İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

• Eğitsel: Öğrencilerin önermesel cebir konusundaki anlayışlarını genişletin, mantıksal işlemleri ve doğruluk tablolarını tanıtın.
• Gelişimsel:
öğrencilerin matematiksel mantığın kavramları ve sembolizmiyle işlem yapma becerilerini geliştirmek; mantıksal düşüncenin oluşumuna devam etmek; bilişsel aktivite geliştirmek; öğrencilerin ufkunu genişletmek.
• Eğitici:
kişinin fikrini ifade etme yeteneğini geliştirmek; Bağımsız çalışma becerilerini aşılayın.

DERS TÜRÜ: birleşik ders - yeni materyalin açıklanması ve ardından edinilen bilginin pekiştirilmesi.

DERS SÜRESİ: 40 dakika.

MALZEME VE TEKNİK TABAN:

• interaktif tahta Akıllı tahta.
• MS Windows Uygulaması - PowerPoint 2007.
• Öğretmen tarafından hazırlanan elektronik dersin bir versiyonu (PowerPoint 2007'deki sunum).
• Öğretmen tarafından hazırlanan görev kartları.

DERS PLANI:

BEN. Zamanı organize etmek- 1 dakika.

II. Ders hedeflerini belirleme - 2 dk.

III. Bilgiyi güncelleme - 9 dk.

IV. Yeni materyalin sunumu - 15 dk.

V. Çalışılan materyalin konsolidasyonu - 8 dk.

VI. Yansıma "Bitmemiş cümleler" - 3 dk.

VII. Çözüm. Ödev - 2 dk.

DERSLER SIRASINDA

I. Organizasyon anı.

Selamlar, sınıfta olmayanları işaretliyorum.

Slayt 1

Bölümü incelemeye devam ediyoruz "Mantıksal dil". Bugünkü dersimiz “Mantıksal ifadeler” konusuna ayrılmıştır. Kontrol ederek başlayalım Ev ödevi(birçok mantıksal bağlaç (işlem) içeren öğrencilerin şiirleri okunur ve keyfi bilgilerin mantık cebiri temelinde açık bir şekilde yorumlanabileceği sonucuna varılır).

Bu nedenle dersimizin amacı mantıksal işlemleri incelemek ve keyfi bilgilerin mantık cebirine dayalı olarak açık bir şekilde yorumlanabileceğini bulmaktır. Ancak önce son derste öğrenilen materyali gözden geçirmeniz gerekir.

III. Bilginin güncellenmesi (ön anket).

Görev 1. Kartlarla çalışmak (sorulan sorulara kısa cevaplar verin). Düşüncenin yasalarını ve biçimlerini inceleyen bilim. (Mantık)

• Merhaba!
• Aksiyom kanıt gerektirmez.
• Yağmur yağıyor.
• Dışarıda sıcaklık nedir?
• Ruble Rusya'nın para birimidir.
• Bir balığı gölden bile zorlanmadan çıkaramazsınız.
• 2 sayısı 9 sayısının böleni değildir.
• X sayısı 2'den fazla değil.

7. İfadenin doğruluğunu veya yanlışlığını belirleyin:

• Bilgisayar bilimi lise dersinde incelenir.
• "E" alfabenin altıncı harfidir.
• Kare bir eşkenar dörtgendir.
• Hipotenüsün karesi bacakların karelerinin toplamına eşittir.
• Üçgenin iç açılarının toplamı 1900'dür.
• 12+14 > 30.
• Penguenler Dünya'nın Kuzey Kutbu'nda yaşar.
• 23+12=5*7.

Peki beyan nedir? (Doğru veya yanlış olduğu söylenebilen bildirim niteliğinde bir cümle.)

Basit bir ifade nedir? (Bir ifadenin hiçbir kısmı bir ifade değilse, bu ifadeye basit (temel) denir.)

Bileşik ifade nedir? (Bir bileşik ifade aşağıdakilerden oluşur: basit ifadeler, mantıksal bağlaçlarla (işlemler) bağlanır.)

Görev 2. Basit ifadelerden bileşik ifadeler oluşturun: "A = Petya kitap okuyor", "B = Petya çay içiyor." (ekranda - slayt 2)

Çalışmaya devam edelim.

Görev 3. Aşağıdaki ifadelerde, her birini bir harfle belirterek basit ifadeleri vurgulayın:

1. Kışın çocuklar buz pateni yapmaya veya kayak yapmaya giderler. (slayt 3)
2. Güneş'in Dünya'nın etrafında döndüğü doğru değildir. (slayt 4)
3. 15 sayısı 3'e bölünür ancak 15'in rakamlarının toplamı 3'e bölünebilir. (slayt 5)
4. Dün Pazar ise, Dima dün okulda değildi ve bütün gün yürüdü. (slayt 6)

IV. Sunumyeni materyal.

Önceki görevlerde çeşitli mantıksal bağlaçlar kullanıldı: "ve", "veya", "değil", "if: o zaman:", "if and only if:". Cebir mantığında mantıksal bağlaçlar ve bunlara karşılık gelen mantıksal işlemler özel adlara sahiptir. Bileşik ifadeler elde edebileceğiniz 3 temel mantıksal işlemi ele alalım - ters çevirme, birleştirme ve ayırma. (slayt 7)

Herhangi bir mantıksal işlem, doğruluk tablosu adı verilen bir tabloyla tanımlanır. Mantıksal bir ifadenin doğruluk tablosu, kaynak verilerin tüm olası değer kombinasyonlarının sol tarafa ve sağ tarafa - her kombinasyon için ifadenin değerinin yazıldığı bir tablodur.

Olumsuzlama, her basit (temel) ifadeyi, anlamı orijinalinin tersi olan yeni bir ifadeyle ilişkilendiren mantıksal bir işlemdir. ( slayt 8)

Basit bir ifadenin olumsuzlanmasını oluşturma kuralını ele alalım.

Kural: Basit bir ifadeye olumsuzlama oluştururken, ya "bu doğru değil" ifadesi kullanılır ya da olumsuzluk bir yüklem üzerine kurulur, daha sonra yükleme "değil" parçacığı eklenir ve "tümü" kelimesi "bazıları" ile değiştirilir ve bunun tersi de geçerlidir.

Görev 4. Basit bir ifadeye ters çevirme (olumsuzlama) oluşturun:

1. A = Evimde bilgisayarım var. ( slayt 9)
2. C = 11. sınıftaki erkek çocukların hepsi mükemmel öğrencilerdir.
3. Şu ifade bir olumsuzluk mu olacak: "11. sınıftaki tüm erkek çocuklar mükemmel öğrenciler değildir." ( slayt 10)

“11. sınıftaki erkek çocukların hepsi mükemmel öğrenci değildir” ifadesi, “11. sınıftaki erkek çocukların hepsi mükemmel öğrencidir” ifadesinin reddi değildir. “11. sınıftaki tüm erkek çocuklar mükemmel öğrencilerdir” ifadesi yanlıştır ve yanlış bir ifadenin olumsuzlanması doğru bir ifade olmalıdır. Ancak “11. sınıftaki tüm erkek çocuklar mükemmel öğrenci değildir” ifadesi doğru değildir, çünkü 11. sınıf öğrencileri arasında hem mükemmel öğrenciler hem de mükemmel olmayan öğrenciler vardır.

Olumsuzluk grafiksel olarak bir küme olarak gösterilebilir. ( slayt 11)

Aşağıdaki mantıksal işlemi (bağlaç) ele alalım. İki ifadenin "ve" bağlacı ile birleştirilmesiyle oluşan ifadeye bağlaç veya mantıksal çarpma denir (ek olarak - a, ama, rağmen) bağlaçları kullanılır.

Bağlaç- her iki temel ifadeyi yeni bir ifadeyle ilişkilendiren mantıksal bir işlem; bu, ancak ve ancak her iki ilk ifadenin de doğru olması durumunda doğrudur. ( slayt 12)

Grafiksel olarak bir bağlaç bir küme olarak temsil edilebilir. ( slayt 13)

Aşağıdaki mantıksal işlemi (ayrılma) ele alalım. "Veya" bağlacı ile birleştirilen iki ifadeden oluşan ifadeye ayırma veya mantıksal ekleme denir.

Ayrılık- her iki temel ifadeyi yeni bir ifadeyle ilişkilendiren mantıksal bir işlem; bu, ancak ve ancak her iki ilk ifadenin de yanlış olması durumunda yanlıştır. ( slayt 14)

Grafiksel olarak bir ayrım bir küme olarak gösterilebilir. ( slayt 15)

Peki öğrendiğimiz üç temel işlem nedir? ( slayt 16)

Testi yaparken yeni bilgilerimizi uygulamaya çalışalım.

V. Çalışılan materyalin konsolidasyonu (tahtada çalışma).

Görev 5. Diyagramı ve tanımını eşleştirin.( slayt 17)

Görev 6. İki basit ifade vardır: A = “10 sayısı çifttir” B = “Kurt bir otoburdur.” Onlardan mümkün olan tüm bileşik ifadeleri oluşturun ve bunların doğruluğunu belirleyin.

Cevap: 1-2; 2-6; 3-5; 4-1; 5-4; 6-3; 7-7.

Görev 8. İki basit ifade verilmiştir: A = “Ruble, Rusya'nın para birimidir” B = “Grivna, Amerika Birleşik Devletleri'nin para birimidir.” Hangi ifadeler doğrudur?

4)Av B

Cevaplar: 1) 0; 2) 1; otuz; 4) 1.

VI. Refleks "Bitmemiş cümleler."

• Dersi ilginç buldum çünkü:
• Derste en çok hoşuma giden şey:
• Benim için yeni olan şey şuydu:

VII. Çözüm. Ev ödevi.

Bir bütün olarak sınıfın çalışmaları ve derste başarılı olan öğrencilerin bireysel çalışmaları değerlendirilir.

Ev ödevi:

1) Temel tanımları öğrenir, notasyonları bilir.

2) Basit sözler bulun. (Toplamda iki ifadeden oluşan 5 set olmalıdır). Bunlardan her türlü bileşik ifadeyi oluşturun ve bunların doğruluğunu belirleyin.

Kullanılan malzemelerin listesi:

1. Bilgisayar Bilimi ve BİT. 10-11 sınıf. Profil seviyesi. Bölüm 1: 10. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı / M.E. Fioshin, A.A. Ressin - M.: Bustard, 2008
2. Bilgisayar biliminin matematiksel temelleri. Ders Kitabı /E.V. Andreeva, L.L. Bosova, I.N. Falina - M.: BİNOM. Bilgi Laboratuvarı, 2007
3. Bilgisayar bilimleri öğretmeni N.P. Pospelova'dan materyaller, Belediye Eğitim Kurumu Ortaokulu No. 22, Soçi
4. Bilgisayar bilimleri öğretmeni K.Yu.'nun sunumundan parçalar.

Bir ifade, bir addan daha karmaşık bir oluşumdur. İfadeleri daha basit parçalara ayırdığımızda her zaman şu veya bu ismi alırız. De ki, “Güneş bir yıldızdır” ifadesi, parçaları olarak “Güneş” ve “yıldız” isimlerini içermektedir.

İfade- İfade ettiği anlam (içerik) ile birlikte alındığında ve doğru ya da yanlış olan dilbilgisi açısından doğru bir cümle.

Söylem kavramı özgün olanlardan biridir. Anahtar kavramlar mantık. Bu nedenle izin vermiyor kesin tanım farklı bölümlerinde eşit derecede uygulanabilir.

Bir ifade, verdiği açıklama gerçek duruma uyuyorsa doğru, uymuyorsa yanlış kabul edilir. “Doğru” ve “yanlış”a “ifadelerin doğruluk değerleri” denir.

Bireysel ifadelerden Farklı yollar yeni ifadeler oluşturabilirsiniz.

Örneğin, "Rüzgar esiyor" ve "Yağmur yağıyor" ifadelerinden daha karmaşık ifadeler oluşturabilirsiniz: "Rüzgar esiyor ve yağmur yağıyor", "Ya rüzgar esiyor ya da yağmur yağıyor", "Yağmur yağarsa rüzgar esiyor" ", vesaire. .

Açıklama denir basit, parçası olarak başka ifadeler içermediği sürece.

Açıklama denir ben karmaşık biriyim, diğer basit ifadelerden mantıksal bağlaçlar kullanılarak elde edilmişse.

En çok düşünelim önemli yollar karmaşık ifadeler oluşturmak.

Olumsuz ifade Genellikle "değil", "bu doğru değil" sözcükleriyle ifade edilen bir başlangıç ​​​​ifadesi ve bir olumsuzlamadan oluşur. Olumsuz bir ifade bu nedenle karmaşık bir ifadedir: parçası olarak kendisinden farklı bir ifadeyi içerir. Örneğin, “10 bir çift sayıdır” ifadesinin olumsuzlaması, “10 bir çift sayı değildir” ifadesidir (veya: “10'un bir çift sayı olduğu doğru değildir”).

