Eserin metni görseller ve formüller olmadan yayınlanmaktadır.
Tam versiyonÇalışmaya PDF formatında "Çalışma Dosyaları" sekmesinden ulaşılabilir

giriiş

Yetişkinlerin konuşmalarında şu cümleyi duymuş olabilirsiniz: “Koordinatlarınızı bana bırakın.” Bu ifade, muhatabın bulunabileceği yere adresini veya telefon numarasını bırakması gerektiği anlamına gelir. "Deniz savaşı" oynayanlarınız ilgili koordinat sistemini kullandılar. Satrançta da benzer bir koordinat sistemi kullanılır. Yerler konferans salonu sinema iki sayı ile belirtilir: ilk sayı sıra numarasını, ikincisi ise bu sıradaki koltuk sayısını gösterir. Sayıları kullanarak bir noktanın düzlem üzerindeki konumunu belirleme fikri eski çağlardan beri ortaya çıkmıştır. Koordinat sistemi bir kişinin tüm pratik yaşamına nüfuz eder ve çok büyük bir öneme sahiptir. pratik kullanım. Bu nedenle konuyla ilgili bilgimizi genişletmek için bu projeyi oluşturmaya karar verdik” Koordinat uçağı»

Proje hedefleri:

düzlemde dikdörtgen koordinat sisteminin ortaya çıkış tarihini tanımak;

bu konuyla ilgili öne çıkan isimler;

ilginç bul tarihsel gerçekler;

koordinatları kulakla iyi algılamak; inşaatları açık ve doğru bir şekilde yürütmek;

bir sunum hazırlayın.

Bölüm I. Koordinat uçağı

Sayıları kullanarak bir düzlem üzerindeki bir noktanın konumunu belirleme fikri, eski zamanlarda ortaya çıktı - öncelikle yıldız ve coğrafi haritaları ve takvimleri derlerken gökbilimciler ve coğrafyacılar arasında.

§1. Koordinatların kökeni. Coğrafyada koordinat sistemi

MÖ 200 yıllarında Yunan bilim adamı Hipparchus coğrafi koordinatları tanıttı. Coğrafi bir harita üzerinde paralellikler ve meridyenler çizilmesini ve enlem ve boylamın sayılarla belirtilmesini önerdi. Bu iki sayıyı kullanarak çöldeki bir adanın, köyün, dağın veya kuyunun konumunu doğru bir şekilde belirleyebilir ve bunları bir harita veya küre üzerinde çizebilirsiniz; dünyayı aç geminin bulunduğu yerin enlem ve boylamına göre denizciler ihtiyaç duydukları yönü seçebiliyorlardı.

Doğu boylamı ve kuzey enlemi artı işaretli sayılarla, batı boylamı ve güney enlemi ise eksi işaretli sayılarla gösterilir. Böylece, bir çift işaretli sayı, dünya üzerindeki bir noktayı benzersiz bir şekilde tanımlar.

Coğrafi enlem? - belirli bir noktadaki çekül çizgisi ile ekvator düzlemi arasındaki, ekvatorun her iki tarafında 0 ila 90 arasında ölçülen açı. Coğrafi boylam? - Meridyenin içinden geçen düzlemi arasındaki açı bu nokta ve meridyenin başlangıç ​​düzlemi (bkz. Greenwich meridyeni). Meridyenin başlangıcının 0 ila 180 doğusundaki boylamlara doğu ve batı batı denir.

Bir şehirde belirli bir nesneyi bulmak için çoğu durumda adresini bilmek yeterlidir. Örneğin nerede olduğunu açıklamanız gerekirse zorluklar ortaya çıkar. Kır evi alanı, ormana yerleştirin. Coğrafi koordinatlar bir konumu belirtmenin evrensel bir yoludur.

Vururken Acil durum, bir kişinin her şeyden önce arazide gezinebilmesi gerekir. Bazen, örneğin kurtarma servisine iletmek veya başka amaçlar için konumunuzun coğrafi koordinatlarını belirlemek gerekebilir.

Modern navigasyon standart olarak WGS-84 dünya çapındaki koordinat sistemini kullanır. İnternetteki tüm GPS navigatörleri ve büyük kartografik projeler bu koordinat sisteminde çalışır. WGS-84 sistemindeki koordinatlar evrensel zaman kadar yaygın olarak kullanılmakta ve herkes tarafından anlaşılmaktadır. İle çalışırken genel olarak mevcut doğruluk coğrafi koordinatlar yerde 5 - 10 metredir.

Coğrafi koordinatlar işaretli sayılardır (enlem -90° ile +90° arası, boylam -180° ile +180° arası) ve şu şekilde yazılabilir: çeşitli formlar: derece cinsinden (ddd.ddddd°); derece ve dakika (ddd° mm.mmm"); derece, dakika ve saniye (ddd° mm" ss.s"). Kayıt formları kolayca birbirine dönüştürülebilir (1 derece = 60 dakika, 1 dakika = 60 saniye) ) Koordinatların işaretini belirtmek için, ana yönlerin adlarına göre sıklıkla harfler kullanılır: N ve E - kuzey enlemi ve doğu boylamı - pozitif sayılar, S ve W - güney enlemi ve batı boylamı - negatif sayılar.

Koordinatların DERECE cinsinden kaydedilme biçimi, manuel giriş için en uygun olanıdır ve bir sayının matematiksel gösterimiyle örtüşür. Koordinatların DERECE VE DAKİKA cinsinden kaydedilme biçimi birçok durumda tercih edilir; bu biçim çoğu GPS navigatöründe varsayılan olarak ayarlanır ve havacılıkta ve denizde standart olarak kullanılır. Klasik şekil Koordinatları DERECE, DAKİKA VE SANİYE olarak kaydetmek pek pratik bir kullanım alanı bulmuyor.

§2. Astronomide koordinat sistemi. Takımyıldızlarla ilgili mitler

Yukarıda bahsedildiği gibi, bir düzlem üzerindeki bir noktanın konumunu sayıları kullanarak belirleme fikri, eski zamanlarda gökbilimciler arasında yıldız haritaları hazırlanırken ortaya çıktı. İnsanların zamanı sayması, mevsimsel olayları (yüksek gelgitler, mevsimsel yağmurlar, su baskını) tahmin etmesi ve seyahat ederken arazide gezinmesi gerekiyordu.

