Eksen yöndür. Bu, bir eksene veya yönlendirilmiş bir çizgiye projeksiyonun aynı kabul edildiği anlamına gelir. İzdüşüm cebirsel veya geometrik olabilir. Geometrik açıdan bir vektörün bir eksene izdüşümü bir vektör, cebirsel açıdan ise bir sayı olarak anlaşılır. Yani, bir vektörün bir eksene izdüşümü ve bir vektörün bir eksene sayısal izdüşümü kavramları kullanılır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bir L eksenimiz ve sıfır olmayan bir A B → vektörümüz varsa, o zaman A 1 ve B 1 noktalarının izdüşümlerini gösteren bir A 1 B 1 ⇀ vektörü oluşturabiliriz.

A 1 B → 1, A B → vektörünün L üzerine izdüşümü olacaktır.

Tanım 1

Vektörün eksene izdüşümü başlangıcı ve sonu belirli bir vektörün başlangıcı ve sonunun izdüşümleri olan bir vektördür. n p L A B → → A B → L üzerine projeksiyonu belirtmek gelenekseldir. L üzerine bir izdüşüm oluşturmak için L üzerine dikmeler bırakılır.

Örnek 1

Bir eksen üzerine vektör projeksiyonunun bir örneği.

Açık koordinat düzlemi X y hakkında M 1 (x 1 , y 1) noktası belirtilir. M1 noktasının yarıçap vektörünü görüntülemek için O x ve O y üzerinde projeksiyonlar oluşturmak gerekir. (x 1, 0) ve (0, y 1) vektörlerinin koordinatlarını alıyoruz.

Eğer hakkında konuşuyoruz a →'nin sıfır olmayan bir b →'ye izdüşümü veya a →'nin b → yönüne izdüşümü hakkında, o zaman a →'nin b → yönünün çakıştığı eksene izdüşümünü kastediyoruz. a →'nin b → ile tanımlanan çizgiye izdüşümüne n p b → a → → denir. a → ve b → arasındaki açı olduğunda, n p b → a → → ve b → eş yönlü olarak kabul edilebileceği bilinmektedir. Açının geniş olması durumunda, n p b → a → → ve b → zıt yönlerdedir. a → ve b → diklik durumunda ve a → sıfır olduğunda, a →'nin b → yönündeki izdüşümü sıfır vektördür.

Bir vektörün bir eksen üzerine izdüşümünün sayısal özelliği, bir vektörün belirli bir eksen üzerine sayısal izdüşümüdür.

Tanım 2

Vektörün eksene sayısal izdüşümü belirli bir vektörün uzunluğunun çarpımına ve verilen vektör ile eksenin yönünü belirleyen vektör arasındaki açının kosinüsüne eşit bir sayıdır.

A B →'nin L üzerine sayısal izdüşümü n p L A B → ve a → b → - n p b → a → ile gösterilir.

Formüle dayanarak, n p b → a → = a → · çünkü a → , b → ^ elde ederiz, buradan a → a → vektörünün uzunluğu, a ⇀, b → ^ a → vektörleri arasındaki açıdır ve b → .

Sayısal projeksiyonu hesaplamak için formülü elde ederiz: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Bilinen a → ve b → uzunlukları ve aralarındaki açı için geçerlidir. Formül bilinen a → ve b → koordinatları için geçerlidir, ancak basitleştirilmiş bir form da vardır.

Örnek 2

a → uzunluğu b → yönünde, a → uzunluğu 8'e eşit ve aralarında 60 derecelik bir açı olan bir düz çizgiye sayısal izdüşümünü bulun. Koşul olarak a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °'ye sahibiz. Öyleyse yerine koyalım sayısal değerler n p b ⇀ a → = a → · çünkü a → , b → ^ = 8 · çünkü 60 ° = 8 · 1 2 = 4 formülüne girin.

Cevap: 4.

Bilinen cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → ile, a → ve b →'nin skaler çarpımı olarak a → , b → elimizde olur. n p b → a → = a → · çünkü a ⇀ , b → ^ formülünü takip ederek, b → vektörü boyunca yönlendirilmiş a → sayısal izdüşümünü bulabilir ve n p b → a → = a → , b → b → . Formül paragrafın başında verilen tanıma eşdeğerdir.

