Bir x sayısının n'inci kökü, negatif olmayan bir z sayısıdır ve n'inci kuvvetine yükseltildiğinde x olur. Kökün belirlenmesi, çocukluk çağında aşina olduğumuz temel aritmetik işlemler arasında yer almaktadır.

Matematiksel gösterim

"Kök" Latince radix kelimesinden gelir ve günümüzde "radikal" kelimesi bu matematiksel terimin eşanlamlısı olarak kullanılmaktadır. 13. yüzyıldan bu yana matematikçiler kök işlemini r harfiyle, kök ifadesinin üzerine yatay bir çubukla gösterdiler. 16. yüzyılda, yavaş yavaş r işaretinin yerini alan V tanımı tanıtıldı, ancak yatay çizgi kaldı. Matbaada daktiloyla yazmak ya da elle yazmak kolaydır ama elektronik yayınlar ve programlama yayıldı harf tanımı kök - sqrt. Bu yazıda karekökleri bu şekilde göstereceğiz.

Karekök

Bir x sayısının kare radikali, kendisiyle çarpıldığında x olan bir z sayısıdır. Örneğin 2'yi 2 ile çarparsak 4 elde ederiz. Bu durumda iki, dördün kareköküdür. 5'i 5 ile çarparsak 25 elde ederiz ve artık sqrt(25) ifadesinin değerini zaten biliyoruz. -12'yi -12 ile çarparak 144 elde edebiliriz ve 144'ün radikali hem 12 hem de -12 olur. Açıkçası, karekökler hem pozitif hem de negatif sayılar olabilir.

Bu tür köklerin kendine özgü ikiliği, çözüm için önemlidir. ikinci dereceden denklemler dolayısıyla bu tür problemlerde cevap ararken her iki kökü de belirtmek gerekir. Karar verirken cebirsel ifadeler Aritmetik karekökler, yani yalnızca pozitif değerleri kullanılır.

Karekökleri tam sayı olan sayılara tam kareler denir. Başlangıcı şuna benzeyen bir dizi sayı var:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Diğer sayıların karekökleri irrasyonel sayılardır. Örneğin, sqrt(3) = 1,73205080757... vb. Bu sayının sonsuz olması ve periyodik olmaması bu tür radikallerin hesaplanmasında bazı zorluklara neden olur.

Okul matematik dersi, negatif sayıların karekökünü alamayacağınızı belirtir. Bir üniversite dersinde matematiksel analiz üzerine öğrendiğimiz gibi, bu yapılabilir ve yapılmalıdır; karmaşık sayılara bu nedenle ihtiyaç duyulur. Ancak programımız, gerçek değerler kökler olduğundan negatif sayılardan çift dereceli radikalleri hesaplamaz.

Küp kökü

Bir x sayısının kübik radikali, kendisiyle üç kez çarpıldığında x sayısını veren bir z sayısıdır. Örneğin 2 × 2 × 2'yi çarparsak 8 elde ederiz. Dolayısıyla iki, sekizin küp köküdür. Dördü kendisiyle üç kez çarpın ve 4 × 4 × 4 = 64 elde edin. Açıkçası, dört, 64 sayısının küp köküdür. Kübik kökleri tam sayı olan sonsuz bir sayı dizisi vardır. Başlangıcı şuna benziyor:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Diğer sayılar için küp kökleri irrasyonel sayılardır. Kare köklerin aksine, küp kökler, herhangi bir tek kök gibi, negatif sayılardan türetilebilir. Her şey sayıların çarpımı ile ilgili sıfırdan az. Eksi eksiye artı verir - okuldan bilinen bir kural. Ve artıya karşı eksi, eksi verir. Negatif sayıları tek sayıda çarparsanız sonuç da negatif olacaktır, bu nedenle tek radikali çıkarın. negatif sayı hiçbir şey bizi rahatsız etmiyor.

Ancak hesap makinesi programı farklı çalışır. Esasen, bir kökü çıkarmak onu ters kuvvete yükseltmektir. Karekökün 1/2 gücüne yükseltildiği kabul edilir ve kübik kökün 1/3 gücüne yükseltildiği kabul edilir. 1/3'ün gücüne yükseltme formülü yeniden düzenlenip 2/6 olarak ifade edilebilir. Sonuç aynıdır ancak negatif bir sayıdan böyle bir kök çıkaramazsınız. Bu nedenle hesap makinemiz aritmetik kökleri yalnızca pozitif sayılardan hesaplar.

n'inci kök

Radikalleri hesaplamanın bu kadar süslü bir yöntemi, herhangi bir ifadeden herhangi bir derecedeki kökleri belirlemenize olanak tanır. Bir sayının küpünün beşinci kökünü veya bir sayının 19'uncu radikalini 12'nci kuvvetine alabilirsiniz. Bütün bunlar sırasıyla 3/5 veya 12/19'un gücüne yükseltilerek zarif bir şekilde uygulanır.

