Ortaokul ve lise derslerinde öğrenciler “Kesirler” konusunu işliyorlardı. Ancak bu kavram öğrenme sürecinde verilenden çok daha geniştir. Günümüzde kesir kavramıyla oldukça sık karşılaşılmaktadır ve herkes herhangi bir ifadeyi, örneğin kesirleri çarpmayı hesaplayamaz.

Kesir nedir?

Tarihsel olarak kesirli sayılar ölçme ihtiyacından doğmuştur. Uygulamada görüldüğü gibi, genellikle bir parçanın uzunluğunu ve dikdörtgen bir dikdörtgenin hacmini belirleme örnekleri vardır.

Başlangıçta öğrencilere pay kavramı tanıtılır. Mesela bir karpuzu 8 parçaya bölerseniz her kişiye karpuzun sekizde biri düşer. Sekizin bu bir kısmına hisse denir.

Herhangi bir değerin ½'sine eşit olan paya yarım denir; ⅓ - üçüncü; ¼ - çeyrek. 5/8, 4/5, 2/4 formundaki kayıtlara sıradan kesirler denir. Ortak bir kesir pay ve paydaya bölünür. Aralarında kesir çubuğu veya kesir çubuğu bulunur. Kesirli çizgi yatay veya eğik bir çizgi olarak çizilebilir. İÇİNDE bu durumda bölme işaretini temsil eder.

Payda, miktarın veya nesnenin kaç eşit parçaya bölündüğünü temsil eder; pay ise kaç adet aynı hissenin alındığıdır. Kesir çizgisinin üstüne pay, altına ise payda yazılır.

Sıradan kesirleri bir koordinat ışınında göstermek en uygunudur. Bir birim parça 4 eşit parçaya bölünüyorsa her parçayı etiketleyin Latince harf, o zaman sonuç mükemmel bir görsel yardımcı olabilir. Yani A noktası tüm birim parçanın 1/4'üne eşit bir payı gösterirken, B noktası belirli bir parçanın 2/8'ini işaret eder.

Kesir türleri

Kesirler sıradan, ondalık ve karışık sayılar olabilir. Ayrıca kesirler uygun ve yanlış olarak ikiye ayrılabilir. Bu sınıflandırma sıradan kesirler için daha uygundur.

Uygun kesir, payı şu şekilde olan bir sayıdır: paydadan daha az. Buna göre uygunsuz kesir, payı paydasından büyük olan bir sayıdır. İkinci tür genellikle karışık sayı olarak yazılır. Bu ifade bir tam sayı ve bir kesirli kısımdan oluşur. Örneğin 1½. 1 - bütün kısım, ½ - kesirli. Ancak ifadeyle bazı manipülasyonlar yapmanız gerekiyorsa (kesirleri bölme veya çarpma, azaltma veya dönüştürme), karışık sayı uygunsuz bir kesire dönüştürülür.

Doğru bir kesirli ifade her zaman birden küçüktür ve yanlış bir kesirli ifade her zaman 1'den büyük veya 1'e eşittir.

Bu ifadeye gelince, kesirli ifadesinin paydası birkaç sıfırlı bir cinsinden ifade edilebilen herhangi bir sayının temsil edildiği bir kaydı kastediyoruz. Kesir uygunsa ondalık gösterimdeki tamsayı kısmı sıfıra eşit olacaktır.

Ondalık kesir yazmak için öncelikle kısmın tamamını yazmalı, virgül kullanarak kesirden ayırdıktan sonra kesir ifadesini yazmalısınız. Ondalık noktadan sonra payın, paydadaki sıfırlarla aynı sayıda dijital karakter içermesi gerektiği unutulmamalıdır.

Örnek. 7 21/1000 kesrini ondalık gösterimle ifade edin.

Uygunsuz bir kesri karışık bir sayıya (veya tam tersi) dönüştürmek için algoritma

Bir problemin cevabına uygunsuz bir kesir yazmak yanlıştır, bu nedenle tam sayıya dönüştürülmesi gerekir:

• payı mevcut paydaya bölün;
• V spesifik örnek eksik bölüm - bütün;
• ve kalan kısım, payda değişmeden kalacak şekilde kesirli kısmın payıdır.

Örnek. Uygunsuz kesri karışık sayıya dönüştürün: 47/5.

Çözüm. 47: 5. Kısmi bölüm 9, kalan = 2. Yani 47/5 = 9 2/5.

Bazen karışık bir sayıyı uygunsuz bir kesir olarak göstermeniz gerekir. O zaman aşağıdaki algoritmayı kullanmanız gerekir:

• tamsayı kısmı kesirli ifadenin paydası ile çarpılır;
• elde edilen ürün paya eklenir;
• sonuç paya yazılır, payda değişmeden kalır.

Örnek. Sayıyı karışık biçimde uygunsuz bir kesir olarak sunun: 9 8 / 10.

Çözüm. Pay 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98'dir.

Cevap: 98 / 10.

Kesirlerin Çarpılması

Adi kesirler üzerinde çeşitli cebirsel işlemler yapılabilir. İki sayıyı çarpmak için payı payla, paydayı da paydayla çarpmanız gerekir. Üstelik paydaları farklı olan kesirlerle çarpmanın çarpımdan hiçbir farkı yoktur. kesirli sayılar aynı paydalarla.

Sonucu bulduktan sonra kesri azaltmanız gerekir. Ortaya çıkan ifadeyi mümkün olduğunca basitleştirmek zorunludur. Elbette bir cevaptaki uygunsuz kesrin hata olduğu söylenemez ama buna doğru cevap demek de zordur.

Örnek. İki sıradan kesrin çarpımını bulun: ½ ve 20/18.

Örnekte görüldüğü gibi çarpım bulunduktan sonra indirgenebilir kesirli notasyon elde edilmiştir. Bu durumda hem pay hem de payda 4'e bölünür ve sonuç 5/9 cevabıdır.

Ondalık Kesirlerin Çarpılması

İş ondalık sayılar Prensip olarak sıradan çalışmalardan oldukça farklı. Yani kesirlerin çarpılması aşağıdaki gibidir:

• iki ondalık kesir, en sağdaki rakamlar birbirinin altında olacak şekilde üst üste yazılmalıdır;
• yazılı sayıları virgüllere rağmen yani doğal sayılar olarak çarpmanız gerekiyor;
• her sayıdaki ondalık noktadan sonraki basamak sayısını sayın;
• çarpma işleminden sonra elde edilen sonuçta, ondalık noktadan sonra her iki faktörün toplamında bulunan sayıda dijital sembolü sağdan saymanız ve bir ayırma işareti koymanız gerekir;
• Üründe daha az sayı varsa, bu sayıyı kapatacak kadar önlerine sıfır yazmanız, virgül koymanız ve sıfıra eşit olan kısmın tamamını eklemeniz gerekir.

Örnek. İki ondalık kesrin çarpımını hesaplayın: 2,25 ve 3,6.

Çözüm.

Karışık Kesirlerin Çarpılması

İki karışık kesrin çarpımını hesaplamak için kesirleri çarpma kuralını kullanmanız gerekir:

• karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürmek;
• payların çarpımını bulun;
• paydaların çarpımını bulun;
• sonucu yazın;
• ifadeyi mümkün olduğunca basitleştirin.

Örnek. 4½ ile 6 2/5'in çarpımını bulun.

Bir sayıyı kesirle çarpmak (bir sayıyla kesir)

İki kesirin ve karışık sayıların çarpımını bulmanın yanı sıra, kesirle çarpmanız gereken görevler de vardır.

Yani, ondalık kesir ile doğal sayının çarpımını bulmak için ihtiyacınız olan:

• sayıyı kesrin altına, en sağdaki rakamlar üst üste gelecek şekilde yazın;
• virgüllere rağmen ürünü bulun;
• sonuçta, kesirdeki ondalık noktadan sonra yer alan basamak sayısını sağdan sayarak, tamsayı kısmını kesirli kısımdan virgül kullanarak ayırın.

Ortak bir kesri bir sayıyla çarpmak için payın ve doğal faktörün çarpımını bulmanız gerekir. Cevap azaltılabilecek bir kesir üretiyorsa dönüştürülmelidir.

Örnek. 5/8 ile 12'nin çarpımını hesaplayın.

Çözüm. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Cevap: 7 1 / 2.

Önceki örnekte de görebileceğiniz gibi, ortaya çıkan sonucu azaltmak ve düzensiz kesir ifadesini tam sayılı sayıya dönüştürmek gerekiyordu.

Kesirlerin çarpımı aynı zamanda karışık formdaki bir sayı ile bir doğal faktörün çarpımının bulunmasıyla da ilgilidir. Bu iki sayıyı çarpmak için, karma faktörün tam kısmını sayıyla çarpmanız, payı aynı değerle çarpmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Gerekirse ortaya çıkan sonucu mümkün olduğunca basitleştirmeniz gerekir.

Örnek. 9 5/6 ile 9'un çarpımını bulun.

Çözüm. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3/6 = 88 1 / 2.

Cevap: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 veya 0,1'in katlarıyla çarpma; 0,01; 0,001

Aşağıdaki kural önceki paragraftan kaynaklanmaktadır. Bir ondalık kesri 10, 100, 1000, 10000 vb. ile çarpmak için, ondalık noktayı birden sonraki faktörde sıfır sayısı kadar sağa kaydırmanız gerekir.

Örnek 1. 0,065 ile 1000'in çarpımını bulun.

Çözüm. 0,065x1000 = 0065 = 65.

Cevap: 65.

Örnek 2. 3,9 ile 1000'in çarpımını bulun.

Çözüm. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Cevap: 3900.

Bir doğal sayı ile 0,1'i çarpmanız gerekirse; 0,01; 0,001; 0.0001 vb. gibi durumlarda, ortaya çıkan çarpımda virgülü, birden önceki sıfır sayısı kadar sola kaydırmalısınız. Gerektiğinde doğal sayıdan önce yeterli sayıda sıfır yazılır.

Örnek 1. 56 ile 0,01'in çarpımını bulun.

Çözüm. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Cevap: 0,56.

Örnek 2. 4 ile 0,001'in çarpımını bulun.

Çözüm. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Cevap: 0,004.

Dolayısıyla farklı kesirlerin çarpımını bulmak belki sonucu hesaplamak dışında zorluk yaratmamalı; bu durumda hesap makinesi olmadan yapamazsınız.

Ondalık sayı, tam sayı olmayan sayılarda işlem yapmanız gerektiğinde kullanılır. Bu mantıksız görünebilir. Ancak bu tür sayılar, onlarla yapılması gereken matematiksel işlemleri büyük ölçüde basitleştirir. Bu anlayış zamanla, bunları yazmak alışıldık hale geldiğinde, bunları okumak zorluğa neden olmadığında ve ondalık kesirlerin kuralları öğrenildiğinde gelir. Üstelik tüm eylemler, doğal sayılarla öğrenilen, önceden bilinen eylemlerin tekrarıdır. Sadece bazı özellikleri hatırlamanız gerekiyor.

