Paydaları farklı olan kesirler nasıl eklenir kuralı. Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölün. Sıradan kesirler. Kalanlı bölme

Çocuğunuzun getirdiği Ev ödevi okuldan geldin ve bunu nasıl çözeceğini bilmiyor musun? O halde bu mini ders tam size göre!

Ondalık sayılar nasıl eklenir

Bir sütuna ondalık kesirler eklemek daha uygundur. Eklemeyi gerçekleştirmek için ondalık sayılar, basit bir kurala uymalısınız:

• Yer yerin altında, virgül de virgülün altında olmalıdır.

Örnekte de görebileceğiniz gibi tüm birimler birbirinin altında, onda birlikler ve yüzde birler haneleri ise birbirinin altında yer alıyor. Şimdi virgülleri göz ardı ederek sayıları topluyoruz. Virgülle ne yapmalı? Virgül tamsayı kategorisinde bulunduğu yere taşınır.

Paydaları eşit olan kesirleri toplama

Ortak paydayla toplama işlemi yapabilmek için paydayı değiştirmeden payların toplamını bulmanız ve toplam toplam olacak kesri elde etmeniz gerekir.

Ortak kat yöntemini kullanarak farklı paydalara sahip kesirleri toplama

Dikkat etmeniz gereken ilk şey paydalardır. Paydaların birinin diğerine bölünebilmesi veya asal sayı olması fark etmez. Öncelikle bunu ortak bir paydaya getirmeniz gerekir; bunu yapmanın birkaç yolu vardır:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, bu örneği çözmek için 2 paydaya bölünebilecek en küçük ortak katı (LCM) bulmamız gerekiyor. a ve b'nin en küçük katını belirtmek için – LCM (a;b). İÇİNDE bu örnekte LCM (3;4)=12. Kontrol ediyoruz: 12:3=4; 12:4=3.
• Faktörleri çarpıyoruz ve elde edilen sayıları topluyoruz, 13/12 - uygunsuz bir kesir elde ediyoruz.

• Bileşik kesirleri düzgün kesre dönüştürmek için payını paydaya bölersek 1 tamsayısını elde ederiz, kalan 1 pay, 12 ise paydadır.

Çapraz çarpma yöntemini kullanarak kesirleri toplama

Farklı paydalara sahip kesirleri eklemek için "çaprazdan çapraza" formülünü kullanan başka bir yöntem vardır. Bu, paydaları eşitlemenin garantili bir yoludur; bunu yapmak için payları bir kesrin paydasıyla çarpmanız gerekir; bunun tersi de geçerlidir. Eğer sadece açıksan başlangıç ​​aşaması kesirleri inceliyorsanız, bu yöntem, farklı paydalara sahip kesirleri toplarken doğru sonucu almanın en basit ve en doğru yoludur.

MÖ beşinci yüzyılda Antik Yunan filozofu Elea'lı Zenon, en ünlüsü "Aşil ve Kaplumbağa" aporia'sı olan ünlü aporialarını formüle etti. İşte kulağa nasıl geliyor:

Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi koştuğu süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.

Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zenon'un açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ... tartışmalar bugüne kadar devam ediyor; bilim camiası paradoksların özü hakkında henüz ortak bir görüşe varamadı ... konunun incelenmesine matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi. ; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.

Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz düşüncenin ataleti nedeniyle karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel açıdan bakıldığında bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil artık kaplumbağadan daha fazla koşamaz.

Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit hızla koşar. Yolunun her bir sonraki bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak o zaman “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.

Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı birimlere geçmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:

Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.

Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Ancak bu soruna tam bir çözüm değildir. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözümün sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranması gerekiyor.

Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:

Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.

Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun uzayın farklı noktalarında hareketsiz olduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Bir arabaya olan mesafeyi belirlemek için, uzayın farklı noktalarından aynı anda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak bunlardan hareketin gerçeğini belirleyemezsiniz (tabii ki hesaplamalar için yine de ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) ). Belirtmek istediğim şey özel ilgi Zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın karıştırılmaması gereken farklı şeyler olduğu, çünkü araştırma için farklı fırsatlar sundukları.

