Öteleme ve dönme hareketlerini dikkate alarak aralarında bir benzetme yapabiliriz. Öteleme hareketinin kinematiği bir yol kullanır S, hız  ve hızlanma A. Dönme hareketindeki rolleri dönme açısı , açısal hız  ve açısal ivme ε tarafından oynanır. Öteleme hareketinin dinamiğinde kuvvet ve kütle kavramları kullanılır. T ve dürtü Dönme hareketinde kuvvetin rolü moment tarafından oynanır.
kuvvetler, kütlenin rolü - eylemsizlik momenti BEN z ve momentumun rolü - açısal momentum Öteleme hareketinin formüllerini bilerek dönme hareketinin formüllerini yazmak kolaydır. Örneğin, düzgün hareketle kat edilen mesafe aşağıdaki formülle hesaplanır: S =  T ve dönme açısı ile -  =  formülüne göre T. Newton'un ikinci yasası
Ve
ve dönme hareketinin dinamiğinin temel yasası şudur:
Ve
Öteleme hareketi sırasında vücudun momentumu eşittir
ve dönme hareketi sırasında açısal momentum
Bu benzetmeyi daha da sürdürmek mümkündür.

Öteleme hareketi sırasında kuvvet işi. Güç

Bir cismin (maddi noktanın) sabit bir kuvvetin etkisi altında olmasına izin verin Hareket yönü ile sabit bir açı yapan , bazı referans sistemlerinde doğrusal olarak hareket eder ve yolu geçer ben. Daha sonra okuldaki fizik dersinden de bilindiği gibi, çalışma A bu kuvvet aşağıdaki formülle bulunur:

A= fl· çünkü  = F ben ben, (1)

Şimdi bir cisim değişken bir kuvvetin etkisi altında kavisli bir yol boyunca ötelemeli olarak hareket ettiğinde işin hesaplanmasının genel durumunu ele alalım. yolda ben bir temel bölüm seçin dl kuvvetin dikkate alınabileceği yer ve açı  sabit değerlerdir ve bölümün kendisi doğrusaldır. O zaman çalış dA bu bölümde formül (1)'i kullanarak buluyoruz: dA = F· dl· çünkü. İş A tüm yol boyunca yapılan işin toplamına eşittir dA yani

(2)

Simge ben integral ile entegrasyonun tüm yol boyunca gerçekleştirildiği anlamına gelir ben.

Vektörlerin skaler çarpımını kullanırsak formül (2)'ye farklı bir form verilebilir. Daha sonra integral dAşeklinde yazılacaktır: dA = F· dl· çünkü=
Nerede temel yer değiştirme vektörüdür ve

(3)

Formül (1)'den işin cebirsel bir miktar olduğu açıktır. İşin işareti  açısına bağlıdır. Eğer  açısı dar ise cos  > 0 ve iş pozitiftir, ancak  açısı genişse iş negatiftir.

SI'da işin birimi joule'dür (J). Cos  = 1 J'nin varsayıldığı formül (1)'den tanıtılmıştır. kuvvet ve yer değiştirme yönlerinin çakışması koşuluyla 1 N'lik bir kuvvetin 1 m'lik yol üzerinde yaptığı iş.

İşin hızını karakterize etmek için, birim zamanda yapılan işe eşit güç kavramı tanıtılmıştır. Eğer temel bir zaman dilimi ise dt temel işler tamamlandı dA, o zaman güç R eşit

(4)

SI birimlerinde güç watt (W) cinsinden ölçülür. (4)'ten aşağıdaki gibi, 1 W = 1 J / 1 s, yani. 1 W- Bu, 1 J'lik işin 1 saniyede yapıldığı güçtür.

Dönme hareketi sırasında kuvvet çalışması

Değişken bir kuvvetin etkisi altında olan katı bir cisim düşünün. bir eksen etrafında döner z bir açıda. Bu kuvvet bir tork yaratır M z, gövdeyi döndürüyor. Kuvvet, kuvvetin uygulama noktasının hareket ettiği daireye teğet olarak yönlendirilir. Bu nedenle, açı = 0. Bunu hesaba katarak, mekanik iş formülüne benzeterek (bkz. (2)), dönme hareketi sırasında işin hesaplandığı ifadeyi buluyoruz:

(5)

Kuvvetin teğetsel bileşeninin yönü dönme yönü ile çakışıyorsa iş pozitif, ters yönde ise negatif olacaktır.

Ders taslağı

Atalet momenti.

Güç anı. Dönme hareketinin dinamiği için temel denklem.

Dürtü anı. Açısal momentumun korunumu kanunu.

Dönme hareketi sırasında iş ve kinetik enerji.

1. Atalet momenti.

Dönme hareketi düşünülürken yeni fiziksel kavramların tanıtılması gerekir: eylemsizlik momenti, kuvvet momenti, itme momenti.

Atalet momenti, bir cismin dönme hareketi sırasındaki ataletinin bir ölçüsüdür.

Atalet momenti Sabit bir dönme eksenine göre maddi bir noktanın değeri, kütlesinin, söz konusu dönme eksenine olan mesafenin karesine çarpımına eşittir (Şekil 1):

yalnızca maddi noktanın kütlesine ve dönme eksenine göre konumuna bağlıdır ve dönmenin kendisinin varlığına bağlı değildir.

Atalet momenti skaler ve toplamsal bir niceliktir, dolayısıyla bir cismin atalet momenti tüm noktalarının atalet momentlerinin toplamına eşittir:

.

Sürekli kütle dağılımı durumunda bu toplam, integrale indirgenir:

,

küçük bir vücut hacminin kütlesi nerede
, - vücut yoğunluğu, - elemandan uzaklık
dönme eksenine.

Atalet momenti, dönme hareketi sırasındaki kütlenin bir benzeridir. Cismin eylemsizlik momenti ne kadar büyük olursa, dönen cismin açısal hızını değiştirmek o kadar zor olur. Atalet momenti yalnızca dönme ekseninin belirli bir konumu için anlamlıdır. Sadece “atalet momenti”nden bahsetmenin bir anlamı yok. Duruma göre değişir:

1) dönme ekseninin konumundan;

2) vücut kütlesinin dönme eksenine göre dağılımından, yani. Vücudun şekline ve büyüklüğüne göre.

Bunun deneysel kanıtı, yuvarlanan silindirlerle yapılan deneydir.

Bazı homojen cisimler için integral alarak aşağıdaki formülleri elde edebiliriz (dönme ekseni cismin kütle merkezinden geçer).