Astronomi, yıldızların, gezegenlerin, gök cisimlerinin, yapılarının ve gelişimlerinin bilimidir.

Binlerce yıl geçti, bilim çok ilerledi ama insanlar hâlâ gözlerini gece gökyüzünün güzelliğinden alamıyor.

Takımyıldızlar yıldızlı gökyüzünün alanlarıdır ve parlak yıldızların oluşturduğu karakteristik şekillerdir. Gökyüzünün tamamı 88 takımyıldıza bölünmüştür, bu da yıldızlar arasında gezinmeyi kolaylaştırır. Takımyıldızların isimlerinin çoğu antik çağlardan gelmektedir.

En ünlü takımyıldızı Büyük Ayı'dır. İÇİNDE Antik Mısır ona "Su Aygırı" adı verildi ve Kazaklar ona "Tasmalı At" adını verdiler, ancak takımyıldızı dışarıdan ne birine ne de diğerine benzemiyor. Neye benziyor?

Eski Yunanlıların Büyük Ayı ve Küçük Ayı takımyıldızları hakkında bir efsanesi vardı. Yüce tanrı Zeus, tanrıça Afrodit'in hizmetkarlarından güzel perisi Calisto'yla, tanrıça Afrodit'in istememesine rağmen evlenmeye karar verir. Zeus, Kalisto'yu tanrıçanın zulmünden kurtarmak için Kalisto'yu Büyük Ayı'ya, çok sevdiği köpeğini ise Küçük Ayı'ya dönüştürüp cennete götürmüştür. Büyük Ayı ve Küçük Ayı takımyıldızlarını yıldızlı gökyüzünden koordinat düzlemine aktarın. . Büyük Kepçe'deki yıldızların her birinin kendi adı vardır.

URSA BÜYÜK

BUCKET'ten tanıdım!

Burada yedi yıldız parlıyor

İşte isimleri:

DUBHE karanlığı aydınlatır,

MERAK onun yanında yanıyor,

Yanında MEGRETZ ile FEKDA var,

Cesur bir adam.

MEGRETZ'den kalkış için

ALIOT'un bulunduğu yer

Ve arkasında - ALCOR ile MITZAR

(Bu ikisi birlikte parlıyor.)

Kepçemiz kapanıyor

Eşsiz BENETNASH.

Göze işaret ediyor

BOOTES takımyıldızına giden yol,

Güzel ARCTURUS'un parladığı yer,

Artık herkes onu fark edecek!

Hayırsız güzel efsane Cepheus, Cassiopeia ve Andromeda takımyıldızları hakkında.

Etiyopya bir zamanlar Kral Cepheus tarafından yönetiliyordu. Bir gün karısı Kraliçe Cassiopeia, güzelliğini deniz sakinlerine - Nereidlere - gösterme tedbirsizliğini yaşadı. Kırgın olan ikincisi, deniz tanrısı Poseidon'a şikayette bulundu ve Cassiopeia'nın küstahlığına öfkelenen denizlerin hükümdarı, Etiyopya kıyılarına bir deniz canavarı - Balina - salıverdi. Krallığını yıkımdan kurtarmak için, kehanetin tavsiyesi üzerine Cepheus, canavara kurban vermeye ve yutulması için sevgili kızı Andromeda'yı ona vermeye karar verdi. Andromeda'yı kıyıdaki bir kayaya zincirledi ve onu kaderinin kararını beklerken bıraktı.

Ve bu sırada, dünyanın diğer ucunda, efsanevi kahraman Perseus cesur bir başarıya imza attı. Gorgonların yaşadığı tenha bir adaya girdi - kafaları saç yerine yılanlarla dolu olan, kadın şeklindeki muhteşem canavarlar. Gorgonların bakışları o kadar korkunçtu ki baktıkları herkes anında taşa dönüştü.

Bu canavarların uykusundan yararlanan Perseus, içlerinden biri olan Gorgon Medusa'nın kafasını kesti. O sırada Medusa'nın kopmuş bedeninden Pegasus atı uçtu. Perseus denizanasının kafasını yakaladı, Pegasus'un üzerine atladı ve havada memleketine doğru koştu. Etiyopya üzerinden uçarken Andromeda'nın bir kayaya zincirlendiğini gördü. O anda balina çoktan denizin derinliklerinden çıkmış, kurbanını yutmaya hazırlanıyordu. Ancak Keith ile ölümcül bir savaşa giren Perseus, canavarı yendi. Keith'e henüz gücünü kaybetmemiş denizanasının kafasını ve taşlaşarak bir adaya dönüşen canavarı gösterdi. Perseus'a gelince, Andromeda'nın zincirlerini çözerek onu babasına geri verdi ve mutlulukla hareket eden Cepheus, Andromeda'yı Perseus'a eş olarak verdi. Antik Yunanlılar tarafından ana karakterleri cennete yerleştirilen bu hikaye böyle mutlu bir şekilde sona erdi.

Yıldız haritasında sadece babası, annesi ve kocasıyla birlikte Andromeda'yı değil, aynı zamanda büyülü at Pegasus'u ve tüm sorunların suçlusu canavar Keith'i de bulabilirsiniz.

Cetus takımyıldızı Pegasus ve Andromeda'nın altında yer almaktadır. Ne yazık ki, herhangi bir karakteristik parlak yıldızla işaretlenmemiştir ve bu nedenle küçük takımyıldızların sayısına aittir.

§3. Resimde dikdörtgen koordinatlar fikrinin kullanılması.

Dikdörtgen koordinatlar fikrinin kare ızgara (palet) biçiminde uygulanmasının izleri, Eski Mısır'ın mezar odalarından birinin duvarında tasvir edilmiştir. Peder Ramesses piramidinin mezar odasında duvarda karelerden oluşan bir ağ bulunmaktadır. Onların yardımıyla görüntü büyütülmüş bir biçimde aktarılır. Rönesans sanatçıları da dikdörtgen bir ızgara kullandılar.

