Selamlar kediler! Geçen sefer köklerin ne olduğunu detaylı olarak ele almıştık (hatırlamıyorsanız okumanızı tavsiye ederim). Bu dersten çıkan ana çıkarım: Köklerin tek bir evrensel tanımı vardır, bilmeniz gereken de budur. Gerisi saçmalık ve zaman kaybıdır.

Bugün daha ileri gidiyoruz. Kökleri çarpmayı öğreneceğiz, çarpmayla ilgili bazı problemleri inceleyeceğiz (eğer bu problemler çözülmezse sınavda ölümcül olabilir) ve doğru şekilde pratik yapacağız. O halde patlamış mısır stoklayın, rahatlayın ve başlayalım :)

Sen de henüz içmedin, değil mi?

Ders oldukça uzun olduğu için onu iki bölüme ayırdım:

1. İlk önce çarpma kurallarına bakacağız. Cap şunu ima ediyor gibi görünüyor: iki kök olduğunda, aralarında bir "çarpma" işareti var - ve biz onunla bir şeyler yapmak istiyoruz.
2. O zaman tam tersi duruma bakalım: Büyük bir kök var ama biz onu daha basit iki kökün çarpımı olarak göstermeye istekliydik. Bunun neden gerekli olduğu ayrı bir sorudur. Sadece algoritmayı analiz edeceğiz.

Hemen ikinci bölüme geçmek için sabırsızlananları bekliyoruz. Geri kalanıyla sırasıyla başlayalım.

Temel Çarpma Kuralı

En basit şeyle başlayalım: klasik karekökler. $\sqrt(a)$ ve $\sqrt(b)$ ile gösterilenlerle aynı olanlar. Onlar için her şey açık:

Çarpma kuralı. Bir karekökü diğeriyle çarpmak için, bunların radikal ifadelerini çarpmanız ve sonucu ortak radikalin altına yazmanız yeterlidir:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Sağdaki veya soldaki sayılara herhangi bir ek kısıtlama getirilmemektedir: eğer kök faktörler mevcutsa, o zaman çarpım da mevcuttur.

Örnekler. Sayıların olduğu dört örneğe aynı anda bakalım:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(hizala)\]

Gördüğünüz gibi bu kuralın asıl anlamı irrasyonel ifadeleri basitleştirmektir. Ve eğer ilk örnekte biz kendimiz 25 ve 4'ün köklerini herhangi bir yeni kural olmadan çıkarsaydık, o zaman işler zorlaşır: $\sqrt(32)$ ve $\sqrt(2)$ kendi başlarına dikkate alınmaz, ancak çarpımları tam kare çıkıyor, yani kökü bir rasyonel sayıya eşit.

Özellikle son satırı vurgulamak istiyorum. Orada, her iki radikal ifade de kesirdir. Ürün sayesinde birçok faktör iptal edilerek ifadenin tamamı yeterli sayıya dönüşmektedir.

Elbette her şey her zaman bu kadar güzel olmayacak. Bazen köklerin altında tam bir karmaşa olur - bununla ne yapılacağı ve çarpmadan sonra nasıl dönüştürüleceği belli değildir. Biraz sonra, irrasyonel denklemler ve eşitsizlikler üzerine çalışmaya başladığınızda, her türden değişken ve fonksiyon ortaya çıkacak. Ve çoğu zaman problem yazarları, bazı iptal edici terimler veya faktörler keşfedeceğinize ve bunun ardından problemin defalarca basitleştirileceğine güvenirler.

Ayrıca iki kökün tam olarak çarpılması hiç de gerekli değildir. Aynı anda üçü, dördü, hatta onunu çarpabilirsiniz! Bu kuralı değiştirmeyecektir. Bir göz atın:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(hizala)\]

Ve yine küçük not ikinci örneğe göre. Gördüğünüz gibi, kökün altındaki üçüncü faktörde ondalık bir kesir var - hesaplamalar sırasında onu normal bir kesirle değiştiriyoruz, ardından her şey kolayca azaltılıyor. Yani: İrrasyonel ifadelerde (yani en az bir radikal sembol içeren) ondalık kesirlerden kurtulmanızı şiddetle tavsiye ederim. Bu, gelecekte zamandan ve sinirlerden büyük ölçüde tasarruf etmenizi sağlayacaktır.

