açıklayacağız. Bir sonraki nokta kesirleri azaltma kuralları olacak ve ardından yavaş yavaş örneklere geçeceğiz.

"Bir kesri azaltmak" ne anlama geliyor?

Yani hepimiz sıradan kesirlerin iki gruba ayrıldığını biliyoruz: indirgenebilir ve indirgenemez. Zaten isimlerden kasılabilenlerin daraldığını, indirgenemeyenlerin ise büzülmediğini anlayabilirsiniz.

• Bir kesri azaltmak, paydasını ve payını (birden farklı) pozitif bölenine bölmek anlamına gelir. Sonuç elbette daha küçük payda ve paya sahip yeni bir kesirdir. Ortaya çıkan kesir orijinal kesre eşit olacaktır.

"Bir kesri azaltma" görevini içeren matematik kitaplarında bunun, orijinal kesri bu indirgenemez forma indirmeniz gerektiği anlamına geldiğini belirtmekte fayda var. Eğer konuşursak basit kelimelerle, paydayı ve payı en büyük ortak bölenlerine bölmek bir azalmadır.

Bir kesir nasıl azaltılır? Kesirleri azaltma kuralları (6. sınıf)

Yani burada sadece iki kural var.

1. Kesirleri azaltmanın ilk kuralı, öncelikle kesirinizin paydasının ve payının en büyük ortak faktörünü bulmaktır.
2. İkinci kural: paydayı ve payı en büyük ortak bölene bölerek sonuçta indirgenemez bir kesir elde edin.

Uygunsuz bir kesir nasıl azaltılır?

Kesirleri azaltma kuralları, bileşik kesirleri azaltma kurallarıyla aynıdır.

Uygun olmayan bir kesri azaltmak için, öncelikle paydayı ve payı asal çarpanlara ayırmanız ve ancak daha sonra ortak çarpanları azaltmanız gerekir.

Karışık kesirlerin azaltılması

Kesirleri azaltma kuralları, karışık kesirleri azaltma için de geçerlidir. Sadece küçük bir fark var: Parçanın tamamına dokunamıyoruz, kesri azaltıyoruz veya karışık kesri bileşik kesire dönüştürüyoruz, sonra azaltıp tekrar düzgün kesire dönüştürüyoruz.

Karışık fraksiyonları azaltmanın iki yolu vardır.

İlk önce: kesirli kısmı asal çarpanlara yazın ve ardından tüm kısmı olduğu gibi bırakın.

İkinci yol: önce onu bileşik kesre dönüştürün, sıradan çarpanlara yazın, sonra kesri azaltın. Halihazırda elde edilen bileşik kesri uygun kesire dönüştürün.

Örnekleri yukarıdaki fotoğrafta görebilirsiniz.

Size ve çocuklarınıza gerçekten yardımcı olabildiğimizi umuyoruz. Sonuçta sınıfta genellikle dikkatsizler, bu yüzden evde kendi başlarına daha yoğun çalışmak zorundalar.

Kesri daha fazla azaltmak için kesirleri azaltmak gerekir. basit görünümörneğin bir ifadenin çözülmesi sonucunda elde edilen cevapta.

Kesirlerin azaltılması, tanımı ve formülü.

Kesirleri azaltmak nedir? Bir kesri azaltmak ne demektir?

Tanım:
Kesirlerin Azaltılması- bu, bir kesrin pay ve paydasının aynı şeye bölünmesidir pozitif sayı sıfır ve bire eşit değildir. Azaltma sonucunda, önceki kesire eşit, pay ve paydası daha küçük olan bir kesir elde edilir.

Kesirleri azaltma formülü Rasyonel sayıların temel özellikleri.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Bir örneğe bakalım:
\(\frac(9)(15)\) kesirini azaltın

Çözüm:
Bir kesri asal çarpanlara ayırıp ortak çarpanları iptal edebiliriz.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(kırmızı) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Cevap: İndirgeme sonrasında \(\frac(3)(5)\) kesirini elde ettik. Rasyonel sayıların temel özelliğine göre orijinal kesirler ile elde edilen kesirler eşittir.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Kesirler nasıl azaltılır? Bir kesrin indirgenemez formuna indirgenmesi.