"Perspektif" kelimesi Latince "açıkça görmek" anlamına gelir. İÇİNDE güzel Sanatlar Doğrusal perspektif, nesnelerin boyutlarındaki belirgin değişikliklere göre bir düzlem üzerindeki görüntüsüdür. Esas, baz, temel modern teori perspektifler Rönesans'ın büyük sanatçıları - Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer ve diğerleri tarafından ortaya konuldu. Dürer'in gravürlerinden biri (Şekil 3), üzerine kare ızgara uygulanmış cam aracılığıyla hayattan çizim yapma yöntemini tasvir etmektedir. Bu süreç şu şekilde açıklanabilir: Bir pencerenin önünde durursanız ve bakış açınızı değiştirmeden, arkasında görünen her şeyi camın üzerinde daire içine alırsanız, ortaya çıkan çizim, uzayın perspektif bir görüntüsü olacaktır.

Kare ızgara desenlerine dayandığı anlaşılan Mısır tasarım yöntemleri. Mısır sanatında, sanatçıların ve heykeltıraşların ilk olarak duvara bir ızgara çizdiklerini ve belirlenen oranları korumak için bunun boyanması veya oyulması gerektiğini gösteren çok sayıda örnek vardır. Bu ızgaraların basit sayısal ilişkileri tüm büyük sistemlerin merkezinde yer alır. Sanat Eserleri Mısırlılar

Aynı yöntem, Leonardo da Vinci de dahil olmak üzere birçok Rönesans sanatçısı tarafından kullanıldı. Eski Mısır'da bu, Marlborough Down'daki desenle yakın bağlantısıyla güçlendirilen Büyük Piramit'te somutlaşmıştı.

Mısırlı sanatçı çalışmaya başlarken duvarı düz çizgilerden oluşan bir ızgarayla kapladı ve ardından figürleri dikkatlice üzerine aktardı. Ancak geometrik düzenlilik, doğayı ayrıntılı bir doğrulukla yeniden yaratmasına engel olmadı. Her balığın ve her kuşun görünümü o kadar gerçekçi bir şekilde aktarılıyor ki, modern zoologlar bunların türünü kolaylıkla belirleyebiliyor. Şekil 4, resimdeki kompozisyonun bir detayını göstermektedir: Khnumhotep'in ağına kuşların takıldığı bir ağaç. Sanatçının elinin hareketi yalnızca yetenekleriyle değil, aynı zamanda doğanın ana hatlarına duyarlı gözüyle de yönlendiriliyordu.

Şekil 4 Akasya üzerindeki kuşlar

Bölüm II. Matematikte koordinat yöntemi

§1. Koordinatların matematikte uygulanması. Değerler

Fransız matematikçi Rene Descartes

Uzun zamandır Bu harika buluşu yalnızca coğrafya - "arazi tanımı" - kullandı ve yalnızca 14. yüzyılda Fransız matematikçi Nicolas Oresme (1323-1382) bunu "arazi ölçümü" geometrisine uygulamaya çalıştı. Düzlemi dikdörtgen bir ızgarayla kaplamayı ve şimdi apsis ve ordinat dediğimiz enlem ve boylamı adlandırmayı önerdi.

Bu başarılı yeniliğe dayanarak geometriyi cebire bağlayan koordinat yöntemi ortaya çıktı. Bu yöntemin yaratılmasındaki ana itibar, büyük Fransız matematikçi Rene Descartes'e (1596 - 1650) aittir. Onun şerefine, böyle bir koordinat sistemine Kartezyen denir ve düzlemdeki herhangi bir noktanın konumunu, bu noktadan "sıfır enlem" - apsis ekseni ve "sıfır meridyen" - ordinat eksenine kadar olan mesafelere göre gösterir.

Ancak 17. yüzyılın (1596 - 1650) bu parlak Fransız bilim adamı ve düşünürü, hayattaki yerini hemen bulamadı. Soylu bir ailede doğan Descartes, iyi bir eğitim. 1606'da babası onu La Flèche'deki Cizvit kolejine gönderdi. Descartes'ın sağlık durumunun pek iyi olmadığı göz önüne alındığında, buranın katı rejiminden kendisine bazı tavizler verilmişti. Eğitim kurumuörneğin diğerlerinden daha geç kalkmalarına izin veriliyordu. Üniversitede pek çok bilgi edinen Descartes, aynı zamanda skolastik felsefeye karşı hayatı boyunca sürdürdüğü antipatiyle de doldu.

Descartes üniversiteden mezun olduktan sonra eğitimine devam etti. 1616'da Poitiers Üniversitesi'nde hukuk alanında lisans derecesi aldı. 1617'de Descartes orduya yazıldı ve Avrupa'yı dolaştı.

1619 yılı Descartes için bilimsel açıdan önemli bir yıl oldu.

İşte bu sırada, kendisinin de günlüğüne yazdığı gibi, yeni bir "en şaşırtıcı bilimin" temelleri kendisine açıklandı. Büyük ihtimalle Descartes'ın aklında evrenselin keşfi vardı. bilimsel yöntem Daha sonra bunu çeşitli disiplinlerde verimli bir şekilde uyguladı.

1620'lerde Descartes matematikçi M. Mersenne ile tanıştı ve onun aracılığıyla uzun yıllar Avrupa bilim camiasının tamamıyla “iletişim halinde olmak”.

1628'de Descartes, 15 yıldan fazla bir süre Hollanda'ya yerleşti, ancak hiçbir yere yerleşmedi, yaklaşık iki düzine kez ikamet yerini değiştirdi.

1633'te Galileo'nun kilise tarafından kınandığını öğrenen Descartes, maddenin mekanik yasalarına göre evrenin doğal kökenine ilişkin fikirlerin ana hatlarını çizen doğal felsefi çalışması "Dünya" yı yayınlamayı reddetti.

1637'de Fransızca Birçok kişinin inandığı gibi modern Avrupa felsefesinin başladığı Descartes'ın "Yöntem Üzerine Söylem" adlı çalışması yayınlandı.