4 Temmuz 2018 Çarşamba

Küme ve çoklu küme arasındaki farklar Vikipedi'de çok iyi anlatılmıştır. Görelim.

Gördüğünüz gibi “bir kümede iki özdeş eleman olamaz” ama bir kümede özdeş elemanlar varsa bu kümeye “çoklu küme” denir. Makul varlıklar bu kadar saçma mantığı asla anlayamayacaklar. Bu, “tamamen” kelimesinden zekası olmayan, konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.

Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.

Matematikçiler "dikkat edin, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansınlar, onları gerçeklikle ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.

Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve farklı yığınlar halinde masamıza koyuyoruz, içine aynı değerdeki banknotları koyuyoruz. Daha sonra her yığından bir banknot alıyoruz ve matematikçiye "matematiksel maaş seti"ni veriyoruz. Matematikçiye, kalan banknotları ancak özdeş elemanları olmayan bir kümenin, aynı elemanları olan bir kümeye eşit olmadığını kanıtladığında alacağını açıklayalım. Eğlencenin başladığı yer burasıdır.

Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra bize, aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paralarda farklı miktarlar Her madalyonun kiri, kristal yapısı ve atomik dizilimi benzersizdir...

Ve şimdi en çok şeye sahibim ilginç soru: Bir çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.

Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumlarını seçiyoruz. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.

Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.

18 Mart 2018 Pazar

Bir sayının rakamlarının toplamı, şamanların tef ile dansıdır ve bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve bunu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onlar şamandırlar, nesillerine becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için çalışırlar, aksi takdirde şamanlar yok olup giderler.

Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve "Bir sayının rakamlarının toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur. Sonuçta sayılar grafik sembolleri yardımıyla sayıları yazıyoruz ve matematik dilinde görev şu şekilde geliyor: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu problemi çözemezler ama şamanlar bunu kolaylıkla yapabilirler.

Belirli bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yapacağımızı bulalım. Peki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımlara sırayla bakalım.

1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı grafiksel sayı sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değil.

2. Ortaya çıkan bir resmi, bireysel sayılar içeren birkaç resme kestik. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.

3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değil.

4. Ortaya çıkan sayıları ekleyin. Şimdi bu matematik.

12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı şamanların "kesme ve dikme kurslarıdır". Ama hepsi bu değil.

Matematiksel açıdan bakıldığında bir sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımız önemli değildir. Yani, içinde farklı sistemler Matematikte aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi sayının sağında alt simge olarak gösterilir. Büyük sayı olan 12345 ile kafamı kandırmak istemem, yazıdaki 26 sayısını ele alalım. Bu sayıyı ikili, sekizli, onlu ve onaltılı sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız; bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.

Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Tıpkı bir dikdörtgenin alanını metre ve santimetre olarak belirlerseniz tamamen farklı sonuçlar elde etmeniz gibi.

Sıfır tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve rakam toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne yani, matematikçiler için sayılardan başka hiçbir şey yok mu? Buna şamanlar için izin verebilirim ama bilim adamları için izin veremem. Gerçeklik sadece sayılardan ibaret değildir.

Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı miktarın farklı ölçü birimleriyle aynı eylemler, farklı sonuçlar Bunları karşılaştırdıktan sonra matematikle hiçbir ilgisi olmadığı anlamına gelir.

Gerçek matematik nedir? İşte o zaman sonuç matematiksel işlem sayının büyüklüğüne, kullanılan ölçü birimine ve eylemi kimin gerçekleştirdiğine bağlı değildir.

Kapıyı açar ve şöyle der:

Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Burası, cennete yükselişleri sırasında ruhların ölümsüz kutsallığının incelenmesine yönelik bir laboratuvardır! Halo üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?

Dişi... Üstteki hale ve aşağı ok erkektir.

