Çarpanlarına ayırma polinomlarına 8 örnek verilmiştir. İkinci dereceden ve iki ikinci dereceden denklemleri çözme örneklerini, karşılıklı polinom örneklerini ve üçüncü ve dördüncü derece polinomların tamsayı köklerini bulma örneklerini içerir.

1. İkinci dereceden denklem çözme örnekleri

Örnek 1.1

X 4 + x 3 - 6 x 2.

Çözüm

x'i çıkarıyoruz 2 parantezlerin dışında:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Denklemin kökleri:
, .

.

Cevap

Örnek 1.2

Üçüncü derece polinomu çarpanlarına ayırın:
X 3 + 6 x 2 + 9 x.

Çözüm

X'i parantezden çıkaralım:
.
Haydi karar verelim ikinci dereceden denklem X 2 + 6 x + 9 = 0:
Ayırt edicisi: .
Diskriminant sıfır olduğundan denklemin kökleri katlardır: ;
.

Bundan polinomun çarpanlara ayrılmasını elde ederiz:
.

Cevap

Örnek 1.3

Beşinci derece polinomu çarpanlarına ayırın:
X 5 - 2x4 + 10x3.

Çözüm

x'i çıkarıyoruz 3 parantezlerin dışında:
.
İkinci dereceden denklem x'in çözümü 2 - 2 x + 10 = 0.
Ayırt edicisi: .
Diskriminant olduğundan sıfırdan az ise denklemin kökleri karmaşıktır: ;
, .

Polinomun çarpanlara ayrılması şu şekildedir:
.

Gerçek katsayılarla çarpanlara ayırmayla ilgileniyorsak, o zaman:
.

Cevap

Formülleri kullanarak polinomları çarpanlara ayırma örnekleri

Biquadratic polinomlara örnekler

Örnek 2.1

Biquadratic polinomu çarpanlarına ayırın:
X 4 + x 2 - 20.

Çözüm

Formülleri uygulayalım:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Cevap

Örnek 2.2

Biquadratic'e indirgenen polinomu çarpanlarına ayırın:
X 8 + x 4 + 1.

Çözüm

Formülleri uygulayalım:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Cevap

Tekrarlayan polinom ile Örnek 2.3

Karşılıklı polinomu çarpanlarına ayırın:
.

Çözüm

Karşılıklı bir polinomun derecesi tektir. Bu nedenle kökü x = -'dir. 1 . Polinomu x'e bölün -(-1) = x + 1
.
.
, ;
;


;
.

Cevap

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

Bir değişiklik yapalım:

Tamsayı kökleri olan polinomların çarpanlarına ayrılması örnekleri
.

Çözüm

Örnek 3.1

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
Polinomu çarpanlara ayırın:;
Diyelim ki denklem;
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0.

3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0
X 1 = 1 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 2 = 2 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 3 = 3 .
Böylece üç kök bulduk:
.

Cevap

, X

Tamsayı kökleri olan polinomların çarpanlarına ayrılması örnekleri
.

Çözüm

Örnek 3.1

Orijinal polinom üçüncü dereceden olduğundan üçten fazla kökü yoktur. Üç kök bulduğumuza göre bunlar basit. Daha sonra 2 Örnek 3.2
-2, -1, 1, 2 .
en az bir tam kökü vardır. O halde bu sayının böleni
(x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir: 6 ;
Bu değerleri tek tek değiştiriyoruz: 0 ;
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 =;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = .
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12 2 Örnek 3.2
1, 2, -1, -2 .
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 -1 :
.

Bu denklemin bir tamsayı köküne sahip olduğunu varsayarsak, o zaman bu sayının böleni olur 2 = -1 x = yerine koyalım
.

Yani başka bir x kökü bulduk 2 + 2 = 0 .

Önceki durumda olduğu gibi polinomu ile bölmek mümkün olabilir, ancak terimleri gruplandıracağız:

Denklemden beri x

reel kökleri yoksa, polinomun çarpanlara ayrılması şu şekilde olur.

İkinci dereceden denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını bulalım. Yukarıdaki denklemin kökleri için formül (59.8)'i kullanarak şunu elde ederiz: (ilk eşitlik açıktır, ikincisi okuyucunun bağımsız olarak yapacağı basit bir hesaplamadan sonra elde edilir; iki sayının toplamını farklarıyla çarpmak için formülü kullanmak uygundur). Aşağıdakiler kanıtlanmıştır

Vieta'nın teoremi. Verilen ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı ikinci katsayı c'ye eşittir

karşıt işaret

ve çarpımları serbest terime eşittir.