Bir kasnağın (duvar kalınlığını ihmal ediyoruz) veya içi boş bir silindirin eylemsizlik momenti:

R yarıçaplı bir diskin veya katı silindirin atalet momenti:

.

Topun eylemsizlik momenti

Çubuğun eylemsizlik momenti

e Bir cismin kütle merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti biliniyorsa, birinciye paralel herhangi bir eksene göre eylemsizlik momenti şu şekilde bulunur: Steiner teoremi: Bir cismin herhangi bir eksene göre eylemsizlik momenti, verilen eksene paralel ve cismin kütle merkezinden geçen bir eksene göre J 0 atalet momentine eşittir ve cismin kütlesinin çarpımına eklenir. ve eksenler arasındaki mesafenin karesi.

Nerede D kütle merkezine uzaklık HAKKINDA dönme eksenine (Şekil 2).

Kütle merkezi- konumu belirli bir cismin kütlesinin dağılımını karakterize eden hayali bir nokta. Bir cismin kütle merkezi, aynı kütleye sahip maddi bir noktanın, belirli bir cisme etki eden tüm dış kuvvetlerin etkisi altında hareket etmesiyle aynı şekilde hareket eder.

Atalet momenti kavramı, 18. yüzyılın ortalarında yerli bilim adamı L. Euler tarafından mekaniğe tanıtıldı ve o zamandan beri katı cisim dinamiğiyle ilgili birçok problemin çözümünde yaygın olarak kullanıldı. Çeşitli dönen bileşenlerin ve sistemlerin (volanlar, türbinler, elektrik motoru rotorları, jiroskoplar) hesaplanmasında pratikte atalet momentinin değeri bilinmelidir. Atalet momenti bir cismin (gemi, uçak, mermi vb.) hareket denklemlerine dahil edilir. Bir uçağın, harici bir rahatsızlığın (rüzgar vb.) etkisi altında kütle merkezi etrafındaki dönme hareketinin parametrelerini bilmek istendiğinde belirlenir.

İnsan vücudunun hareketi (yürüme, koşma, atlama vb.) gibi karmaşık hareketleri gözlemlerken, tüm noktaların hareketini tanımlamak zor, hatta imkansız görünüyor. Bununla birlikte, bu tür hareketleri analiz ettiğimizde, bunların daha basit hareketlerden (öteleme ve dönme hareketlerinden) oluştuğunu fark edebiliriz.

Öteleme hareketinin mekaniği okuyucu tarafından bilindiğinden bu bölüm dönme hareketinin ele alınmasıyla başlamaktadır. En basiti katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönmesidir. Bu vaka, dönme hareketinin özelliklerine, terminolojisine ve yasalarına aşina olmanızı sağlar.

5.1. SABİT BİR EKSEN ETRAFINDA KESİNLİKLE RİJİT BİR CİSİMİN DÖNME HAREKETİNİN KİNEMATI

Mutlak katı bir cisim, herhangi iki nokta arasındaki mesafe sabit olan cisimdir.

Kesinlikle katı bir cismin boyutları ve şekli, hareket ettiğinde değişmez.

"Mutlak katı cisim" kavramı fiziksel bir soyutlamadır, çünkü her cisim deformasyona uğrayabilir. Ancak çoğu durumda deformasyon ihmal edilebilir.

Kesinlikle katı bir cismin dönme hareketinin en basit durumu, sabit bir eksen etrafında dönmesidir. Bu, vücut noktalarının, merkezleri dönme ekseni adı verilen düz bir çizgi üzerinde bulunan daireler halinde hareket ettiği bir harekettir.

Bazı durumlarda bir cismin hareketini karakterize etmek için tüm noktalarının hareketini belirtmenin gerekli olmadığı bilinmektedir; yani örneğin öteleme hareketinde vücudun herhangi bir noktasının hareketini belirtmek yeterlidir.

Bir eksen etrafında dönme hareketi sırasında, cismin noktaları farklı yörüngeler boyunca hareket eder, ancak aynı zamanda tüm noktalar ve cismin kendisi aynı açıda döner. Dönme özellikleri için

eksene dik bir düzlemde belirli bir noktaya yarıçap vektörü çizin Ben(Şekil 5.1). Yarıçap vektörünün seçilen bazı OX yönüne göre dönme açısının (a) zamana bağımlılığı, katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketinin denklemidir:

Bir cismin dönme hızı, yarıçap vektörünün zamana göre dönme açısının birinci türevine eşit bir açısal hız ile karakterize edilir:

Açısal hız, dönme ekseni boyunca yönlendirilen bir vektördür ve sağ vida kuralına göre dönme yönü ile ilişkilidir (Şekil 5.2). Açısal hız vektörü, hız ve kuvvet vektörlerinden farklı olarak kayar: belirli bir uygulama noktası yoktur ve dönme ekseni üzerinde herhangi bir yere yerleştirilebilir. Dolayısıyla, ω vektörünün belirtilmesi, dönme ekseninin konumunu, dönme yönünü ve açısal hızın büyüklüğünü gösterir.

Açısal hızdaki değişim oranı, açısal hızın zamana göre birinci türevine eşit açısal ivme ile karakterize edilir:

veya vektör formunda:

(5.4)'ten açısal ivme vektörünün, dω açısal hız vektöründeki temel, oldukça küçük bir değişiklikle aynı yönde çakıştığı açıktır: hızlandırılmış dönüşle, açısal ivme açısal hızla aynı yönde, yavaş dönüşle - ters yönde yönlendirilir.

Mutlak katı bir cismin tüm noktalarının açısal yer değiştirmeleri aynı olduğundan, (5.2) ve (5.3)'e göre, cismin tüm noktaları aynı açısal hıza ve aynı açısal ivmeye sahiptir. Doğrusal özellikler (yer değiştirme, hız, ivme) farklı noktalar için farklıdır. Yarıçaplı bir daire içinde hareket eden i'inci noktanın doğrusal ve açısal özellikleri arasındaki, bağımsız olarak türetilebilen ilişkiyi skaler biçimde gösterelim. ben:

Pirinç. 5.3

Sonuç olarak, katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönme hareketinin kinematiği için karşılık gelen ifadelerin integrali alınarak elde edilen formülleri sunuyoruz:

düzgün dönme hareketinin denklemi[santimetre. (5.2)]:

Düzgün dönme hareketinde açısal hızın zamana bağımlılığı[santimetre. (5.3)]:

düzgün değişen dönme hareketinin denklemi[santimetre. (5.1) ve (5.6)]:

Bu formülleri öteleme hareketi için benzer bağımlılıklarla karşılaştırmak faydalıdır.