Bir örneğe bakalım

Bir karenin köşegeni

Bir karenin köşegeninin mantıksızlığı eski Yunanlılar tarafından biliniyordu. Uzunluğu her zaman ikinin köküyle orantılı olduğundan, düz bir karenin köşegenini hesaplama problemiyle karşı karşıya kaldılar. Köşegenin uzunluğunu belirleme formülü türetilir ve sonuçta şu formu alır:

d = a × sqrt(2).

Hesap makinemizi kullanarak ikinin karekökünü belirleyelim. “Sayı(x)” hücresine 2, “Derece(n)” hücresine de 2 değerini girelim. Sonuç olarak sqrt(2) = 1,4142 ifadesini elde ederiz. Dolayısıyla bir karenin köşegenini kabaca tahmin etmek için kenarını 1,4142 ile çarpmak yeterlidir.

Çözüm

Bir radikalin bulunması, bilimsel veya tasarımsal hesaplamaların vazgeçilmez olduğu standart bir aritmetik işlemdir. Elbette günlük problemleri çözmek için kökleri belirlememize gerek yok, ancak çevrimiçi hesap makinemiz okul çocukları veya öğrencilerin cebir veya matematik ödevlerini kontrol etmeleri için kesinlikle yararlı olacaktır.

Bunu çözmenin zamanı geldi kök çıkarma yöntemleri. Köklerin özelliklerine, özellikle de negatif olmayan herhangi bir b sayısı için geçerli olan eşitliğe dayanırlar.

Aşağıda kökleri tek tek çıkarmanın ana yöntemlerine bakacağız.

En basit durumla başlayalım; kareler tablosu, küpler tablosu vb. kullanarak doğal sayılardan kök çıkarmak.

Eğer kareler, küpler vb. tablolar Elinizde yoksa, radikal sayıyı asal çarpanlara ayırmayı içeren kökü çıkarma yöntemini kullanmak mantıklıdır.

Tek üslü kökler için nelerin mümkün olduğunu özellikle belirtmekte yarar var.

Son olarak kök değerin rakamlarını sıralı olarak bulmamızı sağlayan bir yöntem düşünelim.

Hadi başlayalım.

Karelerden oluşan bir tablo, küplerden oluşan bir tablo vb. kullanmak.

En basit durumlarda kareler, küpler vb. tabloları kökleri çıkarmanıza olanak tanır. Bu tablolar nelerdir?

0'dan 99'a kadar (aşağıda gösterilmektedir) tam sayıların kareleri tablosu iki bölgeden oluşur. Tablonun ilk bölgesi gri bir arka plan üzerinde bulunur; belirli bir satırı ve belirli bir sütunu seçerek 0'dan 99'a kadar bir sayı oluşturmanıza olanak tanır. Örneğin 8 onluk bir satır ve 3 birimlik bir sütun seçelim, bununla 83 sayısını sabitledik. İkinci bölge tablonun geri kalanını kaplar. Her hücre, belirli bir satır ile belirli bir sütunun kesişiminde bulunur ve 0'dan 99'a kadar karşılık gelen sayının karesini içerir. Seçtiğimiz 8 onluk sıra ile 3. sütunun kesişiminde 83 sayısının karesi olan 6,889 numaralı hücre bulunmaktadır.

Küp tabloları, 0'dan 99'a kadar sayıların dördüncü kuvvetleri tabloları vb. kareler tablosuna benzer, yalnızca ikinci bölgede küpler, dördüncü güçler vb. içerirler. karşılık gelen sayılar.

Kareler, küpler, dördüncü kuvvetler vb. tabloları. karekökleri, küpkökleri, dördüncü kökleri vb. çıkarmanızı sağlar. buna göre bu tablolardaki sayılardan. Kök çıkarırken kullanım prensibini açıklayalım.

Diyelim ki a sayısı n'inci kuvvetler tablosunda yer alırken, a sayısının n'inci kökünü çıkarmamız gerekiyor. Bu tabloyu kullanarak a=b n olacak şekilde b sayısını buluruz. Daha sonra dolayısıyla b sayısı n'inci derecenin istenen kökü olacaktır.

Örnek olarak, 19.683'ün küp kökünü çıkarmak için küp tablosunun nasıl kullanılacağını gösterelim. Küpler tablosunda 19.683 sayısını buluyoruz, ondan bu sayının 27 sayısının küpü olduğunu buluyoruz, dolayısıyla, .

N'inci kuvvet tablolarının kökleri çıkarmak için çok uygun olduğu açıktır. Ancak çoğu zaman el altında olmazlar ve bunları derlemek biraz zaman alır. Ayrıca, karşılık gelen tablolarda yer almayan sayıların köklerini çıkarmak çoğu zaman gereklidir. Bu durumlarda diğer kök çıkarma yöntemlerine başvurmanız gerekir.

Radikal bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma

Bir doğal sayının kökünü çıkarmanın oldukça uygun bir yolu (tabii ki kök çıkarılırsa), radikal sayıyı asal çarpanlara ayırmaktır. Onun mesele şu ki: bundan sonra bunu istenen üsle bir kuvvet olarak temsil etmek oldukça kolaydır, bu da kökün değerini elde etmenizi sağlar. Bu noktaya açıklık getirelim.