Descartes'ın 1649'da yayınlanan son felsefi eseri Ruhun Tutkuları da Avrupa düşüncesi üzerinde büyük etki yarattı. Aynı yıl İsveç Kraliçesi Christina'nın daveti üzerine Descartes İsveç'e gitti. Sert iklim ve olağandışı rejim (kraliçe, Descartes'ı ders vermek ve diğer görevleri yerine getirmek için sabah 5'te kalkmaya zorladı) Descartes'ın sağlığına zarar verdi ve üşüttüğü için

zatürreden öldü.

Descartes'ın ortaya koyduğu geleneğe göre bir noktanın "enlemi" x harfiyle, "boylamı" ise y harfiyle gösterilir.

Bir yeri belirtmenin birçok yolu bu sisteme dayanmaktadır.

Örneğin, bir sinema biletinde iki sayı vardır: bir sıra ve bir koltuk - bunlar, tiyatrodaki bir koltuğun koordinatları olarak düşünülebilir.

Satrançta da benzer koordinatlar kabul edilir. Sayılardan biri yerine bir harf alınır: dikey hücre sıraları harflerle gösterilir Latin alfabesi ve yatay olanlar - sayılarla. Böylece satranç tahtasının her karesine bir çift harf ve rakam atanıyor ve satranç oyuncuları oyunlarını kaydedebiliyor. Konstantin Simonov, "Topçu'nun Oğlu" adlı şiirinde koordinatların kullanımı hakkında yazıyor.

Bütün gece sarkaç gibi yürüyüp,

Binbaşı gözlerini kapatmadı.

Sabah radyoda güle güle

İlk sinyal geldi:

"Sorun değil, oraya vardım,

Almanlar solumda,

Koordinatlar (3;10),

Yakında ateş edelim!

Silahlar dolu

Binbaşı her şeyi kendisi hesapladı.

Ve bir kükreme ile ilk voleybollar

Dağlara çarptılar.

Ve yine radyodaki sinyal:

"Almanlar benden daha haklı,

Koordinatlar (5; 10),

Yakında daha fazla ateş!

Toprak ve kayalar uçtu,

Bir sütun halinde duman yükseldi.

Görünüşe göre şimdi oradan

Kimse canlı ayrılmayacak.

Üçüncü radyo sinyali:

"Almanlar etrafımda,

Koordinatlar (4; 10),

Ateşi esirgemeyin.

Binbaşı şunu duyduğunda rengi soldu:

(4;10) - sadece

Lyonka'nın olduğu yer

Şimdi oturmalı.

Konstantin Simonov "Bir Topçu Oğlu"

§2. Koordinat sisteminin icadıyla ilgili efsaneler

Descartes'ın adını taşıyan koordinat sisteminin icadıyla ilgili çeşitli efsaneler vardır.

Efsane 1

Bu hikaye zamanımıza kadar ulaştı.

Paris tiyatrolarını ziyaret eden Descartes, oditoryumdaki seyircilerin temel bir dağılım düzeninin olmayışından kaynaklanan kafa karışıklığı, kavgalar ve hatta bazen düelloya meydan okumalarla şaşırmaktan asla yorulmazdı. Önerdiği, her koltuğun kenardan bir sıra numarası ve bir seri numarası aldığı numaralandırma sistemi, tüm çekişme nedenlerini anında ortadan kaldırdı ve Paris sosyetesinde gerçek bir sansasyon yarattı.

Efsane2. Bir gün, Rene Descartes bütün gün yatakta yattı, bir şeyler düşündü ve etrafta bir sinek vızıldadı ve konsantre olmasına izin vermedi. Bir sineği ıskalamadan vurabilmek için herhangi bir zamanda bir sineğin konumunu matematiksel olarak nasıl tanımlayacağını düşünmeye başladı. Ve... insanlık tarihinin en büyük icatlarından biri olan Kartezyen koordinatları buldu.

Markovtsev Yu.

Bir zamanlar yabancı bir şehirde

Genç Descartes geldi.

Açlıktan korkunç bir şekilde işkence gördü.

Soğuk bir mart ayıydı.

Yoldan geçen birine sormaya karar verdim

Descartes, titremeyi yatıştırmaya çalışarak:

Otel nerede, söyle bana?

Ve hanım açıklamaya başladı:

- Süt ürünleri dükkanına git

Sonra fırına, onun arkasına

Çingene kadın iğne satıyor

Ve fareler ve fareler için zehir,

Onları mutlaka bulacaksınız

Peynirler, bisküviler, meyveler

Ve rengarenk ipekler...

Bütün bu açıklamaları dinledim

Soğuktan titreyen Descartes.

Gerçekten yemek istiyordu

- Dükkanların arkasında bir eczane var

(Orada eczacı bıyıklı bir İsveçli var),

Ve yüzyılın başında kilise

Büyükbabam evlenmiş gibi görünüyor.

Kadın bir an sustuğunda,

Aniden hizmetçisi şöyle dedi:

- Üç blok boyunca düz yürüyün

Ve sağa iki tane. Giriş köşeden.

Bu, Descartes'a koordinatlar fikrini veren olayla ilgili üçüncü hikayedir.

Çözüm

Projemizi oluştururken koordinat düzleminin bilimin çeşitli alanlarındaki kullanımını öğrendik ve Gündelik Yaşam Koordinat düzleminin kökeninin tarihçesinden ve bu buluşa büyük katkı sağlayan matematikçilerden bazı bilgiler. Eserin yazılması sırasında topladığımız materyaller okul kulübü derslerinde şu şekilde kullanılabilir: ek malzeme derslere. Bütün bunlar okul çocuklarının ilgisini çekebilir ve öğrenme sürecini aydınlatabilir.

Ve şu sözlerle bitirmek istiyoruz:

“Hayatınızı bir koordinat düzlemi olarak hayal edin. Y ekseni toplumdaki konumunuzdur. X ekseni ileriye, hedefe, hayalinize doğru ilerliyor. Ve bildiğimiz gibi, bu sonsuzdur... Düşebiliriz, eksiye doğru daha da ileri gidebiliriz, sıfırda kalabiliriz ve hiçbir şey yapmayabiliriz, kesinlikle hiçbir şey. Yükselebiliriz, düşebiliriz, ileri gidebiliriz veya geri dönebiliriz, çünkü tüm hayatımız bir koordinat düzlemidir ve burada en önemli şey sizin koordinatınızın ne olduğudur...”