5.2. TEMEL KAVRAMLAR. DÖNME HAREKETİNİN DİNAMİĞİ DENKLEMİ

Kuvvet anı_

Bir noktaya kadar izin ver Ben katı bir cisme uygulanan kuvvet F^, dönme eksenine dik bir düzlemde uzanır (Şekil 5.4).

Dönme eksenine göre kuvvet momenti, i noktasının yarıçap vektörü ile kuvvetin vektör çarpımıdır:

Genişleterek şunu yazabilirsiniz:

Nerede β - vektörler arasındaki açı ben mi Ve F ben. Gücün omuzundan beri h ben = r ben sinβ (bkz. Şekil 5.4), o zaman

Kuvvet, dönme düzlemine belirli bir α açısıyla etki ediyorsa (Şekil 5.5), o zaman iki bileşene ayrılabilir. Bunlardan biri dönme eksenine dik bir düzlemde uzanır, diğeri ise bu eksene paraleldir ve gövdenin dönüşünü etkilemez (gerçek durumda sadece yataklara etki eder). Ayrıca, yalnızca dönme eksenine dik düzlemde yer alan kuvvetler dikkate alınacaktır.

Pirinç. 5.4

Pirinç. 5.5

Dönme hareketi ile çalışın

Kuvvet etkisi altında olsun F ben(bkz. Şekil 5.4) gövde yeterince küçük bir daa açısıyla döner. Bu kuvvetin yaptığı işi bulalım.

Bu durumda liseden bilinen kuvvet işinin ifadesi şu şekilde yazılmalıdır:

Bu yüzden,

dönme hareketindeki temel kuvvet işi, kuvvet momentinin ve gövdenin temel dönme açısının çarpımına eşittir.

Eğer bir cisme birden fazla kuvvet etki ediyorsa, bu durumda hepsinin yaptığı temel iş (5.12)'ye benzer şekilde belirlenir:

Nerede M- vücuda etki eden tüm dış kuvvetlerin toplam momenti.

Eğer cisim döndüğünde yarıçap vektörünün konumu α 1'den α 2'ye değişirse, dış kuvvetlerin işi ifadenin (5.13) integrali alınarak bulunabilir:

Atalet momenti

Öteleme hareketi sırasında cisimlerin ataletinin ölçüsü kütledir. Dönme hareketi sırasında cisimlerin ataleti sadece kütleye değil, aynı zamanda eksene göre uzaydaki dağılımına da bağlıdır. Bir cismin dönme sırasındaki ataletinin ölçüsü, cismin dönme eksenine göre atalet momenti ile karakterize edilir. Öncelikle şunu belirtelim

Maddi bir noktanın dönme eksenine göre atalet momenti, noktanın kütlesinin eksene olan uzaklığının karesine eşit bir değerdir:

Bir cismin bir eksene göre atalet momenti, cismi oluşturan tüm maddi noktaların atalet momentlerinin toplamıdır:

Örnek olarak şu formülü türetiyoruz: ince homojen bir çubuğun eylemsizlik momenti uzunluk ben ve kütle Tçubuğa dik olan ve ortasından geçen eksene göre (Şekil 5.6). Çubuğun yeterince küçük bir uzunluğunu seçelim. dx ve kütle DM, 00" ekseninden belirli bir mesafe kadar uzakta X. Bu alanın küçük olmasından dolayı maddesel bir nokta olarak alınabilir, eylemsizlik momenti [bkz. (5.15)] şuna eşittir:

Temel bir bölümün kütlesi doğrusal yoğunluğun çarpımına eşittir t/l, temel bölümün uzunluğu ile çarpılır: DM= (m/l) dx Bu ifadeyi (5.18)'de yerine koyarsak şunu elde ederiz:

Çubuğun tamamının eylemsizlik momentini bulmak için, (5.19) ifadesini tüm çubuğun üzerine entegre ederiz; -1/2 ile +1/2 arasında değişir:

Çeşitli simetrik kütleli cisimlerin eylemsizlik momentleri için ifadeler sunalım. T:

içi boş homojen silindir(kasnak) iç yarıçaplı R ve harici R silindirin geometrik eksenine denk gelen OO" eksenine göre (Şekil 5.7):

sürekli homojen silindir (r = 0) veya disk [bkz. (5.21)]:

homojen top merkezinden geçen bir eksene göre:

dikdörtgen paralel yüzlü taban düzlemine dik olarak merkezinden geçen OO" eksenine göre (Şekil 5.8):

Yukarıdaki örneklerin hepsinde, dönme ekseni gövdenin kütle merkezinden geçer. Bir cismin kütle merkezinden geçmeyen bir eksene göre atalet momentini belirlemeye yönelik problemleri çözerken Huygens teoremini kullanabilirsiniz. Bu teoreme göre, cismin herhangi bir OO" eksenine göre eylemsizlik momenti:

burada J 0, OO cismin kütle merkezinden geçen paralel bir eksene göre eylemsizlik momentidir"; T- vücut ağırlığı; D- iki paralel eksen arasındaki mesafe (Şekil 5.9). Atalet momentinin birimi kilogram metre kare(kg-m2).

ivme

dürtü anı(açısal momentum)Belirli bir eksen etrafında dönen maddi bir noktaya, noktanın dönme ekseninden uzaktaki momentumunun çarpımına eşit bir değer denir:

Belirli bir eksen etrafında dönen bir cismin açısal momentumu, cismi oluşturan noktaların açısal momentumunun toplamına eşittir:

Katı bir cismin tüm noktalarının açısal hızı aynı olduğundan, ω'yi toplamın işaretinden çıkarırsak [bkz. (5.29)], şunu elde ederiz:

(/ - gövdenin eksene göre atalet momenti) veya vektör biçiminde:

Yani açısal momentum, bir noktanın eylemsizlik momenti ile açısal hızının çarpımına eşittir. Buradan açısal momentum ve açısal hız vektörlerinin yönlerinin çakıştığı sonucu çıkar. Açısal momentumun birimi kilogram-metre kare bölü saniye(kg? m2? s -1).

Formül (5.31)'i öteleme hareketindeki momentum için benzer bir formülle karşılaştırmak faydalıdır.

Dönen bir cismin kinetik enerjisi

Bir cisim döndüğünde kinetik enerjisi, vücudun bireysel noktalarının kinetik enerjilerinden oluşur. Bir katı için:

Öteleme hareketi için ifadeyi (5.32) benzer bir ifadeyle karşılaştırmak faydalıdır.

