A / b aritmetik kesirinin paydası, kesrin oluşturulduğu birimin kesirlerinin boyutunu gösteren b sayısıdır. A/B cebirsel fraksiyonunun paydasına denir cebirsel ifade B. Kesirlerle aritmetik işlem yapabilmek için bunların en küçük ortak paydaya indirgenmesi gerekir.

İhtiyacın olacak

• Cebirsel kesirlerle çalışmak ve en düşük ortak paydayı bulmak için polinomları nasıl çarpanlara ayıracağınızı bilmeniz gerekir.

Talimatlar

İki aritmetik kesir olan n/m ve s/t'yi en küçük ortak paydaya indirgemeyi düşünelim; burada n, m, s, t tamsayılardır. Bu iki kesrin m ve t'ye bölünebilen herhangi bir paydaya indirgenebileceği açıktır. Ama bunu en düşük ortak paydaya getirmeye çalışıyorlar. Verilen kesirlerin m ve t paydalarının en küçük ortak katına eşittir. Bir sayının en küçük katı (LMK), verilen tüm sayılara aynı anda bölünebilen en küçük sayıdır. Onlar. bizim durumumuzda m ve t sayılarının en küçük ortak katını bulmamız gerekiyor. LCM (m, t) olarak gösterilir. Daha sonra kesirler karşılık gelenlerle çarpılır: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Üç kesrin en küçük ortak paydasını bulalım: 4/5, 7/8, 11/14. Öncelikle paydaları 5, 8, 14'ü genişletelim: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Daha sonra LCM'yi (5, 8, 14) çarparak hesaplayın. genişletmelerden en az birine dahil edilen tüm sayılar. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Birkaç sayının açılımında bir faktör ortaya çıkarsa (payda 8 ve 14'ün açılımında faktör 2), o zaman faktörü şu şekilde alırız: daha büyük bir derece (bizim durumumuzda 2^3).

Böylece genel olan alınır. 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20'ye eşittir. Burada kesirleri en düşük ortak paydaya getirmek için ilgili paydalarla çarpmamız gereken sayıları elde ederiz. 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280 elde ederiz.

Cebirsel kesirlerin en düşük ortak paydaya indirgenmesi, aritmetik olanlara benzetme yoluyla gerçekleştirilir. Açıklık sağlamak için, bir örnek kullanarak soruna bakalım. (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) ve (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1) olmak üzere iki kesir verilsin. Her iki paydayı da çarpanlarına ayıralım. İlk kesrin paydasının tam kare olduğuna dikkat edin: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. İçin

Ancak birçok doğal sayı aynı zamanda diğer doğal sayılara da bölünebilir.

Örneğin:

12 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye bölünebilir;

36 sayısı 1'e, 2'ye, 3'e, 4'e, 6'ya, 12'ye, 18'e, 36'ya bölünür.

Bir sayının bir tama bölünebildiği sayılara (12 için bunlar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir) denir. sayıların bölenleri. Bir doğal sayının böleni A- belirli bir sayıyı bölen bir doğal sayıdır A iz bırakmadan. İkiden fazla böleni olan doğal sayılara denir kompozit .

12 ve 36 sayılarının ortak bölenleri olduğunu lütfen unutmayın. Bu sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. Bu sayıların en büyük böleni 12'dir. Bu iki sayının ortak böleni A Ve B- verilen her iki sayının da kalansız olarak bölündüğü sayıdır A Ve B.

Ortak katlar birkaç sayı, bu sayıların her birine bölünebilen sayıdır. Örneğin 9, 18 ve 45 sayılarının ortak katı 180'dir. Ancak 90 ve 360 ​​da onların ortak katlarıdır. Tüm ortak katlar arasında her zaman en küçük olan vardır; bu durumda bu 90. Bu sayıya denir en küçükortak kat (CMM).

LCM her zaman tanımlandığı sayıların en büyüğünden büyük olması gereken bir doğal sayıdır.

En küçük ortak kat (LCM). Özellikler.

