BEN. Harflerin yanı sıra sayıların, aritmetik sembollerin ve parantezlerin de kullanılabildiği ifadelere cebirsel ifadeler denir.

Cebirsel ifade örnekleri:

2m-n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Cebirsel ifadedeki bir harfin yerine bazı farklı sayılar geçebildiğinden, harfe değişken, cebirsel ifadenin kendisine de değişkenli bir ifade denir.

II. Cebirsel bir ifadede harfler (değişkenler) değerleri ile değiştirilirse ve belirtilen işlemler yapılırsa, ortaya çıkan sayıya cebirsel ifadenin değeri denir.

Örnekler.

İfadenin anlamını bulun:

1) a + 2b -c ile a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| x = -8'de; y = -5; z = 6..

Çözüm

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

1) a = -2 ile a + 2b -c; b = 10; c = -3,5. Değişkenler yerine değerlerini değiştirelim. Şunu elde ederiz: 2) |x| + |y| -|z| x = -8'de; y = -5; z = 6. Belirtilen değerleri değiştirin. Unutmayın ki modül negatif sayı karşıt numarasına eşittir ve modül pozitif sayı

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

bu sayının kendisine eşittir. Şunu elde ederiz: III.

Cebirsel ifadenin anlamlı olduğu harfin (değişken) değerlerine, harfin (değişken) izin verilen değerleri denir.

Örnekler. Sıfıra bölmenin mümkün olmadığını biliyoruz, dolayısıyla kesrin paydasını sıfıra çeviren harfin (değişken) değeri göz önüne alındığında bu ifadelerin her biri bir anlam ifade etmeyecektir!

Örnek 1)'de bu değer a = 0'dır. Aslında a yerine 0 koyarsanız 6 sayısını 0'a bölmeniz gerekir, ancak bu yapılamaz. Cevap: ifade 1) a = 0 olduğunda anlamlı değildir.

Örnek 2)'de x = 4'te x'in paydası 4 = 0 olduğundan bu x = 4 değeri alınamaz. Cevap: ifade 2) x = 4 olduğunda anlamlı değildir.

Örnek 3)'te x = -2 olduğunda payda x + 2 = 0'dır. Cevap: ifade 3) x = -2 olduğunda anlamlı değildir.

Örnek 4)'te payda 5 -|x| |x| için = 0 = 5. Ve |5| = 5 ve |-5| = 5 ise x = 5 ve x = -5 alamazsınız. Cevap: ifade 4) x = -5 ve x = 5'te anlamlı değildir.
IV. Değişkenlerin kabul edilebilir herhangi bir değeri için bu ifadelerin karşılık gelen değerleri eşitse, iki ifadenin tamamen eşit olduğu söylenir.

Örnek: 5 (a – b) ve 5a – 5b de eşittir, çünkü 5 (a – b) = 5a – 5b eşitliği a ve b'nin herhangi bir değeri için doğru olacaktır. 5 (a – b) = 5a – 5b eşitliği bir özdeşliktir.

Kimlik içerisinde yer alan değişkenlerin izin verilen tüm değerleri için geçerli olan bir eşitliktir. Zaten bildiğiniz kimlik örnekleri, örneğin toplama ve çarpma özellikleri ve dağılma özelliğidir.

Bir ifadenin tamamen eşit olan başka bir ifadeyle değiştirilmesine kimlik dönüşümü veya basitçe bir ifadenin dönüşümü denir. Değişkenli ifadelerin özdeş dönüşümleri sayılar üzerinde yapılan işlemlerin özelliklerine göre gerçekleştirilir.

Örnekler.

A)Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak ifadeyi tamamen eşit hale getirin:

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

2) |x| + |y| -|z| x = -8'de; y = -5; z = 6.. Çarpmanın dağılma özelliğini (yasasını) hatırlayalım:

(a+b)c=ac+bc(toplamaya göre çarpmanın dağıtım yasası: iki sayının toplamını üçüncü bir sayıyla çarpmak için her terimi bu sayıyla çarpabilir ve elde edilen sonuçları toplayabilirsiniz).
(a-b) c=a c-b c(Çarpmanın çıkarma işlemine göre dağılım yasası: iki sayının farkını üçüncü bir sayıyla çarpmak için, eksiyi bu sayıyla ayrı ayrı çarpabilir ve çıkarabilirsiniz ve ikinciyi ilk sonuçtan çıkarabilirsiniz).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

B) Toplama işleminin değişmeli ve ilişkisel özelliklerini (yasalarını) kullanarak ifadeyi tamamen eşit hale getirin:

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a+2.1)+7.8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Örnekler. Toplama yasalarını (özelliklerini) uygulayalım:

a+b=b+a(değişmeli: terimlerin yeniden düzenlenmesi toplamı değiştirmez).
(a+b)+c=a+(b+c)(birleşik: iki terimin toplamına üçüncü bir sayı eklemek için ikinci ve üçüncünün toplamını birinci sayıya ekleyebilirsiniz).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.