Bir a doğal sayısının n'inci kökü alınsın ve değeri b'ye eşit olsun. Bu durumda a=bn eşitliği doğrudur. b sayısı, herhangi bir doğal sayı gibi, tüm asal çarpanlarının p 1 , p 2 , …, p m çarpımı olarak p 1 · p 2 ·…·p m biçiminde temsil edilebilir ve bu durumda a radikal sayısı (p 1 ·p 2 ·…·p m) n olarak temsil edilir. Bir sayının asal çarpanlara ayrıştırılması benzersiz olduğundan, a radikal sayısının asal çarpanlara ayrıştırılması (p 1 ·p 2 ·…·p m) n biçiminde olacaktır, bu da kök değerinin hesaplanmasını mümkün kılar gibi .

Bir a radikal sayısının asal çarpanlarına ayrıştırılması (p 1 ·p 2 ·…·p m) n biçiminde temsil edilemiyorsa, bu durumda böyle bir a sayısının n'inci kökü tamamen çıkarılmaz.

Örnekleri çözerken bunu çözelim.

Örnek.

144'ün karekökünü alın.

Çözüm.

Önceki paragrafta verilen kareler tablosuna bakarsanız 144 = 12 2 olduğunu açıkça görebilirsiniz, buradan 144'ün karekökünün 12 olduğu açıktır.

Ancak bu noktanın ışığında 144 radikal sayısını asal çarpanlara ayrıştırarak kökün nasıl çıkarılacağıyla ilgileniyoruz. Bu çözüme bakalım.

Haydi ayrıştıralım 144'ün asal çarpanları:

Yani 144=2·2·2·2·3·3. Ortaya çıkan ayrıştırmaya dayanarak aşağıdaki dönüşümler gerçekleştirilebilir: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Buradan, .

Derecenin özellikleri ve köklerin özellikleri kullanılarak çözüm biraz farklı şekilde formüle edilebilir: .

Cevap:

Materyali pekiştirmek için iki örneğin daha çözümlerini düşünün.

Örnek.

Kökün değerini hesaplayın.

Çözüm.

243 radikal sayısının asal çarpanlarına ayrılması 243=3 5 şeklindedir. Böylece, .

Cevap:

Örnek.

Kök değeri bir tamsayı mı?

Çözüm.

Bu soruyu cevaplamak için radikal sayıyı asal çarpanlara ayıralım ve bir tam sayının küpü olarak temsil edilip edilemeyeceğini görelim.

Elimizde 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 var. Ortaya çıkan genişleme bir tam sayının küpü olarak temsil edilmez, çünkü derece asal faktör 7 üçün katı değildir. Bu nedenle 285,768'in küp kökü tamamen çıkarılamıyor.

Cevap:

HAYIR.

Kesirli sayılardan köklerin çıkarılması

Kökün nasıl çıkarılacağını bulmanın zamanı geldi kesirli sayı. Kesirli radikal sayı p/q şeklinde yazılsın. Bir bölümün kökünün özelliğine göre aşağıdaki eşitlik doğrudur. Bu eşitlikten şu sonuç çıkıyor bir kesrin kökünü çıkarma kuralı: Bir kesrin kökü, payın kökünün bölümünün paydanın köküne bölünmesine eşittir.

Bir kesirden kök çıkarma örneğine bakalım.

Örnek.

Karekökü nedir ortak kesir 25/169 .

Çözüm.

Kareler tablosunu kullanarak orijinal kesrin payının karekökünün 5'e ve paydanın karekökünün 13'e eşit olduğunu buluyoruz. Daha sonra . Bu, 25/169 ortak fraksiyonunun kökünün çıkarılmasını tamamlar.

Cevap:

Ondalık kesirin veya karışık sayının kökü, radikal sayıların sıradan kesirlerle değiştirilmesinden sonra çıkarılır.

Örnek.

474.552 ondalık kesirinin küp kökünü alın.

Çözüm.

Orijinalini hayal edelim ondalık ortak kesir olarak: 474,552=474552/1000. Daha sonra . Ortaya çıkan fraksiyonun pay ve paydasındaki küp köklerini çıkarmak için kalır. Çünkü 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 ve 1 000 = 10 3, o zaman Ve . Geriye kalan tek şey hesaplamaları tamamlamak .

Cevap:

.

Negatif bir sayının kökünü almak

Negatif sayılardan kök çıkarma üzerinde durmakta fayda var. Kökleri incelerken, kök üssü tek sayı olduğunda kök işaretinin altında negatif bir sayı olabileceğini söylemiştik. Bu girdilere şu anlamı verdik: negatif bir −a sayısı ve 2 n−1 kökünün tek üssü için, . Bu eşitlik şunu verir Negatif sayılardan tek kökleri çıkarma kuralı: Negatif bir sayının kökünü çıkarmak için, karşıt pozitif sayının kökünü almanız ve sonucun önüne eksi işareti koymanız gerekir.

Örnek çözüme bakalım.

Örnek.

Kökün değerini bulun.

Çözüm.