Ondalık tanımı

Ondalık sayı, paydası 10'a bölünebilen ve cevabı bir ve muhtemelen sıfır olarak veren, tam sayı olmayan bir sayının özel bir temsilidir. Başka bir deyişle, payda 10, 100, 1000 vb. ise sayıyı virgül kullanarak yeniden yazmak daha uygundur. Daha sonra tüm kısım ondan önce ve ardından kesirli kısım yerleştirilecektir. Üstelik sayının ikinci yarısının kaydedilmesi paydaya bağlı olacaktır. Kesirli kısımdaki rakam sayısı paydanın rakamına eşit olmalıdır.

Yukarıdakiler şu sayılarla gösterilebilir:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Ondalık sayıları kullanmanın nedenleri

Matematikçiler çeşitli nedenlerden dolayı ondalık sayılara ihtiyaç duyuyordu:

Kaydı basitleştirme. Böyle bir kesir, payda ve pay arasında bir çizgi olmadan tek bir çizgi boyunca yer alırken, netlik zarar görmez.

Karşılaştırmada basitlik. Aynı konumdaki sayıları basitçe ilişkilendirmek yeterlidir, sıradan kesirlerde ise bunları ortak bir paydaya indirgemeniz gerekir.

Hesaplamaları basitleştirin.

Hesap makineleri kesirleri kabul edecek şekilde tasarlanmamıştır; tüm işlemler için ondalık gösterim kullanırlar.

Bu sayılar nasıl doğru okunur?

Cevap basit: paydası 10'un katı olan sıradan bir karışık sayı gibi. Bunun tek istisnası, tam sayı değeri olmayan kesirlerdir, o zaman okurken "sıfır tamsayılar" şeklinde telaffuz etmeniz gerekir.

Örneğin 45/1000 şu şekilde telaffuz edilmelidir: kırk beş binde bir, aynı zamanda 0,045 gibi ses çıkaracak sıfır noktası kırk beş binde bir.

Tamsayı kısmı 7 ve kesri 17/100 olan ve 7,17 olarak yazılan karışık sayı, her iki durumda da şu şekilde okunur: yedi nokta on yedi.

Kesirlerin yazılmasında rakamların rolü

Sıralamayı doğru işaretlemek matematiğin gerektirdiği şeydir. Rakamı yanlış yere yazarsanız ondalık sayılar ve anlamları önemli ölçüde değişebilir. Ancak bu daha önce de geçerliydi.

Ondalık kesrin tam kısmının rakamlarını okumak için bilinen kuralları kullanmanız yeterlidir. doğal sayılar. Ve sağ tarafta yansıtılıyorlar ve farklı okunuyorlar. Parçanın tamamı "onlarca" gibi geliyorsa, ondalık noktadan sonra zaten "onda biri" olacaktır.

Bu tabloda bunu açıkça görmek mümkündür.

Karışık bir sayı ondalık sayı olarak doğru şekilde nasıl yazılır?

Payda 10 veya 100'e eşit bir sayı ve diğerleri içeriyorsa, kesirin ondalık sayıya nasıl dönüştürüleceği sorusu zor değildir. Bunu yapmak için tüm bileşenlerini farklı şekilde yeniden yazmak yeterlidir. Aşağıdaki noktalar bu konuda yardımcı olacaktır:

kesrin payını biraz yana yazın, şu anda ondalık nokta son rakamdan sonra sağda bulunur;

virgülü sola hareket ettirin, buradaki en önemli şey sayıları doğru saymaktır - paydadaki sıfır sayısı kadar konum taşımanız gerekir;

yeterli sayıda yoksa boş konumlarda sıfırlar bulunmalıdır;

payın sonundaki sıfırlara artık gerek yoktur ve üzeri çizilebilir;

Virgülden önce kısmın tamamını ekleyin; orada değilse burada da sıfır olacaktır.

Dikkat. Başka sayılarla çevrelenmiş sıfırların üzerini çizemezsiniz.

Paydanın sadece birlerden ve sıfırlardan oluşmayan bir sayıya sahip olması durumunda ne yapılması gerektiğini ve kesirin ondalık sayıya nasıl dönüştürüleceğini aşağıda okuyabilirsiniz. Bu önemli bilgi kesinlikle kontrol etmeye değer.

Payda rastgele bir sayı ise kesiri ondalık sayıya nasıl dönüştürebilirim?

Burada iki seçenek var:

Paydanın herhangi bir üssü on'a eşit bir sayı olarak temsil edilebildiği zaman.

Eğer böyle bir işlem gerçekleştirilemiyorsa.

Bunu nasıl kontrol edebilirim? Paydayı çarpanlarına ayırmanız gerekir. Üründe yalnızca 2 ve 5 varsa, o zaman her şey yolunda demektir ve kesir kolayca son ondalık sayıya dönüştürülür. Aksi takdirde 3, 7 ve diğer asal sayılar ortaya çıkarsa sonuç sonsuz olacaktır. Kullanım kolaylığı için böyle bir ondalık kesir matematiksel işlemler Yuvarlamak gelenekseldir. Bu, aşağıda biraz tartışılacaktır.

5.sınıf ondalık sayıların nasıl yapıldığını araştırıyor. Buradaki örnekler çok yardımcı olacaktır.

Paydalar 40, 24 ve 75 sayıları olsun. asal faktörler onlar için şöyle olacak:

• 40=2·2·2·5;
• 24=2·2·2·3;
• 75=5·5·3.

Bu örneklerde yalnızca ilk kesir son kesir olarak temsil edilebilir.

Ortak bir kesri son ondalık sayıya dönüştürmek için algoritma

Paydanın asal çarpanlara ayrılmasını kontrol edin ve 2 ve 5'ten oluşacağından emin olun.

Bu sayılara eşit sayıda olacak şekilde 2'ler ve 5'ler ekleyin. Ek çarpanın değerini verecekler.

Paydayı ve payı bu sayıyla çarpın. Sonuç, çizgisinin altında bir dereceye kadar 10 olan sıradan bir kesir olacaktır.

Bir görevde bu eylemler şu şekilde gerçekleştiriliyorsa: karışık sayı, o zaman ilk önce uygunsuz bir kesir olarak temsil edilmelidir. Ve ancak o zaman açıklanan senaryoya göre hareket edin.

Bir kesri yuvarlatılmış ondalık sayı olarak gösterme

Bir kesri ondalık sayıya dönüştürmenin bu yöntemi bazılarına daha da kolay görünebilir. Çünkü çok fazla aksiyon yok. Payı paydaya bölmeniz yeterlidir.

Ondalık kısmı sağında olan herhangi bir sayıya sonsuz sayıda sıfır atanabilir. Bu özellik, faydalanmanız gereken şeydir.

Öncelikle bölümün tamamını yazın ve arkasına virgül koyun. Kesir doğruysa sıfır yazın.

Daha sonra payı paydaya bölmeniz gerekir. Böylece aynı sayıda rakama sahip olurlar. Yani payın sağına ekleyin gerekli miktar sıfırlar.

Gerekli basamak sayısına ulaşılana kadar uzun bölme işlemi yapın. Örneğin yüzde birliğe yuvarlamanız gerekiyorsa cevap 3 olmalıdır. Genel olarak sonunda almanız gerekenden bir sayı daha olması gerekir.

Ara cevabı virgülden sonra yazın ve kurallara göre yuvarlayın. Son rakam 0'dan 4'e kadarsa, onu atmanız yeterlidir. Ve 5-9'a eşit olduğunda, sonuncusu atılarak önündekinin bir artırılması gerekir.

Ondalık sayıdan ortak kesire dönüş

Matematikte, ondalık kesirleri paydalı bir payın bulunduğu sıradan kesirler biçiminde temsil etmenin daha uygun olduğu durumlarda sorunlar vardır. Rahat bir nefes alabilirsiniz: Bu operasyon her zaman mümkündür.

Bu prosedür için aşağıdakileri yapmanız gerekir:

tamamını yazın, sıfıra eşitse hiçbir şey yazmaya gerek yoktur;

bir kesir çizgisi çizin;

üstüne sağ taraftaki sayıları yazın; eğer sıfırlar önce gelirse, bunların üzerinin çizilmesi gerekir;

Çizginin altına, orijinal kesirdeki virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfır içeren bir tane yazın.

Ondalık sayıyı kesire dönüştürmek için yapmanız gereken tek şey budur.

Ondalık sayılarla ne yapabilirsiniz?

Matematikte bunlar daha önce diğer sayılar için yapılmış olan ondalık sayılarla yapılan belirli işlemler olacaktır.

Bunlar:

karşılaştırmak;

toplama ve çıkarma;

çarpma ve bölme.

İlk eylem olan karşılaştırma, doğal sayılar için yapıldığına benzer. Hangisinin daha büyük olduğunu belirlemek için tüm parçanın rakamlarını karşılaştırmanız gerekir. Eşit çıkarlarsa kesirliye geçerler ve bunları rakamlarla karşılaştırırlar. En anlamlı rakamdaki rakamı en büyük olan sayı cevap olacaktır.

Ondalık sayıların eklenmesi ve çıkarılması

Bunlar belki de en basit adımlar. Çünkü doğal sayılar kurallarına göre yapılıyorlar.



Bu nedenle, ondalık kesirleri eklemek için, bunların alt üste yazılması ve bir sütuna virgül konulması gerekir. Bu gösterimle virgülün solunda tam kısımlar, sağında ise kesirli kısımlar görünür. Ve şimdi, doğal sayılarda yapıldığı gibi, virgülü aşağıya doğru hareket ettirerek sayıları azar azar eklemeniz gerekiyor. Sayının kesirli kısmının en küçük rakamından toplamaya başlamanız gerekir. Sağ yarıda yeterli sayı yoksa sıfırlar eklenir.

Aynı şey çıkarma işlemi için de geçerlidir. Ve burada en yüksek rütbeden bir birim alma olasılığını açıklayan bir kural var. İndirgenen kesirin virgülden sonra çıkarılan kesirden daha az rakamı varsa, ona basitçe sıfırlar eklenir.

Ondalık kesirleri çarpmanız ve bölmeniz gereken görevlerde durum biraz daha karmaşıktır.

Farklı örneklerde ondalık kesir nasıl çarpılır?

Ondalık kesirleri bir doğal sayıyla çarpmanın kuralı şudur:

virgülleri göz ardı ederek bunları bir sütuna yazın;

sanki doğalmış gibi çoğalırlar;

Orijinal sayının kesirli kısmındaki rakam sayısı kadar virgülle ayırın.