Sonuç olarak indirgenemez bir kesir elde etmek için ihtiyacımız var en büyük ortak böleni (GCD) bulun kesrin payı ve paydası için.

Sayıların asal çarpanlara ayrıştırılmasını kullanacağımız örnekte GCD'yi bulmanın birkaç yolu vardır;

İndirgenemez kesri \(\frac(48)(136)\) alın.

Çözüm:
OBEB(48, 136)'yı bulalım. 48 ve 136 sayılarını asal çarpanlara yazalım.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
OBEB(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(kırmızı) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(kırmızı) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\renk(kırmızı) (6) \times 2 \times 3)(\renk(kırmızı) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Bir kesri indirgenemez bir forma indirgeme kuralı.

1. Pay ve paydanın en büyük ortak bölenini bulmanız gerekir.
2. İndirgenemez bir kesir elde etmek için pay ve paydayı en büyük ortak bölene bölmeniz gerekir.

Örnek:
\(\frac(152)(168)\) kesrini azaltın.

Çözüm:
OBEB(152, 168)'i bulalım. 152 ve 168 sayılarını asal çarpanlarına yazalım.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
OBEB(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\renk(kırmızı) (6) \times 19)(\color(kırmızı) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Cevap: \(\frac(19)(21)\) indirgenemez bir kesirdir.

Uygunsuz kesirlerin azaltılması.

Uygunsuz bir kesir nasıl azaltılır?
Kesirleri azaltma kuralları, doğru ve yanlış kesirler için aynıdır.

Bir örneğe bakalım:
Uygunsuz kesri \(\frac(44)(32)\) azaltın.

Çözüm:
Pay ve paydayı basit çarpanlara yazalım. Daha sonra ortak faktörleri azaltacağız.

\(\frac(44)(32)=\frac(\renk(kırmızı) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(kırmızı) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Karışık fraksiyonların azaltılması.

Aynı kuralları kullanan karışık kesirler ortak kesirler. Tek farkımız bunu yapabilmemiz tamamına dokunmayın ancak kesirli kısmı azaltın veya Karışık bir kesri bileşik kesire dönüştürün, azaltın ve tekrar uygun kesire dönüştürün.

Bir örneğe bakalım:
Karışık kesri \(2\frac(30)(45)\) iptal edin.

Çözüm:
Bunu iki şekilde çözelim:
İlk yol:
Kesirli kısmı basit çarpanlara yazalım ama tamamına dokunmayacağız.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \renk(kırmızı) (5 \times 3))(3 \times \color(kırmızı) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

İkinci yol:
Önce bileşik kesire dönüştürelim, sonra asal çarpanlara yazıp azaltalım. Ortaya çıkan bileşik kesri düzgün kesre çevirelim.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \renk(kırmızı) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \renk(kırmızı) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

İlgili sorular:
Toplama veya çıkarma yaparken kesirleri azaltabilir misiniz?
Cevap: hayır, önce kesirleri kurallara göre eklemeli veya çıkarmalısınız, ancak daha sonra azaltmalısınız. Bir örneğe bakalım:

\(\frac(50+20-10)(20)\) ifadesini değerlendirin.

Çözüm:
Çoğunlukla pay ve paydadaki aynı sayıları (bizim durumumuzda 20 sayısını) azaltma hatasına düşerler, ancak toplama ve çıkarma işlemini tamamlayana kadar bu sayılar azaltılamaz.

\(\frac(50+\color(kırmızı) (20)-10)(\color(kırmızı) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Bir kesri hangi sayılarla azaltabilirsiniz?
Cevap: Bir kesri en büyük ortak faktöre veya pay ve paydanın ortak bölenine göre azaltabilirsiniz. Örneğin, \(\frac(100)(150)\) kesri.

100 ve 150 sayılarını asal çarpanlarına yazalım.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
En büyük ortak bölen gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50 sayısı olacaktır.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

İndirgenemez kesri \(\frac(2)(3)\) elde ettik.