V)Çarpmanın değişmeli ve ilişkisel özelliklerini (yasalarını) kullanarak ifadeyi tamamen eşit hale getirin:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 yıl · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Örnekler.Çarpma yasalarını (özelliklerini) uygulayalım:

a·b=b·a(değişmeli: faktörlerin yeniden düzenlenmesi çarpımı değiştirmez).
(a b) c=a (b c)(birleşik: iki sayının çarpımını üçüncü bir sayıyla çarpmak için, ilk sayıyı ikinci ve üçüncünün çarpımı ile çarpabilirsiniz).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2 yıl · (-1) = 7у.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Cebirsel bir ifade indirgenebilir bir kesir şeklinde verilirse, o zaman kesir azaltma kuralı kullanılarak basitleştirilebilir, yani. onu tamamen eşit ve daha basit bir ifadeyle değiştirin.

Örnekler.

Örnekler. Kesir azaltmayı kullanarak basitleştirin. Bir kesri azaltmak, payını ve paydasını sıfır dışında aynı sayıya (ifadeye) bölmek anlamına gelir. Kesir 10) şu kadar azaltılacaktır: 3b ; kesir 11) şu kadar azaltılacaktır: A ve kesir 12) şu kadar azaltılacaktır: 7n

. Şunu elde ederiz:

Cebirsel ifadeler formül oluşturmak için kullanılır. Formül, eşitlik olarak yazılan ve iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi ifade eden cebirsel bir ifadedir. Örnek: bildiğiniz yol formülü s=v t

(s - katedilen mesafe, v - hız, t - zaman). Bildiğiniz başka formülleri hatırlayın.

Sayfa 1/1 1 Bir ifade en geniş matematiksel terimdir. Aslında bu bilimde her şey onlardan ibarettir ve tüm işlemler de onlar üzerinde yapılır. Başka bir soru da spesifik türe bağlı olarak tamamen kullanılmalarıdır.çeşitli yöntemler ve teknikler. Yani trigonometri, kesirler veya logaritmalarla çalışmak üççeşitli eylemler

. Mantıklı olmayan bir ifade iki türden biri olabilir: sayısal veya cebirsel. Ancak bu kavramın ne anlama geldiği, örneğinin neye benzediği ve diğer noktalar daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

Bir ifade sayılardan, parantezlerden, artılardan ve eksilerden ve diğer aritmetik işlem sembollerinden oluşuyorsa, güvenle sayısal olarak adlandırılabilir. Bu oldukça mantıklı: sadece ilk adlandırılmış bileşenine bir kez daha bakmanız gerekiyor.

Sayısal bir ifade herhangi bir şey olabilir: Önemli olan harf içermemesidir. Ve "herhangi bir şey" altında bu durumda her şey anlaşılıyor: tek başına duran basit bir sayıdan, bunların büyük bir listesine ve nihai sonucun daha sonra hesaplanmasını gerektiren aritmetik işlem işaretlerine kadar. Kesir aynı zamanda sayısal ifade, eğer a, b, c, d vb. yoksa, o zaman tamamen farklı bir türdür ve biraz sonra tartışılacaktır.

Mantıklı olmayan bir ifadenin koşulları

Bir görev "hesapla" kelimesiyle başladığında dönüşümden bahsedebiliriz. Mesele şu ki, bu eylem her zaman tavsiye edilmez: Mantıklı olmayan bir ifadenin öne çıkması pek de gerekli değildir. Örnekler sonsuz derecede şaşırtıcı: Bazen bizi aştığını anlamak için parantezleri uzun ve sıkıcı bir şekilde açmamız ve say-say-saymamız gerekiyor...

Unutulmaması gereken en önemli nokta, nihai sonucu matematikte yasak olan bir eyleme indirgenen ifadelerde hiçbir anlam bulunmadığıdır. Dürüst olmak gerekirse, o zaman dönüşümün kendisi anlamsız hale gelir, ancak bunu öğrenmek için önce onu gerçekleştirmelisiniz. Tam bir paradoks!

En ünlüsü ama daha az önemli olmayanı yasak matematiksel işlem- bu sıfıra bölmedir.

Dolayısıyla örneğin burada hiçbir anlam ifade etmeyen bir ifade var:

(17+11):(5+4-10+1).

Basit hesaplamalar kullanarak ikinci parantezi bir rakama indirirsek sıfır olacaktır.