İfadeleri A, B, C,... harfleriyle gösterelim. Bir ifadenin olumsuzluğu kavramının tam anlamı şu koşulla verilir: A ifadesi doğruysa olumsuzlaması yanlıştır ve A yanlışsa, onun olumsuzlanması doğrudur. Örneğin, "1 pozitif bir tam sayıdır" doğru olduğundan, "1 pozitif bir tam sayı değildir" ifadesi yanlıştır ve "1 bir asal sayıdır" ifadesi yanlış olduğundan, "1 asal sayı değildir" şeklindeki olumsuzluğu yanlıştır. doğru.

İki ifadeyi "ve" sözcüğünü kullanarak bağlamak, adı verilen karmaşık bir ifade üretir. bağlaç. Bu şekilde bağlanan ifadelere "birleşimin üyeleri" adı verilir.

Örneğin, “Bugün hava sıcaktı” ve “Dün hava soğuktu” ifadeleri bu şekilde birleştirilirse “Bugün hava sıcak, dün hava soğuktu” bağlacını elde edersiniz.

Bir bağlaç yalnızca içerdiği her iki ifadenin de doğru olması durumunda doğrudur; üyelerinden en az biri yanlışsa, o zaman bağlacın tamamı yanlıştır.

Günlük dilde iki ifade, içerik veya anlam bakımından birbirleriyle ilişkili olduklarında "ve" bağlacı ile bağlanır. Bu bağlantının niteliği tam olarak belli olmasa da “O paltoyla yürüyordu, ben de üniversiteye yürüyordum” bağlacını anlamlı ve doğru ya da yanlış olabilen bir ifade olarak değerlendirmeyeceğimiz açıktır. Her ne kadar “2 bir asal sayıdır” ve “Moskova bir asal sayıdır” ifadeleri Büyük şehir" doğruysa, "2 asal sayıdır ve Moskova büyük bir şehirdir" bağlacının doğru olduğunu düşünme eğiliminde değiliz, çünkü kurucu ifadeleri anlam bakımından birbiriyle ilişkili değildir. Bağlaçların ve diğer mantıksal bağlaçların anlamını basitleştirerek ve bu amaçla belirsiz olan "ifadelerin anlam yoluyla bağlanması" kavramını terk ederek mantık, bu bağlaçların anlamını hem daha geniş hem de daha açık hale getirir.

İki ifadeyi "veya" sözcüğünü kullanarak bağlamak ayrılık bu bildiriler. Ayrılık oluşturan ifadelere “ayrılığın üyeleri” denir. .

"Veya" kelimesinin günlük dilde iki farklı anlamı vardır. Bazen "biri veya diğeri veya her ikisi" anlamına gelir, bazen de "biri veya diğeri, ancak ikisi birden değil." Örneğin "Bu sezon gitmek istiyorum" ifadesi maça Kızı“Ya da Aida'ya” operayı iki kez ziyaret etme olanağı sağlıyor. “Moskova veya Yaroslavl Üniversitesinde okuyor” ifadesi, kişinin bu üniversitelerden yalnızca birinde eğitim gördüğünü ima etmektedir.

"Veya"nın ilk anlamı denir münhasır değil. Bu anlamda ele alındığında, iki ifadenin ayrılması, her ikisinin de doğru olup olmadığına bakılmaksızın, bu ifadelerden en az birinin doğru olduğu anlamına gelir. İkincisinde çekildi özel, veya katı, iki ifadenin ayrılması, ifadelerden birinin doğru, ikincisinin yanlış olduğunu belirtir.

Münhasır olmayan bir ayrım, onu oluşturan ifadelerden en az biri doğru olduğunda doğrudur ve yalnızca her iki üyesi de yanlış olduğunda yanlıştır.

Dışlayıcı bir ayrım, terimlerinden yalnızca biri doğru olduğunda doğrudur ve her iki terimi de doğru veya her ikisi de yanlış olduğunda yanlıştır.

Mantık ve matematikte “veya” kelimesi neredeyse her zaman özel olmayan bir anlamda kullanılır.

Koşullu ifade - Genellikle "eğer ... o zaman ..." bağlacı kullanılarak formüle edilen ve bir olayın, durumun vb. bir anlamda diğerinin temeli veya koşulu olduğunu ortaya koyan karmaşık bir ifade.

Örneğin: “Ateş varsa duman da vardır”, “Bir sayı 9'a bölünüyorsa 3'e de bölünür” vb.

Koşullu bir ifade iki basit ifadeden oluşur. "Eğer" sözcüğünden önce gelene denir temel, veya öncül(önceki), “that” kelimesinden sonra gelen ifadeye denir sonuçlar, veya sonuçsal(sonraki).

Bir şartlı ifadeyi tasdik etmekle öncelikle, esasında söylenenin vuku bulması, sonuçta söylenenin ise yok olmasının olamayacağını kastediyoruz. Yani öncülün doğru, sonucun yanlış olması mümkün değildir.

Koşullu ifade açısından, yeterli ve gerekli koşullar kavramları genellikle tanımlanır: öncül (temel), sonuç (sonuç) için yeterli koşuldur ve sonuç, gerekli kondisyonöncül için. Örneğin, "Eğer seçim rasyonel ise, mevcut alternatiflerin en iyisi seçilir" koşullu ifadesinin doğruluğu, rasyonelliğin, mevcut seçeneklerden en iyisinin seçilmesi için yeterli bir neden olduğu ve böyle bir seçeneğin seçiminin, rasyonel olduğu anlamına gelir. rasyonelliği için gerekli bir koşuldur.

Koşullu ifadenin tipik bir işlevi, bir ifadeyi başka bir ifadeye atıfta bulunarak gerekçelendirmektir. Örneğin gümüşün elektriği iletken olduğu gerçeği, onun bir metal olduğu gerçeğine atıfla haklı gösterilebilir: "Gümüş bir metalse, elektriği iletkendir."

Koşullu bir ifadeyle ifade edilen doğrulayıcı ve gerekçeli (temel ve sonuç) arasındaki bağlantıyı karakterize etmek zordur. Genel görünüm ve yalnızca bazen doğası nispeten açıktır. Bu bağlantı, öncelikle öncüller ile doğru bir sonuca varılması arasında meydana gelen mantıksal sonuç bağlantısı olabilir (“Eğer tüm çok hücreli canlılar ölümlüyse ve denizanası da böyle bir yaratıksa, o zaman ölümlüdür”); ikincisi, doğa kanununa göre (“Bir cisim sürtünmeye maruz kalırsa ısınmaya başlar”); üçüncüsü, nedensel bir bağlantı (“Ay, yeni ayda yörüngesinin düğüm noktasındaysa, Güneş tutulması"); dördüncüsü, bir sosyal kalıp, bir kural, bir gelenek (“Toplum değişirse kişi de değişir”, “Tavsiye makulse uyulmalıdır”) vb.

Koşullu bir ifadeyle ifade edilen bağlantıya genellikle sonucun belirli bir zorunlulukla nedenden "sonuçlandığı" ve formüle edebildiğimizde sonucu mantıksal olarak çıkarsama yapabileceğimiz bazı genel yasaların olduğu inancı eşlik eder. sebep.

Örneğin, "Bizmut bir metal ise, sünektir" koşullu ifadesi, "Tüm metaller sünektir" genel yasasını varsayar gibi görünür ve bu ifadenin sonucunu, öncülünün mantıksal bir sonucu haline getirir.

Hem sıradan dilde hem de bilim dilinde, koşullu bir ifade, gerekçelendirme işlevine ek olarak bir dizi başka görevi de yerine getirebilir: ima edilen herhangi bir genel yasa veya kuralla ilişkili olmayan bir koşulu formüle etmek ("Eğer İstiyorum, pelerinimi keseceğim”); bazı sekansları kaydedin (“Geçen yaz kurak geçtiyse, bu yıl yağmurludur”); inançsızlığınızı tuhaf bir biçimde ifade edin (“Bu sorunu çözerseniz Fermat'nın son teoremini kanıtlayacağım”); muhalefet (“Bahçede bir mürver yetişiyorsa, o zaman Kiev'de bir amca yaşıyor”) vb. Koşullu bir ifadenin sayısız ve heterojen işlevleri, analizini önemli ölçüde karmaşıklaştırır.

Koşullu ifadelerin kullanımı belirli psikolojik faktörlerle ilişkilidir. Genellikle böyle bir ifadeyi ancak öncülünün ve sonucunun doğru mu yanlış mı olduğunu kesin olarak bilmiyorsak formüle ederiz. Aksi halde kullanımı doğal görünmüyor (“Pamuk metal ise elektriksel olarak iletkendir”).

Koşullu ifade çok geniş uygulama akıl yürütmenin tüm alanlarında. Mantıkta genellikle şu şekilde temsil edilir: imalı ifade, veya çıkarımlar. Aynı zamanda mantık, "eğer..., o zaman..." ifadesinin kullanımını açıklığa kavuşturur, sistemleştirir ve basitleştirir ve onu psikolojik faktörlerin etkisinden kurtarır.

Mantık, özellikle, bağlama bağlı olarak koşullu bir ifadenin özelliği olan sebep ve sonuç arasındaki bağlantının yalnızca "eğer... o zaman..." değil, aynı zamanda diğer dilsel dil kullanılarak da ifade edilebileceği gerçeğinden soyutlanmıştır. araç.

Örneğin, “Su sıvı olduğu için basıncı her yöne eşit olarak iletir”, “Hamuru metal olmasa da plastiktir”, “Ahşap metal olsaydı elektriği iletirdi” vb. Bunlar ve benzeri ifadeler mantık dilinde ima yoluyla temsil edilir, ancak bunlarda "eğer... o zaman..." kullanımı tamamen doğal olmayacaktır.

Bir imayı ileri sürmekle, onun temeli varken, sonucu yokken, olamayacağını ileri sürüyoruz. Başka bir deyişle, bir çıkarım ancak nedeni doğru ve sonucu yanlışsa yanlıştır.

Bu tanım, bağlayıcıların önceki tanımları gibi, her ifadenin ya doğru ya da yanlış olduğunu ve karmaşık bir ifadenin doğruluk değerinin yalnızca onu oluşturan ifadelerin doğruluk değerlerine ve bunların bağlanma şekline bağlı olduğunu varsayar.

Bir çıkarım, hem nedeni hem de sonucu doğru ya da yanlış olduğunda doğrudur; nedeni yanlışsa ve sonucu doğruysa doğrudur. Yalnızca dördüncü durumda, neden doğru ve sonuç yanlış olduğunda, ima yanlıştır.

Bu ima, A ve B ifadelerinin içerik bakımından bir şekilde birbirleriyle ilişkili olduğu anlamına gelmez. Eğer B doğruysa, “eğer A ise o zaman B” ifadesi, A’nın doğru ya da yanlış olmasına ve B ile anlamsal olarak ilişkili olup olmamasına bakılmaksızın doğrudur.

Örneğin, şu ifadeler doğru kabul edilir: "Güneş'te yaşam varsa, o zaman iki kere iki eşittir dört", "Volga bir gölse, o zaman Tokyo büyük bir köydür" vb. Koşullu ifade de doğrudur A yanlış olduğunda ve aynı zamanda B'nin doğru olup olmaması ve içerik olarak A ile ilişkili olup olmaması hiçbir fark yaratmaz. Doğru ifadeler şunları içerir: "Güneş küpse, Dünya bir üçgendir", "İki artı iki beşe eşitse, Tokyo küçük bir şehirdir" vb.

Sıradan akıl yürütmede, tüm bu ifadelerin anlamlı olarak değerlendirilmesi pek olası değildir ve hatta doğru değildir.

Her ne kadar ima etme birçok amaç için yararlı olsa da, koşullu bağlantının olağan anlayışıyla tamamen tutarlı değildir. Çıkarım, bir koşullu ifadenin mantıksal davranışının birçok önemli özelliğini kapsar, ancak aynı zamanda bunun yeterince yeterli bir açıklaması değildir.

Son yarım yüzyılda, çıkarım teorisini yeniden düzenlemek için güçlü girişimlerde bulunuldu. Aynı zamanda, açıklanan ima kavramından vazgeçmek değil, bununla birlikte yalnızca ifadelerin doğruluk değerlerini değil, aynı zamanda içerikteki bağlantılarını da hesaba katan başka bir kavramın tanıtılması meselesiydi.

Anlamla yakından ilgili denklik, bazen "çift ima" olarak da adlandırılır.

Denklik- A ve B ifadelerinden oluşan ve iki çıkarıma ayrılan karmaşık bir "A, ancak ve ancak B ise" ifadesi: "eğer A ise, o zaman B" ve "eğer B ise, o zaman A". Örneğin: "Bir üçgen ancak ve ancak eşkenar ise eşkenardır." "Eşdeğerlik" terimi aynı zamanda belirli bir karmaşık ifadenin iki ifadeden oluşturulduğu "..., ancak ve ancak..." bağlacı anlamına da gelir. Bu amaçla “eğer ve ancak eğer” yerine “eğer ve ancak eğer”, “eğer ve ancak eğer” vb. kullanılabilir.