İndirgenmemiş ikinci dereceden bir denklem durumunda, formül (60.1)'in ifadeleri formül (60.1)'de değiştirilmeli ve form alınmalıdır.

Örnek 1. Köklerini kullanarak ikinci dereceden bir denklem oluşturun:

Çözüm, a) Denklemin şu şekilde olduğunu buluruz:

Örnek 2. Denklemin kendisini çözmeden denklemin köklerinin karelerinin toplamını bulun.

Çözüm. Köklerin toplamı ve çarpımı bilinmektedir. Kareköklerin toplamını formda temsil edelim.

ve alıyoruz

Vieta'nın formüllerinden formülü elde etmek kolaydır

almamız gereken şey buydu.

Vieta formüllerinin yukarıdaki türetilmesi okuyucuya bir cebir dersinden aşinadır. lise. Bezout teoremi ve polinomun çarpanlara ayrılması kullanılarak başka bir sonuç çıkarılabilir (paragraf 51, 52).

O halde denklemin kökleri şöyle olsun: genel kural(52.2) Denklemin sol tarafındaki üç terimli çarpanlara ayrılır:

Bu özdeş eşitliğin sağ tarafındaki parantezleri açarak şunu elde ederiz:

ve aynı güçlerdeki katsayıları karşılaştırmak bize Vieta formülünü (60.1) verecektir.

Bu türetmenin avantajı denklemlere de uygulanabilmesidir. daha yüksek dereceler Bir denklemin katsayıları için kökleri aracılığıyla ifadeler elde etmek için (kökleri bulmadan!). Örneğin, verilen kübik denklemin kökleri

işin özü, eşitliğe (52.2) göre bulmamızdır

(bizim durumumuzda eşitliğin sağ tarafındaki parantezleri açıp çeşitli derecelerdeki katsayıları toplayarak şunu elde ederiz:

Dünya çok sayıda sayıya dalmış durumda. Herhangi bir hesaplama onların yardımıyla gerçekleşir.

İnsanlar daha sonraki yaşamlarında aldatılmamak için sayıları öğrenirler. Eğitime çok fazla zaman ayırmanız ve kendi bütçenizi hesaplamanız gerekiyor.

Matematik hayatta büyük rol oynayan kesin bir bilimdir. Okulda çocuklar sayıları ve ardından bunlara ilişkin eylemleri inceler.

Sayılarla ilgili işlemler tamamen farklıdır: çarpma, genişletme, toplama ve diğerleri. Matematik çalışmalarında basit formüllerin yanı sıra daha karmaşık eylemler de kullanılır. Herhangi bir değeri bulmak için kullanılabilecek çok sayıda formül vardır.

Okulda cebir ortaya çıktığı anda öğrencinin hayatına sadeleştirme formülleri eklenir. İki bilinmeyen sayının olduğu denklemler var, ancak bulun basit bir şekilde işe yaramayacak. Bir trinomial, basit çıkarma ve toplama yöntemini kullanan üç monomiyalin birleşimidir. Trinom, Vieta teoremi ve diskriminant kullanılarak çözülür.

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma formülü

İki doğru var ve basit çözümlerörnek:

• ayrımcı;
• Vieta'nın teoremi.

Bir kare trinomialin bilinmeyen bir karesi ve ayrıca karesi olmayan bir sayısı vardır. Sorunu çözmenin ilk seçeneği Vieta'nın formülünü kullanıyor. Bu basit bir formül bilinmeyenin önünde duran sayılar ise minimum değer.

Bir sayının bilinmeyenden önce geldiği diğer denklemler için denklemin diskriminant yoluyla çözülmesi gerekir. Bu daha karmaşık bir çözümdür ancak diskriminant Vieta teoreminden çok daha sık kullanılır.

Başlangıçta hepsini bulmak için denklem değişkenleriörneği 0'a yükseltmek gerekiyor. Örneğin çözümünü kontrol ederek sayıların doğru ayarlanıp ayarlanmadığını öğrenebilirsiniz.

diskriminant

1. Denklemi 0'a eşitlemek gerekir.

2. x'ten önceki her sayıya a, b, c sayıları adı verilecektir. İlk x karesinden önce sayı olmadığından 1'e eşittir.