Aynı prensiple şu ifadeye de “onursal unvan” verilmiştir:

(5-18):(19-4-20+5).

Cebirsel ifadeler

Bu, yasaklı harflerin eklenmesi durumunda aynı sayısal ifadedir. Daha sonra tam teşekküllü cebirsel hale gelir. Ayrıca her boyutta ve şekilde olabilir. Cebirsel ifade, bir öncekini de kapsayan daha geniş bir kavramdır. Ancak sohbete onunla değil, bir sayıyla başlamak mantıklıydı, böylece daha net ve anlaşılır olacaktı. Sonuçta cebirsel bir ifadenin anlamlı olup olmadığı çok karmaşık bir soru değil, daha fazla açıklama içeren bir sorudur.

Bu neden böyle?

Değişmez bir ifade veya değişkenleri olan bir ifade eşanlamlıdır. İlk terimin açıklaması kolaydır: sonuçta harfler içerir! İkincisi de yüzyılın gizemi değil: Harflerin yerine başkalarını kullanabilirsiniz. farklı sayılar bunun sonucunda ifadenin anlamı değişecektir. Bu durumda harflerin değişken olduğunu tahmin etmek zor değil. Benzer şekilde sayılar sabittir.

Ve işte asıl konumuza dönüyoruz: anlamsız mı?

Hiçbir anlam ifade etmeyen cebirsel ifade örnekleri

Cebirsel bir ifadenin anlamsızlığının koşulu, yalnızca bir istisna veya daha kesin olarak bir toplama dışında sayısal bir ifadeyle aynıdır. Nihai sonucu dönüştürürken ve hesaplarken değişkenleri hesaba katmanız gerekiyor, bu nedenle soru “hangi ifade anlamlı değil?” değil, “değişkenin hangi değerinde bu ifade anlamlı olmayacak?” sorusu soruluyor. ve "değişkenin ifadenin artık anlamlı olmayacağı bir değeri var mı?"

Örneğin, (18-3):(a+11-9).

a -2'ye eşit olduğunda yukarıdaki ifadenin bir anlamı yoktur.

Ancak (a+3):(12-4-8) hakkında bunun hiçbir a için anlam ifade etmeyen bir ifade olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.

Aynı şekilde, (b - 11): (12+1) ifadesine hangi b'yi koyarsanız koyun, yine de anlamlı olacaktır.

"Hiçbir anlam ifade etmeyen bir ifade" konusundaki tipik problemler

7. sınıf, diğer konuların yanı sıra matematikte de bu konuyu inceler ve bu konuyla ilgili ödevler genellikle hem doğrudan ilgili dersten sonra hem de modüllerde ve sınavlarda "hileli" bir soru olarak bulunur.

İşte bu yüzden dikkate alınmaya değer tipik görevler ve bunları çözme yöntemleri.

Örnek 1.

Şu ifade anlamlı mı:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Tüm hesaplamaları parantez içinde yapmak ve ifadeyi forma getirmek gerekir:

Nihai sonuç şunu içerir, bu nedenle ifade anlamsızdır.

Örnek 2.

Hangi ifadeler anlamlı değil?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Hesaplanmalı nihai değer ifadelerin her biri için.

Cevap: 1; 2.

Örnek 3.

Aşağıdaki ifadeler için kabul edilebilir değer aralığını bulun:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/(14-b+11).

İzin verilen değerler aralığı (APV), bunların yerine ikame edildiğinde tüm bu sayılardır değişken ifadesi mantıklı olacaktır.

Yani görev şuna benziyor: sıfıra bölünmenin olmayacağı değerleri bulun.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), veya b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), veya b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Örnek 4.

Aşağıdaki ifade hangi değerlerde hiçbir anlam ifade etmeyecektir?

Oyun -3'e eşit olduğunda ikinci parantez sıfıra eşittir.

Cevap: y=-3

Örnek 4.

İfadelerden hangisi yalnızca x = -14 durumunda anlamlı değildir?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 ve 3, çünkü ilk durumda, x = -14'ü değiştirirseniz, ikinci parantez anlamsız bir ifadenin tanımında göründüğü gibi sıfıra değil -28'e eşit olacaktır.

Örnek 5.

Hiçbir anlam ifade etmeyen bir ifade bulun ve yazın.

18/(2-46+17-33+45+15).