Mantıksal bağlaçlar doğruluk ve yanlışlık açısından tanımlanırsa, bir eşdeğerlik ancak ve ancak onu oluşturan ifadelerin her ikisinin de aynı doğruluk değerine sahip olması durumunda, yani her ikisinin de doğru ve her ikisinin de yanlış olması durumunda doğrudur. Buna göre bir eşdeğerlik, içerdiği ifadelerden birinin doğru, diğerinin yanlış olması durumunda yanlıştır.

Basit ifadelerden karmaşık ifadeler oluşturmanın yolları düşünülürken, basit ifadelerin iç yapısı dikkate alınmadı. Tek bir özelliği olan, ayrıştırılamaz parçacıklar olarak kabul edildiler: doğru ya da yanlış olmak. Basit sözler

Bazen atomik olarak adlandırılmaları tesadüf değildir: onlardan, temel tuğlalardan olduğu gibi, "ve", "veya" vb. mantıksal bağlaçların yardımıyla çeşitli karmaşık ("moleküler") ifadeler inşa edilir.

Şimdi şu soru üzerinde durmalıyız iç yapı veya basit ifadelerin iç yapısı: hangi belirli parçalardan oluşturuldukları ve bu parçaların birbirleriyle nasıl ilişkili olduğu.

Basit ifadelerin farklı şekillerde bileşen parçalarına ayrıştırılabileceğini hemen vurgulamak gerekir. Ayrıştırmanın sonucu, gerçekleştirilme amacına, yani bu tür ifadelerin analiz edildiği çerçevede mantıksal çıkarım (mantıksal sonuç) kavramına bağlıdır.

Kategorik ifadelere olan özel ilgi, öncelikle mantığın bir bilim olarak gelişiminin mantıksal bağlantılarının incelenmesiyle başlamasıyla açıklanmaktadır. Üstelik bu tür ifadeler akıl yürütmemizde yaygın olarak kullanılmaktadır. Kategorik ifadelerin mantıksal bağlantıları teorisine genellikle denir kıyas.

Örneğin “Tüm dinozorların nesli tükenmiştir” ifadesinde “nesli tükenmekte” özelliği dinozorlara atfedilmektedir. "Bazı dinozorlar uçtu" önermesinde uçma yeteneği Bazı türler dinozorlar. “Tüm kuyruklu yıldızlar asteroit değildir” önermesi, kuyruklu yıldızların her birinde “asteroid olma” özelliğinin varlığını yalanlamaktadır. “Bazı hayvanlar otçul değildir” önermesi bazı hayvanların otçulluğunu reddeder.

Kategorik bir ifadenin içerdiği ve "hepsi" ve "bazıları" sözcükleriyle ifade edilen niceliksel özellikleri göz ardı edersek, bu tür ifadelerin iki versiyonunu elde ederiz: olumlu ve olumsuz. Yapıları:

"S, P'dir" ve "S, P değildir"

burada S harfi ilgili öğenin adını temsil eder Hakkında konuşuyoruz bir ifadede ve P harfi, bu nesnenin doğasında bulunan veya doğasında olmayan bir özelliğin adıdır.

Kategorik ifadede atıfta bulunulan nesnenin adı denir. ders ve özelliğinin adı yüklem. Konu ve yüklem denir şartlar kategorik ifadeler ve "dir" veya "değildir" ("dir" veya "değildir" vb.) bağlaçlarıyla bağlanırlar. Örneğin “Güneş bir yıldızdır” ifadesinde terimler “Güneş” ve “yıldız” isimleridir (bunlardan ilki ifadenin konusu, ikincisi yüklemidir), “güneş” kelimesi ise onun yüklemidir. ” bağlacıdır.

"S, P'dir (değildir)" gibi basit ifadelere atıfsal denir: bunlar, bir nesneye bazı özelliklerin atfedilmesini (atfedilmesini) içerir.

Niteliksel ifadeler, iki veya daha fazla nesne arasında ilişkilerin kurulduğu ilişkiler hakkındaki ifadelere karşıdır: "Üç beşten azdır", "Kiev Odessa'dan daha büyüktür", "Bahar sonbahardan daha iyidir", "Paris Moskova ile Moskova arasında yer alır" New York” vb. İlişkilerle ilgili ifadeler bilimde, özellikle de matematikte önemli bir rol oynamaktadır. Birkaç nesne arasındaki ilişkiler ("eşit", "seviyor", "daha sıcak", "arasındadır" vb.) bireysel nesnelerin özelliklerine indirgenemeyeceğinden, kategorik ifadelere indirgenemezler. Geleneksel mantığın önemli eksikliklerinden biri, ilişkiler hakkındaki yargıların, özellikler hakkındaki yargılara indirgenebileceğini düşünmesiydi.

Kategorik bir ifadede, nesne ile nitelik arasındaki bağlantı yalnızca kurulmaz, aynı zamanda belirli bir niceliksel özellik söylemin konusu. "Tüm S'ler P'dir (değildir)" gibi ifadelerde "hepsi" kelimesi "karşılık gelen sınıfın nesnelerinin her biri" anlamına gelir. "Bazı S'ler P'dir (değildir)" gibi ifadelerde "bazıları" kelimesi özel olmayan bir anlamda kullanılır ve "bazıları veya belki hepsi" anlamına gelir. Özel anlamda, "bazıları" kelimesi "sadece bazıları" veya "bazıları ama hepsi değil" anlamına gelir. Bu kelimenin iki anlamı arasındaki fark “Bazı yıldızlar yıldızdır” ifadesiyle açıklanabilir. Münhasır olmayan bir anlamda "Yıldızların bazıları, belki de hepsi yıldızdır" anlamına gelir ve kesinlikle doğrudur. Dışlayıcı anlamıyla bu ifade, "Yalnızca bazı yıldızlar yıldızdır" anlamına gelir ve açıkça yanlıştır.

Kategorik ifadelerde, söz konusu nesnelerin bazı özelliklerinin ait olduğu doğrulanır veya reddedilir ve bu nesnelerin tümünden mi yoksa bazılarından mı bahsettiğimiz belirtilir.

Böylece dört tür kategorik ifade mümkündür:

Tüm S'ler P'dir - genel olarak olumlu bir ifade,

Bazı S'ler P'dir - belirli bir olumlu ifade,

Her S, P değildir - genel olarak olumsuz bir ifade,

Bazı S, P değildir; belirli bir olumsuz ifadedir.

Kategorik ifadeler, bazı isimlerin aşağıdaki ifadelere boşluk (elips) ile değiştirilmesinin sonuçları olarak değerlendirilebilir: “Hepsi ... ...”, “Bazıları ... ...”, “Hepsi ... değil ...” ve “Bazıları ... değil ...”. Bu ifadelerin her biri, iki addan bir ifade elde etmemizi sağlayan mantıksal bir sabittir (mantıksal işlem). Örneğin noktalar yerine “uçan” ve “kuşlar” isimlerini koyarsak sırasıyla şu ifadeleri elde ederiz: “Uçanların tümü kuştur”, “Uçanların bir kısmı kuştur”,

Çıkarımlar

"Bütün uçanlar kuş değildir" ve "Bazı uçanlar kuş değildir." Birinci ve üçüncü ifadeler yanlış, ikinci ve dördüncü ifadeler doğrudur.

Çıkarımlar

“Mantıklı düşünmeyi bilen bir kişi, bir damla sudan, birini veya diğerini hiç görmemiş ve adını hiç duymamış olsa bile, Atlantik Okyanusu veya Niagara Şelalesi'nin varlığı sonucuna varabilir... kişinin tırnakları, elleri, ayakkabıları, pantolonunun dizlerindeki kıvrımı, büyük ve derinin kalınlaşması boyunca işaret parmağı, yüz ifadesinden ve gömleğinin manşetlerinden - bu kadar önemsiz şeylerden mesleğini tahmin etmek zor değil. Ve tüm bunların bir arada ele alınmasının, bilgili bir gözlemciyi doğru sonuçlara sevk edeceğine şüphe yoktur.”

Bu, dünya edebiyatının en ünlü dedektifi ve danışmanı Sherlock Holmes'un politika makalesinden bir alıntıdır. Temelli en küçük ayrıntılar, mantıksal olarak kusursuz akıl yürütme zincirleri kurdu ve karmaşık suçları, çoğunlukla Baker Sokağı'ndaki dairesinden çıkmadan çözdü. Holmes, arkadaşı Dr. Watson'ın inandığı gibi, suç çözmeyi kesin bir bilimin eşiğine getiren, kendi yarattığı tümdengelimli bir yöntemi kullandı.

Elbette Holmes, adli bilimlerde tümdengelim işleminin önemini biraz abarttı, ancak tümdengelim yöntemi hakkındaki akıl yürütmesi işini yaptı. Çok az kişinin bildiği özel bir terim olan “kesinti” artık yaygın olarak kullanılan, hatta moda olan bir kavrama dönüştü. Doğru akıl yürütme sanatının ve her şeyden önce tümdengelimli akıl yürütmenin popülerleşmesi, Holmes'un çözdüğü tüm suçlardan daha az bir değeri değildir. "Mantığa bir rüyanın çekiciliğini vermeyi, olası çıkarımların kristal labirentinden geçerek tek bir parlak sonuca ulaşmayı" başardı (V. Nabokov).

Kesinti: özel durumçıkarımlar.

İÇİNDE geniş anlamdaçıkarım - bir veya daha fazla kabul edilmiş ifadeden (öncül) yeni bir ifadenin elde edildiği mantıksal bir işlem - bir sonuç (sonuç, sonuç).

Öncüllerle sonuç arasında bir bağlantı olup olmadığına bağlı olarak mantıksal sonuç, iki tür çıkarım ayırt edilebilir.

Merkezde tümdengelim sonucun kabul edilen öncüllerden mantıksal zorunlulukla çıktığı mantıksal bir yasa vardır.

Ayırt edici özellik Böyle bir sonuç, her zaman doğru öncüllerden doğru sonuca götürmesidir.

İÇİNDE tümevarımsal akıl yürütmeÖncüller ve sonuç arasındaki bağlantı mantık yasasına değil, tamamen biçimsel nitelikte olmayan bazı olgusal veya psikolojik temellere dayanır.

Böyle bir çıkarımda sonuç, öncüllerden mantıksal olarak çıkarılamaz ve öncüllerde yer almayan bilgileri içerebilir. Dolayısıyla öncüllerin güvenilirliği, onlardan tümevarımsal olarak türetilen ifadenin güvenilirliği anlamına gelmez. Tümevarım yalnızca olası olanı verir veya Mantıklı, daha fazla doğrulanması gereken sonuçlar.

Tümdengelimli çıkarımlar örneğin aşağıdakileri içerir:

Yağmur yağarsa zemin ıslaktır. Yağmur yağıyor.

Yer ıslak.

Helyum bir metal ise elektriksel olarak iletkendir. Helyum elektriksel olarak iletken değildir.

Helyum bir metal değildir.

Öncülleri sonuçtan ayıran çizgi, her zamanki gibi “bu nedenle” sözcüğünün yerini alır.

Tümevarım örnekleri arasında akıl yürütme yer alır:

Arjantin bir cumhuriyettir; Brezilya bir cumhuriyettir; Venezuela bir cumhuriyettir; Ekvador bir cumhuriyettir.

Arjantin, Brezilya, Venezuela, Ekvador Latin Amerika devletleridir.

Bütün Latin Amerika devletleri cumhuriyettir .

İtalya bir cumhuriyettir, Portekiz bir cumhuriyettir, Finlandiya bir cumhuriyettir, Fransa bir cumhuriyettir.

İtalya, Portekiz, Finlandiya, Fransa Batı Avrupa ülkeleridir.

Bütün Batı Avrupa ülkeleri cumhuriyettir.

Tümevarım, mevcut olanlardan yeni bir doğrunun elde edilmesi konusunda tam bir garanti sağlamaz. Bahsedebileceğimiz maksimum değer, ifadenin çıkarımının belirli bir olasılık derecesidir. Yani hem birinci hem de ikinci tümevarımsal çıkarımların öncülleri doğrudur, ancak birincisinin sonucu doğrudur, ikincisi ise yanlıştır. Aslında tüm Latin Amerika devletleri cumhuriyettir; ancak Batı Avrupa ülkeleri arasında sadece cumhuriyetler değil, aynı zamanda İngiltere, Belçika ve İspanya gibi monarşiler de var.

Çıkarımlar

Özellikle karakteristik çıkarımlar, genel bilgiden belirli bilgilere mantıksal geçişlerdir, örneğin:

Bütün metaller sünektir. Bakır bir metaldir.

Bakır sünektir.

