Sayısal, harfli ifadeler ve değişkenli ifadeler konusunu incelerken kavrama dikkat etmeniz gerekir. ifade değeri. Bu yazımızda sayısal bir ifadenin değeri nedir, seçilen değişken değerleri için değişkenli bir ifadenin ve değişkenli bir ifadenin değerine ne denir sorusunu cevaplayacağız. Bu tanımları netleştirmek için örnekler veriyoruz.

Sayfada gezinme.

Sayısal bir ifadenin değeri nedir?

Sayısal ifadelerle tanışma neredeyse okuldaki ilk matematik derslerinden itibaren başlar. Hemen hemen “sayısal bir ifadenin değeri” kavramı tanıtıldı. Aritmetik işlem işaretleriyle (+, −, ·, :)) birbirine bağlanan sayılardan oluşan ifadeleri ifade eder. İlgili tanımı verelim.

Tanım.

Sayısal ifade değeri– bu, orijinaldeki tüm eylemlerin gerçekleştirilmesinden sonra elde edilen sayıdır sayısal olarak.

Örneğin 1+2 sayısal ifadesini düşünün. Tamamladıktan sonra 1+2 sayısal ifadesinin değeri olan 3 sayısını elde ederiz.

Çoğunlukla "sayısal bir ifadenin anlamı" ifadesinde "sayısal" kelimesi atlanır ve sadece "ifadenin anlamı" denir, çünkü ifadenin anlamının ne olduğu hala açıktır.

Bir ifadenin anlamının yukarıdaki tanımı aynı zamanda birden fazla olan sayısal ifadeler için de geçerlidir. karmaşık tip lisede okutulanlar. Burada değerleri belirtilmeyen sayısal ifadelerle karşılaşabileceğinizi belirtmekte fayda var. Bunun nedeni bazı ifadelerde kaydedilen eylemlerin gerçekleştirilmesinin mümkün olmamasıdır. Örneğin 3:(2−2) ifadesinin değerini bu yüzden belirtemiyoruz. Bu tür sayısal ifadelere denir anlamsız ifadeler.

Pratikte çoğu zaman sayısal ifadeden ziyade anlamı ilgi çekicidir. Yani, belirli bir ifadenin anlamını belirleme görevi ortaya çıkar. Bu durumda genellikle ifadenin değerini bulmanız gerektiğini söylerler. Bu makalede sayısal ifadelerin değerini bulma süreci ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. çeşitli türler ve bir çok örnek detaylı açıklamalar kararlar.

Değişmez ve değişken ifadelerin anlamı

Sayısal ifadelerin yanı sıra gerçek ifadeler yani sayıların yanında bir veya daha fazla harfin yer aldığı ifadeler de incelenmektedir. Değişmez bir ifadedeki harfler farklı sayıları temsil edebilir ve harflerin yerine bu sayılar konulursa, değişmez ifade sayısal bir ifadeye dönüşür.

Tanım.

Gerçek bir ifadede harflerin yerine geçen sayılara denir bu harflerin anlamları, ve elde edilen sayısal ifadenin değerine denir verilen harf değerleri için değişmez bir ifadenin değeri.

Yani birebir ifadeler için sadece gerçek ifadenin anlamından değil, harflerin verilen (verilen, gösterilen vb.) değerlerinin gerçek ifadenin anlamından bahsediyoruz.

Bir örnek verelim. 2·a+b ifadesini birebir alalım. a ve b harflerinin değerleri verilsin örneğin a=1 ve b=6. Orijinal ifadedeki harfleri değerleri ile değiştirerek 2·1+6 şeklinde sayısal bir ifade elde ederiz, değeri 8'dir. Dolayısıyla 8 sayısı, a=1 ve b=6 harflerinin verilen değerleri için 2·a+b ifadesinin değeridir. Başka harf değerleri verilmiş olsaydı o zaman o harf değerlerinin harf ifadesinin değerini alırdık. Örneğin a=5 ve b=1 ile 2·5+1=11 değerini elde ederiz.

Lisede cebir okurken harfli ifadelerdeki harflerin alınmasına izin verilir. Farklı anlamlar, bu tür harflere değişkenler, harf ifadelerine ise değişkenli ifadeler adı verilir. Bu ifadeler için, değişkenlerin seçilen değerleri için değişkenli bir ifadenin değeri kavramı tanıtılmıştır. Ne olduğunu bulalım.

Tanım.

Seçilen değişken değerleri için değişkenleri içeren bir ifadenin değeri seçilen değişken değerlerinin orijinal ifadeye yerleştirilmesinden sonra elde edilen sayısal ifadenin değeridir.