Özel bir durum, bir doğal sayının herhangi bir üssünün 10'a eşit olduğu örnektir. Daha sonra cevabı almak için virgülünü diğer faktördeki sıfır sayısı kadar sağa kaydırmanız yeterlidir. Başka bir deyişle, 10 ile çarpıldığında, ondalık nokta bir basamak, 100 ile hareket eder - zaten iki tane olacak, vb. Kesirli kısımda yeterli sayı yoksa boş yerlere sıfır yazmanız gerekir.

Bir görev, ondalık kesirlerin aynı sayıyla çarpılmasını gerektirdiğinde kullanılan kural:

virgüllere dikkat etmeden bunları birbiri ardına yazın;

sanki doğalmış gibi çoğalırlar;

Her iki orijinal kesrin kesirli kısımlarında bulunan rakam sayısı kadar virgülle ayırın.

Özel bir durum, çarpanlardan birinin 0,1 veya 0,01'e eşit olduğu örneklerdir. Bunlarda, sunulan faktörlerdeki basamak sayısına göre virgülünü sola kaydırmanız gerekir. Yani 0,1 ile çarpılırsa virgül bir konum kaydırılır.

Ondalık kesir farklı görevlere nasıl bölünür?

Ondalık kesirlerin doğal sayıya bölünmesi aşağıdaki kurala göre gerçekleştirilir:

bunları sanki doğalmış gibi bir sütuna bölmek için yazın;

tüm kısım bitene kadar olağan kurala göre bölün;

cevaba virgül koyun;

kalan sıfır olana kadar kesirli bileşeni bölmeye devam edin;

gerekirse gerekli sayıda sıfır ekleyebilirsiniz.

Tamsayı kısmı sıfıra eşitse cevapta da olmayacaktır.

Ayrı ayrı on, yüz vb. sayılara bölünme vardır. Bu tür problemlerde virgülü bölendeki sıfır sayısı kadar sola kaydırmanız gerekir. Bir parçanın tamamında yeterli sayı olmadığında bunun yerine sıfırlar kullanılır. Bu işlemin 0,1 ve benzeri sayılarla çarpma işlemine benzer olduğunu görebilirsiniz.

Ondalık sayıları bölmek için bu kuralı kullanmanız gerekir:

böleni doğal sayıya çevirin ve bunu yapmak için içindeki virgülleri sağa, sonuna kadar hareket ettirin;

temettüdeki ondalık noktayı aynı sayıda basamakla hareket ettirin;

Önceki senaryoya göre hareket edin.

0,1'e bölünme vurgulanmıştır; 0,01 ve diğer benzer sayılar. Bu tür örneklerde virgül, kesirli kısımdaki basamak sayısı kadar sağa kaydırılır. Eğer biterse, eksik olan sıfır sayısını eklemeniz gerekir. Bu eylemin 10'a ve benzeri sayılara bölmeyi tekrarladığını belirtmekte fayda var.



Sonuç: Her şey pratikle ilgili

Öğrenmede hiçbir şey kolay veya çaba harcamadan gerçekleşmez. Yeni materyallere güvenilir bir şekilde hakim olmak zaman ve pratik gerektirir. Matematik bir istisna değildir.

Ondalık kesirlerle ilgili konunun zorluk yaratmamasını sağlamak için onlarla mümkün olduğunca çok örnek çözmeniz gerekir. Sonuçta, doğal sayıları toplamanın çıkmaz bir yol olduğu bir zaman vardı. Ve şimdi her şey yolunda.

Bu nedenle, iyi bilinen bir cümleyi yeniden ifade etmek gerekirse: Karar ver, karar ver ve tekrar karar ver. Daha sonra bu tür sayılara sahip görevler, başka bir bulmaca gibi kolayca ve doğal bir şekilde tamamlanacaktır.

Bu arada, bulmacaları ilk başta çözmek zordur ve daha sonra olağan hareketleri yapmanız gerekir. Matematiksel örneklerde de durum aynıdır: Aynı yolu birkaç kez yürüdükten sonra artık nereye döneceğinizi düşünmeyeceksiniz.

Ondalık kesirlerle bir sonraki eylemi incelemeye geçelim, şimdi kapsamlı bir göz atacağız ondalık sayıları çarpma. Önce konuşalım genel prensipler ondalık kesirlerin çarpılması. Bundan sonra, ondalık kesirin ondalık kesirle çarpılmasına geçeceğiz, ondalık kesirlerin bir sütunla nasıl çarpılacağını göstereceğiz ve örneklerin çözümlerini ele alacağız. Daha sonra, ondalık kesirleri doğal sayılarla, özellikle 10, 100 vb. ile çarpmaya bakacağız. Son olarak ondalık sayıları kesirlerle ve karışık sayılarla çarpmaktan bahsedelim.

Hemen diyelim ki bu yazıda sadece pozitif ondalık kesirlerin çarpılmasından bahsedeceğiz (pozitif ve negatif sayılara bakın). Geri kalan durumlar rasyonel sayıların çarpımı ve makalelerinde tartışılmıştır. gerçek sayıları çarpma.

Sayfada gezinme.

Ondalık sayıları çarpmanın genel ilkeleri

Ondalık sayılarla çarpma işleminde uyulması gereken genel ilkeleri tartışalım.

Sonlu ondalık sayılar ve sonsuz periyodik kesirler, ortak kesirlerin ondalık biçimi olduğundan, bu tür ondalık sayıların çarpılması, esasen ortak kesirlerin çarpılması anlamına gelir. Başka bir deyişle, sonlu ondalık sayıları çarpma, sonlu ve periyodik ondalık kesirlerin çarpılması ve ayrıca periyodik ondalık sayıları çarpma ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürdükten sonra sıradan kesirleri çarpmaya gelir.

Belirtilen ondalık kesirlerin çarpılması ilkesinin uygulama örneklerine bakalım.

Örnek.

1,5 ile 0,75 arasındaki ondalık sayıları çarpın.

Çözüm.

Çarpan ondalık kesirleri karşılık gelen normal kesirlerle değiştirelim. 1,5=15/10 ve 0,75=75/100 olduğundan . Kesri azaltabilir, ardından tüm kısmı uygunsuz kesirden ayırabilirsiniz ve elde edilen sıradan kesir 1 125/1 000'i 1,125 ondalık kesir olarak yazmak daha uygundur.

Cevap:

1,5·0,75=1,125.

Bir sütundaki son ondalık kesirleri çarpmanın uygun olduğuna dikkat edilmelidir; ondalık kesirleri çarpmanın bu yöntemi hakkında konuşacağız.

Periyodik ondalık kesirlerin çarpılmasına ilişkin bir örneğe bakalım.

Örnek.

Periyodik ondalık kesirlerin 0,(3) ve 2,(36) çarpımını hesaplayın.

Çözüm.

Periyodik ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürelim:

Daha sonra . Ortaya çıkan sıradan kesri ondalık kesire dönüştürebilirsiniz:

Cevap:

0,(3)·2,(36)=0,(78) .

Çarpılmış ondalık kesirler arasında sonsuz periyodik olmayan kesirler varsa, sonlu ve periyodik olanlar dahil tüm çarpılmış kesirler belirli bir rakama yuvarlanmalıdır (bkz. sayıları yuvarlama) ve yuvarlamadan sonra elde edilen son ondalık kesirleri çarpın.

Örnek.

5,382... ve 0,2 ondalık sayılarını çarpın.

Çözüm.

Öncelikle sonsuz periyodik olmayan bir ondalık kesri yuvarlayalım, yuvarlama yüzde birlere de yapılabilir, 5.382...≈5.38 elde ederiz. Son ondalık kesir olan 0,2'nin en yakın yüzlüğe yuvarlanmasına gerek yoktur. Böylece, 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Geriye son ondalık kesirlerin çarpımını hesaplamak kalıyor: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.

Cevap:

5,382…·0,2≈1,076.

Ondalık kesirleri sütunla çarpma

Sonlu ondalık kesirlerin çarpılması, bir sütundaki doğal sayıların çarpılmasına benzer şekilde bir sütunda yapılabilir.

Hadi formüle edelim ondalık kesirleri sütunla çarpma kuralı. Ondalık kesirleri sütunla çarpmak için şunları yapmanız gerekir:

• virgüllere dikkat etmeden, doğal sayılar sütunuyla çarpmanın tüm kurallarına göre çarpma yapın;
• Ortaya çıkan sayıda, her iki faktörde birlikte ondalık basamaklar olduğu kadar sağdaki basamaklar kadar ondalık noktayla ayırın ve çarpımda yeterli basamak yoksa sola gerekli sayıda sıfır eklenmelidir.

Ondalık kesirleri sütunlarla çarpma örneklerine bakalım.

Örnek.

63,37 ve 0,12 ondalık sayılarını çarpın.

Çözüm.

Bir sütundaki ondalık kesirleri çarpalım. Öncelikle virgülleri göz ardı ederek sayıları çarpıyoruz:

Geriye kalan tek şey ortaya çıkan ürüne virgül eklemek. Faktörlerin toplam dört ondalık basamağı olduğundan (ikisi 3,37'de ve iki tanesi 0,12'de) sağdaki 4 haneyi ayırması gerekiyor. Orada yeterli sayı var, dolayısıyla sola sıfır eklemenize gerek yok. Kaydı bitirelim:

Sonuç olarak 3,37·0,12=7,6044 elde ederiz.

Cevap:

3,37·0,12=7,6044.

Örnek.

3,2601 ve 0,0254 ondalık sayıların çarpımını hesaplayın.

Çözüm.

Virgülleri hesaba katmadan bir sütunda çarpma işlemi gerçekleştirdiğimizde aşağıdaki resmi elde ederiz:

Şimdi çarpılan kesirlerin ondalık basamaklarının toplam sayısı sekiz olduğundan, çarpımda sağdaki 8 rakamı virgülle ayırmanız gerekiyor. Ancak çarpımda sadece 7 rakam var, bu nedenle 8 rakamı virgülle ayırabilmeniz için sola olabildiğince sıfır eklemeniz gerekiyor. Bizim durumumuzda iki sıfır atamamız gerekiyor:

Bu, ondalık kesirlerin sütunla çarpılmasını tamamlar.

Cevap:

3,2601·0,0254=0,08280654.

Ondalık sayıları 0,1, 0,01 vb. ile çarpmak

Çoğunlukla ondalık kesirleri 0,1, 0,01 vb. ile çarpmanız gerekir. Bu nedenle, ondalık kesirleri bu sayılarla çarpmak için yukarıda tartışılan ondalık kesirleri çarpma ilkelerinden yola çıkarak bir kural formüle etmeniz önerilir.

