İlk nokta her zamanki gibi arcsin(-a)=-arcsina'dır. İkinci noktaya gelmek için üst yola yani açıyı arttırma yönüne gidiyoruz.

Bu sefer n'nin ötesine geçiyoruz. Ne kadar süre sonra gideceğiz? Arcsin x'te. Bu, ikinci noktanın n+arcsin x olduğu anlamına gelir. Neden eksi yok? Çünkü -arcsin gösteriminde eksi işareti saat yönünde hareket anlamına geliyor ama saat yönünün tersine gittik. Ve son olarak aralığın her iki ucuna da 2pn ekleyin.

5) sinx>a, eğer a>1 ise.

Birim çember tamamen y=a doğrusunun altındadır. Düz çizginin üzerinde tek bir nokta yoktur. Yani hiçbir çözüm yok.

6) sinx>-a, burada a>1.

Bu durumda birim çemberin tamamı tamamen y=a düz çizgisinin üzerinde yer alır. Bu nedenle herhangi bir nokta sinx>a koşulunu karşılar. Bu, x'in herhangi bir sayı olduğu anlamına gelir.

Ve burada x herhangi bir sayıdır, çünkü sinx>-1 katı eşitsizliğinin aksine -n/2+2nn noktaları çözüme dahil edilmiştir. Hiçbir şeyi dışlamaya gerek yok.

Çember üzerinde bu koşulu sağlayan tek nokta n/2'dir. Sinüs periyodu dikkate alındığında bu eşitsizliğin çözümü x=n/2+2n noktaları kümesidir.

Örneğin sinx>-1/2 eşitsizliğini çözün:

Eşitsizlikler a › b biçimindeki ilişkilerdir; burada a ve b, en az bir değişken içeren ifadelerdir. Eşitsizlikler katı - ‹, › olabilir ve katı olmayan - ≥, ≤ olabilir.

Trigonometrik eşitsizlikler şu formdaki ifadelerdir: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, burada F(x) bir veya daha fazla trigonometrik fonksiyonla temsil edilir .

En basit trigonometrik eşitsizliğe bir örnek: sin x ‹ 1/2. Bu tür problemleri grafiksel olarak çözmek gelenekseldir; bunun için iki yöntem geliştirilmiştir.

Yöntem 1 - Bir fonksiyonun grafiğini çizerek eşitsizlikleri çözme

Sin x ‹ 1/2 eşitsizliği koşullarını karşılayan bir aralık bulmak için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1. Açık koordinat ekseni bir sinüzoid y = sin x oluşturun.
2. Aynı eksende, eşitsizliğin sayısal argümanının bir grafiğini, yani OY ordinatının ½ noktasından geçen düz bir çizgiyi çizin.
3. İki grafiğin kesişim noktalarını işaretleyin.
4. Örneğin çözümü olan segmenti gölgeleyin.

Bir ifadede katı işaretler mevcut olduğunda kesişim noktaları çözüm değildir. Bir sinüzoidin en küçük pozitif periyodu 2π olduğundan cevabı şu şekilde yazıyoruz:

İfadenin işaretleri kesin değilse, çözüm aralığı köşeli parantez - içine alınmalıdır. Sorunun cevabı aşağıdaki eşitsizlik olarak da yazılabilir:

Yöntem 2 - Birim çemberi kullanarak trigonometrik eşitsizlikleri çözme

Benzer problemler trigonometrik çember kullanılarak kolayca çözülebilir. Cevap bulma algoritması çok basittir:

1. Öncelikle birim çember çizmeniz gerekiyor.
2. Daha sonra bir dairenin yayındaki eşitsizliğin sağ tarafının argümanının yay fonksiyonunun değerini not etmeniz gerekir.
3. Yay fonksiyonunun değerinden apsis eksenine (OX) paralel geçen düz bir çizgi çizmek gerekir.
4. Bundan sonra geriye kalan tek şey trigonometrik eşitsizliğin çözüm kümesi olan daire yayının seçilmesidir.
5. Cevabı gerekli forma yazın.

Sin x › 1/2 eşitsizliği örneğini kullanarak çözümün aşamalarını analiz edelim. Daire üzerinde α ve β noktaları işaretlenmiştir - değerler

Yayın α ve β'nın üzerinde bulunan noktaları, verilen eşitsizliği çözme aralığıdır.

