Makalede göstereceğiz kesirler nasıl çözülür basit ve anlaşılır örnekler kullanarak. Kesrin ne olduğunu bulalım ve düşünelim kesirleri çözme!

Konsept kesirler Ortaokul 6. sınıftan itibaren matematik dersiyle tanıştırılmaktadır.

Kesirler ±X/Y şeklindedir, burada Y paydadır, bütünün kaç parçaya bölündüğünü, X pay ise bu parçalardan kaç tanesinin alındığını anlatır. Anlaşılır olması için pastayla ilgili bir örnek alalım:

İlk durumda pasta eşit şekilde kesilerek yarısı alındı. 1/2. İkinci durumda pasta 7 parçaya bölündü, bunun 4 parçası alındı, yani. 4/7.

Bir sayının diğerine bölünen kısmı tam sayı değilse kesir olarak yazılır.

Örneğin 4:2 = 2 ifadesi bir tamsayı verir ancak 4:7 bir tama bölünemediğinden bu ifade 4/7 kesir olarak yazılır.

Başka bir deyişle kesir iki sayının veya ifadenin bölünmesini ifade eden ve kesirli eğik çizgi kullanılarak yazılan bir ifadedir.

Pay paydadan küçükse kesir doğru, tersi ise yanlış kesirdir. Bir kesir bir tam sayı içerebilir.

Örneğin 5 tam 3/4.

Bu giriş, 6'nın tamamını elde etmek için dört parçadan birinin eksik olduğu anlamına gelir.

Hatırlamak istersen 6. sınıf için kesirler nasıl çözülür? bunu anlamalısın kesirleri çözme, temel olarak birkaç basit şeyi anlamaya gelir.

• Kesir aslında bir kesrin ifadesidir. Yani sayısal ifade Belirli bir değerin bir bütünün hangi parçası olduğu. Örneğin 3/5 kesri, bir bütünü 5 parçaya böldüğümüzde ve bu bütünün pay veya parça sayısının üç olduğunu ifade eder.
• Kesir 1'den küçük olabilir, örneğin 1/2 (veya esas olarak yarısı), o zaman doğrudur. Kesir 1'den büyükse, örneğin 3/2 (üç yarım veya bir buçuk), o zaman yanlıştır ve çözümü basitleştirmek için tam parçayı 3/2 = 1 tam 1 olarak seçmek bizim için daha iyidir. /2.
• Kesirler 1, 3, 10 ve hatta 100 ile aynı sayılardır, yalnızca sayılar tam sayı değil kesirdir. Sayılarla yapılan işlemlerin aynısını onlarla da gerçekleştirebilirsiniz. Kesirleri saymak artık zor değil ve daha da ileri giderek spesifik örnekler göstereceğiz.

Kesirler nasıl çözülür? Örnekler.

Kesirlere çok çeşitli aritmetik işlemler uygulanabilir.

Bir kesri ortak paydaya indirgemek

Örneğin 3/4 ve 4/5 kesirlerini karşılaştırmanız gerekir.

Sorunu çözmek için önce en düşük ortak paydayı buluyoruz, yani. en küçük sayı kesirlerin paydalarının her birine kalansız bölünebilen

En küçük ortak payda(4.5) = 20

Daha sonra her iki kesrin paydası en küçük ortak paydaya indirgenir.

Cevap: 15/20

Kesirleri toplama ve çıkarma

İki kesirin toplamını hesaplamak gerekiyorsa, önce bunlar ortak bir paydaya getirilir, ardından paylar eklenir, payda değişmeden kalır. Kesirler arasındaki fark da aynı şekilde hesaplanır, tek fark payların çıkarılmasıdır.

Örneğin 1/2 ve 1/3 kesirlerinin toplamını bulmanız gerekiyor

Şimdi 1/2 ve 1/4 kesirleri arasındaki farkı bulalım

Kesirlerde Çarpma ve Bölme

Burada kesirleri çözmek zor değil, burada her şey oldukça basit:

• Çarpma - kesirlerin payları ve paydaları birlikte çarpılır;
• Bölme - önce ikinci kesrin tersini elde ederiz, yani. Payını ve paydasını değiştiririz, ardından elde edilen kesirleri çarparız.