Bu yüzden, belirli bir ondalık sayının 0,1, 0,01, 0,001 vb. ile çarpılması Gösteriminde virgül sırasıyla 1, 2, 3 vb. basamaklarla sola kaydırılırsa ve virgülün taşınması için yeterli basamak yoksa orijinalden elde edilen bir kesir verir. sola gerekli sayıda sıfır ekleyin.

Örneğin 54,34 ondalık kesirini 0,1 ile çarpmak için 54,34 kesirindeki virgülünü 1 basamak sola kaydırmanız gerekir, bu size 5,434 kesirini yani 54,34·0,1=5,434 kesirini verecektir. Başka bir örnek verelim. Ondalık kesri 9,3 ile 0,0001 ile çarpın. Bunu yapmak için, 9.3 ile çarpılmış ondalık kesirde virgülünü 4 basamak sola kaydırmamız gerekir, ancak 9.3 kesirinin gösterimi o kadar çok basamak içermez. Dolayısıyla 9.3 kesirinin soluna o kadar çok sıfır atamamız gerekiyor ki virgülünü rahatlıkla 4 basamağa taşıyabiliriz, elimizde 9.3·0.0001=0.00093 var.

Ondalık kesirleri 0,1, 0,01, ... ile çarpmak için belirtilen kuralın sonsuz ondalık kesirler için de geçerli olduğunu unutmayın. Örneğin, 0.(18)·0,01=0,00(18) veya 93,938…·0,1=9,3938… .

Bir ondalık sayıyı bir doğal sayıyla çarpmak

Özünde ondalık sayıları doğal sayılarla çarpma ondalık sayıyı ondalık sayıyla çarpmaktan hiçbir farkı yoktur.

Son ondalık kesri bir sütundaki doğal bir sayıyla çarpmak en uygunudur; bu durumda, önceki paragraflardan birinde tartışılan bir sütundaki ondalık kesirleri çarpma kurallarına uymalısınız.

Örnek.

15·2.27 çarpımını hesaplayın.

Çözüm.

Bir doğal sayıyı bir sütundaki ondalık kesirle çarpalım:

Cevap:

15.2.27=34.05.

Periyodik bir ondalık kesiri doğal bir sayıyla çarparken, periyodik kesrin sıradan bir kesirle değiştirilmesi gerekir.

Örnek.

0.(42) ondalık kesirini 22 doğal sayısıyla çarpın.

Çözüm.

Öncelikle periyodik ondalık kesri sıradan bir kesire dönüştürelim:

Şimdi çarpma işlemini yapalım: . Ondalık sayı olarak bu sonuç 9,(3) .

Cevap:

0,(42)·22=9,(3) .

Ve sonsuz, periyodik olmayan bir ondalık kesiri doğal bir sayıyla çarparken, önce yuvarlama yapmanız gerekir.

Örnek.

4·2,145… ile çarpın.

Çözüm.

Orijinal sonsuz ondalık kesri yüzde birlere yuvarladıktan sonra, bir doğal sayı ile son ondalık kesrin çarpımına ulaşırız. Elimizde 4·2.145…≈4·2.15=8.60 var.

Cevap:

4·2,145…≈8,60.

Bir ondalık sayıyı 10, 100, ile çarpmak...

Çoğu zaman ondalık kesirleri 10, 100 ile çarpmanız gerekir ... Bu nedenle, bu durumlar üzerinde ayrıntılı olarak durmanız tavsiye edilir.

Haydi seslendirelim ondalık kesirleri 10, 100, 1000 vb. ile çarpma kuralı. Ondalık kesri 10, 100, ... ile çarparken, ondalık noktayı sırasıyla sağa 1, 2, 3, ... haneye taşımanız ve soldaki fazladan sıfırları atmanız gerekir; çarpılacak kesrin gösteriminde ondalık noktayı hareket ettirmek için yeterli basamak yoksa, o zaman gerekli sayıda sıfırı sağa eklemeniz gerekir.

Örnek.

0,0783 ondalık kesirini 100 ile çarpın.

Çözüm.

0,0783 kesrini iki basamak sağa kaydırırsak 007,83 elde ederiz. Soldaki iki sıfırı düşürmek 7,38 ondalık kesirini verir. Böylece 0,0783·100=7,83 olur.

Cevap:

0,0783·100=7,83.

Örnek.

Ondalık kesri 0,02 ile 10.000 ile çarpın.

Çözüm.

0,02'yi 10.000 ile çarpmak için virgülün 4 hanesini sağa kaydırmamız gerekir. Açıkçası, 0,02 kesirinin gösteriminde virgülün 4 basamak hareket ettirilmesi için yeterli basamak yoktur, bu nedenle virgülün hareket ettirilebilmesi için sağa birkaç sıfır ekleyeceğiz. Örneğimizde üç sıfır eklemek yeterli, elimizde 0,02000 var. Virgülün yerini değiştirdikten sonra 00200.0 girişini alıyoruz. Soldaki sıfırları attığımız zaman, 0,02 ondalık kesirinin 10.000 ile çarpılması sonucu elde edilen 200 doğal sayısına eşit olan 200.0 sayısını elde ederiz.

Ondalık Sayıların Çarpılmasıüç aşamada gerçekleşir.

Ondalık kesirler bir sütuna yazılır ve normal sayılar gibi çarpılır.

İlk ondalık kesir ve ikinci için ondalık basamak sayısını sayarız. Sayılarını topluyoruz.

Ortaya çıkan sonuçta yukarıdaki paragrafta bulduğumuz sayıların aynısını sağdan sola doğru sayıp virgül koyuyoruz.

Ondalık Sayılar Nasıl Çarpılır

Ondalık kesirleri bir sütuna yazıp virgülleri göz ardı ederek doğal sayılar olarak çarpıyoruz. Yani 3,11'i 311, 0,01'i ise 1 olarak kabul ediyoruz.

311'i aldık. Şimdi her iki kesir için de virgülden sonraki işaret (rakam) sayısını sayıyoruz. İlk ondalık sayı iki basamaktan, ikincisi ise iki basamaktan oluşur. Toplam ondalık basamak sayısı:

Ortaya çıkan sayının sağdan sola 4 işaretini (rakamını) sayıyoruz. Ortaya çıkan sonuç, virgülle ayrılması gerekenden daha az sayıda sayı içeriyor. Bu durumda ihtiyacınız var sol eksik olan sıfır sayısını ekleyin.

Bir rakamımız eksik olduğundan sola bir sıfır ekliyoruz.

Herhangi bir ondalık kesirle çarparken 10'a kadar; 100; 1000 vb. Ondalık nokta, birden sonra gelen sıfır sayısı kadar sağa doğru hareket eder.

Bir ondalık sayıyı 0,1 ile çarpmak için; 0,01; 0,001 vb. için, bu kesirdeki ondalık noktayı birden önceki sıfır sayısı kadar sola kaydırmanız gerekir.

Sıfır tamsayıları sayıyoruz!

• 12 0,1 = 1,2
• 0,05 · 0,1 = 0,005
• 1,256 · 0,01 = 0,012 56

Ondalık sayıların nasıl çarpılacağını anlamak için belirli örneklere bakalım.

Ondalık sayıları çarpma kuralı

1) Virgüllere dikkat etmeden çarpın.

2) Sonuç olarak, her iki faktörde de virgülden sonra ne kadar rakam varsa, virgülden sonra da o kadar rakam ayırıyoruz.

Ondalık kesirlerin çarpımını bulun:

Ondalık kesirleri çarpmak için virgüllere dikkat etmeden çarpma işlemi yaparız. Yani 6,8 ile 3,4'ü değil, 68 ve 34'ü çarpıyoruz. Sonuç olarak, her iki faktörde de virgülden sonraki rakam kadar rakamı virgülden sonra ayırıyoruz. İlk faktörde virgülden sonra bir rakam var, ikincisinde de bir rakam var. Toplamda virgülden sonra iki sayıyı ayırdık. Böylece son cevabı bulduk: 6.8∙3.4=23.12.

Ondalık sayıları, virgülü dikkate almadan çarpıyoruz. Yani aslında 36,85'i 1,14 ile çarpmak yerine 3685'i 14 ile çarpıyoruz. 51590 elde ediyoruz. Şimdi bu sonuçta her iki çarpanda ne kadar rakam varsa o kadar rakamı virgülle ayırmamız gerekiyor. İlk sayının virgülden sonra iki basamağı vardır, ikincisinde ise bir basamak vardır. Toplamda üç rakamı virgülle ayırıyoruz. Girişin sonunda virgülden sonra sıfır olduğu için cevapta yazmıyoruz: 36.85∙1.4=51.59.

Bu ondalık sayıları çarpmak için virgüllere dikkat etmeden sayıları çarpalım. Yani 2315 ve 7 doğal sayılarını çarpıyoruz. 16205 elde ediyoruz. Bu sayıda, virgülden sonraki dört rakamı - her iki faktörde birlikte olduğu kadar (her birinde iki tane) ayırmanız gerekir. Son cevap: 23,15∙0,07=1,6205.

Ondalık kesrin bir doğal sayıyla çarpılması da aynı şekilde yapılır. Virgüllere dikkat etmeden sayıları çarpıyoruz yani 75'i 16 ile çarpıyoruz. Ortaya çıkan sonuç, her iki faktörde olduğu gibi virgülden sonra aynı sayıda işaret içermelidir - bir. Böylece 75∙1,6=120,0=120 olur.

Virgüllere dikkat etmediğimiz için ondalık kesirleri çarpmaya doğal sayıları çarparak başlıyoruz. Bundan sonra her iki faktörde bir arada ne kadar rakam varsa virgülden sonra ayırıyoruz. İlk sayının iki ondalık basamağı vardır, ikincisinde de iki basamak vardır. Toplamda sonuç, virgülden sonra dört basamak olmalıdır: 4,72∙5,04=23,7888.

Ve ondalık kesirlerin çarpılmasıyla ilgili birkaç örnek daha:

www.for6cl.uznateshe.ru

Ondalık sayıları çarpma, kurallar, örnekler, çözümler.

Hadi çalışmaya devam edelim sonraki eylem ondalık kesirlerle şimdi kapsamlı bir göz atacağız ondalık sayıları çarpma. Öncelikle ondalık sayıları çarpmanın genel ilkelerini tartışalım. Bundan sonra, ondalık kesirin ondalık kesirle çarpılmasına geçeceğiz, ondalık kesirlerin bir sütunla nasıl çarpılacağını göstereceğiz ve örneklerin çözümlerini ele alacağız. Daha sonra, ondalık kesirleri doğal sayılarla, özellikle 10, 100 vb. ile çarpmaya bakacağız. Son olarak ondalık sayıları kesirlerle ve karışık sayılarla çarpmaktan bahsedelim.