Halihazırda bilinenlere dayanarak bazı olayları dikkate almanın gerekli olduğu her durumda Genel kural ve bu olaylarla ilgili gerekli sonucu çıkarmak için tümdengelim şeklinde sonuç çıkarırız. Bazı nesneler hakkındaki bilgiden (özel bilgi) belirli bir sınıfın tüm nesneleri hakkındaki bilgiye giden akıl yürütme ( Genel Bilgi), tipik indüksiyonlardır. Genellemenin aceleci ve asılsız çıkması ihtimali her zaman vardır (“Napolyon komutandır; Suvorov komutandır; bu, herkesin komutan olduğu anlamına gelir”).

Aynı zamanda tümdengelim genelden özele geçişle, tümevarım ise özelden genele geçişle özdeşleştirilemez.

Tartışmada, “Shakespeare soneler yazdı; dolayısıyla Shakespeare'in sone yazmadığı doğru değil.” Bir çıkarım var ama genelden özele geçiş yok. "Eğer alüminyum plastikse veya kil plastikse, o zaman alüminyum plastiktir" mantığı, yaygın olarak düşünüldüğü gibi tümevarımsaldır, ancak özelden genele geçiş yoktur.

Tümdengelim, kabul edilen öncüller kadar güvenilir sonuçların türetilmesidir; tümevarım ise olası (makul) sonuçların türetilmesidir. Tümevarımsal çıkarımlar, hem özelden genele geçişleri hem de analojiyi, nedensel ilişkiler kurma yöntemlerini, sonuçların doğrulanmasını, amaçlı gerekçelendirmeyi vb. içerir.

Tümdengelimli akıl yürütmeye gösterilen özel ilgi anlaşılabilir. Mevcut bilgilerden ve dahası, deneyime, sezgiye, sağduyuya vb. başvurmadan, saf akıl yürütmenin yardımıyla yeni gerçekler elde etmenizi sağlar. Tümdengelim, yüzde yüz başarı garantisi sağlar ve sadece bir veya bir veya daha fazlasını sağlamaz. gerçek bir sonucun başka - belki de yüksek - olasılığı. Doğru öncüllerden başlayarak ve tümdengelimli akıl yürütmeyle, her durumda güvenilir bilgi elde edeceğimizden eminiz.

Bilgiyi ortaya çıkarma ve kanıtlama sürecinde tümdengelimin önemini vurgularken, onu tümevarımdan ayırmamalı ve ikincisini küçümsememeliyiz. Neredeyse hepsi Genel Hükümler Bilimsel yasalar da dahil olmak üzere tümevarımsal genellemenin sonuçlarıdır. Bu anlamda tümevarım bilgimizin temelidir. Kendi başına doğruluğunu ve geçerliliğini garanti etmez, ancak varsayımlara yol açar, bunları deneyimle ilişkilendirir ve böylece onlara az ya da çok belirli bir güvenilirlik kazandırır. yüksek derece olasılıklar. Deneyim, insan bilgisinin kaynağı ve temelidir. Deneyimde kavrananlardan yola çıkan tümevarım, onun genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi için gerekli bir araçtır.

MANTIK YASALARI

Bölüm

Mantıksal hukuk kavramı

Mantıksal yasalar insan düşüncesinin temelini oluşturur. Diğer ifadelerin mantıksal olarak bazı ifadelerden ne zaman çıkacağını belirlerler ve tutarlı akıl yürütmenin dayandığı ve onsuz kaotik, tutarsız konuşmaya dönüşen o görünmez demir çerçeveyi temsil ederler. Mantıksal bir yasa olmadan mantıksal sonucun ne olduğunu ve dolayısıyla kanıtın ne olduğunu anlamak imkansızdır.

Doğru veya genellikle dedikleri gibi mantıksal düşünme, mantık yasalarına göre, onların belirlediği soyut kalıplara göre düşünmektir. Bu da bu yasaların önemini açıklamaktadır.

Homojen mantıksal yasalar, genellikle "mantık" olarak da adlandırılan mantıksal sistemler halinde birleştirilir. Her biri bir açıklama veriyor mantıksal yapı akıl yürütmemizin belirli bir parçası veya türü.

Örneğin, ifadelerin iç yapısından bağımsız olarak, ifadelerin mantıksal bağlantılarını tanımlayan yasalar, "önerme mantığı" adı verilen bir sistemde birleştirilir. Kategorik ifadelerin bağlantılarını belirleyen mantıksal yasalar, "kategorik ifadelerin mantığı" veya "kıyaslama" vb. adı verilen mantıksal bir sistem oluşturur.

Mantık yasaları nesneldir ve insanın iradesine ve bilincine bağlı değildir. Bunlar insanlar arasındaki bir anlaşmanın, özel olarak geliştirilen veya kendiliğinden oluşan bir anlaşmanın sonucu değildir. Platon'un bir zamanlar inandığı gibi bir tür "dünya ruhunun" ürünü değiller. Mantık yasalarının bir kişi üzerindeki gücü, doğru düşünme için zorunlu gücü, bunların gerçek dünyanın insan düşüncesinde bir yansımasını ve onun insan tarafından anlaşılması ve dönüştürülmesine ilişkin asırlık deneyimi temsil etmesinden kaynaklanmaktadır.

Diğer tüm bilimsel yasalar gibi mantıksal yasalar da evrenseldir ve gereklidir. Her zaman ve her yerde faaliyet gösterirler, tüm insanlara ve tüm çağlara eşit şekilde yayılırlar. Temsilciler

Mantıksal hukuk kavramı

farklı uluslar ve farklı kültürler, erkekler ve kadınlar, eski Mısırlılar ve modern Polinezyalılar, akıl yürütmelerinin mantığı açısından birbirlerinden farklı değildir.

Mantıksal yasaların doğasında var olan zorunluluk, bir bakıma doğal ya da fiziksel zorunluluktan daha acil ve değişmezdir. Mantıksal olarak gerekli olanın başka türlü olabileceğini hayal etmek bile imkansızdır. Eğer bir şey doğa kanunlarına aykırıysa ve fiziksel olarak imkansızsa, o zaman hiçbir mühendis ne kadar yetenekli olursa olsun onu uygulayamaz. Ancak bir şey mantık yasalarıyla çelişiyorsa ve mantıksal olarak imkansızsa, o zaman sadece bir mühendis değil, her şeye gücü yeten bir varlık bile aniden ortaya çıksa onu hayata geçiremez.

Daha önce de belirtildiği gibi, doğru akıl yürütmede, sonuç mantıksal zorunlulukla öncüllerden çıkar ve genel şema Böyle bir akıl yürütme mantıksal bir yasadır.

Doğru akıl yürütme şemalarının (mantık yasaları) sayısı sonsuzdur. Bu şemaların birçoğu bizim tarafımızdan akıl yürütme pratiğinden bilinmektedir. Yaptığımız her çıkarımın şu veya bu mantıksal yasayı doğru şekilde kullandığının farkına varmadan bunları sezgisel olarak uygularız.

Girmeden önce Genel kavram Mantıksal yasa, mantıksal yasaları temsil eden muhakeme şemalarının birkaç örneğini veriyoruz. Genellikle ifadeleri belirtmek için kullanılan A, B, C, ... değişkenleri yerine, antik çağda yapıldığı gibi değişkenlerin yerine "birinci" ve "ikinci" kelimelerini kullanacağız.

“Birincisi varsa ikincisi de vardır; ilki var; dolayısıyla ikincisi var.” Bu akıl yürütme şeması, koşullu bir ifadenin ("Birinci varsa, o zaman bir ikincisi de vardır") ve temelinin ("bir ilki vardır") ifadesinden bir sonucun ifadesine geçmemizi sağlar ( “Bir saniye var”). Özellikle bu şemaya göre mantık şu şekilde ilerliyor: “Buz ısıtılırsa erir; buz ısıtılır; bu yüzden eriyor.”

Doğru akıl yürütmenin başka bir şeması: “Ya birincisi olur ya da ikincisi; ilki var; yani ikincisi yok demektir.” Bu şema aracılığıyla birbirini dışlayan iki alternatiften hangisinin geçerli olduğu belirlenerek ikinci alternatifin olumsuzlanmasına geçiş yapılır. Örneğin: “Ya Dostoyevski Moskova'da doğdu ya da St. Petersburg'da doğdu. Dostoyevski Moskova'da doğdu. Bu onun St. Petersburg'da doğduğunun doğru olmadığı anlamına geliyor.” Amerikan western filmi “İyi, Kötü ve Çirkin”de kötü bir karakter diğerine şöyle diyor: “Unutma, dünya iki kısma ayrılmıştır: Elinde tabanca olanlar ve kazanlar. Artık tabancam var, o yüzden küreği al.” Bu akıl yürütme aynı zamanda belirtilen şemaya dayanmaktadır.

Ve mantıksal bir yasanın veya doğru akıl yürütmenin genel şemasının son bir ön örneği: "Bu birincisi ya da ikincisi. Ama ilki öyle değil. Bu da ikincisinin söz konusu olduğu anlamına geliyor."“Birinci” ifadesi yerine “Gündüz” ifadesini, “İkincisi” yerine de “Gecedir” ifadesini koyalım. Soyut diyagramdan şu mantığı çıkarıyoruz: “Gündüz mü yoksa gece mi? Ancak gündüz olduğu doğru değil.

Yani artık gece.”

Bunlar bazıları basit devreler Mantıksal yasa kavramını gösteren doğru akıl yürütme. Farkında olmasak da buna benzer yüzlerce plan kafamızda oturuyor. Onlara dayanarak mantıklı veya doğru bir şekilde akıl yürütürüz.

Mantık kanunu (mantık kanunu)- Anlamlı parçalar yerine yalnızca mantıksal sabitleri ve değişkenleri içeren ve akıl yürütmenin her alanında doğru olan bir ifade.

Örnek olarak yalnızca değişkenlerden ve mantıksal sabitlerden oluşan bir ifadeyi ele alalım: “Eğer A ise o zaman B; A değilse B değildir demektir.” Buradaki mantıksal sabitler "eğer, o zaman" ve "değil" önerme bağlaçlarıdır. A ve B değişkenleri bazı ifadeleri temsil eder. Diyelim ki A “Bir neden var” ifadesi, B ise “Bir sonuç var” ifadesi. Bu spesifik içerikle şu mantığa ulaşıyoruz: “Neden varsa sonuç da vardır; Bu, eğer etki yoksa sebep de yoktur demektir.” Ayrıca A yerine “Sayı altıya bölünür” ifadesinin, B yerine de “Sayı üçe bölünür” ifadesinin getirildiğini varsayalım. Bu özel içerikle, söz konusu diyagramdan hareketle şu mantığa ulaşıyoruz: “Bir sayı altıya bölünüyorsa, üçe de bölünür. Dolayısıyla bir sayı üçe bölünemiyorsa, altıya da bölünemez." A ve B değişkenlerinin yerine başka ifadeler konulursa konulsun, eğer bu ifadeler doğruysa, onlardan çıkarılan sonuç da doğru olacaktır.

Mantıkta, genellikle, hakkında akıl yürütmenin yapıldığı ve mantıksal yasaya konulan ifadelerin bahsettiği nesnelerin alanının boş olamayacağına dair bir çekince yapılır: en az bir nesne içermelidir. Aksi takdirde mantığın kanunu olan şemaya göre akıl yürütmek, doğru öncüllerden yanlış sonuca varılmasına yol açabilir.

Örneğin, "Bütün filler hayvandır" ve "Bütün fillerin hortumları vardır" şeklindeki doğru öncüllerden, mantık yasasına göre, "Bazı hayvanların hortumları vardır" şeklindeki doğru sonuç çıkar. Ancak söz konusu nesnelerin alanı boşsa, mantık yasasını takip etmek, doğru öncüller verildiğinde doğru bir sonucu garanti etmez. Aynı şemaya göre akıl yürüteceğiz ama bu sefer altın dağları hakkında. Bir sonuç çıkaralım: “Altın dağların hepsi dağdır; tüm altın dağlar altındır; bu nedenle bazı dağlar altındır.” Bu sonucun her iki öncülü de doğrudur. Ancak onun "Bazı dağlar altındır" sonucu açıkça yanlıştır: Altın dağ diye bir şey yoktur.

Mantıksal hukuk kavramı

Dolayısıyla mantık yasasına dayalı akıl yürütme iki özellik ile karakterize edilir:

Böyle bir akıl yürütme her zaman doğru öncüllerden doğru sonuca götürür;

Sonuç, öncüllerden mantıksal zorunlulukla çıkar.

Mantıksal yasaya da denir mantıksal totoloji.

Mantıksal totoloji- hangi nesneler tartışılırsa tartışılsın doğru kalan bir ifade veya "her zaman doğru" bir ifade.

Örneğin, çift olumsuzlama mantıksal yasasına yapılan ikamelerin tüm sonuçları "Eğer A ise, o zaman A olmadığı doğru değildir" doğru ifadelerdir: "Eğer kurum siyahsa, o zaman siyah olmadığı doğru değildir", “Bir kimse korkudan titriyorsa, korkudan titremediği doğru değildir” vb.