Örneğin:

bu kadar kesirler nasıl çözülür, Tüm. Hala sorularınız varsa kesirleri çözme, belirsiz bir şey varsa yorumlara yazın, size kesinlikle cevap vereceğiz.

Öğretmen iseniz sunumu indirebilirsiniz. ilkokul(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) işinize yarayacaktır.

Kesir- matematikte bir sayıyı temsil etme biçimi. Kesir çubuğu bölme işlemini gösterir. Pay kesir temettü olarak adlandırılır ve payda- bölücü. Örneğin bir kesirde pay 5, payda 7'dir.

Doğru Payı paydasından büyük olan kesire kesir denir. Bir kesir uygunsa, değerinin modülü her zaman 1'den küçüktür. Diğer tüm kesirler yanlış.

Kesir denir karışık tam sayı ve kesir olarak yazılırsa. Bu, bu sayının ve kesrin toplamı ile aynıdır:

Bir kesrin temel özelliği

Bir kesrin pay ve paydası aynı sayı ile çarpılırsa kesrin değeri değişmez, yani;

Kesirleri ortak paydaya indirgemek

İki kesri ortak bir paydaya getirmek için şunlara ihtiyacınız vardır:

1. Birinci kesrin payını ikinci kesrin paydasıyla çarpın
2. İkinci kesrin payını birincinin paydasıyla çarpın
3. Her iki kesrin paydalarını çarpımlarıyla değiştirin

Kesirlerle işlemler

Ek.İki kesir eklemek için ihtiyacınız olan

1. Her iki kesrin yeni paylarını ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın

Örnek:

Çıkarma. Bir kesri diğerinden çıkarmak için yapmanız gerekenler

1. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin
2. İkinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarın ve paydayı değiştirmeden bırakın

Örnek:

Çarpma işlemi. Bir kesri diğeriyle çarpmak için pay ve paydalarını çarpmanız gerekir:

Bölüm. Bir kesri diğerine bölmek için, birinci kesrin payını ikincinin paydasıyla çarpın ve birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla çarpın:

Kesirler ortak ve ondalıktır. Bir öğrenci ikincisinin varlığını öğrendiğinde, her fırsatta mümkün olan her şeyi tercüme etmeye başlar. ondalık biçim, bu gerekli olmasa bile.

İşin garibi, lise ve üniversite öğrencileri arasında tercihler değişiyor çünkü birçok aritmetik işlemi sıradan kesirlerle yapmak daha kolay. Ve bazen mezunların uğraştığı değerleri kayıpsız ondalık forma dönüştürmek imkansızdır. Sonuç olarak, her iki kesir türünün de öyle ya da böyle göreve uyarlandığı ve kendi avantajları ve dezavantajları olduğu ortaya çıkıyor. Onlarla nasıl çalışacağımızı görelim.

Tanım

Kesirler paylarla aynıdır. Bir portakalın on dilimi varsa ve size bir tane verilmişse, elinizde meyvenin 1/10'u vardır. Bir önceki cümledeki gibi yazıldığında kesre adi kesir adı verilecektir. Aynı şeyi 0,1 - ondalık olarak yazarsanız. Her iki seçenek de eşittir ancak avantajları vardır. İlk seçenek çarpma ve bölme için, ikincisi ise toplama, çıkarma ve diğer bazı durumlarda daha uygundur.

Bir kesir başka bir forma nasıl dönüştürülür?

Diyelim ki bir kesiriniz var ve onu ondalık sayıya dönüştürmek istiyorsunuz. Ne yapmaya ihtiyacım var?