İki değişkenli cebirsel ifadeler

Mantıklı olmayan tüm ifadeler aynı öze sahip olmasına rağmen karmaşıklıklarının farklı düzeyleri vardır. Yani sayısal olanların basit örnekler olduğunu söyleyebiliriz çünkü bunlar cebirsel olanlardan daha kolaydır. İkincisindeki değişkenlerin sayısı çözümün zorluğunu artırmaktadır. Ancak aynı görünmemeleri gerekir: Önemli olan, örneğin standart bir probleme benzer olmasına veya bazı bilinmeyen eklemelere sahip olmasına bakılmaksızın, çözümün genel prensibini hatırlamak ve onu uygulamaktır.

Örneğin böyle bir görevin nasıl çözüleceği sorusu ortaya çıkabilir.

İfade için geçersiz olan bir sayı çiftini bulun ve yazın:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y)/(12x 2 - y).

Olası cevaplar:

Ama aslında sadece korkutucu ve hantal görünüyor çünkü aslında uzun zamandır bilinenleri içeriyor: sayıların karesini alma ve küpünü alma, bölme, çarpma, çıkarma ve toplama gibi bazı aritmetik işlemler. Kolaylık sağlamak için, bu arada, sorunu kesirli forma indirgeyebilirsiniz.

Ortaya çıkan kesrin payı mutlu değil: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Bu bir gerçek. Ancak mutluluğun başka bir nedeni daha var: Görevi çözmek için ona dokunmanıza bile gerek yok! Daha önce tartışılan tanıma göre sıfıra bölemezsiniz ve ona tam olarak neyin bölüneceği tamamen önemsizdir. Bu nedenle, bu ifadeyi değiştirmeden bırakıyoruz ve bu seçeneklerdeki sayı çiftlerini paydaya yerleştiriyoruz. Zaten üçüncü nokta mükemmel bir şekilde uyuyor ve küçük bir parantezi sıfıra çeviriyor. Ancak orada durmak kötü bir öneridir çünkü başka bir şey uygun olabilir. Nitekim beşinci nokta da gayet iyi uyuyor ve koşullara uyuyor.

Cevabı yazıyoruz: 3 ve 5.

Sonuç olarak

Gördüğünüz gibi bu konu çok ilginç ve özellikle karmaşık değil. Bunu anlamak zor olmayacak. Ancak birkaç örnek uygulamaktan asla zarar gelmez!

Bir ifade en geniş matematiksel terimdir. Aslında bu bilimde her şey onlardan ibarettir ve tüm işlemler de onlar üzerinde yapılır. Başka bir soru da, spesifik türe bağlı olarak tamamen farklı yöntem ve tekniklerin kullanılmasıdır. Yani trigonometri, kesirler veya logaritmalarla çalışmak üç farklı eylemdir. Mantıklı olmayan bir ifade iki türden biri olabilir: sayısal veya cebirsel. Ancak bu kavramın ne anlama geldiği, örneğinin neye benzediği ve diğer noktalar daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

Sayısal İfadeler

Bir ifade sayılardan, parantezlerden, artılardan ve eksilerden ve diğer aritmetik işlem sembollerinden oluşuyorsa, güvenle sayısal olarak adlandırılabilir. Bu oldukça mantıklı: sadece ilk adlandırılmış bileşenine bir kez daha bakmanız gerekiyor.

Sayısal bir ifade herhangi bir şey olabilir: Önemli olan harf içermemesidir. Ve bu durumda "herhangi bir şey" derken her şeyi kastediyoruz: tek başına duran basit bir sayıdan, bunların büyük bir listesine ve nihai sonucun daha sonra hesaplanmasını gerektiren aritmetik işlem işaretlerine kadar. Kesir aynı zamanda herhangi bir a, b, c, d vb. içermiyorsa sayısal bir ifadedir, çünkü o zaman tamamen farklı bir türdür ve biraz sonra tartışılacaktır.

Mantıklı olmayan bir ifadenin koşulları

Bir görev "hesapla" kelimesiyle başladığında dönüşümden bahsedebiliriz. Mesele şu ki, bu eylem her zaman tavsiye edilmez: Mantıklı olmayan bir ifadenin öne çıkması pek de gerekli değildir. Örnekler sonsuz derecede şaşırtıcı: Bazen bizi aştığını anlamak için parantezleri uzun ve sıkıcı bir şekilde açmamız ve say-say-saymamız gerekiyor...

Unutulmaması gereken en önemli nokta, nihai sonucu matematikte yasak olan bir eyleme indirgenen ifadelerde hiçbir anlam bulunmadığıdır. Dürüst olmak gerekirse, o zaman dönüşümün kendisi anlamsız hale gelir, ancak bunu öğrenmek için önce onu gerçekleştirmelisiniz. Tam bir paradoks!

En ünlü, ancak daha az önemli olmayan yasaklı matematik işlemi sıfıra bölmedir.