Daha önce de belirtildiği gibi, mantıksal yasa kavramı, mantıksal ima kavramıyla doğrudan ilişkilidir: sonuç, mantıksal bir yasa ile onlarla bağlantılıysa, kabul edilen öncüllerden mantıksal olarak çıkar. Örneğin, "Eğer A ise, o zaman B" ve "Eğer B ise, o zaman C" önermelerinden mantıksal olarak "Eğer A ise, o zaman C" sonucu çıkar, çünkü "Eğer A ise o zaman B ve eğer B ise o zaman C," ifadesi mantıksal olarak çıkar. o zaman eğer A ise C" mantıksal bir yasayı temsil eder, yani geçişlilik yasası(geçişlilik). Diyelim ki, bu kanuna göre “Bir kişi baba ise o zaman ebeveyndir” ve “Bir kişi ebeveyn ise o zaman baba veya annedir” önermelerinden, sonuç şu şekildedir: “Eğer bir kişi ebeveyn ise, o zaman o bir baba veya annedir”. kişi baba ise o zaman baba veya annedir.”

Mantıksal dizi- genel şeması mantıksal bir yasa olan bir çıkarımın öncülleri ile sonucu arasındaki ilişki.

Mantıksal çıkarımların bağlantısı mantıksal bir yasaya dayandığından, iki özellik ile karakterize edilir:

Mantıksal sonuç, doğru öncüllerden yalnızca doğru sonuca götürür;

Öncüllerden çıkan sonuç mantıksal zorunlulukla onlardan çıkar.

Mantıksal yasaların tümü mantıksal sonuç kavramını doğrudan tanımlamaz. Diğer mantıksal bağlantıları tanımlayan yasalar vardır: "ve", "veya", "bu doğru değil" vb. ve mantıksal ima ilişkisiyle yalnızca dolaylı olarak ilişkilidir. Bu, özellikle aşağıda ele alınan çelişki yasasıdır: “Keyfi olarak alınmış bir beyanın ve

Akıllı düşünceler yalnızca aptalca şeyler zaten yapıldığında gelir.

İmkansızı ancak absürt girişimlerde bulunanlar başarabilir. Albert Einstein

İyi arkadaşlar, iyi kitaplar ve uyuyan bir vicdan - bu ideal bir yaşamdır. Mark Twain

Zamanda geriye gidip başlangıcınızı değiştiremezsiniz ama şimdi başlayıp bitişinizi değiştirebilirsiniz.

Daha yakından incelediğimde, zamanla geliyormuş gibi görünen değişikliklerin aslında hiçbir değişiklik olmadığını genellikle açıkça görüyorum: yalnızca olaylara bakış açım değişiyor. (Franz Kafka)

Ve aynı anda iki yola girmenin cazibesi ne kadar büyük olsa da, bir deste kartla hem şeytanla hem de Tanrıyla oynayamazsınız...

Birlikte kendiniz olabileceğiniz kişileri takdir edin.
Maskeler, ihmaller ve hırslar olmadan.
Ve onlara iyi bakın, onlar size kader tarafından gönderildi.
Sonuçta hayatınızda bunlardan sadece birkaçı var

Olumlu bir cevap için yalnızca tek bir kelime yeterlidir - "evet". Diğer tüm kelimeler hayır demek için uydurulmuştur. Don Aminado

Bir kişiye şunu sorun: "Mutluluk nedir?" ve en çok neyi özlediğini öğreneceksiniz.

Hayatı anlamak istiyorsanız, onların söylediklerine ve yazdıklarına inanmayı bırakın, gözlemleyin ve hissedin. Anton Çehov

Dünyada eylemsizlikten ve beklemekten daha yıkıcı ve dayanılmaz bir şey yoktur.

Hayallerinizi gerçekleştirin, fikirler üzerinde çalışın. Sana gülenler seni kıskanmaya başlayacaklar.

Rekorlar kırılmak için vardır.

Zaman kaybetmenize gerek yok, yatırım yapın.

İnsanlık tarihi, kendine inanan oldukça az sayıda insanın tarihidir.

Kendini kenara mı ittin? Artık yaşamanın bir manasını görmüyor musun? Bu, zaten yakın olduğunuz anlamına geliyor... Dibe ulaşma kararına yaklaşıp, ondan uzaklaşıp sonsuza kadar mutlu olmaya karar vermenize yakınsınız... Bu yüzden dipten korkmayın - onu kullanın...

Dürüst ve açık sözlü olursan insanlar seni aldatır; yine de dürüst ve açık sözlü ol.

Bir kişi, faaliyeti ona neşe getirmiyorsa nadiren herhangi bir şeyi başarır. Dale Carnegie

Eğer ruhunuzda çiçek açan en az bir dal kaldıysa, her zaman onun üzerine şarkı söyleyen bir kuş konacaktır (Doğu bilgeliği).

Hayatın kanunlarından biri, bir kapı kapanır kapanmaz diğerinin açılacağını söylüyor. Ama sorun şu ki kilitli kapıya bakıyoruz ve açık olana dikkat etmiyoruz. André Gide

Bir kişiyi onunla kişisel olarak konuşana kadar yargılamayın çünkü duyduğunuz tek şey söylentilerdir. Michael Jackson.

Önce seni görmezden gelirler, sonra sana gülerler, sonra seninle kavga ederler, sonra sen kazanırsın. Mahatma Gandi

İnsan hayatı iki yarıya ayrılır: İlk yarıda ikinciye doğru ilerlemeye çabalarlar, ikinci yarıda ise ilk yarıya geri dönmeye çalışırlar.

Kendiniz hiçbir şey yapmazsanız nasıl yardımcı olabilirsiniz? Yalnızca hareket halindeki bir aracı sürebilirsiniz

Hepsi olacak. Sadece bunu yapmaya karar verdiğinde.

Aşk ve ölüm dışında her şeyi arayabilirsin bu dünyada... Zamanı gelince seni kendileri bulacaklar.

Çevredeki acı dolu dünyaya rağmen içsel tatmin çok değerli bir varlıktır. Sridhar Maharaj

Sonunda görmek istediğiniz hayatı yaşamaya şimdi başlayın. Marcus Aurelius

Her günümüzü son anımızmış gibi yaşamalıyız. Provamız yok, hayatımız var. Pazartesi günü başlamıyoruz - bugün yaşıyoruz.

Hayatın her anı başka bir fırsattır.

Bir yıl sonra dünyaya farklı gözlerle bakacaksınız, evinizin yakınında büyüyen bu ağaç bile size farklı gelecektir.

Mutluluğu aramanıza gerek yok; o olmalısınız. Osho

Bildiğim hemen hemen her başarı öyküsü, başarısızlığa yenik düşmüş bir kişinin sırt üstü yatmasıyla başladı. Jim Rohn

Her uzun yolculuk bir adımla, ilk adımla başlar.

Kimse senden daha iyi değil. Kimse senden daha akıllı değil. Daha yeni başladılar. Brian Tracy

Koşan düşer. Sürünen düşmez. Yaşlı Pliny

Sadece gelecekte yaşadığınızı anlamalısınız ve kendinizi hemen orada bulacaksınız.

Ben var olmayı değil, yaşamayı seçiyorum. James Alan Hetfield

Sahip olduklarının kıymetini anladığında ve ideal arayışı içinde yaşamadığında gerçekten mutlu olacaksın..

Sadece bizden daha kötü olanlar bizim hakkımızda kötü düşünür ve bizden daha iyi olanların bize ayıracak vakti yoktur. Ömer Hayyam

Bazen bir çağrıyla ayrılırız mutluluktan... Bir sohbet... Bir itiraf...

Zayıflığını kabul eden kişi güçlü olur. Onre Balzac

Ruhunu alçaltan, bundan daha güçlüşehirleri fetheden.

Bir fırsat geldiğinde onu yakalamalısın. Ve onu yakaladığınızda başarıya ulaştınız - tadını çıkarın. Sevinci hissedin. Ve çevrenizdeki herkesin size bir kuruş bile vermedikleri halde pislik oldukları için hortumunuzu emmesine izin verin. Ve sonra - ayrıl. Güzel. Ve herkesi şokta bırakın.

Asla umutsuzluğa kapılmayın. Ve eğer zaten umutsuzluğa düştüyseniz, o zaman umutsuzluk içinde çalışmaya devam edin.

İleriye doğru kararlı bir adım, arkadan atılan iyi bir vuruşun sonucudur!

Rusya'da, Avrupa'daki herkese davranıldığı gibi davranılabilmesi için ya ünlü ya da zengin olmanız gerekir. Konstantin Raikin

Her şey sizin tavrınıza bağlıdır. (Chuck Norris)

Hiçbir mantık bir insana Romain Rolland'ı görmek istemediği bir yol gösteremez.

İnandığınız şey sizin dünyanız olur. Richard Matheson

Olmadığımız yer iyi. Artık geçmişte değiliz ve bu yüzden güzel görünüyor. Anton Çehov

Zenginler daha da zenginleşiyor çünkü finansal zorlukların üstesinden gelmeyi öğreniyorlar. Bunları öğrenme, büyüme, gelişme ve zengin olma fırsatı olarak görüyorlar.

Herkesin kendi cehennemi vardır; ateş ve katran olmasına gerek yok! Bizim cehennemimiz boşa harcanmış bir hayat! Hayallerin götürdüğü yer

Ne kadar çalıştığınız önemli değil, önemli olan sonuçtur.

Sadece annenin en nazik elleri, en yumuşak gülümsemesi ve en sevgi dolu kalbi vardır...

Hayatta kazananlar her zaman şöyle düşünürler: Yapabilirim, istiyorum, ben. Kaybedenler ise dağınık düşüncelerini yapabilecekleri, yapabilecekleri veya yapamadıkları şeylere odaklarlar. Başka bir deyişle, kazananlar her zaman sorumluluğu üstlenirken, kaybedenler başarısızlıklarından dolayı koşulları veya diğer insanları suçlarlar. Denis Whately.

Hayat bir dağdır; yavaş yavaş yükselirsin, çabuk inersin. Adam majör

İnsanlar yeni bir hayata adım atmaktan o kadar korkuyorlar ki, kendilerine yakışmayan her şeye gözlerini kapatmaya hazırlar. Ama bu daha da korkutucu: Bir gün uyanmak ve yakındaki her şeyin aynı olmadığını, aynı olmadığını, aynı olmadığını fark etmek... Bernard Shaw

Dostluk ve güven alınıp satılmaz.

Her zaman, hayatınızın her dakikasında, kesinlikle mutlu olduğunuzda bile, etrafınızdaki insanlara karşı tek bir tavır takın: - Her halükarda, senle ya da sensiz istediğimi yapacağım.

Dünyada yalnızca yalnızlık ve bayağılık arasında seçim yapabilirsiniz. Arthur Schopenhauer

Sadece olaylara farklı bakmanız gerekir, böylece hayat farklı bir yöne akacaktır.

Demir mıknatısa şunu söyledi: En çok senden nefret ediyorum çünkü seni sürüklemeye yetecek güce sahip olmadan çekiyorsun! Friedrich Nietzsche

Hayat dayanılmaz hale geldiğinde bile yaşamayı öğrenin. N. Ostrovsky

Zihninizde gördüğünüz resim eninde sonunda hayatınız olacak.

"Hayatınızın ilk yarısında kendinize neler yapabileceğinizi soruyorsunuz, ancak ikinci yarısında buna kimin ihtiyacı var?"

Yeni bir hedef belirlemek ya da yeni bir hayal bulmak için hiçbir zaman geç değildir.

Kaderinizi kontrol edin yoksa başkası kontrol eder.

çirkindeki güzelliği gör,
nehirlerin derelerdeki taşkınlarını görün...
Günlük hayatta nasıl mutlu olunacağını kim bilebilir?
o gerçekten mutlu adam! E. Asadov

Bilgeye soruldu:

Kaç çeşit arkadaşlık vardır?

Dört, diye yanıtladı.
Arkadaşlar yiyecek gibidir; onlara her gün ihtiyacın vardır.
Arkadaşlar ilaç gibidir; kendini kötü hissettiğinde ararsın.
Dostlar var, hastalık gibi, onlar da seni arıyorlar.
Ama hava gibi arkadaşlar vardır; onları göremezsiniz ama onlar her zaman yanınızdadır.

Olmak istediğim kişi olacağım; eğer o olabileceğime inanırsam. Gandi

Kalbinizi açın ve onun neyi hayal ettiğini dinleyin. Hayallerinizin peşinden gidin, çünkü Rab'bin yüceliği yalnızca kendilerinden utanmayanlar aracılığıyla ortaya çıkacaktır. Paulo Coelho

Reddedilmek korkulacak bir şey değildir; Başka bir şeyden korkmalı insan; yanlış anlaşılmaktan. Immanuel Kant

Gerçekçi olun; imkansızı isteyin! Che Guevara

Dışarıda yağmur yağıyorsa planlarınızı ertelemeyin.
İnsanlar size inanmıyorsa hayallerinizden vazgeçmeyin.
Doğaya ve insanlara karşı çıkın. Sen bir bireysin. Sen güçlüsün.
Ve unutmayın - ulaşılamaz hedefler yoktur - yüksek bir tembellik katsayısı, yaratıcılık eksikliği ve bir sürü mazeret vardır.