Cos için bir örnek çözmeniz gerekiyorsa, cevap yayı OY'ye değil OX eksenine simetrik olarak yerleştirilecektir. Sin ve cos için çözüm aralıkları arasındaki farkı metinde aşağıdaki diyagramlarda düşünebilirsiniz.

Teğet ve kotanjant eşitsizliklerinin grafik çözümleri hem sinüs hem de kosinüs çözümlerinden farklı olacaktır. Bu, fonksiyonların özelliklerinden kaynaklanmaktadır.

Arktanjant ve arkkotanjant trigonometrik daireye teğettir ve her iki fonksiyon için minimum pozitif periyot π'dir. İkinci yöntemi hızlı ve doğru bir şekilde kullanmak için sin, cos, tg ve ctg değerlerinin hangi eksende çizildiğini hatırlamanız gerekir.

Teğet teğet OY eksenine paralel uzanır. Arctan a'nın değerini birim çember üzerine çizersek, gerekli ikinci nokta köşegen çeyrekte yer alacaktır. Açılar

Bunlar fonksiyon için kırılma noktalarıdır, çünkü grafik onlara yönelir ancak asla onlara ulaşmaz.

Kotanjant durumunda, teğet OX eksenine paralel uzanır ve fonksiyon π ve 2π noktalarında kesintiye uğrar.

Karmaşık trigonometrik eşitsizlikler

Eşitsizlik fonksiyonunun argümanı yalnızca bir değişkenle değil, bilinmeyeni içeren bir ifadenin tamamıyla temsil ediliyorsa, o zaman karmaşık bir eşitsizlikten bahsediyoruz demektir. Bunu çözme süreci ve prosedürü yukarıda açıklanan yöntemlerden biraz farklıdır. Aşağıdaki eşitsizliğe bir çözüm bulmamız gerektiğini varsayalım:

Grafiksel çözüm, keyfi olarak seçilen x değerlerini kullanarak sıradan bir sinüzoid y = sin x oluşturmayı içerir. Grafiğin kontrol noktalarının koordinatlarını içeren bir tablo hesaplayalım:

Sonuç güzel bir eğri olmalıdır.

Çözüm bulmayı kolaylaştırmak için karmaşık fonksiyon argümanını değiştirelim

Çoğu öğrenci trigonometrik eşitsizliklerden hoşlanmaz. Ama boşuna. Bir karakterin söylediği gibi,

“Onları nasıl pişireceğini bilmiyorsun”

Peki nasıl "pişirilir" ve sinüs ile eşitsizliğin neyle sunulacağını bu makalede çözeceğiz. Karar vereceğiz basit bir şekilde– Birim çember kullanarak.

Yani öncelikle aşağıdaki algoritmaya ihtiyacımız var.

Eşitsizlikleri sinüsle çözmek için algoritma:

1. sinüs eksenine $a$ sayısını çizeriz ve daireyle kesişene kadar kosinüs eksenine paralel düz bir çizgi çizeriz;
2. bu doğrunun daire ile kesişme noktaları, eşitsizlik katı değilse gölgeli olacaktır, eşitsizlik katı ise gölgeli olmayacaktır;
3. eşitsizliğin çözüm alanı, eşitsizlik “$>$” işaretini içeriyorsa çizginin üstünde ve daireye kadar, eşitsizlik “$ işaretini içeriyorsa çizginin altında ve daireye kadar yerleştirilecektir.<$”;
4. Kesişme noktalarını bulmak için trigonometrik denklemi $\sin(x)=a$ çözeriz, şunu elde ederiz: $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. $n=0$ ayarını yaparak ilk kesişim noktasını buluruz (birinci veya dördüncü çeyrekte bulunur);
6. ikinci noktayı bulmak için ikinci kesişme noktasına kadar alandan hangi yöne gittiğimize bakarız: pozitif yönde ise $n=1$ almalıyız ve negatif yönde ise $n=- almalıyız 1$;
7. yanıt olarak aralık, daha küçük olan $+ 2\pi n$ kesişme noktasından daha büyük olan $+ 2\pi n$'ye doğru yazılır.