Belirtilen tanımı bir örnekle açıklayalım. 3·x·y+y formunda x ve y değişkenlerine sahip bir ifade düşünün. x=2 ve y=4'ü alıp bu değişken değerlerini orijinal ifadede yerine koyalım ve 3·2·4+4 sayısal ifadesini elde edelim. Bu ifadenin değerini hesaplayalım: 3·2·4+4=24+4=28. Bulunan değer 28, x=2 ve y=4 değişkenlerinin seçilen değerleri için 3·x·y+y değişkenlerini içeren orijinal ifadenin değeridir.

Başka değişken değerleri seçerseniz, örneğin x=5 ve y=0, bu durumda seçilen bu değişken değerleri, değişken ifadesinin 3·5·0+0=0 değerine eşit değerine karşılık gelecektir.

Bazen değişkenlerin seçilen farklı değerlerinin eşit ifade değerlerine yol açabileceği belirtilebilir. Örneğin, x=9 ve y=1 için 3 x y+y ifadesinin değeri 28'dir (3 9 1+1=27+1=28 olduğundan) ve yukarıda aynı değerin değişkenli ifade olduğunu gösterdik x=2 ve y=4'tedir.

Değişken değerler karşılık gelenlerinden seçilebilir kabul edilebilir değer aralıkları. Aksi takdirde bu değişkenlerin değerlerini orijinal ifadede yerine koyarken anlamsız bir sayısal ifade elde edersiniz. Örneğin, x=0'ı seçerseniz ve bu değeri 1/x ifadesinde yerine koyarsanız, 1/0 sayısal ifadesini elde edersiniz; sıfıra bölme tanımlı olmadığı için bu hiçbir anlam ifade etmez.

Değerleri, içerdikleri değişkenlerin değerlerine bağlı olmayan değişkenlere sahip ifadelerin bulunduğunu eklemek yeterlidir. Örneğin, 2+x−x formundaki bir x değişkenine sahip bir ifadenin değeri, bu değişkenin değerine bağlı değildir; izin verilen değerler aralığından x değişkeninin seçilen herhangi bir değeri için 2'ye eşittir. , hangisinde bu durumda tüm gerçek sayıların kümesidir.

Kaynakça.

• Matematik: ders kitabı 5. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: hasta. ISBN 5-346-00699-0.
• Cebir: ders kitabı 7. sınıf için Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Sayısal ve cebirsel ifadeler. İfadeleri Dönüştürme.

Matematikte ifade nedir? Neden ifade dönüşümlerine ihtiyacımız var?

Soru, dedikleri gibi ilginç... Gerçek şu ki, bu kavramlar tüm matematiğin temelidir. Tüm matematik ifadelerden ve bunların dönüşümlerinden oluşur. Çok temiz değil? Açıklamama izin ver.

Diyelim ki karşınızda kötü bir örnek var. Çok büyük ve çok karmaşık. Diyelim ki matematikte iyisiniz ve hiçbir şeyden korkmuyorsunuz! Hemen cevap verebilir misiniz?

Zorunda olacaksın karar vermek bu örnek. Bu örnekte tutarlı bir şekilde adım adım basitleştirmek. Elbette belirli kurallara göre. Onlar. Yapmak ifade dönüşümü. Bu dönüşümleri ne kadar başarılı bir şekilde gerçekleştirirseniz matematikte o kadar güçlü olursunuz. Doğru dönüşümleri nasıl yapacağınızı bilmiyorsanız bunları matematikte yapamazsınız. Hiç bir şey...

Böylesine rahatsız edici bir gelecekten (veya bugünden) kaçınmak için bu konuyu anlamaktan zarar gelmez.)

İlk önce öğrenelim matematikte bir ifade nedir. Ne oldu sayısal ifade ve nedir cebirsel ifade.

Matematikte ifade nedir?

Matematikte ifade- bu çok geniş bir kavram. Matematikte uğraştığımız hemen hemen her şey bir dizi matematiksel ifadedir. Herhangi bir örnek, formül, kesir, denklem vb. matematiksel ifadeler.

3+2 matematiksel bir ifadedir. c 2 - d 2- bu aynı zamanda matematiksel bir ifadedir. Hem sağlıklı bir kesir hem de tek bir sayı, hepsi matematiksel ifadelerdir. Örneğin denklem şu şekildedir:

5x + 2 = 12

Eşittir işaretiyle birbirine bağlanan iki matematiksel ifadeden oluşur. Bir ifade solda, diğeri sağda.