Orijinal ifadeyi kök işaretinin altında görünecek şekilde dönüştürelim pozitif sayı: . Şimdi karışık sayı sıradan bir kesirle değiştirin: . Sıradan bir kesrin kökünü çıkarmak için kuralı uyguluyoruz: . Ortaya çıkan fraksiyonun pay ve paydasındaki kökleri hesaplamak kalır: .

İşte çözümün kısa bir özeti: .

Cevap:

.

Kök değerinin bit bazında belirlenmesi

İÇİNDE genel durum kökün altında, yukarıda tartışılan teknikler kullanılarak herhangi bir sayının n'inci kuvveti olarak temsil edilemeyen bir sayı vardır. Ancak bu durumda, belirli bir kökün anlamını en azından belirli bir işarete kadar bilmeye ihtiyaç vardır. Bu durumda kökü çıkarmak için sürekli olarak elde etmenizi sağlayan bir algoritma kullanabilirsiniz. yeterli miktar gerekli sayının rakamlarının değerleri.

Bu algoritmanın ilk adımı kök değerinin en anlamlı bitinin ne olduğunu bulmaktır. Bunu yapmak için, 0, 10, 100, ... sayıları, radikal sayıyı aşan bir sayı elde edilene kadar sırayla n kuvvetine yükseltilir. Daha sonra önceki aşamada n üssüne çıkardığımız sayı, karşılık gelen en anlamlı rakamı gösterecektir.

Örneğin, çıkarım yaparken algoritmanın bu adımını göz önünde bulundurun karekök beş üzerinden. 0, 10, 100, ... sayılarını alın ve 5'ten büyük bir sayı elde edene kadar bunların karesini alın. 0 2 =0 var<5 , 10 2 =100>5, yani en anlamlı rakam birler basamağı olacaktır. Bu bitin değeri ve daha düşük olanlar kök çıkarma algoritmasının sonraki adımlarında bulunacaktır.

Algoritmanın aşağıdaki tüm adımları, en yüksek olandan başlayıp en düşük olanlara doğru ilerleyerek, istenen kök değerinin sonraki bitlerinin değerlerini bularak kökün değerini sırayla netleştirmeyi amaçlamaktadır. Örneğin, ilk adımda kökün değeri 2, ikinci adımda 2,2, üçüncü adımda 2,23 ve bu şekilde 2,236067977 olur. Rakamların değerlerinin nasıl bulunduğunu anlatalım.

Rakamlar olası değerleri 0, 1, 2, ..., 9'a göre aranarak bulunur. Bu durumda karşılık gelen sayıların n'inci kuvvetleri paralel olarak hesaplanır ve radikal sayıyla karşılaştırılır. Bir aşamada derecenin değeri radikal sayıyı aşarsa, önceki değere karşılık gelen rakamın değeri bulunmuş sayılır ve bu gerçekleşmezse kök çıkarma algoritmasının bir sonraki adımına geçiş yapılır; o zaman bu rakamın değeri 9'a eşittir.

Bu noktaları aynı beşin karekökünü çıkarma örneğini kullanarak açıklayalım.

Öncelikle birler basamağının değerini buluyoruz. 5 radikal sayısından daha büyük bir değer elde edene kadar sırasıyla 0 2, 1 2, ..., 9 2'yi hesaplayarak 0, 1, 2, ..., 9 değerlerini üzerinden geçeceğiz. Tüm bu hesaplamaları bir tablo şeklinde sunmak uygundur:

Yani birler basamağının değeri 2'dir (2 2 olduğundan<5 , а 2 3 >5). Onuncu basamağın değerini bulmaya geçelim. Bu durumda, elde edilen değerleri 5 radikal sayısıyla karşılaştırarak 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 sayılarının karesini alacağız:

2.2 2'den beri<5 , а 2,3 2 >5 ise onuncu basamağın değeri 2 olur. Yüzüncü basamağın değerini bulmaya devam edebilirsiniz:

Böylece bulundu sonraki değer Beşin kökü 2,23'e eşittir. Ve böylece değerleri bulmaya devam edebilirsiniz: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Malzemeyi pekiştirmek için, dikkate alınan algoritmayı kullanarak kökün çıkarılmasını yüzlerce doğrulukla analiz edeceğiz.

İlk önce en anlamlı rakamı belirliyoruz. Bunu yapmak için 0, 10, 100 vb. sayıların küpünü alırız. 2.151.186'dan büyük bir sayı elde edene kadar. 0 3 =0 var<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , yani en anlamlı rakam onlar basamağıdır.

Değerini belirleyelim.

10 3'ten beri<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186 ise onlar basamağının değeri 1 olur. Birimlere geçelim.

Yani birler basamağının değeri 2'dir. Onuncu maddelere geçelim.

12,9 3 bile 2 151,186 radikal sayısından küçük olduğundan onuncu basamağın değeri 9'dur. Geriye algoritmanın son adımını gerçekleştirmek kalıyor; bize kökün değerini gerekli doğrulukla verecek.

Bu aşamada kökün değeri yüzde birlere kadar doğru bulunur: .

Bu yazının sonunda kök çıkarmanın başka birçok yolu olduğunu söylemek isterim. Ancak çoğu görev için yukarıda incelediklerimiz yeterlidir.

Referanslar.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri. Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).