Hemen diyelim ki bu makalede sadece pozitif ondalık kesirlerin çarpılmasından bahsedeceğiz (bkz. pozitif ve negatif sayılar). Geri kalan durumlar rasyonel sayıların çarpımı ve makalelerinde tartışılmıştır. gerçek sayıları çarpma.

Sayfada gezinme.

Ondalık sayıları çarpmanın genel ilkeleri

Ondalık sayılarla çarpma işleminde uyulması gereken genel ilkeleri tartışalım.

Sonlu ondalık sayılar ve sonsuz periyodik kesirler, ortak kesirlerin ondalık biçimi olduğundan, bu tür ondalık sayıların çarpılması, esasen ortak kesirlerin çarpılması anlamına gelir. Başka bir deyişle, sonlu ondalık sayıları çarpma, sonlu ve periyodik ondalık kesirlerin çarpılması ve ayrıca periyodik ondalık sayıları çarpma ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürdükten sonra sıradan kesirleri çarpmaya gelir.

Belirtilen ondalık kesirlerin çarpılması ilkesinin uygulama örneklerine bakalım.

1,5 ile 0,75 arasındaki ondalık sayıları çarpın.

Çarpan ondalık kesirleri karşılık gelen normal kesirlerle değiştirelim. 1,5=15/10 ve 0,75=75/100 olduğundan, o zaman. Kesri azaltabilir, ardından tüm kısmı uygunsuz kesirden ayırabilirsiniz ve elde edilen sıradan kesir 1 125/1 000'i 1,125 ondalık kesir olarak yazmak daha uygundur.

Bir sütunda son ondalık kesirleri çarpmanın uygun olduğunu belirtmek gerekir; bir sonraki paragrafta ondalık kesirleri çarpmanın bu yönteminden bahsedeceğiz.

Periyodik ondalık kesirlerin çarpılmasına ilişkin bir örneğe bakalım.

Periyodik ondalık kesirlerin 0,(3) ve 2,(36) çarpımını hesaplayın.

Periyodik ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürelim:

Daha sonra. Ortaya çıkan sıradan kesri ondalık kesire dönüştürebilirsiniz:


Çarpılmış ondalık kesirler arasında sonsuz periyodik olmayan kesirler varsa, sonlu ve periyodik olanlar dahil tüm çarpılmış kesirler belirli bir rakama yuvarlanmalıdır (bkz. sayıları yuvarlama) ve yuvarlamadan sonra elde edilen son ondalık kesirleri çarpın.

5,382... ve 0,2 ondalık sayılarını çarpın.

Öncelikle sonsuz periyodik olmayan bir ondalık kesri yuvarlayalım, yuvarlama yüzde birlere de yapılabilir, 5.382...≈5.38 elde ederiz. Son ondalık kesir olan 0,2'nin en yakın yüzlüğe yuvarlanmasına gerek yoktur. Böylece, 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Geriye son ondalık kesirlerin çarpımını hesaplamak kalıyor: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.

Ondalık kesirleri sütunla çarpma

Sonlu ondalık kesirlerin çarpılması, bir sütundaki doğal sayıların çarpılmasına benzer şekilde bir sütunda yapılabilir.

Hadi formüle edelim ondalık kesirleri sütunla çarpma kuralı. Ondalık kesirleri sütunla çarpmak için şunları yapmanız gerekir:

• virgüllere dikkat etmeden, doğal sayılar sütunuyla çarpmanın tüm kurallarına göre çarpma yapın;
• Ortaya çıkan sayıda, her iki faktörde birlikte ondalık basamaklar olduğu kadar sağdaki basamaklar kadar ondalık noktayla ayırın ve çarpımda yeterli basamak yoksa sola gerekli sayıda sıfır eklenmelidir.

Ondalık kesirleri sütunlarla çarpma örneklerine bakalım.

63,37 ve 0,12 ondalık sayılarını çarpın.

Bir sütundaki ondalık kesirleri çarpalım. Öncelikle virgülleri göz ardı ederek sayıları çarpıyoruz:


Geriye kalan tek şey ortaya çıkan ürüne virgül eklemek. Çarpanların toplam dört ondalık basamağı olduğundan (3,37 kesirinde iki ve 0,12 kesirinde iki) sağdaki 4 basamağı ayırması gerekiyor. Orada yeterli sayı var, dolayısıyla sola sıfır eklemenize gerek yok. Kaydı bitirelim:


Sonuç olarak 3,37·0,12=7,6044 elde ederiz.

3,2601 ve 0,0254 ondalık sayıların çarpımını hesaplayın.

Virgülleri hesaba katmadan bir sütunda çarpma işlemi gerçekleştirdiğimizde aşağıdaki resmi elde ederiz:


Şimdi çarpılan kesirlerin ondalık basamaklarının toplam sayısı sekiz olduğundan, çarpımda sağdaki 8 rakamı virgülle ayırmanız gerekiyor. Ancak çarpımda sadece 7 rakam var, bu nedenle 8 rakamı virgülle ayırabilmeniz için sola olabildiğince sıfır eklemeniz gerekiyor. Bizim durumumuzda iki sıfır atamamız gerekiyor:


Bu, ondalık kesirlerin sütunla çarpılmasını tamamlar.

Ondalık sayıları 0,1, 0,01 vb. ile çarpmak

Çoğunlukla ondalık kesirleri 0,1, 0,01 vb. ile çarpmanız gerekir. Bu nedenle, ondalık kesirleri bu sayılarla çarpmak için yukarıda tartışılan ondalık kesirleri çarpma ilkelerinden yola çıkarak bir kural formüle etmeniz önerilir.

Bu yüzden, belirli bir ondalık sayının 0,1, 0,01, 0,001 vb. ile çarpılması Gösteriminde virgül sırasıyla 1, 2, 3 vb. basamaklarla sola kaydırılırsa ve virgülün taşınması için yeterli basamak yoksa orijinalden elde edilen bir kesir verir. sola gerekli sayıda sıfır ekleyin.

Örneğin 54,34 ondalık kesirini 0,1 ile çarpmak için 54,34 kesirindeki virgülünü 1 basamak sola kaydırmanız gerekir, bu size 5,434 kesirini yani 54,34·0,1=5,434 kesirini verecektir. Başka bir örnek verelim. Ondalık kesri 9,3 ile 0,0001 ile çarpın. Bunu yapmak için, 9.3 ile çarpılmış ondalık kesirde virgülünü 4 basamak sola kaydırmamız gerekir, ancak 9.3 kesirinin gösterimi o kadar çok basamak içermez. Dolayısıyla 9.3 kesirinin soluna o kadar çok sıfır atamamız gerekiyor ki virgülünü rahatlıkla 4 basamağa taşıyabiliriz, 9.3·0.0001=0.00093 elde ederiz.

Ondalık kesirleri 0,1, 0,01, ... ile çarpmak için belirtilen kuralın sonsuz ondalık kesirler için de geçerli olduğunu unutmayın. Örneğin, 0.(18)·0,01=0,00(18) veya 93,938…·0,1=9,3938… .

Bir ondalık sayıyı bir doğal sayıyla çarpmak

Özünde ondalık sayıları doğal sayılarla çarpma ondalık sayıyı ondalık sayıyla çarpmaktan hiçbir farkı yoktur.

Son ondalık kesri bir sütundaki doğal bir sayıyla çarpmak en uygunudur; bu durumda, önceki paragraflardan birinde tartışılan bir sütundaki ondalık kesirleri çarpma kurallarına uymalısınız.

15·2.27 çarpımını hesaplayın.

Bir doğal sayıyı bir sütundaki ondalık kesirle çarpalım:


Periyodik bir ondalık kesiri doğal bir sayıyla çarparken, periyodik kesrin sıradan bir kesirle değiştirilmesi gerekir.

Ondalık kesir 0.(42)'yi doğal sayı 22 ile çarpın.

Öncelikle periyodik ondalık kesri sıradan bir kesire dönüştürelim:

Şimdi çarpma işlemini yapalım: . Ondalık sayı olarak bu sonuç 9,(3) .

Ve sonsuz, periyodik olmayan bir ondalık kesiri doğal bir sayıyla çarparken, önce yuvarlama yapmanız gerekir.

4·2,145… ile çarpın.

Orijinal sonsuz ondalık kesri yüzde birlere yuvarladıktan sonra, bir doğal sayı ile son ondalık kesrin çarpımına ulaşırız. Elimizde 4·2.145…≈4·2.15=8.60 var.

Bir ondalık sayıyı 10, 100, ile çarpmak...

Çoğu zaman ondalık kesirleri 10, 100 ile çarpmanız gerekir ... Bu nedenle, bu durumlar üzerinde ayrıntılı olarak durmanız tavsiye edilir.

Haydi seslendirelim ondalık kesirleri 10, 100, 1000 vb. ile çarpma kuralı. Ondalık kesri 10, 100, ... ile çarparken, ondalık noktayı sırasıyla sağa 1, 2, 3, ... haneye taşımanız ve soldaki fazladan sıfırları atmanız gerekir; çarpılacak kesrin gösteriminde ondalık noktayı hareket ettirmek için yeterli basamak yoksa, o zaman gerekli sayıda sıfırı sağa eklemeniz gerekir.

0,0783 ondalık kesirini 100 ile çarpın.

0,0783 kesrini iki basamak sağa kaydırırsak 007,83 elde ederiz. Soldaki iki sıfırı düşürmek 7,38 ondalık kesirini verir. Böylece 0,0783·100=7,83 olur.

Ondalık kesri 0,02 ile 10.000 ile çarpın.

0,02'yi 10.000 ile çarpmak için virgülü 4 basamak sağa kaydırmamız gerekir. Açıkçası, 0,02 kesirinin gösteriminde virgülün 4 basamak hareket ettirilmesi için yeterli basamak yoktur, bu nedenle virgülün hareket ettirilebilmesi için sağa birkaç sıfır ekleyeceğiz. Örneğimizde üç sıfır eklemek yeterli, elimizde 0,02000 var. Virgülün yerini değiştirdikten sonra 00200.0 girişini alıyoruz. Soldaki sıfırları attığımız zaman, 0,02 ondalık kesirinin 10.000 ile çarpılması sonucu elde edilen 200 doğal sayısına eşit olan 200.0 sayısını elde ederiz.

Belirtilen kural sonsuz ondalık kesirleri 10, 100, ... ile çarpmak için de geçerlidir. Periyodik ondalık kesirleri çarparken çarpma sonucu çıkan kesrin periyoduna dikkat etmeniz gerekir.

Periyodik ondalık kesir 5,32(672)'yi 1000 ile çarpın.