Ya sen dünyayı yaratırsın ya da dünya seni yaratır. Jack Nicholson

İnsanların böyle gülümsemesini seviyorum. Örneğin otobüse biniyorsunuz ve pencereden dışarı bakan ya da SMS yazan ve gülümseyen birini görüyorsunuz. Ruhunuzu çok iyi hissettiriyor. Ve ben de gülümsemek istiyorum.

Bir ifade, bir addan daha karmaşık bir oluşumdur. İfadeleri daha basit parçalara ayırdığımızda her zaman şu veya bu ismi alırız. De ki, “Güneş bir yıldızdır” ifadesi, parçaları olarak “Güneş” ve “yıldız” isimlerini içermektedir.

İfade -İfade ettiği anlam (içerik) ile birlikte ele alındığında ve doğru ya da yanlış olan dilbilgisi açısından doğru bir cümle.

İfade kavramı, modern mantığın ilk, anahtar kavramlarından biridir. Bu nedenle, farklı bölümlerine eşit derecede uygulanabilecek kesin bir tanıma izin vermemektedir.

Bir ifade, verdiği açıklama gerçek duruma uyuyorsa doğru, uymuyorsa yanlış kabul edilir. “Doğru” ve “yanlış”a “ifadelerin doğruluk değerleri” denir.

Bireysel ifadelerden yeni ifadeler farklı şekillerde oluşturulabilir. Örneğin, "Rüzgar esiyor" ve "Yağmur yağıyor" ifadelerinden daha karmaşık ifadeler oluşturulabilir: "Rüzgar esiyor ve yağmur yağıyor", "Ya rüzgar esiyor ya da yağmur yağıyor", "Eğer rüzgar varsa" yağmur yağıyor, sonra rüzgar esiyor” vb.

Açıklama denir basit, parçası olarak başka ifadeler içermediği sürece.

Açıklama denir karmaşık, diğer basit ifadelerden mantıksal bağlaçlar kullanılarak elde edilmişse.

Karmaşık ifadeler oluşturmanın en önemli yollarına bakalım.

Olumsuz ifade Genellikle "değil", "bu doğru değil" sözcükleriyle ifade edilen bir başlangıç ​​​​ifadesi ve bir olumsuzlamadan oluşur. Olumsuz bir ifade bu nedenle karmaşık bir ifadedir: parçası olarak kendisinden farklı bir ifadeyi içerir. Örneğin, “10 bir çift sayıdır” ifadesinin olumsuzlaması, “10 bir çift sayı değildir” ifadesidir (veya: “10'un bir çift sayı olduğu doğru değildir”).

İfadeleri harflerle gösterelim A, B, C,... Bir ifadenin olumsuzlanması kavramının tam anlamı şu koşulla verilir: eğer ifade A doğrudur, olumsuzlaması yanlıştır ve eğer A yanlıştır, olumsuzu doğrudur. Örneğin, “1 pozitif bir tam sayıdır” ifadesi doğru olduğundan “1 pozitif bir tam sayı değildir” ifadesi yanlıştır ve “1 bir asal sayıdır” ifadesi yanlış olduğundan “1 asal bir sayı değildir” ifadesi yanlıştır. " doğru.

İki ifadeyi "ve" sözcüğünü kullanarak bağlamak, adı verilen karmaşık bir ifade üretir. bağlaç. Bu şekilde bağlanan ifadelere "birleşimin üyeleri" adı verilir.

Örneğin, “Bugün hava sıcaktı” ve “Dün hava soğuktu” ifadeleri bu şekilde birleştirilirse “Bugün hava sıcak, dün hava soğuktu” bağlacını elde edersiniz.

Bir bağlaç yalnızca içerdiği her iki ifadenin de doğru olması durumunda doğrudur; üyelerinden en az biri yanlışsa, o zaman bağlacın tamamı yanlıştır.

Günlük dilde iki ifade, içerik veya anlam bakımından birbirleriyle ilişkili olduklarında "ve" bağlacı ile bağlanır. Bu bağlantının niteliği tam olarak belli olmasa da “O paltoyla yürüyordu, ben de üniversiteye yürüyordum” bağlacını anlamlı ve doğru ya da yanlış olabilen bir ifade olarak değerlendirmeyeceğimiz açıktır. “2 bir asal sayıdır” ve “Moskova büyük bir şehirdir” ifadeleri doğru olmasına rağmen “2 bir asal sayıdır ve Moskova büyük bir şehirdir” bağlacının bileşenleri olduğu için bunların doğru olduğunu düşünme eğiliminde değiliz. bu ifadeler anlam bakımından birbiriyle bağlantılı değildir. Bağlaçların ve diğer mantıksal bağlaçların anlamını basitleştirerek ve bu amaçla belirsiz olan "ifadelerin anlam yoluyla bağlanması" kavramını terk ederek mantık, bu bağlaçların anlamını hem daha geniş hem de daha spesifik hale getirir.

İki ifadeyi "veya" sözcüğünü kullanarak bağlamak ayrılık bu bildiriler. Ayrılık oluşturan ifadelere “ayrılığın üyeleri” denir.

"Veya" kelimesinin günlük dilde iki farklı anlamı vardır. Bazen "biri veya diğeri veya her ikisi" anlamına gelir, bazen de "biri veya diğeri, ancak ikisi birden değil." Örneğin, “Bu sezon Maça Kızı'na veya Aida'ya gitmek istiyorum” ifadesi, onera'yı iki kez ziyaret etme olanağı sağlıyor. “Moskova veya Yaroslavl Üniversitesinde okuyor” ifadesi, adı geçen kişinin bu üniversitelerden yalnızca birinde okuduğunu ima ediyor.

"Veya"nın ilk anlamı denir münhasır değil. Bu anlamda ele alındığında, iki ifadenin ayrılması, her ikisinin de doğru olup olmadığına bakılmaksızın, bu ifadelerden en az birinin doğru olduğu anlamına gelir. İkincisinde çekildi özel veya dar anlamda, iki ifadenin ayrılması, ifadelerden birinin doğru, ikincisinin yanlış olduğunu belirtir.

Münhasır olmayan bir ayrım, onu oluşturan ifadelerden en az biri doğru olduğunda doğrudur ve yalnızca her iki üyesi de yanlış olduğunda yanlıştır.

Dışlayıcı bir ayrım, terimlerinden yalnızca biri doğru olduğunda doğrudur ve her iki terimi de doğru veya her ikisi de yanlış olduğunda yanlıştır.

Mantık ve matematikte “veya” kelimesi neredeyse her zaman özel olmayan bir anlamda kullanılır.

Koşullu ifade - Genellikle "eğer..., o zaman..." bağlacı kullanılarak formüle edilen ve o olayı, durumu vb. kuran karmaşık bir ifade. şu ya da bu anlamda diğerinin temeli ya da koşuludur.

Örneğin: “Ateş varsa duman da vardır”, “Bir sayı 9'a bölünüyorsa 3'e de bölünür” vb.

Koşullu bir ifade iki basit ifadeden oluşur. "Eğer" sözcüğünden önce gelene denir temel, veya öncül(önceki), “that” kelimesinden sonra gelen ifadeye denir sonuçlar, veya sonuçsal(sonraki).

Bir şartlı ifadeyi tasdik etmekle öncelikle, esasında söylenenin vuku bulması, sonuçta söylenenin ise yok olmasının olamayacağını kastediyoruz. Yani öncülün doğru, sonucun yanlış olması mümkün değildir.

Koşullu ifade açısından, yeterli ve gerekli koşullar kavramları genellikle tanımlanır: öncül (temel), sonuç (sonuç) için yeterli bir koşuldur ve sonuç, öncül için gerekli bir durumdur. Örneğin, "Eğer seçim rasyonel ise, mevcut alternatiflerin en iyisi seçilir" koşullu ifadesinin doğruluğu, rasyonelliğin, mevcut seçeneklerden en iyisinin seçilmesi için yeterli bir neden olduğu ve böyle bir seçeneğin seçiminin, rasyonel olduğu anlamına gelir. rasyonelliği için gerekli bir koşuldur.

Koşullu ifadenin tipik bir işlevi, bir ifadeyi başka bir ifadeye atıfta bulunarak gerekçelendirmektir. Örneğin gümüşün elektriği iletken olduğu gerçeği, onun bir metal olduğu gerçeğine atıfla haklı gösterilebilir: "Gümüş bir metalse, elektriği iletkendir."

Koşullu bir ifadeyle ifade edilen temelleyici ile temellendirilmiş (temel ve sonuç) arasındaki bağlantıyı genel bir şekilde karakterize etmek zordur ve yalnızca bazen doğası nispeten açıktır. Bu bağlantı, öncelikle öncüller ile doğru bir sonuca varılması arasında meydana gelen mantıksal sonuç bağlantısı olabilir (“Eğer tüm çok hücreli canlılar ölümlüyse ve denizanası da böyle bir yaratıksa, o zaman ölümlüdür”); ikincisi, doğa kanununa göre (“Bir cisim sürtünmeye maruz kalırsa ısınmaya başlar”); üçüncüsü, nedensel bir bağlantı (“Ay, yeni ayda yörüngesinin düğüm noktasındaysa, güneş tutulması meydana gelir”); dördüncüsü, sosyal düzenlilik, kural, gelenek vb. (“Toplum değişirse kişi de değişir”, “Tavsiye makulse uygulanmalı”).

Koşullu bir ifadeyle ifade edilen bağlantıya genellikle sonucun belirli bir zorunlulukla nedenden "sonuçlandığı" ve formüle edebildiğimizde sonucu mantıksal olarak çıkarsama yapabileceğimiz bazı genel yasaların olduğu inancı eşlik eder. sebep.

Örneğin, "Bizmut bir metal ise plastiktir" koşullu ifadesi, "Hiçbir metal plastik değildir" genel yasasını varsayıyor gibi görünüyor ve bu ifadenin sonucunu, öncülünün mantıksal bir sonucu haline getiriyor.

Hem sıradan dilde hem de bilim dilinde, koşullu bir ifade, gerekçelendirme işlevine ek olarak bir dizi başka görevi de yerine getirebilir: ima edilen herhangi bir genel yasa veya kuralla ilişkili olmayan bir koşulu formüle etmek ("Eğer İstiyorum, pelerinimi keseceğim”); herhangi bir diziyi kaydedin (“Geçen yaz kurak geçtiyse, bu yıl yağmurludur”); inançsızlığınızı tuhaf bir biçimde ifade edin (“Bu sorunu çözerseniz Fermat'nın son teoremini kanıtlayacağım”); muhalefet ("Bahçede mürver yetişirse, o zaman Kiev'de bir adam yaşıyor") vb. Koşullu bir ifadenin işlevlerinin çokluğu ve heterojenliği, analizini önemli ölçüde karmaşıklaştırır.

Koşullu ifadelerin kullanımı belirli psikolojik faktörlerle ilişkilidir. Bu nedenle, genellikle böyle bir ifadeyi ancak öncülünün ve sonucunun doğru mu yanlış mı olduğunu kesin olarak bilmiyorsak formüle ederiz. Aksi halde kullanımı doğal görünmüyor (“Pamuk metal ise elektrik iletkenidir”).

Koşullu ifade, akıl yürütmenin tüm alanlarında çok geniş bir uygulama alanı bulur. Mantıkta genellikle şu şekilde temsil edilir: dolaylı ifade, veya etkileri. Aynı zamanda mantık, "eğer..., o zaman..." ifadesinin kullanımını açıklığa kavuşturur, sistemleştirir ve basitleştirir, böylece onu psikolojik faktörlerin etkisinden kurtarır.

Mantık, özellikle, bağlama bağlı olarak koşullu bir ifadenin özelliği olan sebep ve sonuç arasındaki bağlantının yalnızca "eğer..., o zaman..." kullanılarak değil, aynı zamanda diğer ifadelerle de ifade edilebileceği gerçeğinden soyutlanmıştır. dilsel araçlar. Örneğin, “Su sıvı olduğu için basıncı her yöne eşit olarak iletir”, “Hamuru metal olmasa da plastiktir”, “Ahşap metal olsaydı elektriği iletirdi” vb. Bu ve benzeri ifadeler mantık dilinde ima yoluyla temsil edilir, ancak bunlarda "eğer..., o zaman..." kullanımı tamamen doğal olmayacaktır.

Bir imayı öne sürerek, temeli mevcut, sonucu yok ise olamayacağını ileri sürüyoruz. Başka bir deyişle, bir çıkarım ancak nedeni doğru ve sonucu yanlışsa yanlıştır.