(5.32)'yi farklılaştırarak, dönme hareketinde kinetik enerjide temel bir değişiklik elde ederiz:

Dönme hareketinin dinamiği için temel denklem

Dış kuvvetlerin etkisi altındaki katı cismin yeterince küçük bir da açısıyla dönmesine izin verin. Böyle bir dönüş sırasında tüm dış kuvvetlerin temel işini eşitleyelim [bkz. (5.13)] kinetik enerjideki temel bir değişime [bkz. (5.33)]: M da = Jω dω , nereden:

işte bu temelDönme hareketinin dinamiği denklemi.(5.35)'ten atalet momentinin, dönme hareketi yapan bir cismin atalet özelliklerini karakterize ettiği açıktır: dış kuvvetlerin etkisi altında, cismin açısal ivmesi daha büyüktür, cismin atalet momenti ne kadar küçükse.

Dönme hareketinin temel denklemi, öteleme hareketi için Newton'un ikinci yasasıyla aynı rolü oynar. Bu denklemde yer alan fiziksel büyüklükler sırasıyla kuvvet, kütle ve ivmeye benzer.

İtibaren (5.34) şu şekildedir:

Bir cismin açısal momentumunun zamana göre türevi, tüm dış kuvvetlerin bileşke momentine eşittir.

Açısal ivmenin kuvvet momentine ve eylemsizlik momentine bağlılığı şu şekilde gösterilebilir:

Şekil 2'de gösterilen cihazın gücü ile. 5.10. Yük altında 1, Bir bloğun üzerine atılan bir ipe asılan haç hızla dönüyor. Ağırlıkları taşıma 2 dönme ekseninden farklı mesafelerde haçın atalet momentini değiştirebilirsiniz. Yüklerin değiştirilmesi, ör. Kuvvetlerin momentleri ve eylemsizlik momenti göz önüne alındığında, kuvvet momentinin artmasıyla veya eylemsizlik momentinin azalmasıyla açısal ivmenin arttığı doğrulanabilir.

5.3. MOMENTUMUN KORUNUM KANUNU

Dış kuvvetlerin toplam momentinin sıfır olduğu dönme hareketinin özel durumunu ele alalım. (5.37)’den görülebileceği gibi, dL/dt= 0 m = 0, nereden

Bu hüküm şu şekilde bilinmektedir: açısal momentumun korunumu yasası: Bir cisme etki eden tüm dış kuvvetlerin toplam momenti sıfıra eşitse, bu cismin açısal momentumu sabit kalır.

İspatı atlayarak, açısal momentumun korunumu yasasının yalnızca mutlak katı cisimler için geçerli olmadığını not ediyoruz.

Bu yasanın en ilginç uygulamaları, bir cisimler sisteminin ortak bir eksen etrafında dönmesiyle ilişkilidir. Bu durumda açısal momentumun ve açısal hızların vektör niteliğini hesaba katmak gerekir. Yani aşağıdakilerden oluşan bir sistem için N Ortak bir eksen etrafında dönen cisimler için açısal momentumun korunumu yasası şu şekilde yazılabilir:

Bu yasayı gösteren bazı örneklere bakalım.

İlk aşamada takla atan bir jimnastikçi (Şekil 5.11) dizlerini büker ve göğsüne doğru bastırır, böylece atalet momenti azalır ve kütle merkezinden geçen yatay bir eksen etrafındaki açısal dönme hızı artar. Atlamanın sonunda vücut düzleşir, atalet momenti artar ve açısal hız azalır. Dönmenin başlangıcında dikey bir eksen etrafında dönüş yapan patenci (Şekil 5.12) ellerini vücuda yaklaştırarak atalet momentini azaltır ve açısal hızı artırır. Dönüşün sonunda tam tersi bir süreç meydana gelir: Kolları hareket ettirirken atalet momenti artar ve açısal hız azalır, bu da durmayı kolaylaştırır.

Aynı fenomen, dikey bir eksen etrafında düşük sürtünmeyle dönen hafif, yatay bir platform olan Zhukovsky tezgahında da gösterilebilir. İbrelerin konumu değiştiğinde, atalet momenti ve açısal hız değiştiğinde (Şekil 5.13), açısal momentum sabit kalır. Gösteri etkisini arttırmak için kişinin elinde dambıllar vardır. Zhukovsky tezgahında açısal momentumun korunumu yasasının vektör doğasını gösterebilirsiniz.

Sabit bir bankta duran deneyci, asistanından dikey bir eksen etrafında dönen bir bisiklet tekerleği alır (Şekil 5.14, sol). Bu durumda kişinin ve platform-tekerlek sisteminin açısal momentumu yalnızca tekerleğin açısal momentumu ile belirlenir:

burada Jh kişinin ve platformun eylemsizlik momentidir; J K ve ω κ - tekerleğin atalet momenti ve açısal hızı. Dış kuvvetlerin düşey eksene göre momenti sıfır olduğundan, L korunur (L = sabit).

Deneyi yapan kişi tekerleğin dönme eksenini 180° döndürürse (Şekil 5.14, sağ), o zaman tekerleğin açısal momentumu orijinalin tersi yönünde olacak ve J K ω K'ye eşit olacaktır. Tekerleğin açısal momentumunun vektörü değiştiğinden ve sistemin açısal momentumu korunduğundan, kişinin ve platformun açısal momentumu kaçınılmaz olarak değişmek zorundadır; artık sıfıra eşit olmayacaktır 1 . Bu durumda sistemin açısal momentumu

1 Tekerlek ekseni ile platformun dönme ekseni arasındaki hafif farklılık ihmal edilebilir.

Formül (5.42)'yi kullanarak, ω κ, ω 4'ü ölçmenin ve J k'yi bulmanın gerekli olduğu platformla birlikte insan vücudunun atalet momentini yaklaşık olarak tahmin etmek mümkündür.

Düzgün dönmenin açısal hızlarını ölçme yöntemi okuyucu tarafından bilinmektedir. Tekerleğin kütlesini bilerek ve kütlenin esas olarak jant boyunca dağıldığını varsayarak, (5.22) formülünü kullanarak Jk'yi belirleyebiliriz.

Hatayı azaltmak için bisiklet tekerleğinin jantını üzerine özel lastikler yerleştirerek daha ağır hale getirebilirsiniz. Kişi dönme eksenine simetrik olarak konumlandırılmalıdır.