Böyle bir tasarım sanatı eseri günde birkaç kez gözünüzün önünden geçiyorsa,

O halde arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:

Kişisel olarak ben kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmeye çalışıyorum (bir resim) (birkaç resmin birleşimi: bir eksi işareti, dört rakamı, derecelerin gösterimi). Ve bu kızın fizik bilmeyen bir aptal olduğunu düşünmüyorum. Sadece grafik görüntüleri algılama konusunda güçlü bir stereotipi var. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretiyorlar. İşte bir örnek.

1A “eksi dört derece” veya “bir a” değildir. Bu "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimle "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.

Dikkat etmek! Son cevabınızı yazmadan önce aldığınız kesiri kısaltıp kısaltamayacağınıza bakın.

Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi, örnekler:

,

,

Birinden uygun bir kesirin çıkarılması.

Düzgün bir birimden bir kesir çıkarmak gerekiyorsa, birim uygunsuz bir kesir biçimine dönüştürülür, paydası, çıkarılan kesrin paydasına eşittir.

Birinden uygun bir kesirin çıkarılmasına bir örnek:

Çıkarılacak kesrin paydası = 7 yani, birini 7/7'lik uygunsuz bir kesir olarak temsil ediyoruz ve bunu benzer paydalara sahip kesirleri çıkarma kuralına göre çıkarıyoruz.

Bir tam sayıdan uygun bir kesirin çıkarılması.

Kesirlerde çıkarma kuralları - bir tam sayıdan doğru (doğal sayı):

• Tam sayı içeren kesirleri bileşik kesirlere dönüştürüyoruz. Yukarıda verilen kurallara göre hesapladığımız normal terimleri elde ederiz (farklı paydalara sahip olmaları önemli değildir);
• Daha sonra aldığımız kesirler arasındaki farkı hesaplıyoruz. Sonuç olarak neredeyse cevabı bulacağız;
• Ters dönüşümü gerçekleştiriyoruz, yani uygunsuz kesirden kurtuluyoruz - kesirdeki parçanın tamamını seçiyoruz.

Bir tam sayıdan uygun bir kesri çıkarın: doğal sayıyı tam sayı olarak temsil edin. Onlar. Bir doğal sayıyı alıp onu bileşik kesir biçimine dönüştürüyoruz; paydası çıkarılan kesrin payıyla aynı.

Kesirlerde çıkarma örneği:

Örnekte 1'i bileşik kesir olan 7/7 ile değiştirdik ve 3 yerine şunu yazdık: karışık sayı ve kesirli kısımdan bir kesir çıkarıldı.

Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma.

Veya başka bir deyişle, farklı kesirlerde çıkarma.

Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma kuralı. Farklı paydalara sahip kesirleri çıkarmak için, önce bu kesirleri en düşük ortak paydaya (LCD) indirgemek ve ancak bundan sonra aynı paydaya sahip kesirlerde olduğu gibi çıkarma işlemini gerçekleştirmek gerekir.

Birkaç kesirin ortak paydası LCM (en az ortak kat) doğal sayılar bunlar bu kesirlerin paydalarıdır.

Dikkat! Eğer içindeyse son kesir pay ve paydanın ortak çarpanları varsa kesrin azaltılması gerekir. Uygun olmayan bir kesir en iyi şekilde karışık kesir olarak temsil edilir. Çıkarma sonucunu mümkün olduğu yerde kesri azaltmadan bırakmak, örneğe eksik bir çözümdür!

Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi.

• tüm paydalar için LCM'yi bulun;
• tüm kesirler için ek faktörler koyun;
• tüm payları ek bir faktörle çarpın;
• Ortaya çıkan çarpımları tüm kesirlerin altındaki ortak paydayı imzalayarak paya yazıyoruz;
• farkın altındaki ortak paydayı imzalayarak kesirlerin paylarını çıkarın.

Aynı şekilde payda harf varsa kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yapılır.

Kesirlerde çıkarma işlemi, örnekler:

Karışık kesirlerin çıkarılması.

Şu tarihte: çıkarma karışık kesirler(sayılar) ayrı ayrı, tam sayı kısmı tam sayı kısmından çıkarılır ve kesirli kısım kesirli kısımdan çıkarılır.

Karışık kesirleri çıkarmak için ilk seçenek.

