İlk bakışta cebirsel kesirler çok karmaşık görünebilir ve hazırlıksız bir öğrenci bunlarla hiçbir şey yapılamayacağını düşünebilir. Değişkenlerin, sayıların ve hatta derecelerin karmaşası korku uyandırır. Ancak ortak (15/25 gibi) ve cebirsel kesirlerin azaltılmasında da aynı kurallar kullanılır.

Adımlar

Kesirlerin Azaltılması

ile aktivitelere göz atın basit kesirler. Adi ve cebirsel kesirlerle işlemler benzerdir. Örneğin 15/35 kesrini ele alalım. Bu kesri basitleştirmek için şunları yapmalısınız: ortak böleni bul. Her iki sayı da beşe bölünebildiğinden pay ve paydada 5'i yalnız bırakabiliriz:

Artık yapabilirsin ortak faktörleri azaltın yani pay ve paydada 5'in üzerini çizin. Sonuç olarak basitleştirilmiş kesri elde ederiz 3/7 . İÇİNDE cebirsel ifadeler ortak faktörler sıradan olanlarla aynı şekilde tahsis edilir. Önceki örnekte 5'i 15'ten kolayca ayırmayı başardık; aynı prensip 15x – 5 gibi daha karmaşık ifadeler için de geçerlidir. Ortak çarpanı bulalım. İÇİNDE bu durumda Her iki terim de (15x ve -5) 5'e bölünebildiğinden bu 5 olacaktır. Daha önce olduğu gibi, ortak çarpanı ayırın ve taşıyın sol.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Her şeyin doğru olup olmadığını kontrol etmek için parantez içindeki ifadeyi 5 ile çarpmanız yeterlidir; sonuç, ilk baştakiyle aynı sayılar olacaktır. Karmaşık üyeler, basit olanlarla aynı şekilde izole edilebilir. Sıradan kesirlerle aynı prensipler cebirsel kesirler için de geçerlidir. Bu, bir kesri azaltmanın en kolay yoludur. Aşağıdaki kesri göz önünde bulundurun:

Hem payın (üstte) hem de paydanın (altta) bir terim (x+2) içerdiğini, dolayısıyla 15/35 kesirindeki ortak faktör 5 ile aynı şekilde azaltılabileceğini unutmayın:

Sonuç olarak basitleştirilmiş bir ifade elde ederiz: (x-3)/(x+10)

Cebirsel kesirlerin azaltılması

Paydaki, yani kesrin en üstündeki ortak faktörü bulun. Cebirsel bir kesri azaltırken ilk adım her iki tarafı da basitleştirmektir. Pay ile başlayın ve mümkün olduğu kadar çok faktöre ayırmaya çalışın. Bu bölümde aşağıdaki kesri göz önünde bulundurun:

Pay ile başlayalım: 9x – 3. 9x ve -3 için ortak çarpan 3 sayısıdır. Sıradan sayılarda olduğu gibi 3'ü parantez dışına alalım: 3 * (3x-1). Bu dönüşümün sonucu aşağıdaki kesirdir:

Paydaki ortak faktörü bulun. Yukarıdaki örneğe devam edelim ve paydayı yazalım: 15x+6. Daha önce olduğu gibi, her iki parçanın da hangi sayıya bölünebildiğini bulalım. Ve bu durumda ortak çarpan 3 olduğundan şunu yazabiliriz: 3 * (5x +2). Kesri aşağıdaki biçimde yeniden yazalım:

Aynı terimleri kısaltın. Bu adımda kesri sadeleştirebilirsiniz. Pay ve paydadaki aynı terimleri iptal edin. Örneğimizde bu sayı 3'tür.

Kesirin sahip olduğunu belirleyin en basit biçim. Pay ve paydada ortak çarpan kalmadığında kesir tamamen basitleştirilmiştir. Parantez içindeki terimleri iptal edemeyeceğinizi unutmayın; yukarıdaki örnekte, tam terimler (3x -1) ve (5x + 2) olduğundan, x'i 3x ve 5x'ten ayırmanın bir yolu yoktur. Bu nedenle kesir daha fazla basitleştirilemez ve son cevap aşağıdaki gibidir:

Kesirleri kendi başınıza azaltma alıştırması yapın. En iyi yol yöntemi öğrenmek bağımsız karar görevler. Doğru cevaplar örneklerin altında verilmiştir.

