Çapraz çarpma

Ortak Bölen Yöntemi

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

En az ortak çoklu yöntemin ne kadar fark yarattığını anlamak için aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin.

Kesirlerin ortak paydası

Tabii ki hesap makinesi olmadan. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.

Ayrıca bakınız:

Başlangıçta cast yöntemlerini dahil etmek istedim ortak payda“Kesirlerde toplama ve çıkarma” bölümünde. Ancak o kadar çok bilgi olduğu ortaya çıktı ve önemi o kadar büyük ki (sonuçta, yalnızca sayısal kesirlerin ortak paydaları yok), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyi.

Diyelim ki elimizde iki kesir var farklı paydalar. Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Bir kesirin temel özelliği imdadımıza yetişiyor, size hatırlatmama izin verin, kulağa şöyle geliyor:

Bir kesrin pay ve paydası sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa değişmeyecektir.

Böylece faktörleri doğru seçerseniz kesirlerin paydaları eşit hale gelecektir - bu işleme denir. Ve gerekli sayılara, paydaların "eşleştirilmesi" denir.

Kesirleri neden ortak bir paydaya indirgememiz gerekiyor? İşte sadece birkaç neden:

1. Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka yolu yoktur;
2. Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya indirgemek bu görevi büyük ölçüde basitleştirir;
3. Kesirler ve yüzdelerle ilgili problemleri çözme. Yüzdeler aslında kesir içeren sıradan ifadelerdir.

Kendileriyle çarpıldığında kesirlerin paydalarını eşitleyecek sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklığa ve bir anlamda etkililiğe göre bunlardan yalnızca üçünü ele alacağız.

Çapraz çarpma

En basit ve güvenilir yol Paydaları eşitlemesi garanti edilir. "Baştan sona" hareket edeceğiz: ilk kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikinciyi de birincinin paydasıyla çarpıyoruz. Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları orijinal paydaların çarpımına eşit olacaktır. Bir göz at:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

Ek faktörler olarak komşu kesirlerin paydalarını göz önünde bulundurun. Şunu elde ederiz:

Evet, bu kadar basit. Kesirleri incelemeye yeni başlıyorsanız, bu yöntemi kullanarak çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı sigortalamış olursunuz ve sonucu alacağınız garanti edilir.

Bu yöntemin tek dezavantajı çok saymanız gerekmesidir çünkü paydalar "tamamen" çarpılır ve sonuç çok büyük sayılar olabilir. Güvenilirlik için ödenecek bedel budur.

Ortak Bölen Yöntemi

Bu teknik hesaplamaları önemli ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki oldukça nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

1. Doğrudan ilerlemeden önce (yani çaprazlama yöntemini kullanarak), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
2. Bu bölme sonucu elde edilen sayı, paydası daha küçük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
3. Bu durumda, paydası büyük olan bir kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - tasarrufların olduğu yer burasıdır. Aynı zamanda hata olasılığı da önemli ölçüde azalır.

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

84: 21 = 4'e dikkat edin; 72: 12 = 6. Her iki durumda da bir payda diğerine kalansız bölündüğü için ortak çarpanlar yöntemini kullanıyoruz. Sahibiz:

İkinci kesrin hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında hesaplama miktarını yarı yarıya azalttık!

Bu arada bu örnekteki kesirleri tesadüfen almadım. İlgileniyorsanız çapraz yöntemi kullanarak bunları saymayı deneyin. Azaltma sonrasında cevaplar aynı olacak, ancak çok daha fazla iş olacak.

Bu, ortak bölenler yönteminin kuvvetidir, ancak yine de yalnızca paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde kullanılabilir. Bu oldukça nadiren olur.

En az yaygın olan çoklu yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde aslında paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Daha sonra her iki kesrin paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Bu tür çok sayıda sayı vardır ve bunların en küçüğünün, "çapraz-çapraz" yönteminde varsayıldığı gibi, orijinal kesirlerin paydalarının doğrudan çarpımına eşit olması gerekmez.

Örneğin, 8 ve 12 numaralı paydalar için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu sayı 8 12 = 96 çarpımından çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya (LCM) denir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM(a; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulmayı başarırsanız, toplam hesaplama miktarı minimum düzeyde olacaktır. Örneklere bak:

En Düşük Ortak Payda Nasıl Bulunur?