Kaynakça

Glazer G.I. Okulda matematiğin tarihi: - M.: Prosveshchenie, 1981. - 239 s., hasta.

Lyatker Ya.A.Descartes. M.: Mysl, 1975. - (Geçmişin Düşünürleri)

Matvievskaya G.P. Rene Descartes, 1596-1650. M.: Nauka, 1976.

A. Savin. Koordinatlar Kuantum. 1977. Sayı 9

Matematik - “Bir Eylül” gazetesinin eki, Sayı 7, Sayı 20, Sayı 17, 2003, Sayı 11, 2000.

Siegel F.Yu. Yıldız alfabesi: Öğrenciler için bir el kitabı. - M.: Eğitim, 1981. - 191 s., illus.

Steve Parker, Nicholas Harris. Çocuklar için resimli ansiklopedi. Evrenin sırları. Harkov Belgorod. 2008

http://istina.rin.ru/ sitesinden malzemeler

Yüzeyde. Biri x, diğeri y olsun. Ve bu çizgilerin karşılıklı olarak dik olmasına (yani dik açılarda kesişmesine) izin verin. Üstelik kesişme noktaları her iki çizginin koordinatlarının orijini olacak ve birim segment aynı olacaktır (Şekil 1).

Yani elimizde dikdörtgen koordinat sistemi ve düzlemimiz bir koordinat düzlemi haline geldi. X ve y doğrularına koordinat eksenleri denir. Ayrıca, x ekseni apsis ekseni, y ekseni ise ordinat eksenidir. Böyle bir düzlem genellikle eksenlerin adı ve referans noktası - xOy ile belirtilir. Dikdörtgen koordinat sistemine aynı zamanda denir Kartezyen koordinat sistemi Fransız matematikçi ve filozof Rene Descartes onu ilk kez aktif olarak kullanmaya başladığından beri.

Doğru açılar doğruların oluşturduğu x ve y'ye denir koordinat açıları. Şekil 2'de gösterildiği gibi her köşenin kendi numarası vardır. 2.

Koordinat doğrusundan bahsettiğimizde bu doğru üzerindeki her noktanın bir koordinatı vardı. Şimdi Hakkında konuşuyoruz Koordinat düzlemi hakkında, o zaman bu düzlemin her noktasının zaten iki koordinatı olacaktır. Biri düz çizgi x'e karşılık gelir (bu koordinata denir) apsis), diğeri y düz çizgisine karşılık gelir (bu koordinata denir) koordine etmek). Şu şekilde yazılır: M(x;y), burada x apsis ve y ordinattır. Şu şekilde okuyun: “X, y koordinatlarına sahip M noktası.”

Düzlemdeki bir noktanın koordinatları nasıl belirlenir?
Artık düzlemdeki her noktanın iki koordinatı olduğunu biliyoruz. Koordinatlarını bulmak için bu noktadan koordinat eksenlerine dik iki düz çizgi çizmemiz yeterli. Bu doğruların koordinat eksenleriyle kesiştiği noktalar gerekli koordinatlar olacaktır. Yani, örneğin, Şekil 2'de. 3'te M noktasının koordinatlarının 5 ve 3 olduğunu belirledik.

Koordinatlarını kullanarak düzlemde bir nokta nasıl oluşturulur?
Aynı zamanda düzlemdeki bir noktanın koordinatlarını zaten biliyoruz. Ve yerini bulmamız gerekiyor. Diyelim ki noktanın koordinatları (-2;5). Yani apsis -2'ye, ordinat ise 5'e eşittir. X doğrusu üzerinde (absis ekseni) koordinatı -2 olan bir nokta alın ve bunun içinden y eksenine paralel bir a düz çizgisi çizin. Bu doğru üzerindeki herhangi bir noktanın apsisinin -2'ye eşit olacağını unutmayın. Şimdi y doğrusu (koordinat ekseni) üzerinde koordinatı 5 olan bir nokta bulalım ve onun üzerinden x eksenine paralel bir b düz çizgisi çizelim. Bu çizgi üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatının 5'e eşit olacağını unutmayın. a ve b çizgilerinin kesişiminde koordinatları (-2;5) olan bir nokta olacaktır. Bunu P harfiyle gösterelim (Şekil 4).

Tüm noktaları apsis -2 olan a düz çizgisinin denklemle verildiğini de ekleyelim.
x = -2 veya x = -2 a doğrusunun denklemidir. Kolaylık olması açısından “x = -2 denklemiyle verilen düz çizgi” değil, basitçe “x = -2 düz çizgisi” diyebiliriz. Aslında a doğrusu üzerindeki herhangi bir nokta için x = -2 eşitliği doğrudur. Ve tüm noktalarının ordinatı 5 olan b doğrusu da y = 5 denklemiyle verilir veya y = 5, b doğrusunun denklemidir.

Bir düzlem üzerinde birbirine dik iki sayısal eksen oluşturursak: ÖKÜZ Ve OY, sonra çağrılacaklar koordinat eksenleri. Yatay eksen ÖKÜZ isminde x ekseni(eksen X), dikey eksen OY - y ekseni(eksen sen).

Nokta Ö Eksenlerin kesişiminde duran yere denir Menşei. Her iki eksen için de sıfır noktasıdır. Pozitif sayılar apsis ekseninde sağa doğru noktalarla ve ordinat ekseninde yukarıdan noktalarla gösterilir. sıfır noktası. Negatif sayılar koordinatların orijininden sola ve aşağıya doğru noktalarla gösterilir (noktalar Ö). Koordinat eksenlerinin bulunduğu düzleme denir koordinat uçağı.

Koordinat eksenleri düzlemi dört parçaya böler. çeyreklerde veya çeyrekler. Bu çeyrekleri çizimde numaralandırıldıkları sıraya göre Romen rakamlarıyla numaralandırmak gelenekseldir.

Düzlemdeki bir noktanın koordinatları

Koordinat düzleminde rastgele bir nokta alırsak A ve ondan koordinat eksenlerine dikler çizin, sonra diklerin tabanları iki sayıya düşecektir. Dikey dik noktaların çağrıldığı sayı apsis noktası A. Yatay dik noktaların olduğu sayı - bir noktanın koordinatı A.