Ele alınan gösterinin daha basit bir versiyonu, Zhukovsky bankında duran bir kişinin, tuttuğu tekerleği dikey bir eksende döndürmesidir. Bu durumda kişi ve platform zıt yönlerde dönmeye başlar (Şekil 5.15).

5.4. SERBEST DÖNME EKSENLERİ KAVRAMI

Sabit bir eksen etrafında dönen bir gövde genellikle bu eksenin konumunu sabit tutan yataklara veya diğer cihazlara etki eder. Yüksek açısal hızlarda ve eylemsizlik momentlerinde bu etkiler önemli olabilir. Bununla birlikte, herhangi bir gövdede, dönüş sırasında yönü herhangi bir özel cihaz olmadan korunacak eksenleri seçmek mümkündür. Bu tür eksenlerin seçiminin hangi koşulu karşılaması gerektiğini anlamak için aşağıdaki örneği göz önünde bulundurun.

(5.43)'ü kütle merkezi koordinatlarıyla karşılaştırdığımızda, dönme ekseni kütle merkezinden geçiyorsa eksene etki eden kuvvetlerin dengelendiğini görüyoruz.

Rastgele bir şekle sahip bir gövdenin her zaman kütle merkezinden geçen ve serbest dönme eksenleri olabilecek en az üç karşılıklı dik ekseni vardır. Bu eksenlere eylemsizliğin ana eksenleri denir. Her üç ana atalet ekseni de serbest olmasına rağmen, en kararlı dönüş, en büyük atalet momentine sahip eksen etrafında olacaktır. Gerçek şu ki, sürtünme gibi dış kuvvetlerin kaçınılmaz etkisinin bir sonucu olarak ve ayrıca dönüşü tam olarak belirli bir eksen etrafında ayarlamanın zor olması nedeniyle, geri kalan serbest eksenler etrafındaki dönüş kararsızdır.

Bazı durumlarda, bir cisim küçük bir atalet momentiyle serbest bir eksen etrafında döndüğünde, kendisi bu ekseni en yüksek momente sahip eksene değiştirir.

Bu olgu aşağıdaki deneyle gösterilmektedir. Silindirik bir çubuk, geometrik ekseni etrafında dönebilen bir iplik ile elektrik motorundan asılır (Şekil 5.17, a). Bu eksene göre eylemsizlik momenti J1 = mR2/2. Yeterince yüksek bir açısal hızda çubuk konumunu değiştirecektir (Şekil 5.17, b). Yeni eksene göre eylemsizlik momenti şuna eşittir: J2 = mi 2/12. Eğer l 2 >6R 2 ise J 2 > J 1. Yeni eksen etrafındaki dönüş sabit olacaktır.

Okuyucu, fırlatılan bir kibrit kutusunun dönüşünün daha büyük yüzeye dik olan bir eksene göre kararlı olduğunu ve diğer yüzlere dik uzanan eksenlere göre kararsız veya daha az kararlı olduğunu deneyimlerinden bağımsız olarak doğrulayabilir (bkz. Şekil 5.8).

Hayvanların ve insanların serbest uçuşta ve çeşitli sıçramalar sırasında dönüşü, en yüksek veya en düşük atalet momentine sahip serbest eksenler etrafında gerçekleşir. Kütle merkezinin konumu vücudun duruşuna bağlı olduğundan farklı duruşlar için farklı serbest eksenler olacaktır.

5.5. ÖZGÜRLÜK DERECELERİ KAVRAMI

Serbest bir malzeme noktasının uzaydaki konumu üç bağımsız koordinatla verilir: x, y, z. Nokta serbest değilse ancak örneğin bir yüzey boyunca hareket ediyorsa, o zaman üç koordinatın tümü bağımsız olmayacaktır.

Mekanik bir sistemin konumunu karakterize eden bağımsız değişkenlere serbestlik derecesi denir.

Serbest bir malzeme noktasının, ele alınan örnekte üç serbestlik derecesi vardır; iki serbestlik derecesi. Tek atomlu bir gazın molekülü maddi bir nokta olarak kabul edilebileceğinden, böyle bir serbest molekülün de üç serbestlik derecesi vardır.

Birkaç örnek daha.

İki malzeme noktası (1 ve 2) birbirine sıkı bir şekilde bağlanmıştır. Her iki noktanın konumu altı koordinatla belirtilir x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, bir kısıtlamaya ve bir bağlantıya tabi olan, matematiksel olarak bir denklem biçiminde ifade edilenler:

Fiziksel olarak bu, maddi noktalar arasındaki mesafenin her zaman aynı olduğu anlamına gelir. l. Bu durumda serbestlik derecesi sayısı 5'tir. Ele alınan örnek iki atomlu bir molekülün modelidir.

Üç malzeme noktası (1, 2 ve 3) birbirine sıkı bir şekilde bağlanmıştır. arkadaşım. Dokuz koordinat böyle bir sistemin konumunu karakterize eder: x 1, y 1, z1, x 2, y 2, z2, x 3 y 3 , z 3 . Ancak noktalar arasındaki üç bağlantı yalnızca altı koordinatın bağımsızlığını belirler. Sistemin altı serbestlik derecesi vardır. Aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktanın konumu katı bir cismin konumunu benzersiz olarak belirlediğinden, katı cismin altı serbestlik derecesi vardır.

Triatomik ve çok atomlu moleküller, eğer bu moleküller katı oluşumlar olarak kabul edilirse, aynı sayıda (altı) serbestlik derecesine sahiptir.

1 Bağımlı koordinat için (5.44)'ten hayali bir değer elde edilirse, bu, seçilen bağımsız koordinatların, belirli bir yarıçaptaki küre üzerinde bulunan herhangi bir noktaya karşılık gelmediği anlamına gelir.

Gerçek çok atomlu moleküllerde atomlar titreşimsel hareket halindedir, dolayısıyla bu tür moleküllerin serbestlik derecesi sayısı altıdan fazladır.

Serbestlik derecesinin sayısı yalnızca mekanik sistemin konumunu karakterize eden bağımsız değişkenlerin sayısını değil aynı zamanda çok önemli olan sistemin bağımsız hareketlerinin sayısını da belirler. Dolayısıyla, serbest bir maddi noktanın üç serbestlik derecesi, noktanın herhangi bir hareketinin üç koordinat ekseni boyunca bağımsız hareketlere ayrıştırılabileceği anlamına gelir. Bir noktanın boyutu olmadığı için dönüşünden bahsetmenin bir anlamı yoktur. Yani, maddi bir noktanın üç derece öteleme hareketi serbestliği vardır. Bir düzlem, küre veya başka bir yüzey üzerindeki maddi bir noktanın iki derece öteleme hareketi serbestliği vardır. Maddi bir noktanın bir eğri boyunca hareketi (geleneksel bir örnek, bir trenin raylar üzerindeki hareketidir), bir derece öteleme hareketi serbestliğine karşılık gelir.