Tanım 3

a → vektörünün b → yönüne denk gelen bir eksene sayısal izdüşümü, a → ve b → vektörlerinin skaler çarpımının b → uzunluğuna oranıdır. n p b → a → = a → , b → b → formülü, a →'nın, bilinen a → ve b → koordinatlarıyla b → yönüne denk gelen bir çizgiye sayısal izdüşümünü bulmak için uygulanabilir.

Örnek 3

Verilen b → = (- 3 , 4) . L üzerindeki a → = (1, 7) sayısal izdüşümünü bulun.

Çözüm

Koordinat düzleminde n p b → a → = a → , b → b → şu şekildedir: n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , a → = (a x , a y ) ve b → = bx, b y. a → vektörünün L ekseni üzerindeki sayısal projeksiyonunu bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · ( - 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Cevap: 5.

Örnek 4

a → = - 2, 3, 1 ve b → = (3, - 2, 6) olduğunda, b → yönüne denk gelen a →'nin L üzerindeki izdüşümünü bulun. Üç boyutlu uzay belirtilir.

Çözüm

a → = a x , a y , a z ve b → = b x , b y , b z verildiğinde, skaler çarpımı hesaplıyoruz: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . b → uzunluğu b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 formülü kullanılarak bulunur. Bundan, a → sayısal projeksiyonunu belirleme formülü şu şekilde olacaktır: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Sayısal değerleri değiştirin: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Cevap: - 6 7.

L üzerindeki a → ile L üzerindeki a → izdüşümünün uzunluğu arasındaki bağlantıya bakalım. L üzerindeki bir noktadan a → ve b → ekleyerek bir L ekseni çizelim, ardından a → ucundan L'ye dik bir çizgi çizelim ve L üzerine bir izdüşüm çizelim. Resmin 5 varyasyonu vardır:

Birinci a → = n p b → a → → şu anlama gelir: a → = n p b → a → → , dolayısıyla n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Saniye bu durum n p b → a → ⇀ = a → · çünkü a → , b → kullanımını gerektirir, bu da n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → anlamına gelir.

Üçüncü bu durum, n p b → a → → = 0 → olduğunda n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 elde ettiğimizi açıklar, o zaman n p b → a → → = 0 ve n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Dördüncü bu durumda şunu gösterir: n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , aşağıdaki n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Beşinci bu durumda a → = n p b → a → → gösterilmektedir, bu da a → = n p b → a → → anlamına gelir, dolayısıyla n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Tanım 4

a → vektörünün b → ile aynı şekilde yönlendirilen L ekseni üzerindeki sayısal izdüşümü aşağıdaki değere sahiptir:

• a → ve b → arasındaki açının 90 dereceden küçük olması veya 0'a eşit olması koşuluyla, a → vektörünün L üzerine izdüşümünün uzunluğu: n p b → a → = n p b → a → → 0 ≤ (a) koşuluyla → , b →) ^< 90 ° ;
• a → ve b → dik olması koşuluyla sıfır: n p b → a → = 0, (a → , b → ^) = 90 ° olduğunda;
• a → ve b → vektörlerinin geniş veya düz bir açısı olduğunda a → L üzerine projeksiyonun uzunluğu -1 ile çarpılır: n p b → a → = - n p b → a → → 90 ° koşuluyla< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Örnek 5

L üzerine a → izdüşümü uzunluğu verildiğinde, 2'ye eşit olur. Açının 5 π 6 radyan olması koşuluyla a → sayısal izdüşümünü bulun.

Çözüm

Koşuldan bu açının geniş olduğu açıktır: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Cevap: - 2.

Örnek 6

Vektör uzunluğu a → 6 3'e eşit olan, b → (- 2, 1, 2) ve 30 derecelik açıya sahip bir O x y z düzlemi veriliyor. a → L eksenine izdüşümünün koordinatlarını bulun.