Çevrimiçi mühendislik hesaplayıcısı

Herkese ücretsiz bir mühendislik hesap makinesi sunmaktan mutluluk duyuyoruz. Onun yardımıyla, herhangi bir öğrenci çevrimiçi olarak çeşitli matematiksel hesaplamaları hızlı ve en önemlisi kolayca gerçekleştirebilir.

Göze çarpmayan ve sezgisel bir arayüze sahip, basit ve kullanımı kolay bir mühendislik hesap makinesi, çok çeşitli İnternet kullanıcıları için gerçekten faydalı olacaktır. Artık bir hesap makinesine ihtiyaç duyduğunuzda web sitemize gidin ve ücretsiz mühendislik hesap makinesini kullanın.

Bir mühendislik hesap makinesi hem basit aritmetik işlemleri hem de oldukça karmaşık matematiksel hesaplamaları gerçekleştirebilir.

Web20calc, örneğin tüm temel fonksiyonların nasıl hesaplanacağı gibi çok sayıda fonksiyona sahip bir mühendislik hesaplayıcısıdır. Hesap makinesi aynı zamanda trigonometrik fonksiyonları, matrisleri, logaritmaları ve hatta grafikleri de destekler.

Kuşkusuz Web20calc, basit çözümler arayan ve arama motorlarına şu sorguyu yazan bir grup insanın ilgisini çekecektir: çevrimiçi matematiksel hesap makinesi. Ücretsiz bir web uygulaması, çıkarma, toplama, bölme, kökü çıkarma, bir kuvvete yükseltme vb. gibi bazı matematiksel ifadelerin sonucunu anında hesaplamanıza yardımcı olacaktır.

İfadede üs, toplama, çıkarma, çarpma, bölme, yüzde ve PI sabiti işlemlerini kullanabilirsiniz. Karmaşık hesaplamalar için parantezlerin eklenmesi gerekir.

Mühendislik hesaplayıcısının özellikleri:

1. temel aritmetik işlemler;
2. Sayılarla standart bir biçimde çalışmak;
3. Trigonometrik köklerin, fonksiyonların, logaritmaların, üstellerin hesaplanması;
4. istatistiksel hesaplamalar: toplama, aritmetik ortalama veya standart sapma;
5. Bellek hücrelerinin ve 2 değişkenin özel işlevlerinin kullanımı;
6. Radyan ve derece ölçülerinde açılarla çalışabilecektir.

Mühendislik hesaplayıcısı çeşitli matematiksel işlevlerin kullanılmasına olanak tanır:

Köklerin çıkarılması (kare, kübik ve n'inci kök);
ex (e üzeri x), üstel;
trigonometrik fonksiyonlar: sinüs - günah, kosinüs - cos, teğet - tan;
ters trigonometrik fonksiyonlar: arksinüs - sin-1, arkkosinüs - cos-1, arktanjant - tan-1;
hiperbolik fonksiyonlar: sinüs - sinh, kosinüs - cosh, teğet - tanh;
logaritma: ikili logaritmadan iki tabanına - log2x, ondalık logaritmadan on tabanına - log, doğal logaritma - ln.

Bu mühendislik hesaplayıcısı aynı zamanda çeşitli ölçüm sistemleri (bilgisayar birimleri, mesafe, ağırlık, zaman vb.) için fiziksel büyüklükleri dönüştürme yeteneğine sahip bir miktar hesaplayıcı içerir. Bu işlevi kullanarak milleri kilometreye, poundu kilograma, saniyeleri saate vb. anında dönüştürebilirsiniz.

Matematiksel hesaplamalar yapmak için önce uygun alana bir dizi matematiksel ifade girin, ardından eşittir işaretine tıklayın ve sonucu görün. Değerleri doğrudan klavyeden girebilirsiniz (Bunun için hesap makinesi alanının aktif olması gerekir, dolayısıyla imleci giriş alanına yerleştirmek faydalı olacaktır). Diğer şeylerin yanı sıra, hesap makinesinin düğmeleri kullanılarak veriler girilebilir.

Grafikler oluşturmak için, alanda belirtildiği gibi giriş alanına işlevi örneklerle yazmalı veya bunun için özel olarak tasarlanmış araç çubuğunu kullanmalısınız (buna gitmek için grafik simgeli düğmeye tıklayın). Değerleri dönüştürmek için Birim'e tıklayın; matrislerle çalışmak için Matris'e tıklayın.

Hesap makinelerinden önce öğrenciler ve öğretmenler karekökleri elle hesaplıyorlardı. Bir sayının karekökünü manuel olarak hesaplamanın birkaç yolu vardır. Bazıları sadece yaklaşık bir çözüm sunarken, diğerleri kesin bir cevap veriyor.

Adımlar

Asal çarpanlara ayırma

Radikal sayıyı kare sayı olan çarpanlara ayırın. Radikal sayıya bağlı olarak yaklaşık veya kesin bir cevap alacaksınız. Kare sayılar, karekökünün tamamı alınabilen sayılardır. Çarpanlar, çarpıldığında orijinal sayıyı veren sayılardır. Örneğin 8 sayısının çarpanları 2 ve 4'tür, 2 x 4 = 8 olduğundan 25, 36, 49 sayıları kare sayıdır, √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7 olduğundan kare çarpanlar. kare sayılar olan faktörlerdir. Öncelikle radikal sayıyı kare çarpanlara ayırmaya çalışın.