Kesirli kısımlar ise birebir aynıÇıkarılanın kesirli kısmının paydası ve payı (bunu çıkarırız) ≥ Çıkarılanın kesirli kısmının payı (çıkarırız).

Örneğin:

Karışık kesirleri çıkarmak için ikinci seçenek.

Kesirli parçalar olduğunda farklı paydalar. Öncelikle kesirli kısımları ortak bir paydada buluşturuyoruz, ardından tam kısmı tam kısımdan, kesirli kısmı da kesirli kısımdan çıkarıyoruz.

Örneğin:

Karışık kesirleri çıkarmak için üçüncü seçenek.

Çıkarılanın kesirli kısmı, çıkarılanın kesirli kısmından küçüktür.

Örnek:

Çünkü Kesirli parçaların farklı paydaları vardır, bu da ikinci seçenekte olduğu gibi önce sıradan kesirleri ortak bir paydaya getirdiğimiz anlamına gelir.

Çıkarılanın kesirli kısmının payı, çıkarılanın kesirli kısmının payından küçüktür.3 < 14. Bu, bütün parçadan bir birim alıp bu birimi bileşik kesir şekline indirgediğimiz anlamına gelir. aynı payda ve pay = 18.

Sağ taraftaki payda payların toplamını yazıyoruz, ardından sağ taraftaki paydaki parantezleri açıyoruz yani her şeyi çarpıp benzerlerini veriyoruz. Paydadaki parantezleri açmıyoruz. Ürünü paydalarda bırakmak gelenekseldir. Şunu elde ederiz:

Kimya, fizik ve hatta biyoloji gibi disiplinlerde de uygulaması görülen en önemli bilimlerden biri de matematiktir. Bu bilimi incelemek bazı zihinsel nitelikleri geliştirmenize ve konsantre olma yeteneğinizi geliştirmenize olanak tanır. Matematik dersinde özel önem verilmesi gereken konulardan biri de kesirlerde toplama ve çıkarma işlemleridir. Birçok öğrenci ders çalışmayı zor buluyor. Belki makalemiz bu konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olacaktır. Paydaları aynı olan kesirler nasıl çıkarılır Kesirler üretebileceğiniz sayılarla aynıdır çeşitli eylemler. Tam sayılardan farkı paydanın varlığında yatmaktadır. Bu nedenle kesirlerle işlemler yaparken bazı özelliklerini ve kurallarını incelemeniz gerekir. En basit durum, paydaları aynı sayı olarak gösterilen sıradan kesirlerin çıkarılmasıdır. Basit bir kural biliyorsanız, bu eylemi gerçekleştirmek zor olmayacaktır: Bir kesirden bir saniye çıkarmak için, çıkarılan kesrin payını, azaltılan kesrin payından çıkarmak gerekir. Bu sayıyı farkın payına yazıp paydayı aynı bırakıyoruz: k/m - b/m = (k-b)/m. Paydaları aynı olan kesirleri çıkarma örnekleri 7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19. “7” kesirinin payından, çıkarılacak kesirin “3” payını çıkarırsak “4” elde ederiz. Bu sayıyı cevabın payına yazıyoruz ve paydaya birinci ve ikinci kesirlerin paydalarındaki sayının aynısını - “19” koyuyoruz. Aşağıdaki resimde birkaç benzer örnek daha gösterilmektedir. Paydaları benzer olan kesirlerin çıkarıldığı daha karmaşık bir örneği ele alalım: 29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47. “29” kesirinin payından, sonraki tüm kesirlerin paylarının sırayla çıkarılmasıyla azaltılır - “3”, “8”, “2”, “7”. Sonuç olarak cevabın payına yazdığımız “9” sonucunu elde ediyoruz ve paydaya da tüm bu kesirlerin paydalarındaki sayıyı - “47” yazıyoruz. Paydaları aynı olan kesirleri toplama Sıradan kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması aynı prensibi izler. Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için payları eklemeniz gerekir. Ortaya çıkan sayı, toplamın payıdır ve payda aynı kalacaktır: k/m + b/m = (k + b)/m. Bir örnek kullanarak bunun neye benzediğini görelim: 1/4 + 2/4 = 3/4. Kesirin ilk teriminin payına - “1” - kesirin ikinci teriminin payına - “2” ekleyin. Sonuç - "3" - toplamın payına yazılır ve payda, kesirlerde mevcut olan "4" ile aynı bırakılır. Paydaları farklı kesirler ve bunların çıkarılması Paydası aynı olan kesirlerle işlemi daha önce düşünmüştük. Gördüğümüz gibi bilerek basit kurallar, bu tür örnekleri çözmek oldukça kolaydır. Peki ya farklı paydalara sahip kesirlerle bir işlem yapmanız gerekiyorsa? Birçok ortaokul öğrencisinin kafası bu tür örneklerle karıştırılıyor. Ancak burada bile çözümün prensibini biliyorsanız örnekler artık sizin için zor olmayacaktır. Burada ayrıca bu tür kesirleri çözmenin imkansız olduğu bir kural var. Kesirleri çıkarmak için farklı paydalar, bunları aynı en düşük paydaya indirmek gerekir. Bunun nasıl yapılacağı hakkında daha ayrıntılı olarak konuşacağız. Kesirin özelliği Birkaç kesiri aynı paydaya getirmek için, çözümdeki kesirin ana özelliğini kullanmanız gerekir: pay ve paydayı aynı sayıya böldükten veya çarptıktan sonra, verilene eşit bir kesir elde edersiniz. Yani örneğin 2/3 kesirinin “6”, “9”, “12” gibi paydaları olabilir, yani “3”ün katı olan herhangi bir sayı biçiminde olabilir. Pay ve paydayı “2” ile çarptığımızda 4/6 kesirini elde ederiz. Orijinal kesrin pay ve paydasını “3” ile çarptığımızda 6/9, benzer işlemi “4” rakamı ile yaparsak 8/12 elde ederiz. Bir eşitlik şu şekilde yazılabilir: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12… Birden fazla kesir aynı paydaya nasıl dönüştürülür? Birden fazla kesri aynı paydaya nasıl indireceğimize bakalım. Örneğin aşağıdaki resimde gösterilen kesirleri ele alalım. Öncelikle hangi sayının hepsinin paydası olabileceğini belirlemeniz gerekir. İşleri kolaylaştırmak için mevcut paydaları çarpanlarına ayıralım. 