İfadelerin anlamlarını bulun:

234 = 117 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 117 · 3. 2 ve 3 numaralı çarpanlar eş asaldır (1'den başka ortak çarpanı yoktur) ve 117 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Aynı şekilde 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3 ve 4 numaralı çarpanlar eş asaldır ve 5 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara indirgeyelim:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

1. Aynı çarpanları keşfettikten sonra hemen en küçük ortak kata ulaştık ki bu genel anlamda önemsiz olmayan bir sorundur;
2. Ortaya çıkan genişlemeden, her kesirde hangi faktörlerin “eksik” olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin 234 · 3 = 702, dolayısıyla ilk kesir için ek çarpan 3'tür.

Gerçek örneklerde bu kadar karmaşık kesirlerin olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşuyorlar ve yukarıdaki görevler sınır değil!

Tek sorun bu NOC'yi nasıl bulacağımızdır. Bazen her şey birkaç saniye içinde, kelimenin tam anlamıyla "gözle" bulunur, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama görevidir. Biz burada buna değinmeyeceğiz.

Ayrıca bakınız:

Kesirleri ortak paydaya indirgemek

Başlangıçta Kesirlerde Toplama ve Çıkarma bölümünde ortak payda tekniklerine yer vermek istedim. Ancak o kadar çok bilgi olduğu ortaya çıktı ve önemi o kadar büyük ki (sonuçta, yalnızca sayısal kesirlerin ortak paydaları yok), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyi.

Diyelim ki farklı paydalara sahip iki kesirimiz var. Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Bir kesirin temel özelliği imdadımıza yetişiyor, size hatırlatmama izin verin, kulağa şöyle geliyor:

Bir kesrin pay ve paydası sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa değişmeyecektir.

Böylece faktörleri doğru seçerseniz kesirlerin paydaları eşit hale gelecektir - bu işleme denir. Ve gerekli sayılara, paydaların "eşleştirilmesi" denir.

Kesirleri neden ortak bir paydaya indirgememiz gerekiyor?

Ortak payda, kavram ve tanım.

İşte sadece birkaç neden:

1. Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka yolu yoktur;
2. Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya indirgemek bu görevi büyük ölçüde basitleştirir;
3. Kesirler ve yüzdelerle ilgili problemleri çözme. Yüzdeler aslında kesir içeren sıradan ifadelerdir.

Kendileriyle çarpıldığında kesirlerin paydalarını eşitleyecek sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklığa ve bir anlamda etkililiğe göre bunlardan yalnızca üçünü ele alacağız.

Çapraz çarpma

Paydaları eşitlemeyi garanti eden en basit ve en güvenilir yöntem. "Baştan sona" hareket edeceğiz: ilk kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikinciyi de birincinin paydasıyla çarpıyoruz. Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları orijinal paydaların çarpımına eşit olacaktır. Bir göz at:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

Ek faktörler olarak komşu kesirlerin paydalarını göz önünde bulundurun. Şunu elde ederiz:

Evet, bu kadar basit. Kesirleri incelemeye yeni başlıyorsanız, bu yöntemi kullanarak çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı sigortalamış olursunuz ve sonucu alacağınız garanti edilir.

Bu yöntemin tek dezavantajı çok saymanız gerekmesidir çünkü paydalar "tamamen" çarpılır ve sonuç çok büyük sayılar olabilir. Güvenilirlik için ödenecek bedel budur.

Ortak Bölen Yöntemi

Bu teknik hesaplamaları önemli ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki oldukça nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

1. Doğrudan ilerlemeden önce (yani çaprazlama yöntemini kullanarak), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
2. Bu bölme sonucu elde edilen sayı, paydası daha küçük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
3. Bu durumda, paydası büyük olan bir kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - tasarrufların olduğu yer burasıdır. Aynı zamanda hata olasılığı da önemli ölçüde azalır.

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

84: 21 = 4'e dikkat edin; 72: 12 = 6. Her iki durumda da bir payda diğerine kalansız bölündüğü için ortak çarpanlar yöntemini kullanıyoruz. Sahibiz:

İkinci kesrin hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında hesaplama miktarını yarı yarıya azalttık!

Bu arada bu örnekteki kesirleri tesadüfen almadım. İlgileniyorsanız çapraz yöntemi kullanarak bunları saymayı deneyin. Azaltma sonrasında cevaplar aynı olacak, ancak çok daha fazla iş olacak.

Bu, ortak bölenler yönteminin kuvvetidir, ancak yine de yalnızca paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde kullanılabilir. Bu oldukça nadiren olur.

En az yaygın olan çoklu yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde aslında paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Daha sonra her iki kesrin paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Bu tür çok sayıda sayı vardır ve bunların en küçüğünün, "çapraz-çapraz" yönteminde varsayıldığı gibi, orijinal kesirlerin paydalarının doğrudan çarpımına eşit olması gerekmez.