Sabit bir eksen etrafında dönen katı bir cismin bir derecelik dönme hareketi serbestliği vardır. Tren tekerleğinin iki serbestlik derecesi vardır: biri dönme hareketidir, diğeri ise ötelemedir (tekerlek eksenini ray boyunca hareket ettirmek). Katı bir cismin altı serbestlik derecesi, bu cismin herhangi bir hareketinin bileşenlere ayrılabileceği anlamına gelir: kütle merkezinin hareketi, koordinat eksenleri boyunca üç öteleme hareketine ayrıştırılır ve dönüş, koordinat eksenleri etrafında üç basit dönüşten oluşur. kütle merkezinden geçiyor.

Şek. 5.18-5.20 bir, iki ve üç serbestlik derecesine karşılık gelen menteşe bağlantılarını göstermektedir.

Pirinç. 5.18

Pirinç. 5.19

Pirinç. 5.20

5.6. SANTRİFÜGASYON

Santrifüjleme, heterojen sistemlerin, örneğin parçacıkların, içinde bulundukları sıvılardan, dönmeleri nedeniyle ayrılması (ayırılması) işlemidir.

Bir çekim alanında homojen olmayan sistemlerin ayrılmasını ele alalım. Farklı yoğunluklara sahip parçacıkların sulu bir süspansiyonunun bulunduğunu varsayalım. Zamanla yer çekimi ve kaldırma kuvvetinin etkisiyle FA parçacık ayrımı meydana gelir: yoğunluğu suyunkinden daha büyük olan parçacıklar batar, yoğunluğu sudan daha düşük olan parçacıklar yüzer. Örneğin daha yoğun bir tekil parçacığa etki eden bileşke kuvvet şuna eşittir:

Nerede ρ 1 - parçacık madde yoğunluğu; ρ - suyun yoğunluğu; V- parçacık hacmi.

ρ 1 ve ρ değerleri birbirinden çok az farklıysa, o zaman kuvvet Fp küçüktür ve ayrılma (birikme) oldukça yavaş gerçekleşir. Bir santrifüjde (ayırıcı), bu tür bir ayırma, ayrılan ortamın zorla döndürülmesiyle gerçekleştirilir.

Bu olgunun fiziğini ele alalım.

Santrifüjün çalışma hacminin (Şekil 5.21: a - görünüm; b - çalışma hacminin diyagramı) tamamen homojen bir sıvı tarafından işgal edilmesine izin verin. Zihinsel olarak küçük bir hacim seçelim V belli bir mesafede bulunan bu sıvının R OO" dönme ekseninden itibaren. Santrifüjün düzgün dönmesiyle, birbirini dengeleyen yer çekimi ve kaldırma kuvvetine ek olarak, seçilen hacme bir merkezcil kuvvet etki eder. Bu, hacmi çevreleyen sıvıdan gelen kuvvettir. doğal olarak dönme eksenine doğru yönlendirilir ve şuna eşittir:

Nerede ρ sıvının yoğunluğudur.

Şimdi tahsis edilen hacmin olduğunu varsayalım. V madde yoğunluğu ρ 1 (ρ 1 Φ ρ) olan ayrılmış bir parçacıktır. Formül (5.45)'ten görülebileceği gibi, çevredeki sıvıdan parçacığa etki eden kuvvet değişmeyecektir.

Bir parçacığın sıvıyla birlikte dönebilmesi için ona aşağıdakilere eşit bir merkezcil kuvvet etki etmelidir:

Nerede m 1 parçacığın kütlesidir ve ρ 1 karşılık gelen yoğunluktur.

Pirinç. 5.21

Eğer F> F1, daha sonra parçacık dönme eksenine doğru hareket eder. Eğer F< F1, o zaman sıvının parçacık üzerindeki etkisi onu dairesel bir yörüngede tutmak için yeterli olmayacak ve parçacık ataletle çevreye doğru hareket etmeye başlayacaktır. Ayırma etkisi aşırı kuvvet tarafından belirlenir F, Seçilen parçacık üzerindeki sıvının yanından, dairesel hareketi belirleyen merkezcil kuvvet F1 değerinin üzerinde etki eden:

Bu ifade, santrifüjleme etkisinin, ayrılan parçacıkların ve sıvının yoğunlukları arasındaki farkın ne kadar büyük olduğunu ve ayrıca açısal dönme hızına (1) önemli ölçüde bağlı olduğunu gösterir.

Santrifüj yoluyla ayırmayı yerçekimi kullanarak ayırmayla karşılaştıralım:

1 Formül (5.47) türetilirken yerçekimi ve kaldırma kuvveti dikkate alınmaz çünkü bunlar dönme ekseni boyunca yönlendirilir ve santrifüj üzerinde temel bir etkiye sahip değildir.

Ultrasantrifüjler, sıvı içinde asılı veya çözünmüş 100 nm'den küçük parçacıkları ayırma kapasitesine sahiptir. Biyopolimerlerin, virüslerin ve hücre altı parçacıkların ayrılması için biyomedikal araştırmalarda geniş uygulama alanı bulmuşlardır.

Ayrılma hızı özellikle biyolojik ve biyofiziksel araştırmalarda önemlidir, çünkü zamanla incelenen nesnelerin durumu önemli ölçüde değişebilir.

Temel kavramlar.

kuvvet anı dönme eksenine göre - bu, yarıçap vektörünün ve kuvvetin vektör ürünüdür.

(1.14)

Kuvvet momenti bir vektördür , yönü, gövdeye etki eden kuvvetin yönüne bağlı olarak burgu kuralı (sağ vida) ile belirlenir. Kuvvet momenti dönme ekseni boyunca yönlendirilir ve belirli bir uygulama noktasına sahip değildir.

Bu vektörün sayısal değeri aşağıdaki formülle belirlenir:

m=r F günah (1.15),

nerede  - yarıçap vektörü ile kuvvetin yönü arasındaki açı.

Eğer =0 veya  , kuvvet anı M=0 yani dönme ekseninden geçen veya ona denk gelen bir kuvvet dönmeye neden olmaz.