Algoritma sınırlaması

Önemli: d verilen algoritma çalışmıyor$\sin(x) > 1 formundaki eşitsizlikler için; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Eşitsizlikleri sinüsle çözerken özel durumlar

Yukarıdaki algoritmayı kullanmadan mantıksal olarak çözülmesi çok daha uygun olan aşağıdaki durumları da not etmek önemlidir.

Özel durum 1. Eşitsizliği çözün:

$\sin(x)\leq 1.$

Değer aralığının çok geniş olması nedeniyle trigonometrik fonksiyon$y=\sin(x)$ modulo $1$'dan büyük değil, o zaman Sol Taraf eşitsizlikler herhangi Tanım alanından $x$ (ve sinüs tanım kümesinin tamamı gerçek sayılardır) $1$'dan fazla değildir. Ve bu nedenle yanıtta şunu yazıyoruz: $x \in R$.

Sonuçlar:

$\sin(x)\geq -1.$

Özel durum 2. Eşitsizliği çözün:

$\sin(x)< 1.$

Özel durum 1'e benzer bir akıl yürütme uygulayarak, $\sin(x) = 1$ denkleminin çözümü olan noktalar hariç, tüm $x \in R$ için eşitsizliğin sol tarafının $1$'dan küçük olduğunu bulduk. Bu denklemi çözersek:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Ve bu nedenle yanıtta şunu yazıyoruz: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Sonuçlar: eşitsizlik benzer şekilde çözülür

$\sin(x) > -1.$

Bir algoritma kullanarak eşitsizlikleri çözme örnekleri.

Örnek 1: Eşitsizliği çözün:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. $\frac(1)(2)$ koordinatını sinüs ekseninde işaretleyelim.
2. Kosinüs eksenine paralel ve bu noktadan geçen bir doğru çizelim.
3. Kesişme noktalarını işaretleyelim. Eşitsizlik katı olmadığı için gölgelendirilecekler.
4. Eşitsizlik işareti $\geq$'dır, bu da çizginin üzerindeki alanı boyadığımız anlamına gelir; daha küçük yarım daire.
5. İlk kesişme noktasını buluyoruz. Bunu yapmak için eşitsizliği eşitliğe çevirip çözüyoruz: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Ayrıca $n=0$ ayarladık ve ilk kesişim noktasını bulduk: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. İkinci noktayı buluyoruz. Alanımız ilk noktadan itibaren pozitif yönde gidiyor, yani $n$'ı $1$'a eşit olarak ayarladık: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Böylece çözüm şu şekli alacaktır:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$

Örnek 2: Eşitsizliği çözün:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Sinüs ekseninde $-\frac(1)(2)$ koordinatını işaretleyip kosinüs eksenine paralel ve bu noktadan geçen düz bir çizgi çizelim. Kesişme noktalarını işaretleyelim. Eşitsizlik katı olduğundan gölgelenmeyecekler. Eşitsizlik işareti $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Ayrıca $n=0$ varsayarsak, ilk kesişim noktasını buluruz: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Alanımız ilk noktadan itibaren negatif yönde gidiyor, yani $n$'ı $-1$'a eşit olarak ayarladık: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Dolayısıyla bu eşitsizliğin çözümü aralık olacaktır:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$

Örnek 3: Eşitsizliği çözün:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Bu örnek bir algoritma kullanılarak hemen çözülemez. İlk önce onu dönüştürmeniz gerekiyor. Bir denklemle yapacağımız şeyin aynısını yaparız, ancak işareti unutmayız. Negatif bir sayıya bölmek veya çarpmak onu tersine çevirir!

O halde trigonometrik fonksiyon içermeyen her şeyi sağ tarafa taşıyalım. Şunu elde ederiz:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Sol ve sağ tarafları $-2$'a bölelim (işaretini unutmayın!). Sahip olacaklar:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Yine algoritma kullanarak çözemeyeceğimiz bir eşitsizlikle karşı karşıyayız. Ancak burada değişkeni değiştirmek yeterlidir:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Algoritma kullanılarak çözülebilecek bir trigonometrik eşitsizlik elde ediyoruz:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Bu eşitsizlik Örnek 1'de çözülmüştür, dolayısıyla cevabı buradan ödünç alalım:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\sağ].$

Ancak karar henüz bitmedi. Orijinal değişkene geri dönmemiz gerekiyor.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\sağ].$

Aralığı bir sistem olarak düşünelim:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.