Örneğin, 8 ve 12 numaralı paydalar için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu sayı 8 12 = 96 çarpımından çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya (LCM) denir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM(a; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulmayı başarırsanız, toplam hesaplama miktarı minimum düzeyde olacaktır. Örneklere bak:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

234 = 117 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 117 · 3. 2 ve 3 numaralı çarpanlar eş asaldır (1'den başka ortak çarpanı yoktur) ve 117 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Aynı şekilde 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3 ve 4 numaralı çarpanlar eş asaldır ve 5 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara indirgeyelim:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

1. Aynı çarpanları keşfettikten sonra hemen en küçük ortak kata ulaştık ki bu genel anlamda önemsiz olmayan bir sorundur;
2. Ortaya çıkan genişlemeden, her kesirde hangi faktörlerin “eksik” olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin 234 · 3 = 702, dolayısıyla ilk kesir için ek çarpan 3'tür.

En az ortak çoklu yöntemin ne kadar fark yarattığını anlamak için aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin. Tabii ki hesap makinesi olmadan. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.

Gerçek örneklerde bu kadar karmaşık kesirlerin olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşuyorlar ve yukarıdaki görevler sınır değil!

Tek sorun bu NOC'yi nasıl bulacağımızdır. Bazen her şey birkaç saniye içinde, kelimenin tam anlamıyla "gözle" bulunur, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama görevidir. Biz burada buna değinmeyeceğiz.

Ayrıca bakınız:

Kesirleri ortak paydaya indirgemek

Başlangıçta Kesirlerde Toplama ve Çıkarma bölümünde ortak payda tekniklerine yer vermek istedim. Ancak o kadar çok bilgi olduğu ortaya çıktı ve önemi o kadar büyük ki (sonuçta, yalnızca sayısal kesirlerin ortak paydaları yok), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyi.

Diyelim ki farklı paydalara sahip iki kesirimiz var. Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Bir kesirin temel özelliği imdadımıza yetişiyor, size hatırlatmama izin verin, kulağa şöyle geliyor:

Bir kesrin pay ve paydası sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa değişmeyecektir.

Böylece faktörleri doğru seçerseniz kesirlerin paydaları eşit hale gelecektir - bu işleme denir. Ve gerekli sayılara, paydaların "eşleştirilmesi" denir.

Kesirleri neden ortak bir paydaya indirgememiz gerekiyor? İşte sadece birkaç neden:

1. Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka yolu yoktur;
2. Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya indirgemek bu görevi büyük ölçüde basitleştirir;
3. Kesirler ve yüzdelerle ilgili problemleri çözme. Yüzdeler aslında kesir içeren sıradan ifadelerdir.

Kendileriyle çarpıldığında kesirlerin paydalarını eşitleyecek sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklığa ve bir anlamda etkililiğe göre bunlardan yalnızca üçünü ele alacağız.

Çapraz çarpma

Paydaları eşitlemeyi garanti eden en basit ve en güvenilir yöntem. "Baştan sona" hareket edeceğiz: ilk kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikincisini de birincinin paydasıyla çarpıyoruz. Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları orijinal paydaların çarpımına eşit olacaktır.

Bir göz at:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

Ek faktörler olarak komşu kesirlerin paydalarını göz önünde bulundurun. Şunu elde ederiz:

Evet, bu kadar basit. Kesirleri incelemeye yeni başlıyorsanız, bu yöntemi kullanarak çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı sigortalamış olursunuz ve sonucu alacağınız garanti edilir.

Bu yöntemin tek dezavantajı çok saymanız gerekmesidir çünkü paydalar "tamamen" çarpılır ve sonuç çok büyük sayılar olabilir. Güvenilirlik için ödenecek bedel budur.

Ortak Bölen Yöntemi

Bu teknik hesaplamaları önemli ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki oldukça nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

1. Doğrudan ilerlemeden önce (yani çaprazlama yöntemini kullanarak), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
2. Bu bölme sonucu elde edilen sayı, paydası daha küçük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
3. Bu durumda, paydası büyük olan bir kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - tasarrufların olduğu yer burasıdır. Aynı zamanda hata olasılığı da önemli ölçüde azalır.

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

84: 21 = 4'e dikkat edin; 72: 12 = 6. Her iki durumda da bir payda diğerine kalansız bölündüğü için ortak çarpanlar yöntemini kullanıyoruz. Sahibiz:

İkinci kesrin hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında hesaplama miktarını yarı yarıya azalttık!

Bu arada bu örnekteki kesirleri tesadüfen almadım. İlgileniyorsanız çapraz yöntemi kullanarak bunları saymayı deneyin. Azaltma sonrasında cevaplar aynı olacak, ancak çok daha fazla iş olacak.