Bu arada, her sayının ondalık formda sorunsuz yazılamayacağına önceden karar vermeniz gerekiyor. Bazen sonucu yuvarlamanız, belirli sayıda ondalık basamağı kaybetmeniz gerekir ve birçok alanda - örneğin kesin bilimlerde - bu tamamen karşılanamaz bir lükstür. Aynı zamanda 5. sınıfta ondalık sayılarla ve sıradan kesirlerle yapılan işlemler, en azından eğitim olarak bir türden diğerine böyle bir aktarımın müdahale olmadan gerçekleştirilmesini mümkün kılmaktadır.

Paydadan bir tamsayı ile çarpılarak veya bölünerek 10'un katı bir değer elde edilebiliyorsa çeviri hiçbir zorlukla karşılaşmadan ilerleyecektir: ¾ 0,75'e, 13/20 ise 0,65'e dönüşecektir.

Ters prosedür daha da basittir, çünkü doğruluk kaybı olmadan ondalık kesirden her zaman sıradan bir kesir elde edebilirsiniz. Örneğin 0,2, 1/5 olur ve 0,08, 4/25 olur.

İç dönüşümler

Sıradan kesirlerle ortak işlemler yapmadan önce olası matematiksel işlemler için sayıları hazırlamanız gerekir.

Öncelikle örnekteki tüm kesirleri bire indirgemeniz gerekiyor. Genel görünüm. Sıradan veya ondalık olmalıdırlar. Çarpma ve bölmeyi birinciyle yapmanın daha uygun olduğuna hemen rezervasyon yaptıralım.

Hem konuyu incelemenin ilk yıllarında hem de üniversitelerde incelenen yüksek matematikte bilinen ve kullanılan bir kural, daha sonraki eylemler için sayıları hazırlamanıza yardımcı olacaktır.

Kesirlerin Özellikleri

Diyelim ki bir değeriniz var. 2/3 diyelim. Pay ve paydayı 3 ile çarparsanız ne değişir? 6/9 çıkacaktır. Ya bir milyonsa? 2000000/3000000. Ama durun, sayı niteliksel olarak hiç değişmiyor - 2/3, 2000000/3000000'e eşit kalıyor. Yalnızca biçim değişir, içerik değişmez. Her iki taraf da aynı değere bölündüğünde aynı şey olur. Bu, testlerde ve sınavlarda ondalık sayılarla ve sıradan kesirlerle işlemler gerçekleştirmenize defalarca yardımcı olacak kesirlerin ana özelliğidir.

Pay ve paydayı aynı sayıyla çarpmaya kesrin açılımı, bölmeye ise indirgeme denir. Kesirleri çarparken ve bölerken aynı sayıların üstünü ve altını çizmenin şaşırtıcı derecede hoş bir prosedür olduğu söylenmelidir (elbette bir matematik dersi çerçevesinde). Görünüşe göre cevap zaten yakın ve örnek pratik olarak çözüldü.

Uygunsuz kesirler

Uygunsuz kesir, payın paydadan büyük veya paydaya eşit olduğu kesirdir. Yani bir kısmı ayırt edilebiliyorsa bu tanıma girer.

Böyle bir sayı (birden büyük veya ona eşit) sıradan bir kesir olarak sunulursa, buna uygun olmayan kesir adı verilecektir. Ve eğer pay paydadan küçükse - doğrudur. Sıradan kesirlerle olası işlemleri gerçekleştirirken her iki tür de eşit derecede uygundur. Kolayca çarpılıp bölünebilir, eklenebilir ve çıkarılabilirler.

Aynı zamanda seçilirse Bütün parça ve kesir şeklinde bir kalan varsa, ortaya çıkan sayıya karışık sayı adı verilecektir. Gelecekte karşılaşacağınız Farklı yollar bu tür yapıların değişkenlerle kombinasyonları ve bu bilginin gerekli olduğu yerlerde denklemlerin çözülmesi.

Aritmetik işlemler

Bir kesrin temel özelliğiyle ilgili her şey açıksa, kesirleri çarparken nasıl davranılmalıdır? 5. sınıfta sıradan kesirlerle yapılan işlemler, iki farklı şekilde gerçekleştirilen her türlü aritmetik işlemi içerir.