Ama bu lirik bir ara sözdü. Şimdi daha fazlasına bakalım genel durum- kök göstergesi olduğunda keyfi sayı$n$ ve yalnızca "klasik" iki değil.

Keyfi bir gösterge durumu

Yani, ile kareköklerçözdüm. Kübik olanlarla ne yapmalı? Ya da keyfi $n$ dereceli köklerle bile? Evet, her şey aynı. Kural aynı kalıyor:

$n$ dereceli iki kökü çarpmak için bunların radikal ifadelerini çarpmak ve ardından sonucu bir radikalin altına yazmak yeterlidir.

Genel olarak karmaşık bir şey yok. Ancak hesaplama miktarı daha fazla olabilir. Birkaç örneğe bakalım:

Örnekler. Ürünleri hesapla:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3))))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(hizala)\]

Ve yine ikinci ifadeye dikkat edelim. Çoğaltırız küp kökleri, kurtulmak ondalık ve sonuç olarak paydadaki 625 ve 25 sayılarının çarpımını elde ederiz. büyük sayı- Şahsen ben bunun neye eşit olduğunu hemen hesaplayamıyorum.

Bu nedenle, pay ve paydadaki tam küpü izole ettik ve ardından $n$th kökün temel özelliklerinden birini (veya tercih ederseniz tanımını) kullandık:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1))))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n))))=\left| a\doğru|. \\ \end(hizala)\]

Bu tür "entrikalar" sınavda size çok zaman kazandırabilir veya deneme çalışması yani şunu unutmayın:

Radikal ifadeler kullanarak sayıları çarpmak için acele etmeyin. Öncelikle şunu kontrol edin: Peki ya herhangi bir ifadenin tam derecesi orada "şifrelenmişse"?

Bu açıklamanın açıklığına rağmen, hazırlıksız öğrencilerin çoğunun tam dereceleri çok yakın mesafeden göremediğini itiraf etmeliyim. Bunun yerine her şeyi doğrudan çarpıyorlar ve sonra şunu merak ediyorlar: Neden bu kadar acımasız rakamlar elde ettiler :)

Ancak, şimdi inceleyeceklerimizle karşılaştırıldığında bunların hepsi bebek konuşmasıdır.

Köklerin farklı üslerle çarpılması

Tamam, şimdi aynı göstergelerle kökleri çarpabiliriz. Göstergeler farklıysa ne olur? Diyelim ki sıradan bir $\sqrt(2)$'ı $\sqrt(23)$ gibi saçmalıklarla nasıl çarpabiliriz? Bunu yapmak mümkün mü?

Evet elbette yapabilirsin. Her şey bu formüle göre yapılır:

Kökleri çarpma kuralı. $\sqrt[n](a)$'ı $\sqrt[p](b)$ ile çarpmak için aşağıdaki dönüşümü gerçekleştirmek yeterlidir:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))))\]

Ancak bu formül yalnızca şu durumlarda işe yarar: radikal ifadeler negatif değildir. Bu, biraz sonra döneceğimiz çok önemli bir not.

Şimdilik birkaç örneğe bakalım:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(hizala)\]

Gördüğünüz gibi karmaşık bir şey yok. Şimdi olumsuzluk şartının nereden geldiğini ve bunu ihlal edersek ne olacağını bulalım :)

Radikal ifadeler neden olumsuz olmamalıdır?

Tabii ki gibi olabilirsin okul öğretmenleri ve ders kitabından akıllıca alıntı yapın:

Olumsuz olmama şartı, çift ve tek dereceli köklerin farklı tanımlarıyla ilişkilidir (buna göre tanım alanları da farklıdır).

Peki, daha netleşti mi? Şahsen 8. sınıfta bu saçmalığı okuduğumda şöyle bir şey anladım: “Olumsuz olmama şartı *#&^@(*#@^#)~% ile ilişkilidir” - kısacası anlamadım O zaman hiçbir şey anlamadım :)

Şimdi her şeyi normal bir şekilde açıklayacağım.