Ancak her zaman gcd'ye bölmek gerekli değildir; indirgenemez bir kesir her zaman gerekli değildir; kesri pay ve paydanın basit bir böleni ile azaltabilirsiniz. Örneğin 100 ve 150 sayılarının ortak böleni 2'dir. \(\frac(100)(150)\) kesrini 2'ye indirelim.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

İndirgenebilir kesri \(\frac(50)(75)\) elde ettik.

Hangi kesirler azaltılabilir?
Cevap: Pay ve paydası ortak bölen olan kesirleri azaltabilirsiniz. Örneğin, \(\frac(4)(8)\) kesri. 4 ve 8 sayılarının her ikisinin de bölünebildiği bir sayı vardır - 2 sayısı. Bu nedenle böyle bir kesir 2 sayısına indirgenebilir.

Örnek:
İki kesri \(\frac(2)(3)\) ve \(\frac(8)(12)\) karşılaştırın.

Bu iki kesir eşittir. \(\frac(8)(12)\) kesrine daha yakından bakalım:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\times 1=\frac(2)(3)\)

Buradan şunu elde ederiz: \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

İki kesir ancak ve ancak bunlardan birinin diğer kesirin pay ve paydanın ortak faktörü ile indirgenmesiyle elde edilmesi durumunda eşittir.

Örnek:
Mümkünse aşağıdaki kesirleri azaltın: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

Çözüm:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \renk(kırmızı) (5) \times 3 \times 3)(\color(kırmızı) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\renk(kırmızı) (3 \times 3) \times 3)(\color(kırmızı) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) indirgenemez kesir
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(kırmızı) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ çarpı 5)=\frac(2)(5)\)

Yani bir kesrin pay ve paydasının aynı sayıyla çarpılıp bölünebileceğini zaten biliyoruz, kesir değişmeyecek. Üç yaklaşımı ele alalım:

Birine yaklaş.

Azaltmak için pay ve paydayı ortak bir bölene bölün. Örneklere bakalım:

Kısaltalım:

Verilen örneklerde indirgeme için hangi bölenlerin alınması gerektiğini hemen görüyoruz. Süreç basit; 2,3,4,5 vb. üzerinden geçiyoruz. Çoğu okul dersi örneğinde bu oldukça yeterlidir. Ama eğer kesirli ise:

Burada bölenleri seçme süreci uzun zaman alabilir;). Elbette bu tür örnekler okul müfredatının dışındadır ancak bunlarla baş edebilmeniz gerekir. Aşağıda bunun nasıl yapıldığına bakacağız. Şimdilik küçültme sürecine geri dönelim.

Yukarıda tartıştığımız gibi bir kesri azaltmak için belirlediğimiz ortak bölen(ler)e böldük. Her şey doğru! Yalnızca sayıların bölünebilirliğine ilişkin işaretler eklemek gerekir:

-Sayı çift ise 2'ye bölünür.

- Son iki basamaktan oluşan bir sayı 4'e bölünüyorsa sayının kendisi de 4'e bölünür.

— sayıyı oluşturan rakamların toplamı 3'e bölünüyorsa sayının kendisi de 3'e bölünebilir. Örneğin, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. On iki 3'e bölünebildiği için 123031 de 3'e bölünebilir.

- Bir sayının sonu 5 veya 0 ise sayı 5'e bölünür.

— sayıyı oluşturan rakamların toplamı 9'a bölünüyorsa sayının kendisi de 9'a bölünür. Örneğin, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. On sekiz, 9'a bölünebilir, bu da 623032'nin 9'a bölünebileceği anlamına gelir.

İkinci yaklaşım.

Kısaca söylemek gerekirse, aslında tüm iş pay ve paydayı çarpanlara ayırmaya ve ardından pay ve paydadaki eşit çarpanları azaltmaya dayanıyor (bu yaklaşım ilk yaklaşımın bir sonucudur):

Görsel olarak, karışıklığı ve hataları önlemek için eşit faktörlerin üzeri çizilir. Soru: Bir sayı nasıl çarpanlara ayrılır? Arama yaparak tüm bölenleri belirlemek gerekir. Bu ayrı bir konudur, karmaşık değildir, bilgileri bir ders kitabından veya internetten arayın. Okul kesirlerinde bulunan sayıları çarpanlarına ayırma konusunda büyük sorunlarla karşılaşmazsınız.