Değişebilirlik:

İlişkisellik:

Özellikle, ve eş asal sayılar ise, o zaman:

İki tam sayının en küçük ortak katı M Ve N diğer tüm ortak katların bölenidir M Ve N. Ayrıca ortak katlar kümesi m, n LCM'nin katları kümesiyle çakışır ( m, n).

Asimptotikleri bazı sayı-teorik fonksiyonlarla ifade edilebilir.

Bu yüzden, Chebyshev işlevi. Ve ayrıca:

Bu, Landau fonksiyonunun tanımından ve özelliklerinden kaynaklanmaktadır. g(n).

Asal sayıların dağılım kanunundan çıkan sonuç.

En küçük ortak katı (LCM) bulma.

NOC( a, b) çeşitli şekillerde hesaplanabilir:

1. En büyük ortak bölen biliniyorsa, bunun LCM ile bağlantısını kullanabilirsiniz:

2. Her iki sayının asal çarpanlarına kanonik ayrışımı bilinsin:

Nerede p 1 ,...,p k- çeşitli asal sayılar, A d 1 ,...,d k Ve e 1 ,...,ek— negatif olmayan tamsayılar (karşılık gelen asal sayı genişlemede değilse sıfır olabilirler).

Daha sonra NOC ( A,B) aşağıdaki formülle hesaplanır:

Başka bir deyişle LCM ayrıştırması, sayıların ayrıştırılmasından en az birinde yer alan tüm asal faktörleri içerir. a, b, ve bu çarpanın iki üssünden en büyüğü alınır.

Örnek:

Birkaç sayının en küçük ortak katını hesaplamak, iki sayının LCM'sinin birkaç ardışık hesaplamasına indirgenebilir:

Kural. Bir sayı serisinin LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

- sayıları asal faktörlere ayrıştırmak;

- en büyük ayrıştırmayı (verilenlerin en büyük sayısının faktörlerinin çarpımı) istenen ürünün faktörlerine aktarın ve ardından ilk sayıda görünmeyen veya içinde yer almayan diğer sayıların ayrıştırılmasından faktörleri ekleyin daha az kez;

— asal faktörlerin sonuçtaki çarpımı, verilen sayıların LCM'si olacaktır.

Herhangi iki veya daha fazla doğal sayının kendi LCM'si vardır. Sayılar birbirinin katı değilse veya açılımda aynı faktörlere sahip değilse, LCM'leri bu sayıların çarpımına eşittir.

28 sayısının asal çarpanları (2, 2, 7) 3 çarpanı (21 sayısı) ile tamamlanırsa elde edilen çarpım (84) şu şekilde olur: en küçük sayı 21 ve 28'e bölünebilen sayıdır.

En büyük sayı olan 30'un asal çarpanları, 25 sayısının 5 çarpanı ile tamamlanır; sonuçta ortaya çıkan çarpım 150, en büyük sayı olan 30'dan büyüktür ve verilen tüm sayılara kalansız bölünebilir. Bu, verilen tüm sayıların katı olan mümkün olan en küçük çarpımdır (150, 250, 300...).

2,3,11,37 sayıları asal sayılar olduğundan LCM'leri verilen sayıların çarpımına eşittir.

Kural. Asal sayıların LCM'sini hesaplamak için tüm bu sayıları birbiriyle çarpmanız gerekir.

Başka bir seçenek:

Birkaç sayının en küçük ortak katını (LCM) bulmak için ihtiyacınız olan:

1) her sayıyı asal faktörlerinin bir ürünü olarak temsil edin, örneğin:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) Tüm asal faktörlerin kuvvetlerini yazın:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) bu sayıların her birinin asal bölenlerini (çarpanlarını) yazın;

4) bu sayıların tüm açılımlarında bulunan her birinin en büyük derecesini seçin;

5) bu güçleri çarpın.

Örnek. 168, 180 ve 3024 sayılarının LCM'sini bulun.