Kuvvet belirli bir açıyla hareket ederse en büyük modül torku oluşturulur  =  /2 (M 0) veya  =3  /2 (M 0).

Kaldıraç kavramını kullanma D- bu, dönme merkezinden kuvvetin etki çizgisine indirilen dikey bir çizgidir), kuvvet momentinin formülü şu şekli alır:

, Nerede
(1.16)

Kuvvetlerin momentleri kuralı(sabit bir dönme eksenine sahip bir cismin denge durumu):

Dönme ekseni sabit olan bir cismin dengede olabilmesi için bu cisme etki eden kuvvetlerin momentlerinin cebirsel toplamının sıfıra eşit olması gerekir.

 M Ben =0 (1.17)

Kuvvet momentinin SI birimi [Nm]

Dönme hareketi sırasında bir cismin eylemsizliği yalnızca kütlesine değil aynı zamanda dönme eksenine göre uzaydaki dağılımına da bağlıdır.

Dönme sırasındaki atalet, gövdenin dönme eksenine göre atalet momenti ile karakterize edilir. J.

Atalet momenti Dönme eksenine göre maddi nokta, noktanın kütlesinin dönme ekseninden uzaklığının karesine eşit bir değerdir:

J  =m   R  2 (1.18)

Bir cismin bir eksene göre atalet momenti, cismi oluşturan maddi noktaların atalet momentlerinin toplamıdır:

j= M   R  2 (1.19)

Bir cismin eylemsizlik momenti, kütlesine ve şekline olduğu kadar dönme ekseni seçimine de bağlıdır. Bir cismin belirli bir eksene göre atalet momentini belirlemek için Steiner-Huygens teoremi kullanılır:

J=J 0 +m D 2 (1.20),

Nerede J 0 – cismin kütle merkezinden geçen paralel bir eksene göre atalet momenti, D – iki paralel eksen arasındaki mesafe . SI'da eylemsizlik momenti [kgm 2 ] cinsinden ölçülür

İnsan vücudunun dönme hareketi sırasındaki atalet momenti deneysel olarak belirlenir ve silindir, yuvarlak çubuk veya top formülleri kullanılarak yaklaşık olarak hesaplanır.

Bir kişinin kütle merkezinden geçen dikey dönme eksenine göre atalet momenti (insan vücudunun kütle merkezi sagittal düzlemde ikinci sakral omurun biraz önünde bulunur), buna bağlı olarak kişinin konumu aşağıdaki değerlere sahiptir: hazırda dururken - 1,2 kg m2; “arabesk” pozla – 8 kgm2; yatay konumda – 17 kg  m2.

Dönme hareketi ile çalışın Bir cisim dış kuvvetlerin etkisi altında döndüğünde meydana gelir.

Dönme hareketindeki temel kuvvet işi, kuvvet momentinin ve gövdenin temel dönme açısının çarpımına eşittir:

dA  =M   D (1.21)

Bir cisme birden fazla kuvvet etki ediyorsa, uygulanan tüm kuvvetlerin sonucunun temel çalışması aşağıdaki formülle belirlenir:

dA=M D (1.22),

Nerede M– cisme etki eden tüm dış kuvvetlerin toplam momenti.

Dönen bir cismin kinetik enerjisiK İle Vücudun atalet momentine ve dönüşünün açısal hızına bağlıdır:

(1.23)

İmpuls açısı (açısal momentum) – Sayısal olarak cismin momentumu ile dönme yarıçapının çarpımına eşit bir miktar.

L=p r=m V R (1.24).

Uygun dönüşümlerden sonra açısal momentumu belirleme formülünü şu şekilde yazabilirsiniz:

(1.25).

ivme – yönü sağ vida kuralıyla belirlenen bir vektör. Açısal momentumun SI birimi kgm 2 /s

Dönme hareketi dinamiğinin temel yasaları.

Dönme hareketinin dinamiği için temel denklem:

Dönme hareketi yapan bir cismin açısal ivmesi, tüm dış kuvvetlerin toplam momentiyle doğru orantılı, cismin eylemsizlik momentiyle ters orantılıdır.

(1.26).

Bu denklem, dönme hareketini tanımlamada Newton'un ikinci yasasının öteleme hareketi için yaptığı rolün aynısını oynar. Denklemden, dış kuvvetlerin etkisi altında, açısal ivme ne kadar büyük olursa, vücudun atalet momentinin o kadar küçük olduğu açıktır.

Newton'un dönme hareketinin dinamiği için ikinci yasası başka bir biçimde yazılabilir:

(1.27),

onlar. Bir cismin açısal momentumunun zamana göre birinci türevi, belirli bir cisme etki eden tüm dış kuvvetlerin toplam momentine eşittir.

Bir cismin açısal momentumunun korunumu yasası:

Cismin üzerine etki eden tüm dış kuvvetlerin toplam momenti sıfıra eşitse;

 M  =0 , Daha sonra dL/dt=0 (1.28).

Bundan şu sonuç çıkıyor
veya
(1.29).

Bu ifade, aşağıdaki şekilde formüle edilen bir cismin açısal momentumunun korunumu yasasının özünü oluşturur:

Dönen bir cismin üzerine etkiyen dış kuvvetlerin toplam momenti sıfır ise, cismin açısal momentumu sabit kalır.

Bu yasa yalnızca kesinlikle katı bir cisim için geçerli değildir. Bir örnek, dikey bir eksen etrafında dönüş yapan bir patencidir. Patenci ellerine bastırarak atalet momentini azaltır ve açısal hızı arttırır. Dönüşü yavaşlatmak için tam tersine kollarını genişçe açar; Bunun sonucunda atalet momenti artar ve açısal dönüş hızı azalır.

Sonuç olarak, öteleme ve dönme hareketlerinin dinamiklerini karakterize eden ana niceliklerin ve yasaların karşılaştırmalı bir tablosunu sunuyoruz.

Tablo 1.4.

A katı gövdesinin (Şekil 1.19, a) sabit bir eksen etrafında dönebildiğini varsayalım. Bir cismin dönmesini sağlamak (açısal hızını değiştirmek) için bir dış etki gereklidir. Ancak yönü dönme ekseninden geçen veya eksene paralel bir kuvvet cisimlerin açısal hızını değiştiremez.

Bu nedenle gövdeye uygulanan dış kuvvetten, dönmeye neden olmayan bileşenlerin izole edilmesi gerekmektedir. Dönme, yalnızca dönme eksenine dik bir düzlemde yer alan ve uygulama noktası tarafından tanımlanan daireye teğet olarak yönlendirilen bir kuvvet (dönme kuvveti) nedeniyle meydana gelebilir.