Öncelikle yukarıdaki çarpma formülünün nereden geldiğini bulalım. Bunu yapmak için size kökün önemli bir özelliğini hatırlatmama izin verin:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]

Başka bir deyişle, radikal ifadeyi kolaylıkla herhangi bir değere yükseltebiliriz. doğal derece$k$ - bu durumda kök üssün aynı kuvvetle çarpılması gerekecektir. Bu nedenle herhangi bir kökü kolayca ortak bir üsse indirgeyebilir ve sonra bunları çarpabiliriz. Çarpma formülünün geldiği yer burasıdır:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))))\]

Ancak tüm bu formüllerin kullanımını keskin bir şekilde sınırlayan bir sorun var. Bu sayıyı düşünün:

Az önce verilen formüle göre herhangi bir derece ekleyebiliriz. $k=2$ eklemeyi deneyelim:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Eksiyi tam olarak kaldırdık çünkü kare eksiyi yakıyor (diğer çift dereceler gibi). Şimdi ters dönüşümü gerçekleştirelim: üs ve kuvvetteki ikisini “azaltalım”. Sonuçta herhangi bir eşitlik hem soldan sağa hem de sağdan sola okunabilir:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](A); \\ & \sqrt(((a)^(k))))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2))))=\sqrt(5). \\ \end(hizala)\]

Ama sonra bunun bir tür saçmalık olduğu ortaya çıkıyor:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Bu olamaz çünkü $\sqrt(-5) \lt 0$ ve $\sqrt(5) \gt 0$. Bu, çift kuvvetler ve negatif sayılar için formülümüzün artık işe yaramadığı anlamına gelir. Bundan sonra iki seçeneğimiz var:

1. Duvara vurup matematiğin aptal bir bilim olduğunu, “bazı kuralların olduğunu ama bunların kesin olmadığını” ifade etmek;
2. Formülün %100 işe yarayacağı ek kısıtlamalar getirin.

İlk seçenekte, sürekli olarak "çalışmayan" vakaları yakalamamız gerekecek - bu zor, zaman alıcı ve genel olarak kötü. Bu nedenle matematikçiler ikinci seçeneği tercih etti :)

Ama endişelenme! Uygulamada bu sınırlama hesaplamaları hiçbir şekilde etkilemez çünkü açıklanan tüm problemler yalnızca tek dereceli köklerle ilgilidir ve bunlardan eksiler çıkarılabilir.

Bu nedenle, genellikle kökleri olan tüm eylemler için geçerli olan bir kural daha formüle edelim:

Kökleri çarpmadan önce radikal ifadelerin negatif olmadığından emin olun.

Örnek. $\sqrt(-5)$ sayısında kök işaretinin altındaki eksiyi kaldırabilirsiniz - o zaman her şey normal olacaktır:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Farkı hissediyor musun? Kökün altında bir eksi bırakırsanız, radikal ifadenin karesi alındığında ortadan kaybolacak ve saçmalık başlayacaktır. Ve eğer önce eksiyi çıkarırsanız, yüzünüz mavi olana kadar kareyi/çıkarabilirsiniz - sayı negatif kalacaktır :)

Böylece en doğru ve en güvenilir yol köklerin çarpılması şu şekildedir:

1. Tüm negatifleri radikallerden çıkarın. Eksiler yalnızca tek çokluğun köklerinde bulunur - bunlar kökün önüne yerleştirilebilir ve gerekirse azaltılabilir (örneğin, bu eksilerden iki tane varsa).
2. Bugünkü derste yukarıda tartışılan kurallara göre çarpma işlemi yapın. Köklerin göstergeleri aynı ise basitçe köklü ifadeleri çarparız. Ve eğer farklılarsa, kötü formülü kullanırız \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Sonucun ve iyi notların tadını çıkarın. :)

Kuyu? Pratik yapalım mı?

Örnek 1: İfadeyi basitleştirin:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(hizala)\]

Bu en basit seçenektir: Kökler aynı ve tektir, tek sorun ikinci faktörün negatif olmasıdır. Bu eksiyi resimden çıkarıyoruz, ardından her şey kolayca hesaplanıyor.

Örnek 2: İfadeyi basitleştirin:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( hizala)\]

Burada çıktının irrasyonel bir sayı olduğu gerçeği birçok kişinin kafasını karıştıracaktır. Evet oluyor: Kökten tamamen kurtulamadık ama en azından ifadeyi önemli ölçüde basitleştirdik.