Çizimde noktanın apsisi A 3'e eşittir ve ordinat 5'tir.

Apsis ve ordinat, düzlemdeki belirli bir noktanın koordinatları olarak adlandırılır.

Bir noktanın koordinatları, nokta tanımlamasının sağında parantez içinde yazılır. Önce apsis, ardından ordinat yazılır. Öyleyse kaydet A(3; 5) noktanın apsisi anlamına gelir Aüçe eşittir ve ordinat beştir.

Bir noktanın koordinatları, onun düzlemdeki konumunu belirleyen sayılardır.

Bir nokta x ekseni üzerinde yer alıyorsa ordinatı sıfırdır (örneğin bir nokta) B-2 ve 0 koordinatlarıyla). Bir nokta ordinat ekseninde yer alıyorsa, apsisi sıfıra eşittir (örneğin, bir nokta) C 0 ve -4 koordinatlarıyla).

Kökeni - nokta Ö- hem apsis hem de koordinat sıfıra eşit: Ö (0; 0).

Bu koordinat sistemine denir dikdörtgen veya Kartezyen.

§ 1 Koordinat sistemi: tanımı ve yapım yöntemi

Bu derste “koordinat sistemi”, “koordinat düzlemi”, “koordinat eksenleri” kavramlarını tanıyacağız ve koordinatları kullanarak bir düzlem üzerinde noktaların nasıl oluşturulacağını öğreneceğiz.

Başlangıç ​​noktası O olan, pozitif yönlü ve birim parçalı bir x koordinat doğrusunu alalım.

Koordinatların orijininden, x koordinat çizgisinin O noktası boyunca, x'e dik başka bir y koordinat çizgisi çiziyoruz, pozitif yönü yukarı doğru ayarlıyoruz, birim segment aynı. Böylece bir koordinat sistemi oluşturduk.

Bir tanım verelim:

Her birinin koordinatlarının orijini olan bir noktada kesişen karşılıklı iki dik koordinat çizgisi bir koordinat sistemi oluşturur.

§ 2 Koordinat ekseni ve koordinat düzlemi

Bir koordinat sistemi oluşturan düz çizgilere koordinat eksenleri denir ve bunların her birinin kendi adı vardır: x koordinat çizgisi apsis eksenidir, y koordinat çizgisi ordinat eksenidir.

Koordinat sisteminin seçildiği düzleme koordinat düzlemi denir.

Açıklanan koordinat sistemine dikdörtgen denir. Fransız filozof ve matematikçi René Descartes'ın onuruna genellikle Kartezyen koordinat sistemi denir.

Koordinat düzlemindeki her noktanın iki koordinatı vardır ve bunlar, koordinat eksenindeki noktadan dikler bırakılarak belirlenebilir. Düzlemdeki bir noktanın koordinatları, ilk sayı apsis, ikinci sayı ordinat olan bir çift sayıdır. Apsis x eksenine dik, ordinat ise y eksenine diktir.

Koordinat düzleminde A noktasını işaretleyelim ve buradan koordinat sisteminin eksenlerine dikler çizelim.

Apsis eksenine (x ekseni) dik boyunca, A noktasının apsisini belirleriz, 4'e eşittir, A noktasının ordinatı - ordinat eksenine dik (y ekseni) boyunca 3'tür. Koordinatlar noktamızın 4 ve 3'ü var. A (4;3). Böylece koordinat düzlemindeki herhangi bir noktanın koordinatları bulunabilir.

§ 3 Düzlemde bir noktanın inşası

Belirli koordinatlarla bir düzlem üzerinde bir nokta nasıl oluşturulur? Düzlemdeki bir noktanın koordinatlarını kullanarak konumunu belirleyin? İÇİNDE bu durumda eylemler şu şekilde gerçekleştirilir: Ters sipariş. Açık koordinat eksenleri karşılık gelen noktaları bulun verilen koordinatlar x ve y eksenlerine dik düz çizgiler çizdiğimiz. Dikeylerin kesişme noktası istenen nokta olacaktır, yani. koordinatları verilen bir nokta.

Görevi tamamlayalım: Koordinat düzleminde M (2;-3) noktasını oluşturun.

Bunu yapmak için x ekseninde koordinatı 2 olan bir nokta bulun ve bu noktadan x eksenine dik bir düz çizgi çizin. Ordinat ekseninde koordinatı -3 olan bir nokta buluyoruz, onun üzerinden y eksenine dik düz bir çizgi çiziyoruz. Dik doğruların kesişme noktası verilen M noktası olacaktır.

Şimdi birkaç özel duruma bakalım.

Koordinat düzleminde A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4) noktalarını işaretleyelim.

Bu noktaların apsisleri 0'a eşittir. Şekil, tüm noktaların ordinat ekseninde olduğunu göstermektedir.

Sonuç olarak apsisleri sıfıra eşit olan noktalar ordinat ekseninde yer alır.

Bu noktaların koordinatlarını değiştirelim.

Sonuç A (2;0), B (-3;0) C (4; 0) olacaktır. Bu durumda tüm koordinatlar 0'a eşittir ve noktalar x ekseni üzerindedir.

Bu, koordinatları sıfıra eşit olan noktaların apsis ekseninde olduğu anlamına gelir.

İki vakaya daha bakalım.

Koordinat düzleminde M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4) noktalarını işaretleyin.

Noktaların tüm apsislerinin aynı olduğunu fark etmek kolaydır. Bu noktalar birleştirilirse, ordinat eksenine paralel ve apsis eksenine dik bir düz çizgi elde edersiniz.

Sonuç kendini gösteriyor: Aynı apsise sahip noktalar, ordinat eksenine paralel ve apsis eksenine dik olan aynı düz çizgi üzerinde yer alır.

M, N, P noktalarının koordinatlarını değiştirirseniz, M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3) elde edersiniz. Noktaların koordinatları aynı olacaktır. Bu durumda bu noktaları birleştirirseniz apsis eksenine paralel ve ordinat eksenine dik bir düz çizgi elde edersiniz.

Böylece, aynı ordinatlara sahip noktalar, apsis eksenine paralel ve ordinat eksenine dik olan aynı düz çizgi üzerinde yer alır.