Çarpma yapmadan önce periyodik ondalık kesri 5,32672672672... olarak yazalım, bu hatalardan kaçınmamızı sağlayacaktır. Şimdi virgülü 3 basamak sağa kaydırırsak 5 326.726726… elde ederiz. Böylece çarpma işleminden sonra periyodik ondalık kesir 5 326,(726) elde edilir.

5,32(672)·1,000=5,326,(726) .

Sonsuz periyodik olmayan kesirleri 10, 100, ... ile çarparken, önce sonsuz kesri belirli bir rakama yuvarlamanız ve ardından çarpma işlemini yapmanız gerekir.

Ondalık sayıyı kesir veya karışık sayı ile çarpma

Sonlu bir ondalık kesir veya sonsuz bir periyodik ondalık kesiri ortak bir kesir veya karışık sayı ile çarpmak için, ondalık kesri formda temsil etmeniz gerekir. ortak kesir ve ardından çarpma işlemini gerçekleştirin.

Ondalık kesri 0,4'ü karışık bir sayıyla çarpın.

0,4=4/10=2/5 olduğundan ve sonrasında. Ortaya çıkan sayı, 1,5(3) periyodik ondalık kesir olarak yazılabilir.

Sonsuz, periyodik olmayan bir ondalık kesiri bir kesir veya karışık sayı ile çarparken, kesir veya karışık sayıyı ondalık kesirle değiştirin, ardından çarpılan kesirleri yuvarlayın ve hesaplamayı sonlandırın.

2/3=0,6666 olduğuna göre... Çarpan kesirleri binde birine yuvarladıktan sonra, son iki ondalık kesrin çarpımı olan 3,568 ve 0,667'ye ulaşırız. Sütunlu çarpma yapalım:


Elde edilen sonucun en yakın binliğe yuvarlanması gerekir, çarpılmış kesirler binde bire kadar doğru alındığından 2,379856≈2,380 elde ederiz.

www.cleverstudents.ru

29. Ondalık sayıların çarpılması. Tüzük




Kenarları eşit olan bir dikdörtgenin alanını bulun
1,4 dm ve 0,3 dm. Desimetreyi santimetreye çevirelim:

1,4 dm = 14 cm; 0,3 dm = 3 cm.

Şimdi alanı santimetre cinsinden hesaplayalım.

S = 14 3 = 42 cm2.

Santimetre kareyi santimetre kareye dönüştürün
desimetre:

d m2 = 0,42 d m2.

Bu, S = 1,4 dm 0,3 dm = 0,42 dm2 anlamına gelir.

İki ondalık kesrin çarpılması şu şekilde yapılır:
1) Sayılar virgüller dikkate alınmadan çarpılır.
2) Üründe virgül sağa ayrılacak şekilde konur
Her iki faktörde de ayrılan işaret sayısı aynı
birleştirildi. Örneğin:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Bir sütundaki ondalık kesirleri çarpma örnekleri:



Herhangi bir sayıyı 0,1 ile çarpmak yerine; 0,01; 0,001
bu sayıyı 10'a bölebilirsiniz; 100; veya sırasıyla 1000.
Örneğin:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Ondalık kesri bir doğal sayıyla çarparken şunları yapmalıyız:

1) virgüllere dikkat etmeden sayıları çarpın;

2) ortaya çıkan üründe sağda olacak şekilde virgül koyun
ondalık kesirle aynı sayıda rakama sahipti.

3,12 10 çarpımını bulalım. Yukarıdaki kurala göre
İlk önce 312'yi 10 ile çarpıyoruz. Şunu elde ederiz: 312 10 = 3120.
Şimdi sağdaki iki rakamı virgülle ayırıp şunu elde ediyoruz:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

Bu, 3,12'yi 10 ile çarparken virgülünü bir birim kaydırdığımız anlamına gelir
sağdaki numara. 3,12'yi 100 ile çarparsak 312 elde ederiz, yani
Virgül iki basamak sağa kaydırıldı.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Ondalık kesirleri 10, 100, 1000 vb. ile çarparken şunları yapmanız gerekir:
bu kesirde virgül, sıfır sayısı kadar sağa kaydırılır
çarpan değerindedir. Örneğin:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

“Ondalık Sayıların Çarpılması” Konusunda Sorunlar

okul asistanı.ru

Ondalık sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme

Ondalık sayıların toplanması ve çıkarılması, doğal sayıların toplanması ve çıkarılmasına benzer, ancak belirli koşullar vardır.

Kural. tamsayı ve kesirli kısımların rakamları doğal sayı olarak gerçekleştirilir.

Yazılı olarak ondalık sayıların eklenmesi ve çıkarılması tamsayı kısmını kesirli kısımdan ayıran virgül tek sütunda (koşulun yazılmasından hesaplamanın sonuna kadar virgülün altına bir virgül) toplar ve toplam veya eksilen, çıkan ve farkta bulunmalıdır.

Ondalık sayıların eklenmesi ve çıkarılması satıra:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Ondalık sayıların eklenmesi ve çıkarılması bir sütunda:

Ondalık sayıların eklenmesi, basamak değerinin toplamı ondan fazla olduğunda sayıları kaydetmek için ek bir üst satır gerektirir. Ondalık sayıların çıkarılması, 1'in ödünç alındığı yeri işaretlemek için fazladan bir üst satır gerektirir.

Toplamanın veya eksilen kısmın sağında kesirli kısmın yeterli rakamı yoksa, o zaman kesirli kısmın sağına, diğer ekte rakamlar olduğu kadar sıfır ekleyebilirsiniz (kesirli kısmın rakamını artırın) veya eksi.

Ondalık Sayıların Çarpılması doğal sayıların çarpılmasıyla aynı şekilde, aynı kurallara göre gerçekleştirilir, ancak çarpımda, kesirli kısımdaki faktörlerin sağdan sola doğru sayılan rakamlarının toplamına göre bir virgül yerleştirilir (toplam çarpanların rakamı, çarpanların birlikte alınan virgülden sonraki rakam sayısıdır).

Şu tarihte: ondalık sayıları çarpma Bir sütunda sağdaki ilk anlamlı rakam, doğal sayılarda olduğu gibi sağdaki ilk anlamlı rakamın altında imzalanır:

Kayıt ondalık sayıları çarpma bir sütunda:

Kayıt ondalık sayıların bölünmesi bir sütunda:

Altı çizili karakterler, bölenin tam sayı olması gerektiği için arkasından virgül gelen karakterlerdir.

Kural. Şu tarihte: kesirleri bölme Ondalık bölen, kesirli kısımdaki basamak sayısı kadar artırılır. Kesirin değişmemesini sağlamak için, bölen aynı basamak sayısı kadar artırılır (bölen ve bölende virgül aynı basamak sayısına taşınır). Kesirin tamamı bölündüğünde bölme aşamasında bölüme virgül konur.

Ondalık kesirler için, doğal sayılarda olduğu gibi, kural aynıdır: Ondalık kesri sıfıra bölemezsiniz!

Ondalık sayıların eklenmesi tam sayıların eklenmesiyle aynıdır. Bunu örneklerle görelim.

1) 0,132 + 2,354. Terimleri alt alta etiketleyelim.

Burada 4 binde 2'yi binde birlik topladığımızda 6 binde bir çıkıyor;
3 yüzde birlik ile 5 yüzdeliklerin toplanmasından sonuç 8 yüzdelik olur;
onda biri ile onda üçü -4 onda birini toplamaktan ve
2 tam sayı ile 0 tam sayının toplanmasından - 2 tam sayıya.

2) 5,065 + 7,83.

İkinci dönemde binde birler yoktur, bu nedenle terimleri birbiri ardına etiketlerken hata yapmamak önemlidir.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Burada binde biri topladığımızda sonuç binde 21; binde birlerin altına 1 yazdık ve yüzde birlerin altına 2 ekledik, böylece yüzde birler basamağında şu terimleri elde ettik: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; toplamda 19 yüzdelik veriyorlar, biz yüzde 9'un altına imza attık, 1'i onda saydık vs.

Bu nedenle, ondalık kesirleri eklerken aşağıdaki sıraya uyulmalıdır: tüm terimlerde aynı rakamlar birbirinin altında olacak ve tüm virgüller aynı dikey sütunda olacak şekilde kesirleri alt üste imzalayın; Bazı terimlerin ondalık basamaklarının sağına, en azından zihinsel olarak o kadar sayıda sıfır eklenir ki, ondalık noktadan sonraki tüm terimler aynı sayıda rakama sahip olsun. Daha sonra sağ taraftan başlayarak rakamlarla toplama işlemi yaparlar ve elde edilen toplamda bu terimlerde bulunduğu aynı dikey sütuna virgül koyarlar.

§ 108. Ondalık kesirlerin çıkarılması.

Ondalık sayıların çıkarılması, tam sayıların çıkarılmasıyla aynı şekilde çalışır. Bunu örneklerle gösterelim.

1) 9,87 - 7,32. Aynı rakamdaki birimler birbirinin altında olacak şekilde eksilen kısmın altındaki çıkanı imzalayalım:

2) 16,29 - 4,75. İlk örnekte olduğu gibi eksilen kısmın altındaki çıkanı imzalayalım:

Onda birini çıkarmak için, 6'dan bir birimin tamamını alıp onda birine bölmeniz gerekiyordu.

3) 14.0213- 5.350712. Eksilenin altındaki çıkanı imzalayalım:

Çıkarma işlemi şu şekilde yapıldı: 0'dan 2 milyonda birini çıkaramayacağımız için soldaki en yakın rakama yani yüz binde bire dönmemiz gerekiyor ama yüz binde bir yerine sıfır da var, yani on binde 1'i alıyoruz. 3 on binde bir ve yüz binde birliğe bölüyoruz, 10 yüz binde bir elde ediyoruz, bunun 9 yüz binde birini yüz binde bir kategorisinde bırakıyoruz ve 1 yüz binde birini milyonlara bölüyoruz, 10 milyonda bir elde ediyoruz. Böylece, son üç hanede şunu elde ettik: milyonda bir 10, yüz binde 9, on binde 2. Daha fazla netlik ve kolaylık sağlamak için (unutulmaması için), bu sayılar eksilin karşılık gelen kesirli hanelerinin üzerine yazılır. Artık çıkarma işlemine başlayabilirsiniz. 10 milyonuncudan 2 milyonuncuyu çıkarırsak 8 milyonuncuyu elde ederiz; 9 yüz binde birden 1 yüz binde birini çıkarırız, 8 yüz binde birini elde ederiz, vb.