• Örneğin 400'ün karekökünü hesaplayın (elle). İlk önce 400'ü kare çarpanlara ayırmayı deneyin. 400, 100'ün katıdır, yani 25'e bölünebilir - bu bir kare sayıdır. 400'ü 25'e bölerseniz 16 olur. 16 sayısı da bir kare sayıdır. Böylece 400, 25 ve 16'nın kare çarpanlarına ayrılabilir, yani 25 x 16 = 400.
• Bu şu şekilde yazılabilir: √400 = √(25 x 16).

1. Bazı terimlerin çarpımının karekökü, her terimin kareköklerinin çarpımına eşittir, yani √(a x b) = √a x √b.

   • Cevabı bulmak için her kare faktörün karekökünü almak ve sonuçları çarpmak için bu kuralı kullanın.
     • Örneğimizde 25 ve 16'nın kökünü alın.
     • √(25x16)
     • √25x√16

2. 5 x 4 = 20

   • Eğer radikal sayı iki kare faktörü hesaba katmıyorsa (ve bu çoğu durumda olur), tam sayı biçiminde kesin cevabı bulamazsınız.
     • Ancak radikal sayıyı bir kare faktöre ve sıradan bir faktöre (kendisinden karekökün tamamının alınamayacağı bir sayı) ayrıştırarak sorunu basitleştirebilirsiniz. Daha sonra kare faktörünün karekökünü alacaksınız ve ortak faktörün kökünü alacaksınız.
     • Örneğin, 147 sayısının karekökünü hesaplayın. 147 sayısı iki kare faktöre bölünemez ancak şu çarpanlara ayrılabilir: 49 ve 3. Sorunu şu şekilde çözün:
     • = 7√3

3. = √(49 x 3)= √49 x √3

   • Örneğimize dönelim. Radikal sayı 3'tür. Ona en yakın kare sayılar 1 (√1 = 1) ve 4 (√4 = 2) sayıları olacaktır. Dolayısıyla √3'ün değeri 1 ile 2 arasında yer alıyor. √3'ün değeri muhtemelen 1'den çok 2'ye yakın olduğundan tahminimiz: √3 = 1,7. Bu değeri kök işaretindeki sayıyla çarpıyoruz: 7 x 1,7 = 11,9. Eğer matematiği hesap makinesinde yaparsanız 12,13 sonucunu elde edersiniz ki bu bizim cevabımıza oldukça yakındır.
     • Bu yöntem aynı zamanda büyük sayılarla da çalışır. Örneğin √35'i düşünün. Radikal sayı 35'tir. Ona en yakın kare sayılar 25 (√25 = 5) ve 36 (√36 = 6) sayıları olacaktır. Böylece √35 değeri 5 ile 6 arasında yer alır. √35 değeri 6'ya 5'ten çok daha yakın olduğundan (çünkü 35, 36'dan sadece 1 eksiktir), √35'in 6'dan biraz küçük olduğunu söyleyebiliriz. Hesap makinesini kontrol edin, bize 5,92 cevabını veriyor - haklıydık.

4. Başka bir yol, radikal sayıyı asal çarpanlara ayırmaktır. Asal çarpanlar yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen sayılardır. Asal faktörleri bir seri halinde yazın ve aynı faktör çiftlerini bulun. Bu tür faktörler kök işaretinden çıkarılabilir.

   • Örneğin, 45'in karekökünü hesaplayın. Radikal sayıyı asal çarpanlara ayırırız: 45 = 9 x 5 ve 9 = 3 x 3. Böylece √45 = √(3 x 3 x 5) olur. 3 kök işareti olarak çıkarılabilir: √45 = 3√5. Şimdi √5'i tahmin edebiliriz.
   • Başka bir örneğe bakalım: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Üç tane 2 çarpanı aldınız; birkaçını alın ve kök işaretinin ötesine taşıyın.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Artık √2 ve √11'i hesaplayabilir ve yaklaşık bir cevap bulabilirsiniz.

   Karekökü manuel olarak hesaplama

   Uzun bölmeyi kullanma

   1. Bu yöntem uzun bölme işlemine benzer bir işlem içerir ve doğru cevap verir.İlk önce sayfayı ikiye bölen dikey bir çizgi çizin ve ardından sağa ve sayfanın üst kenarının biraz altına dikey çizgiye yatay bir çizgi çizin. Şimdi radikal sayıyı, virgülden sonraki kesirli kısımdan başlayarak sayı çiftlerine bölün. Yani 79520789182.47897 sayısı "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" şeklinde yazılır.

      • Örneğin 780,14 sayısının karekökünü hesaplayalım. İki çizgi çizin (resimde gösterildiği gibi) ve verilen sayıyı sol üst köşeye “7 80, 14” şeklinde yazın. Soldan ilk rakamın eşleşmemiş bir rakam olması normaldir. Cevabı (bu sayının kökünü) sağ üst köşeye yazacaksınız.