Çözüm

Öncelikle a → vektörünün sayısal projeksiyonunu hesaplıyoruz: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Koşula göre, açı dardır, bu durumda sayısal projeksiyon a → = a → vektörünün izdüşümünün uzunluğu: n p L a → = n p L a → → = 9. Bu dava n p L a → → ve b → vektörlerinin ortak yönlü olduğunu gösterir; bu, eşitliğin doğru olduğu bir t sayısının olduğu anlamına gelir: n p L a → → = t · b → . Buradan n p L a → → = t · b → , yani t parametresinin değerini bulabileceğimizi görüyoruz: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Daha sonra n p L a → → = 3 · b → a vektörünün L eksenine projeksiyonunun koordinatları ile b → = (- 2 , 1 , 2) , burada değerleri çarpmak gerekir 3. Elimizde n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) var. Cevap: (- 6, 3, 6).

Vektörlerin eşdoğrusallık durumu hakkında daha önce öğrenilen bilgilerin tekrarlanması gerekmektedir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

İki vektör olsun ve uzayda verilsin. Keyfi bir noktadan erteleyelim O vektörler ve . Açı Vektörler arasındaki açıya açıların en küçüğü denir. Belirlenmiş .

Ekseni düşünün ben ve üzerine bir birim vektör (yani uzunluğu bire eşit olan bir vektör) çizin.

Vektör ile eksen arasında bir açıda ben ve vektörleri arasındaki açıyı anlayın.

Öyleyse izin ver ben bir eksendir ve bir vektördür.

ile belirtelim 1 Ve B1 eksen üzerine projeksiyonlar ben sırasıyla puan A Ve B. Diyelim ki 1 bir koordinatı var x 1, A B1– koordinat x 2 eksende ben.

Daha sonra projeksiyon eksen başına vektör ben fark denir x 1 – x 2 vektörün sonu ve başlangıcının bu eksen üzerindeki çıkıntılarının koordinatları arasında.

Vektörün eksene izdüşümü ben belirteceğiz.

Vektör ile eksen arasındaki açının eğer olduğu açıktır. ben o zaman baharatlı x 2> x 1 ve projeksiyon x 2 – x 1> 0; eğer bu açı genişse, o zaman x 2< x 1 ve projeksiyon x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси ben, O x 2= x 1 Ve x 2– x 1=0.

Böylece vektörün eksene izdüşümü ben segmentin uzunluğu bir 1 B 1, belirli bir işaretle alınır. Bu nedenle vektörün eksene izdüşümü bir sayı veya skalerdir.

Bir vektörün diğerine izdüşümü de benzer şekilde belirlenir. Bu durumda bu vektörün uçlarının 2. vektörün bulunduğu doğruya izdüşümleri bulunur.

Bazı temel bilgilere bakalım projeksiyonların özellikleri.

DOĞRUSAL BAĞIMLI VE DOĞRUSAL BAĞIMSIZ VEKTÖR SİSTEMLER

Birkaç vektörü ele alalım.

Doğrusal kombinasyon Bu vektörlerden herhangi biri, bazı sayıların yer aldığı formdaki herhangi bir vektördür. Sayılara doğrusal kombinasyon katsayıları denir. Ayrıca bu durumda bu vektörler aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiğini de söylüyorlar, yani. doğrusal eylemler kullanılarak onlardan elde edilir.

Örneğin, üç vektör verilirse, aşağıdaki vektörler bunların doğrusal birleşimi olarak düşünülebilir:

Bir vektör bazı vektörlerin doğrusal birleşimi olarak temsil ediliyorsa buna şöyle denir: ortaya konuldu bu vektörler boyunca.

Vektörler denir doğrusal bağımlı, eğer sayıların tümü sıfıra eşit değilse, öyle ki . Bu vektörlerden herhangi biri diğerleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilirse, verilen vektörlerin doğrusal olarak bağımlı olacağı açıktır.

Aksi takdirde, yani oran ne zaman yalnızca şu durumlarda gerçekleştirilir: , bu vektörlere denir doğrusal bağımsız.