3. Şimdi denklemin çözümü diskriminantla başlıyor:

4. Şimdi diskriminantı bulduk ve iki x'i bulduk. Aradaki fark, bir durumda b'nin önüne bir artı, diğer durumda ise bir eksi gelmesidir:

5. İki sayı çözüldüğünde sonuçlar -2 ve -1 oldu. Orijinal denklemde yerine koyun:

6. Bu örnekte iki tane ortaya çıktı doğru seçenekler. Her iki çözüm de uygunsa her biri doğrudur.

Diskriminant kullanılarak daha karmaşık denklemler de çözülür. Ancak diskriminant değerinin kendisi 0'dan küçükse örnek yanlıştır. Arama yaparken diskriminant her zaman köktedir ve negatif bir değer kökte olamaz.

Vieta teoremi

İlk x'in önünde bir sayının olmadığı (a=1) kolay problemleri çözmek için kullanılır. Seçenek eşleşirse hesaplama Vieta teoremi kullanılarak gerçekleştirilir.

Herhangi bir üçlüyü çözmek için denklemi 0'a yükseltmek gerekiyor. Diskriminantın ilk adımları ve Vieta teoremi farklı değil.

2. Artık iki yöntem arasındaki farklar başlıyor. Vieta'nın teoremi yalnızca "kuru" hesaplamayı değil aynı zamanda mantığı ve sezgiyi de kullanır. Her sayının kendine ait a, b, c harfleri vardır. Teorem iki sayının toplamını ve çarpımını kullanır.

Hatırlamak! B sayısı toplandığında her zaman ters işarete sahiptir, ancak c sayısı değişmeden kalır!

Örnekteki veri değerlerini değiştirme , şunu elde ederiz:

3. Mantık yöntemini kullanarak en uygun sayıları yerine koyarız. Tüm olası çözümleri ele alalım:

1. Sayılar 1 ve 2. Toplayınca 3 çıkıyor ama çarparsak 4 olmuyor.
2. Değer 2 ve -2. Çarpıldığında -4 olacak ama toplandığında 0 çıkıyor. Uygun değil.
3. 4 ve -1 sayıları. Çarpma negatif bir değer içerdiğinden, sayılardan birinin eksi olacağı anlamına gelir. Toplama ve çarpma işlemlerine uygundur. Doğru seçenek.

4. Geriye kalan tek şey sayıları düzenleyerek kontrol etmek ve seçilen seçeneğin doğru olup olmadığına bakmaktır.

5. Çevrimiçi kontrol sayesinde -1'in örneğin koşullarına uymadığını ve dolayısıyla yanlış bir çözüm olduğunu öğrendik.

Örnekte negatif bir değer eklerken sayıyı parantez içine almalısınız.

Matematikte her zaman olacak basit görevler ve karmaşık. Bilimin kendisi de çeşitli problemleri, teoremleri ve formülleri içerir. Bilgiyi doğru anlar ve uygularsanız, hesaplamalarla ilgili herhangi bir zorluk önemsiz olacaktır.

Matematik sürekli ezberlemeyi gerektirmez. Çözümü anlamayı öğrenmeniz ve birkaç formül öğrenmeniz gerekir. Yavaş yavaş mantıksal sonuçlara göre benzer problemleri ve denklemleri çözmek mümkündür. Böyle bir bilim ilk bakışta çok zor görünebilir, ancak sayılar ve problemler dünyasına dalarsanız, o zaman görüş çarpıcı biçimde değişecektir. daha iyi taraf.

Teknik uzmanlıklar her zaman dünyanın en çok arananı olmaya devam ediyor. Artık dünyada modern teknolojiler Matematik her alanın vazgeçilmez bir özelliği haline geldi. Her zaman hatırlamalıyız faydalı özellikler matematik.

Bir üç terimliyi parantez kullanarak genişletme

Alışılmış yöntemleri çözmenin yanı sıra, başka bir yöntem daha var - parantezlere ayırma. Vieta formülü kullanılarak kullanılır.