Cevap:(x=13)

Cevap:(2x-1)/5

Özel Hareketler

Çıkar onu negatif işaret fraksiyonun ötesinde. Diyelim ki size aşağıdaki kesir veriliyor:

(x-4) ve (4-x)'in "neredeyse" aynı olduğunu, ancak "tersine çevrilmiş" oldukları için hemen indirgenemeyeceklerini unutmayın. Ancak (x - 4) -1 * (4 - x) şeklinde yazılabileceği gibi (4 + 2x) de 2 * (2 + x) şeklinde yazılabilir. Buna "işaretin tersine çevrilmesi" denir.

Artık aynı terimleri (4-x) azaltabilirsiniz:

Böylece son cevabı alıyoruz: -3/5 . Kareler arasındaki farkı tanımayı öğrenin. Kareler farkı, (a 2 - b 2) ifadesinde olduğu gibi, bir sayının karesinin başka bir sayının karesinden çıkarılmasıdır. Tam karelerin farkı her zaman iki parçaya ayrılabilir: karşılık gelenlerin toplamı ve farkı karekökler. O zaman ifade aşağıdaki formu alacaktır:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Bu teknik cebirsel kesirlerde ortak terimlerin bulunmasında çok faydalıdır.

• Bunu veya bu ifadeyi doğru şekilde çarpanlara ayırıp ayırmadığınızı kontrol edin. Bunu yapmak için faktörleri çarpın; sonuç aynı ifade olmalıdır.
• Bir kesri tamamen basitleştirmek için daima en büyük çarpanları ayırın.

Bu yazıda nasıl yapılacağına ayrıntılı olarak bakacağız. kesirlerin azaltılması. Öncelikle kesrin azaltılması denilen şeye değinelim. Bundan sonra indirgenebilir bir kesrin indirgenemez forma indirgenmesinden bahsedelim. Daha sonra kesirleri azaltma kuralını elde edeceğiz ve son olarak bu kuralın uygulanmasına ilişkin örnekleri ele alacağız.

Sayfada gezinme.

Bir kesri azaltmak ne demektir?

Sıradan kesirlerin indirgenebilir ve indirgenemez kesirlere bölündüğünü biliyoruz. İndirgenebilir kesirlerin indirgenebileceğini, ancak indirgenemez kesirlerin indirgenemeyeceğini isimlerinden tahmin edebilirsiniz.

Bir kesri azaltmak ne anlama gelir? Bir kesri azaltın- bu, payını ve paydasını pozitif ve birden farklı olanlarına bölmek anlamına gelir. Bir kesirin azaltılması sonucunda pay ve paydası daha küçük olan yeni bir kesir elde edileceği ve kesirin temel özelliği nedeniyle ortaya çıkan kesirin orijinal kesire eşit olacağı açıktır.

Örneğin ortak kesri 8/24'ü pay ve paydasını 2'ye bölerek azaltalım. Yani 8/24 kesrini 2'ye indirelim. 8:2=4 ve 24:2=12 olduğundan, bu indirgeme 4/12 kesiriyle sonuçlanır, bu da orijinal kesir olan 8/24'e eşittir (bkz. eşit ve eşit olmayan kesirler). Sonuç olarak elimizde.

Sıradan kesirlerin indirgenemez forma indirgenmesi

Tipik olarak bir fraksiyonu azaltmanın nihai amacı, orijinal indirgenebilir fraksiyona eşit bir indirgenemez fraksiyon elde etmektir. Bu amaca, orijinal indirgenebilir kesirin pay ve paydaya indirgenmesiyle ulaşılabilir. Böyle bir indirgemenin sonucunda her zaman indirgenemez bir kesir elde edilir. Aslında bir kısmı indirgenemez olduğu bilindiğinden Ve - . Burada bir kesrin pay ve paydasının en büyük ortak böleninin ne olduğunu söyleyeceğiz. en büyük sayı bu fraksiyon azaltılabilir.