Teorem 1. Herhangi iki vektör ancak ve ancak aynı doğrultuda olmaları durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt:

Aşağıdaki teorem benzer şekilde kanıtlanabilir.

Teorem 2.Üç vektör ancak ve ancak aynı düzlemde olmaları durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt.

TEMEL

Temel sıfır olmayan doğrusal bağımsız vektörlerin bir koleksiyonudur. Temelin unsurlarını ile göstereceğiz.

Önceki paragrafta bir düzlem üzerinde doğrusal olmayan iki vektörün doğrusal olarak bağımsız olduğunu gördük. Bu nedenle, önceki paragraftaki Teorem 1'e göre, bir düzlemin temeli, bu düzlem üzerindeki doğrusal olmayan herhangi iki vektördür.

Benzer şekilde, aynı düzlemde olmayan herhangi üç vektör uzayda doğrusal olarak bağımsızdır. Sonuç olarak, aynı düzlemde olmayan üç vektöre uzayda taban diyoruz.

Aşağıdaki ifade doğrudur.

Teorem. Uzayda bir temel verilsin. O zaman herhangi bir vektör doğrusal bir kombinasyon olarak temsil edilebilir , Nerede X, sen, z- bazı sayılar. Bu tek ayrışmadır.

Kanıt.

Böylece, temel, her vektörün benzersiz bir şekilde üçlü sayılarla ilişkilendirilmesine olanak tanır - bu vektörün temel vektörlere genişleme katsayıları: . Her üç sayı için de bunun tersi doğrudur x, y, z temeli kullanarak, doğrusal bir kombinasyon yaparsanız vektörü karşılaştırabilirsiniz .

Eğer temeli ve , ardından sayılar x, y, z denir koordinatlar belirli bir temelde vektör. Vektör koordinatları ile gösterilir.

KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ

Uzayda bir nokta verilsin O ve üç eş düzlemli olmayan vektör.

Kartezyen koordinat sistemi uzayda (düzlemde) bir nokta ve bir tabanın toplanmasıdır, yani. bir nokta ve bu noktadan çıkan üç eş düzlemli olmayan vektörden (doğrusal olmayan 2 vektör) oluşan bir dizi.

Nokta O kökeni denir; Koordinatların kökeninden temel vektörler yönünde geçen düz çizgilere koordinat eksenleri denir - apsis, ordinat ve uygulama ekseni. Koordinat eksenlerinden geçen düzlemlere koordinat düzlemleri denir.

Seçilen koordinat sisteminde rastgele bir noktayı düşünün M. Nokta koordinatları kavramını tanıtalım M. Orijini bir noktaya bağlayan vektör M. isminde yarıçap vektörü puan M.

Seçilen tabandaki bir vektör, üçlü sayılarla (koordinatları) ilişkilendirilebilir: .

Noktanın yarıçap vektörünün koordinatları M. denir M noktasının koordinatları. Söz konusu koordinat sisteminde. M(x,y,z). İlk koordinata apsis, ikincisine ordinat, üçüncüsüne ise aplike denir.

Düzlemdeki kartezyen koordinatlar da benzer şekilde belirlenir. Burada noktanın yalnızca iki koordinatı vardır - apsis ve ordinat.

Belirli bir koordinat sistemi için her noktanın belirli koordinatlara sahip olduğunu görmek kolaydır. Öte yandan, her sayı üçlüsü için bu sayıların koordinatları olan benzersiz bir nokta vardır.

Seçilen koordinat sisteminde esas alınan vektörler birim uzunlukta ve ikili dik ise koordinat sistemi denir. Kartezyen dikdörtgen.

Bunu göstermek kolaydır.

Bir vektörün yön kosinüsleri onun yönünü tamamen belirler, ancak uzunluğu hakkında hiçbir şey söylemez.

ve bir eksende veya başka bir vektörde onun geometrik izdüşümü ve sayısal (veya cebirsel) izdüşümü kavramları vardır. Geometrik projeksiyonun sonucu bir vektör olacak ve cebirsel projeksiyonun sonucu negatif olmayan bir gerçek sayı olacaktır. Ancak bu kavramlara geçmeden önce gerekli bilgileri hatırlayalım.