Dolayısıyla örneğin burada hiçbir anlam ifade etmeyen bir ifade var:

(17+11):(5+4-10+1).

Basit hesaplamalar kullanarak ikinci parantezi bir rakama indirirsek sıfır olacaktır.

Aynı prensiple şu ifadeye de “onursal unvan” verilmiştir:

(5-18):(19-4-20+5).

Cebirsel ifadeler

Bu, yasaklı harflerin eklenmesi durumunda aynı sayısal ifadedir. Daha sonra tam teşekküllü cebirsel hale gelir. Ayrıca her boyutta ve şekilde olabilir. Cebirsel ifade, bir öncekini de kapsayan daha geniş bir kavramdır. Ancak sohbete onunla değil, bir sayıyla başlamak mantıklıydı, böylece daha net ve anlaşılır olacaktı. Sonuçta cebirsel bir ifadenin anlamlı olup olmadığı çok karmaşık bir soru değil, daha fazla açıklama içeren bir sorudur.

Bu neden böyle?

Değişmez bir ifade veya değişkenleri olan bir ifade eşanlamlıdır. İlk terimin açıklaması kolaydır: sonuçta harfler içerir! İkincisi de yüzyılın gizemi değil: Harflerin yerine farklı sayıları kullanabilirsiniz, bunun sonucunda ifadenin anlamı değişecektir. Bu durumda harflerin değişken olduğunu tahmin etmek zor değil. Benzer şekilde sayılar sabittir.

Ve işte asıl konumuza dönüyoruz: Hiçbir anlamı olmayan ifade nedir?

Hiçbir anlam ifade etmeyen cebirsel ifade örnekleri

Cebirsel bir ifadenin anlamsızlığının koşulu, yalnızca bir istisna veya daha kesin olarak bir toplama dışında sayısal bir ifadeyle aynıdır. Nihai sonucu dönüştürürken ve hesaplarken değişkenleri hesaba katmanız gerekiyor, bu nedenle soru “hangi ifade anlamlı değil?” değil, “değişkenin hangi değerinde bu ifade anlamlı olmayacak?” sorusu soruluyor. ve "değişkenin ifadenin artık anlamlı olmayacağı bir değeri var mı?"

Örneğin, (18-3):(a+11-9).

a -2'ye eşit olduğunda yukarıdaki ifadenin bir anlamı yoktur.

Ancak (a+3):(12-4-8) hakkında bunun hiçbir a için anlam ifade etmeyen bir ifade olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.

Aynı şekilde, (b - 11): (12+1) ifadesine hangi b'yi koyarsanız koyun, yine de anlamlı olacaktır.

"Hiçbir anlam ifade etmeyen bir ifade" konusundaki tipik problemler

7. sınıf, diğer konuların yanı sıra matematikte de bu konuyu inceler ve bu konuyla ilgili ödevler genellikle hem doğrudan ilgili dersten sonra hem de modüllerde ve sınavlarda "hileli" bir soru olarak bulunur.

Bu nedenle tipik sorunları ve bunları çözmek için yöntemleri dikkate almaya değer.

Örnek 1.

Şu ifade anlamlı mı:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Tüm hesaplamaları parantez içinde yapmak ve ifadeyi forma getirmek gerekir:

Nihai sonuç sıfıra bölmeyi içerdiğinden ifade anlamsızdır.

Örnek 2.

Hangi ifadeler anlamlı değil?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Her ifade için son değeri hesaplamanız gerekir.

Cevap: 1; 2.

Örnek 3.

Aşağıdaki ifadeler için kabul edilebilir değer aralığını bulun:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/(14-b+11).

İzin verilen değerler aralığı (VA), değişkenler yerine ikame edildiğinde ifadenin anlamlı olacağı tüm sayılardır.

Yani görev şuna benziyor: sıfıra bölünmenin olmayacağı değerleri bulun.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), veya b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), veya b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Örnek 4.

Aşağıdaki ifade hangi değerlerde hiçbir anlam ifade etmeyecektir?

Oyun -3'e eşit olduğunda ikinci parantez sıfıra eşittir.

Cevap: y=-3

Örnek 4.

İfadelerden hangisi yalnızca x = -14 durumunda anlamlı değildir?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 ve 3, çünkü ilk durumda, x = -14'ü değiştirirseniz, ikinci parantez anlamsız bir ifadenin tanımında göründüğü gibi sıfıra değil -28'e eşit olacaktır.

Örnek 5.

Hiçbir anlam ifade etmeyen bir ifade bulun ve yazın.

18/(2-46+17-33+45+15).