Bu yüzden, sıradan bir kesri indirgenemez bir forma dönüştürmek orijinal indirgenebilir fraksiyonun pay ve paydasının gcd'lerine bölünmesinden oluşur.

8/24 kesrine geri döndüğümüz ve onu 8 ve 24 sayılarının 8'e eşit olan en büyük ortak böleniyle indirgediğimiz bir örneğe bakalım. 8:8=1 ve 24:8=3 olduğundan indirgenemez kesir 1/3'e geliyoruz. Bu yüzden, .

"Bir kesri azaltmak" ifadesinin çoğunlukla orijinal kesri indirgenemez formuna indirgemek anlamına geldiğini unutmayın. Başka bir deyişle, bir kesri azaltmak çoğu zaman pay ve paydayı (herhangi bir ortak faktör yerine) en büyük ortak faktöre bölmek anlamına gelir.

Bir kesir nasıl azaltılır? Kesirleri azaltma kuralları ve örnekleri

Geriye kalan tek şey, belirli bir kesirin nasıl azaltılacağını açıklayan kesirleri azaltma kuralına bakmaktır.

Kesirleri azaltma kuralı iki adımdan oluşur:

• öncelikle kesrin pay ve paydasının gcd'si bulunur;
• ikinci olarak, kesrin payı ve paydası, orijinaline eşit indirgenemez bir kesir veren gcd'lerine bölünür.

Hadi halledelim bir kesirin azaltılmasına örnek belirtilen kurala göre.

Örnek.

182/195 fraksiyonunu azaltın.

Çözüm.

Bir kesri azaltma kuralının öngördüğü her iki adımı da uygulayalım.

İlk önce GCD(182, 195)'i buluyoruz. Öklid algoritmasını kullanmak en uygunudur (bkz.): 195=182·1+13, 182=13·14, yani GCD(182, 195)=13.

Şimdi 182/195 kesirinin pay ve paydasını 13'e böleriz ve orijinal kesre eşit olan indirgenemez kesir 14/15'i elde ederiz. Bu, fraksiyonun azaltılmasını tamamlar.

Kısaca çözüm şu şekilde yazılabilir: .

Cevap:

Kesirleri azaltmayı burada bitirebiliriz. Ancak resmi tamamlamak için, genellikle kolay durumlarda kullanılan kesirleri azaltmanın iki yoluna daha bakalım.

Bazen kesrin pay ve paydasının indirgenmesi zor değildir. Bu durumda bir kesri azaltmak çok basittir: pay ve paydadaki tüm ortak faktörleri kaldırmanız yeterlidir.

Pay ve paydanın tüm ortak asal faktörlerinin çarpımı, en büyük ortak bölenlerine eşit olduğundan, bu yöntemin doğrudan kesirleri azaltma kuralından kaynaklandığını belirtmekte fayda var.

Örneğin çözümüne bakalım.

Örnek.

Kesiri 360/2 940 azaltın.

Çözüm.

Pay ve paydayı basit çarpanlara ayıralım: 360=2·2·2·3·3·5 ve 2,940=2·2·3·5·7·7. Böylece, .

Şimdi kolaylık olması açısından pay ve paydadaki ortak çarpanlardan kurtuluyoruz, bunların üzerini çiziyoruz: .

Son olarak kalan çarpanları çarpıyoruz: ve kesrin indirgenmesi tamamlanıyor.

İşte çözümün kısa bir özeti: .

Cevap:

Sıralı indirgeme içeren bir kesri azaltmanın başka bir yolunu düşünelim. Burada, her adımda kesir, pay ve paydanın bazı ortak bölenleri tarafından azaltılır; bu, ya açık ya da kullanılarak kolayca belirlenebilir.