Örnek 3: İfadeyi basitleştirin:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24))))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Bu göreve dikkatinizi çekmek isterim. Burada iki nokta var:

1. Kök belirli bir sayı veya kuvvet değil, $a$ değişkenidir. İlk bakışta bu biraz alışılmadık bir durum gibi görünse de gerçekte matematik problemlerini çözerken çoğunlukla değişkenlerle uğraşmak zorunda kalırsınız.
2. Sonunda radikal göstergeyi ve radikal ifadenin derecesini “azaltmayı” başardık. Bu oldukça sık olur. Bu da, temel formülü kullanmadıysanız hesaplamaları önemli ölçüde basitleştirmenin mümkün olduğu anlamına gelir.

Örneğin şunu yapabilirsiniz:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8))))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\son(hizala)\]

Aslında tüm dönüşümler yalnızca ikinci radikalle gerçekleştirildi. Ve tüm ara adımları ayrıntılı olarak açıklamazsanız, sonunda hesaplama miktarı önemli ölçüde azalacaktır.

Aslında yukarıda $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ örneğini çözerken benzer bir görevle zaten karşılaşmıştık. Artık çok daha basit bir şekilde yazılabilir:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(hizala)\]

Köklerin çarpımını çözdük. Şimdi işlemin tersini düşünelim: Kökün altında ürün olduğunda ne yapmalı?

Bir sayının çeyreğinin kökünü çıkarmak, bu matematiksel olguyla gerçekleştirilebilecek tek işlem değildir. Normal sayılarda olduğu gibi kareköklerde toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Karekök toplama ve çıkarma kuralları

Kareköklerin toplanması ve çıkarılması gibi işlemler ancak radikal ifadenin aynı olması durumunda mümkündür.

Örnek 1

İfadeleri ekleyebilir veya çıkarabilirsiniz 2 3 ve 6 3, ama 5 6 değil Ve 9 4. İfadeyi basitleştirmek ve aynı köklü köklere indirgemek mümkünse, o zaman basitleştirin ve ardından ekleyin veya çıkarın.

Kökleri olan eylemler: temel bilgiler

6 50 - 2 8 + 5 12

Eylem algoritması:

1. Radikal ifadeyi basitleştirin. Bunu yapmak için, radikal ifadeyi 2 faktöre ayırmak gerekir; bunlardan biri kare sayıdır (karekökün tamamının çıkarıldığı sayı, örneğin 25 veya 9).
2. Daha sonra kare sayının kökünü almanız gerekir. ve elde edilen değeri kök işaretinin önüne yazın. Lütfen ikinci faktörün kök işaretinin altına girildiğini unutmayın.
3. Sadeleştirme işleminden sonra kökleri aynı radikal ifadelerle vurgulamak gerekir - yalnızca bunlar toplanabilir ve çıkarılabilir.
4. Aynı radikal ifadelere sahip kökler için kök işaretinden önce gelen faktörlerin eklenmesi veya çıkarılması gerekir. Radikal ifade değişmeden kalır. Radikal sayıları ekleyemez veya çıkaramazsınız!

İpucu 1

Eğer bir örneğiniz varsa çok sayıda Aynı radikal ifadeleri, daha sonra hesaplama işlemini kolaylaştırmak için bu tür ifadelerin tek, çift ve üçlü çizgilerle altını çizin.

Örnek 3

Bu örneği çözmeye çalışalım:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Öncelikle 50'yi 25 ve 2 olarak 2 çarpana ayırmanız, ardından 25'in 5'e eşit olan kökünü alıp kökün altından 5'i çıkarmanız gerekiyor. Bundan sonra 5 ile 6'yı (kökteki faktör) çarpmanız ve 30 2 elde etmeniz gerekir.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Öncelikle 8'i 2 faktöre ayırmanız gerekiyor: 4 ve 2. Daha sonra 4'ten 2'ye eşit olan kökü alın ve kökün altından 2'yi çıkarın. Bundan sonra 2'yi 2'yle (kökteki faktör) çarpmanız ve 4 2 elde etmeniz gerekir.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Öncelikle 12'yi 2 faktöre ayırmanız gerekiyor: 4 ve 3. Daha sonra 4'ün 2'ye eşit olan kökünü çıkarın ve kökün altından çıkarın. Bundan sonra 2'yi 5'le (kökteki faktör) çarpmanız ve 10 3 elde etmeniz gerekir.