Bu derste “koordinat sistemi”, “koordinat düzlemi”, “koordinat eksenleri - apsis ekseni ve koordinat ekseni” kavramlarıyla tanıştınız. Koordinat düzleminde bir noktanın koordinatlarını nasıl bulacağımızı ve koordinatlarını kullanarak düzlemde noktalar oluşturmayı öğrendik.

Kullanılan literatürün listesi:

1. Matematik. 6. Sınıf: I.I.’nin ders kitabı için ders planları. Zubareva, A.G. Mordkovich // yazar-derleyici L.A. Topilina. – Mnemosyne, 2009.
2. Matematik. 6. sınıf: öğrenciler için ders kitabı Eğitim Kurumları. I.I.Zubareva, A.G. Mordkovich - M .: Mnemosyna, 2013.
3. Matematik. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov ve diğerleri/düzenleyen: G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Rusya Bilimler Akademisi, Rusya Eğitim Akademisi. - M.: “Aydınlanma”, 2010
4. Matematik el kitabı - http://lyudmilanik.com.ua
5. Öğrenci Kılavuzu lise http://shkolo.ru

Matematik oldukça karmaşık bir bilimdir. Çalışırken sadece örnekleri ve problemleri çözmekle kalmamalı, aynı zamanda çeşitli şekiller ve hatta düzlemlerle de çalışmalısınız. Matematikte en çok kullanılanlardan biri düzlemdeki koordinat sistemidir. Uygun çalışmaÇocuklar bir yıldan fazla bir süredir onunla eğitim görüyor. Bu nedenle ne olduğunu ve onunla nasıl doğru şekilde çalışılacağını bilmek önemlidir.

Bu sistemin ne olduğunu, onun yardımıyla hangi eylemlerin gerçekleştirilebileceğini bulalım, ayrıca temel özelliklerini ve özelliklerini de öğrenelim.

Kavramın tanımı

Koordinat düzlemi, üzerinde belirli bir koordinat sisteminin belirtildiği bir düzlemdir. Böyle bir düzlem, dik açılarla kesişen iki düz çizgiyle tanımlanır. Bu çizgilerin kesiştiği noktada koordinatların orijini bulunur. Koordinat düzlemindeki her nokta, koordinat adı verilen bir sayı çiftiyle belirtilir.

İÇİNDE okul kursu Matematikte, okul çocukları koordinat sistemiyle oldukça yakın çalışmalıdır - üzerinde şekiller ve noktalar oluşturmalı, bu veya bu koordinatın hangi düzleme ait olduğunu belirlemenin yanı sıra bir noktanın koordinatlarını belirleyip bunları yazmalı veya adlandırmalıdır. Bu nedenle koordinatların tüm özellikleri hakkında daha detaylı konuşalım. Ama önce yaratılış tarihine değinelim, ardından koordinat düzleminde nasıl çalışılacağından bahsedelim.

Tarihsel referans

Koordinat sistemi oluşturmaya ilişkin fikirler Ptolemy zamanında da vardı. O zamanlar bile gökbilimciler ve matematikçiler bir düzlemdeki bir noktanın konumunu ayarlamayı nasıl öğreneceklerini düşünüyorlardı. Ne yazık ki o zamanlar bildiğimiz bir koordinat sistemi yoktu ve bilim insanları başka sistemler kullanmak zorunda kaldı.

Başlangıçta noktaları enlem ve boylamı kullanarak belirlediler. Uzun zamandır bu, şu veya bu bilgiyi bir haritaya çizmenin en çok kullanılan yöntemlerinden biriydi. Ancak 1637'de Rene Descartes, daha sonra "Kartezyen" adını alacak olan kendi koordinat sistemini yarattı.

Zaten XVII sonu V. “Koordinat düzlemi” kavramı matematik dünyasında yaygın olarak kullanılmaya başlanmıştır. Bu sistemin yaratılmasının üzerinden birkaç yüzyıl geçmesine rağmen hala matematikte ve hatta yaşamda yaygın olarak kullanılmaktadır.

Koordinat düzlemi örnekleri

Teoriden bahsetmeden önce, hayal edebilmeniz için koordinat düzleminin bazı görsel örneklerini vereceğiz. Koordinat sistemi öncelikle satrançta kullanılır. Tahtada her karenin kendi koordinatları vardır - bir koordinat alfabetik, ikincisi dijitaldir. Onun yardımıyla tahtadaki belirli bir parçanın konumunu belirleyebilirsiniz.

İkinci en çarpıcı örnek ise sevilen oyun “Battleship”. Oynarken bir koordinata nasıl isim verdiğinizi, örneğin B3'ü, böylece tam olarak nereye nişan aldığınızı belirttiğinizi unutmayın. Aynı zamanda gemileri yerleştirirken koordinat düzlemindeki noktaları da belirtirsiniz.

Bu koordinat sistemi sadece matematik ve mantık oyunlarında değil aynı zamanda askeri işler, astronomi, fizik ve diğer birçok bilim dalında da yaygın olarak kullanılmaktadır.

Koordinat eksenleri

Daha önce de belirtildiği gibi koordinat sisteminde iki eksen vardır. Oldukça önemli oldukları için biraz onlardan bahsedelim.

İlk eksen apsistir - yatay. Şu şekilde gösterilir ( Öküz). İkinci eksen, referans noktasından dikey olarak geçen ve () ile gösterilen ordinattır. oy). Düzlemi dört çeyreğe bölen koordinat sistemini oluşturan bu iki eksendir. Orijin bu iki eksenin kesişim noktasında bulunur ve değerini alır. 0 . Düzlem yalnızca dik olarak kesişen ve bir referans noktasına sahip iki eksenden oluşuyorsa, bu bir koordinat düzlemidir.

Ayrıca eksenlerin her birinin kendi yönüne sahip olduğunu unutmayın. Genellikle bir koordinat sistemi oluştururken eksenin yönünü ok şeklinde belirtmek gelenekseldir. Ayrıca bir koordinat düzlemi oluştururken eksenlerin her biri imzalanır.

Çeyrekler

Şimdi koordinat düzleminin çeyreği gibi bir kavram hakkında birkaç söz söyleyelim. Düzlem iki eksenle dörde bölünmüştür. Her birinin kendi numarası vardır ve uçaklar saat yönünün tersine numaralandırılmıştır.