Bir kesirin nasıl azaltılacağını bilmeden ve çözmede tutarlı bir beceriye sahip olmadan benzer örnekler Okulda cebir okumak çok zordur. Ne kadar ileri giderseniz kısaltmayla ilgili temel bilgiler o kadar artar sıradan kesirlerüst üste bindirilmiş yeni bilgi. Önce kuvvetler ortaya çıkar, sonra faktörler ortaya çıkar ve bunlar daha sonra polinom haline gelir.

Burada kafanızın karışmasını nasıl önleyebilirsiniz? Önceki konulardaki becerileri iyice pekiştirin ve yıldan yıla daha karmaşık hale gelen bir kesirin nasıl azaltılacağına ilişkin bilgiye yavaş yavaş hazırlanın.

Temel bilgi

Onlar olmadan hiçbir seviyedeki görevlerle baş edemezsiniz. Anlamak için ikisini anlamalısınız basit anlar. Birincisi: yalnızca faktörleri azaltabilirsiniz. Bu nüansın, pay veya paydada polinomlar göründüğünde çok önemli olduğu ortaya çıkar. O zaman çarpanın nerede olduğunu ve toplamanın nerede olduğunu açıkça ayırt etmeniz gerekir.

İkinci nokta, herhangi bir sayının faktörler biçiminde temsil edilebileceğini söylüyor. Üstelik azaltmanın sonucu, payı ve paydası artık azaltılamayan bir kesirdir.

Ortak kesirleri azaltma kuralları

Öncelikle payın paydaya bölünüp bölünemediğini veya tam tersini kontrol etmelisiniz. O halde azaltılması gereken tam da bu sayıdır. Bu en basit seçenektir.

İkincisi ise analiz dış görünüş sayılar. Her ikisi de bir veya daha fazla sıfırla bitiyorsa 10, 100 veya bin kısaltılabilir. Burada sayıların çift olup olmadığını görebilirsiniz. Cevabınız evet ise, güvenli bir şekilde ikiye bölebilirsiniz.

Bir kesri azaltmanın üçüncü kuralı pay ve paydayı asal çarpanlara ayırmaktır. Şu anda sayıların bölünebilirlik işaretleri hakkındaki tüm bilginizi aktif olarak kullanmanız gerekiyor. Bu ayrıştırma sonrasında geriye tekrar edenlerin tümünü bulup çarpmak ve elde edilen sayıyla azaltmak kalıyor.

Bir kesirde cebirsel bir ifade varsa ne olur?

İlk zorlukların ortaya çıktığı yer burasıdır. Çünkü faktörlerle aynı olabilecek terimlerin ortaya çıktığı yer burasıdır. Bunları gerçekten azaltmak istiyorum ama yapamıyorum. Kesmeden önce cebirsel kesirçarpanları olacak şekilde dönüştürülmesi gerekiyor.

Bunu yapmak için birkaç adımı uygulamanız gerekecektir. Bunların hepsini gözden geçirmeniz gerekebilir veya belki ilki size uygun bir seçenek sunacaktır.

Pay ve paydanın veya bunlardaki herhangi bir ifadenin işarete göre farklı olup olmadığını kontrol edin. Bu durumda, eksi bir tanesini parantezlerin dışına çıkarmanız yeterlidir. Bu azaltılabilecek eşit faktörler üretir.

Ortak faktörü polinomdan parantezlerin dışına çıkarmanın mümkün olup olmadığına bakın. Belki bu, kısaltılabilen bir parantezle sonuçlanacak veya tek terimli bir sayı kaldırılacaktır.

Daha sonra onlara ortak bir faktör eklemek için tek terimlileri gruplandırmaya çalışın. Bundan sonra azaltılabilecek faktörlerin ortaya çıkabileceği veya yine ortak unsurların parantezlenmesinin tekrarlanabileceği ortaya çıkabilir.

Kısaltılmış çarpma formüllerini yazılı olarak değerlendirmeye çalışın. Onların yardımıyla polinomları kolayca faktörlere dönüştürebilirsiniz.