İndirgeme ilkesi resmi olarak şu şekilde yazılabilir:

Üçe yaklaş.

İşte ileri düzeydekiler ve ileri düzeyde olmak isteyenler için en ilginç şey. 143/273 kesrini azaltalım. Kendiniz deneyin! Peki nasıl bu kadar çabuk oldu? Şimdi bak!

Ters çeviririz (pay ve paydanın yerlerini değiştiririz). Ortaya çıkan kesri bir köşeye bölün ve dönüştürün karışık sayı yani parçanın tamamını seçiyoruz:

Zaten daha kolay. Pay ve paydanın 13'e kadar azaltılabileceğini görüyoruz:

Şimdi kesri tekrar geriye çevirmeyi unutmayın, tüm zinciri yazalım:

İşaretli - bölenleri aramak ve kontrol etmekten daha az zaman alır. İki örneğimize dönelim:

Birinci. Bir köşeyle böleriz (hesap makinesinde değil), şunu elde ederiz:

Bu kesir elbette daha basittir, ancak indirgeme yine bir sorundur. Şimdi 1273/1463 kesrini ayrı ayrı analiz edip ters çevirelim:

Burada daha kolay. 19 gibi bir bölen sayabiliriz. Gerisi uygun değil, bu açık: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Yaşasın! Hadi yazalım:

Sonraki örnek. 88179/2717'yi kısaltalım.

Bölünce şunu elde ederiz:

Ayrı olarak, 1235/2717 fraksiyonunu analiz edip çeviriyoruz:

13 gibi bir bölen düşünebiliriz (13'e kadar uygun değildir):

Pay 247:13=19 Payda 1235:13=95

*İşlem sırasında 19'a eşit bir bölen daha gördük. Çıktı:

Şimdi orijinal numarayı yazıyoruz:

Ve kesirde neyin daha büyük olduğu önemli değil - pay veya payda, eğer payda ise, o zaman onu ters çevirip anlatıldığı gibi hareket ederiz. Bu şekilde herhangi bir kesri azaltabiliriz; üçüncü yaklaşıma evrensel denilebilir.

Yukarıda bahsettiğimiz iki örnek elbette basit örnekler değil. Bu teknolojiyi daha önce ele aldığımız "basit" kesirler üzerinde deneyelim:

İki çeyrek.

Yetmiş iki altmışlı. Pay paydadan büyüktür; onu tersine çevirmeye gerek yoktur:

Elbette üçüncü yaklaşım bu tür durumlara uygulandı. basit örnekler sadece bir alternatif olarak. Yöntem, daha önce de belirtildiği gibi, evrenseldir, ancak tüm kesirler için, özellikle basit olanlar için uygun ve doğru değildir.

Kesirlerin çeşitliliği harika. İlkeleri anlamanız önemlidir. Kesirlerle çalışmanın katı bir kuralı yoktur. Baktık, harekete geçmenin nasıl daha uygun olacağını düşündük ve ilerledik. Pratik yaptıkça beceri gelecek ve onları tohum gibi kıracaksınız.

Çözüm:

Pay ve payda için ortak bir bölen(ler) görürseniz, azaltmak için bunları kullanın.

Bir sayıyı hızlı bir şekilde nasıl çarpanlara ayıracağınızı biliyorsanız, payı ve paydayı çarpanlara ayırın, ardından azaltın.

Ortak böleni belirleyemiyorsanız üçüncü yaklaşımı kullanın.

*Kesirleri azaltmak için indirgeme ilkelerine hakim olmak, kesirin temel özelliğini anlamak, çözüm yaklaşımlarını bilmek ve hesaplama yaparken son derece dikkatli olmak önemlidir.

Ve unutma! Bir kesri durana kadar azaltmak, yani ortak bir bölen olduğu sürece azaltmak gelenekseldir.

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.