Sistemin sol tarafında aralığa ait ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$) ifadesi bulunmaktadır. Aralığın sol sınırı ilk eşitsizlikten, sağ sınırı ise ikinci eşitsizlikten sorumludur. Dahası, parantezler önemli bir rol oynar: eğer parantez kare ise, o zaman eşitsizlik gevşetilecektir ve eğer yuvarlaksa, o zaman katı olacaktır. görevimiz soldaki $x$'i elde etmek her iki eşitsizlikte.

$\frac(\pi)(6)$'ı sol taraftan sağ tarafa taşıyalım, şunu elde ederiz:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \right.$.

Basitleştirerek şunları elde edeceğiz:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n \end(array) \right.$

Sol ve sağ tarafları $4$ ile çarparsak şunu elde ederiz:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n.\end(array) \right. $

Sistemi aralığa monte ederek cevabı elde ederiz:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$

1. Argüman karmaşıksa (öngörüden farklıysa) X), ardından şununla değiştirin: T.

2. Tek bir koordinat düzleminde inşa ediyoruz oyuncak fonksiyon grafikleri y=maliyet Ve y=a.

3. Böyle buluyoruz grafiklerin iki bitişik kesişme noktası arasında yer alan düz çizginin üstünde y=a. Bu noktaların apsislerini buluyoruz.

4. Argüman için çifte eşitsizliği yazın T kosinüs periyodu dikkate alınarak ( T Bulunan apsisler arasında olacaktır).

5. Ters bir değişiklik yapın (orijinal argümana dönün) ve değeri ifade edin XÇifte eşitsizlikten cevabı sayısal aralık şeklinde yazıyoruz.

Örnek 1.

Daha sonra algoritmaya göre argümanın değerlerini belirliyoruz. T sinüzoidin bulunduğu yer daha yüksek dümdüz. Bu değerleri kosinüs fonksiyonunun periyodikliğini dikkate alarak çift eşitsizlik olarak yazalım ve ardından orijinal argümana dönelim. X.

Örnek 2.

Bir değer aralığı seçme T sinüzoidin düz çizginin üzerinde olduğu yer.

Değerleri çift eşitsizlik şeklinde yazıyoruz T, koşulu karşılıyor. Fonksiyonun en küçük periyodunu unutmayın y=maliyet eşittir 2π. Değişkene geri dönelim X, çifte eşitsizliğin tüm kısımlarını kademeli olarak basitleştiriyoruz.

Eşitsizlik katı olmadığından cevabı kapalı sayısal aralık şeklinde yazıyoruz.

Örnek 3.

Değer aralığıyla ilgileneceğiz T sinüzoidin noktalarının düz çizginin üzerinde olacağı yer.

Değerler T bunu ikili eşitsizlik şeklinde yazın, aynı değerleri yeniden yazın 2 kere ve ifade et X. Cevabı sayısal aralık şeklinde yazalım.

Ve yeniden formül maliyet>a.

Eğer maliyet>a, (-1≤A≤1), o zaman - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

Trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için formüller uygulayın ve sınav testlerinde zaman kazanın.

Ve şimdi formül Formun trigonometrik eşitsizliğini çözerken UNT veya Birleşik Devlet Sınavında kullanmanız gereken maliyet

Eğer maliyet , (-1≤A≤1), o zaman arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Bu makalede tartışılan eşitsizlikleri çözmek için bu formülü uygulayın; cevaba çok daha hızlı ve herhangi bir grafik olmadan ulaşacaksınız!

Sinüs fonksiyonunun periyodikliğini dikkate alarak argümanın değerleri için çift eşitsizlik yazıyoruz T, son eşitsizliğin sağlanması. Orijinal değişkene dönelim. Ortaya çıkan ikili eşitsizliği dönüştürüp değişkeni ifade edelim. X. Cevabı aralık şeklinde yazalım.