İÇİNDE Genel görünüm terim " matematiksel ifade"çoğunlukla uğultudan kaçınmak için kullanılır. Örneğin size sıradan bir kesirin ne olduğunu soracaklar? Peki nasıl cevap verilir?!

İlk cevap: "Bu... mmmmmm... öyle bir şey ki... içinde... Daha iyi bir kesir yazabilir miyim? Hangisini istersin?"

İkinci cevap: " Ortak kesir- bu (neşeyle ve neşeyle!) matematiksel ifade bir pay ve bir paydadan oluşan!"

İkinci seçenek bir şekilde daha etkileyici olacak, değil mi?)

" cümlesinin amacı budur. matematiksel ifade "çok iyi. Hem doğru, hem sağlam. Ama pratik uygulama iyi bilgi sahibi olmak lazım matematikte belirli ifade türleri .

Spesifik tip başka bir konudur. Bu tamamen farklı bir konu! Her tür matematiksel ifadenin bana ait Karar verirken kullanılması gereken bir dizi kural ve teknik. Kesirlerle çalışmak için - bir set. Trigonometrik ifadelerle çalışmak için - ikincisi. Logaritmalarla çalışmak için - üçüncü. Ve benzeri. Bir yerlerde bu kurallar örtüşüyor, bir yerlerde ise keskin bir şekilde farklılaşıyor. Ancak bu korkutucu sözlerden korkmayın. Uygun bölümlerde logaritma, trigonometri ve diğer gizemli konularda ustalaşacağız.

Burada iki ana matematiksel ifade türüne hakim olacağız (veya kime bağlı olarak tekrarlayacağız). Sayısal ifadeler ve cebirsel ifadeler.

Sayısal ifadeler.

Ne oldu sayısal ifade? Bu çok basit bir kavramdır. İsmin kendisi bunun sayılardan oluşan bir ifade olduğunu ima ediyor. İşte böyle. Sayılardan, parantezlerden ve aritmetik sembollerden oluşan matematiksel ifadeye sayısal ifade denir.

7-3 sayısal bir ifadedir.

(8+3.2) 5.4 de sayısal bir ifadedir.

Ve bu canavar:

aynı zamanda sayısal bir ifade, evet...

Sıradan bir sayı, bir kesir, X ve diğer harflerin olmadığı herhangi bir hesaplama örneği; bunların hepsi sayısal ifadelerdir.

Ana işaret sayısal ifadeler - içinde harf yok. Hiçbiri. Yalnızca sayılar ve matematiksel semboller (gerekirse). Çok basit, değil mi?

Peki sayısal ifadelerle neler yapabilirsiniz? Sayısal ifadeler genellikle sayılabilir. Bunu yapmak için parantezleri açmanız, işaretleri değiştirmeniz, kısaltmanız, terimleri değiştirmeniz gerekir; Yapmak ifade dönüşümleri. Ancak bunun hakkında daha fazlası aşağıda.

Burada sayısal bir ifadeyle böyle komik bir durumu ele alacağız. hiçbir şey yapmanıza gerek yok. Aslında hiçbir şey! Bu hoş operasyon - Hiçbirşey yapmamak)- ifade yürütüldüğünde yürütülür mantıklı değil.

Sayısal bir ifade ne zaman anlamsızdır?

Önümüzde bir tür abrakadabra görürsek,

o zaman hiçbir şey yapmayacağız. Çünkü bu konuda ne yapılacağı belli değil. Bir çeşit saçmalık. Belki artıların sayısını sayın...

Ancak dışarıdan oldukça düzgün ifadeler var. Örneğin bu:

(2+3) : (16 - 2 8)

Ancak bu ifade aynı zamanda mantıklı değil! Basit bir nedenden ötürü, ikinci parantez içinde - eğer sayarsanız - sıfır alırsınız. Ama sıfıra bölemezsin! Bu matematikte yasak bir işlemdir. Dolayısıyla bu ifadeyle de herhangi bir işlem yapılmasına gerek yoktur. Böyle bir ifadeye sahip herhangi bir görev için cevap her zaman aynı olacaktır: "İfadenin hiçbir anlamı yok!"

Böyle bir cevap verebilmek için elbette parantez içinde ne olacağını hesaplamam gerekiyordu. Ve bazen parantez içinde bir sürü şey oluyor... Eh, bu konuda yapabileceğiniz hiçbir şey yok.

Matematikte çok fazla yasaklı işlem yoktur. Bu başlıkta sadece bir tane var. Sıfıra bölüm. Kökler ve logaritmalardan kaynaklanan ek kısıtlamalar ilgili konularda tartışılmaktadır.