   2. Soldan ilk sayı çifti (veya tek sayı) için, karesi söz konusu sayı çiftinden (veya tek sayı) küçük veya ona eşit olan en büyük n tam sayısını bulun.

      • Başka bir deyişle, soldan ilk sayı çiftine (veya tek sayıya) en yakın ancak ondan küçük olan kare sayıyı bulun ve bu kare sayının karekökünü alın; n sayısını alacaksınız. Bulduğunuz n'yi sağ üst tarafa, n'nin karesini de sağ alt tarafa yazın.< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Bizim durumumuzda soldaki ilk sayı 7 olacaktır. Sonra 4 Bulduğunuz n sayısının karesini soldaki ilk sayı çiftinden (veya tek sayıdan) çıkarın.

      • Hesaplamanın sonucunu çıkanın altına (n sayısının karesi) yazın.

   4. Örneğimizde 7'den 4'ü çıkarın ve 3'ü elde edin.İkinci sayı çiftini not edin ve önceki adımda elde edilen değerin yanına yazın.

      • Daha sonra sağ üstteki sayıyı ikiye katlayın ve sonucu "_×_=" ekleyerek sağ alt tarafa yazın.

   5. Örneğimizde ikinci sayı çifti "80"dir. 3'ten sonra "80" yazın. Daha sonra sağ üstteki sayının iki katı 4 verir. Sağ alta "4__×_=" yazın.

      • Sağdaki boşlukları doldurunuz.

   6. Bizim durumumuzda tire yerine 8 sayısını koyarsak 48 x 8 = 384 olur, bu da 380'den fazladır. Dolayısıyla 8 çok büyük bir sayı ama 7 de işe yarar. Kısa çizgi yerine 7 yazın ve şunu elde edin: 47 x 7 = 329. Sağ üst köşeye 7 yazın - bu, 780.14 sayısının istenen karekökündeki ikinci rakamdır. Ortaya çıkan sayıyı soldaki mevcut sayıdan çıkarın.

      • Bir önceki adımın sonucunu soldaki mevcut sayının altına yazın, farkı bulun ve çıkanın altına yazın.

   7. Örneğimizde 380'den 329'u çıkarın, bu da 51'e eşittir. 4. adımı tekrarlayın.

      • Aktarılan sayı çifti orijinal sayının kesirli kısmı ise, sağ üst köşedeki gerekli karekökte tamsayı ile kesirli kısım arasına bir ayırıcı (virgül) koyun. Sol tarafta bir sonraki sayı çiftini aşağı indirin. Sağ üstteki sayıyı ikiye katlayın ve sonucu "_×_=" ekleyerek sağ alt tarafa yazın.

   8. Örneğimizde, kaldırılacak bir sonraki sayı çifti 780.14 sayısının kesirli kısmı olacaktır, bu nedenle tamsayı ve kesirli kısımların ayırıcısını sağ üstte istediğiniz karekök içine yerleştirin. 14'ü indirip sol alt köşeye yazın. Sağ üstteki sayının (27) iki katı 54 olduğundan sağ alta "54_×_=" yazın. 5. ve 6. adımları tekrarlayın.

      • Örneğimizde 549 x 9 = 4941, soldaki mevcut sayıdan (5114) küçüktür. Sağ üste 9 yazın ve çarpmanın sonucunu soldaki mevcut sayıdan çıkarın: 5114 - 4941 = 173.

   9. Karekök için daha fazla ondalık basamak bulmanız gerekiyorsa mevcut sayının soluna birkaç sıfır yazın ve 4, 5 ve 6. adımları tekrarlayın. Yanıt kesinliğini (ondalık basamak sayısı) elde edene kadar adımları tekrarlayın. ihtiyaç.

   Süreci Anlamak

   Bu yöntemde ustalaşmak için karekökünü S karesinin alanı olarak bulmanız gereken sayıyı hayal edin. Bu durumda böyle bir karenin L kenarının uzunluğunu arayacaksınız. L değerini L² = S olacak şekilde hesaplıyoruz.

   Cevaptaki her sayı için bir harf verin. L değerinin ilk rakamını (arzu edilen karekök) A ile gösterelim. B ikinci rakam olacak, C üçüncü rakam olacak ve böyle devam edecek.

   Her ilk rakam çifti için bir harf belirtin. S değerindeki ilk rakam çiftini S a ile, ikinci rakam çiftini S b ile vb. gösterelim.

   Bu yöntemle uzun bölme arasındaki bağlantıyı anlayın. Tıpkı her seferinde böldüğümüz sayının yalnızca bir sonraki rakamıyla ilgilendiğimiz bölme işleminde olduğu gibi, karekök hesabı yaparken de bir rakam çifti üzerinde sırayla çalışırız (karekök değerindeki bir sonraki rakamı elde etmek için) .