İki değişkenli cebirsel ifadeler

Mantıklı olmayan tüm ifadeler aynı öze sahip olmasına rağmen karmaşıklıklarının farklı düzeyleri vardır. Yani sayısal olanların basit örnekler olduğunu söyleyebiliriz çünkü bunlar cebirsel olanlardan daha kolaydır. İkincisindeki değişkenlerin sayısı çözümün zorluğunu artırmaktadır. Ancak görünümleri kafa karıştırıcı olmamalıdır: Önemli olan, örneğin standart bir soruna benzemesine veya bazı bilinmeyen eklemelere sahip olmasına bakılmaksızın, çözümün genel ilkesini hatırlamak ve onu uygulamaktır.

Örneğin böyle bir görevin nasıl çözüleceği sorusu ortaya çıkabilir.

İfade için geçersiz olan bir sayı çiftini bulun ve yazın:

(x3 - x2y3 + 13x - 38y)/(12x2 - y).

Olası cevaplar:

Ama aslında sadece korkutucu ve hantal görünüyor çünkü aslında uzun zamandır bilinenleri içeriyor: sayıların karesini alma ve küpünü alma, bölme, çarpma, çıkarma ve toplama gibi bazı aritmetik işlemler. Kolaylık sağlamak için, bu arada, sorunu kesirli forma indirgeyebilirsiniz.

Ortaya çıkan kesrin payı mutlu değil: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). Bu bir gerçek. Ancak mutluluğun başka bir nedeni daha var: Görevi çözmek için ona dokunmanıza bile gerek yok! Daha önce tartışılan tanıma göre sıfıra bölemezsiniz ve ona tam olarak neyin bölüneceği tamamen önemsizdir. Bu nedenle, bu ifadeyi değiştirmeden bırakıyoruz ve bu seçeneklerdeki sayı çiftlerini paydaya yerleştiriyoruz. Zaten üçüncü nokta mükemmel bir şekilde uyuyor ve küçük bir parantezi sıfıra çeviriyor. Ancak orada durmak kötü bir öneridir çünkü başka bir şey uygun olabilir. Nitekim beşinci nokta da gayet iyi uyuyor ve koşullara uyuyor.

Cevabı yazıyoruz: 3 ve 5.

Sonuç olarak

Gördüğünüz gibi bu konu çok ilginç ve özellikle karmaşık değil. Bunu anlamak zor olmayacak. Ancak birkaç örnek uygulamaktan asla zarar gelmez!

Sayısal, harfli ifadeler ve değişkenli ifadeler konusunu incelerken kavrama dikkat etmeniz gerekir. ifade değeri. Bu yazımızda sayısal bir ifadenin değeri nedir, seçilen değişken değerleri için değişkenli bir ifadenin ve değişkenli bir ifadenin değerine ne denir sorusunu cevaplayacağız. Bu tanımları netleştirmek için örnekler veriyoruz.

Sayfada gezinme.

Sayısal bir ifadenin değeri nedir?

Sayısal ifadelerle tanışma neredeyse okuldaki ilk matematik derslerinden itibaren başlar. Hemen hemen “sayısal bir ifadenin değeri” kavramı tanıtıldı. Aritmetik işlem işaretleriyle (+, −, ·, :)) birbirine bağlanan sayılardan oluşan ifadeleri ifade eder. İlgili tanımı verelim.

Tanım.

Sayısal ifade değeri– orijinal sayısal ifadedeki tüm işlemler yapıldıktan sonra elde edilen sayıdır.

Örneğin 1+2 sayısal ifadesini düşünün. Bunu yaptıktan sonra 1+2 sayısal ifadesinin değeri olan 3 sayısını elde ederiz.

Çoğu zaman "sayısal bir ifadenin anlamı" ifadesinde "sayısal" kelimesi atlanır ve ifadenin anlamının ne olduğu hala açık olduğundan sadece "ifadenin anlamı" denir.

Bir ifadenin anlamının yukarıdaki tanımı, lisede öğretilen daha karmaşık türdeki sayısal ifadeler için de geçerlidir. Burada değerleri belirtilmeyen sayısal ifadelerle karşılaşabileceğinizi belirtmekte fayda var. Bunun nedeni bazı ifadelerde kaydedilen eylemlerin gerçekleştirilmesinin mümkün olmamasıdır. Örneğin 3:(2−2) ifadesinin değerini bu yüzden belirtemiyoruz. Bu tür sayısal ifadelere denir anlamsız ifadeler.

Pratikte çoğu zaman sayısal ifadeden ziyade anlamı ilgi çekicidir. Yani, belirli bir ifadenin anlamını belirleme görevi ortaya çıkar. Bu durumda genellikle ifadenin değerini bulmanız gerektiğini söylerler. Bu makale, çeşitli türlerdeki sayısal ifadelerin değerini bulma sürecini ayrıntılı olarak incelemekte ve çözümlerin ayrıntılı açıklamalarını içeren birçok örneği ele almaktadır.