Yani, ne olduğuna dair bir fikir sayısal ifade- var. Konsept sayısal ifade anlamlı değil- gerçekleştirilmiş. Hadi devam edelim.

Cebirsel ifadeler.

Sayısal bir ifadede harfler yer alırsa, bu ifade şu şekilde olur: İfade şu şekilde olur: Evet! O olur cebirsel ifade. Örneğin:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 milyon/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Bu tür ifadelere aynı zamanda denir gerçek ifadeler. Veya değişkenli ifadeler. Neredeyse aynı şey. İfade 5a +cörneğin hem gerçek hem de cebirsel ve değişkenleri olan bir ifade.

Konsept cebirsel ifade - sayısaldan daha geniştir. BT içerir ve tüm sayısal ifadeler. Onlar. sayısal bir ifade aynı zamanda cebirsel bir ifadedir, yalnızca harfleri yoktur. Her ringa balığı bir balıktır ama her balık ringa balığı değildir...)

Neden alfabetik- Apaçık. Madem mektuplar var... Cümle değişkenlerle ifade Aynı zamanda çok da kafa karıştırıcı değil. Rakamların harflerin altında saklı olduğunu anlarsanız. Harflerin altına her türlü sayı gizlenebilir... Ve 5, -18 ve başka herhangi bir şey. Yani bir mektup olabilir yer değiştirmek Açık farklı sayılar. Bu yüzden harflere denir değişkenler.

İfadede y+5, Örneğin, en - değişken miktar. Ya da sadece şunu söylüyorlar: değişken", "büyüklük" kelimesi olmadan. Sabit bir değer olan beşin aksine. Ya da sadece - devamlı.

Terim cebirsel ifade bu ifadeyle çalışmak için yasaları ve kuralları kullanmanız gerektiği anlamına gelir cebir. Eğer aritmetik belirli sayılarla çalışır, ardından cebir- tüm sayılarla aynı anda. Açıklama için basit bir örnek.

Aritmetikte bunu yazabiliriz

Ancak böyle bir eşitliği cebirsel ifadelerle yazarsak:

a + b = b + bir

hemen karar vereceğiz Tüm sorular. İçin tüm sayılar felç. Sonsuz olan her şey için. Çünkü harflerin altında A Ve B ima edilen Tüm sayılar. Ve sadece sayılar değil, diğer matematiksel ifadeler bile. Cebir bu şekilde çalışır.

Cebirsel bir ifade ne zaman anlamlı olmaz?

Sayısal ifadeyle ilgili her şey açıktır. Orada sıfıra bölemezsiniz. Peki harflerle neye böldüğümüzü bulmak mümkün mü?

Örneğin değişkenlerle birlikte bu ifadeyi ele alalım:

2: (A - 5)

Mantıklı geliyor? Kim bilir? A- herhangi bir numara...

Herhangi biri, herhangi biri... Ama tek bir anlamı var A, bunun için bu ifade Kesinlikle mantıklı değil! Peki bu sayı nedir? Evet! Bu 5! Değişken ise A 5 rakamını değiştirin ("yedek" diyorlar), parantez içinde sıfır elde edersiniz. Hangisi bölünemez. Böylece ifademizin ortaya çıktığı ortaya çıktı mantıklı değil, Eğer bir = 5. Ama diğer değerler için A mantıklı geliyor? Başka sayıları değiştirebilir misiniz?

Kesinlikle. Bu gibi durumlarda basitçe şunu söylerler: ifade

2: (A - 5)

herhangi bir değer için anlamlıdır A, a = 5 hariç .

Tüm sayı kümesi Olabilmek Belirli bir ifadenin yerine koymaya denir kabul edilebilir değerler aralığı bu ifade.

Gördüğünüz gibi zorlayıcı bir şey yok. Değişkenli ifadeye bakalım ve şunu anlayalım: yasak işlem (sıfıra bölme) değişkenin hangi değerinde elde edilir?

Ve sonra görev sorusuna baktığınızdan emin olun. Ne soruyorlar?

mantıklı değil, yasak anlamımız cevap olacaktır.

İfadenin bir değişkenin hangi değerinde olduğunu sorarsanız anlamı var(farkı hissedin!), cevap şu olacak: diğer tüm sayılar yasaklananlar hariç.

İfadenin anlamına neden ihtiyacımız var? O orada, o değil... Ne fark eder ki?! Mesele şu ki bu kavram lisede çok önemli hale geliyor. Son derece önemli! Bu, kabul edilebilir değerlerin alanı veya bir fonksiyonun alanı gibi katı kavramların temelidir. Bu olmadan ciddi denklemleri veya eşitsizlikleri hiçbir şekilde çözemezsiniz. Bunun gibi.