Gövde döndüğünde bileşenlerin iş yapmadığını unutmayın, çünkü bu kuvvetlerin uygulama noktası yönlerine dik olarak hareket eder. İş yalnızca dönme kuvveti ile gerçekleştirilir; cisme etki eden kuvvetin, bu kuvvetin uygulandığı noktanın hareket yönüne izdüşümüdür.

Uygulama noktası yarıçaplı bir daire boyunca kaydırılırsa, dönen kuvvetin yaptığı iş miktarını belirleyelim (Şekil 1.19, b). Kuvvetin büyüklüğünün sabit kaldığını varsayalım. Daha sonra

Dönen kuvvet ile yarıçapın çarpımı, dönme kuvvetinin momentidir veya belirli bir cisme etki eden torktur ve şu şekilde gösterilir: (belirli bir kuvvetin herhangi bir eksene göre momentinin bu kuvvetin çarpımı olduğunu hatırlayın) kolu, yani belirtilen noktadan gerçekleştirilen dikey uzunluğuna göre

kuvvetin yönüne doğru eksen). Böylece formül (2.8)'de

dolayısıyla torkun yaptığı iş, bu anın çarpımına ve cismin dönme açısına eşittir:

Tork (kuvvet veya kolu) zamanla değişirse, yapılan iş toplam olarak belirlenir:

Döndürme kuvvetinin torku, dönme eksenine denk gelen bir vektör olarak temsil edilir; bu vektörün pozitif yönelimi, bu an döndürülen sağ vidanın hareket edeceği yönde seçilir.

Gövdeye uygulanan tork, seçtiğimiz vektörlerin yönlerine göre ona bir miktar açısal ivme kazandırır; bunlar dönme ekseni boyunca aynı yönde yönlendirilir. Torkun büyüklüğü ile bunun sağladığı açısal ivmenin büyüklüğü arasındaki ilişki iki şekilde kurulabilir:

a) İtici kuvvetin işinin, bu kuvvetin uygulandığı cismin kinetik enerjisindeki değişime eşit olduğu gerçeğini kullanabilirsiniz: Dönen bir cisim için, (2.9) ve (2.4) formüllerine göre, sahip olmak

Burada dönme sırasında cismin eylemsizlik momentinin değişmediğini varsayalım. Bu denklemi bölerek ve azaltarak şunu elde ederiz:

b) dönme kuvvetinin momentinin, vücudun bireysel bileşenlerine teğetsel ivme kazandıran kuvvetlerin momentlerinin toplamına eşit olması, bu kuvvetlerin eşit olması ve momentlerinin eşit olması gerçeğinden yararlanabilirsiniz;

Teğetsel ivmeleri, dönen bir cismin tüm parçacıkları için aynı olan açısal ivmeyle değiştirelim (eğer cisim dönme sırasında deforme değilse): O zaman:

Formül (2.12), katı (deforme olmayan) cisimlerin dönme hareketi dinamiğinin temel yasasını ifade eder;

Belirli bir torkun etkisi altında bir gövde tarafından elde edilen açısal ivme, bu momentin büyüklüğü ile doğru orantılıdır ve gövdenin dönme eksenine göre atalet momenti ile ters orantılıdır:

Vektör formunda bu yasa şu şekilde yazılır:

Bir cisim dönme sırasında deforme olursa, dönme eksenine göre atalet momenti değişecektir. Birçok temel (nokta) parçadan oluşan dönen bir cismi zihinsel olarak hayal edelim; o zaman tüm vücudun deformasyonu, vücudun bu kısımlarından dönme eksenine olan mesafelerde bir değişiklik anlamına gelecektir. Bununla birlikte, belirli bir açısal dönme hızının mesafesindeki bir değişikliğe, bu parçacığın doğrusal hareket hızında ve dolayısıyla kinetik enerjisinde bir değişiklik eşlik edecektir. Böylece, vücudun sabit bir açısal dönme hızında, mesafelerdeki bir değişikliğe (dolayısıyla, vücudun atalet momentindeki bir değişikliğe) tüm vücudun dönme kinetik enerjisinde bir değişiklik eşlik edecektir.

Formül (2.4)'ten değişkenleri varsayarsak şunu elde edebiliriz:

İlk terim, dönen bir cismin kinetik enerjisindeki, yalnızca açısal dönme hızındaki bir değişiklik nedeniyle (cismin belirli bir eylemsizlik anında) meydana gelen değişimi gösterir ve ikinci terim, kinetik enerjideki değişimi gösterir. , yalnızca vücudun atalet momentindeki bir değişiklik nedeniyle meydana geldi (belirli bir açısal dönme hızında).

Bununla birlikte, bir nokta cismin dönme eksenine olan uzaklığı değiştiğinde, bu cismi dönme eksenine bağlayan iç kuvvetler iş yapacaktır: cisim uzaklaşıyorsa negatif, cisim dönme eksenine yaklaşıyorsa pozitif; Parçacığı dönme eksenine bağlayan kuvvetin sayısal olarak merkezcil kuvvete eşit olduğunu varsayarsak bu iş hesaplanabilir:

Kütleli birçok parçacıktan oluşan tüm vücut için şunu elde ederiz:

Genel durumda, bir cisme harici bir tork etki ettiğinde, kinetik enerjideki değişim iki işin toplamına eşitlenmelidir: harici tork ve iç kuvvetler Hızlandırılmış dönüş ile değerler pozitif işaretlere sahip olacaktır - negatif.

işaret (vücudun parçacıkları dönme ekseninden uzaklaştığından); Daha sonra

Burada (2.15) ifadesindeki değeri yerine koyarsak ve şunu elde ederiz:

veya azaltıldıktan sonra

Bu, sabit bir eksen etrafında dönen cisimler için mekaniğin temel yasasının genel bir biçimidir; aynı zamanda deforme olan cisimler için de geçerlidir. Formül (2.16) formül (2.14)'e dönüştüğünde.

Deforme olan cisimler için, harici bir torkun yokluğunda bile açısal dönüş hızında bir değişikliğin mümkün olduğunu unutmayın. Aslında, formül (2.16)'dan şunu elde ettiğimizde:

Bu durumda, açısal dönme hızı yalnızca iç kuvvetlerin neden olduğu gövdenin atalet momentindeki değişiklik nedeniyle değişir.