Çözüm. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Tüm asal bölenlerin en büyük kuvvetlerini yazıp çarpıyoruz:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Cebirsel kesirlerle yapılan toplama ve çıkarma gibi çoğu işlem, öncelikle bu kesirlerin dönüştürülmesini gerektirir. aynı paydalar. Bu tür paydalar sıklıkla şu ifadeyle de gösterilir: ortak payda" Bu konuda, “cebirsel kesirlerin ortak paydası” ve “cebirsel kesirlerin en küçük ortak paydası (LCD)” kavramlarının tanımına bakacağız, ortak paydayı nokta nokta bulma algoritmasını ele alacağız ve denklemdeki çeşitli problemleri çözeceğiz. başlık.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cebirsel kesirlerin ortak paydası

Sıradan kesirler hakkında konuşursak, ortak payda, orijinal kesirlerin paydalarından herhangi birine bölünebilen bir sayıdır. İçin sıradan kesirler 1 2 Ve 5 9 36 sayısı 2 ve 9'a kalansız bölünebildiği için ortak payda olabilir.

Cebirsel kesirlerin ortak paydası da benzer şekilde belirlenir, cebirsel kesrin pay ve paydası oldukları için sayılar yerine sadece polinomlar kullanılır.

Tanım 1

Cebirsel bir kesrin ortak paydası herhangi bir kesrin paydasına bölünebilen bir polinomdur.

Aşağıda tartışılacak olan cebirsel kesirlerin özelliklerinden dolayı, genellikle standart bir polinom yerine çarpım olarak temsil edilen ortak paydalarla ilgileneceğiz.

Örnek 1

Çarpım olarak yazılan polinom 3 x 2 (x + 1), standart formun bir polinomuna karşılık gelir 3x3 + 3x2. Bu polinom, aşağıdakilere bölünebilmesi nedeniyle 2 x, - 3 x y x 2 ve y + 3 x + 1 cebirsel kesirlerinin ortak paydası olabilir. X, Açık x 2 ve üzerinde x+1. Polinomların bölünebilirliği hakkında bilgi kaynağımızın ilgili başlığında mevcuttur.

En küçük ortak payda (LCD)

Verilen cebirsel kesirler için ortak paydaların sayısı sonsuz olabilir.

Örnek 2

Örnek olarak 1 2 x ve x + 1 x 2 + 3 kesirlerini ele alalım. Bunların ortak paydası 2 x (x 2 + 3), birlikte − 2 x (x 2 + 3), birlikte x (x 2 + 3), birlikte 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), birlikte − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, vesaire.

Problem çözerken tüm paydalar kümesi içerisinde en basit yapıya sahip olan ortak paydayı kullanarak işinizi kolaylaştırabilirsiniz. Bu paydaya genellikle en düşük ortak payda denir.

Tanım 2

Cebirsel kesirlerin en küçük ortak paydası cebirsel kesirlerin en basit şekli olan ortak paydasıdır.

Bu arada, "en düşük ortak payda" terimi genel olarak kabul edilmemektedir, bu nedenle kendimizi "ortak payda" terimiyle sınırlamak daha iyidir. İşte nedeni.

Daha önce dikkatinizi “en çok payda” ifadesine odaklamıştık. basit tip" Bu ifadenin asıl anlamı şudur: Cebirsel kesirler probleminde en basit formun paydasının, verilerin herhangi bir başka ortak paydasına kalansız bölünmesi gerekir. Bu durumda kesirlerin ortak paydası olan çarpımda çeşitli sayısal katsayılar kullanılabilir.

Örnek 3

1 2 · x ve x + 1 x 2 + 3 kesirlerini alalım. 2 x x (x 2 + 3) formundaki ortak bir paydayla çalışmanın bizim için en kolayı olacağını zaten öğrenmiştik. Ayrıca bu iki kesrin ortak paydası şu şekilde olabilir: x (x 2 + 3), sayısal bir katsayı içermez. Soru, bu iki ortak paydadan hangisinin kesirlerin en küçük ortak paydası olarak kabul edildiğidir. Kesin bir cevap yok, bu nedenle basitçe ortak paydadan bahsetmek ve çalışmak için en uygun seçenekle çalışmak daha doğrudur. O halde aşağıdaki gibi ortak paydaları kullanabiliriz: x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) veya − 15 x 5 (x 2 + 3) 3 kimin daha fazlası var karmaşık görünüm ancak bunlarla harekete geçmek daha zor olabilir.