Ön bilgi

Ana kavram, bir vektör kavramının kendisidir. Geometrik vektörün tanımını tanıtmak için parçanın ne olduğunu hatırlayalım. Aşağıdaki tanımı tanıtalım.

Tanım 1

Segment, nokta şeklinde iki sınırı olan bir çizginin parçasıdır.

Bir segmentin 2 yönü olabilir. Yönü belirtmek için parçanın sınırlarından birine başlangıcı, diğer sınırına da sonu diyeceğiz. Yön, segmentin başlangıcından sonuna kadar gösterilir.

Tanım 2

Bir vektör veya yönlendirilmiş bölüm, bölümün sınırlarının hangisinin başlangıç, hangisinin sonu olduğu bilinen bir bölüm olacaktır.

Tanım: İki harfle: $\overline(AB)$ – (burada $A$ başlangıcı ve $B$ sonudur).

Küçük bir harfle: $\overline(a)$ (Şekil 1).

Vektör kavramıyla ilgili birkaç kavramı daha tanıtalım.

Tanım 3

Sıfır olmayan iki vektöre aynı doğru üzerinde ya da birbirine paralel doğrular üzerinde yer alıyorlarsa eşdoğrusal diyeceğiz (Şekil 2).

Tanım 4

İki koşulu karşılıyorlarsa, sıfır olmayan iki vektöre eş yönlü diyeceğiz:

1. Bu vektörler doğrusaldır.
2. Bir yöne yönlendirilirlerse (Şekil 3).

Gösterim: $\overline(a)\overline(b)$

Tanım 5

İki koşulu karşılıyorlarsa, sıfır olmayan iki vektörü zıt yönlü olarak adlandıracağız:

1. Bu vektörler doğrusaldır.
2. Farklı yönlere yönlendirilirlerse (Şekil 4).

Gösterim: $\overline(a)↓\overline(d)$

Tanım 6

$\overline(a)$ vektörünün uzunluğu, $a$ segmentinin uzunluğu olacaktır.

Gösterim: $|\overline(a)|$

İki vektörün eşitliğini belirlemeye geçelim

Tanım 7

İki koşulu karşılıyorlarsa iki vektöre eşit diyeceğiz:

1. Bunlar eş yönlüdür;
2. Uzunlukları eşittir (Şekil 5).

Geometrik projeksiyon

Daha önce de söylediğimiz gibi geometrik izdüşümün sonucu bir vektör olacaktır.

Tanım 8

$\overline(AB)$ vektörünün bir eksene geometrik izdüşümü, aşağıdaki şekilde elde edilen bir vektördür: $A$ vektörünün başlangıç ​​noktası bu eksene izdüşümü yapılır. İstenilen vektörün başlangıcı olan $A"$ noktasını elde ederiz. $B$ vektörünün bitiş noktası bu eksene yansıtılır. İstenilen vektörün sonu olan $B"$ noktasını elde ederiz. $\overline(A"B")$ vektörü istenen vektör olacaktır.

Sorunu ele alalım:

Örnek 1

Şekil 6'da gösterilen $l$ ekseni üzerine $\overline(AB)$ geometrik bir projeksiyon oluşturun.

$A$ noktasından $l$ eksenine bir dik çizelim, üzerinde $A"$ noktasını elde ederiz. Sonra $B$ noktasından $l$ eksenine bir dik çizeriz, $B noktasını elde ederiz. "Üzerinde $ var (Şek. 7).

Çeşitli çizgileri ve yüzeyleri bir düzleme yansıtmak, çizim biçiminde nesnelerin görsel bir görüntüsünü oluşturmanıza olanak tanır. Projeksiyon düzlemine dik olan ışınların olduğu dikdörtgen projeksiyonu ele alacağız. BİR VEKTÖRÜN DÜZLEM ÜZERİNDEKİ PROJEKSİYONU Başından ve sonundan çıkartılan dikmeler arasında yer alan = (Şekil 3.22) vektörünü düşünün.