1/2 kesirinin ve 2/3 kesirinin paydası çarpanlarına ayrılamaz. Payda 7/9'un iki çarpanı vardır: 7/9 = 7/(3 x 3), kesrin paydası 5/6 = 5/(2 x 3). Şimdi bu dört kesir için hangi faktörlerin en küçük olacağını belirlememiz gerekiyor. İlk kesirin paydasında “2” sayısı bulunduğundan, tüm paydalarda bulunması gerektiği anlamına gelir; 7/9 kesirinde iki üçlü vardır, yani her ikisinin de paydada bulunması gerekir. Yukarıdakileri dikkate alarak paydanın üç faktörden oluştuğunu belirleriz: 3, 2, 3 ve 3 x 2 x 3 = 18'e eşittir. İlk kesri ele alalım - 1/2. Paydasında “2” var ama tek bir “3” rakamı yok ama iki olması lazım. Bunu yapmak için paydayı iki üçlüyle çarpıyoruz, ancak kesirin özelliğine göre payı iki üçlüyle çarpmamız gerekiyor: 1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18. Kalan kesirlerle aynı işlemleri yapıyoruz. 2/3 - paydada bir üç ve bir iki eksik: 2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. 7/9 veya 7/(3 x 3) - paydada iki eksik: 7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. 5/6 veya 5/(2 x 3) - paydada üç eksik: 5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. Hep birlikte şuna benziyor: Paydaları farklı olan kesirler nasıl çıkarılır ve eklenir? Yukarıda bahsedildiği gibi, farklı paydalara sahip kesirleri toplamak veya çıkarmak için, bunların aynı paydaya indirgenmesi ve ardından daha önce tartışılan aynı paydaya sahip kesirlerin çıkarılmasına ilişkin kuralların kullanılması gerekir. Örnek olarak şuna bakalım: 4/18 - 3/15. 18 ve 15 sayılarının katlarını bulma: 18 sayısı 3x2x3'ten oluşur. 15 sayısı 5x3'ten oluşur. Ortak kat şu çarpanlar olacaktır: 5 x 3 x 3 x 2 = 90. Payda bulunduktan sonra her kesir için farklı olacak faktörü yani sadece paydanın değil payın da çarpılması gereken sayıyı hesaplamak gerekir. Bunu yapmak için bulduğumuz sayıyı (ortak kat), ek faktörlerin belirlenmesi gereken kesrin paydasına bölün. 90 bölü 15. Ortaya çıkan “6” sayısı 3/15'in çarpanı olacaktır. 90 bölü 18. Ortaya çıkan “5” sayısı 4/18'in çarpanı olacaktır. Çözümümüzün bir sonraki aşaması her kesri “90” paydasına indirgemektir. Bunun nasıl yapılacağından daha önce bahsetmiştik. Bunun bir örnekte nasıl yazıldığını görelim: (4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45. Kesirlerin sayıları küçükse, aşağıdaki resimde gösterilen örnekte olduğu gibi ortak paydayı belirleyebilirsiniz. Aynı şey farklı paydalara sahip olanlar için de geçerlidir. Çıkarma ve tam sayı kısımlara sahip olma Kesirlerin çıkarılması ve eklenmesi işlemlerini daha önce ayrıntılı olarak tartışmıştık. Ancak kesir varsa nasıl çıkarılacağı bütün kısım? Yine birkaç kural kullanalım: Tamsayı kısmı olan tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürün. Konuşuyorum basit kelimelerle, parçanın tamamını çıkarın. Bunu yapmak için, tamsayı kısmının sayısını kesrin paydasıyla çarpın ve elde edilen ürünü paya ekleyin. Bu işlemlerden sonra ortaya çıkan sayı bileşik kesrin payıdır. Payda değişmeden kalır. Paydaları farklı olan kesirler aynı paydaya indirilmelidir. Aynı paydalarla toplama veya çıkarma işlemi yapın. Uygunsuz bir kesir alırken tüm kısmı seçin. Kesirleri tam parçalarla toplama ve çıkarma yapmanın başka bir yolu daha var. Bunun için işlemler tam kısımlarla ayrı ayrı, kesirli işlemler ayrı ayrı yapılır ve sonuçlar birlikte kaydedilir. Verilen örnek paydaları aynı olan kesirlerden oluşmaktadır. Paydaların farklı olması