Cebirsel kesirlerin ortak paydasını bulma: eylemlerin algoritması

Ortak bir payda bulmamız gereken birkaç cebirsel kesirimiz olduğunu varsayalım. Bu sorunu çözmek için aşağıdaki eylem algoritmasını kullanabiliriz. Öncelikle orijinal kesirlerin paydalarını çarpanlarına ayırmamız gerekir. Sonra sırayla dahil ettiğimiz bir çalışma oluşturuyoruz:

• birinci kesirin paydasındaki tüm faktörler ve güçler;
• ikinci kesrin paydasında bulunan ancak yazılı çarpımda yer almayan veya dereceleri yetersiz olan tüm faktörler;
• üçüncü kesrin paydasındaki tüm eksik faktörler vb.

Ortaya çıkan ürün cebirsel kesirlerin ortak paydası olacaktır.

Çarpımın faktörleri olarak problem cümlesinde verilen kesirlerin tüm paydalarını alabiliriz. Ancak sonuçta elde edeceğimiz çarpan anlam olarak BOH'dan uzak olacak ve kullanımı mantıksız olacaktır.

Örnek 4

1 x 2 y, 5 x + 1 ve y - 3 x 5 y kesirlerinin ortak paydasını belirleyin.

Çözüm

Bu durumda orijinal kesirlerin paydalarını çarpanlara ayırmamıza gerek yoktur. Bu nedenle çalışmayı oluşturarak algoritmayı uygulamaya başlayacağız.

İlk kesrin paydasından çarpanı alıyoruz x 2 yıl, ikinci kesrin paydasından çarpan x+1. Ürünü alıyoruz x 2 y (x + 1).

Üçüncü kesrin paydası bize bir çarpan verebilir x 5 yıl ancak daha önce derlediğimiz ürünün zaten faktörleri var x 2 Ve sen. Bu nedenle daha fazlasını ekliyoruz x 5 − 2 = x 3. Ürünü alıyoruz x 2 y (x + 1) x 3 forma indirgenebilir x 5 y (x + 1). Bu bizim cebirsel kesirlerin NOZ'u olacak.

Cevap: x 5 · y · (x + 1) .

Şimdi cebirsel kesirlerin paydalarının tamsayı sayısal faktörler içerdiği problem örneklerine bakalım. Bu gibi durumlarda, daha önce tamsayı sayısal faktörleri basit faktörlere ayrıştırmış olan algoritmayı da takip ederiz.

Örnek 5

1 12 x ve 1 90 x 2 kesirlerinin ortak paydasını bulun.

Çözüm

Kesirlerin paydalarındaki sayıları asal çarpanlara bölerek 1 2 2 3 x ve 1 2 3 2 5 x 2 elde ederiz. Artık ortak bir payda oluşturmaya devam edebiliriz. Bunu yapmak için ilk kesrin paydasından ürünü alıyoruz 2 2 3x ve buna 3, 5 ve çarpanlarını ekleyin X ikinci kesrin paydasından. Aldık 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Bu bizim ortak paydamızdır.

Cevap: 180x2.

Analiz edilen iki örneğin sonuçlarına yakından bakarsanız, kesirlerin ortak paydalarının, paydaların açılımlarında bulunan tüm faktörleri içerdiğini ve belirli bir faktörün birkaç paydada mevcut olması durumunda, o zaman alındığını fark edeceksiniz. mevcut en büyük üs ile. Paydaların tamsayı katsayıları varsa, ortak payda bu sayısal katsayıların en küçük ortak katına eşit bir sayısal faktör içerir.