   1. S sayısının ilk Sa rakamı çiftini (örneğimizde Sa = 7) düşünün ve bunun karekökünü bulun. Bu durumda, karekökün istenen değerinin ilk rakamı A, karesi S a'dan küçük veya ona eşit olan bir rakam olacaktır (yani A² ≤ Sa eşitsizliğini sağlayacak bir A arıyoruz)< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Diyelim ki 88962'yi 7'ye bölmemiz gerekiyor; burada ilk adım benzer olacaktır: 88962 (8) bölünebilir sayısının ilk rakamını dikkate alıyoruz ve 7 ile çarpıldığında 8'den küçük veya ona eşit bir değer veren en büyük sayıyı seçiyoruz. eşitsizliğin doğru olduğu bir d sayısı: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Alanı hesaplamanız gereken bir kareyi zihinsel olarak hayal edin. L'yi yani alanı S'ye eşit olan karenin bir kenar uzunluğunu arıyorsunuz. L sayısının içindeki sayılar A, B, C'dir. Farklı şekilde yazabilirsiniz: 10A + B = L (için) iki basamaklı bir sayı) veya 100A + 10B + C = L (üç basamaklı sayı için) vb.

      • İzin vermek (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². 10A+B'nin, B rakamının birimleri, A rakamının da onlukları temsil ettiği bir sayı olduğunu unutmayın. Örneğin A=1 ve B=2 ise 10A+B, 12 sayısına eşittir. (10A+B)² tüm karenin alanıdır, 100A²- büyük iç karenin alanı, B²- küçük iç karenin alanı, 10A×B- iki dikdörtgenin her birinin alanı. Açıklanan şekillerin alanlarını toplayarak orijinal karenin alanını bulacaksınız.

Talimatlar

Bir sayıyı 1/3 üssüne çıkarmak için sayıyı girin, ardından üs alma düğmesine tıklayın ve yaklaşık 1/3 - 0,333 değerini girin. Bu doğruluk çoğu hesaplama için oldukça yeterlidir. Bununla birlikte, hesaplamaların doğruluğunu artırmak çok kolaydır - yalnızca hesap makinesi göstergesine sığacak kadar çok sayıda üçlü ekleyin (örneğin, 0,3333333333333333). Daha sonra "=" butonuna tıklayın.

Üçüncü kökü bir bilgisayar kullanarak hesaplamak için Windows hesap makinesi programını çalıştırın. Üçüncü kökü hesaplama prosedürü yukarıda açıklanana tamamen benzer. Tek fark üs alma butonunun tasarımındadır. Hesap makinesinin sanal klavyesinde “x^y” olarak gösterilir.

Üçüncü kök MS Excel'de de hesaplanabilir. Bunu yapmak için herhangi bir hücreye "=" girin ve "ekle" simgesini (fx) seçin. Açılan pencerede “DERECE” fonksiyonunu seçiniz ve “OK” butonuna tıklayınız. Açılan pencerede üçüncü kökünü hesaplamak istediğiniz sayının değerini girin. "Derece" alanına "1/3" sayısını girin. 1/3 sayısını tam olarak bu biçimde yazın - sıradan bir sayı gibi. Bundan sonra “Tamam” düğmesine tıklayın. Verilen sayının küp kökü, oluşturulduğu tablo hücresinde görünecektir.

Üçüncü kökün sürekli olarak hesaplanması gerekiyorsa, yukarıda açıklanan yöntemi biraz geliştirin. Kökünü çıkarmak istediğiniz sayı için sayının kendisini değil tablo hücresini belirtin. Bundan sonra, her seferinde orijinal sayıyı bu hücreye girmeniz yeterlidir; küp kökü, formülün bulunduğu hücrede görünecektir.

Konuyla ilgili video

lütfen aklınızda bulundurun

Çözüm. Bu makalede küp kök değerlerinin hesaplanmasına yönelik çeşitli yöntemler incelenmiştir. Küp kökünün değerlerinin yineleme yöntemi kullanılarak bulunabileceği ortaya çıktı, ayrıca küp kökünü yaklaşık olarak hesaplayabilir, sayıyı 1/3'ün gücüne yükseltebilir, kullanarak üçüncü kökün değerlerini arayabilirsiniz. Microsoft Office Ecxel, hücrelerdeki formülleri ayarlama.

Faydalı tavsiyeler

İkinci ve üçüncü derecedeki kökler özellikle sıklıkla kullanılır ve bu nedenle özel isimlere sahiptir. Karekök: Bu durumda üs genellikle atlanır ve üssü belirtmeden "kök" terimi çoğunlukla karekök anlamına gelir. Köklerin pratik hesaplanması N'inci derecenin kökünü bulmak için algoritma. Kare ve küp kökler genellikle tüm hesap makinelerinde sağlanır.

Kaynaklar:

• üçüncü kök
• Excel'de karekökün N'inci kuvveti nasıl alınır?

Kök bulma işlemi üçüncü derece buna genellikle "kübik" kökün çıkarılması denir ve küpü radikal sayıya eşit bir değer verecek gerçek bir sayının bulunmasından oluşur. Herhangi bir aritmetik kökü çıkarma işlemi derece n, 1/n gücüne yükseltme işlemine eşdeğerdir. Küp kökünü pratik olarak hesaplamak için kullanabileceğiniz birkaç yöntem vardır.