Böylece, ondalık kesirleri çıkarırken, aşağıdaki sıra gözlenir: aynı rakamlar birbirinin altında olacak ve tüm virgüller aynı dikey sütunda olacak şekilde eksinin altındaki çıkanı imzalayın; sağda, en azından zihinsel olarak, aynı sayıda rakama sahip olacak şekilde eksilmeye veya çıkarmaya o kadar çok sıfır eklerler, sonra sağ taraftan başlayarak rakamlarla çıkarırlar ve ortaya çıkan farka virgül koyarlar Bulunduğu aynı dikey sütun azaltılmış ve çıkarılmıştır.

§ 109. Ondalık kesirlerin çarpımı.

Ondalık kesirlerin çarpılmasıyla ilgili bazı örneklere bakalım.

Bu sayıların çarpımını bulmak için şu şekilde akıl yürütebiliriz: Eğer çarpan 10 kat arttırılırsa, o zaman her iki faktör de tam sayı olacaktır ve daha sonra bunları tam sayılarla çarpma kurallarına göre çarpabiliriz. Ancak faktörlerden biri birkaç kat arttığında ürünün de aynı miktarda arttığını biliyoruz. Bu, tamsayı çarpanların yani 28 ile 23'ün çarpılmasıyla elde edilen sayının gerçek çarpımdan 10 kat daha büyük olduğu ve gerçek çarpımın elde edilebilmesi için bulunan çarpımın 10 kat azaltılması gerektiği anlamına gelir. Dolayısıyla burada 10 ile bir kez çarpmanız ve bir kez 10'a bölmeniz gerekecek, ancak 10 ile çarpma ve bölme, virgülün sağa ve sola birer basamak kaydırılmasıyla yapılır. Bu nedenle, bunu yapmanız gerekir: faktörde virgülü bir yere doğru hareket ettirin, bu onu 23'e eşitleyecektir, sonra ortaya çıkan tam sayıları çarpmanız gerekir:

Bu ürün gerçek olandan 10 kat daha büyüktür. Bu nedenle 10 kat azaltılması gerekiyor, bunun için virgülünü bir basamak sola kaydırıyoruz. Böylece elde ederiz

28 2,3 = 64,4.

Doğrulama amacıyla, paydalı bir ondalık kesir yazabilir ve işlemi sıradan kesirlerle çarpma kuralına göre gerçekleştirebilirsiniz;

2) 12,27 0,021.

Bu örnek ile önceki örnek arasındaki fark, burada her iki faktörün de ondalık kesirler olarak temsil edilmesidir. Ancak burada çarpma işleminde virgüllere dikkat etmeyeceğiz, yani geçici olarak çarpanı 100 kat, çarpanı ise 1.000 kat artıracağız, bu da çarpımı 100.000 kat artıracaktır. Böylece 1.227'yi 21 ile çarparak şunu elde ederiz:

1 227 21 = 25 767.

Ortaya çıkan ürünün gerçek üründen 100.000 kat daha büyük olduğunu düşünürsek, şimdi içine virgül koyarak onu 100.000 kat azaltmamız gerekiyor, o zaman şunu elde ederiz:

32,27 0,021 = 0,25767.

Kontrol edelim:

Böylece, iki ondalık kesri çarpmak için, virgüllere dikkat etmeden, bunları tam sayı olarak çarpmak ve çarpımda, çarpımda ve çarpımda olduğu kadar sağ tarafta virgülle ayırmak yeterlidir. çarpan birlikte.

Son örnek, beş ondalık basamağa sahip bir çarpımla sonuçlandı. Bu kadar büyük bir hassasiyet gerekmiyorsa, ondalık kesir yuvarlanır. Yuvarlama yaparken tamsayılar için belirtilen kuralın aynısını kullanmalısınız.

§ 110. Tabloları kullanarak çarpma.

Ondalık sayıların çarpılması bazen tablolar kullanılarak yapılabilir. Bu amaçla, örneğin daha önce açıklaması verilen iki basamaklı sayılar için çarpım tablolarını kullanabilirsiniz.

1) 53'ü 1,5 ile çarpın.

53'ü 15 ile çarpacağız. Tabloda bu çarpım 795'e eşit. 53'e 15 çarpımını bulduk ama ikinci çarpanımız 10 kat küçüktü, yani çarpımın 10 kat azaltılması gerekiyor yani.

53 1,5 = 79,5.

2) 5,3'ü 4,7 ile çarpın.

Öncelikle tabloda 53 ile 47'nin çarpımını buluyoruz, 2.491 olacak. Ama çarpanı ve çarpanı toplam 100 kat artırdığımız için ortaya çıkan çarpım olması gerekenden 100 kat daha büyük; yani bu çarpımı 100 kat azaltmalıyız:

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0,53'ü 7,4 ile çarpın.

Öncelikle tabloda 53'e 74 çarpımını buluyoruz; 3.922 olacak. Ama çarpanı 100 kat, çarpanı da 10 kat artırdığımız için çarpım 1.000 kat arttı; yani şimdi bunu 1000 kat azaltmamız gerekiyor:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Ondalık kesirlerin bölünmesi.

Ondalık kesirleri şu sırayla bölmeye bakacağız:

1. Ondalık kesirin sayıya bölünmesi tamsayı,

1. Ondalık kesri bir tam sayıya bölün.

1) 2,46'yı 2'ye bölün.

Önce tama, sonra onluğa ve son olarak yüzde birliğe böldük.

2) 32,46'yı 3'e bölün.

32,46: 3 = 10,82.

3 onluğu 3'e böldük, sonra 2 birimi 3'e bölmeye başladık; temettü birim sayısı (2) olduğundan bölenden daha az(3), o zaman bölüme 0 koymak zorunda kaldım; ayrıca kalanın onda dördünü aldık ve onda 24'ü 3'e böldük; bölümden 8 onda birini aldı ve sonunda yüzde 6'sını böldü.

3) 1,2345'i 5'e bölün.

1,2345: 5 = 0,2469.

Burada bölümde ilk sırada sıfır tam sayılar yer alır, çünkü bir tam sayı 5'e bölünemez.

4) 13,58'i 4'e bölün.

Bu örneğin özelliği şu; bölümde 9 yüzde birlik aldığımızda yüzde 2'ye eşit bir kalan bulduk, bu kalanı binde birlere böldük, 20 binde birlik elde edip bölmeyi tamamladık.

Kural. Ondalık kesirin bir tam sayıya bölünmesi, tam sayıların bölünmesiyle aynı şekilde gerçekleştirilir ve elde edilen kalanlar, daha küçük ve daha küçük ondalık kesirlere dönüştürülür; Kalan sıfır oluncaya kadar bölme işlemine devam edilir.

2. Bir ondalık sayıyı ondalık sayıya bölün.

1) 2,46'yı 0,2'ye bölün.

Ondalık kesri bir tam sayıya nasıl böleceğimizi zaten biliyoruz. Bakalım bu yeni bölünme durumu da bir öncekine indirgenebilir mi? Bir zamanlar, bölümün dikkat çekici özelliğini düşündük; bu, bölünen ve bölenin aynı anda aynı sayıda artırılması veya azaltılması durumunda değişmeden kalması gerçeğinden oluşur. Eğer bölen tam sayı olsaydı, bize verilen sayıları kolaylıkla bölebilirdik. Bunu yapmak için 10 kat artırmak yeterlidir ve doğru oranı elde etmek için temettüyü aynı miktarda yani 10 kat artırmak gerekir. Daha sonra bu sayıların bölümü aşağıdaki sayıların bölümü ile değiştirilecektir:

Üstelik artık ayrıntılarda herhangi bir değişiklik yapılmasına gerek kalmayacak.

Bu bölmeyi yapalım:

Yani 2,46: 0,2 = 12,3.

2) 1,25'i 1,6'ya bölün.

Böleni (1,6) 10 kat arttırıyoruz; bölümün değişmemesi için temettüyü 10 kat arttırıyoruz; 12 tam sayı 16'ya bölünemediği için 0 bölümüne 0 yazıp 125'in onda birini 16'ya bölüyoruz, bölümden onda biri 7 çıkıyor ve kalan 13 oluyor. 13 onda birini sıfır atayarak yüzde birlere bölüyoruz ve 130 yüzde birini 16'ya bölüyoruz. , vb. Lütfen aşağıdakilere dikkat edin:

a) Belirli bir tamsayı olmadığında, onların yerine sıfır tamsayı yazılır;

b) kalana bölünen rakamın eklenmesinden sonra bölene bölünemeyen bir sayı elde edildiğinde bölüme sıfır yazılır;

c) temettü payının son rakamı çıkarıldıktan sonra bölme işlemi bitmezse, kalan kısma sıfırlar eklenerek bölme işlemine devam edilir;

d) eğer temettü bir tam sayı ise, o zaman ondalık kesre bölünürken sıfır eklenerek arttırılır.

Bu nedenle, bir sayıyı ondalık kesre bölmek için, bölendeki virgülü bırakmanız ve ardından içindeki virgül bırakılırken bölenin arttığı kadar böleni artırmanız ve ardından bölmeyi şu şekilde yapmanız gerekir: ondalık kesri bir tam sayıya bölme kuralı.

§ 112. Yaklaşık bölümler.

Önceki paragrafta ondalık kesirlerin bölünmesine baktık ve çözdüğümüz tüm örneklerde bölme işlemi tamamlandı, yani tam bir bölüm elde edildi. Ancak çoğu durumda bölmeye ne kadar devam edersek edelim kesin bir bölüm elde edilemez. İşte böyle bir durum: 53'ü 101'e bölün.

Bölümde zaten beş rakamı aldık, ancak bölme henüz sona ermedi ve biteceğine dair bir umut da yok, çünkü geri kalanında daha önce karşılaştığımız sayılara sahip olmaya başlıyoruz. Bölümde sayılar da tekrarlanacaktır: 7 sayısından sonra 5 sayısının, ardından 2 vb.'nin sonsuza kadar görüneceği açıktır. Bu gibi durumlarda bölme işlemi kesintiye uğrar ve bölümün ilk birkaç rakamıyla sınırlıdır. Bu bölüme denir yakın olanlar. Bölme işleminin nasıl yapıldığını örneklerle göstereceğiz.

25'i 3'e bölmek gerekli olsun. Açıkçası, böyle bir bölmeden tam sayı veya ondalık kesir olarak ifade edilen tam bir bölüm elde edilemez. Bu nedenle yaklaşık bir bölüm arayacağız:

25: 3 = 8 ve kalan 1

Yaklaşık bölüm 8'dir; elbette tam bölümden küçüktür, çünkü 1 geri kalanı vardır. Kesin bölümü elde etmek için, 1'e eşit olan kalanı 3'e bölerek elde edilen kesri, bulunan yaklaşık bölüme eklemeniz gerekir; , 8'e kadar; bu 1/3'lük bir kesir olacak. Bu, tam bölümün 8 1/3 karışık sayı olarak ifade edileceği anlamına gelir. 1/3 uygun kesir yani kesir olduğundan, birden az, ardından onu atarak izin vereceğiz hata, Hangi birden az. Bölüm 8 olacak dezavantajlı birliğe kadar olan yaklaşık bölüm. Bölümde 8 yerine 9 alırsak, birimin tamamını değil 2/3'ünü ekleyeceğimiz için birden küçük bir hataya da izin vermiş oluruz. Böyle özel bir vasiyet fazla olanın yaklaşık bölümü.