Örnek 6

Hem 1 12 x hem de 1 90 x 2 cebirsel kesirlerinin paydaları bir faktöre sahiptir X. İkinci durumda, x faktörünün karesi alınır. Ortak payda oluşturabilmek için bu faktörü en üst düzeyde ele almamız gerekiyor. x 2. Değişkenli başka çarpanlar yoktur. Orijinal kesirlerin tamsayı sayısal katsayıları 12 Ve 90 , ve bunların en küçük ortak katları 180 . İstenilen ortak paydanın şu şekilde olduğu ortaya çıktı: 180x2.

Artık cebirsel kesirlerin ortak faktörünü bulmak için başka bir algoritma yazabiliriz. Bunun için biz:

• tüm kesirlerin paydalarını çarpanlara ayırın;
• tüm harf faktörlerinin çarpımını oluştururuz (birkaç açılımda bir faktör varsa, en büyük üssü olan seçeneği alırız);
• genişletmelerin sayısal katsayılarının LCM'sini ortaya çıkan ürüne ekliyoruz.

Verilen algoritmalar eşdeğerdir, dolayısıyla herhangi biri sorunları çözmek için kullanılabilir. Detaylara dikkat etmek önemlidir.

Kesirlerin paydalarındaki ortak faktörlerin sayısal katsayıların arkasında görünmeyebileceği durumlar vardır. Burada öncelikle paydada mevcut faktörlerin her birinde parantez dışında değişkenlerin daha yüksek güçlerindeki sayısal katsayıların yerleştirilmesi tavsiye edilir.

Örnek 7

3 5 - x ve 5 - x · y 2 2 · x - 10 kesirlerinin ortak paydası nedir?

Çözüm

İlk durumda, eksi bir parantezden çıkarılmalıdır. 3 - x - 5 elde ederiz. Paydadaki eksiden kurtulmak için pay ve paydayı -1 ile çarpıyoruz: -3 x -5.

İkinci durumda, ikisini parantez dışında tutuyoruz. Bu, 5 - x · y 2 2 · x - 5 kesirini elde etmemizi sağlar.

Bu cebirsel kesirlerin - 3 x - 5 ve 5 - x · y 2 2 · x - 5'in ortak paydasının şu olduğu açıktır: 2 (x - 5).

Cevap:2 (x - 5).

Kesir problemi koşulundaki veriler kesirli katsayılara sahip olabilir. Bu durumlarda öncelikle pay ve paydayı belirli bir sayı ile çarparak kesirli katsayılardan kurtulmanız gerekir.

Örnek 8

Basitleştir cebirsel kesirler 1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 ve - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3'ü bulun ve bunların ortak paydasını belirleyin.

Çözüm

Birinci durumda pay ve paydayı 14 ile, ikinci durumda ise 3 ile çarparak kesirli katsayılardan kurtulalım. Şunu elde ederiz:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 ve - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Dönüşümlerden sonra ortak paydanın olduğu ortaya çıkıyor 2 (x2 + 2).

Cevap: 2 (x2 + 2).

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Kat, belirli bir sayıya kalansız bölünebilen bir sayıdır. Bir sayı grubunun en küçük ortak katı (LCM), gruptaki her sayıya kalan bırakmadan bölünebilen en küçük sayıdır. En küçük ortak katı bulmak için verilen sayıların asal çarpanlarını bulmanız gerekir. LCM ayrıca iki veya daha fazla sayıdan oluşan gruplara uygulanan bir dizi başka yöntem kullanılarak da hesaplanabilir.

Adımlar

Katlar serisi

Şu sayılara bakın. Burada açıklanan yöntem, her biri 10'dan küçük olan iki sayı verildiğinde en iyi şekilde kullanılır. Daha büyük sayılar verilirse farklı bir yöntem kullanın.

• Örneğin 5 ve 8'in en küçük ortak katını bulun. Bunlar küçük sayılardır, dolayısıyla bu yöntemi kullanabilirsiniz.