Üssü olan kesirlerle işlem sırası

Bir kesirin kuvvetlerle nasıl azaltılacağı sorusunu kolayca anlamak için, onlarla ilgili temel işlemleri tam olarak hatırlamanız gerekir. Bunlardan ilki güçlerin çarpımı ile ilgilidir. Bu durumda bazlar aynı ise göstergelerin eklenmesi gerekir.

İkincisi bölünmedir. Yine aynı nedenlere sahip olanlar için göstergelerin çıkarılması gerekecektir. Üstelik temettüdeki sayıdan çıkarmanız gerekir, tersi değil.

Üçüncüsü ise üstelleştirmedir. Bu durumda göstergeler çoğalır.

Başarılı bir azaltma aynı zamanda güçleri eşit tabanlara indirme yeteneğini de gerektirecektir. Yani dördün ikinin karesi olduğunu görmek. Veya 27 - üçün küpü. Çünkü 9'un karesi ve 3'ün küpünü küçültmek zordur. Ancak ilk ifadeyi (3 2) 2 olarak dönüştürürsek indirgeme başarılı olacaktır.

Birçok öğrenci kesirlerle çalışırken aynı hataları yapar. Ve bunların hepsi temel kuralları unuttukları için aritmetik. Bugün bu kuralları tekrarlayacağız. belirli görevler derslerimde verdiğim.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlanan herkese önerdiğim görev şu:

Görev. Bir yunus günde 150 gram yiyecek yer. Ama büyüdü ve %20 daha fazla yemeye başladı. Domuz şu anda kaç gram yem yiyor?

Olumsuz doğru karar. Bu, denklemle özetlenen bir yüzde problemidir:

Çoğu (çok fazla), bir kesrin pay ve paydasındaki 100 sayısını azaltır:

Bu, öğrencimin bu makaleyi yazdığı gün yaptığı hatadır. Kesilen sayılar kırmızıyla işaretlenmiştir.

Cevabın yanlış olduğunu söylemeye gerek yok. Kendinize hakim olun: domuz 150 gram yedi, ancak 3150 gram yemeye başladı. Artış %20 değil 21 kat yani. %2000 oranında.

Bu tür yanlış anlamaları önlemek için temel kuralı unutmayın:

Yalnızca çarpanlar azaltılabilir. Şartlar azaltılamaz!

Böylece önceki sorunun doğru çözümü şuna benzer:

Pay ve paydada kısaltılmış sayılar kırmızıyla işaretlenmiştir. Gördüğünüz gibi pay çarpım, payda ise sıradan sayı. Bu nedenle indirim tamamen yasaldır.

Oranlarla çalışmak

Bir şey daha sorunlu alan — oranlar. Özellikle değişken her iki tarafta olduğunda. Örneğin:

Görev. Denklemi çözün:

Yanlış çözüm - bazı insanlar kelimenin tam anlamıyla her şeyi m kadar kısaltmak için can atıyor:

Azaltılmış değişkenler kırmızıyla gösterilmiştir. 1/4 = 1/5 ifadesi tam bir saçmalık olarak ortaya çıkıyor, bu sayılar hiçbir zaman eşit olmuyor.

Ve şimdi - doğru karar. Aslında sıradan doğrusal denklem . Tüm elemanları bir tarafa taşıyarak veya orantı temel özelliğiyle çözülebilir:

Pek çok okuyucu şöyle itiraz edecek: “İlk çözümde hata nerede?” Peki, öğrenelim. Denklemlerle çalışmanın kuralını hatırlayalım:

Herhangi bir denklem herhangi bir sayıya bölünebilir ve çarpılabilir, sıfır olmayan.

Hileyi kaçırdın mı? Yalnızca sayılara bölebilirsiniz sıfır olmayan. Özellikle m değişkenine yalnızca m != 0 ise bölebilirsiniz. Peki ya m = 0 ise? Değiştirip kontrol edelim:

Doğru sayısal eşitliği aldık, yani. m = 0 denklemin köküdür. Geriye kalan m != 0 için 1/4 = 1/5 şeklinde bir ifade elde ederiz ki bu doğal olarak yanlıştır. Dolayısıyla sıfırdan farklı kökler yoktur.

