Bu makaledeki bilgiler genel bir anlayış sağlar. tamsayılar. Öncelikle tamsayıların tanımı verilmekte ve örnekler verilmektedir. Daha sonra, sayı doğrusunda tam sayıları ele alıyoruz; buradan hangi sayılara pozitif tam sayılar, hangilerine negatif tam sayılar denildiği netleşiyor. Bundan sonra miktarlardaki değişimlerin tam sayılar kullanılarak nasıl tanımlandığı gösterilir ve tam sayılar dikkate alınır. negatif sayılar borç anlamında.

Sayfada gezinme.

Tamsayılar - Tanım ve Örnekler

Tanım.

Bütün sayılar– bunlar doğal sayılardır, sıfır sayısı ve doğal sayıların karşısındaki sayılar.

Tam sayıların tanımı, 1, 2, 3, … sayılarından herhangi birinin, 0 sayısının ve ayrıca −1, −2, −3, … sayılarının herhangi birinin bir tam sayı olduğunu belirtir. Artık kolayca getirebiliriz tamsayı örnekleri. Örneğin, 38 sayısı bir tam sayıdır, 70,040 sayısı da bir tam sayıdır, sıfır bir tam sayıdır (sıfırın bir doğal sayı OLMADIĞINI, sıfırın bir tam sayı olduğunu unutmayın), −999, −1, −8,934,832 sayıları da aynı zamanda tamsayı sayılara örnekler

Tüm tam sayıları, aşağıdaki biçimde olan bir tam sayı dizisi olarak temsil etmek uygundur: 0, ±1, ±2, ±3, ... Bir tam sayı dizisi şu şekilde yazılabilir: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Tam sayıların tanımından, doğal sayılar kümesinin tam sayılar kümesinin bir alt kümesi olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle her doğal sayı bir tam sayıdır ancak her tam sayı bir doğal sayı değildir.

Koordinat doğrusu üzerindeki tamsayılar

Tanım.

Pozitif tam sayılar sıfırdan büyük tam sayılardır.

Tanım.

Negatif tamsayılar tam sayılardır Sıfırdan daha az.

Pozitif ve negatif tamsayılar koordinat doğrusu üzerindeki konumlarına göre de belirlenebilir. Yatay bir koordinat doğrusu üzerinde, koordinatları pozitif tam sayı olan noktalar orijinin sağında yer alır. Buna karşılık, negatif tam sayı koordinatlara sahip noktalar O noktasının solunda bulunur.

Tüm pozitif tam sayılar kümesinin doğal sayılar kümesi olduğu açıktır. Buna karşılık, tüm negatif tam sayılar kümesi, doğal sayıların karşısındaki tüm sayılar kümesidir.

Ayrı olarak, herhangi bir doğal sayıya güvenle tam sayı diyebileceğimiz, ancak hiçbir tam sayıya doğal sayı diyemeyeceğimiz gerçeğine dikkatinizi çekelim. Negatif tam sayılar ve sıfır doğal sayı olmadığından herhangi bir pozitif tam sayıya yalnızca doğal sayı diyebiliriz.

Pozitif ve negatif olmayan tam sayılar

Pozitif olmayan tam sayıların ve negatif olmayan tam sayıların tanımlarını verelim.

Tanım.

Sıfır sayısıyla birlikte tüm pozitif tam sayılara denir. negatif olmayan tam sayılar.

Tanım.

Pozitif olmayan tam sayılar– bunların hepsi 0 sayısıyla birlikte negatif tam sayılardır.

Başka bir deyişle, negatif olmayan bir tam sayı, sıfırdan büyük veya sıfıra eşit bir tam sayıdır ve pozitif olmayan bir tam sayı, sıfırdan küçük veya sıfıra eşit bir tam sayıdır.

Pozitif olmayan tam sayılara örnek olarak −511, −10,030, 0, −2 sayıları verilebilir ve negatif olmayan tam sayılara örnek olarak 45, 506, 0, 900,321 sayılarını veriyoruz.