Bu, ortak bölenler yönteminin kuvvetidir, ancak yine de yalnızca paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde kullanılabilir. Bu oldukça nadiren olur.

En az yaygın olan çoklu yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde aslında paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Daha sonra her iki kesrin paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Bu tür çok sayıda sayı vardır ve bunların en küçüğünün, "çapraz-çapraz" yönteminde varsayıldığı gibi, orijinal kesirlerin paydalarının doğrudan çarpımına eşit olması gerekmez.

Örneğin, 8 ve 12 numaralı paydalar için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu sayı 8 12 = 96 çarpımından çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya (LCM) denir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM(a; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulmayı başarırsanız, toplam hesaplama miktarı minimum düzeyde olacaktır. Örneklere bak:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

234 = 117 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 117 · 3. 2 ve 3 numaralı çarpanlar eş asaldır (1'den başka ortak çarpanı yoktur) ve 117 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Aynı şekilde 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3 ve 4 numaralı çarpanlar eş asaldır ve 5 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara indirgeyelim:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

1. Aynı çarpanları keşfettikten sonra hemen en küçük ortak kata ulaştık ki bu genel anlamda önemsiz olmayan bir sorundur;
2. Ortaya çıkan genişlemeden, her kesirde hangi faktörlerin “eksik” olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin 234 · 3 = 702, dolayısıyla ilk kesir için ek çarpan 3'tür.

En az ortak çoklu yöntemin ne kadar fark yarattığını anlamak için aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin. Tabii ki hesap makinesi olmadan. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.

Gerçek örneklerde bu kadar karmaşık kesirlerin olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşuyorlar ve yukarıdaki görevler sınır değil!

Tek sorun bu NOC'yi nasıl bulacağımızdır. Bazen her şey birkaç saniye içinde, kelimenin tam anlamıyla "gözle" bulunur, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama görevidir. Biz burada buna değinmeyeceğiz.

Ayrıca bakınız:

Kesirleri ortak paydaya indirgemek

Başlangıçta Kesirlerde Toplama ve Çıkarma bölümünde ortak payda tekniklerine yer vermek istedim. Ancak o kadar çok bilgi olduğu ortaya çıktı ve önemi o kadar büyük ki (sonuçta, yalnızca sayısal kesirlerin ortak paydaları yok), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyi.

Diyelim ki farklı paydalara sahip iki kesirimiz var. Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Bir kesirin temel özelliği imdadımıza yetişiyor, size hatırlatmama izin verin, kulağa şöyle geliyor:

Bir kesrin pay ve paydası sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa değişmeyecektir.

Böylece faktörleri doğru seçerseniz kesirlerin paydaları eşit hale gelecektir - bu işleme denir. Ve gerekli sayılara, paydaların "eşleştirilmesi" denir.

Kesirleri neden ortak bir paydaya indirgememiz gerekiyor? İşte sadece birkaç neden:

1. Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka yolu yoktur;
2. Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya indirgemek bu görevi büyük ölçüde basitleştirir;
3. Kesirler ve yüzdelerle ilgili problemleri çözme. Yüzdeler aslında kesir içeren sıradan ifadelerdir.

Kendileriyle çarpıldığında kesirlerin paydalarını eşitleyecek sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklığa ve bir anlamda etkililiğe göre bunlardan yalnızca üçünü ele alacağız.

Çapraz çarpma

Paydaları eşitlemeyi garanti eden en basit ve en güvenilir yöntem. "Baştan sona" hareket edeceğiz: ilk kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikinciyi de birincinin paydasıyla çarpıyoruz. Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları orijinal paydaların çarpımına eşit olacaktır. Bir göz at:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

Ek faktörler olarak komşu kesirlerin paydalarını göz önünde bulundurun. Şunu elde ederiz:

Evet, bu kadar basit. Kesirleri incelemeye yeni başlıyorsanız, bu yöntemi kullanarak çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı sigortalamış olursunuz ve sonucu alacağınız garanti edilir.

Bu yöntemin tek dezavantajı çok saymanız gerekmesidir çünkü paydalar "tamamen" çarpılır ve sonuç çok büyük sayılar olabilir.

Kesirleri ortak paydaya indirgemek

Güvenilirlik için ödenecek bedel budur.

Ortak Bölen Yöntemi

Bu teknik hesaplamaları önemli ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki oldukça nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

1. Doğrudan ilerlemeden önce (yani çaprazlama yöntemini kullanarak), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
2. Bu bölme sonucu elde edilen sayı, paydası daha küçük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
3. Bu durumda, paydası büyük olan bir kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - tasarrufların olduğu yer burasıdır. Aynı zamanda hata olasılığı da önemli ölçüde azalır.