Pirinç. 3.23. Bir vektörün bir eksene vektör izdüşümü.

Vektör cebirinde, bir vektörün bir AXIS'e, yani belirli bir yönelime sahip bir düz çizgiye yansıtılması genellikle gereklidir. Vektör ve L ekseni aynı düzlemde yer alıyorsa bu tasarım kolaydır (Şekil 3.23). Ancak bu koşul sağlanmadığında iş daha da zorlaşır. Vektör ve eksen aynı düzlemde olmadığında vektörün eksen üzerine bir izdüşümünü oluşturalım (Şekil 3.24).

Pirinç. 3.24. Bir vektörün bir eksene yansıtılması
genel durumda.

Vektörün uçları boyunca L çizgisine dik düzlemler çizeriz. Bu çizgiyle kesişme noktasında, bu düzlemler iki A1 ve B1 noktasını tanımlar - buna bu vektörün vektör izdüşümü diyeceğimiz bir vektör. Vektör izdüşümü bulma problemi, vektörün eksenle aynı düzleme getirilmesi durumunda daha kolay çözülebilir; bu, vektör cebirinde serbest vektörlerin dikkate alınması nedeniyle yapılabilir.

Vektör izdüşümünün yanı sıra, vektör izdüşümünün L ekseninin yönelimi ile çakışması durumunda vektör izdüşümünün modülüne eşit olan ve vektör izdüşümü ve L ekseninin yönelimi ile çakışması durumunda zıt değerine eşit olan bir SKALER PROJEKSİYON da vardır. eksen ters yöndedir. Skaler projeksiyonu göstereceğiz:

Vektör ve skaler projeksiyonlar pratikte terminolojik olarak her zaman kesin olarak ayrılmamaktadır. Genellikle bir vektörün skaler izdüşümünü ifade eden "vektör projeksiyonu" terimi kullanılır. Karar verirken bu kavramları net bir şekilde birbirinden ayırmak gerekir. Yerleşik geleneğin ardından, skaler projeksiyon anlamına gelen "vektör projeksiyonu" ve yerleşik anlama uygun olarak "vektör projeksiyonu" terimlerini kullanacağız.

Belirli bir vektörün skaler projeksiyonunu hesaplamamıza izin veren bir teoremi kanıtlayalım.

TEOREM 5. Bir vektörün L eksenine izdüşümü, modülü ile vektör ile eksen arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir;

(3.5)

Pirinç. 3.25. Vektör ve skaleri bulma
L ekseni üzerine vektör projeksiyonları
(ve L ekseni eşit yönlendirilmiştir).

KANIT. Önce açıyı bulmamızı sağlayacak hesaplamaları yapalım. G Bunu yapmak için, vektör ile L ekseni arasında, L eksenine paralel olan ve vektörün başlangıcı olan O noktasından geçen bir MN düz çizgisi oluşturacağız (Şekil 3.25). Açı istenilen açı olacaktır. A ve O noktalarından L eksenine dik iki düzlem çizelim.

L ekseni ve MN düz çizgisi paralel olduğundan.

Vektörün ve L ekseninin göreceli konumunun iki durumunu vurgulayalım.

1. Vektör izdüşümünün ve L ekseninin eşit yönlendirilmesine izin verin (Şekil 3.25). Daha sonra karşılık gelen skaler projeksiyon .

2. ve L'nin farklı yönlere yönlendirilmesine izin verin (Şekil 3.26).

Pirinç. 3.26. Vektörün L ekseni üzerindeki vektör ve skaler izdüşümlerini bulma (ve L ekseni zıt yönlerde yönlendirilmiştir).

Dolayısıyla her iki durumda da teorem doğrudur.

TEOREM 6. Vektörün orijini L ekseni üzerinde belirli bir noktaya getirilirse ve bu eksen s düzleminde yer alırsa, vektör s düzlemindeki vektör izdüşümü ile bir açı, vektör ile bir açı oluşturur. L eksenindeki projeksiyona ek olarak vektör projeksiyonlarının kendisi de birbirleriyle bir açı oluşturur.