Çarpma ve bölme çok basittir. İlk durumda, iki kesrin payları ve paydaları basitçe çarpılır. İkincisinde - aynı şey, yalnızca çapraz olarak. Böylece, birinci kesrin payı ikincinin paydası ile çarpılır ve bunun tersi de geçerlidir.

Toplama ve çıkarma işlemini gerçekleştirmek için ek bir işlem yapmanız gerekir; ifadenin tüm bileşenlerini ortak bir paydaya getirin. Bu, kesirlerin alt kısımlarının aynı değere (mevcut her iki paydanın katı olan bir sayı) değiştirilmesi gerektiği anlamına gelir. Örneğin 2 ve 5 için 10 olacaktır. 3 ve 6 - 6 için. Ama sonra ne yapmalı Üst kısmı? Alttakini değiştirsek aynı bırakamayız. Kesrin temel özelliğine göre payını paydayla aynı sayıyla çarpacağız. Ekleyeceğimiz veya çıkaracağımız sayıların her biri için bu işlemin yapılması gerekmektedir. Ancak 6. sınıfta sıradan kesirlerle yapılan bu tür eylemler zaten "otomatik olarak" gerçekleştiriliyor ve zorluklar ancak İlk aşama konuyu incelemek.

Karşılaştırmak

İki kesir ise aynı payda ise payı büyük olan daha büyük olacaktır. Üst kısımlar aynı ise, o zaman daha küçük payda. Karşılaştırma için bu tür başarılı durumların nadiren ortaya çıktığını akılda tutmakta fayda var. Büyük olasılıkla ifadelerin hem üst hem de alt kısımları eşleşmeyecektir. Daha sonra sıradan kesirlerle olası eylemleri hatırlamanız ve toplama ve çıkarma işlemlerinde kullanılan tekniği kullanmanız gerekecektir. Ayrıca şunu da unutmayın, eğer konuşuyorsak negatif sayılar, daha büyük modüle sahip bir kesir daha küçük olacaktır.

Ortak kesirlerin avantajları

Öğretmenlerin çocuklara içeriği şu şekilde ifade edilebilecek bir cümle söylediği görülür: Görevi formüle ederken ne kadar fazla bilgi verilirse çözüm o kadar kolay olacaktır. Kulağa garip geldiğini mi düşünüyorsun? Ama gerçekten: bilinen çok sayıda büyüklükle hemen hemen her formülü kullanabilirsiniz, ancak yalnızca birkaç sayı verilirse ek düşünceler gerekebilir, teoremleri hatırlamanız ve kanıtlamanız, doğruluğunuz lehine argümanlar vermeniz gerekecektir. ...

Bunu neden yapıyoruz? Dahası, sıradan kesirler, tüm hantallıklarına rağmen, bir öğrencinin hayatını büyük ölçüde basitleştirebilir, çarpma ve bölme sırasında tüm değer satırlarını kısaltmalarına ve toplamları ve farkları hesaplarken genel argümanlar oluşturmalarına ve yine kısaltmalarına olanak tanır.

Olağan ve ortak eylemler yapılması gerektiğinde ondalık sayılar, birincinin lehine dönüşümler gerçekleştirilir: 3/17'yi ondalık biçime nasıl dönüştürürsünüz? Yalnızca bilgi kaybıyla, aksi halde değil. Ancak 0,1, 1/10 ve ardından 17/170 olarak temsil edilebilir. Ve sonra ortaya çıkan iki sayı toplanabilir veya çıkarılabilir: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Ondalık sayılar neden faydalıdır?

Sıradan kesirlerle işlemler daha kullanışlı olsa da, bunları kullanarak her şeyi yazmak son derece sakıncalıdır; burada ondalık sayıların önemli bir avantajı vardır. Karşılaştırın: 1748/10000 ve 0,1748. Bu iki şekilde temsil edilen aynı değerdir Çeşitli seçenekler. Elbette ikinci yöntem daha kolay!