Basitleştirme sonucu: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Sonuç olarak, kaç tane özdeş radikal ifadenin yer aldığını gördük. bu örnekte. Şimdi diğer örneklerle pratik yapalım.

Örnek 4

• (45)'i basitleştirelim. Faktör 45: (45) = (9×5) ;
• Kökün altından 3 çıkarıyoruz (9 = 3): 45 = 3 5;
• Köklerdeki faktörleri ekleyin: 3 5 + 4 5 = 7 5.

Örnek 5

6 40 - 3 10 + 5:

• 6 40'ı sadeleştirelim. 40'ı çarpanlarına ayırıyoruz: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• Kökün altından 2 çıkarıyoruz (4 = 2): 6 40 = 6 (4×10) = (6×2)10 ;
• Kökün önünde görünen çarpanları çarpıyoruz: 12 10;
• İfadeyi basitleştirilmiş biçimde yazıyoruz: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• İlk iki terimin radikal sayıları aynı olduğundan bunları çıkartabiliriz: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Örnek 6

Görüldüğü gibi radikal sayıları sadeleştirmek mümkün olmadığından örnekte aynı radikal sayılara sahip terimleri arıyoruz, matematiksel işlemler gerçekleştiriyoruz (toplama, çıkarma vb.) ve sonucu yazıyoruz:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Tavsiye:

• Toplama veya çıkarma işleminden önce radikal ifadeleri (mümkünse) basitleştirmek gerekir.
• Farklı köklü ifadelere sahip köklerin eklenmesi ve çıkarılması kesinlikle yasaktır.
• Bir tam sayıyı veya kökü eklememeli veya çıkarmamalısınız: 3 + (2 x) 1/2 .
• Kesirlerle işlem yaparken, her paydaya bölünebilen bir sayı bulmanız ve ardından kesirleri ortak payda, ardından payları ekleyin ve paydaları değiştirmeden bırakın.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir talep gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler sizinle iletişime geçmemize ve sizi benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, duruşma ve/veya kamunun taleplerine veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Bir sayıdan kök çıkarmanın en kolay yolu hesap makinesi kullanmaktır. Ancak hesap makineniz yoksa karekök hesaplama algoritmasını bilmeniz gerekir. Gerçek şu ki, kökün altında kare bir sayı var. Örneğin 4'ün karesi 16'dır. Yani 16'nın karekökü 4'e eşit olacaktır. Ayrıca 5'in karesi 25'tir. Dolayısıyla 25'in kökü 5 olacaktır. Ve böyle devam eder.

Sayı küçükse sözlü olarak kolayca çıkarılabilir, örneğin 25'in kökü 5'e ve 144-12'nin kökü olacaktır. Hesap makinesinde de hesaplayabilirsiniz; sayıyı girmeniz ve simgeye tıklamanız gereken özel bir kök simgesi vardır.

Bir karekök tablosu da yardımcı olacaktır:

Daha karmaşık ama çok etkili yöntemler de vardır:

Herhangi bir sayının kökü, özellikle bugün her telefonda mevcut olduğundan, bir hesap makinesi kullanılarak çıkarılabilir.

Bir sayıyı kendisiyle çarparak belirli bir sayının nasıl sonuçlanacağını kabaca tahmin etmeye çalışabilirsiniz.



Bir sayının karekökünü hesaplamak özellikle özel bir tablonuz varsa zor değildir. Cebir derslerinden iyi bilinen bir tablo. Bu işleme bir sayının karekökünü alma, yani denklem çözme denir. Akıllı telefonlardaki hemen hemen tüm hesap makinelerinin karekök belirleme işlevi vardır.



Bilinen bir sayının karekökünü almanın sonucu, ikinci kuvvetine (kare) yükseltildiğinde bildiğimiz sayının aynısını verecek başka bir sayı olacaktır. Kısa ve net görünen hesaplama açıklamalarından birine bakalım:







İşte konuyla ilgili bir video:

Bir sayının karekökünü hesaplamanın birkaç yolu vardır.

En popüler yol, özel bir kök tablo kullanmaktır (aşağıya bakınız).