1. Kat, belirli bir sayıya kalansız bölünebilen bir sayıdır. Çarpım tablosunda katlar bulunabilir.

   • Örneğin 5'in katı olan sayılar: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. İlk sayının katları olan bir sayı dizisi yazın.İki sayı kümesini karşılaştırmak için bunu ilk sayının katları altında yapın.

   • Örneğin 8'in katı olan sayılar şunlardır: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ve 64.

3. Her iki kat kümesinde de bulunan en küçük sayıyı bulun. Bulmak için uzun katlar dizisi yazmanız gerekebilir toplam sayı. Her iki kat kümesinde de bulunan en küçük sayı, en küçük ortak kattır.

   • Örneğin 5 ve 8'in katları serisinde yer alan en küçük sayı 40 sayısıdır. Dolayısıyla 40, 5 ve 8'in en küçük ortak katıdır.

   Asal çarpanlara ayırma

   1. Şu sayılara bakın. Burada açıklanan yöntem, her biri 10'dan büyük olan iki sayı verildiğinde en iyi şekilde kullanılır. Daha küçük sayılar verilirse farklı bir yöntem kullanın.

      • Örneğin 20 ve 84 sayılarının en küçük ortak katını bulun. Sayıların her biri 10'dan büyüktür, dolayısıyla bu yöntemi kullanabilirsiniz.

   2. İlk sayıyı asal faktörlere ayırın. Yani çarpıldığında belirli bir sayıyı verecek asal sayıları bulmanız gerekir. Asal çarpanları bulduktan sonra bunları eşitlik olarak yazın.

      • Örneğin, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Ve 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Böylece, basit faktörler 20 sayıları 2, 2 ve 5 sayılarıdır. Bunları bir ifade olarak yazın: .

   3. İkinci sayıyı asal faktörlere ayırın. Bunu, ilk sayıyı çarpanlarına ayırdığınız şekilde yapın, yani çarpıldığında verilen sayıyı verecek asal sayıları bulun.

      • Örneğin, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Ve 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Buna göre 84 sayısının asal çarpanları 2, 7, 3 ve 2 sayılarıdır. Bunları bir ifade olarak yazın: .

   4. Her iki sayının ortak çarpanlarını yazınız.Çarpma işlemi gibi çarpanları yazın. Her faktörü yazarken, her iki ifadede de (sayıların asal çarpanlara ayrılmasını açıklayan ifadeler) bunun üzerini çizin.

      • Örneğin, her iki sayının da ortak çarpanı 2'dir, bu nedenle şunu yazın: 2 × (\displaystyle 2\times ) ve her iki ifadede de 2'nin üzerini çizin.
      • Her iki sayının da ortak noktası 2'nin bir çarpanı daha, o halde yazın 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) ve her iki ifadede de ikinci 2'nin üzerini çizin.

   5. Kalan çarpanları çarpma işlemine ekleyin. Bunlar her iki ifadede de üstü çizili olmayan faktörlerdir, yani her iki sayı için ortak olmayan faktörlerdir.

      • Örneğin, ifadede 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) Her iki ikinin (2) üzeri çizilir çünkü bunlar ortak çarpanlardır. 5 faktörünün üzeri çizili değildir, dolayısıyla çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • İfadede 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) her iki ikilinin (2) de üzeri çizilir. 7 ve 3'ün çarpanları çizilmemiştir, dolayısıyla çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. En küçük ortak katı hesaplayın. Bunu yapmak için yazılı çarpma işlemindeki sayıları çarpın.

      • Örneğin, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Yani 20 ile 84'ün en küçük ortak katı 420'dir.

   Ortak faktörleri bulma

   1. Tic-tac-toe oyununa benzer bir ızgara çizin. Böyle bir ızgara, başka iki paralel çizgiyle (dik açılarda) kesişen iki paralel çizgiden oluşur. Bu size üç satır ve üç sütun verecektir (ızgara, # simgesine çok benzer). İlk sayıyı birinci satıra ve ikinci sütuna yazın. İkinci sayıyı birinci satıra ve üçüncü sütuna yazın.