Ayrıca ondalık sayıların temsil edilmesi daha kolaydır çünkü tüm veriler yalnızca büyüklük sıralarına göre farklılık gösteren ortak bir tabana sahiptir. Diyelim ki %30'luk bir indirimi rahatlıkla anlıyoruz, hatta ciddi olarak değerlendiriyoruz. Neyin daha fazla olduğunu hemen anlayacak mısınız -% 30 mu yoksa 137/379 mu? Böylece ondalık kesirler hesaplamalarda standardizasyon sağlar.

Lisede öğrenciler karar verir ikinci dereceden denklemler. Bir değişkenin değerlerini hesaplamak için kullanılan formül içerdiğinden, burada sıradan kesirlerle işlem yapmak zaten son derece sorunludur. Kare kök miktardan. Ondalık sayıya indirgenemeyen bir kesir varsa çözüm o kadar karmaşık hale gelir ki, hesap makinesi olmadan kesin cevabı hesaplamak neredeyse imkansız hale gelir.

Dolayısıyla kesirleri temsil etmenin her yolunun, uygun bağlamda kendi avantajları vardır.

Formları kaydetme

Eylemleri sıradan kesirlerle yazmanın iki yolu vardır: yatay bir çizgi aracılığıyla, iki "katman" halinde ve eğik çizgi (aka "eğik çizgi") aracılığıyla bir çizgiye. Bir öğrenci not defterine yazı yazdığında ilk seçenek genellikle daha uygundur ve dolayısıyla daha yaygındır. Sayıları hücrelere arka arkaya dağıtmak, hesaplamalar yaparken ve dönüşümler gerçekleştirirken dikkatin geliştirilmesine yardımcı olur. Bir dizeye yazarken, yanlışlıkla eylemlerin sırasını karıştırabilir, bazı verileri kaybedebilir, yani bir hata yapabilirsiniz.

Günümüzde çoğu zaman sayıların bilgisayara yazdırılmasına ihtiyaç duyulmaktadır. Kesirleri, Microsoft Word 2010 ve sonraki sürümlerdeki işlevi kullanarak geleneksel bir yatay çizgi kullanarak ayırabilirsiniz. Gerçek şu ki, yazılımın bu sürümlerinde “formül” adı verilen bir seçenek var. Ekranda herhangi bir matematiksel sembolü birleştirebileceğiniz ve hem iki hem de "dört katlı" kesirler oluşturabileceğiniz dikdörtgen şeklinde dönüştürülebilir bir alan görüntüler. Payda ve payda parantez ve işlem işaretlerini kullanabilirsiniz. Sonuç olarak, sıradan ve ondalık kesirlerle herhangi bir ortak işlemi geleneksel biçimde, yani size okulda yapmayı öğrettikleri şekilde yazabileceksiniz.

Standart metin düzenleyici Not Defteri'ni kullanırsanız, tüm kesirli ifadelerin eğik çizgiyle yazılması gerekecektir. Maalesef burada başka yol yok.

Çözüm

Böylece sıradan kesirlerle tüm temel eylemlere baktık, bunların çok fazla olmadığı ortaya çıktı.

İlk başta bu matematiğin zor bir bölümü gibi görünebilirse, o zaman bu yalnızca geçici bir izlenimdir - unutmayın, bir zamanlar çarpım tablosu hakkında ve hatta daha önce sıradan defterler ve birden ona kadar sayma hakkında bu şekilde düşündünüz.

Kesirlerin kullanıldığını anlamak önemlidir. Gündelik Yaşam her yer. Para ve mühendislik hesaplamalarıyla ilgileneceksiniz, Bilişim teknolojisi ve müzik okuryazarlığı ve her yerde - her yerde! - kesirli sayılar görünecek. Bu nedenle tembel olmayın ve bu konuyu iyice inceleyin - özellikle de o kadar karmaşık olmadığı için.