Ayrıca her hesap makinesinin kökü bulabileceğiniz bir işlevi vardır.

Veya özel bir formül kullanarak.



Bir sayının karekökünü çıkarmanın birkaç yolu vardır. Bunlardan biri hesap makinesi kullanarak en hızlı olanıdır.

Ancak hesap makineniz yoksa bunu manuel olarak da yapabilirsiniz.

Sonuç doğru olacaktır.

Prensip neredeyse bir sütuna bölmekle aynıdır:



















Hesap makinesi olmadan bir sayının karekökünü bulmaya çalışalım, örneğin 190969.







Böylece her şey son derece basittir. Hesaplamalarda asıl önemli olan belirli kurallara uymaktır. basit kurallar ve mantıklı düşünün.

Bunun için karelerden oluşan bir tabloya ihtiyacınız var



Örneğin 100'ün kökü = 10, 20'nin kökü = 400, 43 = 1849

Artık akıllı telefonlardakiler de dahil olmak üzere neredeyse tüm hesap makineleri bir sayının karekökünü hesaplayabiliyor. AMA hesap makineniz yoksa, bir sayının kökünü birkaç basit yolla bulabilirsiniz:

Ayrıştırma asal faktörler



Radikal sayıyı kare sayı olan çarpanlara ayırın. Radikal sayıya bağlı olarak yaklaşık veya kesin bir cevap alacaksınız. Kare sayılar, karekökünün tamamı alınabilen sayılardır. Bir sayının çarpıldığında orijinal sayıyı veren çarpanları. Örneğin 8 sayısının çarpanları 2 ve 4'tür, 2 x 4 = 8 olduğundan 25, 36, 49 sayıları kare sayılardır, 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7 olduğundan kare faktörler kare sayılardır. Öncelikle radikal sayıyı kare çarpanlara ayırmaya çalışın.

Örneğin 400'ün karekökünü hesaplayın (elle). İlk önce 400'ü kare çarpanlara ayırmayı deneyin. 400, 100'ün katıdır, yani 25'e bölünebilen bir kare sayıdır. 400'ü 25'e bölmek yine bir kare sayı olan 16'yı verir. Böylece 400, 25 ve 16'nın kare çarpanlarına ayrılabilir, yani 25 x 16 = 400.

Bunu şu şekilde yazın: 400 = (25 x 16).



Bazı terimlerin çarpımının karekökü, her terimin kareköklerinin çarpımına eşittir, yani (a x b) = a x b. Bu kuralı kullanarak, her kare faktörün karekökünü alın ve cevabı bulmak için sonuçları çarpın.

Örneğimizde 25 ve 16'nın kökünü alın.



Radikal sayı ikiye ayrılmıyorsa kare faktörü(ve bu çoğu durumda olur), tam cevabı tam sayı biçiminde bulamayacaksınız. Ancak radikal sayıyı bir kare faktöre ve sıradan bir faktöre (kendisinden karekökün tamamının alınamayacağı bir sayı) ayrıştırarak sorunu basitleştirebilirsiniz. Daha sonra kare faktörünün karekökünü alacaksınız ve ortak faktörün kökünü alacaksınız.

Örneğin, 147 sayısının karekökünü hesaplayın. 147 sayısı iki kare faktöre bölünemez ancak şu çarpanlara ayrılabilir: 49 ve 3. Sorunu şu şekilde çözün:



Artık kökün değerini, radikal sayıya en yakın (sayı doğrusunun her iki tarafında) kare sayıların köklerinin değerleriyle karşılaştırarak tahmin edebilirsiniz (yaklaşık bir değer bulabilirsiniz). Kök değerini, kök işaretinin arkasındaki sayıyla çarpılması gereken ondalık kesir olarak alacaksınız.

Örneğimize dönelim. Radikal sayı 3'tür. Ona en yakın kare sayılar 1 (1 = 1) ve 4 (4 = 2) sayıları olacaktır. Dolayısıyla 3'ün değeri 1 ile 2 arasında yer alıyor. 3'ün değeri muhtemelen 1'den çok 2'ye yakın olduğundan tahminimiz: 3 = 1,7. Bu değeri kök işaretindeki sayıyla çarpıyoruz: 7 x 1,7 = 11,9. Eğer matematiği hesap makinesinde yaparsanız 12,13 sonucunu elde edersiniz ki bu bizim cevabımıza oldukça yakındır.