Bu tanım, bağlaçların önceki tanımları gibi, her ifadenin ya doğru ya da yanlış olduğunu ve karmaşık bir ifadenin doğruluk değerinin yalnızca kurucu ifadelerin doğruluk değerlerine ve bunların bağlanma şekline bağlı olduğunu varsayar.

Bir çıkarım, hem nedeni hem de sonucu doğru ya da yanlış olduğunda doğrudur; nedeni yanlışsa ve sonucu doğruysa doğrudur. Yalnızca dördüncü durumda, neden doğru ve sonuç yanlış olduğunda, ima yanlıştır.

İfadelerde ima edilmemektedir A Ve İÇİNDE içerik olarak bir şekilde birbiriyle ilişkilidir. Eğer doğruysa İÇİNDE ifadesi "eğer A, O İÇİNDE" ne olursa olsun doğru A doğru ya da yanlış ve anlam olarak bağlantılıdır İÇİNDE ya da değil.

Örneğin, şu ifadeler doğru kabul edilir: "Güneş'te hayat varsa, o zaman iki artı iki dört eder", "Volga bir gölse, Tokyo büyük bir köydür" vb. Bir koşullu ifade aşağıdaki durumlarda da doğrudur: A yanlış ve yine kayıtsızca doğru İÇİNDE olup olmadığı ve içerik olarak ilgili olup olmadığı A ya da değil. Doğru ifadeler şunları içerir: "Güneş küpse, Dünya bir üçgendir", "İki artı iki beşe eşitse, Tokyo küçük bir şehirdir" vb.

Sıradan akıl yürütmede, tüm bu ifadelerin anlamlı olarak değerlendirilmesi pek olası değildir ve hatta doğru değildir.

Her ne kadar ima etme birçok amaç için yararlı olsa da, koşullu bağlantının olağan anlayışıyla tamamen tutarlı değildir. Çıkarım, bir koşullu ifadenin mantıksal davranışının birçok önemli özelliğini kapsar, ancak aynı zamanda bunun yeterince yeterli bir açıklaması değildir.

Son yarım yüzyılda, çıkarım teorisini yeniden düzenlemek için güçlü girişimlerde bulunuldu. Aynı zamanda, açıklanan ima kavramından vazgeçmek değil, bununla birlikte yalnızca ifadelerin doğruluk değerlerini değil, aynı zamanda içerikteki bağlantılarını da hesaba katan başka bir kavramın tanıtılması meselesiydi.

Anlamla yakından ilgili denklik, bazen "çifte ima" olarak adlandırılır.

Eşdeğerlik, Li B'nin ifadelerinden oluşan ve iki çıkarıma ayrılan karmaşık bir "A ancak ve ancak B ise" ifadesidir: "Eğer B ise" A, o zaman B" ve "eğer B ise o zaman A".Örneğin: "Bir üçgen ancak ve ancak eşkenar ise eşkenardır." "Eşdeğerlik" terimi aynı zamanda belirli bir karmaşık ifadenin iki ifadeden oluşturulduğu "..., ancak ve ancak..." bağlacı anlamına da gelir. Bu amaçla “eğer ve ancak eğer” yerine “eğer ve ancak eğer”, “eğer ve ancak eğer” vb. kullanılabilir.

Mantıksal bağlaçlar doğruluk ve yanlışlık açısından tanımlanırsa, bir denklik ancak ve ancak her iki kurucu ifadenin aynı doğruluk değerine sahip olması durumunda doğrudur; her ikisi de doğru veya her ikisi de yanlış olduğunda. Buna göre bir eşdeğerlik, içerdiği ifadelerden birinin doğru, diğerinin yanlış olması durumunda yanlıştır.

Önerme mantığı Önerme mantığı olarak da adlandırılan önerme mantığı, mantıksal işlemler kullanılarak basit veya temel ifadelerden oluşturulan karmaşık ifadelerin mantıksal biçimlerini inceleyen bir matematik ve mantık dalıdır.

Önerme mantığı, ifadelerin içeriğinden soyutlar ve onların doğruluk değerini, yani ifadenin doğru mu yanlış mı olduğunu inceler.

Yukarıdaki resim Yalancı Paradoksu olarak bilinen bir olgunun bir örneğidir. Aynı zamanda projenin yazarına göre bu tür paradokslar ancak siyasi sorunlardan arınmış olmayan, birinin önsel olarak yalancı olarak etiketlenebileceği ortamlarda mümkündür. Doğal çok katmanlı dünyada “Doğruluk” veya “yanlış” konusu yalnızca bireysel ifadeler değerlendirilir . Ve bu derste daha sonra tanıtılacaksınız bu konudaki birçok ifadeyi kendiniz değerlendirme fırsatı (ve sonra doğru cevaplara bakın). Daha basit olanların mantıksal işlem işaretleriyle birbirine bağlandığı karmaşık ifadeler dahil. Ama önce bu işlemleri ifadelerin kendileri üzerinde ele alalım.

Önerme mantığı, bilgisayar bilimlerinde ve programlamada, mantıksal değişkenlerin bildirilmesi ve bunlara programın daha fazla yürütülmesinin bağlı olduğu "yanlış" veya "doğru" mantıksal değerlerinin atanması şeklinde kullanılır. Yalnızca bir boole değişkeninin yer aldığı küçük programlarda, boole değişkenine genellikle "flag" gibi bir ad verilir ve değişkenin değeri "true" olduğunda "flag is up", "flag is down" olduğunda ise anlam "flag is up" olur. bu değişkenin değeri "yanlış"tır. Birkaç hatta birçok mantıksal değişkenin bulunduğu büyük programlarda, profesyonellerin mantıksal değişkenler için ifadeler ve ifadeler biçiminde adlar bulmaları gerekir. anlamsal yük, onları diğer mantıksal değişkenlerden ayıran ve bu programın metnini okuyacak diğer profesyoneller için anlaşılabilir olması.

Böylece, "UserRegistered" (veya bunun İngilizce dilindeki analogu) adındaki mantıksal bir değişken, kayıt verilerinin gönderildiği koşulların karşılanması durumunda "true" mantıksal değeri atanabilen bir ifade biçiminde bildirilebilir. Kullanıcı tarafından bu veriler program tarafından geçerli olarak tanınır. Daha sonraki hesaplamalarda, UserRegistered değişkeninin mantıksal değerine (true veya false) bağlı olarak değişkenlerin değerleri değişebilir. Diğer durumlarda, örneğin "Günden Üç Günden Fazla Kaldı" adlı bir değişkene, belirli bir hesaplama bloğundan önce "Doğru" değeri atanabilir ve programın daha sonraki yürütülmesi sırasında bu değer şu şekilde ayarlanabilir: kaydedildi veya "yanlış" olarak değiştirildi ve daha sonraki yürütmenin ilerlemesi bu değişken programların değerine bağlıdır.

Bir program, adları ifade biçiminde olan birkaç mantıksal değişken kullanıyorsa ve bunlardan daha karmaşık ifadeler oluşturulmuşsa, geliştirmeden önce ifadelerden tüm işlemleri yazarsak, programı geliştirmek çok daha kolaydır. Bu derste yapacağımız şey ise ifade mantığında kullanılan formüller şeklindedir.

İfadelerde mantıksal işlemler

Matematiksel ifadeler için her zaman "doğru" ve "yanlış" olmak üzere iki farklı alternatif arasında seçim yapılabilir, ancak "sözlü" dilde yapılan ifadeler için "doğru" ve "yanlış" kavramları biraz daha belirsizdir. Ancak örneğin “Eve git” ve “Yağmur yağıyor mu?” gibi sözel formlar ifade değildir. Bu nedenle açıktır ki ifadeler bir şeyin ifade edildiği sözlü formlardır . Soru veya ünlem cümleleri, itirazlar, dilek veya talepler beyan değildir. "Doğru" ve "yanlış" değerlerine göre değerlendirilemezler.

Aksine, ifadeler iki anlam alabilen nicelikler olarak düşünülebilir: “doğru” ve “yanlış”.

Örneğin şu yargılar verilmektedir: “Köpek hayvandır”, “Paris İtalya’nın başkentidir”, “3

Bu ifadelerden birincisi “doğru”, ikincisi “yanlış”, üçüncüsü “doğru” ve dördüncüsü “yanlış” simgesiyle değerlendirilebilir. İfadelerin bu şekilde yorumlanması önermesel cebirin konusudur. İfadeleri büyük harflerle göstereceğiz Latin harfleriyle A, B, ... ve anlamları, yani sırasıyla doğru ve yanlış VE Ve L. Sıradan konuşmada “ve”, “veya” ve diğerleri ifadeleri arasındaki bağlantılar kullanılır.

Bu bağlantılar, farklı ifadeleri birbirine bağlayarak yeni ifadelerin oluşmasına olanak tanır. karmaşık ifadeler . Örneğin "ve" bağlacı. Şu ifadeler verilsin: " π 3'ten fazla" ve ifadesi " π 4"ten az. Yeni ve karmaşık bir ifade düzenleyebilirsiniz " π 3'ten fazla ve π 4'ten az". Açıklama "eğer π o zaman mantıksız π ² de irrasyoneldir" ifadesi, iki ifadeyi "eğer - o zaman" bağlacı ile bağlayarak elde edilir. Son olarak, orijinal ifadeyi reddederek herhangi bir ifadeden yeni bir karmaşık ifade elde edebiliriz.

İfadeleri anlam kazanan nicelikler olarak düşünmek VE Ve L daha ayrıntılı olarak tanımlayacağız ifadeler üzerinde mantıksal işlemler bu ifadelerden yeni karmaşık ifadeler elde etmemizi sağlar.

İki keyfi ifade verilsin A Ve B.

1 . Bu ifadeler üzerindeki ilk mantıksal işlem -bağlaç- yeni bir ifadenin oluşumunu temsil eder. A ∧ B ve bu ancak ve ancak şu durumda doğrudur A Ve B Doğrudur. Sıradan konuşmada bu işlem, ifadelerin "ve" bağlacı ile bağlantısına karşılık gelir.

Bağlaç için doğruluk tablosu:

2 . İfadelerde ikinci mantıksal işlem A Ve B- ayrıklık şu şekilde ifade edilir: A ∨ B, şu şekilde tanımlanır: ancak ve ancak orijinal ifadelerden en az birinin doğru olması durumunda doğrudur. Sıradan konuşmada bu işlem, ifadeleri "veya" bağlacı ile bağlamaya karşılık gelir. Ancak burada, "ya da" anlamında anlaşılan, bölmeyen bir "veya" vardır. A Ve B her ikisi de doğru olamaz. Önerme mantığını tanımlarken A ∨ B hem ifadelerden yalnızca biri doğruysa hem de her iki ifade de doğruysa doğrudur A Ve B.

Ayrışma için doğruluk tablosu:

3 . İfadelerdeki üçüncü mantıksal işlem A Ve B, olarak ifade edilen A → B; bu şekilde elde edilen ifade ancak ve ancak şu durumlarda yanlıştır: A doğru ama B YANLIŞ. A isminde parsele göre , B - sonuçlar ve beyan A → B - takip etme ima da denir. Sıradan konuşmada bu işlem "if-then" bağlacına karşılık gelir: "if A, O B". Ancak önermeler mantığının tanımında bu ifade, ifadenin doğru ya da yanlış olmasına bakılmaksızın her zaman doğrudur. B. Bu durum kısaca şu şekilde formüle edilebilir: "Her şey sahte olandan çıkar." Buna karşılık, eğer A doğru ama B yanlış ise ifadenin tamamı A → B YANLIŞ. Bu ancak ve ancak şu şekilde doğru olacaktır: A, Ve B Doğrudur. Kısaca bu şu şekilde formüle edilebilir: “yanlış, doğrudan çıkamaz.”

İzlenecek doğruluk tablosu (gösterim):

4 . İfadeler üzerinde, daha doğrusu bir ifade üzerinde dördüncü mantıksal işleme, bir ifadenin olumsuzlanması denir. A ve ~ ile gösterilir A(yukarıda ~ simgesinin değil, ¬ simgesinin kullanımını ve ayrıca üst çizgiyi de bulabilirsiniz.) A). ~ A yanlış olan bir ifade var A doğru ve ne zaman doğru A YANLIŞ.

Olumsuzlamanın doğruluk tablosu:

5 . Ve son olarak, ifadeler üzerindeki beşinci mantıksal işleme eşdeğerlik adı verilir ve şu şekilde gösterilir: A ↔ B. Ortaya çıkan ifade A ↔ B bir ifade ancak ve ancak şu durumda doğrudur A Ve B her ikisi de doğrudur veya her ikisi de yanlıştır.

Eşdeğerlik için doğruluk tablosu:

Çoğu programlama dilinde ifadelerin mantıksal anlamlarını belirtmek için özel semboller bulunur; bunlar hemen hemen tüm dillerde doğru ve yanlış olarak yazılır.