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

84: 21 = 4'e dikkat edin; 72: 12 = 6. Her iki durumda da bir payda diğerine kalansız bölündüğü için ortak çarpanlar yöntemini kullanıyoruz. Sahibiz:

İkinci kesrin hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında hesaplama miktarını yarı yarıya azalttık!

Bu arada bu örnekteki kesirleri tesadüfen almadım. İlgileniyorsanız çapraz yöntemi kullanarak bunları saymayı deneyin. Azaltma sonrasında cevaplar aynı olacak, ancak çok daha fazla iş olacak.

Bu, ortak bölenler yönteminin kuvvetidir, ancak yine de yalnızca paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde kullanılabilir. Bu oldukça nadiren olur.

En az yaygın olan çoklu yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde aslında paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Daha sonra her iki kesrin paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Bu tür çok sayıda sayı vardır ve bunların en küçüğünün, "çapraz-çapraz" yönteminde varsayıldığı gibi, orijinal kesirlerin paydalarının doğrudan çarpımına eşit olması gerekmez.

Örneğin, 8 ve 12 numaralı paydalar için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu sayı 8 12 = 96 çarpımından çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya (LCM) denir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM(a; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulmayı başarırsanız, toplam hesaplama miktarı minimum düzeyde olacaktır. Örneklere bak:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

234 = 117 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 117 · 3. 2 ve 3 numaralı çarpanlar eş asaldır (1'den başka ortak çarpanı yoktur) ve 117 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Aynı şekilde 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3 ve 4 numaralı çarpanlar eş asaldır ve 5 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara indirgeyelim:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

1. Aynı çarpanları keşfettikten sonra hemen en küçük ortak kata ulaştık ki bu genel anlamda önemsiz olmayan bir sorundur;
2. Ortaya çıkan genişlemeden, her kesirde hangi faktörlerin “eksik” olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin 234 · 3 = 702, dolayısıyla ilk kesir için ek çarpan 3'tür.

En az ortak çoklu yöntemin ne kadar fark yarattığını anlamak için aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin. Tabii ki hesap makinesi olmadan. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.

Gerçek örneklerde bu kadar karmaşık kesirlerin olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşuyorlar ve yukarıdaki görevler sınır değil!

Tek sorun bu NOC'yi nasıl bulacağımızdır. Bazen her şey birkaç saniye içinde, kelimenin tam anlamıyla "gözle" bulunur, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama görevidir. Biz burada buna değinmeyeceğiz.

Kesirli örnekleri çözmek için en küçük ortak paydayı bulmanız gerekir. Aşağıda ayrıntılı talimatlar bulunmaktadır.

En düşük ortak payda nasıl bulunur - kavram

En küçük ortak payda (LCD) basit kelimelerle– bu, tüm kesirlerin paydalarına bölünebilen minimum sayıdır bu örnek. Başka bir deyişle En Küçük Ortak Kat (LCM) olarak adlandırılır. NOS yalnızca kesirlerin paydaları farklıysa kullanılır.

En düşük ortak payda nasıl bulunur - örnekler

NOC bulma örneklerine bakalım.

Hesaplayın: 3/5 + 2/15.

Çözüm (Eylem sırası):

• Kesirlerin paydalarına bakıyoruz, farklı olmalarına ve ifadelerin mümkün olduğunca kısaltılmış olmasına dikkat ediyoruz.
• Bulduk en küçük sayı, hem 5'e hem de 15'e bölünebilir. Bu sayı 15 olacaktır. Böylece 3/5 + 2/15 = ?/15 olur.
• Paydayı bulduk. Payda ne olacak? Ek bir çarpan bunu anlamamıza yardımcı olacaktır. Ek bir faktör, NZ'nin belirli bir kesirin paydasına bölünmesiyle elde edilen sayıdır. 3/5 için ek faktör 3'tür, çünkü 15/5 = 3. İkinci kesir için ek faktör 1'dir, çünkü 15/15 = 1'dir.
• Ek faktörü bulduktan sonra onu kesirlerin paylarıyla çarpıyoruz ve elde edilen değerleri ekliyoruz. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Cevap: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Örnekte 2 değil, 3 veya daha fazla kesir eklenir veya çıkarılırsa, o zaman BOH'un verilen kesir sayısı kadar aranması gerekir.

Hesapla: 1/2 – 5/12 + 3/6

Çözüm (eylem sırası):

• En düşük ortak paydayı bulma. 2, 12 ve 6'ya bölünebilen minimum sayı 12'dir.
• Şunu elde ederiz: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Ek çarpanlar arıyoruz. 1/2 – 6 için; 5/12 – 1 için; 3/6 – 2 için.
• Payları çarparak karşılık gelen işaretleri atarız: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Cevap: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.