Bu yöntem aynı zamanda büyük sayılarla da çalışır. Örneğin 35'i düşünün. Köklü sayı 35'tir. Ona en yakın kare sayılar 25 (25 = 5) ve 36 (36 = 6) sayılarıdır. Böylece 35'in değeri 5 ile 6 arasında yer alır. 35'in değeri 6'ya 5'ten çok daha yakın olduğundan (çünkü 35, 36'dan sadece 1 eksiktir), 35'in 6'dan biraz küçük olduğunu söyleyebiliriz. hesap makinesi bize 5,92 cevabını veriyor - haklıydık.



Başka bir yol, radikal sayıyı asal çarpanlara ayırmaktır. Yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen sayıların asal çarpanları. Asal faktörleri bir seri halinde yazın ve aynı faktör çiftlerini bulun. Bu tür faktörler kök işaretinden çıkarılabilir.

Örneğin 45'in karekökünü hesaplayın. Radikal sayıyı asal çarpanlara ayırırız: 45 = 9 x 5 ve 9 = 3 x 3. Böylece 45 = (3 x 3 x 5) olur. 3 kök işareti olarak çıkarılabilir: 45 = 35. Artık 5'i değerlendirebiliriz.

Başka bir örneğe bakalım: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). Üç tane 2 çarpanı aldınız; birkaçını alın ve kök işaretinin ötesine taşıyın.

2(2 x 11) = 22 x 11. Artık 2 ve 11'i hesaplayabilir ve yaklaşık bir cevap bulabilirsiniz.

Bu eğitim videosu da faydalı olabilir:

Bir sayının kökünü çıkarmak için hesap makinesi kullanmalısınız, eğer uygun bir hesap makineniz yoksa bu siteye girip sorunu kullanarak çözmenizi tavsiye ederim. çevrimiçi hesap makinesi, saniyeler içinde doğru değeri verecektir.

Köklerin eklenmesi ve çıkarılması- Lisede matematik (cebir) dersi alanların en sık karşılaştığı “tökezleyen engellerden” biri. Ancak bunları doğru şekilde toplamayı ve çıkarmayı öğrenmek çok önemlidir, çünkü köklerin toplamı veya farkı ile ilgili örnekler “matematik” disiplinindeki temel Birleşik Devlet Sınavı programında yer almaktadır.

Bu tür örnekleri çözmede ustalaşmak için iki şeye ihtiyacınız var: kuralları anlamak ve aynı zamanda pratik yapmak. Bir veya iki düzine tipik örneği çözen öğrenci, bu beceriyi otomatizme taşıyacak ve ardından Birleşik Devlet Sınavında artık korkacak hiçbir şeyi kalmayacak. Aritmetik işlemlerde uzmanlaşmaya toplama ile başlamanız önerilir çünkü bunları eklemek, çıkarmaktan biraz daha kolaydır.

Bunu açıklamanın en kolay yolu örnek olarak karekök kullanmaktır. Matematikte köklü bir "kare alma" terimi vardır. “Kare alma”, belirli bir sayının kendisiyle bir kez çarpılması anlamına gelir.. Örneğin 2'nin karesini alırsan 4 elde edersin. 7'nin karesini alırsan 49 elde edersin. 9'un karesi 81'dir. Yani 4'ün karekökü 2, 49'un karesi 7 ve 81'in karesi 9 olur.

Kural olarak matematikte bu konunun öğretilmesi kareköklerle başlar. Bunu hemen belirlemek için öğrenci liseÇarpım tablosunu ezbere bilmek gerekir. Bu tabloyu kesin olarak bilmeyenlerin ipuçlarından faydalanması gerekiyor. Genellikle bir sayının kök karesini çıkarma işlemi birçok okul matematik defterinin kapağında tablo şeklinde verilmektedir.

Kökler aşağıdaki türlerdendir:

• kare;
• kübik (veya sözde üçüncü derece);
• dördüncü derece;
• beşinci derece.