durumunda aynı değere getirilmesi ve ardından örnekte gösterildiği gibi işlemlerin yapılması gerekir. Tam Sayılardan Kesirleri Çıkarma Kesirlerle yapılan başka bir eylem türü, kesirin ilk bakışta çıkarılması gerektiği durumdur. benzer örnekçözülmesi zor görünüyor. Ancak burada her şey oldukça basit. Bunu çözmek için, tam sayıyı, çıkarılmış kesirdeki paydayla aynı olan kesire dönüştürmeniz gerekir. Daha sonra, aynı paydalarla çıkarma işlemine benzer bir çıkarma işlemi gerçekleştiriyoruz. Bir örnekte şöyle görünür: 7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9. Bu makalede sunulan kesirlerin çıkarılması (6. sınıf), sonraki sınıflarda ele alınan daha karmaşık örneklerin çözülmesinin temelini oluşturur. Bu konunun bilgisi daha sonra fonksiyonları, türevleri vb. çözmek için kullanılır. Bu nedenle yukarıda tartışılan kesirlerle yapılan işlemleri anlamak ve anlamak çok önemlidir. Kesirli eylemler. Dikkat! Ek var Özel Bölüm 555'teki materyaller. Çok "pek değil..." olanlar için Ve “çok…” diyenler için) Peki kesirlerin ne olduğunu, kesir türlerini, dönüşümleri hatırladık. Gelelim asıl meseleye. Kesirlerle ne yapabilirsiniz? Evet, her şey sıradan sayılarla aynı. Ekle, çıkar, çarp, böl. Tüm bu eylemlerle ondalık kesirlerle çalışmanın tam sayılarla çalışmaktan hiçbir farkı yoktur. Aslında onların iyi tarafı da bu, ondalık sayılar. Tek şey virgülü doğru koymanız gerektiğidir. Karışık sayılar Daha önce de söylediğim gibi çoğu eylem için pek faydası yoktur. Hala sıradan kesirlere dönüştürülmeleri gerekiyor. Ancak eylemler sıradan kesirler daha kurnaz olacaklar. Ve çok daha önemlisi! Size hatırlatmama izin verin: harfler, sinüsler, bilinmeyenler vb. gibi kesirli ifadelere sahip tüm eylemler, sıradan kesirli eylemlerden farklı değildir.! Sıradan kesirlerle yapılan işlemler tüm cebirin temelini oluşturur. İşte bu nedenle burada tüm bu aritmetiği çok detaylı bir şekilde analiz edeceğiz. Kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması. Herkes aynı paydalara sahip kesirleri toplayabilir (çıkarabilir) (gerçekten umuyorum!). Peki, tamamen unutkan olanlara şunu hatırlatayım: Toplama (çıkarma) işleminde payda değişmez. Sonucun payını vermek için paylar eklenir (çıkarılır). Tip: Kısacası, genel görünüm: Paydalar farklıysa ne olur? Daha sonra, kesrin temel özelliğini kullanarak (işte yine kullanışlı oluyor!), paydaları aynı hale getiriyoruz! Örneğin: Burada 2/5 kesirinden 4/10 kesirini yapmamız gerekiyordu. Paydaları aynı yapmak amacıyla. Her ihtimale karşı 2/5 ve 4/10'un eşit olduğunu belirteyim. aynı kesir! Sadece 2/5'i bizim için sakıncalı, 4/10'u ise gerçekten sorun değil. Bu arada, herhangi bir matematik problemini çözmenin özü budur. ne zaman biz rahatsız ifadeler yapıyoruz aynı şey, ancak çözmek için daha uygun. Başka bir örnek: Durum benzer. Burada 16'dan 48'i çıkarıyoruz. Basitçe 3'le çarpıyoruz. Her şey açık. Ama şöyle bir şeyle karşılaştık: Nasıl olunur? Yediden dokuzunu çıkarmak çok zor! Ama biz akıllıyız, kuralları biliyoruz! Haydi dönüşelim Her paydaları aynı olacak şekilde kesir. Buna "hadi öncülük edelim" denir ortak payda»: Vay! 63'ü nasıl bildim? Çok basit! 63, 7 ve 9'a aynı anda bölünebilen bir sayıdır. Böyle bir sayı her zaman paydaların çarpılmasıyla elde edilebilir. Örneğin bir sayıyı 7 ile çarparsak sonuç kesinlikle 7'ye bölünebilir! Birkaç kesir eklemeniz (çıkarmanız) gerekiyorsa, bunu çiftler halinde adım adım yapmanıza gerek yoktur. Tüm kesirlerin ortak paydasını bulmanız ve her kesri aynı paydaya indirmeniz yeterlidir. Örneğin: Peki ortak payda ne olacak? Elbette 2, 4, 8 ve 16'yı çarpabilirsiniz. 1024 elde ederiz. Kabus. 