1. Denklemi 0'a eşitleyin.

balta 2 +bx+c= 0

2. Denklemin kökleri aynı kalıyor, ancak artık sıfır yerine parantez içindeki genişletme formüllerini kullanıyorlar.

balta 2 + bx+ c = a (x – x 1) (x – x 2)

2 X 2 – 4 X – 6 = 2 (X + 1) (X – 3)

4. Çözüm x=-1, x=3

İkinci dereceden üç terimli sayıları çarpanlara ayırmak, herkesin er ya da geç karşılaştığı okul ödevlerinden biridir. Nasıl yapılır? İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırmanın formülü nedir? Örnekler yardımıyla adım adım çözelim.

Genel formül

İkinci dereceden trinomialler ikinci dereceden bir denklem çözülerek çarpanlara ayrılır. Bu, birkaç yöntemle çözülebilecek basit bir problemdir; Vieta teoremini kullanarak diskriminantı bularak grafiksel bir çözüm de bulabilirsiniz. İlk iki yöntem lisede öğrenilir.

Genel formül şuna benzer:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Görevi tamamlamak için algoritma

İkinci dereceden üç terimlileri çarpanlara ayırmak için Vita teoremini bilmeniz, elinizde bir çözüm programının olması, grafiksel olarak bir çözüm bulabilmeniz veya diskriminant formülünü kullanarak ikinci dereceden bir denklemin köklerini arayabilmeniz gerekir. İkinci dereceden bir üç terimli verilmişse ve çarpanlara ayrılması gerekiyorsa, algoritma aşağıdaki gibidir:

1) Bir denklem elde etmek için orijinal ifadeyi sıfıra eşitleyin.

2) Getir benzer terimler(böyle bir ihtiyaç varsa).

3) Herhangi birinin köklerini bulun bilinen bir şekilde. Grafiksel yöntem, köklerin tam sayılar ve küçük sayılar olduğu önceden biliniyorsa en iyi şekilde kullanılır. Kök sayısının denklemin maksimum derecesine eşit olduğu, yani ikinci dereceden denklemin iki kökü olduğu unutulmamalıdır.

4) Değeri değiştirin X ifadeye (1) dönüştürülür.

5) İkinci dereceden trinomiallerin çarpanlara ayrılmasını yazın.

Örnekler

Uygulama, nihayet bu görevin nasıl gerçekleştirildiğini anlamanıza olanak tanır. Örnekler, bir kare trinomiyalin çarpanlarına ayrılmasını göstermektedir:

ifadeyi genişletmek gerekir:

Algoritmamıza başvuralım:

1) x 2 -17x+32=0

2) benzer terimler azaltılır

3) Vieta formülünü kullanarak bu örneğin köklerini bulmak zordur, dolayısıyla diskriminant için şu ifadeyi kullanmak daha iyidir:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Bulduğumuz kökleri ayrıştırmanın temel formülünde yerine koyalım:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) O zaman cevap şu şekilde olacaktır:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Diskriminantın bulduğu çözümlerin Vieta formüllerine uyup uymadığını kontrol edelim:

14,845 . 2,155=32

Bu kökler için Vieta teoremi uygulanırsa doğru bulunmuş yani elde ettiğimiz çarpanlara ayırma da doğrudur.

Benzer şekilde 12x2 + 7x-6'yı da genişletelim.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

Önceki durumda, çözümler tamsayı değil, önünüzde bir hesap makinesi varsa bulunması kolay olan gerçek sayılardı. Şimdi köklerin karmaşık olacağı daha karmaşık bir örneğe bakalım: çarpan x 2 + 4x + 9. Vieta formülünü kullanarak kökler bulunamıyor ve diskriminant negatif. Kökler karmaşık düzlemde olacaktır.

D=-20

Buna dayanarak bizi ilgilendiren kökleri elde ederiz -4+2i*5 1/2 ve -4-2i * 5 1/2 (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Kökleri genel formülde değiştirerek istenen ayrışmayı elde ederiz.

Başka bir örnek: 23x 2 -14x+7 ifadesini çarpanlarına ayırmanız gerekir.

Denklemimiz var 23x2 -14x+7 =0

D=-448

Bu, köklerin 14+21.166i olduğu anlamına gelir ve 14-21.166i. Cevap şöyle olacaktır:

23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Diskriminant yardımı olmadan çözülebilecek bir örnek verelim.

Diyelim ki ikinci dereceden denklem x 2 -32x+255'i açmamız gerekiyor. Açıkçası, bir diskriminant kullanılarak da çözülebilir, ancak daha hızlıdır. bu durumda kökleri topla.

x 1 =15

x 2 =17

Araç x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).