İkinci eşitsizliği çözelim:

İkinci eşitsizliği çözerken, şu şekilde bir eşitsizlik elde etmek için çift argümanlı sinüs formülünü kullanarak bu eşitsizliğin sol tarafını dönüştürmemiz gerekiyordu: sint≥a. Daha sonra algoritmayı takip ettik.

Üçüncü eşitsizliği çözüyoruz:

Sevgili mezunlarımız ve adaylarımız! Yukarıda verilen grafiksel yöntem gibi trigonometrik eşitsizlikleri çözme yöntemlerinin ve muhtemelen sizin tarafınızdan bilinen, birim trigonometrik daire (trigonometrik daire) kullanarak çözme yönteminin yalnızca trigonometri bölümünü incelemenin ilk aşamalarında uygulanabilir olduğunu unutmayın. “Trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri çözme.” Sanırım ilk önce en basit trigonometrik denklemleri grafikler veya daire kullanarak çözdüğünüzü hatırlayacaksınız. Ancak artık trigonometrik denklemleri bu şekilde çözmeyi düşünmezsiniz. Bunları nasıl çözersiniz? Formüllere göre bu doğru. Bu nedenle trigonometrik eşitsizlikler özellikle test sırasında formüller kullanılarak çözülmelidir. her dakika değerlidir. Bu dersteki üç eşitsizliği uygun formülü kullanarak çözün.

Eğer sint>a, burada -1≤ A≤1 ise yaysin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.

Formülleri öğrenin!

Ve son olarak: Matematiğin tanımlar, kurallar ve FORMÜLLER olduğunu biliyor muydunuz?

Tabii ki! Ve bu makaleyi inceledikten ve videoyu izledikten sonra en meraklı olanı şöyle haykırdı: “Ne kadar uzun ve zor! Bu tür eşitsizlikleri herhangi bir grafik veya daire olmadan çözmenizi sağlayacak bir formül var mı?” Evet, elbette var!

FORM EŞİTSİZLİKLERİNİ ÇÖZMEK İÇİN: günah (-1≤A≤1) formül geçerlidir:

— π — arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

Bunu tartışılan örneklere uygulayın, cevabı çok daha hızlı alacaksınız!

Çözüm: FORMÜLLERİ ÖĞRENİN ARKADAŞLAR!

Sayfa 1/1 1

Pratik ders sırasında, "Trigonometri" konusundaki ana görev türlerini tekrarlayacağız, ayrıca artan karmaşıklıktaki problemleri analiz edeceğiz ve çeşitli trigonometrik eşitsizlikleri ve sistemlerini çözme örneklerini ele alacağız.

Bu ders B5, B7, C1 ve C3 görev türlerinden birine hazırlanmanıza yardımcı olacaktır.

"Trigonometri" konusunda ele aldığımız ana görev türlerini gözden geçirerek başlayalım ve birkaç standart dışı problemi çözelim.

Görev No.1. Açıları radyan ve dereceye dönüştürün: a) ; B) .

a) Dereceyi radyana çevirmek için formülü kullanalım

Belirtilen değeri yerine koyalım.

b) Radyanları dereceye dönüştürmek için formülü uygulayın

Değiştirme işlemini gerçekleştirelim .

Cevap. A) ; B) .

Görev No.2. Hesaplayın: a) ; B) .

a) Açı tablonun çok ötesine geçtiği için sinüs periyodunu çıkararak onu azaltacağız. Çünkü Açı radyan cinsinden gösterilir, bu durumda periyodu dikkate alacağız.

b) Bu durumda da durum benzerdir. Açı derece cinsinden ifade edildiği için teğetin periyodunu dikkate alacağız.

Ortaya çıkan açı, periyottan daha küçük olmasına rağmen daha büyüktür; bu, artık ana noktaya değil, tablonun uzatılmış kısmına atıfta bulunduğu anlamına gelir. Genişletilmiş trigofonksiyon değerleri tablosunu ezberleyerek hafızanızı bir kez daha eğitmemek için, teğet periyodunu tekrar çıkaralım:

Teğet fonksiyonunun tuhaflığından yararlandık.

Cevap. a) 1; B) .

Görev No.3. Hesaplamak , Eğer .

Kesrin pay ve paydasını 'a bölerek ifadenin tamamını teğetlere indirgeyelim. Aynı zamanda bundan korkamayız çünkü bu durumda teğet değeri mevcut olmayacaktır.