LCM (en az ortak kat) nasıl bulunur?

İki tam sayının en küçük ortak katı, verilen sayıların her ikisine de kalan bırakmadan bölünebilen tam sayıların en küçüğüdür.

Yöntem 1. LCM'yi, verilen sayıların her biri için, elde edilen tüm sayıları 1, 2, 3, 4 vb. ile çarparak artan sırada yazarak bulabilirsiniz.

Örnek 6 ve 9 numaralar için.
6 sayısını sırasıyla 1, 2, 3, 4, 5 ile çarpıyoruz.
Şunu elde ederiz: 6, 12, 18 , 24, 30
9 sayısını sırasıyla 1, 2, 3, 4, 5 ile çarpıyoruz.
Şunu elde ederiz: 9, 18 , 27, 36, 45
Gördüğünüz gibi 6 ve 9 numaralarının LCM'si 18'e eşit olacaktır.

Bu yöntem, her iki sayı da küçük olduğunda ve bunları bir tam sayı dizisiyle çarpmanın kolay olduğu durumlarda kullanışlıdır. Ancak, iki basamaklı veya üç basamaklı sayılar için LCM'yi bulmanız gereken ve ayrıca üç veya daha fazla başlangıç ​​sayısının olduğu durumlar da vardır.

Yöntem 2. Orijinal sayıları parçalara ayırarak LCM'yi bulabilirsiniz. asal faktörler.
Ayrıştırmadan sonra, ortaya çıkan asal faktör dizisinden aynı sayıların üzerini çizmek gerekir. İlk sayının kalan sayıları ikinciye çarpan, ikinci sayının kalan sayıları ise birinciye çarpan olacaktır.

Örnek 75 ve 60 numaraları için.
75 ve 60 sayılarının en küçük ortak katı, bu sayıların katları art arda yazılmadan bulunabilir. Bunu yapmak için 75 ve 60'ı basit çarpanlarına ayıralım:
75 = 3 * 5 * 5, bir
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Gördüğünüz gibi her iki satırda da faktör 3 ve 5 görünüyor. Zihinsel olarak onların üzerini çizeriz.
Bu sayıların her birinin açılımında yer alan kalan faktörleri yazalım. 75 sayısını ayrıştırırken 5 rakamı, 60 sayısını ayrıştırırken 2*2 kalıyor.
Yani 75 ve 60 sayılarının LCM'sini belirlemek için 75'in açılımından kalan sayıları (bu 5) 60 ile çarpmamız ve 60'ın açılımından kalan sayıları (bu 2) çarpmamız gerekiyor. * 2) 75'e. Yani, anlaşılmasını kolaylaştırmak için "çapraz" çarptığımızı söylüyoruz.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
60 ve 75 sayılarının LCM'sini bu şekilde bulduk. Bu 300 sayısıdır.

Örnek. 12, 16, 24 sayıları için LCM'yi belirleyin
Bu durumda eylemlerimiz biraz daha karmaşık olacaktır. Ama önce her zaman olduğu gibi tüm sayıları çarpanlarına ayıralım
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCM'yi doğru bir şekilde belirlemek için, tüm sayıların en küçüğünü seçiyoruz (bu 12 sayısıdır) ve diğer sayı satırlarından en az birinde henüz aynı faktörle karşılaşırsak, bunların üstünü çizerek sırayla faktörlerini gözden geçiriyoruz. üzeri çizildi.

Aşama 1 . Tüm sayı dizilerinde 2*2'nin oluştuğunu görüyoruz. Hadi bunların üzerini çizelim.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Adım 2. 12 sayısının asal çarpanlarında sadece 3 sayısı kalıyor ama 24 sayısının asal çarpanlarında mevcut. Her iki satırdan da 3 sayısını çiziyoruz, 16 sayısı için ise herhangi bir işlem beklenmiyor. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Gördüğünüz gibi 12 sayısını ayrıştırırken tüm sayıların üzerini çizdik. Bu, LOC bulmanın tamamlandığı anlamına gelir. Geriye kalan tek şey değerini hesaplamak.
12 sayısı için 16 sayısının kalan çarpanlarını alın (bir sonraki artan sırada)
12 * 2 * 2 = 48
Burası NOC

Gördüğünüz gibi bu durumda LCM'yi bulmak biraz daha zordu ancak üç veya daha fazla sayı için onu bulmanız gerektiğinde, Bu method daha hızlı yapmanızı sağlar. Ancak LCM'yi bulmanın her iki yöntemi de doğrudur.