Her mahallenin kendine has özellikleri var. Yani, ilk çeyrekte apsis ve koordinat pozitif, ikinci çeyrekte apsis negatif, koordinat pozitif, üçüncüde hem apsis hem de ordinat negatif, dördüncüde apsis pozitif ve koordinat negatiftir. .

Bu özellikleri hatırlayarak bir noktanın hangi çeyreğe ait olduğunu kolaylıkla tespit edebilirsiniz. Ayrıca Kartezyen sistemi kullanarak hesaplama yapmanız gerekiyorsa bu bilgiler işinize yarayabilir.

Koordinat düzlemiyle çalışma

Uçak kavramını anlayıp, onun çeyreklerinden bahsettiğimizde, bu sistemle çalışma gibi bir probleme geçebilir, ayrıca üzerine noktaların ve şekillerin koordinatlarının nasıl koyulacağından da bahsedebiliriz. Koordinat düzleminde bunu yapmak ilk bakışta göründüğü kadar zor değil.

Her şeyden önce sistemin kendisi inşa edilir, tüm önemli tanımlamalar ona uygulanır. Daha sonra doğrudan noktalar veya şekillerle çalışıyoruz. Üstelik figürleri oluştururken bile düzlemde önce noktalar çizilir, sonra şekiller çizilir.

Bir uçak inşa etmek için kurallar

Şekilleri ve noktaları kağıt üzerinde işaretlemeye karar verirseniz bir koordinat düzlemine ihtiyacınız olacaktır. Noktaların koordinatları üzerine çizilir. Bir koordinat düzlemi oluşturmak için yalnızca bir cetvele ve bir kaleme veya kurşun kaleme ihtiyacınız vardır. Önce yatay x ekseni çizilir, ardından dikey eksen çizilir. Eksenlerin dik açılarda kesiştiğini unutmamak önemlidir.

Sonraki zorunlu öğe işaret ediyor. Her iki yöndeki eksenlerin her birinde birim bölümler işaretlenir ve etiketlenir. Bu, uçakla maksimum rahatlıkla çalışabilmeniz için yapılır.

Bir noktayı işaretleyin

Şimdi koordinat düzlemindeki noktaların koordinatlarının nasıl çizileceğini konuşalım. Bu, çeşitli şekilleri bir düzleme başarılı bir şekilde yerleştirmek ve hatta denklemleri işaretlemek için bilmeniz gereken temel bilgilerdir.

Noktaları oluştururken koordinatlarının nasıl doğru yazıldığını hatırlamanız gerekir. Bu nedenle, genellikle bir noktayı belirtirken parantez içinde iki sayı yazılır. İlk rakam, apsis ekseni boyunca noktanın koordinatını, ikincisi ise ordinat ekseni boyunca koordinatını gösterir.

Nokta bu şekilde inşa edilmelidir. Eksen üzerindeki ilk işaret Öküz belirtilen noktayı seçin, ardından noktayı eksen üzerinde işaretleyin oy. Daha sonra bu işaretlerden hayali çizgiler çizin ve kesiştikleri yeri bulun - bu verilen nokta olacaktır.

Tek yapmanız gereken işaretlemek ve imzalamak. Gördüğünüz gibi her şey oldukça basit ve herhangi bir özel beceri gerektirmiyor.

Şekli yerleştirin

Şimdi koordinat düzleminde rakamların oluşturulması konusuna geçelim. Koordinat düzleminde herhangi bir şekil oluşturmak için üzerine noktaları nasıl yerleştireceğinizi bilmelisiniz. Bunu nasıl yapacağınızı biliyorsanız, figürü uçağa yerleştirmek o kadar da zor değildir.

Öncelikle şeklin noktalarının koordinatlarına ihtiyacınız olacak. Onlara göre sizin seçtiklerinizi koordinat sistemimize uygulayacağız. Dikdörtgen, üçgen ve daire uygulamasını ele alalım.

Bir dikdörtgenle başlayalım. Uygulaması oldukça kolaydır. Öncelikle düzlem üzerinde dikdörtgenin köşelerini gösteren dört nokta işaretlenir. Daha sonra tüm noktalar sırayla birbirine bağlanır.

Üçgen çizmek de farklı değil. Tek şey, üç açısının olması, bu da düzlemde köşelerini gösteren üç noktanın işaretlendiği anlamına gelir.

Çemberle ilgili olarak iki noktanın koordinatlarını bilmeniz gerekir. İlk nokta dairenin merkezi, ikincisi ise yarıçapını gösteren noktadır. Bu iki nokta düzlem üzerinde işaretlenmiştir. Daha sonra bir pusula alın ve iki nokta arasındaki mesafeyi ölçün. Pusulanın ucu merkezi işaretleyen noktaya yerleştirilir ve bir daire çizilir.

Gördüğünüz gibi burada da karmaşık bir şey yok, asıl mesele her zaman elinizin altında bir cetvel ve pusulanın olması.

Artık şekillerin koordinatlarını nasıl çizeceğinizi biliyorsunuz. Bunu koordinat düzleminde yapmak ilk bakışta göründüğü kadar zor değil.

sonuçlar

Böylece, her okul çocuğunun uğraşması gereken matematikle ilgili en ilginç ve temel kavramlardan birine baktık.

Koordinat düzleminin iki eksenin kesişiminden oluşan bir düzlem olduğunu öğrendik. Onun yardımıyla noktaların koordinatlarını ayarlayabilir ve üzerine şekiller çizebilirsiniz. Uçak, her biri kendine has özelliklere sahip olan dörde bölünmüştür.

Koordinat düzlemiyle çalışırken geliştirilmesi gereken temel beceri, üzerinde verilen noktaları doğru şekilde çizme yeteneğidir. Bunu yapmak için bilmeniz gerekir doğru konum eksenler, çeyreklerin özellikleri ve noktaların koordinatlarının belirlendiği kurallar.

Sunduğumuz bilgilerin erişilebilir ve anlaşılır olduğunu, sizin için de yararlı olduğunu ve bu konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olduğunu umuyoruz.