Yukarıdakileri özetleyelim. Önerme mantığı Temel olarak adlandırılan, bazı ifadelerin diğerlerinden oluşturulma biçimiyle tamamen belirlenen bağlantıları inceler. Bu durumda, temel ifadeler bir bütün olarak kabul edilir ve parçalara ayrılamaz.

İfadelerdeki mantıksal işlemlerin adlarını, notasyonlarını ve anlamlarını aşağıdaki tabloda sistematize edelim (örnek çözmek için yakında bunlara tekrar ihtiyacımız olacak).

Mantıksal işlemler için doğru cebir mantığı yasaları Boole ifadelerini basitleştirmek için kullanılabilir. Önerme mantığında kişinin bir ifadenin anlamsal içeriğinden soyutladığı ve kendisini onun doğru ya da yanlış olduğu konumundan ele almakla sınırladığı belirtilmelidir.

Örnek 1.

1) (2 = 2) VE (7 = 7) ;

2) Yok(15;

3) ("Çam" = "Meşe") VEYA ("Kiraz" = "Akçaağaç");

4) Not("Çam" = "Meşe");

5) (Değil(15 20) ;

6) (“Görmek için gözler verilmiştir”) Ve (“Üçüncü katın altı ikinci kattır”);

7) (6/2 = 3) VEYA (7*5 = 20) .

1) Birinci parantez içindeki ifadenin anlamı “doğrudur”, ikinci parantez içindeki ifadenin anlamı da doğrudur. Her iki ifade de "VE" mantıksal işlemiyle bağlantılıdır (yukarıdaki bu işlemin kurallarına bakın), dolayısıyla bu ifadenin tamamının mantıksal anlamı "doğru"dur.

2) Parantez içindeki ifadenin anlamı “yanlış”tır. Bu ifadeden önce mantıksal bir olumsuzlama işlemi vardır, dolayısıyla tüm bu ifadenin mantıksal anlamı “doğrudur”.

3) Birinci parantez içindeki ifadenin anlamı “yanlış”, ikinci parantez içindeki ifadenin anlamı da “yanlış”tır. İfadeler "OR" mantıksal işlemiyle bağlanır ve ifadelerin hiçbiri "true" değerine sahip değildir. Dolayısıyla bu ifadenin tamamının mantıksal anlamı “yanlış”tır.

4) Parantez içindeki ifadenin anlamı “yanlış”tır. Bu ifadeden önce olumsuzlamanın mantıksal işlemi gelir. Dolayısıyla bu ifadenin tamamının mantıksal anlamı “doğrudur”.

5) İç parantez içindeki ifade ilk parantezde olumsuzlanır. İç parantez içindeki bu ifade "yanlış" anlamına gelir, bu nedenle olumsuzlaması mantıksal olarak "doğru" anlamına gelecektir. İkinci parantez içindeki ifade "yanlış" anlamına gelmektedir. Bu iki ifade “VE” mantıksal işlemiyle bağlanır, yani “doğru VE yanlış” elde edilir. Dolayısıyla bu ifadenin tamamının mantıksal anlamı “yanlış”tır.

6) Birinci parantez içindeki ifadenin anlamı “doğru”, ikinci parantez içindeki ifadenin anlamı da “doğru”dur. Bu iki ifade “VE” mantıksal işlemiyle bağlanır, yani “doğru VE gerçek” elde edilir. Bu nedenle verilen ifadenin tamamının mantıksal anlamı “doğrudur”.

7) İlk parantez içindeki ifadenin anlamı “doğrudur”. İkinci parantez içindeki ifadenin anlamı "yanlış"tır. Bu iki ifade “VEYA”, yani “doğru VEYA yanlış” mantıksal işlemiyle birbirine bağlanır. Bu nedenle verilen ifadenin tamamının mantıksal anlamı “doğrudur”.

Örnek 2. Mantıksal işlemleri kullanarak aşağıdaki karmaşık ifadeleri yazın:

1) "Kullanıcı kayıtlı değil";

2) “Bugün Pazar ve bazı çalışanlar işte”;

3) “Kullanıcı, yalnızca kullanıcı tarafından gönderilen verilerin geçerli sayılması durumunda kaydolur.”

1) P- tek ifade “Kullanıcı kayıtlıdır”, mantıksal işlem: ;

2) P- tek bir açıklama “Bugün Pazar”, Q- "Bazı çalışanlar iş başında", mantıksal işlem: ;

3) P- tek bildirim “Kullanıcı kayıtlıdır”, Q- “Kullanıcı tarafından gönderilen veriler geçerli bulundu”, mantıksal işlem: .

Önerme mantığı örneklerini kendiniz çözün ve ardından çözümlere bakın

Örnek 3. Aşağıdaki ifadelerin mantıksal değerlerini hesaplayın:

1) (“Bir dakikada 70 saniye vardır”) VEYA (“Çalışan bir saat zamanı gösterir”);

2) (28 > 7) VE (300/5 = 60) ;

3) ("TELEVİZYON - elektrikli araç gereç") Ve ("Cam - ahşap");

4) Not((300 > 100) VEYA ("Susuzluğunuzu suyla giderebilirsiniz"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Örnek 4. Mantıksal işlemleri kullanarak aşağıdaki karmaşık ifadeleri yazın ve mantıksal değerlerini hesaplayın:

1) “Saat zamanı yanlış gösteriyorsa derse yanlış zamanda varabilirsiniz”;

2) “Aynada yansımanızı ve ABD'nin başkenti Paris'i görebilirsiniz”;

Örnek 5. Bir İfadenin Boolean Değerini Belirleme

(P → Q) ↔ (R → S) ,

P = "278 > 5" ,

Q= "Elma = Turuncu",

P = "0 = 9" ,

S= "Şapka kafayı örter".

Önerme mantığı formülleri

Karmaşık bir ifadenin mantıksal biçimi kavramı, kavram kullanılarak açıklığa kavuşturulur. önermesel mantık formülleri .

Örnek 1 ve 2'de mantıksal işlemleri kullanarak karmaşık ifadeler yazmayı öğrendik. Aslında bunlara önermesel mantık formülleri deniyor.

İfadeleri belirtmek için söz konusu örnekte olduğu gibi harfleri kullanmaya devam edeceğiz.

P, Q, R, ..., P 1 , Q 1 , R 1 , ...

Bu harfler “true” ve “false” doğruluk değerlerini değer olarak alan değişkenlerin rolünü oynayacaktır. Bu değişkenlere aynı zamanda önermesel değişkenler de denir. Onları ayrıca arayacağız temel formüller veya atomlar .

Önerme mantığı formülleri oluşturmak için yukarıda belirtilen harflere ek olarak mantıksal işlem işaretleri kullanılır.

~, ∧, ∨, →, ↔,

formüllerin net bir şekilde okunmasını sağlayan sembollerin yanı sıra - sol ve sağ parantez.

Konsept önermesel mantık formülleri şöyle tanımlayalım:

1) temel formüller (atomlar) önerme mantığının formülleridir;

2) eğer A Ve B- önerme mantığı formülleri, o zaman ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) aynı zamanda önerme mantığının formülleridir;

3) yalnızca bu ifadeler, 1) ve 2)'den çıkan önerme mantığı formülleridir.

Bir önerme mantığı formülünün tanımı, bu formüllerin oluşumuna ilişkin kuralların bir listesini içerir. Tanıma göre, her önermesel mantık formülü ya bir atomdur ya da kural 2)'nin tutarlı bir şekilde uygulanması sonucu atomlardan oluşmuştur.

Örnek 6.İzin vermek P- tek ifade (atom) “Tüm rasyonel sayılar gerçektir”, Q- "Bazı reel sayılar rasyonel sayılardır" R- "bazı rasyonel sayılar gerçektir." Aşağıdaki önerme mantığı formüllerini sözlü ifadeler biçimine çevirin:

6) .

1) “Rasyonel olan gerçek sayılar yoktur”;

2) "eğer tüm rasyonel sayılar gerçek değilse, o zaman hayır rasyonel sayılar, geçerli olanlar";

3) “eğer bütün rasyonel sayılar reel ise, o zaman bazı reel sayılar rasyonel sayılardır ve bazı rasyonel sayılar reeldir”;

4) “Bütün reel sayılar rasyonel sayılardır ve bazı reel sayılar rasyonel sayılardır ve bazı rasyonel sayılar da reel sayılardır”;

5) “tüm rasyonel sayılar, ancak ve ancak tüm rasyonel sayıların gerçek olmaması durumunda gerçektir”;

6) “Tüm rasyonel sayıların reel olmadığı ve rasyonel olan reel sayıların bulunmadığı ya da reel olan rasyonel sayıların bulunmadığı bir durum söz konusu değildir.”

Örnek 7.Önerme mantığı formülü için bir doğruluk tablosu oluşturun Tabloda belirlenebilecek olan F .

Çözüm. Tekil ifadeler (atomlar) için değerleri (“doğru” veya “yanlış”) kaydederek bir doğruluk tablosu derlemeye başlarız. P , Q Ve R. Olası tüm değerler tablonun sekiz satırına yazılmıştır. Ayrıca, çıkarım işleminin değerlerini belirlerken ve tabloda sağa doğru ilerlerken, "doğru"dan "yanlış" çıktığı zaman değerin "yanlış"a eşit olduğunu hatırlıyoruz.

Hiçbir atomun ~ biçimine sahip olmadığına dikkat edin. A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B). Karmaşık formüller bu türe sahiptir.

Önerme mantığı formüllerindeki parantezlerin sayısı şu şekilde kabul edilirse azaltılabilir:

1) içinde karmaşık formül dıştaki parantez çiftini atlayacağız;

2) Mantıksal işlemlerin işaretlerini “öncelik sırasına göre” sıralayalım:

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Bu listede ↔ işareti en geniş kapsama, ~ işareti ise en küçük kapsama sahiptir. Bir işlem işaretinin kapsamı, söz konusu işaretin oluşumunun uygulandığı (üzerinde etki ettiği) önerme mantığı formülünün bölümlerine atıfta bulunur. Bu nedenle, herhangi bir formülde, "öncelik sırası" dikkate alınarak geri yüklenebilecek parantez çiftlerinin çıkarılması mümkündür. Ve parantezleri geri yüklerken, önce ~ işaretinin tüm geçtiği yerlerle ilgili tüm parantezler yerleştirilir (soldan sağa doğru hareket ederiz), sonra ∧ işaretinin tüm geçtiği yerlere vb.

Örnek 8.Önerme mantığı formülündeki parantezleri geri yükleyin B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Çözüm. Braketler aşağıdaki gibi adım adım geri yüklenir:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Her önerme mantığı formülü parantezsiz yazılamaz. Örneğin formüllerde A → (B → C) ve ~( A → B) braketlerin daha fazla hariç tutulması mümkün değildir.

Totolojiler ve çelişkiler

Mantıksal totolojiler (veya basitçe totolojiler), önerme mantığının formülleridir; öyle ki, harflerin keyfi olarak ifadelerle (doğru veya yanlış) değiştirilmesi durumunda sonuç her zaman doğru bir ifade olacaktır.

Karmaşık ifadelerin doğruluğu veya yanlışlığı, her biri belirli bir harfe karşılık gelen ifadelerin içeriğine değil, yalnızca anlamlarına bağlı olduğundan, belirli bir ifadenin totoloji olup olmadığının kontrolü şu şekilde yapılabilir. İncelenen ifadede, 1 ve 0 değerleri (sırasıyla “doğru” ve “yanlış”) harflerin yerine mümkün olan tüm yollarla ikame edilir ve ifadelerin mantıksal değerleri mantıksal işlemler kullanılarak hesaplanır. Tüm bu değerler 1'e eşitse, incelenen ifade bir totolojidir ve en az bir ikame 0 verirse, o zaman bu bir totoloji değildir.

Böylece bu formülde yer alan atomların değerlerinin herhangi bir dağılımı için “doğru” değerini alan önerme mantığı formülüne denir. gerçek formülle aynı veya totoloji .

Bunun tersi anlam mantıksal bir çelişkidir. İfadelerin tüm değerleri 0'a eşitse ifade mantıksal bir çelişkidir.

Böylece bu formülde yer alan atomların değerlerinin herhangi bir dağılımı için “yanlış” değerini alan bir önerme mantığı formülüne denir. aynı yanlış formül veya çelişki .

Totolojilere ve mantıksal çelişkilere ek olarak, önermeler mantığının ne totoloji ne de çelişki olmayan formülleri vardır.

Örnek 9.Önerme mantığı formülü için bir doğruluk tablosu oluşturun ve bunun totoloji mi, çelişki mi yoksa ikisi de mi olduğunu belirleyin.

Çözüm. Bir doğruluk tablosu oluşturalım:

İma anlamlarında “doğru”nun “yanlış”ı ima ettiği bir satır bulamıyoruz. Orijinal ifadenin tüm değerleri "true" değerine eşittir. Sonuç olarak, önermeler mantığının bu formülü bir totolojidir.