Bu makale açıklıyor en düşük ortak payda nasıl bulunur Ve Kesirler ortak bir paydaya nasıl indirgenir. Öncelikle kesirlerin ortak paydası ve en küçük ortak paydasının tanımları verilmiş, kesirlerin ortak paydasının nasıl bulunacağı gösterilmiştir. Aşağıda kesirleri ortak bir paydaya indirgemek için bir kural verilmiştir ve bu kuralın uygulama örnekleri ele alınmıştır. Sonuç olarak, üç getirme örnekleri ve Daha ortak paydaya sahip kesirler.

Sayfada gezinme.

Kesirleri ortak paydaya indirgemeye ne denir?

Artık kesirleri ortak paydaya indirmenin ne demek olduğunu söyleyebiliriz. Kesirleri ortak paydaya indirgemek- Verilen kesirlerin pay ve paydalarının, paydaları aynı olan kesirler olacak şekilde ek faktörlerle çarpılmasıdır.

Ortak payda, tanım, örnekler

Şimdi kesirlerin ortak paydasını belirlemenin zamanı geldi.

Başka bir deyişle, belirli bir dizi sıradan kesirin ortak paydası, bu kesirlerin tüm paydalarına bölünebilen herhangi bir doğal sayıdır.

Belirtilen tanımdan, belirli bir kesir kümesinin sonsuz sayıda ortak paydaya sahip olduğu sonucu çıkar, çünkü orijinal kesir kümesinin tüm paydalarının sonsuz sayıda ortak katı vardır.

Kesirlerin ortak paydasını belirlemek, verilen kesirlerin ortak paydalarını bulmanızı sağlar. Örneğin 1/4 ve 5/6 kesirleri verildiğinde paydaları sırasıyla 4 ve 6 olsun. 4 ve 6 sayılarının pozitif ortak katları 12, 24, 36, 48, ... sayılarıdır. Bu sayılardan herhangi biri 1/4 ve 5/6 kesirlerinin ortak paydasıdır.

Malzemeyi birleştirmek için aşağıdaki örneğin çözümünü düşünün.

Örnek.

2/3, 23/6 ve 7/12 kesirleri ortak paydası 150'ye indirgenebilir mi?

Çözüm.

Soruyu cevaplamak için 150 sayısının 3, 6 ve 12 paydalarının ortak katı olup olmadığını bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için, 150'nin bu sayıların her birine bölünebilir olup olmadığını kontrol edelim (gerekirse doğal sayıları bölme kuralları ve örneklerinin yanı sıra doğal sayıları kalanla bölme kuralları ve örneklerine de bakın): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (kalan 6) .

Bu yüzden, 150, 12'ye tam olarak bölünemediğinden 150, 3, 6 ve 12'nin ortak katı değildir. Bu nedenle 150 sayısı orijinal kesirlerin ortak paydası olamaz.

Cevap:

Yasaktır.

En düşük ortak payda, nasıl bulunur?

Verilen kesirlerin ortak paydası olan sayılar kümesinde en küçük ortak payda adı verilen en küçük bir doğal sayı vardır. Bu kesirlerin en küçük ortak paydasının tanımını formüle edelim.

Tanım.

En düşük ortak payda bu kesirlerin tüm ortak paydalarının en küçük sayısıdır.

En küçüğün nasıl bulunacağı sorusuyla ilgilenmeye devam ediyor ortak bölen.

Belirli bir sayı kümesinin en küçük pozitif ortak böleni olduğundan, belirli kesirlerin paydalarının LCM'si, verilen kesirlerin en küçük ortak paydasını temsil eder.

Böylece kesirlerin en küçük ortak paydasını bulmak, o kesirlerin paydalarına iner. Örneğin çözümüne bakalım.

Örnek.

3/10 ve 277/28 kesirlerinin en küçük ortak paydasını bulun.

Çözüm.

Bu kesirlerin paydaları 10 ve 28'dir. İstenilen en düşük ortak payda 10 ve 28 sayılarının LCM'si olarak bulunur. Bizim durumumuzda bu kolay: 10=2·5 ve 28=2·2·7 olduğundan LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Cevap:

140 .

Kesirler ortak bir paydaya nasıl indirgenir? Kural, örnekler, çözümler

Genellikle ortak kesirler en düşük ortak paydaya ulaşır. Şimdi kesirleri en küçük ortak paydaya nasıl indireceğimizi açıklayan bir kural yazacağız.