Görev No.4. Ifadeyi basitleştir.

Belirtilen ifadeler indirgeme formülleri kullanılarak dönüştürülür. Sadece alışılmadık bir şekilde derece kullanılarak yazılırlar. İlk ifade genellikle bir sayıyı temsil eder. Tüm trigofonksiyonları tek tek basitleştirelim:

Çünkü , daha sonra fonksiyon bir ortak fonksiyona dönüşür, yani. kotanjanta bağlıdır ve açı, orijinal teğetin negatif işarete sahip olduğu ikinci çeyreğe düşer.

Önceki ifadedekiyle aynı nedenlerden dolayı fonksiyon bir ortak fonksiyona dönüşür; kotanjanta bağlıdır ve açı, orijinal teğetin pozitif işarete sahip olduğu ilk çeyreğe düşer.

Her şeyi basitleştirilmiş bir ifadeyle değiştirelim:

Sorun #5. Ifadeyi basitleştir.

Uygun formülü kullanarak çift açının tanjantını yazalım ve ifadeyi basitleştirelim:

Son özdeşlik, kosinüs için evrensel değiştirme formüllerinden biridir.

Sorun #6. Hesaplamak.

Önemli olan, ifadenin eşittir olduğu cevabını vermemek gibi standart bir hata yapmamaktır. Arktanjantın temel özelliğini, yanında iki şeklinde bir çarpan olduğu sürece kullanamazsınız. Bundan kurtulmak için, sıradan bir argüman gibi davranırken, çift açının tanjant formülüne göre ifadeyi yazacağız.

Artık arktanjantın temel özelliğini uygulayabiliriz; sayısal sonuçlarında herhangi bir kısıtlama olmadığını unutmayın.

Sorun No. 7. Denklemi çözün.

Sıfıra eşit kesirli bir denklemi çözerken, her zaman payın sıfıra eşit olduğu ancak paydanın eşit olmadığı belirtilir, çünkü Sıfıra bölemezsiniz.

İlk denklem, trigonometrik daire kullanılarak çözülebilen en basit denklemin özel bir durumudur. Bu çözümü kendiniz hatırlayın. İkinci eşitsizlik, teğetin kökleri için genel formül kullanılarak, ancak yalnızca işaret eşit olmadığında, en basit denklem olarak çözülür.

Gördüğümüz gibi, bir kök ailesi, denklemi sağlamayan, tamamen aynı türden köklere sahip başka bir aileyi hariç tutar. Onlar. kök yok.

Cevap. Kök yok.

Sorun No. 8. Denklemi çözün.

Hemen ortak çarpanı çıkarabileceğimizi not edelim ve yapalım:

Denklem, çeşitli faktörlerin çarpımının sıfıra eşit olduğu standart formlardan birine indirgenmiştir. Bu durumda ya birinin sıfıra, diğerinin ya da üçüncüsüne eşit olduğunu zaten biliyoruz. Bunu bir denklem seti şeklinde yazalım:

İlk iki denklem en basitlerinin özel durumlarıdır; benzer denklemlerle daha önce birçok kez karşılaştık, dolayısıyla çözümlerini hemen belirteceğiz. Çift açılı sinüs formülünü kullanarak üçüncü denklemi tek bir fonksiyona indirgedik.

Son denklemi ayrı ayrı çözelim:

Bu denklemin kökleri yoktur çünkü sinüs değeri bunun ötesine geçemez .

Dolayısıyla çözüm yalnızca ilk iki kök ailesidir; bunlar bir grupta birleştirilebilir ve bunu trigonometrik çemberde göstermek kolaydır:

Bu, yarıdan oluşan bir ailedir, yani.

Trigonometrik eşitsizlikleri çözmeye geçelim. İlk olarak, genel çözüm formüllerini kullanmadan, trigonometrik çemberi kullanarak örneği çözme yaklaşımını analiz edeceğiz.

Sorun No. 9. Eşitsizliği çözün.

Trigonometrik çember üzerinde sinüs değerine karşılık gelen bir yardımcı çizgi çizelim ve eşitsizliği sağlayan açıların aralığını gösterelim.