16 sayısının 2, 4 ve 8'e tam olarak bölünebileceğini tahmin etmek daha kolaydır. Dolayısıyla bu sayılardan 16'yı elde etmek kolaydır. Bu sayı ortak payda olacaktır. 1/2'yi 8/16'ya, 3/4'ü 12/16'ya çevirelim, vb. Bu arada 1024'ü ortak payda olarak alırsanız her şey yoluna girecek, sonunda her şey azalacak. Ama hesaplar yüzünden herkes bu sonuca varamayacak... Örneği kendiniz tamamlayın. Bir çeşit logaritma değil... 29/16 olmalı. Yani kesirlerin eklenmesi (çıkarılması) açıktır, umarım? Elbette ek çarpanlarla kısaltılmış bir versiyonda çalışmak daha kolaydır. Ancak bu zevk, dürüst bir şekilde çalışmış olanlara açıktır. genç sınıfları... Ve hiçbir şeyi unutmadım. Ve şimdi aynı eylemleri yapacağız, ancak kesirlerle değil, kesirli ifadeler. Yeni komisyon burada ortaya çıkacak, evet... Bu nedenle iki kesirli ifade eklememiz gerekiyor: Paydaları eşitlememiz gerekiyor. Ve sadece yardımla çarpma! Bir kesrin ana özelliğinin belirttiği şey budur. Bu nedenle paydanın ilk kesirindeki X'e bir ekleyemiyorum. (bu güzel olurdu!). Ama paydaları çarparsanız her şeyin birlikte büyüdüğünü görürsünüz! Yani kesrin doğrusunu yazıyoruz, üstte bir boşluk bırakıyoruz, sonra ekliyoruz ve unutmamak için paydaların çarpımını aşağıya yazıyoruz: Ve elbette sağ taraftaki hiçbir şeyi çarpmıyoruz, parantezleri açmıyoruz! Şimdi sağ taraftaki ortak paydaya baktığımızda şunu anlıyoruz: İlk kesirdeki x(x+1) paydasını elde etmek için bu kesrin payını ve paydasını (x+1) ile çarpmanız gerekir. . Ve ikinci kesirde - x'e. Alacağınız şey bu: Dikkat etmek! İşte parantez! Bu, birçok insanın bastığı tırmıktır. Elbette parantez değil, onların yokluğu. Çarpma işlemi yaptığımız için parantezler görünüyor Tümü pay ve Tümü payda! Ve onların bireysel parçaları değil... Sağ taraftaki payda payların toplamını yazıyoruz, her şey sayısal kesirlerde olduğu gibi, ardından sağ taraftaki paydaki parantezleri açıyoruz yani. Her şeyi çoğaltıp benzerlerini veriyoruz. Paydalarda parantez açmaya veya herhangi bir şeyi çarpmaya gerek yok! Genel olarak, paydalarda (herhangi biri) ürün her zaman daha hoştur! Şunu elde ederiz: Böylece cevabı aldık. Süreç uzun ve zor gibi görünse de pratiğe bağlıdır. Örnekleri çözdükten sonra alışın, her şey basitleşecek. Zamanında kesirlerde ustalaşanlar tüm bu işlemleri otomatik olarak tek sol eliyle yaparlar! Ve bir not daha. Birçoğu kesirlerle akıllıca ilgilenir, ancak örneklere takılıp kalır. tüm sayılar. Şöyle: 2 + 1/2 + 3/4= ? İki parçayı nereye tutturmalı? Herhangi bir yere sabitlemenize gerek yok, ikiden bir kesir yapmanız gerekiyor. Kolay değil ama çok basit! 2=2/1. Bunun gibi. Herhangi bir tam sayı kesirli olarak yazılabilir. Pay sayının kendisidir, payda ise birdir. 7, 7/1'dir, 3, 3/1'dir vb. Harfler için de durum aynı. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, vb. Daha sonra bu kesirlerle tüm kurallara göre çalışıyoruz. Kesirlerde toplama ve çıkarma bilgileri tazelendi. Kesirlerin bir türden diğerine dönüştürülmesi tekrarlandı. Ayrıca kontrole de gidebilirsiniz. Biraz anlaşalım mı?) Hesaplamak: Cevaplar (karışıklık içinde): 71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6 Kesirlerde çarpma/bölme - bir sonraki derste. Kesirlerle yapılan tüm işlemler için de görevler vardır. Bu siteyi beğendiyseniz... Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.) Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!) Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Kapıya imza at

 

---

Okumak:
Neden deniz dalgalarında bir fırtına hayal ediyorsunuz? Bütçe ile yerleşimlerin muhasebeleştirilmesi Bir tavada süzme peynirden cheesecake - kabarık cheesecake için klasik tarifler 500 g süzme peynirden Cheesecake Kuru erikli siyah inci salatası Kuru erikli siyah inci salatası Domates salçası tarifleri ile Lecho