Kesirleri en düşük ortak paydaya indirgeme kuralıüç adımdan oluşur:

• Öncelikle kesirlerin en küçük ortak paydasını bulun.
• İkinci olarak, en küçük ortak paydanın her kesrin paydasına bölünmesiyle her kesir için ek bir faktör hesaplanır.
• Üçüncüsü, her kesrin pay ve paydası ek faktörüyle çarpılır.

Aşağıdaki örneği çözmek için belirtilen kuralı uygulayalım.

Örnek.

5/14 ve 7/18 kesirlerini en küçük ortak paydalarına düşürün.

Çözüm.

Kesirleri en küçük ortak paydaya indirgemek için algoritmanın tüm adımlarını gerçekleştirelim.

Öncelikle 14 ve 18 sayılarının en küçük ortak katına eşit olan en küçük ortak paydayı buluyoruz. 14=2·7 ve 18=2·3·3 olduğuna göre LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Şimdi 5/14 ve 7/18 kesirlerinin payda 126'ya düşürüleceği ek faktörleri hesaplıyoruz. 5/14 kesri için ek çarpan 126:14=9, 7/18 kesri için ek çarpan 126:18=7'dir.

5/14 ve 7/18 kesirlerinin pay ve paydalarını sırasıyla 9 ve 7 ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor. Biz varız ve .

Böylece 5/14 ve 7/18 kesirlerini en küçük ortak paydaya indirgemek tamamlandı. Ortaya çıkan fraksiyonlar 45/126 ve 49/126 idi.

LCM'nin nasıl hesaplanacağını anlamak için öncelikle "çoklu" teriminin anlamını belirlemelisiniz.

A'nın katı, A'ya kalansız bölünebilen bir doğal sayıdır. Dolayısıyla, 5'in katı olan sayılar 15, 20, 25 vb. olarak kabul edilebilir.

Belirli bir sayının bölenleri olabilir sınırlı miktar, ancak sonsuz sayıda katları vardır.

Ortak çoklu doğal sayılar- kendilerine kalansız bölünebilen bir sayı.

Sayıların en küçük ortak katı nasıl bulunur

Sayıların (iki, üç veya daha fazla) en küçük ortak katı (LCM), bu sayıların tümüne bölünebilen en küçük doğal sayıdır.

LOC'yi bulmak için çeşitli yöntemler kullanabilirsiniz.

Küçük sayılar için, aralarında ortak bir şey bulana kadar bu sayıların tüm katlarını bir satıra yazmak uygundur. Katlar büyük harf K ile gösterilir.

Örneğin 4'ün katları şu şekilde yazılabilir:

K(4) = (8,12,16,20,24,...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Böylece 4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katının 24 sayısı olduğunu görebilirsiniz. Bu gösterim şu şekilde yapılır:

LCM(4, 6) = 24

Sayılar büyükse, üç veya daha fazla sayının ortak katını bulun, o zaman LCM'yi hesaplamak için başka bir yöntem kullanmak daha iyidir.

Görevi tamamlamak için verilen sayıları asal faktörlere ayırmanız gerekir.

Öncelikle en büyük sayının ayrışmasını bir satıra ve altına - gerisini yazmanız gerekir.

Her sayının ayrıştırılması farklı sayıda faktör içerebilir.

Örneğin 50 ve 20 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.

Küçük sayının açılımında, ilk en büyük sayının açılımında eksik olan faktörleri vurgulayıp sonra bunları ona eklemelisiniz. Sunulan örnekte bir iki eksik.

Artık 20 ve 50'nin en küçük ortak katını hesaplayabilirsiniz.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Böylece büyük sayının asal çarpanları ile ikinci sayının büyük sayının açılımına dahil edilmeyen çarpanlarının çarpımı en küçük ortak kat olacaktır.

Üç veya daha fazla sayının LCM'sini bulmak için, önceki durumda olduğu gibi hepsini asal çarpanlara ayırmalısınız.

Örnek olarak 16, 24, 36 sayılarının en küçük ortak katını bulabilirsiniz.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Bu nedenle, daha büyük bir sayının çarpanlara ayrılmasına on altının açılımından yalnızca iki iki dahil edilmedi (bir, yirmi dördün açılımındadır).

Bu nedenle daha büyük bir sayının açılımına eklenmeleri gerekir.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

En küçük ortak katın belirlenmesinde özel durumlar vardır. Yani, eğer sayılardan biri diğerine kalansız bölünebiliyorsa, bu sayılardan büyük olanı en küçük ortak kat olacaktır.

Örneğin on iki ve yirmi dört sayısının LCM'si yirmi dörttür.

Birbirinizin en küçük ortak katını bulmanız gerekiyorsa asal sayılar Aynı bölenlere sahip olmayanların LCM'leri çarpımlarına eşit olacaktır.

Örneğin LCM (10, 11) = 110.