Ortaya çıkan açı aralığının tam olarak nasıl gösterileceğini anlamak çok önemlidir; başlangıcı nedir ve sonu nedir? Aralığın başlangıcı, saat yönünün tersine hareket edersek aralığın en başında gireceğimiz noktaya karşılık gelen açı olacaktır. Bizim durumumuzda soldaki nokta burası çünkü saat yönünün tersine hareket edip doğru noktayı geçerken tam tersine gerekli açı aralığını bırakıyoruz. Bu nedenle doğru nokta boşluğun sonuna karşılık gelecektir.

Şimdi eşitsizliğin çözüm aralığının başlangıç ​​ve bitiş açılarını anlamamız gerekiyor. Tipik bir hata, hemen sağ noktanın açıya, sol noktanın ise karşılık geldiğini belirtmek ve cevabı vermektir. Bu doğru değil! Dikkat edin, her ne kadar alt kısmıyla ilgilensek de, dairenin üst kısmına karşılık gelen aralığı henüz belirttik, yani ihtiyacımız olan çözüm aralığının başlangıcını ve sonunu karıştırdık.

Aralığın sağ noktanın köşesinden başlayıp sol noktanın köşesiyle bitmesi için ilk belirtilen açının ikinciden küçük olması gerekir. Bunu yapmak için, doğru noktanın açısını referansın negatif yönünde ölçmemiz gerekecek, yani. saat yönünde ve eşit olacaktır. Daha sonra buradan saat yönünde pozitif yönde hareket etmeye başlayarak sol noktadan sonra sağ noktaya ulaşacağız ve bunun açı değerini alacağız. Artık açı aralığının başlangıcı bitiş noktasından küçüktür ve çözüm aralığını periyodu hesaba katmadan yazabiliriz:

Bu tür aralıkların herhangi bir tamsayı sayıda dönüşten sonra sonsuz sayıda tekrarlanacağını göz önünde bulundurarak sinüs periyodunu hesaba katan genel bir çözüm elde ederiz:

Eşitsizlik katı olduğu için parantez koyuyoruz ve daire üzerinde aralığın uçlarına karşılık gelen noktaları seçiyoruz.

Aldığınız cevabı derste verdiğimiz genel çözüm formülüyle karşılaştırın.

Cevap. .

Bu yöntem, en basit trigon eşitsizliklerinin genel çözüm formüllerinin nereden geldiğini anlamak için iyidir. Ayrıca tüm bu hantal formülleri öğrenemeyecek kadar tembel olanlar için de faydalıdır. Ancak yöntemin kendisi de kolay değildir; çözüme yönelik hangi yaklaşımın sizin için en uygun olduğunu seçin.

Trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için, birim çember kullanılarak gösterilen yönteme benzer şekilde, üzerinde yardımcı çizginin oluşturulduğu fonksiyon grafiklerini de kullanabilirsiniz. Eğer ilgileniyorsanız, çözüme yönelik bu yaklaşımı kendiniz bulmaya çalışın. Aşağıda basit trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için genel formülleri kullanacağız.

Sorun No. 10. Eşitsizliği çözün.

Eşitsizliğin katı olmadığı gerçeğini dikkate alarak genel çözüm formülünü kullanalım:

Bizim durumumuzda şunu elde ederiz:

Cevap.

Sorun No. 11. Eşitsizliği çözün.

Karşılık gelen kesin eşitsizlik için genel çözüm formülünü kullanalım:

Cevap. .

Sorun No. 12. Eşitsizlikleri çözün: a) ; B) .

Bu eşitsizliklerde genel çözümlere veya trigonometrik çembere yönelik formülleri kullanmak için acele etmeye gerek yoktur; sinüs ve kosinüs değer aralıklarını hatırlamanız yeterlidir.

a) O zamandan beri o zaman eşitsizliğin bir anlamı yoktur. Bu nedenle çözüm yok.

b) Çünkü benzer şekilde, herhangi bir argümanın sinüsü her zaman koşulda belirtilen eşitsizliği karşılar. Bu nedenle argümanın tüm gerçek değerleri eşitsizliği karşılar.

Cevap. a) hiçbir çözüm yok; B) .

Sorun 13. Eşitsizliği çözün .