Çoğu zaman, "pozitif olmayan tam sayılar" ve "negatif olmayan tam sayılar" terimleri kısalık sağlamak için kullanılır. Örneğin, "a sayısı bir tam sayıdır ve a sıfırdan büyüktür veya sıfıra eşittir" ifadesi yerine "a negatif olmayan bir tam sayıdır" diyebilirsiniz.

Tamsayıları kullanarak niceliklerdeki değişiklikleri açıklama

İlk etapta neden tam sayılara ihtiyaç duyulduğundan bahsetmenin zamanı geldi.

Tam sayıların temel amacı, onların yardımıyla herhangi bir nesnenin miktarındaki değişiklikleri tanımlamanın uygun olmasıdır. Bunu örneklerle anlayalım.

Depoda belli sayıda parça olsun. Örneğin depoya 400 parça daha getirilirse depodaki parça sayısı artacaktır ve 400 sayısı bu miktar değişimini ifade etmektedir. olumlu taraf(artan). Örneğin depodan 100 parça alınırsa depodaki parça sayısı azalacak, 100 sayısı ise miktardaki negatif yönde (aşağıya doğru) değişimi ifade edecektir. Depoya parça getirilmeyecek, depodan parça alınmayacak, o zaman parça miktarının sabit olmasından (yani miktar olarak sıfır değişimden bahsedebiliriz) bahsedebiliriz.

Verilen örneklerde parça sayısındaki değişim sırasıyla 400, −100 ve 0 tam sayıları kullanılarak açıklanabilir. Pozitif bir tam sayı (400), miktardaki pozitif yönde bir değişikliği (artışı) gösterir. Negatif bir tam sayı -100, miktardaki negatif yönde bir değişikliği (azalış) ifade eder. 0 tam sayısı miktarın değişmediğini gösterir.

Tam sayıları kullanmanın doğal sayıları kullanmaya göre rahatlığı, miktarın arttığını mı yoksa azaldığını mı açıkça belirtmenize gerek olmamasıdır; tamsayı değişikliğin niceliğini belirtir ve tamsayının işareti değişimin yönünü gösterir.

Tamsayılar sadece nicelikteki değişimi değil aynı zamanda bazı niceliklerdeki değişimi de ifade edebilir. Bunu sıcaklık değişimleri örneğini kullanarak anlayalım.

Sıcaklıktaki örneğin 4 derecelik bir artış, 4 pozitif tamsayı olarak ifade edilir. Sıcaklıkta örneğin 12 derecelik bir azalma, -12 negatif tamsayı olarak tanımlanabilir. Ve sıcaklığın değişmezliği, 0 tamsayısıyla belirlenen değişimidir.

Negatif tam sayıların borç miktarı olarak yorumlanmasından da ayrıca bahsetmek gerekir. Örneğin, eğer 3 elmamız varsa, 3 pozitif tamsayısı sahip olduğumuz elma sayısını temsil eder. Öte yandan, birine 5 elma vermek zorunda kalıyorsak ancak stoklarımızda yoksa bu durum −5 negatif tamsayı kullanılarak açıklanabilir. Bu durumda, −5 elmaya “sahip oluyoruz”, eksi işareti borcu gösteriyor ve 5 sayısı da borcun miktarını gösteriyor.

Negatif bir tam sayıyı borç olarak anlamak, örneğin negatif tam sayıların eklenmesi kuralını doğrulamaya olanak tanır. Bir örnek verelim. Birinin birine 2 elma, diğerine 1 elma borcu varsa, o zaman toplam borç 2+1=3 elma olur, yani -2+(−1)=−3.

Kaynakça.

• Vilenkin N.Ya. ve diğerleri. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı.

Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi kat ettiği süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.

Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zeno'nun açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ... tartışmalar bugüne kadar devam ediyor; bilim camiası paradoksların özü hakkında henüz ortak bir görüşe varamadı ... konunun incelenmesine matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi. ; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldığını anlıyor ama kimse aldatmanın neyden oluştuğunu anlamıyor.

Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı uygulamalar yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz, düşüncenin ataleti nedeniyle, karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel açıdan bakıldığında bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil kaplumbağadan daha fazla koşamaz.

Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit hızla koşar. Yolunun her bir sonraki bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak o zaman “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.

Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı birimlere geçmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:

Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.

Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Ancak bu soruna tam bir çözüm değildir. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözümün sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranması gerekiyor.

Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:

Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.

Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun uzayın farklı noktalarında hareketsiz olduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Bir arabaya olan mesafeyi belirlemek için, uzayın farklı noktalarından aynı anda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak bunlardan hareketin gerçeğini belirleyemezsiniz (tabii ki hesaplamalar için yine de ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) ). Belirtmek istediğim şey Özel dikkat Zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın karıştırılmaması gereken farklı şeyler olduğu, çünkü araştırma için farklı fırsatlar sundukları.

4 Temmuz 2018 Çarşamba

Küme ve çoklu küme arasındaki farklar Vikipedi'de çok iyi anlatılmıştır. Görelim.

Gördüğünüz gibi “bir kümede iki özdeş eleman olamaz” ama bir kümede özdeş elemanlar varsa bu kümeye “çoklu küme” denir. Makul varlıklar bu kadar saçma mantığı asla anlayamayacaklar. Bu, “tamamen” kelimesinden zekası olmayan, konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.

Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.

Matematikçiler "dikkat edin, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansınlar, onları gerçeklikle ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.

Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve içine aynı değerdeki banknotları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamızın üzerine koyuyoruz. Daha sonra her yığından bir banknot alıyoruz ve matematikçiye "matematiksel maaş setini" veriyoruz. Matematikçiye, kalan banknotları ancak özdeş elemanları olmayan bir kümenin, aynı elemanları olan bir kümeye eşit olmadığını kanıtladığında alacağını açıklayalım. eğlence burada başlıyor.

Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra bize, aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paralarda farklı miktarlar Her madalyonun kiri, kristal yapısı ve atomik dizilimi benzersizdir...

Ve şimdi en çok şeye sahibim faiz Sor: Bir çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.

Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumlarını seçiyoruz. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.

Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.

18 Mart 2018 Pazar

Bir sayının rakamlarının toplamı, şamanların tef ile dansıdır ve bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve bunu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onlar şamandırlar, nesillerine becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için çalışırlar, aksi takdirde şamanlar yok olup giderler.

Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve "Bir sayının rakamlarının toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur. Sonuçta sayılar grafik sembolleri Yardımıyla sayıları yazıyoruz ve matematik dilinde görev şu şekilde geliyor: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu problemi çözemezler ama şamanlar bunu kolaylıkla yapabilirler.

Belirli bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yapacağımızı bulalım. Peki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.

1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı grafiksel sayı sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değil.

2. Ortaya çıkan bir resmi, bireysel sayılar içeren birkaç resme kestik. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.

3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değil.

4. Ortaya çıkan sayıları ekleyin. Şimdi bu matematik.

12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı, şamanlar tarafından öğretilen “kesme ve dikme dersleridir”. Ama hepsi bu değil.

Matematiksel açıdan bakıldığında bir sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımız önemli değildir. Yani, içinde farklı sistemler Matematikte aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi sayının sağında alt simge olarak gösterilir. Büyük sayı olan 12345 ile kafamı kandırmak istemem, yazıdaki 26 sayısını ele alalım. Bu sayıyı ikili, sekizli, onlu ve onaltılı sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız; bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.

Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Tıpkı bir dikdörtgenin alanını metre ve santimetre olarak belirlerseniz tamamen farklı sonuçlar elde etmeniz gibi.

Sıfır tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve rakam toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne yani, matematikçiler için sayılardan başka hiçbir şey yok mu? Buna şamanlar için izin verebilirim ama bilim adamları için izin veremem. Gerçeklik sadece sayılardan ibaret değildir.

Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı miktarın farklı ölçü birimleriyle aynı eylemler, farklı sonuçlar Bunları karşılaştırdıktan sonra matematikle hiçbir ilgisi olmadığı anlamına gelir.

Gerçek matematik nedir? İşte o zaman sonuç matematiksel operasyon sayının büyüklüğüne, kullanılan ölçü birimine ve eylemi kimin gerçekleştirdiğine bağlı değildir.