Sonuç: hepsini bir araya getirmek

Yani çözmek için kesirli rasyonel denklemlerüç kuralı unutmayın:

1. Yalnızca çarpanlar azaltılabilir. Eklemeler mümkün değildir. Bu nedenle pay ve paydayı çarpanlara ayırmayı öğrenin;
2. Oranın ana özelliği: aşırı elemanların çarpımı ortadakilerin çarpımına eşittir;
3. Denklemler yalnızca sıfır dışındaki k sayılarıyla çarpılıp bölünebilir. k = 0 durumu ayrıca kontrol edilmelidir.

Bu kuralları unutmayın ve hata yapmayın.

Bölüm ve kesrin payı ve paydası ortak bölen, birinden farklı olarak adlandırılır bir fraksiyonu azaltmak.

Ortak bir kesri azaltmak için payını ve paydasını aynı doğal sayıya bölmeniz gerekir.

Bu sayı, verilen kesrin pay ve paydasının en büyük ortak bölenidir.

Aşağıdakiler mümkündür karar kayıt formları Ortak kesirlerin azaltılmasına ilişkin örnekler.

Öğrenci herhangi bir kayıt biçimini seçme hakkına sahiptir.

Örnekler. Kesirleri basitleştirin.

Kesri 3'e düşürün (payını 3'e bölün;

paydayı 3'e bölün).

Kesri 7'ye kadar azaltın.

Belirtilen eylemleri kesrin payında ve paydasında gerçekleştiriyoruz.

Ortaya çıkan fraksiyon 5 oranında azaltılır.

Bu kesri azaltalım 4) Açık 5.7³- pay ve paydanın ortak faktörlerinden oluşan, en küçük üslü kuvvete alınan pay ve paydanın en büyük ortak böleni (GCD).

Bu kesrin payını ve paydasını asal çarpanlara ayıralım.

Şunu elde ederiz: 756=2²·3³·7 Ve 1176=2³·3·7².

Kesrin pay ve paydasının GCD'sini (en büyük ortak bölen) belirleyin 5) .

Bu, en düşük üslerle alınan ortak faktörlerin çarpımıdır.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Bu kesrin payını ve paydasını gcd'lerine, yani. 2²·3·7 indirgenemez bir kesir elde ederiz 9/14 .

Veya pay ve paydanın ayrıştırılmasını, kuvvet kavramını kullanmadan asal çarpanların çarpımı şeklinde yazmak ve daha sonra pay ve paydadaki aynı faktörlerin üzerini çizerek kesri azaltmak mümkündü. Hiçbir özdeş faktör kalmadığında, kalan faktörleri payda ayrı ayrı, paydada ayrı ayrı çarparız ve elde edilen kesri yazarız. 9/14 .

Ve son olarak bu oranı azaltmak mümkün oldu 5) kademeli olarak, kesrin hem payına hem de paydasına sayıları bölme işaretleri uygulayarak. Şöyle düşünelim: sayılar 756 Ve 1176 sonu çift sayıyla bitiyor, yani her ikisi de bölünebilir 2 . Kesri azaltıyoruz 2 . Yeni kesrin payı ve paydası sayılardır 378 Ve 588 ayrıca bölünmüş 2 . Kesri azaltıyoruz 2 . sayısının olduğunu fark ediyoruz. 294 - eşit ve 189 tektir ve 2'ye indirgemek artık mümkün değildir. Sayıların bölünebilirliğini kontrol edelim 189 Ve 294 Açık 3 .

(1+8+9)=18 3'e bölünür ve (2+9+4)=15 3'e bölünür, dolayısıyla sayıların kendisi 189 Ve 294 bölünmüştür 3 . Kesri azaltıyoruz 3 . Sonraki, 63 3'e bölünebilir ve 98 - HAYIR. Şimdi diğer asal faktörlere bakalım. Her iki sayı da bölünebilir 7 . Kesri azaltıyoruz 7 ve indirgenemez kesri elde ederiz 9/14 .