      • Örneğin 18 ve 30 sayılarının en küçük ortak katını bulun. Birinci satır ve ikinci sütuna 18 sayısını, birinci satır ve üçüncü sütuna 30 sayısını yazın.

   2. Her iki sayının ortak bölenini bulun. Bunu ilk satıra ve ilk sütuna yazın. Asal faktörleri aramak daha iyidir, ancak bu bir gereklilik değildir.

      • Örneğin 18 ve 30 çift sayılar olduğundan ortak çarpanları 2'dir. O halde ilk satıra ve ilk sütuna 2 yazın.

   3. Her sayıyı ilk bölene bölün. Her bölümü uygun sayının altına yazın. Bölüm, iki sayıyı bölmenin sonucudur.

      • Örneğin, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), yani 18'in altında 9 yazın.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15) 30'un altında 15 yazın.

   4. Her iki bölümün ortak bölenini bulun. Böyle bir bölen yoksa sonraki iki adımı atlayın. Aksi halde ikinci satıra ve birinci sütuna böleni yazın.

      • Örneğin 9 ve 15 3'e bölünebildiği için ikinci satıra ve ilk sütuna 3 yazın.

   5. Her bölümü ikinci bölenine bölün. Her bölme sonucunu karşılık gelen bölümün altına yazın.

      • Örneğin, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3) yani 3'ü 9'un altına yazın.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5) 15'in altına 5 yazın.

   6. Gerekirse ızgaraya ek hücreler ekleyin. Bölümlerin ortak bir böleni olana kadar açıklanan adımları tekrarlayın.

   7. Tablonun ilk sütunundaki ve son satırındaki sayıları daire içine alın. Daha sonra seçilen sayıları çarpma işlemi olarak yazın.

      • Örneğin 2 ve 3 sayıları ilk sütunda, 3 ve 5 sayıları ise son satırda olduğundan çarpma işlemini şu şekilde yazın: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Sayıları çarpmanın sonucunu bulun. Bu, verilen iki sayının en küçük ortak katını hesaplayacaktır.

      • Örneğin, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Yani 18 ile 30'un en küçük ortak katı 90'dır.

   Öklid algoritması

   1. Bölme işlemiyle ilgili terminolojiyi unutmayın. Temettü, bölünen sayıdır. Bölen, bölünen sayıdır. Bölüm, iki sayıyı bölmenin sonucudur. Kalan, iki sayının bölünmesinden kalan sayıdır.

      • Örneğin, ifadede 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 temettü
        6 bir bölendir
        2 bölümdür
        Geriye kalan 3'tür.

En büyük ortak bölen

Tanım 2

Eğer bir a doğal sayısı bir $b$ doğal sayısı ile bölünebiliyorsa, o zaman $b$'ye $a$'ın böleni denir ve $a$'a $b$'ın katı denir.

$a$ ve $b$ doğal sayılar olsun. $c$ sayısına hem $a$ hem de $b$'ın ortak böleni denir.

$a$ ve $b$ sayılarının ortak bölenleri kümesi sonludur çünkü bu bölenlerin hiçbiri $a$'dan büyük olamaz. Bu, bu bölenler arasında, $a$ ve $b$ sayılarının en büyük ortak böleni olarak adlandırılan ve aşağıdaki gösterimle gösterilen en büyük bölenin olduğu anlamına gelir:

$GCD\(a;b)\ veya \D\(a;b)$

İki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için ihtiyacınız olan:

1. 2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en büyük ortak bölen olacaktır.

Örnek 1

$121$ ve $132.$ sayılarının gcd'sini bulun

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Bu sayıların genişletilmesine dahil olan sayıları seçin

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en büyük ortak bölen olacaktır.

$GCD=2\cdot 11=22$

Örnek 2

$63$ ve $81$ tek terimlilerinin gcd'sini bulun.