Şimdi başka bir örnek verelim. Diyelim ki 27'yi 8'e bölmemiz gerekiyor. Burada tam sayı olarak ifade edilen tam bir bölüm elde edemeyeceğimiz için yaklaşık bir bölüm arayacağız:

27: 8 = 3 ve kalan 3.

Burada hata 3/8'e eşit, birden küçük, yani yaklaşık bölüm (3) dezavantajlı olarak bire doğru bulunmuştur. Bölmeye devam edelim: kalan 3'ü onda birine bölersek 30 ondalık elde ederiz; bunları 8'e bölün.

Bölümde onda biri yerine 3, geri kalanda da onda 6 aldık. Eğer kendimizi 3,3 sayısıyla sınırlandırıp geri kalan 6'yı atarsak, onda birinden daha az bir hataya izin vermiş oluruz. Neden? Çünkü 3,3'e 6'nın 8'e bölünmesi sonucunu eklediğimizde tam oran elde edilecektir; bu bölme 6/80 sonucunu verecektir ki bu da onda birden azdır. (Kontrol edin!) Dolayısıyla bölümde kendimizi onda birlerle sınırlandırırsak bölümü bulduğumuzu söyleyebiliriz. onda birine kadar doğru(bir dezavantajla).

Başka bir ondalık basamak bulmak için bölme işlemine devam edelim. Bunu yapmak için onda biri 6'yı yüzlüğe bölüyoruz ve 60 yüzde biri elde ediyoruz; bunları 8'e bölün.

Üçüncü sırada yer alan bölümde ise 7, geri kalan yüzde 4 çıktı; bunları atarsak yüzde birden daha az bir hataya izin vereceğiz, çünkü yüzde 4'ün 8'e bölümü yüzde birden küçüktür. Bu gibi durumlarda bölümün bulunduğunu söylüyorlar yüzde birine kadar doğru(bir dezavantajla).

Şimdi baktığımız örnekte, tam bölümün ondalık kesir olarak ifade edilmesini sağlayabiliriz. Bunun için son kalan yüzde 4'ü binde birlere bölüp 8'e bölmek yeterlidir.

Ancak çoğu durumda kesin bir oran elde etmek mümkün değildir ve kişinin kendisini yaklaşık değerlerle sınırlaması gerekir. Şimdi bu örneğe bakacağız:

40: 7 = 5,71428571...

Sayının sonuna konulan noktalar bölmenin tamamlanmadığını yani eşitliğin yaklaşık olduğunu gösterir. Genellikle yaklaşık eşitlik şu şekilde yazılır:

40: 7 = 5,71428571.

Sekiz ondalık basamaklı bölümü aldık. Ancak bu kadar büyük bir doğruluk gerekmiyorsa, kendinizi bölümün yalnızca tamamıyla, yani 5 sayısıyla (daha doğrusu 6) sınırlayabilirsiniz; daha fazla doğruluk için onda biri dikkate alınabilir ve bölüm 5,7'ye eşit olabilir; herhangi bir nedenle bu doğruluk yetersizse, yüzde birlerde durup 5,71 vb. Alabilirsiniz. Tek tek bölümleri yazalım ve isimlendirelim.

İlk yaklaşık bölüm bire kadar doğru 6.

İkinci » » » onda bire kadar 5.7.

Üçüncü » » » yüzüncüden 5,71'e kadar.

Dördüncü » » » binde bire kadar 5.714.

Bu nedenle, bazıları için doğru olan yaklaşık bir bölümü bulmak için, örneğin 3. ondalık basamak (yani binde bire kadar), bu işaret bulunur bulunmaz bölmeyi durdurun. Bu durumda § 40'ta belirtilen kuralı hatırlamanız gerekir.

§ 113. Yüzdelerle ilgili en basit problemler.

Ondalık sayıları öğrendikten sonra biraz daha yüzde problemleri çözeceğiz.

Bu problemler kesirler bölümünde çözdüğümüz problemlere benziyor; ama şimdi yüzde birleri ondalık kesirler biçiminde, yani açıkça belirlenmiş bir payda olmadan yazacağız.

Öncelikle sıradan bir kesirden paydası 100 olan bir ondalık sayıya kolayca geçebilmeniz gerekir. Bunu yapmak için payı paydaya bölmeniz gerekir:

Aşağıdaki tablo, % (yüzde) sembolüne sahip bir sayının, paydası 100 olan bir ondalık kesirle nasıl değiştirildiğini göstermektedir:

Şimdi birkaç sorunu ele alalım.

1. Verilen bir sayının yüzdesini bulmak.

Görev 1. Bir köyde sadece 1.600 kişi yaşıyor. Çocuk sayısı okul yaşı toplam nüfusun %25'ini oluşturmaktadır. Bu köyde okul çağında kaç çocuk var?

Bu problemde 1.600'ün %25'ini veya 0,25'ini bulmanız gerekir. Sorun şu şekilde çarpılarak çözülür:

1.600 0,25 = 400 (çocuklar).

Bu nedenle 1.600'ün %25'i 400'dür.

Bu görevi net bir şekilde anlamak için her yüz nüfusa karşılık 25 okul çağındaki çocuğun bulunduğunu hatırlamakta fayda var. Dolayısıyla okul çağındaki tüm çocukların sayısını bulmak için önce 1.600 sayısında kaç yüz olduğunu bulabilir (16), daha sonra 25'i yüzler sayısıyla çarpabilirsiniz (25 x 16 = 400). Bu şekilde çözümün geçerliliğini kontrol edebilirsiniz.

Görev 2. Tasarruf bankaları mevduat sahiplerine yıllık yüzde 2 getiri sağlıyor. Bir mevduat sahibi kasaya koyarsa yılda ne kadar gelir elde edecek: a) 200 ruble? b) 500 ruble? c) 750 ruble? d) 1000 rub.?

Dört durumda da, sorunu çözmek için belirtilen tutarların 0,02'sini hesaplamanız gerekecektir, yani. bu sayıların her birinin 0,02 ile çarpılması gerekecektir. Hadi şunu yapalım:

a) 200 0,02 = 4 (ovmak),

b) 500 0,02 = 10 (ovmak),

c) 750 0,02 = 15 (ovmak),

d) 1.000 0,02 = 20 (rub.).

Bu durumların her biri aşağıdaki hususlarla doğrulanabilir. Tasarruf bankaları mevduat sahiplerine %2 gelir sağlar, yani tasarruflara yatırılan tutarın 0,02'si. Miktar 100 ruble olsaydı, bunun 0,02'si 2 ruble olurdu. Bu, her yüzün yatırımcıya 2 ruble getireceği anlamına geliyor. gelir. Bu nedenle, ele alınan vakaların her birinde, belirli bir sayıda kaç yüz olduğunu bulmak ve 2 rubleyi bu yüz sayısıyla çarpmak yeterlidir. Örnek a) 2 yüz tane var, yani

2 2 = 4 (ovmak).

Örnek d) 10 yüz tane var, bu da şu anlama geliyor:

2 10 = 20 (ovmak).

2. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma.

Görev 1. Okul baharda toplam kayıt sayısının %6'sını temsil eden 54 öğrenciyi mezun etti. Geçen yıl okulda kaç öğrenci vardı? akademik yıl?

Öncelikle bu görevin anlamını açıklayalım. Okul 54 öğrenci mezun etmiştir; bu da toplam öğrenci sayısının %6'sına, yani okuldaki tüm öğrencilerin yüzde 6'sına (0,06) denk gelmektedir. Bu, öğrencilerin (54) sayısı ve kesir (0,06) ile ifade edilen kısmını bildiğimiz ve bu kesirden tam sayıyı bulmamız gerektiği anlamına gelir. Böylece önümüzde sıradan görev kesirinden bir sayı bulmak için (§90 s.6). Bu tür problemler bölünmeyle çözülür:

Bu, okulda sadece 900 öğrencinin olduğu anlamına geliyor.

Bu tür problemleri ters problemi çözerek kontrol etmek faydalıdır, yani. problemi çözdükten sonra, en azından kafanızda, birinci türden bir problemi çözmelisiniz (belirli bir sayının yüzdesini bulma): bulunan sayıyı alın ( 900) verildiği gibi ve çözülen problemde belirtilen yüzdeyi bulun, yani:

900 0,06 = 54.

Görev 2. Aile ay içinde yemeğe 780 ruble harcıyor, bu da babanın aylık kazancının %65'ine tekabül ediyor. Aylık gelirini belirleyin.

Bu görev öncekiyle aynı anlama sahiptir. Aylık kazancın ruble (780 ruble) cinsinden ifade edilen bir kısmını verir ve bu kısmın toplam kazancın %65'i yani 0,65'i olduğunu belirtir. Ve aradığınız şey tüm kazançlardır:

780: 0,65 = 1 200.

Bu nedenle gerekli gelir 1200 ruble.

3. Sayıların yüzdesini bulma.

Görev 1.İÇİNDE okul kütüphanesi yalnızca 6.000 kitap. Bunların arasında matematikle ilgili 1.200 kitap var. Kütüphanedeki toplam kitap sayısının yüzde kaçı matematik kitaplarından oluşuyor?

Bu tür problemleri zaten ele aldık (§97) ve iki sayının yüzdesini hesaplamak için bu sayıların oranını bulup 100 ile çarpmanız gerektiği sonucuna vardık.

Problemimizde 1.200 ve 6.000 sayılarının yüzde oranını bulmamız gerekiyor.

Önce oranlarını bulalım, sonra bunu 100 ile çarpalım:

Böylece 1.200 ve 6.000 sayılarının yüzdesi 20 olur. Yani matematik kitapları tüm kitapların toplam sayısının %20'sini oluşturur.

Kontrol etmek için ters problemi çözelim: 6.000'in %20'sini bulalım:

6 000 0,2 = 1 200.

Görev 2. Tesisin 200 ton kömür alması gerekiyor. Şimdiden 80 ton teslim edildi. Fabrikaya kömürün yüzde kaçı teslim edildi?

Bu problem, bir sayının (80) diğerinin (200) yüzde kaçı olduğunu sorar. Bu sayıların oranı 80/200 olacaktır. Bunu 100 ile çarpalım:

Bu da kömürün yüzde 40'ının teslim edildiği anlamına geliyor.