Ekleme kuralları

Başarılı bir şekilde çözmek için tipik örnek, tüm kök sayıların olmadığını akılda tutmak gerekir. birbirleriyle istiflenebilir. Katlanabilmeleri için, bunların getirilmesi gerekir. üniforma modeli. Eğer bu mümkün değilse sorunun çözümü yoktur. Bu tür problemlere öğrenciler için bir tür tuzak olarak matematik ders kitaplarında da sıklıkla rastlanmaktadır.

Köklü ifadelerin birbirinden farklı olması durumunda görevlerde ekleme yapılmasına izin verilmez. Bu, açık bir örnekle açıklanabilir:

• Öğrenci şu görevle karşı karşıyadır: 4 ve 9'un karekökünü ekleyin;
• Kuralı bilmeyen deneyimsiz bir öğrenci genellikle şöyle yazar: “4'ün kökü + 9'un kökü = 13'ün kökü.”
• Bu çözümün yanlış olduğunu kanıtlamak çok kolaydır. Bunu yapmak için 13'ün karekökünü bulmanız ve örneğin doğru çözülüp çözülmediğini kontrol etmeniz gerekir;
• bir mikro hesap makinesi kullanarak bunun yaklaşık 3,6 olduğunu belirleyebilirsiniz. Artık geriye kalan tek şey çözümü kontrol etmektir;
• 4=2'nin kökü ve 9=3'ün kökü;
• “İki” ve “üç” rakamlarının toplamı beşe eşittir. Dolayısıyla bu çözüm algoritmasının hatalı olduğu düşünülebilir.

Köklerin derecesi aynı fakat farklı ise sayısal ifadeler, parantezlerden çıkarılıp parantez içine konur iki köklü ifadenin toplamı. Dolayısıyla bu miktardan zaten çıkarılmış oluyor.

Toplama algoritması

Doğru karar verebilmek için en basit görev, gerekli:

1. Tam olarak neyin eklenmesi gerektiğini belirleyin.
2. Matematikteki mevcut kuralların rehberliğinde değerleri birbirine eklemenin mümkün olup olmadığını öğrenin.
3. Katlanabilir değillerse katlanabilecek şekilde dönüştürmeniz gerekir.
4. Gerekli tüm dönüşümleri gerçekleştirdikten sonra eklemeyi yapmanız ve bitmiş cevabı yazmanız gerekir. Örneğin karmaşıklığına bağlı olarak kafanızdan veya mikro hesap makinesi kullanarak toplama işlemi yapabilirsiniz.

Benzer kökler nelerdir

Bir toplama örneğini doğru bir şekilde çözmek için önce onu nasıl basitleştirebileceğinizi düşünmelisiniz. Bunu yapmak için benzerliğin ne olduğuna dair temel bilgiye sahip olmanız gerekir.

Benzerleri tanımlama yeteneği, benzer toplama örneklerini hızlı bir şekilde çözmeye yardımcı olarak bunları basitleştirilmiş bir forma getirir. Tipik bir ekleme örneğini basitleştirmek için şunları yapmanız gerekir:

1. Benzer olanları bulun ve bunları bir gruba (veya birkaç gruba) ayırın.
2. Mevcut örneği, aynı göstergeye sahip kökler birbirini net bir şekilde takip edecek şekilde yeniden yazın (buna “gruplama” denir).
3. Daha sonra ifadeyi bu sefer benzerleri (aynı göstergeye ve aynı radikal rakama sahip olanlar) da birbirini takip edecek şekilde tekrar yazmalısınız.

Bundan sonra basitleştirilmiş örneğin çözülmesi genellikle kolaydır.

Herhangi bir toplama örneğini doğru bir şekilde çözmek için, toplamanın temel kurallarını açıkça anlamanız, ayrıca kökün ne olduğunu ve ne olabileceğini bilmeniz gerekir.

Bazen bu tür problemler ilk bakışta çok zor görünebilir ancak genellikle benzer olanları gruplandırarak kolayca çözülürler. En önemli şey pratiktir ve ardından öğrenci "sorunları fındık gibi kırmaya" başlayacaktır. Kökleri eklemek matematiğin en önemli kısımlarından biridir, bu nedenle öğretmenlerin bu konu üzerinde çalışmaya yeterince zaman ayırması gerekir.

Video

Bu video kareköklü denklemleri anlamanıza yardımcı olacaktır.