Değişmez ve değişken ifadelerin anlamı

Sayısal ifadelerin yanı sıra gerçek ifadeler yani sayıların yanında bir veya daha fazla harfin yer aldığı ifadeler de incelenmektedir. Değişmez bir ifadedeki harfler farklı sayıları temsil edebilir ve harflerin yerine bu sayılar konulursa, değişmez ifade sayısal bir ifadeye dönüşür.

Tanım.

Gerçek bir ifadede harflerin yerine geçen sayılara denir bu harflerin anlamları, ve elde edilen sayısal ifadenin değerine denir verilen harf değerleri için değişmez bir ifadenin değeri.

Yani, birebir ifadeler için sadece gerçek ifadenin anlamından değil, harflerin verilen (verilen, gösterilen vb.) değerleri göz önüne alındığında gerçek ifadenin anlamından da söz edilir.

Bir örnek verelim. 2·a+b ifadesini birebir alalım. a ve b harflerinin değerleri verilsin örneğin a=1 ve b=6. Orijinal ifadedeki harfleri değerleri ile değiştirerek 2·1+6 şeklinde sayısal bir ifade elde ederiz, değeri 8'dir. Dolayısıyla 8 sayısı, a=1 ve b=6 harflerinin verilen değerleri için 2·a+b ifadesinin değeridir. Başka harf değerleri verilmiş olsaydı o zaman o harf değerlerinin harf ifadesinin değerini alırdık. Örneğin a=5 ve b=1 ile 2·5+1=11 değerini elde ederiz.

Lise cebirinde harf ifadelerindeki harflerin farklı anlamlar almasına izin verilir, bu tür harflere değişken, harf ifadelerine ise değişkenli ifadeler adı verilir. Bu ifadeler için, değişkenlerin seçilen değerleri için değişkenli bir ifadenin değeri kavramı tanıtılmıştır. Ne olduğunu bulalım.

Tanım.

Seçilen değişken değerleri için değişkenleri içeren bir ifadenin değeri seçilen değişken değerlerinin orijinal ifadeye yerleştirilmesinden sonra elde edilen sayısal ifadenin değeridir.

Belirtilen tanımı bir örnekle açıklayalım. 3·x·y+y formunda x ve y değişkenlerine sahip bir ifade düşünün. x=2 ve y=4'ü alıp bu değişken değerlerini orijinal ifadede yerine koyalım ve 3·2·4+4 sayısal ifadesini elde edelim. Bu ifadenin değerini hesaplayalım: 3·2·4+4=24+4=28. Bulunan değer 28, x=2 ve y=4 değişkenlerinin seçilen değerleri için 3·x·y+y değişkenlerini içeren orijinal ifadenin değeridir.

Başka değişken değerleri seçerseniz, örneğin x=5 ve y=0, bu durumda seçilen bu değişken değerleri, değişken ifadesinin 3·5·0+0=0 değerine eşit değerine karşılık gelecektir.

Bazen değişkenlerin seçilen farklı değerlerinin eşit ifade değerlerine yol açabileceği belirtilebilir. Örneğin x=9 ve y=1 için 3 x y+y ifadesinin değeri 28'dir (3 9 1+1=27+1=28 olduğundan) ve yukarıda aynı değerin şununla ifade edildiğini gösterdik: değişkenler x=2 ve y=4'tedir.

Değişken değerler karşılık gelenlerinden seçilebilir kabul edilebilir değer aralıkları. Aksi takdirde bu değişkenlerin değerlerini orijinal ifadede yerine koyarken anlamsız bir sayısal ifade elde edersiniz. Örneğin, x=0'ı seçerseniz ve bu değeri 1/x ifadesinde yerine koyarsanız, 1/0 sayısal ifadesini elde edersiniz; sıfıra bölme tanımlı olmadığı için bu hiçbir anlam ifade etmez.

Değerleri, içerdikleri değişkenlerin değerlerine bağlı olmayan değişkenlere sahip ifadelerin bulunduğunu eklemek yeterlidir. Örneğin, 2+x−x formundaki bir x değişkenine sahip bir ifadenin değeri, bu değişkenin değerine bağlı değildir; izin verilen değerler aralığında x değişkeninin seçilen herhangi bir değeri için 2'ye eşittir. , bu durumda tüm gerçek sayılar kümesidir.

Referanslar.