Sunulan algoritmaya göre bulacağız. Bunu yapmak için:

Sayıları asal çarpanlarına ayıralım

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Bu sayıların açılımına dahil olan sayıları seçiyoruz

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

2. adımda bulduğumuz sayıların çarpımını bulalım. Ortaya çıkan sayı istenilen en büyük ortak bölen olacaktır.

$GCD=3\cdot 3=9$

İki sayının gcd'sini, sayıların bölenleri kümesini kullanarak başka bir şekilde bulabilirsiniz.

Örnek 3

$48$ ve $60$ sayılarının gcd'sini bulun.

Çözüm:

$48$ sayısının bölenleri kümesini bulalım: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Şimdi $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) sayısının bölenleri kümesini bulalım $

Bu kümelerin kesişimini bulalım: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - bu küme $48$ ve $60 sayılarının ortak bölenleri kümesini belirleyecektir. $. En büyük element verilen set rakam 12$ olacak. Bu, $48$ ve $60$ sayılarının en büyük ortak böleninin $12$ olduğu anlamına gelir.

Takipteki kredilerin tanımı

Tanım 3

Doğal sayıların ortak katları$a$ ve $b$, hem $a$ hem de $b$'ın katı olan bir doğal sayıdır.

Sayıların ortak katları, orijinal sayılara kalansız bölünebilen sayılardır. Örneğin, $25$ ve $50$ sayıları için ortak katlar, $50,100,150,200$ vb. sayılar olacaktır.

En küçük ortak kat, en küçük ortak kat olarak adlandırılacak ve LCM$(a;b)$ veya K$(a;b).$ ile gösterilecektir.

İki sayının LCM'sini bulmak için yapmanız gerekenler:

1. Sayıları asal çarpanlara ayırma
2. Birinci sayının parçası olan çarpanları yazın ve bunlara ikincinin parçası olan ve birincinin parçası olmayan çarpanları ekleyin

Örnek 4

$99$ ve $77$ sayılarının LCM'sini bulun.

Sunulan algoritmaya göre bulacağız. Bunun için

Sayıları asal çarpanlara ayırma

$99=3\cdot 3\cdot 11$

İlk maddede yer alan faktörleri yazınız.

bunlara birincinin parçası olmayan, ikincinin parçası olan çarpanları ekleyin

2. adımda bulunan sayıların çarpımını bulun. Ortaya çıkan sayı, istenen en küçük ortak kat olacaktır.

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Sayıların bölenlerinin listesini derlemek genellikle çok emek yoğun bir iştir. Öklid algoritması adı verilen GCD'yi bulmanın bir yolu var.

Öklid algoritmasının dayandığı ifadeler:

$a$ ve $b$ doğal sayılarsa ve $a\vdots b$ ise, o zaman $D(a;b)=b$

Eğer $a$ ve $b$, $b olacak şekilde doğal sayılar ise

$D(a;b)= D(a-b;b)$ kullanarak, biri diğerine bölünebilecek bir sayı çiftine ulaşana kadar söz konusu sayıları art arda azaltabiliriz. O zaman bu sayılardan küçük olanı, $a$ ve $b$ sayıları için istenen en büyük ortak bölen olacaktır.

GCD ve LCM'nin Özellikleri

1. $a$ ve $b$'ın herhangi bir ortak katı K$(a;b)$ ile bölünebilir
2. Eğer $a\vdots b$ ise К$(a;b)=a$

Eğer K$(a;b)=k$ ve $m$ bir doğal sayı ise, o zaman K$(am;bm)=km$

Eğer $d$, $a$ ve $b$ için ortak bir bölen ise, o zaman K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Eğer $a\vdots c$ ve $b\vdots c$ ise, o zaman $\frac(ab)(c)$ $a$ ve $b$'ın ortak katıdır

Herhangi bir $a$ ve $b$ doğal sayısı için eşitlik geçerlidir

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$ ve $b$ sayılarının herhangi bir ortak böleni, $D(a;b)$ sayısının bölenidir