İfadeleri Dönüştürme. Kimlik dönüşümleri.

Sayısal ve cebirsel ifadelerle tanıştık. “İfadenin hiçbir anlamı yok” ifadesinin ne anlama geldiğini anladık. Şimdi bunun ne olduğunu bulmamız gerekiyor ifade dönüşümü. Cevap utanç verici derecede basittir.) Bu, ifadesi olan herhangi bir eylemdir. Bu kadar. Bu dönüşümleri birinci sınıftan beri yapıyorsunuz.

Harika bir sayısal ifade olan 3+5'i ele alalım. Nasıl dönüştürülebilir? Evet, çok basit! Hesaplamak:

Bu hesaplama ifadenin dönüşümü olacaktır. Aynı ifadeyi farklı şekilde yazabilirsiniz:

Burada hiçbir şeyi saymadık. Sadece ifadeyi yazdım farklı bir biçimde. Bu aynı zamanda ifadenin de dönüşümü olacaktır. Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

Bu da bir ifadenin dönüşümüdür. Bu tür dönüşümleri istediğiniz kadar yapabilirsiniz.

Herhangi ifadeye ilişkin eylem herhangi başka bir biçimde yazmaya ifadeyi dönüştürmek denir. Ve hepsi bu. Her şey çok basit. Ama burada bir şey var çok önemli kural. Güvenli bir şekilde çağrılabilecek kadar önemli ana kural hepsi matematik. Bu kuralı çiğnemek kaçınılmaz olarak hatalara yol açar. Bu konuya giriyor muyuz?)

Diyelim ki ifademizi gelişigüzel şu şekilde değiştirdik:

Dönüştürmek? Kesinlikle. İfadeyi farklı bir biçimde yazdık, burada yanlış olan ne?

Öyle değil.) Mesele şu ki, dönüşümler "rastgele" matematikle hiç ilgilenmiyorum.) Tüm matematik, dönüşümler üzerine kuruludur. dış görünüş, ancak ifadenin özü değişmez.Üç artı beş herhangi bir biçimde yazılabilir, ancak sekiz olması gerekir.

Dönüşümler, özü değiştirmeyen ifadeler arandı birebir aynı.

Kesinlikle kimlik dönüşümleri ve karmaşık bir örneği adım adım basit bir ifadeye dönüştürmemize izin verin. örneğin özü. Dönüşüm zincirinde bir hata yaparsak, özdeş OLMAYAN bir dönüşüm yaparız, sonra karar veririz bir diğerörnek. Doğru olanlarla ilgili olmayan diğer yanıtlarla.)

Bu, herhangi bir görevi çözmenin ana kuralıdır: dönüşümlerin kimliğini korumak.

Anlaşılır olması açısından 3+5 sayısal ifadesiyle bir örnek verdim. İÇİNDE cebirsel ifadeler Aynı dönüşümler formüller ve kurallarla verilir. Diyelim ki cebirde bir formül var:

a(b+c) = ab + ac

Bu, herhangi bir örnekte ifade yerine şunları yapabileceğimiz anlamına gelir: a(b+c) bir ifade yazmaktan çekinmeyin ab + ac. Ve tam tersi. Bu özdeş dönüşüm. Matematik bize bu iki ifade arasında seçim yapma olanağı tanır. Ve hangisi yazılacak - nereden somut örnek bağlı olmak.

Başka bir örnek. En önemli ve gerekli dönüşümlerden biri kesrin temel özelliğidir. Daha fazla ayrıntı için bağlantıya bakabilirsiniz, ancak burada size kuralı hatırlatacağım: Bir kesrin payı ve paydası aynı sayıyla veya sıfıra eşit olmayan bir ifadeyle çarpılırsa (bölülürse), kesir değişmez. Bu özelliği kullanan kimlik dönüşümlerine bir örnek:

Muhtemelen tahmin ettiğiniz gibi bu zincir sonsuza kadar devam ettirilebilir...) Çok önemli bir özellik. Her türlü örnek canavarı beyaz ve kabarık hale getirmenizi sağlayan da budur.)

Aynı dönüşümleri tanımlayan birçok formül vardır. Ama en önemlileri oldukça makul bir sayıdır. Temel dönüşümlerden biri çarpanlara ayırmadır. Başlangıçtan ileri seviyeye kadar tüm matematikte kullanılır. Onunla başlayalım. Bir sonraki derste.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.