• Matematik: ders kitabı 5. sınıf için. genel eğitim kurumlar / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: hasta. ISBN 5-346-00699-0.
• Cebir: ders kitabı 7. sınıf için genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Sayısal ifade– bu herhangi bir sayı, aritmetik sembol ve parantez kaydıdır. Sayısal bir ifade yalnızca bir sayıdan oluşabilir. Temel aritmetik işlemlerin “toplama”, “çıkarma”, “çarpma” ve “bölme” olduğunu hatırlayın. Bu eylemler “+”, “-”, “∙”, “:” işaretlerine karşılık gelir.

Elbette sayısal bir ifade elde edebilmemiz için sayıların ve aritmetik simgelerin kaydının anlamlı olması gerekir. Dolayısıyla, örneğin, böyle bir giriş 5: + ∙ sayısal bir ifade olarak adlandırılamaz, çünkü bu, hiçbir anlamı olmayan rastgele bir semboller kümesidir. Aksine 5 + 8 ∙ 9 zaten gerçek bir sayısal ifadedir.

Sayısal bir ifadenin değeri.

Hemen diyelim ki sayısal ifadede belirtilen işlemleri yaparsak sonuç olarak bir sayı elde edeceğiz. Bu numara denir sayısal bir ifadenin değeri.

Örneğimizdeki eylemlerin sonucunda ne elde edeceğimizi hesaplamaya çalışalım. Aritmetik işlemlerin yapılma sırasına göre öncelikle çarpma işlemini gerçekleştiriyoruz. 8'i 9'la çarparız. 72 elde ederiz. Şimdi 72 ile 5'i toplarsak 77 elde ederiz.
Yani, 77 - Anlam sayısal ifade 5 + 8 ∙ 9.

Sayısal eşitlik.

Bunu şu şekilde yazabilirsiniz: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Burada ilk defa “=” işaretini (“Eşittir”) kullandık. İki sayısal ifadenin “=” işaretiyle ayrıldığı bu gösterime denir. sayısal eşitlik. Ayrıca eşitliğin sol ve sağ taraflarının değerleri çakışıyorsa eşitlik denir. sadık. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – doğru eşitlik.
5 + 8 ∙ 9 = 100 yazarsak bu zaten olur yanlış eşitlikçünkü bu eşitliğin sol ve sağ taraflarının değerleri artık çakışmıyor.

Sayısal ifadelerde parantezlerin de kullanılabileceğine dikkat edilmelidir. Parantez, eylemlerin gerçekleştirilme sırasını etkiler. Mesela parantez ekleyerek örneğimizi değiştirelim: (5 + 8) ∙ 9. Şimdi önce 5 ile 8'i toplamamız gerekiyor. 13 elde ediyoruz. Sonra 13'ü 9 ile çarpıyoruz. 117 elde ediyoruz. Böylece, (5) + 8) ∙ 9 = 117.
117 – Anlam sayısal ifade (5 + 8) ∙ 9.

Bir ifadeyi doğru okumak için, belirli bir sayısal ifadenin değerini hesaplamak amacıyla en son hangi eylemin gerçekleştirildiğini belirlemeniz gerekir. Yani son işlem çıkarma ise ifadeye “fark” denir. Buna göre, eğer son eylem bir toplamsa - bir "toplam", bölme - bir "bölüm", çarpma - bir "çarpım", üs alma - bir "kuvvet".

Örneğin (1+5)(10-3) sayısal ifadesi şu şekildedir: “1 ve 5 sayılarının toplamı ile 10 ve 3 sayılarının farkının çarpımı.”

Sayısal ifade örnekleri.

Aşağıda daha karmaşık bir sayısal ifade örneği verilmiştir:

\[\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]

Parantez içinde $\frac(1)(4)+3.75$ ifadesine sahibiz. 3,75 ondalık kesirini ortak bir kesire dönüştürün.

$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Bu yüzden, $\frac(1)(4)+3,75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Daha sonra kesrin payında \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\] 1,25+3,47+4,75-1,47 ifadesine sahibiz. Bu ifadeyi basitleştirmek için, "Terimlerin yerleri değiştirildiğinde toplam değişmez" diyen değişmeli toplama yasasını uyguluyoruz. Yani 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

Kesrin paydasında ifade $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Aldık $\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

Sayısal ifadeler ne zaman anlamsızdır?

Başka bir örneğe bakalım. Kesrin paydasında $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$$3\centerdot 3-9$ ifadesinin değeri 0'dır. Ve bildiğimiz gibi sıfıra bölmek imkansızdır. Dolayısıyla $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ kesirinin bir anlamı yoktur. Anlamı olmayan sayısal ifadelere “anlamsız” denir.

Sayısal ifadede sayıların yanı sıra harfleri de kullanırsak